Investigação de novos critérios para inserção de pontos em métodos de simplificação de terreno através de refinamento

Transcrição

1 Investigação de novos critérios para inserção de pontos em métodos de simplificação de terreno através de refinamento por Anselmo Antunes Montenegro Orientador: Paulo Cezar Pinto Carvalho, IMPA Co-orientador: Marcelo Gattass Departamento de Informática, PUC-Rio Agosto de 1997

2 Roteiro Introdução Simplificação de superfícies Simplificação por inserção gulosa Critérios de seleção para inserção Conclusões e trabalhos futuros

3 Objetivo do trabalho Estudar métodos de simplificação, em especial os métodos por refinamento Investigar a existência de novos critérios de inserção para os métodos de simplificação por inserção gulosa

4 Motivação

5 Aplicações Sistemas de Informação Geográfica Engenharia Civil Planejamento e gerenciamento de recursos Ciências da Terra Aplicações militares Simulação de vôo, computação gráfica, robótica, etc.

6 Modelos de terreno Um terreno pode ser representados matematicamente por um campo de alturas (Height Field) expresso através de uma função de duas variáveis: 2 H:D R R ( xy, )! z Para fins de visualização, é necessário associar a cada ponto do terreno informações relativas à sua textura (por exemplo, componentes RGB)

7 Modelos de terreno Para ser representado computacionalmente, um terreno modelado através de um campo de alturas precisa ser representado de forma discreta. A discretização pode ser realizada de duas formas: regular irregular

8 Matrizes de altura e cor (Horizonte Flutuante)

9 Discretização irregular Exige estruturação (em geral via triangulação) Formalmente, o problema de triangulação consiste em: dado um conjunto de pontos P, encontrar um conjunto de triângulos {T1,T2,T3,...,Tk} satisfazendo a: i) a união dos triângulos é igual a conv(p) ii) o conjunto dos vértices dos triângulos é P iii) a interseção de dois triângulos é {}, um vértice ou um lado comum

10 Características de TINs O tamanho da representação é adaptável a geometria do terreno Fácil visualização por sistemas gráficos

11 Características importantes de TINs Armazenamento Custo de construção Suporte para modelagem e visualização localização de pontos atualização busca

12 Triangulações de Delaunay É um dos métodos para geração de triangulações mais usados. Propriedade geométrica: uma aresta a pertence a uma triângulação de Delaunay se e somente se existe um circulo que passa pelos vértices de a e deixa os demais de fora. a Minimiza a ocorrência de triângulos finos

13 Triangulação de Delaunay Incremental Exemplo

14 O problema de simplificação de superfícies Definição Dados: H: D R 2 R, ε 0 Encontrar: { q q q } tal que d ( H TS ) ε Q,..., =, 1 2 n Q Eliminação de redundância nos dados

15 Métodos para simplificação de superfícies NP-árduo Tratado através de heurísticas Métodos de simplificação: mecanismo de seleção de pontos mecanismo de estruturação (triangulação)

16 Classificação dos métodos grade uniforme subdivisão hierárquica features em único passo refinamento e híbridos decimação em múltiplos passos e outros

17 Simplificação por inserção gulosa Mais difundido na literatura afim Desenvolvido por diversos autores simultaneamente Simplicidade e flexibilidade A cada iteração um ou mais pontos são inseridos de forma gulosa (sequencial ou paralelo)

18 Escolha do ponto a ser inserido Medida de importância: M ( p) = f, ( p) T P procura medir a contribuição de p para o erro da aproximação Inserção gulosa: selecionar p tal que M(p) é maximo

19 Medidas de importância Medida da curvatura: Avaliada através de uma norma da segunda derivada Erro vertical local: MP( p) = H( p) TS( p) Erro vertical global: MG( p ) = ( E( T p ) E( T )) i E ( T ) = H ( p ) TS( p ) p T i i i i

20 Dados de teste Ilha Cvzbuffalo

21 Dimensões dos exemplos Dados de terreno Nome Dim Dim Total de Alt. Alt. Variação Desvio Padrão X Y triângulos Mínima Máxima Máxima cvzbuffalo ,80 64,20 48,40 13,21 ilha ,070 17,08 17,01 3,37

22 Resultados baseados no erro vertical local Nível Número de % triângulos utilizados Erro Erro%(*) Triângulos ,80 4,84 0, ,93 2,42 0, ,54 0,48 0, ,22 0,24 0,005

23 Erro vertical local como critério de seleção no método de inserção gulosa Avalia a importância dos pontos unicamente através de um erro numérico Compara pontos de regiões diferentes da mesma forma Regiões em que o erro absoluto é naturalmente pequeno em comparação às outras acabam sendo prejudicadas.

24 Erro vertical local modificado Idéia proposta: MP( p) = H ( p) TS( v( p) p) v(p) é uma medida de variabilidade local da região Podemos entender a variabilidade como grau de desorganização

25 Medida de variabilidade baseada no desvio padrão local ( R( )) v( p) = σ p p r

26 Cvzbuffalo(1000 triângulos) R=1 R=5 R=10

27 Cvzbuffalo (3000 triângulos) R=1 R=5 R=10

28 Cvzbuffalo (5000 triângulos) R=1 R=5 R=10

29 Ilha (1000 triângulos) R=1 R=5 R=10

30 Ilha (3000 triângulos) R=1 R=5 R=10

31 Ilha (5000 triângulos) R=1 R=5 R=10

32 Observações sobre variabilidade medida através do desvio padrão Captura bem as características das diferentes regiões em estágio iniciais Corrige imediatamente erros que fogem excessivamente ao desvio padrão Não modela bem regiões suaves com alta declividade

33 Variabilidade medida através da segunda derivada v(p)= f(x+1)-2f(x)+f(x-1) + f(y+1)-2f(y)-f(y-1) a região de influência tem raio unitário. a idéia é capturar as formas das regiões e não as rugosidades. As rugosidades são capturadas em graus de refinamento mais altos.

34 Cvzbuffalo (1000 triângulos)

35 Cvzbuffalo (3000 triângulos)

36 Cvzbuffalo (5000 triângulos)

37 Ilha (1000 triângulos)

38 Ilha (3000 triângulos)

39 Ilha (5000 triângulos)

40 Observações sobre o parâmetro de ponderação baseado na segunda derivada Análise dos resultados Captura bem as formas da regiões nos estágios iniciais Falha nos contornos. Gera efeito de suavização no terreno.

41 Efeito de suavização

42 Conclusões O método de simplificação por inserção gulosa com critério de seleção de pontos baseado em erro vertical local nem sempre fornece resultados adequados. Critérios de seleção sensíveis a importância local do erro vertical podem capturar características importantes do terreno em estágios iniciais de refinamento. Parâmetro de ponderação baseado no desvio padrão: captura bem os contornos das regiões gera aproximações com baixa densidade nas regiões com alta declividade.

43 Conclusões Parâmetro baseado em uma estimativa da norma da derivada segunda: captura bem as formas do terreno falha nos contornos. permite construções de aproximações com graus de suavização crescentes. Dificuldade de encontrar uma medida que atenda a todos os casos possíveis. Esperança de que uma medida baseada no erro quadrático médio em relação ao plano de melhor ajuste passando pelos pontos de uma região forneça resultados melhores.

44 Propostas para trabalhos futuros continuação dos estudos sobre novos critérios de inserção estudos sobre representações em multiresolução tratamento de dados extensos técnicas para visualização em tempo real extensão do método para sólidos

45 Resultados do critério baseado no desvio padrão erro vertical local erro vertical local / desvio padrão (r=1) erro vertical local / desvio padrão (r=5) erro vertical local / desvio padrão (r=10) #Triân Erro Erro% Erro Erro% Erro Erro% Erro Erro% gulos ,21 8,70 13,86 28,63 11,59 23,95 13,13 27, ,50 5,16 14,49 29,94 8,66 17,89 7,40 15, ,76 3,63 9,23 19,06 6, ,55 11, ,30 2,68 7,15 14,77 5,40 11,15 4,50 9, ,07 5,00 10,33 3,48 7,18 3,76 7,77 erro vertical local erro vertical local / desvio padrão (r=1) erro vertical local / desvio padrão (r=5) erro vertical local / desvio padrão (r=10) #Triân Erro Erro% Erro Erro% Erro Erro% Erro Erro% gulos ,32 7,78 2,94 17,28 2, ,52 20, ,95 5,57 2,36 13,86 1,80 10,61 2,64 15, ,68 3,99 2,24 13,16 1,33 7,83 2,15 12, ,57 3,37 2,06 12,12 1,21 7,14 1,72 10, ,56 3,29 1,50 8,80 1,33 7,80 1,64 9,62

46 Resultados do critério baseado na segunda derivada erro vertical local erro vertical local/derivada segunda #Triângulos erro erro % erro erro % ,21 8,70 10,70 22, ,50 5,16 8,31 17, ,76 3,63 14,89 30, ,30 2,68 14,09 29, ,00 2,07 14,09 29,11 erro vertical local erro vertical local/derivada segunda #Triângulos erro erro % erro erro % ,32 7,78 1,92 22, ,95 5,57 1,23 17, ,68 3,99 2,53 30, ,57 3,37 2,40 29, ,56 3,29 2,40 29,11

47 Algoritmo_Incremental_de_Delaunay(P,T) { } T = {}; Construir uma triangulação mínima T definida pela envoltória convexa de P; Repita Selecionar um ponto p do conjunto de amostras P; P = P - {p}; Localizar o triângulo t T tal que t contenha p; Se p estiver sobre uma aresta e de t então remova e de T. Criar arestas conectando p aos vértices do polígono que o envolve; Atualizar a triangulação de forma que satisfaça o critério de Delaunay; enquanto P{};