Construção de Modelos de Programação Linear e Inteira

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1 Construção de Modelos de Programação Linear e Inteira Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 3 c 2009, 2000, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

2 Modelização Os 10 princípios Não criar um modelo complicado quando um simples é suficiente. Não moldar o problema à técnica de resolução que se pretende utilizar. Resolver rigorosamente o modelo encontrado. Só assim se saberá se hipotéticas inconsistências das soluções do modelo com a realidade têm origem no próprio modelo ou não. Validar os modelos antes de os implementar. O modelo não deve ser tomado literalmente pois nunca é a realidade. O modelo não deve ser forçado a fazer, ou ser criticado por não fazer, aquilo para que não foi criado. Não sobrestimar os modelos. Uma das principais vantagens da modelização é o processo de desenvolvimento do modelo. Um modelo não pode ser melhor do que a informação usada na sua construção. Os modelos nunca substituem os agentes de decisão.

3 Formulação de Modelos de Programação Linear Algoritmo para construir um Modelo de Programação Linear para um problema a de Investigação Operacional: Passo I Determinar, no problema concreto, aquilo que é fixo e não pode ser alterado e aquilo que se pode decidir (variáveis de decisão). Representar essas variáveis de uma forma algébrica. Passo II Identificar as restrições do problema, isto é, aquilo que limita as nossas decisões, e representá-las como igualdades ou desigualdades que sejam funções das variáveis de decisão. Passo III Identificar o(s) objectivo(s) do problema e representá-lo(s) como uma função das variáveis de decisão, que deve ser minimizada ou maximizada. a Só existe problema quando há mais do que uma solução admissível.

4 Problema de Mistura de Produtos A companhia Electro & Domésticos pretende escalonar a produção de um novo apetrecho de cozinha que requer dois recursos: mão-de-obra e matéria-prima. A companhia considera a hipótese de produzir 3 modelos diferentes, tendo o seu departamento de engenharia fornecido os dados representados na tabela 1 Modelo A B C Mão-de-obra (horas por unidade) Matéria-prima (quilos por unidade) Lucro (epor unidade) Tabela 1: Dados fornecidos pelo departamento de engenharia O fornecimento de matéria-prima está limitado a 200 quilos/dia. Por dia estão disponíveis 150 horas de trabalho. O objectivo é maximizar o lucro total. Formule o modelo que permitiria resolver este problema.

5 Problema da refinaria de petróleo Uma refinaria de petróleo pode misturar 3 tipos de crude para produzir gasolina normal e super. A refinaria de petróleo tem duas unidades de mistura, uma unidade mais antiga e uma outra mais recente. Para cada ciclo de produção, a unidade mais antiga usa 5 barris de crude A, 7 barris de crude B e 2 barris de crude C para produzir 9 tanques de gasolina normal e 7 de gasolina super. A unidade de mistura mais recente usa, para cada ciclo de produção, 3 barris de crude A, 9 de B e 4 de C para produzir 5 tanques de gasolina normal e 9 de super. Devido a contratos já assinados, a refinaria tem que produzir, pelo menos, 500 tanques de gasolina normal e 300 tanques de gasolina super. Para essa produção existem em armazém 1500 barris de crude A, 1900 de crude B e 1000 de crude C. Por cada tanque de gasolina normal produzida, a refinaria ganha 6 unidades monetárias e, por tanque de super, 9 unidades monetárias. Pretende-se saber como utilizar as reservas de crude e as duas unidades de mistura, de forma a maximizar o lucro da refinaria respeitando os compromissos assumidos.

6 Arrendamento de espaço num armazém Uma empresa planeia arrendar espaço num armazém. As necessidades de espaço para os próximos 3 meses estão representadas na tabela 2. Os custos de arrendamento por metro quadrado dependentes do número de meses de arrendamento estão representados na tabela 3. Construa um modelo que permita determinar o esquema de contratos a assinar, por forma a satisfazer as necessidades de espaço o mais economicamente possível. Mês Necessidade de espaço (m 2 ) Tabela 2: Necessidades de espaço nos próximos 3 meses Período de arrendamento Custo por m 2 (meses) ($) Tabela 3: Custos de arrendamento

7 A companhia de aviação Benvoa A companhia de aviação Benvoa vai comprar aviões a jacto de passageiros, para viagens longas, médias e curtas, denominados de A l, A m e A c, respectivamente. Os custos unitários, em milhões de euros são, respectivamente, de 5000, 3800 e A administração da companhia aprovou um orçamento máximo de milhões de euros para esse efeito. Admite-se que os lucros anuais com cada um dos tipos de avião A l, A m e A c, sejam de 310, 230 e 200 milhões de euros respectivamente. Há pilotos suficientes para pilotar, no máximo, 30 aviões novos. Se apenas fossem comprados aviões A c, os serviços de manutenção seriam capazes de garantir a manutenção de 40 aviões novos. Contudo, do ponto de vista do esforço de manutenção, cada avião A m equivale a 4/3 de um avião A c e cada avião A l a 5/3 de um avião A c. A direcção técnica é ainda de opinião que, por cada avião A c que seja comprado, se comprem também pelo menos um avião A l ou um avião A m. Por outro lado, seleccionado um avião A l para comprar, também deverão ser comprados pelo menos 8 aviões A c ou A m. Com estes dados, a gestão da empresa deve decidir a quantidade de aviões de cada tipo a comprar, de modo a maximizar o lucro. Formule este problema com um modelo de programação linear.

8 Problema de planeamento integrado da produção de duas fábricas Duas fábricas, A e B, situadas em locais diferentes produzem ambas os produtos P 1 e P 2. A fábrica A tem 2 máquinas e a fábrica B também. Todas as máquinas fazem os produtos P 1 e P 2. Depois de fabricados, os produtos podem ser transportados entre as fábricas de modo a satisfazer a procura. O número de unidades produzidas por dia, os custos de produção e de transporte, a procura dos produtos e o número de dias em que cada máquina está disponível por mês estão indicados nas tabelas 4 e Apresente um modelo geral (usando variáveis indexadas e coeficientes convenientes a definir) que permita determinar os esquemas de utilização das máquinas em cada fábrica e de distribuição dos produtos entre as fábricas a que corresponda um custo total mínimo. 2. Concretize o modelo para o caso descrito. 3. Refira-se à resolução do problema em questão.

9 Fábrica A B Máquina AA 1 AA 2 BB 1 BB 2 Disponibilidade (dias) Produto P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 Produção por dia Custo por dia Tabela 4: Capacidades de produção das fábricas Produto P 1 P 2 Fábrica A B A B Procura Custo de transporte A B = 4 B A = 4 A B = 3 B A = 4 por unidade Tabela 5: Procura e custos de transporte dos produtos

10 Fábrica de Papel A maior fábrica de papel do mundo (vídeo) Carretel n Bobinas n Laminas Como se pode ver nas figuras, o papel é fabricado em rolos grandes tanto em largura como em diâmetro, conhecidos na indústria por jumbos. Os jumbos são divididos em rolos mais pequenos que podem ser vendidos directamente a clientes ou que então podem ser usados para cortar em formatos. Consideremos uma empresa em que o papel é produzido em jumbos com 6 metros de largura. A partir destes jumbos de 6 metros é necessário produzir: 30 rolos com 280cm de largura, 60 rolos com 200cm de largura, 48 rolos com 150cm de largura. Um jumbo de 6 metros poderia, por exemplo, ser dividido em 2 rolos de 280cm, sobrando um rolinho de 40cm que é considerado desperdício. Assumindo que existem jumbos em quantidade suficiente para satisfazer esta encomenda, o problema consiste em determinar a forma de cortar os jumbos minimizando o desperdício. Construa o modelo de Programação Matemática para este problema.

11 Aeroporto Aletrop - Manutenção O aeroporto de Aletrop é a base dos aviões da companhia aérea PAT. Trata-se de um aeroporto moderno, e de uma empresa de aviação em expansão, que pretende manter a sua competitividade num sector de actividade fortemente concorrencial. O aumento de competitividade passa, nomeadamente, pela realização de dois objectivos, a melhoria da qualidade de serviço e a redução dos custos de operação. Por outro lado, a segurança de uma companhia aérea é um aspecto de primordial importância, estando intimamente ligado à manutenção. Para manter um avião em boas condições técnicas, procede-se à manutenção preventiva aos aparelhos da PAT, através de pequenas inspecções entre aterragem e posterior descolagem. A direcção da empresa está também a considerar a hipótese de oferecer estes serviços de manutenção a outras companhias de aviação, mesmo que para tal tenha que aumentar às equipas de manutenção. O elemento crucial nestas equipas é o chefe de manutenção, técnico altamente qualificado, que necessita de fazer formação específica para cada tipo de avião e obter assim uma licença imprescindível para o desempenho dessas funções. A cada licença corresponde uma categoria de aviões, existindo 4 licenças diferentes: Tipos de licenças Aviões 1 Boeing 717 (100 lugares) 2 Boeing 777 (300 a 500 lugares) 3 Airbus A319 (124 lugares) 4 Airbus A340 (350 lugares) Cada técnico pode ter no máximo 2 licenças. A primeira licença demora vários anos a obter, sendo portanto mais cara para a empresa, enquanto a segunda licença demora menos anos a obter, ficando naturalmente mais barata. O custo da segunda licença depende ainda da licença anterior que o técnico possui. Actualmente existem 9 equipas de manutenção, cada uma chefiada por um técnico licenciado, que funcionam em 3 turnos.

12 Custo (M$) Licença Licença a tirar anterior Turno Chefe de equipa Tipo de licença 1 1, , , Para poder oferecer serviços a outras companhias de aviação, a empresa pretende que existam 4 licenças de cada tipo, no conjunto dos chefes de manutenção. Isto pode ser conseguido enviando para formação actuais chefes de equipa (portanto técnicos que já possuem 1 licença) ou outros técnicos que ainda não possuem nenhuma licença. No entanto, de cada turno só poderá sair, no máximo, 1 chefe de equipa para formação. Escreva um modelo de programação matemática que permita determinar a política de obtenção de licenças que minimiza os custos para a Aletrop.

13 Escalonamento de Recursos Humanos Parte 1 Um posto de correios requer para funcionar um número diferente de trabalhadores a tempo inteiro em cada dia da semana: N o mínimo de funcionários Segunda 17 Terça 13 Quarta 16 Quinta 19 Sexta 14 Sábado 16 Domingo 11 As leis laborais impõem que cada funcionário trabalhe 5 dias consecutivos, seguidos de 2 dias de folga. Por exemplo, um funcionário que trabalhe de Segunda a Sexta terá que estar de folga no Sábado e no Domingo. O posto de correios pretende pois satisfazer as necessidades diárias de trabalhadores recorrendo apenas a funcionários a tempo inteiro. O objectivo é minimizar o número de funcionários a tempo inteiro.

14 Escalonamento de Recursos Humanos (cont.) Parte 2 Suponha agora que as necessidades de mão-de-obra podem ser satisfeitas quer por funcionários a tempo inteiro quer por funcionários a tempo parcial. Um funcionário a tempo inteiro trabalha 8 horas por dia, enquanto um funcionário a tempo parcial trabalha 4 horas por dia, mantendo-se as restantes condições laborais. No entanto, acordos com os sindicatos limitam a 25% do total a percentagem de funcionários a tempo parcial. Sabendo que o custo horário de um funcionário a tempo inteiro é de 15 euros e o de um funcionário a tempo parcial é de 10 euros, determine o escalonamento dos funcionários que minimiza o custo global com recursos humanos. Parte 3 Considere agora que cada funcionário pode fazer um dia de trabalho extraordinário por semana. Por exemplo, a um funcionário cujo turno de trabalho seja de Segunda a Sexta pode ser pedido que trabalhe ainda no Sábado. A remuneração por hora de trabalho extraordinário corresponde a 150% da remuneração base. Parte 4 Considere novamente a situação inicial, das necessidades de mão-de-obra serem satisfeitas unicamente por funcionários a tempo inteiro. Considere ainda que o posto de correios tem 25 funcionários contratados. Determine o escalonamento que maximiza o número de folgas em dias de fim-de-semana (Sábado ou Domingo).

15 Parte 5 Apesar de se ter minimizado o número de trabalhadores com turnos de fim-de-semana, esses turnos existem e têm que ser cobertos. Como resolveria o problema de, ao longo do ano, garantir uma escala justa e equilibrada para todos os trabalhadores em termos de dias de fim-de-semana ocupados?

16 eventosuporto Protocolo Universidade do Porto Novo acordo de ~ com a Urivenlidade do POI to o ~nc<l SantaOOer l<>ltll a UrWersiI!ode do Porto... rom urn.ooroo <Ie COOpoNa;ao,.,. otlf9o do _I 0 B.>neo ~_.,._ <Ie ensno, ' weoti90;ao ~~ culor.j do U~ do Porto com om v_ 0"".1 S"pooriof 0 om ml'>io <Ie toros, doront. 0' ~o""'" 5 aoos. A UrW«s_ Porto, &d;.>!iicou pot" CMCUrso 0. rriooio 00 corti<> <Ie _tjflco;ao """. ntmio ~" todo 0 "'" ool<c!r;o _ ol>r>os, 3500 prof."",., "",_os do p<'soool _istr&tm> <los """""" li<fois _ om.,,,,.,,,,", 0 pot" ""CO 0"'" 3<1!!onco &Onto""'" lotto. o Cortin U"".rsurio ntrill<nt. dispoolblzara 10M SOlJ.S thisr.. om C<W\jJnto.Ior~ <Ie...m:;o., 310m 00, ""ncirio', corm. _tin <Ie errve.trro. no. _''''', 0 eontr<>kl <Ie 0=. <Iet~, ro_ ~1JO""'"t.. <Ie _"'" """tont... o ~"'00010.,.N<Io nwi t>rnt><m. at>ert"r. <Ie _. a~"". un",ersnn.. no. ;" I>Io~ <14 ;''''">:;in aco<lo~, 0 aindo 0.~ 0 ootros prti!<ctos <14 ~_, com:> "m ~09'amo <Ie boisa. <Ie o Rei", <14 U~O:I_ <10 P<>rto, Prof"...,.. OootOf Jose Mar_, <los Santos, nicio" SL>O ~terv~ no """""'~ 011'"""""""" 0 ~ tere... do!!onoo ~ re~ciomm<nto oom. ~ ott">:;in o~ _ di'9<. Oeotocoo... t. sen!oo _ a ooabo<o;ao _ <Xist. iii 49um tefr4ml ofn_ q"" so foi oonoitui><io ""tre5o "'I"ip" <1M _ NtM:;ii.. foram fsc!o<.. IT4><>rt>nt.,. ~. a "rwers_ "" """"""to <Ie es.coj\<f 0 &ontor.der lolt4 """"""_._. <10 corti<> "rwersurio. o Pres_'e do C<J.T u i O fxecw;o 00!!onoo Santo"""r lot:.. Or. N""" _ t""'*"'" S,," ~ t<fv<1\"" Oil'"""""""" ~ <14 re' orio 0 CMf,.n~ _ <Ie~,tor. m "" """co 1011'>_ 0 f.c!o <14 UrWersiI!ode do Porto ter q<>eiifo<lo. tr&01i<;io, ""..". piooe". m i>icior prolooolo' <Ie om tomt><m _torm, <Ie "" pione... q<>eiifor colo"",.,.., rom ~.tt">:;3es priv-' ~r. octi'lim<!es corm ",to: "po<iem oontor "",,,,[,.00, _ com 0' """t""""

17 Parte 1 No âmbito do acordo de cooperação com o Santander Totta foi decidido investir e em eventos culturais e desportivos a organizar nos próximos 5 anos, com o objectivo de reforçar os laços no seio da Universidade e a marca UPorto na Cidade do Porto e no País. À equipa da UPorto que preparou os dados para decisão pelo Reitor foi pedido que, para cada evento proposto, fosse indicado o orçamento previsto e o número estimado de pessoas que participariam. Na data prevista foram apresentados ao Reitor os resultados do trabalho da equipa. Evento Orçamento previsto Participantes N U.Porto tudo é teatro e A Ciência n U.Porto e Correr pel U.Porto e Com U.Porto amanhecemos com livros e U.Porto por dentro e Festival de Tunas d U.Porto e Depois das seis, U.Porto é Jazz e U.Porto são só Coros e U.Porto nos caminhos do Porto e U.Porto sim U.Porto não e Construa o modelo de programação Linear que permitiria encontrar o melhor conjunto de eventos a organizar, considerando que o Reitor da U.Porto pretendia maximizar o número total de participantes.

18 Parte 2 Depois de analisar a solução encontrada para o investimento a 5 anos, o Reitor pediu à mesma equipa que classificasse os diversos eventos nas categorias: Artes Performativas, Música, Filosofia, Arquitectura, Literatura, Desporto e Ciência, pois pretendia acrescentar ao modelo construído um conjunto de restrições que lhe permitissem garantir que seria organizado pelo menos um evento de cada tipo. De entre os eventos classificados como de Desporto e de Ciência seria necessário apenas garantir que era organizado um. Evento Artes perf. Música Filosofia Arq. Lit. Desporto Ciência N U.Porto tudo é teatro X A Ciência n U.Porto X Correr pel U.Porto X Com U.Porto amanhecemos com livros X U.Porto por dentro X Festival de Tunas d U.Porto X X Depois das seis, U.Porto é Jazz X X U.Porto são só Coros X X U.Porto nos caminhos do Porto X U.Porto sim U.Porto não X

19 Urbanização A empresa Latifúndios e Companhia pretende urbanizar uma das suas grandes propriedades. A propriedade divide-se em 3 zonas, Z 1, Z 2 e Z 3, com características bastante diferentes em termos de relevo, localização e tipo de subsolo, tal como se pode verificar nas fotografias apresentadas a seguir. A urbanização deverá incluir áreas para fins residenciais, R, áreas verdes, V e áreas para equipamentos sociais, E. Pretende-se conhecer as áreas a atribuir a R, V, e E nas zonas Z 1, Z 2 e Z 3. Custos O custo da construção de cada tipo de área (R, V ou E) em cada uma das zonas Z 1, Z 2 ou Z 3, é proporcional à respectiva área de construção, sendo as constantes de proporcionalidade diferentes entre si e conhecidas.

20 Áreas mínimas de construção de A r. É necessário construir pelo menos K hectares Proporcionalidade entre tipos de áreas quociente area E area R É necessário garantir que o seja l e que o quociente area V seja m. area R 1. Formule o problema nas seguintes condições (será um modelo de Programação Linear?): (i) As condições relativas a l e m devem ser satisfeitas em cada zona. (ii) As condições relativas a l e m devem ser satisfeitas para o conjunto de Z 1, Z 2 e Z Qual a relação de ordem existente entre o custo total da solução óptima calculável em (i) e em (ii)? Justifique. 3. Formule o problema como em (ii) mas admitindo que, se as áreas para E forem maiores que p, então as áreas para V serão maiores que q (p e q conhecidos).

21 Modelização de operações lógicas Disjunção (apenas uma de duas restrições está activa) f(x i ) 0 g(x i ) 0 Seja M um número muito grande e δ uma variável binária: f(x i ) δm g(x i ) (1 δ)m

22 Modelização de operações lógicas K, de entre N restrições, são verificadas f 1 (x i ) d 1 f 2 (x i ) d 2. f N (x i ) d N f 1 (x i ) d 1 + δ 1 M f 2 (x i ) d 2 + δ 2 M. f N (x i ) d N + δ N M N i=1 δ i = N K δ i {0, 1} M =

23 Modelização de operações lógicas Funções com apenas N valores possíveis d N (f(x i ) {d 1, d 2,..., d N }) f(x i ) = d 1 ou d 2 ou... ou f(x i ) = N i=1 δ id i N i=1 δ i = 1 δ i {0, 1}

24 Modelização de operações lógicas Implicação de condições se E > P V Q A implicação de condições é modelizada com o auxílio de uma variável de decisão suplementar e de um majorante M para os valores que as condições possam tomar. Tomando então uma variável auxiliar inteira binária δ {0, 1}, a implicação pode ser formulada do seguinte modo: E P δm 0 (1) Q V (1 δ)m 0 (2) δ {0, 1} (3) Para verificarmos que as inequações 1 a 3 modelizam a implicação de condições devemos relembrar que, para que uma implicação a b seja verdadeira, é preciso que se a for verdadeira então b também o seja e que se b for falsa então a também o seja. De facto, se E > P então para que a restrição 1 se verifique é forçoso que δ = 1. Ora δ = 1 transforma 2 em V Q, como se pretendia. Se, por outro lado, V < Q então, para que 2 se verifique é forçoso que δ = 0. Com δ = 0 a restrição 1 fica E P, como se queria demonstrar.

25 Bibliografia Frederick S Hillier, Gerald J Lieberman (2005). Introduction to Operations Research eighth edition, Mc Graw-Hill. Oliveira, José Fernando (1996). Apontamentos de Investigação Operacional 1. FEUP. Winston, Wayne e Albright, Christian (2001). Practical Management Science, Duxbury.