A Observação e a Generalização de Padrões e seus Benefícios aos Alunos do Ensino Médio

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1 A Observação e a Generalização de Padrões e seus Benefícios aos Alunos do Ensino Médio Cristiane Regina de Moura Ferreira Profa. Dra. Silvia Dias Alcântara Machado Introdução Sempre interessados na área da educação, estudamos no antigo 2º grau o Magistério e na graduação Matemática. A partir de nosso trabalho com alunos do Ensino Fundamental desde 1993, pudemos perceber uma grande dificuldade na assimilação e acomodação dos diferentes conceitos matemáticos por parte dos alunos nas diferentes séries. Preocupados em melhorar a compreensão e o desempenho de nossos alunos juntamente com a possibilidade de aperfeiçoarmo-nos na área da educação, em 2003 iniciamos um curso de especialização em Educação Matemática em Taubaté. A partir desse curso, dentre as diversas possibilidades de pesquisa nos interessamos pela Educação Algébrica, mais especificamente nas dificuldades dos alunos em efetuar os cálculos algébricos. Esse assunto nos trouxe grande interesse, devido às diversas dúvidas que os alunos apresentavam nas diferentes etapas da educação desde o ensino fundamental à graduação. Nesse primeiro encontro com a Educação Matemática abordamos em nossa monografia a transição da linguagem aritmética para a linguagem algébrica e suas dificuldades, a partir do tema: Introdução à Álgebra a partir de Generalização de Seqüências de Padrões Geométricos e Fatos Históricos. Neste estudo tivemos a oportunidade de verificar a importância de o aluno dar significado ao seu estudo, a partir de fatos históricos e da construção de uma engenharia didática que os auxiliasse na introdução à Álgebra. Motivados por esse estudo preliminar, resolvemos continuar nossos estudos e entrar no mestrado acadêmico para aprofundar nossos conhecimentos sobre a Educação Matemática. Procuramos nos aprofundar na Educação Algébrica, em um estudo mais minucioso da observação de regularidades e a generalização de padrões por verificar que 1

2 essa estrutura é capaz de auxiliar-nos no processo ensino aprendizagem de diferentes conteúdos da matemática. Justificativa Pesquisas recentes do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica da PUC/SP GPEA como, por exemplo, as de Carvalho (2008, em prelo) e Archilia (2008) apontam em suas pesquisas as dificuldades dos alunos do Ensino Médio na generalização de padrões a partir da observação, quando se trata de PA (Progressão Aritmética). Essas dificuldades apresentadas pelos alunos em descrever as relações funcionais utilizando a linguagem algébrica parece ser somente a ponta do iceberg falta de significado para as expressões, equações e símbolos algébricos. Por traz dessa falta de significado há a falta de compreensão conceitual de toda a estrutura matemática envolvida nesse processo, além de outras variáveis que fazem parte da proficiência matemática. Segundo pesquisadores de Educação Matemática (KILPATRICK, 2001; VALE e PIMENTEL, 2005; entre outros), a observação e generalização de padrões oportunizam o desenvolvimento do pensamento algébrico, sendo uma ferramenta poderosa para a atividade matemática. Documentos importantes, como S-NCTM 1 (2000) dos Estados Unidos, Competências Essenciais (ME-DEB, 2001) de Portugal e Parâmetros Curriculares Nacionais do Brasil (BRASIL, 1998; 1999 e 2006), também fazem referências a generalização e a observação de padrões destacando sua relevância no desenvolvimento do pensamento algébrico. A partir de uma conferência realizada em novembro de 2006, diversos pesquisadores matemáticos e educadores matemáticos desenvolveram diferentes trabalhos para os cinco diferentes níveis de instrução algébrica: Álgebra precoce, Álgebra introdutória, Álgebra intermediária, Álgebra para os futuros professores e Álgebra do inicio da Universidade. Esses trabalhos fazem parte de um relatório divulgado em 2007 denominado como Álgebra: Gateway to a Technological Future 2 (2007). Nesse relatório os pesquisadores procuraram identificar os princípios comuns que poderiam servir de modelos para a melhoria do ensino da álgebra, e apresentaram 1 S-NCTM é os Princípios e Padrões da Matemática escolar elaborado pelo Conselho Nacional dos Professores de Matemática, nos Estados Unidos. 2 Álgebra: Passagem para um futuro tecnológico. 2

3 sugestões para futuras pesquisas, considerando que a educação algébrica tem que ter seu inicio na pré-escola e até alcançar níveis de ensino mais elevados. Como exemplo para as idéias da Álgebra na Álgebra Intermediária, que corresponde ao Ensino Médio do Brasil, McCallum et al (2007, p.22) destacam que abstrair regularidades de cálculos repetidos:... inclui o desenvolvimento de expressões ou equações que representem quantidades ou relações quantitativas pela reflexão sobre o raciocínio numérico em que se dedica a entender a situação e responder questões sobre ela. Este tipo de trabalho deve ser iniciado antes da álgebra. (tradução própria) Fazendo uma leitura detalhada do trecho citado acima, é possível observarmos uma afirmação importante. Para os autores as situações de aprendizagem, no Ensino Médio, devem favorecer a reflexão sobre o raciocínio numérico. Essa reflexão promove o desenvolvimento de expressões ou equações que representam as quantidades ou relações quantitativas inseridas na resolução. Segundo os autores, esse tipo trabalho deve ser iniciado antes da álgebra. Blanton et al (2007) também falam sobre esse trabalho que deve ser iniciado antes da álgebra. Essa fase escolar denominada por eles como Early Álgebra 3 apresenta como aspecto fundamental, o desenvolvimento profundo do entendimento conceitual das operações e suas conexões. Nesse nível de ensino, os alunos devem ser expostos a explorar situações matemáticas que requeiram uma ativa reflexão envolvendo a construção de argumentos, justificativas e explanação das idéias. Assim, a Early Álgebra deve desenvolver nos alunos, segundo Blanton et al (2007), os elementos da proficiência em matemática identificados pelo National Research Council (KILPATRICK et al, 2001) que corresponde a: compreensão conceitual, fluência procedimental, competência estratégica, raciocínio adaptativo e disposição produtiva. Diferentes pesquisadores em educação matemática (VALE E PIMENTEL, 2005; VALE ET AL, 2005; STENN, 1990; RESENDE, 2007) também fazem referência à idéia de abstrair regularidades através da observação de padrões. Vale e Pimentel (2005, p.14), acreditam que o uso de padrões é uma componente poderosa da atividade matemática, uma vez que a sua procura é indispensável para conjecturar e generalizar. Nessa mesma pesquisa, as autoras, descrevem que: 3 Álgebra precoce ou álgebra inicial. 3

4 A procura e identificação de padrões utilizam e enfatizam a exploração, investigação, conjecturas e prova, desafiando os alunos a recorrer as suas destrezas de pensamento de ordem superior. (2005, p.15) Segundo Vale e Pimentel (2005), o trabalho com padrões pode auxiliar os alunos a dar significado à introdução de conceitos algébricos elementares, mas elas advertem que é preciso haver um trabalho prévio de reconhecimento de padrões de diversas naturezas. O objetivo desse trabalho, segundo essas autoras, é promover a resolução de problemas que envolvem a descoberta e a generalização, bem como a observação de regularidades, propriedades e relações numéricas com o objetivo de facilitar o progresso dos alunos no estudo da álgebra. aponta que: Stenn (1990, p. 8) também faz referência a variedades de padrões na matemática e O que os seres humanos fazem com a linguagem da matemática é descrever padrões. Matemática é uma ciência exploratória que visa compreender todo o tipo de padrão - padrões que ocorrem na natureza, padrões inventados pela mente humana, e mesmo padrões criados por outros padrões. Para produzir matematicamente, as crianças devem ser expostas a uma rica variedade de padrões adequada às suas próprias vidas através da qual eles possam ver: variedade, regularidade e interconexões. (Tradução própria) Alguns exemplos relacionados a esses diferentes tipos de padrões que as crianças devem ser expostas, descritas por Stenn (1990) podemos mencionar: Padrões que ocorrem na natureza: dia-noite, estações do ano, épocas de chuva ou seca nas mais diversas regioes, padrões das mares, asas das borboletas, células de uma colmeia, entre outras. Padrões inventados pela mente humana: azulejos, formas geométricas, sistemas numéricos, jogos, desenhos, etc Padrões criados por outros padrões: unidades de medidas (anos-luz-metros, polegada-centímetro), etc. Um trabalho prévio utilizando esses diferentes tipos de padrões (que ocorrem na natureza ou inventados pelos homens) proporciona o desenvolvimento dos alunos a partir da observação das regularidades, propriedades e relações, promovendo a descoberta e a generalização, bem como a interconexão existente entre os padrões. Vale et al (2005, p.5) também constataram em suas pesquisas que: Quando apelamos aos padrões no ensino da matemática é normalmente porque queremos ajudar os alunos a aprender uma matemática significativa e/ou a envolver-se na sua aprendizagem facultando-lhes um ambiente de aprendizagem que tenha algo a ver com a sua realidade e experiências. 4

5 Esses autores sugerem que o estudo de padrões apóia a aprendizagem dos alunos propiciando-os a descobrirem relações, encontrarem conexões, fazerem generalizações e previsões. Resende (2007) em sua tese de doutorado, também faz alusão à exploração de padrões e de relações numéricas, entre outros assuntos, e afirma que esse tipo de atividade tem como um campo natural a Teoria Elementar dos Números. Segundo a autora esse tipo de atividade propicia a investigação matemática e oportuniza o desenvolvimento das habilidades de conjecturar, generalizar, testar e validar suas conjecturas. Os conteúdos essenciais abordados na Teoria Elementar dos Números, segundo Resende (2007, p.228) são constituídos por: Números Inteiros: evolução histórica e epistemológica do conceito dos números naturais, operações, algoritmos e propriedades, definição por recorrência (potências nos números naturais, seqüências, progressões aritméticas e geométricas), princípio da boa ordem e principio da indução finita; Divisibilidade: algoritmo da divisão, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, algoritmo de Euclides, números primos, critérios de divisibilidade; Teorema Fundamental da Aritmética; Introdução à congruência de módulo m: definição, propriedades e algumas aplicações; Equações diofantinas lineares. Citando os diferentes conteúdos que podem ser envolvidos na abstração de regularidades, podemos destacar: números primos, decomposição em fatores primos, fatoração, reconhecimento de que os símbolos representam números e cálculos com números, igualdade, pensamento aditivo onde as estruturas aditivas e multiplicativas são utilizadas para generalizar, antecipação de resultados de cálculos sem fazê-los utilizando as invariantes multiplicativas (essência de ser múltiplo) e as invariantes aditivas (constante da diferença), entre outros. Assim podemos concluir que a idéia de abstrair regularidades contempla vários conteúdos relacionados acima por Resende (2007) que fazem parte da Teoria Elementar dos Números. Como podemos observar nas diversas informações descritas acima, presentes nos documentos importantes de diferentes países, nas pesquisas realizadas por pesquisadores da educação matemática e por pesquisadores matemáticos, todos sugestionam, que a observação e a generalização de padrões oportunizam o desenvolvimento do pensamento algébrico. De acordo com as pesquisas de Carvalho (2008 em prelo) e Archilia (2008) esse tipo trabalho envolvendo a generalização de padrões não está sendo realizada durante a escolaridade, pois alunos do Ensino Médio continuam a apresentar dificuldades no trato com PA. Considerando esses dados apresentados, diversos questionamentos surgem, com relação ao desenvolvimento do pensamento algébrico e a generalização de padrões: 5

6 - Os professores são preparados para utilizar a generalização de padrões e permitir aos alunos uma apreensão significativa das idéias da álgebra? - Como os professores consideram a generalização de padrões e como eles abordam esse assunto? - Os alunos do Ensino Médio, podem se beneficiar da generalização de padrões para o desenvolvimento do pensamento algébrico? Questão de Pesquisa Dentro dos questionamentos que surgiram após a análise dos dados descritos, iremos focar nossa atenção, tentando responder a última questão: Os alunos do Ensino Médio, podem se beneficiar da generalização de padrões para o desenvolvimento do pensamento algébrico? Objetivo geral Com a intenção de favorecer o desenvolvimento do pensamento algébrico a partir da observação e generalização de padrões, sugestionamos que: 1. Os alunos têm que ter a experiência de generalizar simbolicamente, uma vez que a generalização local já foi constatada pelas pesquisas citadas; 2. É necessário que as atividades de observação e generalização de padrões permitam que os alunos vivenciem dificuldades para a sua conclusão; 3. É necessário que os professores introduzam uma simbologia como uma alternativa de solução para as dificuldades encontradas pelos alunos; 4. É importante dar aos alunos a oportunidade de generalizarem, criando fórmulas que expressem as seqüências observadas; 5. Ao criar as fórmulas, os alunos têm a possibilidade de compreender e dar significado as equações, expressões e símbolos algébricos. Objetivo específico Para atingirmos nosso objetivo geral, pretendemos desenvolver uma seqüência de atividades envolvendo observação e generalização de padrões, baseada na Engenharia Didática. Essas atividades serão aplicadas para alunos da 8ª série do Ensino Fundamental de uma Escola Municipal. Pretendemos fazer a aplicação desse instrumento de ensino em 6

7 quatro sessões de cinqüenta minutos e que entre cada sessão haja um intervalo de no máximo quinze dias, necessários para as reconstruções das atividades se houver necessidade. Acreditamos que essa população satisfaz o interesse de nossa pesquisa uma vez que eles estarão no Ensino Médio no próximo ano. Base Teórica Metodológica Em nossa pesquisa utilizaremos uma metodologia de pesquisa chamada Engenharia Didática que, segundo Artigue, apud Machado (2002, p.199), se caracteriza como um esquema experimental baseado sobre realizações didáticas em sala de aula, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise de seqüências de ensino. Segundo Almouloud (2007, p.171), a Engenharia Didática também apresenta características de pesquisa experimental pelo registro em que se situa e pelos modos de validação que lhe são associados: a comparação entre a análise a priori e a análise a posteriori. O processo experimental da engenharia didática, segundo Machado (2002), é composto por quatro fases: Primeira fase: consiste nas análises preliminares que são feitas através de considerações sobre o quadro teórico didático geral e sobre os conhecimentos didáticos já adquiridos sobre a generalização de padrões no desenvolvimento do pensamento algébrico. Trata sobre a análise da epistemologia desses conteúdos, do ensino atual e seus efeitos, das dificuldades e dos obstáculos que contribuem para a evolução dos alunos, dos objetivos específicos da pesquisa, dando subsídios para o desenvolvimento da análise a priori; Segunda fase: consiste na concepção e análise a priori das situações didáticas, e na preparação do esquema experimental para a ação em classe. É nessa fase que o pesquisador, com base nas análises preliminares escolhe certo número de variáveis pertinentes ao sistema sobre o qual está pesquisando, sendo retomadas e aprofundadas durante o desenvolvimento da pesquisa; Terceira fase: consiste na experimentação, execução dos processos desenvolvidos nas fases anteriores. É a realização da engenharia didática em uma determinada população de alunos, tendo início no momento em que se dá o contato 7

8 pesquisador/professor/observador (es) com os alunos, objetos da investigação. Nessa fase devem-se respeitar ao máximo as escolhas feitas nas análises a priori, para evitar o fracasso da engenharia; Quarta fase: consiste na análise a posteriori e validação da engenharia. Apóia-se sobre todos os dados colhidos durante a experimentação e nas produções dos alunos em classe ou não, para a compreensão e a interpretação dos resultados da experimentação. Nessa fase ocorre um feedback para o desenvolvimento de uma nova analise a priori para uma nova experimentação, uma atualização dos processos elaborados. Segundo Machado (2002), análise preliminar das situações didáticas serve para orientar toda a engenharia didática quanto ao quadro teórico didático utilizado e ao objeto matemático que será abordado nesse estudo: a generalização de padrões no desenvolvimento do pensamento algébrico. A seqüência de padrão que pode ser generalizada é um tipo de seqüência bastante presente em nosso cotidiano e aplica-se na descrição de fenômenos científicos fornecendo a base matemática para compreender assuntos abordados no Ensino Médio nas diferentes disciplinas: Biologia, Física ou Química. A análise a priori das situações didáticas, segundo Garnier et al (1996), serve para orientar a organização de modelos de situações didáticas, identificando os possíveis elementos-chave que, o pesquisador acredita ser capaz de tornar mais esclarecedora a análise da elaboração dos conceitos envolvidos na generalização de padrões. Com esse objetivo a atingir, a análise evidencia um ponto de vista epistemológico que apresenta dupla função: por em destaque as etapas importantes e as dificuldades que marcaram a elaboração do conceito, e serve também para identificar os eventuais pontos de ruptura no desenvolvimento desse mesmo conhecimento. Na organização da atividade coletiva (esquema experimental), o pesquisador deve levar em conta, o processo de aquisição do conhecimento, que de acordo com a teoria de Piaget acontece na apropriação do meio enquanto ser ativo e os conhecimentos científicos visados. Na concepção das situações didáticas, diversos conceitos que tem suas bases na teoria piagetiana, devem ser levados em consideração na sua elaboração. De acordo Garnier et al (1996), tais conceitos situam-se em uma perspectiva construtivista social, como: 8

9 O desenvolvimento do aluno se dá através de sua imersão em um ambiente cultural (social) e da apropriação que ele faz desse meio; O social encontra-se vinculado à atividade, onde o aluno só pode apropriar-se do ambiente cultural enquanto ser ativo; A atividade deve ter em sua estrutura a manifestação de uma necessidade cognitiva a ser atingida; onde o aluno deverá exercer diferentes ações e operações rumo ao seu objetivo concreto; A atividade deve constituir a sede de processos psíquicos que se formam e reconstroem-se no decorrer da atividade, levando o aluno a adquirir a habilidade de aprender a aprender; O objetivo do professor é levar o aluno a dar forma ao modo teórico através de um problema que pode ser resolvido em uma situação de aprendizagem; O problema deve corresponder a uma classe de problemas, organizados de acordo com a análise do conceito teórico em questão; deve apresentar os conceitos em contextos significativos, articulando-os sobre as concepções desenvolvidas pelos alunos, em continuidade, ou com ruptura em relação a elas. Uma reflexão teórica deve fundamentar a situação didática, onde a análise deve tratar de estudar e diferenciar as relações essenciais dos objetos, a partir da reconstrução das tarefas e elaboração dos modelos. O planejamento deve abordar a construção e a investigação das possíveis ações evidenciando a evolução dos modelos mentais a partir do problema proposto. Tanto a análise quanto o planejamento devem ser as bases essenciais das ações dos alunos na resolução de uma classe de problemas. O papel da ação deve ter destaque dentro do desenvolvimento cognitivo, onde o conhecimento está intimamente ligado à ação e a experiência do aluno, na sua atividade sobre o objeto. A atividade deve apresentar a idéia de continuidade/descontinuidade que caracteriza o processo do desenvolvimento, proporcionando a passagem de um estado de desequilíbrio para um estado de equilíbrio. O processo de aprendizagem deve ser visto como adaptações que o aluno faz em seus esquemas, para neutralizar as perturbações que surgem através das diversas interações. Nesse processo as concepções são constantemente reajustadas, ou rejeitadas, promovendo a evolução das mesmas; 9

10 A intersecção das diversas interações sociais é considerada como papel determinante das significações na construção do conhecimento pelo aluno; A atividade deve criar momentos de conflito e interações sócio-cognitivas, onde acontecerão as mudanças do individuo. Na fase de experimentação, de acordo com Garnier et al (1996) a ênfase do processo de aprendizagem é dada ao como, ao processo mais do que ao resultado obtido. Essa fase põe em evidência a reflexão e a ação do aluno sobre a atividade, onde ele poderá explicitar diferentes concepções em torno do conhecimento científico. O processo de aprendizagem deve ser concebido como um teste das concepções dos alunos, que poderão ser ajustadas ou rejeitadas diante da nova situação, provocando assim, a evolução das mesmas. O erro é considerado como parte do próprio processo de aprendizagem, sendo permitido, desejável e até mesmo provocado. Segundo Bachelard apud Garnier et al (1996, p.210) o desenvolvimento dos conhecimentos científicos se caracterizam em termos de erros corrigidos, de obstáculos vencidos. Dessa forma, o erro na situação didática tem uma função positiva na origem do conhecimento científico. Na fase da análise a posteriori, de acordo com Garnier et al (1996), a modelização do aluno constitui o centro de interesses. Ela permite verificar quais modelizações (desenhos, esquemas, diagramas, etc.) aparecem como ferramentas que servem de suporte para a construção dos conhecimentos pelo aluno. A partir desta análise é possível interpretar: As concepções e modelos implícitos que são utilizados durante a resolução pelos alunos, Verificar como às interações favorecem a reconstrução desses modelos elaborados, Como esses modelos influenciam nos progressos individuais, Como esses instrumentos cognitivos são utilizados pelos alunos em diversas situações, Discutir os principais resultados e as questões levantadas pela pesquisa, que podem ser objeto de estudo de outras pesquisas, e Destacar a importância dos resultados para as diferentes áreas envolvidas: educação matemática, instituição escolar, alunos, formação inicial e continuada de professores. 10

11 Referências ARCHILIA, S. Construção do termo geral da progressão aritmética pela observação e generalização de padrões. Dissertação (Mestrado) PUC-SP: São Paulo, BLANTON et al. Early Algebra In: Katz, V. J. (Edited) Gateway to a Technological Future The Mathematical Association of America, Disponível em: < Acesso em: 07/02/2008. BRASIL, Ministerio da Educação (MEC), Secretaria de Educação Fundamental. PCN: Matematica. Brasília: MEC/SEF, 1998., Ministério da Educação (MEC), Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEMTEC, 1999., Ministério da Educação (MEC), Secretaria de Educação Básica, Departamento de Políticas do Ensino Médio. Orientações Curriculares do Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/SEB, CARVALHO, C.A.S. O aluno do Ensino Médio e a criação de uma fórmula para o termo geral da Progressão Aritmética. Dissertação (Mestrado) PUC-SP: São Paulo, GARNIER, C. et al. Trad. Gruman, E. Após Vygotsky e Piaget: perspectiva social e construtivista. Escola russa e ocidental. Porto Alegre: Artes Médicas, KILPATRICK, J; SWAFFORD, J, & FINDELL, B. (Ed.) Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academies Press, Disponível em: < Acesso em: 21/06/2008. MACHADO, S. D. A. et al. Educação Matemática: uma introdução. 2. a ed São Paulo: EDUC, MCCALLUM et al. Intermediate Algebra In: Katz, V. J. (Edited) Gateway to a Technological Future the Mathematical Association of America, Disponível em: 11

12 < Acesso em: 07/02/2008. ME-DES. Currículo nacional do ensino básico: Competências Essenciais. Lisboa: Ministério da Educação, Departamento de Educação Básica. Disponível em: < Acesso em: 06/05/2007. RESENDE, M.R. Re-significando a disciplina Teoria dos Números na formação do professor de Matematica na Licenciatura. Tese (Doutorado em Educação Matemática), PUC-SP. Sao Paulo, S-NCTM Principle and Standards for School Mathematics.Algebra Standard for Grade Disponível em < Acesso em 29/03/2008. STEEN, L. A. Patterns. In: Steen, L. A. (Editor) On the Shoulders of Gigants: New Approaches to Numerancy. Washington: National Academy Press, Disponível em: < Acesso em: 24/08/2007 VALE, I.; PALHARES, P.; CABRITA, I.; BORRALHO,A. Os padrões no Ensino e Aprendizagem da Álgebra. Actas do XIV Encontro de Investigação em Educação Matemática da SPCE, Disponível em: < Acesso em: 24/02/2008. VALE, I.; PIMENTEL, T. Padrões: um tema transversal no currículo. Revista Educação e Matemática, Portugal, nº 85, p Lisboa: APM, nov/dez,