ANÁLISE COMPUTACIONAL DAS CORRENTES DE TINKER. Isabela Ramos Teixeira Zão. Engenharia Mecânica.

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1 ANÁLISE COMPUTACIONAL DAS CORRENTES DE TINKER Isabela Ramos Teixeira Zão Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica. Orientador: Nísio de Carvalho Lobo Brum Rio de Janeiro Outubro de 2014

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3 Zão, Isabela Ramos Teixeira Análise Computacional das Correntes de Tinker/Isabela Ramos Teixeira Zão. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, XIII, 90 p.: il.; 29,7cm. Orientador: Nísio de Carvalho Lobo Brum Dissertação (mestrado) UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Mecânica, Referências Bibliográficas: p Trocadores de calor. 2. Simulação em volumes finitos. 3. Escoamento no lado do casco. I. Brum, Nísio de Carvalho Lobo. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Título. iii

4 iv Aos meus filhos

5 Agradecimentos A Deus pois sem Ele nada disso seria possível e também a intercessão da Virgem Maria, Mãe que nunca me abandona. Agradeço a minha família pelo apoio, pelas orações e por ter tolerado minha ausência. Agradeço especialmente ao meu marido Leonardo, que esteve ao meu lado durante todas as crises e me apoiou todo o tempo. Ao meu orientador Nísio pela paciência, orientação e disponibilidade. A Petrobras por ter concedido a liberação para realizar este mestrado e ao meu chefe e aos colegas de trabalho pelo apoio. A minha amiga de mestrado Diana, que me ajudou muito mais do que ela pode imaginar. v

6 Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) ANÁLISE COMPUTACIONAL DAS CORRENTES DE TINKER Isabela Ramos Teixeira Zão Outubro/2014 Orientador: Nísio de Carvalho Lobo Brum Programa: Engenharia Mecânica Este trabalho apresenta um estudo numérico sobre a influência das correntes de Tinker no escoamento dentro do casco de um permutador de calor casco e tubos. Em especial, é analisado o efeito da corrente de vazamento entre os tubos e chicana, denominada corrente A. Inicialmente, destaca-se a importância da análise computacional do escoamento no lado do casco do equipamento estudado. Em seguida, é apresentado o problema do escoamento dentro do casco do permutador de calor casco e tubo com suas equações governantes. E também sua discretização pelo Método dos Volumes Finitos, modelando o feixe de tubos como um meio poroso, prática comum na literatura, é detalhada. É apresentada então a descrição da modelagem numérica da corrente de vazamento entre os tubos e a chicana. Finalmente são apresentados os resultados obtidos com as principais observações. Ao final da dissertação são apresentadas as principais conclusões do trabalho e propostas de trabalhos futuros. vi

7 Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) COMPUTATIONAL ANALYSIS OF TINKER S STREAMS Isabela Ramos Teixeira Zão October/2014 Advisor: Nísio de Carvalho Lobo Brum Department: Mechanical Engineering This work presents a numerical study about the Tinker s streams influence on the shell side flow of a shell and tube heat exchanger. Particularly, the tube to baffle leakage stream, named stream A, effects are evaluated. First the importance of computational analysis of shell side flow is emphasized. Then the problem of shell side flow of a shell and tube heat exchanger is explained and its governing equations, presented. Also, the problem discretization with Finite Volume Method, modelling the tube bundle as a porous media, a common practice in literature, is detailed. Then, the numerical modelling of the tube to baffle leakage stream is described. Finally, the achieved results are shown, with main observations. By the end of this work the main conclusions and some future works proposals are exhibited. vii

8 Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas x xiii 1 Introdução Motivação Objetivos Revisão Bibliográfica Métodos experimentais As Correlações O Método das Correntes Métodos numéricos Avaliação do comportamento local do escoamento no casco com auxílio de CFD Feixe de tubos como meio poroso Modelagem Matemática do Problema Premissas Teorema da média volumétrica ou espacial Domínio do casco como meio poroso Equação da continuidade Equação de conservação de quantidade de movimento Interação fluido-estrutura Equações governantes do problema Modelagem numérico-computacional Método de Volumes Finitos Sobre o método Função de interpolação espacial Integração das equações de conservação Determinação do campo de velocidade viii

9 4.2 Modelo poroso Feixe de tubos Equações de conservação e Condições de contorno Modelagem do vazamento entre os tubos e a chicana Estudo de convergência de malha Resultados e Discussão Validação da simulação Análise de convergência de malha Sensibilidade do modelo Influência da corrente A Influência na perda de carga Influência no escoamento Conclusões Contribuições desta dissertação Sugestões de trabalhos futuros A Resultados de escoamento com vazão de 5,96 kg/s 73 A.1 Resultados considerando escoamento sem a corrente A A.2 Resultados considerando escoamento com a corrente A B Resultados de escoamento com vazão de 3,77 kg/s 79 B.1 Resultados considerando escoamento sem a corrente A B.2 Resultados considerando escoamento com a corrente A Referências Bibliográficas 85 ix

10 Lista de Figuras 1.1 Zonas de recirculação dentro do permutador C&T (extraída de Thulukkanam (2013)) Feixe de tubos com incrustação externa Permutador casco e tubos Corrente de vazamento através da folga entre os tubos e a chicana (extraído de Thome (2004)) Distribuição das correntes dentro do casco (adaptada de Hewitt (1994)) Circuito hidráulico equivalente com resistências ao escoamento Mapa das correntes de Tinker (extraído de Thome (2004)) Corrente de Bypass entre o feixe e o casco (extraído de Thome (2004)) Típicos arranjos do feixe de tubos do permutador Thome (2004)) Permutador casco e tubo com chicanas representadas Superfície S associada a um ponto z qualquer do meio poroso (reproduzido de Campos (2007)) Feixe de tubos do permutador de Bell Tarefa do método numérico (extraído de Maliska (2004)) Volume elementar com fluxo de massa através das faces (extraído de Maliska (2004)) Corpo unidimensional sujeito a condução de calor transiente (adaptado de Maliska (2004)) Volume de controle tridimensional com pontos vizinhos (extraído de Veersteg & Malalasekera (2007)) Arranjo co-localizado (extraído de Maliska (2004)) Arranjo defasado para problemas bidimensionais (extraído de Veersteg & Malalasekera (2007)) Distribuição das chicanas no permutador discretizado pela malha de 8 x 16 x Volumes equivalentes ao casco do permutador na malha de 8 x 16 x x

11 4.9 Condições de contorno aplicadas ao modelo (extraído de Campos (2007)) Permutador utilizado no experimento Bell-Delaware (desenho gerado a partir do programa HTRI) Espelho do permutador de Bell gerando com o programa comercial HTRI Malha 6 x 12 x Malha 12 x 24 x Malha 24 x 48 x Painel de opções do programa comercial HTRI Escoamento modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 9,48 kg/s Escoamento modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 9,48 kg/s Escoamento modelado com malha 24 x 48 x vazão 9,48 kg/s Ponto analisado no estudo de convergência de malha - vista em perspectiva Ponto analisado no estudo de convergência de malha - vista frontal Folga entre os tubos e os furos da chicana Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 9,48 kg/s Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 9,48 kg/s Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 9,48 kg/s Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 9,48 kg/s Escoamento com corrente A - vazão 9,48 kg/s - plano em x=0, Escoamento com corrente A - vazão 9,48 kg/s - plano em x=0, Escoamento com corrente A - vazão 9,48 kg/s - plano em x=0, Detalhe do escoamento com corrente A - vazão 9,48 kg/s - plano em x=0, Detalhe do escoamento sem vazamentos - vazão 9,48 kg/s - plano em x=0, A.1 Escoamento modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 5,96 kg/s A.2 Escoamento modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 5,96 kg/s A.3 Escoamento modelado com malha 24 x 48 x vazão 5,96 kg/s.. 74 A.4 Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 5,96 kg/s xi

12 A.5 Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 5,96 kg/s A.6 Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 5,96 kg/s A.7 Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 5,96 kg/s A.8 Escoamento com a corrente A modelado com malha 24 x 48 x vazão 5,96 kg/s A.9 Escoamento com a corrente A modelado com malha 24 x 48 x vazão 5,96 kg/s B.1 Escoamento modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 3,77 kg/s B.2 Escoamento modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 3,77 kg/s B.3 Escoamento modelado com malha 24 x 48 x vazão 3,77 kg/s.. 80 B.4 Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 3,77 kg/s B.5 Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 3,77 kg/s B.6 Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 3,77 kg/s B.7 Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 3,77 kg/s B.8 Escoamento com a corrente A modelado com malha 24 x 48 x vazão 3,77 kg/s B.9 Escoamento com a corrente A modelado com malha 24 x 48 x vazão 3,77 kg/s xii

13 Lista de Tabelas 2.1 Correntes de fluxo no casco do permutador casco e tubos Características do permutador de calor 10C-TL5-1 de Bell (1963), usado das simulações Malhas utilizadas Perda de carga ( P) numérica x HTRI, em kpa Erro relativo entre perda de carga ( P) numérica x HTRI Parâmetros de cada malha usado no método GCI Análise de convergência numérica Equipamento padrão - testes de sensibilidade Comportamento de um trocador de calor real Variação da perda de carga ( P) encontrada nos testes de sensibilidade - malha 8 x 16 x Quantidade de volumes por chicana que simulam a folga entre os tubos e a chicana Perda de carga ( P) numérica x HTRI, em kpa Erro relativo entre perda de carga ( P) numérica x HTRI xiii

14 Capítulo 1 Introdução 1.1 Motivação Permutadores ou trocadores de calor são equipamentos essenciais na indústria de processos. Dentre os tipos de permutadores presentes em plantas de processo, destacam-se os tubulares, de placas e de circuito impresso. Os permutadores tubulares se dividem em duplo tubo, multitubulares e casco e tubos. Na indústria o modelo mais utilizado é o casco e tubos, principalmente por sua maior robustez mecânica e flexibilidade construtiva, que permite a melhor adequação de área de troca térmica ao serviço especificado. O projeto de qualquer trocador de calor deve encontrar o equilíbrio entre projeto térmico e hidráulico. Assim é possível obter um equipamento de bom desempenho e que atenda ao serviço sem onerar o sistema de bombeamento da planta industrial. Tal configuração é obtida através de sucessivas iterações e este processo pode ser feito de forma analítica ou com o auxilio de programas comerciais de projeto. O papel que a conservação de energia ocupa no projeto e na operação de plantas industriais é cada vez maior. Isso demanda que o cálculo da perda de carga dos equipamentos seja cada vez mais preciso. Uma previsão adequada da perda de carga gera economia ao reduzir custo de bombeamento e custo do equipamento em si, pois um trocador dimensionado para utilizar a máxima perda de carga disponível possui dimensões menores que o mesmo equipamento, quando projetado com perda de carga menor. Incrustação, corrosão localizada, hot spots decorrentes de zonas de estagnação e vibração dos tubos são problemas típicos nos trocadores casco e tubos como apresentado em Theodossiou et al (1988) e, salvo algumas exceções, estes são resultado de má distribuição do fluido no casco do permutador. Os programas comerciais disponíveis para dimensionamento termo-hidráulico dos trocadores casco e tubos são suficientemente precisos para avaliações globais dos coeficientes de troca térmica e das perdas de carga, porém não existe uma ferramenta comercial específica dis- 1

15 Figura 1.1: Zonas de recirculação dentro do permutador C&T (extraída de Thulukkanam (2013)) ponível para análise localizada do escoamento dentro do casco de um equipamento de porte industrial. O conhecimento do comportamento local do fluxo no casco é útil para identificar regiões estagnadas propensas a depósitos ou a corrosão, ou regiões de velocidade elevada que podem provocar vibração nos tubos, danosas aos mesmos. É possível obter informações localizadas sobre o escoamento e a perda de carga no lado do casco de um permutador casco e tubos através da realização de experimentos, implementando técnicas de visualização, ou modelando numericamente o equipamento com os seus internos, fazendo uso de algumas técnicas de simplificação, como serão apresentadas posteriormente. Conforme descrito em Pettigrew (1985), são considerados no dimensionamento de um trocador de calor; seu desempenho, confiabilidade operacional, baixa necessidade de manutenção e troca térmica otimizada, alinhado ao menor custo possível. As consequências de um mau dimensionamento de um permutador vão além do custo de manutenção ou de fabricação de um novo equipamento. Os impactos no funcionamento da planta de processo e as consequentes perdas de produção correspondem a valores muito maiores do que os custos relacionados a um projeto otimizado e a aquisição de um trocador bem especificado. Taborek et al. (1972) ressaltaram que a incrustação representa o maior custo operacional das indústrias de processo. O conhecimento das características de escoamento no casco é essencial para o controle da incrustação. Mesmo hoje, com o avanço das metodologias de cálculo e das tecnologias para reduzir o depósito no equipamento durante sua operação, a incrustação continua sendo uma grande preocupação no projeto dos permutadores de calor. Dentre os fatores que contribuem para a formação de depósitos dentro do equipamento, destacam-se o tempo de operação, a composição do fluido e suas características do escoamento. Baixas velocidades de escoamento, seja no casco ou nos tubos, favorecem a deposição na superfície dos tubos, dificultando a troca térmica. 2

16 Figura 1.2: Feixe de tubos com incrustação externa Um dos parâmetros avaliados pelos programas comerciais é a velocidade média do fluxo no casco. Por mais que estes programas indiquem velocidades médias consideradas adequadas, a geometria interna do casco junto com as propriedades do fluido podem levar ao surgimento de zonas de recirculação, representadas na Figura 1.1. Nestas regiões, o fluido circula com velocidades muito baixas, favorecendo a deposição. Além de prejudicar a troca de calor, a ocorrência de depósito na zonas de recirculação pode levar a degradação térmica, alterando a qualidade do fluido no casco. A Figura 1.2 mostra os efeitos de um fluido propenso a incrustação escoando com baixa velocidade dentro do casco de um permutador de calor. Em aplicações com fluidos corrosivos ou de viscosidade muito sensível à temperatura, o controle da formação de zonas de recirculação torna-se essencial. No caso de fluidos corrosivos pode ocorrer corrosão localizada nas regiões de baixa velocidade. Já a variação de viscosidade ao longo do trocador provoca uma variação da velocidade de escoamento no casco, gerando má distribuição de fluxo, que pode até danificar o equipamento. A água é um exemplo de fluido de viscosidade sensível à temperatura, sabe-se que em um intervalo de, por exemplo, 80 C a viscosidade da água apresenta uma variação de 65%. Justificado por sua vasta utilização e sua importância nos processos industriais, as metodologias de projeto do permutador casco e tubos devem ser constantemente aprimoradas (1999). O método mais eficaz para conhecer e avaliar localmente o 3

17 Figura 1.3: Permutador casco e tubos fluxo no casco é pela realização de experimentos e a aplicabilidade dos resultados fica restrita ao modelo estudado. Além disso, a instrumentação necessária e aplicação correta de técnicas de visualização tornam esta opção custosa e complexa. A alternativa é simular numericamente o escoamento no casco do permutador. As ferramentas disponíveis atualmente permitem a simulação tridimensional dos equipamentos com representação dos efeitos causados por seus internos. Esta opção permite obter informações suficientes sobre o comportamento localizado do fluxo no casco. Eifler & Nijsing (1967), motivados pela necessidade da indústria nuclear em conhecer os detalhes do escoamento interno ao casco dos permutadores casco e tubos utilizados, realizaram um estudo experimental para determinar a distribuição de velocidades e as resistências ao escoamento de um fluxo paralelo a um feixe de tirantes com arranjo triangular. Foram investigadas a sensibilidade destes parâmetros ao espaçamento entre as chicanas e ao número de Reynolds, o que validou o modelo teórico proposto pelos autores anteriormente. 1.2 Objetivos A proposta desta dissertação é modelar o escoamento dentro do casco de um trocador Casco e Tubos como o representado na Figura 1.3, através da simulação 4

18 Figura 1.4: Corrente de vazamento através da folga entre os tubos e a chicana (extraído de Thome (2004)) computacional utilizando o Método de Volumes Finitos. Além de considerar o efeito dos tubos e das chicanas no escoamento, foram incluídos no modelo o vazamento através da folga entre os tubos e a chicana, representada na figura 1.4. Foi avaliado o impacto desta corrente de vazamento na perda de carga e verificado como esta corrente modifica o escoamento no lado do casco do permutador. Não foi encontrado na literatura estudo sobre os efeitos locais das correntes de vazamento no escoamento do casco e as abordagem sobre os efeitos destas correntes sobre a perda de carga se limitam a avaliação global do escoamento, como a realizadas por programas comerciais de projeto termo-hidráulico de permutadores casco e tubos, como HTRI e Aspentech EDR. Daí veio então a motivação de modelar o escoamento dentro do casco de um permutador de calor casco e tubos e avaliar os efeitos das correntes de vazamento e de bypass do feixe. O foco desta foi estudar o efeito da corrente de vazamento através da folga entre os furos das chicanas e os tubos do feixe no escoamento do lado do casco, tanto na perda de carga como no comportamento local do escoamento. Os efeitos da corrente A na troca térmica do equipamento não foram abordados nesta dissertação. Os resultados obtidos nas simulações foram comparados com as estimativas fornecidas pelo programa comercial de projeto termo-hidráulico HTRI Xist 5.0, do qual a universidade dispõe de licença acadêmica. Para esta simulação foi desenvolvido um programa em Fortran baseado no programa desenvolvido por (2007), utilizando o Microsoft Visual Studio 2010 e o compilador Intel Fortran

19 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica Devido à sua estrutura interna, o escoamento do fluido dentro do casco de um permutador casco e tubos não é algo simples de ser avaliado como o escoamento interno aos tubos. A metodologia de cálculo do coeficiente de troca térmica e da perda de carga tem evoluído ao longo dos anos, a partir da década de Li & Kottke (1997) destacam a complexidade do escoamento no casco do trocador e os numerosos parâmetros geométricos deste equipamento como as principais razões para que se tenha pouco conhecimento útil para o projeto do casco do permutador. Daí os diversos esforços em obter um modelo numérico ou experimental que permita conhecer melhor as especificidades deste escoamento. O conhecimento detalhado do escoamento no casco pode ser obtido através da realização de experimentos como fizeram Bell (1963), Emerson (1963) e Li & Kottke (1997) ou através de correlações também baseadas em experimentos, como os propostos por Kern (1950), Tinker (1958), Palen & Taborek (1969) e Wills & Johnson (1984). No entanto, estes métodos não permitem estudar o escoamento de forma localizada, fornecendo somente a perda de carga e o coeficiente de troca térmica globais. A modelagem numérica das equações que governam o escoamento é a alternativa viável para realizar o estudo detalhado do fluxo no casco. Experimentos que avaliem condições locais do escoamento são custosos, principalmente quando deseja-se estudar a sensibilidade paramétrica do modelo, e os métodos de visualização dificilmente são eficazes. Por isso, o uso de ferramentas computacionais para diagnosticar e corrigir problemas em trocadores de calor sempre foi recomendado, conforme destacado por Pettigrew et al. (1985). 2.1 Métodos experimentais Li & Kottke (1997), (1998), (1998) e (1999) realizaram diversos experimentos para conhecer melhor o comportamento local do escoamento no casco dos permutadores casco e tubos. Eles conduziram uma análise da troca térmica e de massa localizada 6

20 em permutadores com chicanas do tipo disco e rosca(1999) e estudos de sensibilidade da perda de carga e do coeficiente de troca térmica local ao espaçamento entre as chicanas (1998). Os autores também avaliaram experimentalmente o efeito da correntedevazamento entreocasco eachicana(1998)edovazamentoentreostubos e as chicanas na transferência de calor e de massas locais (1997). A visualização dos vazamentos foi possível graças a uma técnica utilizada de medição de transferência de massa baseada em reações químicas e de absorção. Pekdemir et al (1993) realizaram um estudo experimental da distribuição da pressão e das velocidades no feixe de um trocador casco e tubos com casco tipo TEMA E (2007). As medições foram feitas dentro de um trecho do trocador delimitado por duas chicanas consecutivas. Naquele estudo, foram coletadas informações para diferentes espaçamentos, mantendo o corte das chicanas constante em 25%. A partir das medições da perda de carga foram estimados os campos de velocidade e o resultado foi comparado com as medições diretas de velocidades. Estas comparações corroboraram as correlações de pressão e velocidade para escoamentos através de feixes tubulares. 2.2 As Correlações Hewitt et al. (1994) apresentam de forma sucinta a evolução do desenvolvimento das correlações entre os parâmetros envolvidos no escoamento dentro do casco do trocador. Os primeiros métodos utilizavam correlações análogas ao escoamento interno dos tubos, como o apresentado por Kern (1950), e eram baseados em correlações desenvolvidas a partir de dados experimentais de projetos típicos de permutadores. O Método de Kern é aplicável somente a chicanas com corte de 25% e não considera os vazamentos através das folgas existentes dentro do casco. O Método Bell-Delaware (1963) possui maior abrangência e é o método mais conhecido. Ele foi desenvolvido a partir de uma base de dados experimentais muito maior do que a utilizada por Kern (1950), e prevê fatores de correção devido aos vazamentos presentes no casco e para algumas possíveis geometrias do feixe de tubos. Ele já utiliza o conceito de escoamento do casco dividido em correntes analisadas separadamente, introduzido por Tinker (1958). É fato que este método possui uma aplicabilidade muito maior que o primeiro, mas ainda sim seu uso está limitado a trocadores de geometria compatível com a base dados utilizada. Os permutadores utilizados como base para o desenvolvimento deste método não são de escala industrial. Logo, aplicar suas correlações a equipamentos de escala industrial pode fornecer resultados que não representem a realidade. Apesar desta limitação é um método ainda muito utilizado, principalmente para estimar o coeficiente de troca térmica no casco, pois os resultados para este coeficiente apresentam certa coerência 7

21 com o comportamento real do equipamento. Serna & Jiménez (2005) desenvolveram relações compactas baseadas modelo de Bell para estimar a área, o coeficiente de troca térmica e a perda de carga no escoamento no casco de permutadores de calor casco e tubos, levando em conta os vazamentos na chicana e as correntes de bypass. A busca de um método mais abrangente motivou o desenvolvimento da abordagem proposta por Tinker (1958), o chamado Método de Análise das Correntes. O método de Tinker foi precursor de Bell-Delaware (1963), mas demandava ferramentas de cálculo não disponíveis na época de sua concepção. A ideia do Método das Correntes é identificar as diversas trajetórias que o fluido pode percorrer dentro do casco e calcular a contribuição de cada corrente para a troca térmica e para a perda de carga. Este método é particularmente adequado para cálculos computacionais. Além disso, ele é a base dos principais programas comerciais de projeto termo-hidráulico de permutadores de calor casco e tubos, como Xist HTRI e Aspentech EDR. Até 1984, não era possível resolver este método manualmente, até que Wills & Johnson (1984) publicaram uma versão do método das correntes com algumas simplificações passível de solução manual O Método das Correntes Serth & Lestina (2014) apresentam de forma concisa a evolução do Método das Correntes. Concebido por Tinker e desenvolvido por Palen & Taborek (1969), em conjunto com outros pesquisadores do Heat Transfer Research, Inc. (HTRI), esta metodologia de base empírica foi aprimorada graças a um extenso banco de dados de permutadores casco e tubos industriais. É o método mais utilizado e confiável para projeto e verificação de desempenho de permutadores casco e tubos. Esta metodologia, apesar de também ter base empírica, é considerada mais fiel ao fenômeno físico que o método de Bell-Delaware, pois é baseada em princípios hidráulicos bem estabelecidos que consideram corretamente as interações entre as diversas correntes presentes no casco. O escoamento no casco é modelado como uma rede hidráulica. A Figura 2.1 ilustra a ideia central do método. Ela representa um trecho do trocador composto por três chicanas consecutivas e traz os diversos caminhos disponíveis ao fluido para sair do ponto P1 e chegar ao ponto P2. Cada caminho corresponde a uma corrente do escoamento do fluido no casco. A cada uma destas correntes é associada uma resistência ao escoamento, utilizada na determinação da perda de pressão relacionada a cada uma delas. A vazão de cada corrente é obtida através do balanço hidráulico do sistema, modelo desenvolvido por Palen & Taborek (1969) e reproduzido na Figura 2.2. Como muitos dos parâmetros obtidos durante a pesquisa de desenvolvimento do método das correntes são proprietários, a indústria faz uso de programas comerciais 8

22 Figura 2.1: Distribuição das correntes dentro do casco (adaptada de Hewitt (1994)) para projetar e avaliar seus equipamentos. Existe porém uma versão do método publicada por Wills & Johnson (1984) que, apesar de trazer algumas simplificações, apresenta todos os parâmetros necessários e permite o cálculo da perda de carga e das frações de escoamento no lado do casco. Este método tornou-se então uma ferramenta útil na verificação dos resultados fornecidos pelos programas comerciais. Figura 2.2: Circuito hidráulico equivalente com resistências ao escoamento As correntes concebidas por Tinker estão representadas na Figura 2.3. Parte do fluido atravessa o feixe tubular (corrente B) e parte contorna o feixe (corrente de bypass C). Além disso, ocorrem vazamentos através das folgas entre os tubos e os furos de cada chicana (corrente A) e entre o casco e as chicanas (corrente E). As correntes de vazamento e a que atravessa o feixe se unem para formar a corrente que 9

23 Figura 2.3: Mapa das correntes de Tinker (extraído de Thome (2004)) cruza a janela da chicana. A Tabela 2.1 contém a descrição completa das correntes. No método proposto por Wills & Johnson (1984) a corrente CF une a corrente de bypass entre o casco e o feixe (corrente C) ilustrada na Figura 2.4 e a corrente de vazamento através do espaço criado pelos divisores de passo dos tubos (corrente F). Tabela 2.1: Correntes de fluxo no casco do permutador casco e tubos Corrente Descrição A Vazamento através das aberturas entre os tubos e as chicanas B Fluxo perpendicular ao feixe em constante contato com os tubos CF Corrente de bypass do feixe de tubos E Vazamento entre o casco e as chicanas A metodologia de Wills & Johnson (1984) estabeleceu correlações simplificadas para as resistências ao escoamento de cada uma das correntes. O método é de solução direta quando são utilizados feixes de arranjo quadrado. No caso de feixes com arranjo de tubos triangulares algumas iterações são necessárias, mas nada que penalize a praticidade do método ou que impeça sua solução manual. Kapale & Chand (2006) desenvolveram um modelo teórico para estimar a perda de carga no casco baseado no mesmo conceito de dividir o escoamento em seções e atribuir resistências a cada uma delas. O modelo foca principalmente na modelagem das regiões da janela e do escoamento cruzado. As correntes de vazamento cascochicana e tubo-chicana e a corrente de bypass também foram consideradas neste modelo. O modelo abrange escoamentos com Reynolds de 10 3 a 10 5, e os resultados foram comparados aos resultados experimentais de Bergelin (1958) e Halle & Chenoweth (1988), além de outros modelos presentes na literatura, tais como Gaddis 10

24 Figura 2.4: Corrente de Bypass entre o feixe e o casco (extraído de Thome (2004)) (1997), Prithiviraj & Andrews (1999) e Kern (1950). Alguns autores já avaliaram experimentalmente o impacto das correntes de vazamento nos perfis de velocidade, pressão e temperatura do escoamento no casco do permutador de calor. Li & Kottke (1997) avaliaram o efeito da corrente de vazamento A, que é o foco principal desta dissertação, realizando um experimento com um trocador com casco e tubos em acrílico. Nele foi possível observar a influência do vazamento através da folga tubo-chicana na transferência de calor e de massa através da medição local do vazamento para diferentes diâmetros de furo. A partir dos dados obtidos, identificaram uma relação ótima entre a dimensão da folga e a perda de carga para o serviço estudado. Constataram também que esta variação de dimensão da folga praticamente não altera os coeficientes de troca de calor e de massa. Em outro trabalho (1998), os mesmos autores avaliaram os efeitos da corrente de vazamento entre o casco e as chicanas. Esta corrente (E) reduz consideravelmente a troca térmica média por setor e a perda de carga do escoamento no casco. Roetzel & Lee (1994) também avaliaram experimentalmente o efeito desta corrente de vazamento na troca térmica para diferentes espaçamentos entre chicanas. Os autores verificaram que a corrente E reduz o desempenho térmico do trocador e o coeficiente global de troca térmica. Esta redução aumenta com o crescimento do número de Reynolds no casco e com a diminuição do espaçamento entre chicanas. Gaddis & Gnielinski (1997) apresentam um procedimento teórico para avaliar a perda de carga do escoamento no casco de um trocador casco e tubos com chica- 11

25 nas simplesmente segmentadas. Este procedimento é baseado nas correlações para cálculo de perda de carga de um banco de tubos ideal, unidas a fatores de correção que consideram as correntes de vazamento e de bypass e nas equações para cálculo de perda de carga na janela de Bell-Delaware. O modelo proposto foi comparado com resultados experimentais presentes na literatura. 2.3 Métodos numéricos Vários autores abordam o uso da simulação em Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD) para analisar o escoamento do casco, como Campos (2007). A modelagem do feixe de tubos como um meio poroso facilitou consideravelmente este processo. Conhecer o comportamento do fluido dentro do casco é fundamental para a otimização do desempenho dos permutadores casco e tubos. Instituições como o HTRI, que desenvolve o programa comercial mais usado pela indústria para projeto termo-hidráulico de permutadores de calor, estão constantemente estudando este assunto para aprimorar suas correlações. Yang et al. (2014) realizam uma comparação entre as quatro principais técnicas de modelagem numérica utilizadas para investigar o escoamento no casco: os modelos unitário, periódico, poroso e completo. Os modelos unitário e periódico representam apenas um canal de escoamento entre os tubos. O modelo poroso, adotado nesta dissertação, considera que os tubos e internos do equipamento são representados por um meio poroso equivalente. Já o modelo completo modela toda a estrutura interna do permutador: tubos, chicanas, tirantes e tiras de selagem. Este último é limitado pelos recursos computacionais disponíveis, sendo utilizado na análise de trocadores pequenos como fizeram Ozden & Tari (2010). A proposta de Yang et al. foi comparar estes modelos, mostrando suas vantagens e desvantagens. Conforme apresentado por He et al (2005), métodos numéricos para avaliação do escoamento no casco vêm sendo desenvolvido por Patankar & Spalding (1974), Butterworth (1977), Prithiviraj & Andrews (1998), entre outros. O modelo numérico utilizado por Patankar & Spalding (1974) considera o uso de resistências distribuídas e a presença dos tubos e chicanas é representada pela adição de porosidade volumétrica e permeabilidade de superfície ao modelo Avaliação do comportamento local do escoamento no casco com auxílio de CFD Bhutta et al (2012) publicaram uma revisão sobre as aplicações da dinâmica computacional dos fluidos (CFD) presentes na literatura. Esta ferramenta é utilizada para estudar diversos problemas como má distribuição do escoamento, incrustação, 12

26 perda de carga, comuns a vários tipos de trocadores. Independente do tipo de permutador e do problema estudado, as soluções obtidas apresentam boa concordância com outros modelos da literatura. Isto comprova que a análise em CFD é uma ferramenta eficiente para prever o comportamento e o desempenho dos diversos tipos de permutadores de calor. Diversos autores utilizaram a metodologia de volumes finitos para estudar localmente o fluxo no casco do trocador. Os resultados destas simulações normalmente são comparados com experimentos ou com modelos teóricos, como Bell-Delaware (1963) e o Método das Correntes. Ozden & Tari (2010) realizaram um estudo do escoamento no casco com o auxílio de um programa de CFD comercial. Eles avaliaram como o diâmetro do casco, o espaçamento entre as chicanas e seu corte influenciam a perda de carga e o coeficiente de troca térmica. Os autores verificaram que quanto mais próximas as chicanas, menores as zonas de recirculação atrás das mesmas. Identificaram também que os resultados são dependentes do modelo de turbulência adotado. Através da comparação dos resultados obtidos com o método de Bell- Delaware, os autores determinaram qual o modelo de turbulência mais adequado ao problema estudado. Como o trocador escolhido é pequeno, foi possível usar a modelagem completa, onde todo o permutador, inclusive seus internos, são modelados com volumes finitos, sem que o tempo da simulação se torne proibitivo. No artigo de Hughes et al. (2005), são descritas simulações numéricas e medições experimentais de escoamentos isotérmicos e não-isotérmicos de fluidos não-newtonianos dentro do casco de um permutador. O equipamento estudado é um trocador multitubular utilizado no processo de pasteurização de leite. Os dados experimentais comparados com a simulação foram obtidos a partir da instrumentação de um dos passes deste permutador em operação. Os resultados da simulação numérica, realizada com o programa comercial ANSYS CFX, mostram boa concordância com as medições em campo. O objetivo dos autores foi conhecer melhor o escoamento do casco deste equipamento para verificar a possibilidade de seu uso como recuperador de calor. Em Mohammadi et al. (2009), os pesquisadores utilizaram o programa de CFD comercial para investigar os efeitos da orientação das chicanas e da viscosidade do fluido na troca térmica e na perda de carga no escoamento no casco de um trocador casco e tubos com regime turbulento. O efeito das correntes de vazamento também foi considerado na análise. As simulações consideraram chicanas verticais e horizontais, três fluidos com viscosidades distintas e diferentes vazões. O objetivo principal foi verificar o desempenho de permutadores com chicanas verticais e horizontais. Para os fluidos estudados, a chicana de corte vertical apresentou resultados mais interessantes. Foi constatado também que as correntes de vazamento entre os tubos e a chicana e a corrente de bypass têm um papel importante no desempenho dos 13

27 equipamentos. Outros autores como Raj & Ganne (2012) realizaram um estudo, também com o programa comercial ANSYS CFX, para verificar a influência da variação do ângulo de inclinação das chicanas no escoamento e na troca térmica no escoamento dentro do casco de um permutador casco e tubos. Foram avaliadas chicanas perpendiculares aos tubos e com ângulo de inclinação de 10 o e 20 o. Com os outros parâmetros da geometria fixos, foram variadas a vazão mássica e a inclinação das chicanas. Como o permutador estudado é pequeno, foi possível usar o modelo completo para reprodução do trocador. Yang et al (2014) avaliaram o efeito das tiras de selagem no escoamento no lado do casco de um trocador casco e tubos com chicanas helicoidais. Foi utilizado o modelo periódico e foram avaliadas chicanas helicoidais contínuas e descontínuas. Os autores identificaram que o uso das tiras de selagem é mais eficaz no aumento da troca térmica em trocadores com chicanas helicoidais contínuas. Concluíram também que quanto maior a largura das tiras selantes, maior a sua eficácia. You et al (2012) também simularam um trocador com a técnica CFD para avaliar o efeito de um tipo especifico de chicana, a chicana do tipo flower. Outros autores também utilizaram CFD para a análise do escoamento no casco de permutadores de calor. Adelaja (2012) desenvolveu um programa em Visual Studio para projetar permutadores casco e tubos. O programa utiliza um modelo baseado em Kern(1950)para cálculo do coeficiente de troca térmica da perda de carga. Master (2005) modelou um trocador de calor Helixchanger, com chicanas helicoidais em três dimensões usando um programa desenvolvido pelos autores para analisar localmente o escoamento. Beale & Spalding (1999) estudaram o escoamento transiente atravésdeumfeixedetuboscomcondições decontorno periódicas. Ofocodoestudo foi verificar os efeitos do escoamento no feixe, principalmente a indução de vibração nos tubos pelo escoamento. Chen (2011) realizou um estudo numérico-experimental do desempenho do escoamento do lado do casco com três opções diferentes de chicanas helicoidais. O modelo numérico considerou três configurações diferentes de chicanas: chicanas helicoidais contínuas, chicanas helicoidais combinadas e chicanas helicoidais descontinuadas. Já no experimento, foram testadas apenas as chicanas helicoidais contínuas Feixe de tubos como meio poroso Conforme ressaltado por Campos (2007), a simulação do feixe do permutador de calor como um meio poroso tem sua origem na Indústria Nuclear, onde o alto risco dos equipamentos levou ao desenvolvimento de uma ferramenta específica. Fezse necessário um modelo que permitisse a análise localizada do fluxo no casco, a 14

28 identificação de regiões com baixa velocidade e de outras particularidades deste escoamento, as quais não são identificáveis pelas metodologia de análise global. A aproximação do feixe do permutador como um meio poroso orientado tornou isto possível. Shi et al. (2010) realizaram o estudo de um aquecedor de ar, cujo feixe de tubos é modelado de três formas diferentes para prever o fluxo de ar e a perda de carga através deste permutador. A análise foi realizada usando um programa de CFD comercial ANSYS Fluent, e foram comparadas três modelagens diferentes do feixe de tubos esparsos: meio semi-poroso, meio poroso convencional e modelagem de todos os tubos do feixe (modelo completo). O meio semi-poroso considera o feixe como um meio poroso orientado, exceto pelos limites do feixe que são representados por tubos. Os resultados obtidos com este modelo foram os que mais se aproximaram da simulação com o modelo completo, porém com as vantagens de menor custo computacional e de implementação mais simples. Butterworth (1977) sugere que um sistema heterogêneo composto de tubos e fluido seja modelado como um sistema homogêneo com propriedades de escoamento médias com a introdução do tensor de permeabilidade para meios porosos anisotrópicos. Com isso, as correlações empíricas existentes para o escoamento unidimensional através de feixes tubulares são expandidas para o escoamento tridimensional com a introdução de um tensor de condutividade hidráulica. Devido à turbulência gerada pelo feixe de tubos, este tensor dependeria da magnitude e da direção do vetor velocidade. Porém, o autor introduz a simplificação de que o tensor dependeria somente do módulo da velocidade. Assumir esta hipótese implica na isotropia das propriedades do escoamento no plano perpendicular aos tubos. Esta premissa mostra-se coerente quando comparamos os resultados com dados experimentais. Com esta propriedade do escoamento, é possível calcular a perda de carga através do feixe com os dados do escoamento em outra direção. Em um artigo posterior, Butterworth (1979) utiliza os resultados obtidos em seu trabalho anterior (1977) para resolver o sistema de equações de massa, momentum e energia de um permutador casco e tubos. O coeficiente de troca térmica do fluido para o tubo é solucionado como um equação semi-empírica que é função da direção do escoamento. Já o calor fornecido dos tubos para o fluido é computado no termo fonte das equações do problema. O autor também apresenta as correlações obtidas para o cálculo da perda de carga de escoamentos através de feixes de tubos, deduzidas a partir da equação de cálculo de perda de carga para escoamentos em meios porosos. Estas equações são válidas somente para os arranjos de tubos mais comuns de tubos de permutadores casco e tubos, representados na Figura 2.5. A modelagem apresentou boa concordância com os dados experimentais disponíveis. Já Carlucci et al. (1984) descrevem um procedimento computacional para cálculo 15

29 Figura 2.5: Típicos arranjos do feixe de tubos do permutador Thome (2004)) do escoamento bidimensional e da transferência de calor em permutadores casco e tubos com diversas configurações. Outros obstáculos ao escoamento, tais como tiras de selagem e placas quebra jato, foram considerados no modelo através da abordagem do feixe como meio poroso. O objetivo foi simular o comportamento de condensadores e aprimorar o modelagem de reboilers. Prithiviraj e Andrews (1999) apresentam um programa de simulação tridimensional em CFD por eles desenvolvido que utiliza o conceito de resistência distribuída, porosidade volumétrica e permeabilidade de superfícies. O programa foi validado através da comparação com experimentos e com o método de Bell-Delaware. A abrangência do modelo engloba trocadores com casco tipo E com chicanas simplesmente segmentadas, feixe com ou sem tubos na janela, tubos lisos, e não considera incrustação e nem placa quebra jato. Carlucci (1984) e Sha (1978) definem porosidade volumétrica como a razão entre o volume ocupado pelo fluido e o volume total do modelo computacional. No caso de um permutador uniformemente preenchido por tubos, esta razão também se aplica ao volume total do casco. Sha (1978) introduz também o conceito de permeabilidade de superfície como a razão entre a área da superfície ortogonal a uma direção n, disponível para passagem do fluido, e a área total do modelo computacional na mesma direção. Ambos os artigos destacam que a porosidade volumétrica reflete o bloqueio sofrido pelo fluxo devido à presença de estruturas sólidas estacionárias. Por 16

30 isso, a porosidade de um feixe de tubos éna verdade um dos parâmetros geométricos do permutador, e não uma variável do sistema. Como demonstrou Carlucci (1984), a porosidade volumétrica de um feixe de tubos de um trocador de calor é uma constante proporcional às características do feixe, diâmetro dos tubos e espaçamento entre os tubos de troca térmica. Como neste modelo o casco do permutador de calor com todos os seus internos é representado por um meio poroso, pode-se utilizar malhas mais grosseiras do que as necessárias para uma modelagem completa do permutador, reduzindo assim o custo computacional, Conforme apresentou Yang et al (2014). Este modelo compensa a ausência dos tubos introduzindo a porosidade volumétrica e a permeabilidade de superfície como parâmetros do problema e adicionando fontes de calor e resistências ao escoamento distribuídas ao longo do meio. Estas são determinadas a partir de correlações empíricas que trazem em si os efeitos da interação fluidoestrutura no escoamento. Daí advém uma das desvantagens deste modelo, pois só é possível aplicá-lo a permutadores casco e tubos cuja geometria interna já possua tais correlações disponíveis na literatura aberta. Atualmente, o conceito de modelar o feixe de tubos como um meio poroso já é aplicado inclusive para simulação de escoamento de fluidos bifásicos em permutadores casco e tubos, como nos estudos de Stosic (2001). Ozden & Tari (2010) analisam um permutador casco e tubos de pequenas dimensões no qual os efeitos das correntes de vazamento são desprezíveis. Foi utilizado um programa de CFD comercial para realizar a modelagem completa do trocador. Os resultados encontrados para o coeficiente de troca térmica, temperatura de saída e perda de carga foram comparados com o método de Bell-Delaware (1963). O método de meios porosos também é útil na modelagem de internos de equipamentos, Robbe & Bliard (2006) utilizaram essa abordagem na análise da ruptura do núcleo de um reator de metal líquido da indústria nuclear. Em Carlucci (1984), são apresentadas as expressões para cálculo da porosidade equivalente ao feixe de tubos, considerando a redução de volume correspondente ao feixe. Apesar do feixe de tubos ter características anisotrópicas, considera-se que o meio poroso equivalente ao mesmo é localmente isotrópico de forma que, se o volume de controle está localizado no interior do feixe, a porosidade e a permeabilidade de superfície correspondentes independem da direção do escoamento. A porosidade de um feixe de tubos de padrão regular é, então, constante. He et al (2005) utilizaram um modelo numérico tridimensional de volumes finitos totalmente implícito com malha defasada para estudar escoamentos laminar e turbulento e a troca térmica no casco de um permutador casco e tubos. Foram implementadas na simulação o método de resistências distribuídas com porosidade volumétrica e permeabilidade de superfície para contabilizar os efeitos dos internos 17

31 do trocador. Para reproduzir os efeitos da turbulência, foi adicionado também um modelo k-ε com termos fontes adicionais para a geração de turbulência pelas estruturas sólidas. Também foram incluídos no modelo os vazamentos tubo-chicana e casco-chicana com uma formulação similar a Bernoulli. Os resultados da simulação foram comparados com os experimentos conduzidos pelos autores no Argonne National Labs e apresentaram boa aderência aos mesmos. Esta dissertação de mestrado também utiliza um modelo numérico tridimensional de volumes finitos totalmente implícito e com malha defasada para simular o escoamento dentro do casco de um permutador casco e tubos, utilizando o método de meio poroso com resistências distribuídas para representação dos internos. Na implementação do método foram utilizados os conceitos de Butterworth, Carlucci e Whitaker, apresentados nos artigos analisados anteriormente. 18

32 Capítulo 3 Modelagem Matemática do Problema 3.1 Premissas O problema estudado consistiu em modelar o escoamento do fluido localizado no casco um permutador de calor casco e tubo, como o ilustrado pela Figura 3.1, para verificar ainfluência dacorrente devazamento entre ostuboseachicana noscampos de pressão e de velocidade do escoamento no casco. O permutador utilizado no estudo foi o modelo 10 descrito no relatório final de Bell (1963) no casco do qual escoa o óleo Gulf 896, o mesmo utilizado nos experimentos de Bell. Da simulação, serão obtidos os campos de velocidade e de pressão e, a partir da análise destes, será verificada a sensibilidade do escoamento ao vazamento entre os tubos e a chicana. Admitiu-sequeofluidodocascoeostuboseoutrosinternosdopermutadorestãoem equilíbrio térmico, efeitos de troca térmica no escoamento não forma incluídos neste modelo. As propriedades do fluido do casco são consideradas constantes. Os efeitos da turbulência no escoamento foram considerados por meio de correlações empíricas embutidas no modelo de resistência distribuída. A modelagem aqui apresentada baseia-se na utilizada por Campos (2007). A modelagem de meios porosos consiste em tomar a média do comportamento do fluido que contorna as estruturas sólidas, dentro de cada volume de controle. Segundo Robbe & Bliard (2006), ela pode ser dividida em três etapas: Realizar a média espacial das leis de conservação do fluido no volume de controle para considerar sua ocupação parcial pelo fluido. Com isso aparecerem termos de fluido, de sólido e de volume. Porém, como os internos do permutador de calor são rígidos, não há necessidade de considerar seus termos no modelo. As equações do fluido são modificadas com a introdução do coeficiente de 19

33 Figura 3.1: Permutador casco e tubo com chicanas representadas porosidade, o que permite substituir os termos de volume por termos de fluido. Com exceção da força de interação fluido-sólido, as leis de conservação passam a depender somente das variáveis do fluido. Um fluido poroso equivalente, com propriedades próprias, é finalmente definido no volume de controle. As leis de conservação para este novo meio são então equiparadas com as leis de conservação do fluido já obtidas. 3.2 Teorema da média volumétrica ou espacial A origem dos estudos de escoamentos em meios porosos está na Lei de Darcy, reproduzida a seguir, de onde vem o conceito de permeabilidade. P + µ k v = 0 (3.1) ondek éuma escalar definido como a permeabilidade do meio, v éovetor velocidade e P a pressão média. A Lei de Darcy para meios orientados pode ser escrita como: P +µk 1 v = 0 (3.2) onde a permeabilidade torna-se um tensor de segunda ordem K, que é simétrico e inversível. Conforme descrito em Whitaker (1986), o procedimento de média volumétrica tradicional aplicado a escoamento através de meios porosos leva a equações de momentum e continuidade expressas em termos de pressão e velocidade médias. No modelo poroso, segundo Slattery (1972), a cada ponto do meio poroso é associado a média volumétrica local de uma equação diferencial, independente se este ponto 20

34 Figura 3.2: Superfície S associada a um ponto z qualquer do meio poroso (reproduzido de Campos (2007)) está localizado na fase sólida ou na fase fluida. A Figura 3.2 representa um ponto qualquer dentro de um meio poroso genérico. Considerando um meio poroso de geometria desconhecida, seja o ponto z localizado numa posição qualquer deste meio. A este ponto está associada a superfície fechada S, de volume V, onde V f é definido como a parcela de volume de V ocupada pelo fluido. V f e sua superfície de contorno variamde acordo com a posição de z no meio poroso. Segundo Whitaker (1986), a média de uma quantidade B presente no volume de fluido V f é dada por: B = 1 V V f B dv (3.3) onde B pode ser um escalar, um vetor ou um tensor de segunda ordem associado ao fluido. Aplicando o teorema da média espacial ao gradiente da quantidade B é possível obter o gradiente do valor médio de B no volume de controle: B = 1 ( ) 1 B dv = B dv + 1 = B + V V f V V f V SBn dv 1 V S Bn ds (3.4) Analogamente este teorema também pode ser usado para obter a divergência do valor médio de B, que é dado por: B = 1 BdV = B+ 1 V V f V S B ndv (3.5) 21

35 3.3 Domínio do casco como meio poroso O feixe de tubos de trocador casco e tubo será modelado como um meio poroso anisotrópico, como fizeram Shi (2010) e Zhang et al (1991), por exemplo. A ideia é substituir o fluido escoando no casco por um fluido poroso equivalente que absorva os efeitos do tubos, chicanas e outros internos do trocador. A modelagem apresentada aqui tem como referências Campos (2007), Robbe & Bliard (2006) e Slattery (1972). As equações de conservação do fluido que escoa em um meio são dadas por: ρ t + (ρv) = 0 (3.6) (ρv) + ρvv T ρf = 0 (3.7) t A figura 3.3 mostra em perspectiva o feixe de tubos que será modelado como meio poroso, desenho gerado com o auxílio do programa comercial HTRI. Conforme apresentado no início deste capítulo, realizar a modelagem do escoamento em meios porosos consiste em encontrar a média espacial das leis de conservação do fluido no volume de controle, procedimento apresentado a seguir. Figura 3.3: Feixe de tubos do permutador de Bell Equação da continuidade Tomando então a média espacial da equação de conservação de massa tem-se: [ ] 1 ρ V t + (ρv) dv = 0 (3.8) V f 22

36 1 V V f ρ t dv + 1 V V f (ρv)dv = 0 (3.9) Aplicando então a definição da média volumétrica e o postulado na equação (3.5) tem-se: ρ t + 1 V ρ t + (ρv)+ 1 V (ρv)dv = 0 (3.10) V f ρv nds = 0 (3.11) V f O termo com a integral na equação (3.11) é nulo pois, como a velocidade do fluido é zero na parede do sólido, o produto escalar entre esta e o vetor normal à superfície também é nulo. A equação da continuidade para um meio poroso é dada por: ρ t + (ρv) = 0 (3.12) Equação de conservação de quantidade de movimento A equação de conservação de quantidade de movimento linear é obtida a partir da aplicação da média volumétrica local à 1 a Lei de Cauchy (3.7), integrando-a em relação ao volume de fluido V f contido em S. [ ] 1 (ρv) + (ρvv) T ρf dv = 0 (3.13) V t V f Resolvendo cada termo da integral separadamente: 1 o termo: 1 V (ρv) V f t dv = (ρv) (3.14) t 2 o termo: 1 V V f (ρvv)dv = (ρvv)+ 1 V S w ρvv nds (3.15) O termo com a integral no lado direito da equação (3.15) também é nulo, pois o produto escalar presente neste também é nulo. 3 o termo: 1 V V f TdV = T+ 1 V S w T nds (3.16) 23

37 Com os resultados acima, a equação (3.13) fica: t (ρv)+ (ρvv) = T+ρf + 1 V S w T nds (3.17) Definindo um tensor tensão extra S conforme (3.18) e aplicando esta definição na equação (3.17) tem-se: t (ρv)+ (ρvv) = S (pi)+ρf + 1 V S T+ρI (3.18) S w T nds (3.19) Fezando uso da identidade definida em (3.20), a média volumétrica da 1 a Lei de Cauchy fica: (ρv) t (pi) = p (3.20) + (ρvv) = S p+ρf + 1 V S w T nds (3.21) O termo com a integral é a força resultante da interação fluido-sólido por unidade de volume, definido como g: g 1 V S w T nds (3.22) Para um fluido Newtoniano incompressível, que o caso deste estudo, o valor médio do tensor tensão extra S é dado por: [ S = µ v+( v) T] (3.23) Onde os valores dos gradientes de v podem são obtidos aplicando (3.4) a cada termo da expressão (3.23), que passa então à forma: [ S = µ v+( v) T] (3.24) S = µ ( v) (3.25) Aplicando estes resultados na (3.21), a 1 a Lei de Cauchy com média volumétrica aplicada é finalmente dada por: (ρv)+ (ρvv) = p+µ ( v)+ρf g (3.26) t 24

38 3.3.3 Interação fluido-estrutura Como já visto no capítulo anterior, a maioria dos métodos analíticos desenvolvidos para análise do escoamento no casco de permutadores de calor fazem uso de correlações empíricas. Isto só é possível porque o feixe do permutador possui geometria regular e conhecida, o que permite extrapolar correlações obtidas experimentalmente e utilizá-las na modelagem numérica. A ideia então é utilizar as mesmas correlações para obter g. Slattery (1972) demonstra que, para um meio poroso anisotrópico, g pode ser representado como uma relação linear da forma: g = ĝ(v u,l) (3.27) onde v é a velocidade média local do fluido, u a velocidade média local da estrutura sólida e L um comprimento característico que represente a geometria do meio. O autor demonstra que g é dado por: g = a 1 (v u)+a 2 L (3.28) onde a 1 e a 2 são escalares. Para o caso de feixes tubulares Slattery demonstra que o vetor g pode ser escrito da forma: g = R v (3.29) onde R é o tensor resistência e v a velocidade do fluido. O tensor R se relaciona com o tensor permeabilidade K através da equação: K ij R ij = δ ij (3.30) Butterworth (1979) verificou através de seus experimentos que os arranjos mais comuns do feixe de tubos, quadrado e triangular, são isotrópicos em relação ao escoamento cruzado. Com isso pode-se falar em um vetor permeabilidade r, cujas componentes são as resistências ao escoamento em cada uma das suas direções principais do escoamento. O vetor g passa então a ser representado como: g = r (3.31) 3.4 Equações governantes do problema Como este estudo não considera troca de calor e o fluido utilizado possui com propriedades constantes, apenas a equação da continuidade e a 1 a Lei de Cauchy, tomando 25

39 a definição de g apresentada acima, compõem o sistema de equações diferenciais parciais na forma conservativa que rege o comportamento do fluido dentro da matriz porosa. Caso posteriormente deseje-se avaliar a variação da viscosidade com a temperatura, por exemplo, deve-se acrescentar a equação da energia ao sistema de equações do problema. Abaixo as equações governantes na forma conservativa: ρ t + ρu x + ρv y + ρw z = 0 (3.32) (ρv)+ (ρvv) = p+µ ( v)+ρf r (3.33) t O problema será modelado em coordenadas cartesianas. Separando as componentes da equação de conservação de momentum em cada direção, tem-se: direção x (ρu) t + ρuu x + ρuv y + ρuw z = p ( ) 2 x +µ u x + 2 u 2 y + 2 u +ρf 2 z 2 x r x (3.34) direção y (ρv) t + ρvu x + ρvv y + ρvw z = p ( ) 2 y +µ v x + 2 v 2 y + 2 v +ρf 2 z 2 y r y (3.35) direção z (ρw) t + ρwu x + ρwv y + ρww z = p ( ) 2 z +µ w x + 2 w 2 y + 2 w +ρf 2 z 2 z r z (3.36) Estas equações serão discretizadas e aplicadas a cada um dos volumes de controle que irão compor o modelo do permutador. 26

40 Capítulo 4 Modelagem numérico-computacional 4.1 Método de Volumes Finitos Com o sistema de equações do problema já definido, é necessário discretizar as equações diferenciais convertendo-as em um sistema de equações algébricas para resolvê-las numericamente. O sistema será discretizado com o Método de Volumes Finitos, aproximando os valores das funções nas faces do volume de controle pelo método WUDS (Weighted Upstream Differencing Scheme) e acoplando os campos de pressão e de velocidade com ao auxílio do algoritmo SIMPLEC (Semi Implicit Linked Equations Consistent). A solução deste sistema será obtida através de um programa desenvolvido em Fortran 90, baseado no programa utilizado por Campos (2007) em sua dissertação. Segundo Maliska (2004) a tarefa dos métodos numéricos é transformar um sistema de equações diferenciais, definido em um domínio contínuo, em um sistema de equações algébricas resolvido em pontos discretos do domínio, como ilustrado na Figura 4.1. Para tal é preciso substituir as derivadas da função existente na equação diferencial por valores discretos da função, e isso é obtido integrando as equações diferenciais. O método dos volumes finitos, empregado neste estudo, é uma das diversas maneiras de realizar esta integração Sobre o método No Método de Volumes Finitos as leis de conservação das propriedades são satisfeitas em volumes elementares, gerados a partir da divisão do domínio. Os volumes de controle são caracterizados por uma malha onde são definidas as fronteiras destes, ao contrário do método de Diferenças Finitas, onde o domínio passa a ser representado por pontos nodais. A conservação das leis em cada volume elementar é possível 27

41 Figura 4.1: Tarefa do método numérico (extraído de Maliska (2004)) pois o método trabalha com a forma integral das equações de conservação sobre os volumes, ao invés de apenas substituir derivadas por expressões algébricas, como é feito no método de Diferenças Finitas. É esta a principal vantagem do método, que as leis de conservação válidas para o domínio global do sistema continuam válidas e são atendidas em cada volume de controle. No centro de cada um destes volumes há um nó computacional onde as variáveis são avaliadas. Quando é preciso conhecer o valor da variável nas faces dos volumes, este é interpolado a partir dos valores nos pontos nodais. Maliska (2004) ressalta que existem duas maneiras de se obter as equações aproximadas no método de volumes finitos. A primeira é a realização de balanço das propriedades de interesse nos volumes elementares, e a segunda é integrar sobre o volume finito, no espaço e no tempo, as equações na forma conservativa. Forma conservativa, ou divergente, é aquela em que na equação diferencial os fluxos estão dentro das derivadas e, ao realizar a primeira integração, fornece os fluxos através das faces do volume de controle, equivalentes ao balanço. A prova desta equivalência encontra-se no Maliska (2004) para o volume de controle em coordenadas cartesianas, ilustrado pela Figura 4.2. Para demostrar o método de discretização por volumes finitos, tomemos por exemplo a condução de calor unidimensional transiente em um corpo representado na Figura 4.3, como fizeram Maliska (2004) e Campos (2007). A condução de calor unidimensional transiente com termo fonte em um meio com propriedades constantes é descrita pela seguinte equação: t (ρt) = ( ) κ T +S (4.1) x c p x A Figura 4.3 também mostra a malha adotada neste problema, como volumes inteiros e uniformes em todo o domínio. Integrando (4.1) no espaço e no tempo tem-se: 28

42 Figura 4.2: Volume elementar com fluxo de massa através das faces (extraído de Maliska (2004)) Figura 4.3: Corpo unidimensional sujeito a condução de calor transiente (adaptado de Maliska (2004)) t+ t e t e w Que resulta em: w t (ρt)dxdt = ( ρt ρ 0 T 0) dx = t+ t t t+ t e t w ( ) κ T dxdt+ x c p x ( κ T c p x κ T e c p x )dt+ w t+ t e t t+ t t w Sdxdt (4.2) (S p T P +S c ) xdt (4.3) O último termo da expressão acima foi obtida após a linearização do termo fonte em função da temperatura, necessário para evitar a instabilidade numérica durante a solução, como já destacado por Campos (2007). Adotando-se a mesma convenção de Maliska (2004) para representar os termos temporais, não utiliza-se índice sobrescrito para variáveis avaliadas no tempo t + t e utilizar o sobrescrito 0 para variáveis no instante t. Com isso, a expressão (4.3) fica: 29

43 x ( ) t+ t ( κ ρ p T P ρ 0 ptp 0 T = t c p x κ T e c p x )dt+ w t+ t t (S p T P +S c ) xdt (4.4) Assumiu-se também que, na integral temporal da expressão (4.3), o integrando representa a massa média do volume de controle. Logo, em (4.4), ρ P x é a massa dentro do volume elementar no instante de tempo t+ t e ρ 0 P x a massa no tempo t. As derivadas de temperatura na equação (4.4) ainda precisam ser avaliadas no tempo e no espaço, para conhecer o valor das mesmas nas faces do volume de controle. Utilizando o sobrescrito θ para indicar a avaliação temporal, a equação da condução fica: x ( [ ) ρ p T P ρ 0 κ T p T0 P = c p x θ e κ T c p x θ w ] t+ ( S p T θ P +S c) x t (4.5) Para avaliar a derivada da temperatura nas faces do volume, é razoável considerar a aproximação por diferenças centradas. Logo, as derivadas presentes em (4.5) podem ser substituídas por: T x T x θ θ e w = Tθ E Tθ P x e (4.6) = Tθ P Tθ W x w (4.7) E a função de interpolação temporal pode ser representada pela expressão abaixo, que engloba três formulações possíveis: explícita, implícita e totalmente implícita. T θ = θt +(1 θ)t 0 (4.8) Neste trabalho foi adotada a formulação totalmente implícita, que implica em θ = 1. Com isso a função de interpolação no tempo é dada por: T θ = T (4.9) Aplicando as funções de interpolação espacial (4.6) e (4.7) e a função de interpolação temporal (4.9), a equação (4.5) torna-se: ( x T P t ρ p + 2κ ) ( ) ( ) κ κ c p x S p x = T E + T W +S C x+ x c p x c p x t ρ0 ptp 0 (4.10) Que pode ser representada pela formulação geral: 30

44 a P T P = a E T E +a W T W +b P (4.11) Aplicando-se a equação (4.11) a cada volume do controle do domínio, obtém-se um sistema linear da forma A T = b, onde os coeficientes da matriz e o termo independente são dados por: a E = a W = κ c p x (4.12) a 0 P = x t ρ0 p (4.13) b p = S C x+a 0 P T0 P (4.14) a P = a E +a W + x t ρ p S P x (4.15) Função de interpolação espacial No desenvolvimento do método de volumes finitos, utilizamos a aproximação por diferenças centrais como função de interpolação espacial. Porém, como bem destacado por Campos (2007), para o escoamento estudado é mais interessante utilizar a função de interpolação WUDS, proposta por Raithby & Torrance (1974). Nesta formulação, tomando por exemplo a face leste do volume de controle, o valor de uma variável qualquer φ na face do volume de controle e sua derivada, também avaliada na face, são dados por: ( ) ( ) 1 1 φ e = 2 +α e φ P + 2 α e φ E (4.16) ( ) φ φe φ P x = β e e x e (4.17) Segundo os autores os coeficientes α e β possuem a forma: α e = ρ 2 e sign(pe) (4.18) 10+2Pe2 β e = 1+0,005Pe2 1+0,05Pe 2 (4.19) onde Pe é o número de Peclet de malha, definido a seguir e sign(x) é a função sinal de x, dada por: Pe ρu x Γ φ (4.20) 31

45 Figura 4.4: Volume de controle tridimensional com pontos vizinhos (extraído de Veersteg & Malalasekera (2007)) sign(x) = { 1,x < 0 1,x > 0 (4.21) sendouacomponentedevelocidadedoescoamentonadireçãoxeγ φ ocoeficiente de transporte da propriedade φ Integração das equações de conservação Visando generalizar o método de volumes finitos, segue o processo de integração da lei de conservação de uma propriedade qualquer φ em um volume de controle tridimensional, como o mostrado na figura 4.4, seguindo o desenvolvimento apresentado por Maliska (2004). A equação de conservação de φ no volume elementar (4.4) é dada por: t (ρφ)+ x (ρuφ)+ y (ρvφ)+ z (ρwφ) = ( ) Γ φ φ + ( ) Γ φ φ + ( ) Γ φ φ +S φ x x y y z z (4.22) A integração da equação (4.22) no volume e no tempo fica da forma: 32

46 V,t V,t t (ρφ)dvdt+ V,t x (ρuφ)dvdt+ V,t y (ρvφ)dvdt+ V,t z (ρwφ)dvdt = ( Γ φ φ ) ( dvdt+ Γ φ φ ) ( dvdt+ Γ φ φ ) dvdt+ S φ dvdt x x V,t y y V,t z z V,t (4.23) A equação resultante, utilizando a formulação temporal implícita é: m P φ P m 0 P φ0 P +ṁ e φ e ṁ w φ w +ṁ n φ n ṁ s φ s +ṁ f φ f ṁ b φ b = t φ d e φ x d w φ e x +d n φ w x d s φ n x +d f φ s x d b f x +L[S φ ] b (4.24) onde os fluxos de massa e os coeficientes difusivos são dados por: ṁ e = ρu y z e (4.25) ṁ w = ρu y z w (4.26) ṁ n = ρv x z n (4.27) ṁ s = ρv x z s (4.28) ṁ f = ρw x y f (4.29) ṁ b = ρw x y b (4.30) d e = ( Γ φ y z ) e (4.31) d w = ( Γ φ y z ) w (4.32) d n = ( Γ φ x z ) n (4.33) d s = ( Γ φ x z ) s (4.34) d f = ( Γ φ x y ) f (4.35) 33

47 O termo L[S φ ] representa o termo fonte relacionado a conservação de φ, linearizado. d b = ( Γ φ x y ) b (4.36) L[S φ ] = (S P φ P +S C ) V (4.37) Empregando a função de interpolação espacial WUDS (4.6) e (4.7), o valor da função e seus fluxos nas faces do volume de controle são reescritos da forma: Valor de φ nas interfaces: φ e = φ w = φ n = φ s = φ f = φ b = Derivada de φ nas interfaces: ( ) ( ) α e φ P + 2 α e φ E (4.38) ( ) ( ) α w φ W + 2 α w φ P (4.39) ( ) ( ) α n φ P + 2 α n φ N (4.40) ( ) ( ) α s φ S + 2 α s φ P (4.41) ( ) ( ) α f φ P + 2 α f φ F (4.42) ( ) ( ) α b φ B + 2 α b φ P (4.43) Γ φ e Γ φ w Γ φ n Γ φ s Γ φ f ( ) ( ) φ = β e Γ φ φe φ P e x e x ( ) ( ) φ = β w Γ φ φp φ W w x w x ( ) ( ) φ = β n Γ φ φn φ P n x n y ( ) φ = β s Γ φ s x s ( ) φ x f = β f Γ φ f ( ) φp φ S y ( ) φf φ P z (4.44) (4.45) (4.46) (4.47) (4.48) 34

48 Γ φ b ( ) φ = β b Γ φ b x b ( ) φp φ B z (4.49) A conservação de massa aplicada a um volume de controle 3D é obtida a partir da equação 4.24, utilizando φ = 1, como mostrado por Maliska (2004): m P m 0 P t +ṁ e ṁ w +ṁ n ṁ s +ṁ f ṁ b = 0 (4.50) Conforme demostrado em Maliska (2004), substituindo as expressões acima na equação (4.14) e aplicando a identidade proveniente da conservação da massa no volume de controle (4.50), chega-se finalmente a expressão abaixo: m P t φ P+a P φ P = a e φ E +a w φ W +a n φ N +a s φ S +a f φ F +a b φ B + m0 P t φ0 P+S C V (4.51) Onde seus coeficientes são dados por: a P = a e +a w +a n +a s +a f +a b S P V m P t + m0 P t (4.52) ( ) 1 a e = 2 α e ṁ e + d eβ e x ( ) 1 a w = 2 +α w ṁ w + d wβ w x ( ) 1 a n = 2 α n ṁ n + d nβ n y a s = ( ) 1 2 +α s ṁ s + d sβ s y ( ) 1 a f = 2 α f ṁ f + d fβ f z a b = ( ) 1 2 +α b ṁ b + d bβ b z (4.53) (4.54) (4.55) (4.56) (4.57) (4.58) Aplicando esta formulação a cada volume de controle, obtém-se um sistema de equações algébricas passível de solução numérica Determinação do campo de velocidade Para resolver o sistema de equações algébricas de φ, é preciso conhecer o campo de velocidades, que influencia na convecção de φ. Porém, geralmente, o campo de velocidades não é conhecido e sua solução faz parte da solução do problema. Escoamentos incompressíveis governados pela equação de Navier-Stokes não possuem uma 35

49 Figura 4.5: Arranjo co-localizado (extraído de Maliska (2004)) equação independente para a pressão, como a equação de estado para os escoamentos compressíveis. Como as equações de conservação de momentum estão atreladas a pressão pelo gradiente desta, é necessário estimar um campo de pressão para que seja possível calcular as velocidades. O critério adotado na literatura é então construir um campo de pressão tal que o campo de velocidade resultante deste atenda a equação da continuidade, vide Veersteg & Malalasekera (2007) e Campos (2007) para mais detalhes. Tipos de malha Encontrar a solução do escoamento significa resolver numericamente sistemas de equações algébricas para as componentes de velocidade, para a pressão e para outras propriedades quaisquer que sejam de interesse. A abordagem natural seria dividir o domínio em volumes de controle com uma malha e avaliar todas as variáveis no mesmo ponto central P do volume elementar. Tal abordagem é conhecida como Arranjo de Malhas Co-localizado, (Figura 4.5) pois é como se para cada variável fosse definida uma malha no domínio e estas estivessem sobrepostas no domínio, de forma que a localização do ponto de avaliação da variável em questão seja a mesma, independente da variável. No entanto, como destacaram Veersteg & Malalasekera (2007), se a pressão e as componentes da velocidade forem definidas no mesmo nó computacional, eventuais 36

50 Figura 4.6: Arranjo defasado para problemas bidimensionais (extraído de Veersteg & Malalasekera (2007)) não-uniformidades do campo de pressão podem ser mascaradas, como no exemplo apresentados pelos autores. A alternativa é então, para malhas estruturadas, utilizar o Arranjo de Malhas Defasadas para a pressão e as componentes de velocidade. Segundo Veersteg & Malalasekera (2007), a ideia deste arranjo é avaliar as variáveis escalares, como pressão e temperatura, no centro P dos volumes de controle e calcular as componentes de velocidade em malhas defasadas em relação à malha da pressão. Neste caso, o centro do volume elementar da malha de velocidade ficaria sobre a face correspondente à componente de velocidade em questão, como ilustrado na Figura 4.6. É este o arranjo de malha utilizado nesta dissertação. Estimativa do campo de pressão Maliska (2004) destaca que o acoplamento pressão-velocidade que aparece no problema numérico vem da natureza segregada da solução do sistema de equações diferenciais. O autor ressalta também que existem diversos métodos para tratar este 37

51 acoplamento. O objetivo de todos eles é criar uma equação para a pressão que permita que o processo iterativo avance, observando a conservação de massa. O resíduo de massa, que aparece durante as iterações, é o dado fundamental para indicar a correção para o campo de pressão. Neste estudo, foi adotado o algorítimo SIMPLEC, uma variação do método SIMPLE (Semi Implicit Linked Equations) desenvolvido por Patankar & Spalding (1972). O algorítimo SIMPLE segue os seguintes passos: Cálculo dos fluxos convectivos por unidade de massa nas faces dos volumes a partir de componentes de velocidade estimados. Em seguida, um campo de pressões estimado é usado para resolver as equações de momentum e deduz-se uma equação para correção do campo de pressão a partir da equação da continuidade. A solução desta equação de correção é então utilizada para atualizar os campos de velocidades e pressão estimados anteriormente. O processo é repetido até a convergência dos campos de velocidade e de pressão. Maliska (2004) e Veersteg & Malalasekera (2007) apresentam detalhadamente este algorítimo e destacam-se aqui as principais equações e o procedimento do método. Equaçoes de conservação de quantidade de movimento para u, v, w : a P u P = a nb u nb +(p w p e )A P +b P (4.59) a P v P = a nb v nb +(p s p n )A P +b P (4.60) a P wp = a nb wnb +(p b p f )A P +b P (4.61) Onde b P é o termo independente do sistema e A P, a área da seção do volume de controle. Correção p, diferença entre os campos de pressão estimado e real. p = p +p (4.62) As correções das componentes de velocidade são dadas por: u = u +u (4.63) v = v +v (4.64) w = w +w (4.65) 38

52 Os novos valores das componentes de velocidade corrigidos por p são dadas por: u P = u P +d P(p w p e ) (4.66) v P = v P +d P (p s p n) (4.67) onde d P, no método SIMPLEC, é definido como: w P = w P +d P(p b p f ) (4.68) d P = A P a P a nb (4.69) Aplicando as componentes de velocidade obtidas em 4.66, 4.67 e 4.68 na equação de conservação de massa, obtém-se um sistema linear da forma: a P p P = a Ep E +a Wp W +a Np N +a Sp S +a Fp F +a Bp B +b P (4.70) cujas componentes são dadas por: a P = a E +a W +a N +a S +a F +a B (4.71) a E = (ρad) e (4.72) a W = (ρad) w (4.73) a N = (ρad) n (4.74) a S = (ρad) s (4.75) a F = (ρad) f (4.76) a B = (ρad) b (4.77) b P = (ρu A) w (ρu A) e +(ρv A) s (ρv A) n +(ρw A) b (ρw A) f (4.78) 39

53 Algorítimo SIMPLEC completo: 1. Estimativa dos campos u, v, w e p. 2. Cálculo dos coeficientes das equações de momentum para u, v, w. 3. Solução dos sistemas lineares gerados, usando o campo de pressão estimado p, para obter novos valores de u, v, w. 4. Obter a correção p a partir da equação Corrigir os campos u, v, w utilizando as equações 4.66, 4.67 e Calcular p usando a equação Utilizar o campo p obtido no passo anterior como o novo campo de pressão estimado p. 8. Repetir o processo a partir do item 2 até que sejam atendidos os critérios de convergência. 4.2 Modelo poroso Feixe de tubos Porosidade volumétrica A modelagem do feixe de tubos como um meio poroso adotada neste trabalho utiliza os conceitos apresentados por Patankar & Spalding (1972), Carlucci (1984) e (1986) e por Butterworth (1977) e (1979). Carlucci define em seus artigos a porosidade volumétrica (η) como a razão entre o volume ocupado pelo fluido dentro do casco e o volume total do mesmo, como mostrado em O autor destaca também que a porosidade de um feixe tubular com arranjo padronizado, como é o caso de permutadores casco e tubos, depende apenas de sua geometria. Carlucci introduz então a razão η t entre o volume ocupado pelos tubos e o volume do casco (4.80). η = V f V total (4.79) η t = V tubos V casco (4.80) Eparaosarranjosmaisutilizados emtrocadoresde calorcasco etubosaequação 4.80 pode ser reescrita para arranjo de tubos quadrado ou quadrado rodado, ( ) 2 dt (4.81) η t = 1 π 4 P t 40

54 e para arranjo de tubos triangular ou triangular rodado, η t = 1 π 2 3 ( dt P t ) 2 (4.82) onde d t é o diâmetro externos dos tubos e P t é o passo do feixe de tubos. Portanto a porosidade volumétrica (η) é dada por: η = 1 η t (4.83) Patankar & Spalding (1972) e Carlucci (1986), ao utilizar a modelo poroso, adotam o conceito de massa específica modificada nas equações de conservação do problema. A massa específica modificada é uma propriedade de um fluido equivalente, que carrega em si os efeitos da interação entre o fluido do casco e o feixe de tubos, e é definida por: ρ = ηρ (4.84) Resistências distribuídas As resistências distribuídas, que também compõem o modelo de meio poroso, introduzem a influência do feixe tubular no escoamento a partir da adaptação de correlações experimentais obtidas para escoamento dentro de cascos de permutadores casco e tubos. Butterworth (1979) introduz o conceito de permeabilidade ou condutividade do escoamento, denominado κ, que relaciona a velocidade do escoamento ao gradiente de pressão de acordo com a equação: u = κ dp µ dx (4.85) Daí deriva a seguinte equação para cálculo de perda de carga de escoamentos através de feixes tubulares. p = µlu (4.86) κ onde L é comprimento transversal ao feixe de tubos percorrido pelo fluido. Ao aplicar esta formulação a um banco de dados de permutadores casco e tubos consolidado, o autor obtêm correlações para a condutividade do escoamento κ, equações de (4.87) a (4.92), e adotadas neste trabalho. Arranjo de tubos quadrado ou quadrado rodado: κ L = 4, d td 3 V P 2 t (4.87) κ H = 8,19(P t d t ) 3 D V Re 0,912 (4.88) 41

55 D V = 4P2 t πd2 t πd t (4.89) Arranjo de tubos triangular ou triangular rodado: κ L = 6,8 10 3d td 3 V P 2 t (4.90) κ H = 1,11(P t d t ) 3 D V Re 0,733 (4.91) D V = 2 3P 2 t πd2 t πd t (4.92) onde d t é o diâmetro do tubo, P t o passo do arranjo de tubos, κ L é a permeabilidade para escoamentos de baixo Reynolds, κ H a permeabilidade para escoamentos de alto Reynolds e D V o diâmetro equivalente volumétrico. A partir das correlações desenvolvidas para a permeabilidade, o Butterworth chega também a correlações para o fator de atrito f através da comparação entre a equação 4.86 e a expressão tradicional para o cálculo de perda de carga no casco p = 4fN ρu2 m (4.93) 2 onde N é o número de restrições encontradas pelo escoamento e u m a velocidade através destas restrições e f é dado por: f = d2 t (4.94) 2Reκ O fator de atrito f compõe R, vetor de resistências distribuídas presente no termo fonte das equações governantes deste problema. Campos (2007) demostrou que as componentes deste vetor possuem a forma 4.95: R i = 1 2 R iρ U u,i = x,y,z R i = 4f d t (4.95) onde U é o módulo do vetor velocidade no ponto analisado. 42

56 Modelagem das chicanas As chicanas neste modelo são formadas por volumes de controle com viscosidade infinita. Como a geometria do permutador é conhecida, assim também o espeçamento entre as chicanas e portanto a sua posição. Então o programa desenvolvido em Fotran atribui a estes volumes de controle viscosidade numericamente grande, em comparação com a viscosidade do fluido. A figura 4.7 mostra no plano yz a distribuição das 5 chicanas do permutador de Bell em uma malha com 16 elementos em y e 41 elementos em z. Figura 4.7: Distribuição das chicanas no permutador discretizado pela malha de 8 x 16 x 41 Modelagem do casco A discretização do permutador em volumes finitos foi feita com uma malha tridimensional em coordenadas cartesianas, portanto foi modelado um cilindro em uma malha retangular. Com o objetivo de simplificar as cálculos, os campos de velocidade e de pressão são calculados para todo o domínio e os volumes fora da região correspondente ao casco são anulados através da adição de termos fonte e viscosidade infinitos nestes volumes de controle. Desta forma o escoamento fica restrito a região equivalente à região interna do casco na malha. Um cilindro possui simetria nas eixos x e y, porém como as chicanas do permutador estão orientados na direção do eixo y, como mostrado pela figura 4.7, o casco do permutador perde a característica de simetria nesta direção. Desta forma o casco do permutador é modelado apenas com simetria no eixo x, como ilustrado plea figura 4.8. A figura 4.8 ilustra como o domínio do casco fica localizado na malha retangular, neste caso foi usada uma malha com 8 volumes em x e 16 volumes em y, somente para ilustração. É apresentado o plano xy os volumes em branco são os volumes considerados fora do casco, aos quais são atribuídos os termos fonte e viscosidade infinitos, e os volumes em amarelo correspondem a região onde o escoamento do 43

57 fluido do casco é reproduzido. O círculo presente na figura é somente uma referência para localização do casco na malha. Figura 4.8: Volumes equivalentes ao casco do permutador na malha de 8 x 16 x Equações de conservação e Condições de contorno As condições de contorno deste problema são as mesmas utilizadas por Campos (2007), reproduzidas aqui por conveniência. A Figura 4.9 demonstra onde estas são aplicadas. Parede: ū = v = w = 0 (4.96) Plano de simetria em x: ū = 0 v x = 0 w x = 0 (4.97) Bocal de entrada: ū = 0 v = v ent w = 0 (4.98) 44

58 Figura 4.9: Condições de contorno aplicadas ao modelo(extraído de Campos(2007)) Bocal de saída: ū y = 0 v y = 0 w y = 0 (4.99) As equações governantes do problema e o sistema de equações lineares composto pelas equações 4.51 a 4.58 a ser resolvido neste trabalho, adotando os conceitos apresentados de porosidade volumétrica e resistência distribuída, são dados por: Equações governantes em sua forma conservativa: Equação da continuidade: (ηρ) t + (ηρū) x + (ηρ v) y + (ηρ w) z = 0 (4.100) Conservação de momentum na direção x: (ηρū) +ū (ηρū) + v (ηρū) + w (ηρū) = t x y z p ( ) 2ū x +µ x + 2 ū 2 y + 2 ū 1 2 z 2 2 ηρr x U u (4.101) Conservação de momentum na direção y: (ηρ v) +ū (ηρ v) + v (ηρ v) + w (ηρ v) = t x y z p ( 2 v y +µ x + 2 v 2 y + 2 v ) 1 2 z 2 2 ηρr y U v (4.102) 45

59 Conservação de momentum na direção z: (ηρ w) t p z +µ +ū (ηρ w) + v (ηρ w) + w (ηρ w) = ( x y ) z 2 w x + 2 w 2 y + 2 w 1 2 z 2 2 ηρr z U w (4.103) Sistema de equações discretizadas: As equações 4.51 a 4.58 apresentadas anteriormente continuam válidas. Os fluxos de massa m P, m o P e ṁ i e os coeficientes difusivos d i, sendo i o índice que representa as faces do volume de controle, passam a ser definidos como: Fluxos de massa: ṁ e = ηρū y z e (4.104) ṁ w = ηρū y z w (4.105) ṁ n = ηρ v x z n (4.106) ṁ s = ηρ v x z s (4.107) ṁ f = ηρ w x y f (4.108) ṁ b = ηρ w x y b (4.109) m P = ηρ V P (4.110) m o P = ηρ o V P (4.111) Coeficientes difusivos d e = (Γ y z) e (4.112) d w = (Γ y z) w (4.113) 46

60 d n = (Γ x z) n (4.114) d s = (Γ x z) s (4.115) d f = (Γ x y) f (4.116) d b = (Γ x y) b (4.117) Coeficientes do termo fonte (4.37) S Cx = ηρr x U u (4.118) S Cy = ηρr y U v (4.119) S Cz = ηρr z U w (4.120) S Px = 1 2 ηρr x U (4.121) S Px = 1 2 ηρr y U (4.122) S Px = 1 2 ηρr z U (4.123) Os coeficientes da equação de correção da pressão (4.70) passam a ser calculados pelas equações: a P = a E +a W +a N +a S +a F +a B (4.124) a E = (ηρad) e (4.125) a W = (ηρad) w (4.126) a N = (ηρad) n (4.127) 47

61 a S = (ηρad) s (4.128) a F = (ηρad) f (4.129) a B = (ηρad) b (4.130) b P = (ηρu A) w (ηρu A) e +(ηρv A) s (ηρv A) n +(ηρw A) b (ηρw A) f (4.131) 4.3 Modelagem do vazamento entre os tubos e a chicana Um dos principais pontos deste estudo é como modelar as correntes de vazamento entre os tubos e a chicana em um modelo onde os tubos são substituídos por um meio poroso. Para simular o efeito das folgas entre os tubos e a chicana, foram introduzidas passagens de área equivalente a área total das folgas, em cada chicana. Estas passagens são na verdade volumes de controle pertencentes à chicana que passam a adotar a mesma viscosidade do fluido, possibilitando assim que o fluido escoe através destes. A área da folga total entre o tubo e a chicana em um permutador de calor casco e tubos, para cada chicana, é dada por: A TC = (πdδ tc )n f (4.132) Sendo n f o número de furos na chicana, onde os tubos do feixe estão apoiados. DefinindoA V C comoaáreadaseçãotransversal dovolumedecontrole, onúmero de volumes de controle que passam a permitir que o fluido escoe através dos mesmos é da forma: onde n furo é um inteiro. n furo = A T C A VC (4.133) Após a determinação da quantidade de volumes de controle que representam a folga tubo-chicana, são escolhidos alguns volumes na chicana para atuar como estas passagens, buscando uma distribuição uniforme dos mesmos. E a posição dos volumes que atuam como passagem é a mesma em todas as chicanas, similar ao que acontece no permutador real, onde os furos das chicanas que suportam os tubos do feixe são alinhados. 48

62 Como as folgas tubo-chicana são inerentes a geometria do permutador, não é preciso repetir o processo de seleção dos volumes de folga a cada iteração, até a convergência do modelo. 4.4 Estudo de convergência de malha Devido ao grande número de estudos desenvolvidos utilizando o método de volumes finitos, a ASME elaborou um método para estimar os erros associados à discretização em um problema de dinâmica dos fluidos computacional, descrito em ASME (2008). A metodologia, denominada GCI (Grid Convergence Method), consiste na avaliação do valor de determinada variável φ calculada na simulação em pontos espaciais do modelo geométrico. Este método de análise de convergência de malha é adotado por diversos autores e o procedimento de análise de convergência de uma malha tridimensional apresentado em ASME (2008) e adotado por Siqueira (2014) é detalhado a seguir. 1 Passo - Definir um tamanho de elemento característico h para uma malha tridimensional: [ 1 h = N N ( V i ) i=1 ]1 3 (4.134) onde N é o número total de elementos da malha e V i o volume do i-ésimo elemento da malha. 2 Passo - Selecionar três malhas diferentes com tamanho de elementos caraterísticos diferentes, de forma que h 1 < h 2 < h 3, referentes às malhas denominadas 1, 2 e 3 respectivamente. É recomendado que a razão entre a malha mais grossa h 3 e a malha mais fina h 1 seja superior a 1,3. 3 Passo - Definindo e r 21 = h 2 h 1 (4.135) r 32 = h 3 h 2 (4.136) é necessário calcular a ordem aparente p do método GCI, dado pela equação 4.137: p = 1 ln(r 21 ) ln ε 32 ε 21 +q(p) (4.137) 49

63 onde ε 32 = φ 3 φ 2 (4.138) ε 21 = φ 2 φ 1 (4.139) sendo φ k denota o valor da variável obtido com a malha k. ( r p ) 21 s q(p) = ln r p 32 s s = 1.signal ( ε32 ε 21 ) (4.140) (4.141) A equação pode ser resolvida pelo método de iteração de ponto fixo. 4 Passo - Calcular o valor extrapolado da variável φ, definido como: φ 21 ext = (rp 21 φ 1 φ 2 ) (r p 21 1) (4.142) φ 32 ext = (rp 32 φ 2 φ 3 ) (r p 32 1) (4.143) 5 Passo - Calcular oserrosrelativos aproximado e 21 a extrapolado e 21 ext eoíndice de convergência da malha refinada GCIfine 21 através das equações a seguir. e 21 a = φ 1 φ 2 φ 1 (4.144) e 21 ext = φ21 ext φ 1 φ 21 ext (4.145) GCIfine 21 = 1,25e21 a r p 21 1 (4.146) As equações acima devem ser utilizadas para calcular também e 32 a, e32 ext e GCI 32 fine. Os índices GCIfine 21 e GCI32 fine correspondem à incerteza numérica da solução refinada para a variável φ. É importante destacar que este índice não inclui os erros relativos à modelagem. Outra forma de analisar a convergência da malha é através da análise de independência do tamanho da malha. Trata-se de um método padrão que consiste em 50

64 aumentar a resolução da malha a partir de uma malha inicial mais grosseira, repetir a simulação com essa nova malha mais refinada e verificar se houve uma mudança significativa de resultados entre as duas malhas. Caso se confirme essa variação de resultados, indicando dessa forma que a malha não está adequada, esse processo deve ser repetido até que se atinja variações de resultados relativamente pequenas (geralmente da ordem de 1%), o que comprova a obtenção de uma solução independente da malha, ou seja uma malha convergida. O inconveniente desse método é seu custo de tempo de simulação, somado ao gasto computacional que uma malha cada vez mais refinada demanda, o que o torna inviável em problemas que sejam originalmente custosos do ponto de vista computacional. 51

65 Capítulo 5 Resultados e Discussão O problema estudado consiste em modelar o escoamento do fluido localizado no casco de um permutador de calor casco e tubos, ilustrado pela Figura 5.1. O objetivo é verificar como a corrente de vazamento entre os tubos e a chicana (corrente A) influencia o escoamento dentro do casco do equipamento tanto localmente como globalmente. O permutador utilizado neste estudo foi o modelo 10C-TL5-1 descrito norelatóriofinaldebell(1963). Ofluidodocascoconsideradonassimulaçõeséoóleo Gulf 896, o mesmo utilizado nos experimentos de Bell. As dimensões do equipamento simulado e as características do fluido que escoa no casco são apresentadas na Tabela 5.1. Na figura 5.2 está o espelho do permutador de Bell, gerado com o auxílio do programa HTRI versão 5.0. Figura 5.1: Permutador utilizado no experimento Bell-Delaware (desenho gerado a partir do programa HTRI) Os resultados não foram comparados com os resultados experimentais de Bell 52

66 Figura 5.2: Espelho do permutador de Bell gerando com o programa comercial HTRI (1963) porque o autor não deixa claro se as correntes de vazamento foram ou não bloqueadas durante a realização do experimento. Como as simulações aqui apresentadas consideraram o escoamento sem quaisquer tipo de vazamento ou somente com a corrente A além do escoamento principal, não faz sentido comparar com os resultados de Bell. Os valores de perda de carga obtidos por Bell são muito menores que os obtidos neste estudo e pelo programa comercial de projeto termo-hidráulico de permutadores decalor casco etuboshtri, o que semostra como maisum indício de que todas as correntes de vazamento e de bypass estariam presentes no experimento de Bell. Da simulação do escoamento no casco do permutador obtêm-se os campos de velocidade e de pressão e, a partir da análise destes, verifica-se como a corrente A impacta a perda decarga total do escoamento. Atemperatura deparede dos tubos é considerada constante durante as simulações, que não contemplaram a troca térmica. As propriedades do fluido do casco também são consideradas constantes. Os efeitos da turbulência no escoamento foram considerados por meio de correlações empíricas embutidas no modelo de porosidade. As estimativas de perda de carga encontradas foram comparadas com os resultados obtidos com o programa comercial de projeto termo-hidráulico de permutadores de calor HTRI. Foi realizada também uma análise qualitativa de como a corrente A perturba localmente o escoamento dentro do casco do permutador. A modelagem do escoamento foi obtida através do método de volumes finitos com malhas estruturadas e defasadas em coordenadas cartesianas. O permutador 53

67 Y Z X Figura 5.3: Malha 6 x 12 x 35 foi analisado considerando três malhas distintas, apresentadas na Tabela 5.2. As Figuras 5.3, 5.4 e 5.5 trazem o permutador discretizado por cada uma das malhas, 6 x 12 x 35, 12 x 24 x 65 e 24 x 48 x 125, respectivamente. Aproveitado a simetria do equipamento o modelo foi implementado com simetria em x, para redução do custo computacional. 5.1 Validação da simulação Primeiramente foi realizada a simulação de um escoamento ideal no casco do permutador, sem vazamentos ou bypass. Os valores de perda de carga encontrados na simulação foram comparados aos resultados obtidos com o programa comercial Tabela 5.1: Características do permutador de calor 10C-TL5-1 de Bell (1963), usado das simulações Diâmetro do casco: 0,232 m Comprimento do casco: 0,410 m Número de tubos: 424 Diâmetro dos tubos: 6,25 mm Arranjo dos tubos: 30 Quantidade de chicanas: 5 Corte das chicanas: 20,4% tipo de chicana: simples horizontal Fluido do casco: óleo Gulf 896 Massa 60 o C : 788,1 kg/m 3 60 o C : 2,03 mpa s 54

68 Figura 5.4: Malha 12 x 24 x 65 Tabela 5.2: Malhas utilizadas Volumes em x Volumes em y Volumes em z Total de volumes HTRI. O cálculo do permutador pelo HTRI foi feito desconsiderando-se as correntes de vazamento A, F e E, entretanto não é possível bloquear completamente a corrente de bypass entre o casco e o feixe de tubos (corrente C). Esta corrente pode ser minimizada pela adoção de tiras de selagem e o painel de configurações do HTRI que permite bloquear as correntes de vazamento e incluir tais tiras é apresentado na figura 5.6. Os valores de perda de carga obtidos pelo HTRI consideraram uma corrente C de 5% da vazão total do casco em todas as vazões estudadas. Na Tabela 5.3 os valores de perda de carga total do escoamento no casco obtidos com as três malhas utilizadas na simulação, considerando três vazões diferentes 9,48 kg/s, 5,96 kg/s e 3,77 kg/s, são comparados com os resultados do HTRI. E a tabela 5.4 traz o erro relativos dos valores obtidos com o método de volumes finitos em relação ao HTRI. Tabela 5.3: Perda de carga ( P) numérica x HTRI, em kpa vazão (kg/s) P num. P num. P num. P (6 x 12 x 35) (12 x 24 x 65) (24 x 48 x 125) HTRI 9,48 105,91 159,55 209,61 342,2 5,96 48,63 78,21 101,57 143,5 3,77 27,38 40,63 49,41 60,7 55

69 Y Z X Figura 5.5: Malha 24 x 48 x 125 Figura 5.6: Painel de opc o es do programa comercial HTRI A diferenc a entre os resultados obtidos na simulac a o em volumes finitos e os resultados do HTRI, apresentados na Tabela 5.3 pode ser justificada primeiramente pelas dimenso es do permutador que esta sendo analisado. Como o permutador de Bell na o e um equipamento de porte industrial, caracterı stica comum aos equipamentos que compo em o banco de dados do HTRI, as correlac o es adotadas pelo HTRI na o sa o perfeitamente aplica veis a geometria do permutador estudado. A outra raza o esta relacionada ao tamanho de malha utilizado na simulac a o. Da Tabela 5.3 pode-se notar que quanto mais refinada a malha, mais a perda de carga se aproxima do valor de refere ncia. E esperado portanto que como uma malha mais refinada que a malha 24 x 48 x 125 seja possı vel reproduzir o valor de perda de carga estimado pelo HTRI. Uma malha mais refinada, 48 x 96 x 215 com volumes, foi implementada com o objetivo de obter resultados de perda de carga mais pro ximos do HTRI, pore m o tempo de simulac a o aumentou consideravelmente 56

70 Tabela 5.4: Erro relativo entre perda de carga ( P) numérica x HTRI vazão (kg/s) Erro relativo Erro relativo Erro relativo (6 x 12 x 35) (12 x 24 x 65) (24 x 48 x 125) 9,48 69,1% 53,4% 38,7% 5,96 66,1% 45,5% 29,2% 3,77 54,9% 33,1% 18,6% e tal grau de refinamento de malha para modelar o permutador completo, mesmo substituindo o feixe por um meio poroso equivalente, mostrou-se proibitivo. Nesta dissertação as simulações foram realizadas em um computador i GHz com 8Gb RAM e dois núcleos. A modelagem do escoamento dentro do casco utilizando meio poroso visando uma avaliação qualitativa do escoamento foi satisfatória, apesar de nenhuma das malhas ter conseguido reproduzir as zonas de recirculação próximas às chicanas. Provavelmente isso ocorreu porque não foram utilizadas malhas suficientemente refinadas para captar este comportamento para um fluido de baixa viscosidade, como o considerado nesta modelagem. No entanto é possível verificar a redução de velocidade do escoamento nas regiões onde são esperadas as zonas de recirculação. As figuras 5.7, 5.8 e 5.9 mostram a simulação do escoamento de óleo com vazão de 9,48 kg/s dentro do casco do permutador, representado por vetores, obtidas com as malhas 6 x 12 x 35, 12 x 24 x 65 e 24 x 48 x 125 respectivamente. Observando os vetores é pode ser notar que o fluido escoa paralelo às chicanas, alinhando-se às mesmas imediatamente antes e depois da região da janela e modelando perfeitamente o escoamento cruzado. E este comportamento já é visível inclusive na modelagem com a malha mais grosseira. Elas mostram também o campo de velocidade na direção z em um corte longitudinal do permutador, próximo à linha de simetria. Pode-se observar que os valores máximos da componente de velocidade w são atingidos nas regiões de janela, como esperado. Considerando uma determinada vazão, pode-se notar também uma coerência entre os valores de w que são estimados por cada malha, para diferentes graus de refinamento do modelo, o que é um indício de convergência do modelo. Os resultados para as outras vazões estudadas, 5,96 kg/s e 3,77 kg/s, por fornecerem conclusões similares, encontram-se no Apêndice Análise de convergência de malha Através de um estudo de convergência numérica das malhas, proposto pela ASME (2008) e descrito na seção 4.4, pode-se perceber que as soluções numéricas convergem e que a perda de carga prevista pelo modelo tende a se aproximar do valor de perda 57

71 Figura 5.7: Escoamento modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 9,48 kg/s de carga do HTRI como o refinamento de malha. Para estudo de convergência da malha foi selecionado o ponto de coordenadas (0,0193;0,174;0,177) dentro do casco do permutador para monitoração das velocidades. O ponto situa-se próximo ao casco e à uma das janelas das chicanas, mas fora da região de velocidade máxima na direção z, as figuras 5.10 e 5.11 mostram a localização deste ponto no equipamento. A tabela 5.5 mostra os parâmetros de cada malha necessários para a análise de convergência numérica, bem como as razões entre as mesmas r 21 e r 32. Tabela 5.5: Parâmetros de cada malha usado no método GCI Malha NX x NY x NZ N total h 1 24 x 48 x ,776x x 24 x ,7x x 12 x ,099x10 3 r 21 = 2,774 r 32 = 2,726 Os índices de convergência de malha obtidos mostram que a solução atingiu convergência numérica e que o refinamento da malha leva a melhoria da solução numérica. Avaliando a componente de velocidade w na direção z neste ponto com as diferentes malhas foram obtidos os índices de convergência de malha (GCI). Estes índices e as velocidades neste ponto são apresentadas na Tabela 5.6, sendo w 1 a velocidade obtida no ponto estudado com a malha 1 (24 x 48 x 125), w 2 a velocidade 58

72 Figura 5.8: Escoamento modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 9,48 kg/s calculada no mesmo ponto com a malha 2 (12 x 24 x 65) e w 3 a velocidade obtida com a malha 3(6 x 12 x 35). GCIfine 32 é o índice de convergência entre as malhas 3 e 2 e GCIfine 21 o índice de convergência entre as malhas 2 e 1. Tabela 5.6: Análise de convergência numérica vazão (kg/s) w 1 (m/s) w 2 (m/s) w 3 (m/s) GCIfine 32 GCIfine 21 9,48 0,0324 0,0685 0,141 0,702 0,669 5,96 0,0218 0,0455 0,0914 0,747 0,704 3,77 0,0147 0,0305 0,0601 0,797 0, Sensibilidade do modelo Durante o desenvolvimento deste trabalho foram realizados diversos testes de sensibilidade, para verificar se a simulação estava reproduzindo corretamente o comportamento observado em um equipamento real. Para este estudo foi utilizando um permutador que difere um pouco do permutador de Bell, tal configuração foi adotada para possibilitar que checar a sensibilidade do modelo a alterações na geometria do permutador. A Tabela 5.7 mostra as características do equipamento padrão considerado nos testes de sensibilidade. Os testes foram realizados com uma malha diferente da utilizada no resto da dissertação buscando um relação otimizada entre a modelagem do escoamento e o 59

73 Figura 5.9: Escoamento modelado com malha 24 x 48 x vazão 9,48 kg/s tempo de simulação, portanto foi usada a malha 8 x 16 x 41 com 5248 volumes. A Tabela 5.8 mostra como o escoamento dentro do casco de um permutador de calor casco e tubos real se comporta diante da variação dos parâmetros listados. Para verificar a sensibilidade do modelo variou-se a viscosidade e a massa específica do fluido que escoa no casco eaquantidade de tubos no permutador, através da variação de pitch do feixe. Os testes realizados reproduziram o comportamento esperado. Alguns dos resultados dos testes de sensibilidade do modelo estão apresentados na Tabela 5.9. Pode-se verificar que a perda de carga é mais afetada por alterações na geometria do equipamento do que por mudanças de propriedades. 5.2 Influência da corrente A Influência na perda de carga O vazamento através das folgas entre os tubos e a chicana, denominado corrente A, foi modelado utilizando o conceito de área equivalente. Cada chicana foi modelada como um conjunto de volumes com viscosidade infinita, localizados em uma dada coordenada z. Para cada chicana foi calculada a área total de vazamento entre os tubos e a chicana e esta foi usada para definir a quantidade de volumes da chicana que passariam a se comportar como folga de vazamento. Estes volumes passaram a 60

74 Figura 5.10: Ponto analisado no estudo de convergência de malha - vista em perspectiva Figura 5.11: Ponto analisado no estudo de convergência de malha - vista frontal 61

75 Tabela 5.7: Equipamento padrão - testes de sensibilidade Características valores Diâmetro do casco: 0,232 m Comprimento do casco: 0,410 m Número de tubos: 424 Arranjo dos tubos: 30 Quantidade de chicanas: 3 Corte das chicanas: 30% tipo de chicana: simples horizontal Fluido do casco: óleo Gulf 896 Vazão do fluido: 0,5 kg/s Massa específica 60 o C : 788,1 kg/m 3 Viscosidade 60 o C : 2,03 mpa s Tabela 5.8: Comportamento de um trocador de calor real Parâmetro avaliado viscosidade do fluido massa específica do fluido Comportamento observado perda de carga cresce com o aumento da viscosidade perda de carga cresce com o aumento da massa específica quantidade de tubos no feixe quanto maior o número de tubos, maior a perda de carga ter a mesma viscosidade do fluido e o escoamento flui através deles da mesma forma que o faz nos volumes que representamo o feixe de tubos. A Tabela 5.10 a seguir mostra quantos volumes foram necessários para simular a área total de folga, para cada malha avaliada. Como o equipamento é modelado com simetria no eixo x, a tabela mostra a quantidade de volumes que correspondem à área de vazamento em meia chicana apenas. Como o trocador estudado possui 378 tubos totalmente suportado pelas chicanas, existem 378 regiões de vazamento uniformemente distribuídas, como as apresentadas na figura Porém para reproduzir esta configuração seria necessário modelar o equipamento com uma malha extremamente refinada, o que não é possível com os recursos computacionais disponíveis neste dissertação. Ainda sim foram obtidos resultados interessantes com a malha mais refinada, como mostrado a seguir. A análise de convergência apresentada anteriormente já comprova que a solução está numericamente convergida, porém estes resultados não estão se aproximando da realidade. As correlações utilizadas pelo HTRI são baseadas em um amplo banco de dados experimental e, mesmo que a geometria do permutador de Bell não esteja totalmente dentro dos parâmetros deste banco de dados, o resultado fornecido pelo programa é coerente com o escoamento real. Portanto o modelo de meio poroso 62

76 Tabela 5.9: Variação da perda de carga ( P) encontrada nos testes de sensibilidade - malha 8 x 16 x 41 P (kpa) variação (%) Equipamento padrão 1,37 - µ = 6,0mPa s 1,54 12,04% ρ = 1000kg/m 3 1,61 17,01% Feixe com 756 tubos 1,90 38,61% Tabela 5.10: Quantidade de volumes por chicana que simulam a folga entre os tubos e a chicana Tamanho de malha N o de volumes de vazamento 6 x 12 x x 24 x x 48 x e/ou o tensor de resistividade de Butterworth precisam ser aprimorados, para o permutador aqui estudado Influência no escoamento Na malha 6 x 12 x 35 a área frontal de um volume de controle equivale a área total de vazamento entre os tubos e a chicana de meia chicana, conforme apresentado na tabela O volume escolhido para representar a folga por onde passa a corrente A está localizado no centro da meia chicana que é modelado no permutador, por simplicidade. Na figura 5.13 é possível identificar onde fica localizado o vazamento pela presença de um ponto de velocidade máxima na direção z no meio da chicana, o que indica a corrente A atravessando a mesma. Na figura 5.14 é possível ver um plano longitudinal no permutador modelado localizada na região dos vazamentos, é possível visualizar os vetores correspondentes a corrente A e uma leve perturbação do escoamento ao redor da chicana causado pela presença dessa corrente. Ambas figuras foram obtidas para a vazão de 9,48 kg/s. O plano apresentado na figura 5.13 está localizado na coordenada x=0,058 e na figura 5.14 o plano que mostra a chicana está localizado na coordenada z=0,205. Para a malha intermediária 12 x 24 x 65 são necessários 5 volumes para simular a área total de vazamento em meia chicana. A figura 5.15 mostra a localização dos volumes de vazamento na chicana, num corte na coordenada z=0,205. Já na figura 5.16 é possível observar que a influência da corrente A no escoamento entre as chicanas é maior, tanto devido ao modelo estar mais refinado quanto por existirem mais regiões de vazamento, o que ajuda a distribuir o efeito das correntes de vazamento por todo o escoamento. Ambas mostram os resultados de escoamento e 63

77 Figura 5.12: Folga entre os tubos e os furos da chicana Tabela 5.11: Perda de carga ( P) numérica x HTRI, em kpa vazão (kg/s) P num. P num. P num. P (6 x 12 x 35) (12 x 24 x 65) (24 x 48 x 125) HTRI 9,48 58,60 81,06 107,07 203,44 5,96 31,07 39,41 48,31 91,36 3,77 17,52 20,33 23,13 44,27 da componente de velocidade w para a vazão de 9,48 kg/s. Já para a malha mais refinada estudada nesta dissertação, 24 x 48 x 125 já é possível obter uma distribuição uniforme dos pontos de vazamento tubo -chicana, se aproximando mais da configuração de um equipamento real. Com 23 volumes para representar área total de vazamento em meia chicana, é possível verificar como a corrente A deforma o escoamento do casco em diversas regiões do permutador. As figuras 5.17, 5.18 e 5.19 mostram este efeito para diversos planos longitudinais, todas considerando o escoamento de 9,48 kg/s. Já a figura 5.20 mostra em detalhe como a corrente A deforma o escoamento entre as chicanas, esse efeito é melhor verificado quando comparado com a figura 5.21 que mostra o escoamento entre as chicanas sema presença da corrente A, também para a vazão de 9,48 kg/s. Nas figuras 5.17 a 5.21 geradas com os dados da simulação com a malha 24 x 48 x 125 não mostram os vetores que representam o escoamento no sentido positivo de y devido aos planos selecionados para mostrar as correntes de vazamento em diversas regiões do permutador. Porém o escoamento nestas figuras apresenta comportamento similar ao demonstrado na figura 5.16, que a presenta o escoamento modelado com a malha 12 x 24 x 65. As figuras 5.20 e 5.21 mostram nada mais que detalhes dos gráficos já apresentados. 64

78 Tabela 5.12: Erro relativo entre perda de carga ( P) numérica x HTRI vazão (kg/s) Erro relativo Erro relativo Erro relativo (6 x 12 x 35) (12 x 24 x 65) (24 x 48 x 125) 9,48 71,2% 60,2% 47,4% 5,96 66,0% 56,7% 47,1% 3,77 57,8% 51,0% 44,3% Y Z X W Figura 5.13: Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 9,48 kg/s Vale ressaltar que o fenômeno de deformação do escoamento entre as chicanas provocado pela corrente A dificilmente poderia ser observado experimentalmente. Pois os mecanismos de visualização experimental restringem o fluido utilizado e os aparatos experimentais acabam por modificar localmente o escoamento, modificando assim os comportamentos observados. Os resultados da influência da corrente A no escoamento para as outras vazões estudadas, 5,96 kg/s e 3,77 kg/s, também encontram-se no Apêndice, por fornecerem conclusões similares. 65

79 Y Z X W Figura 5.14: Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 9,48 kg/s Figura 5.15: Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 9,48 kg/s 66

80 Figura 5.16: Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 9,48 kg/s Y Z X Figura 5.17: Escoamento com corrente A - vazão 9,48 kg/s - plano em x=0,114 67

81 Y Z X Figura 5.18: Escoamento com corrente A - vazão 9,48 kg/s - plano em x=0,052 Y Z X Figura 5.19: Escoamento com corrente A - vazão 9,48 kg/s - plano em x=0,012 68

82 Y Z X Figura 5.20: Detalhe do escoamento com corrente A - vazão 9,48 kg/s - plano em x=0,114 Y Z X Figura 5.21: Detalhe do escoamento sem vazamentos - vazão 9,48 kg/s - plano em x=0,114 69

83 Capítulo 6 Conclusões 6.1 Contribuições desta dissertação Este trabalho tinha como objetivo avaliar o efeito da corrente de vazamento entre os tubos e chicana (corrente A) no escoamento dentro do casco de um permutador de calor caso e tubos. Da simulação do escoamento no casco do permutador obtêmse os campos de velocidade e de pressão e, a partir da análise destes, verifica-se como a corrente A impacta a perda de carga total do escoamento. As estimativas de perda de carga encontradas foram comparadas com os resultados obtidos com o programa comercial de projeto termo-hidráulico de permutadores de calor HTRI. Foi realizada também uma análise qualitativa de como a corrente A perturba localmente o escoamento dentro do casco do permutador. O permutador de Bell foi simulado utilizando três malhas diferentes: 6 x 12 x 35, 12 x 24 x 65 e 24 x 48 x 125. Na simulação do escoamento sem correntes de vazamento ou de bypass, o comportamento do escoamento foi considerado satisfatório. Mesmo não tendo sido possível a visualização das regiões de estagnação do escoamento junto às chicanas, as baixas velocidades nestas regiões foram reproduzidas pelo método de volumes finitos. Em relação a reprodução da perda de carga, o resultado obtido pode ser considerado razoável apenas. Considerando as malhas avaliadas e as vazões estudadas o menor erro alcançado, em relação ao HTRI, foi de 18,6%com a malha mais refinada. Este alto valor de erro deve-se a duas razões principais, a primeira é que o cálculo da perda de carga estimada por este método ainda não estar convergido, apesar deste ter alcançado a convergência numérica, segundo o procedimento do ASME (2008). Os resultados indicam que é necessário refinar ainda mais a malha utilizada, porém os recursos computacionais disponíveis na ocasião impossibilitaram a implementação de uma malha mais refinada para simulação do permutador completo. Outra razão que explicar a distância entre os resultados obtidos com CFD e o com o HTRI é o fato do permutador avaliado não se enquadra como permutador industrial, premissa 70

84 dos equipamentos que compõem o banco de dados do HTRI. Portanto as correlações adotadas pelo programa comercial podem não ser as mais adequadas para aplicação no permutador de Bell. Já no estudo da corrente A no escoamento dentro do casco do permutado casco e tubos, os resultados de perda de carga também não foram satisfatórios. O menor erro entre a perda de carga estimada pelo CFD e o resultado do HTRI foi de 44,3%, muito pior do que o caso sem correntes de vazamento. A este erro maior atribui-se a distância que existe entre o comportamento do fluido escoando através de meio poroso com um número de passagens para a corrente A muito menor que o número de folgas entre a chicanas e os tubos em um permutador real e o escoamento em um trocador real. Mesmo no caso da malha mais refinada, onde existem 23 passagens distribuídas uniformemente na chicana para a corrente A, a diferença para o feixe real, que possui 378 área de passagens para a corrente A ainda é grande. Sem falar que aqui também fica claro que o resultado da perda de carga calculado em CFD ainda não está convergido, como ocorreu na simulação dos resultados sem vazamento. A contribuição deste trabalho está na modelagem local do escoamento no casco onde estão presente as correntes de vazamento entre a chicana e os tubos. Nós gráficos gerados do escoamento com e sem a corrente A, para a mesma vazão, fica nítida a deformação do escoamento causada pelas frações de fluido que atravessam as chicanas. E este comportamento pode ser visualizado inclusive nas malhas mais grosseiras. A outra alternativa existente para visualizar este comportamento seria via realização de um experimento, porém a instrumentação e as restrições geradas ao fluido e ao equipamento para que seja possível visualizar este fenômenos terminam por modificar o escoamento, fugindo do objetivo do experimento. Portanto tal deformação deste escoamento com óleo através de um feixe de tubos de 1/4 só pode ser observada numericamente. 6.2 Sugestões de trabalhos futuros Para dar continuidade a este estudo é necessário testar o método de volumes finitos aqui apresentado para um equipamento com dimensões industriais. A expectativa é que os valores estimados em CFD e pelo HTRI se tornem mais próximos, mesmo para as malhas até então consideradas. Isto somente porque neste caso a geometria do equipamento se enquadra no banco de dados do HTRI. Outra possível frente de trabalho é tentar refinar a malha para comprovar a hipótese de que com uma malha mais refinada é possível alcançar a convergência da perda de carga. Porém se ao invés de simularmos o permutador completo, for estudada uma seção somente do permutador seria possível refinar consideravelmente 71

85 sem impacto o tempo de simulação. Com a modelagem de um permutador industrial é válido também estudar como a simulação do escoamento responde a outros fluidos escoando no casco. Já foi verificado no estudo de sensibilidade que o modelo em CFD responde a variações das propriedades do fluido que escoa no casco. Logo com a utilização de um fluido mais viscoso no casco e com malhas mais refinadas que aqui apresentadas que seja possível reproduzir o fenômeno de recirculação nas regiões atrás das chicanas. É importante aprimorar o uso do modelo de meio poroso para obtenção de resultados globais do escoamento, como a perda de carga. É necessário também reavaliar aplicabilidade do tensor de resistividade de Butterworth ao problema estudado, revendo suas correlações para que o modelo possa prever de forma mais adequada a perda de carga. 72

86 Apêndice A Resultados de escoamento com vazão de 5,96 kg/s Neste Apêndice são apresentados os gráficos resultantes da simulação do escoamento no permutador de Bell para a vazão de 5,96 kg/s. Assim como descrito no Capítulo 5, as simulações são realizadas considerando escoamento sem e com a corrente A. Figura A.1: Escoamento modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 5,96 kg/s A.1 Resultados considerando escoamento sem a corrente A Para a vazão de 5,96 kg/s, a figura A.1 mostra o escoamento simulado com a malha mais grosseira, a figura A.2 apresenta o escoamento simulado com a malha intermediária e finalmente a figura A.3 traz o escoamento simulado com a malha mais refinada. As figuras ilustram novamente o escoamento representado por vetores e o 73

87 Figura A.2: Escoamento modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 5,96 kg/s Figura A.3: Escoamento modelado com malha 24 x 48 x vazão 5,96 kg/s campo de velocidade w, com seus máximos nas regiões da janela. Pode-se notar das figuras A.1-A.3 que, para a vazão de 5,96 kg/s, os resultados foram similares aos apresentados no Capítulo 5. A.2 Resultados considerando escoamento com a corrente A As figuras A.4 e A.5 mostram o campo de velocidade na direção z e os vetores que representam o escoamento para a vazão de 5,96 kg/s, respectivamente. Ambas foram geradas considerando a malha mais grosseira, ou seja, 6 x 12 x 35. Assim como na figura 5.13, o plano apresentado nas na figura A.4 está localizado na coordenada x=0,058. Já na figura A.5, o plano que mostra a chicana está localizado na coor- 74

88 Figura A.4: Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 5,96 kg/s Figura A.5: Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 5,96 kg/s denada z=0,205, assim como na figura 5.14 anteriormente apresentada no Capítulo 5. Já as figuras A.6 e A.7 mostram os resultados obtidos para a vazão de 5,96 kg/s com a malha intermediária. Enquanto a figura A.6 mostra o campo de velocidade na direção z com um corte do permutador no plano da chicana, a segunda mostra a influência da corrente A no escoamento num plano longitudinal. As figuras A.8 e A.9 ilustram a distribuição dos volumes equivalentes de vazamento em meia chicana e a distribuição longitudinal do escoamento no casco e da componente de velocidade w, respectivamente. Assim como no caso de escoamento sem a corrente A da Seção anterior, as figuras apresentadas nesta Seção mostram para a vazão de 5,96 kg/s, conclusões análogas àquelas apresentadas no Capítulo 5 75

89 Figura A.6: Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 5,96 kg/s com a corrente A. 76

90 Figura A.7: Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 5,96 kg/s Figura A.8: Escoamento com a corrente A modelado com malha 24 x 48 x vazão 5,96 kg/s 77

91 Figura A.9: Escoamento com a corrente A modelado com malha 24 x 48 x vazão 5,96 kg/s 78

92 Apêndice B Resultados de escoamento com vazão de 3,77 kg/s Neste Apêndice são apresentados os gráficos resultantes da simulação do escoamento no permutador de Bell para a vazão de 3,77 kg/s. Assim como descrito no Capítulo 5, e conforme apresentado no Apêndice A, as simulações são realizadas considerando escoamento sem e com a corrente A. Figura B.1: Escoamento modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 3,77 kg/s B.1 Resultados considerando escoamento sem a corrente A As figuras B.1, B.2 e B.3 ilustram o escoamento obtido com as simulações realizadas com a menor vazão estudada, 3,77 kg/s. Pode-se observar que, mesmo com a malha 79

93 Figura B.2: Escoamento modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 3,77 kg/s Figura B.3: Escoamento modelado com malha 24 x 48 x vazão 3,77 kg/s grosseira (figura B.1), o escoamento foi previsto de forma satisfatória pelo modelo de volumes finitos, respeitando a condição de inpenetrabilidade do fluido na chicanas. Tal comportamento pode ser ainda verificado pela ausência de componente de velocidade na direção z junto às chicanas. Estas mesmas características podem ser melhor visualizadas na simulação do escoamento com a malha intermediária (figura B.2) e no escoamento modelado com a malha mais refinada (figura B.3). 80

94 Figura B.4: Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 3,77 kg/s Figura B.5: Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 3,77 kg/s B.2 Resultados considerando escoamento com a corrente A As B.4 e B.5 mostram o campo de velocidade na direção z e os vetores que representam o escoamento para as vazão de 5,96 kg/s e para a vazão de 3,77 kg/s, respectivamente. De maneira análoga ao apresentado no Capítulo 5 e no Apêndice A, o plano apresentado na figura B.4 está localizado na coordenada x=0,058, e na figura B.5, o plano que mostra a chicana está localizado na coordenada z=0,205. As figuras B.6 e B.7 mostram os resultados obtidos para a vazão de 3,77 kg/s com a malha intermediária. Estes resultados são análogos àqueles mostrados nas figuras A.6 e A.7, do Apêndice A. 81

95 Figura B.6: Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 3,77 kg/s As figuras B.8 e B.9 ilustram a distribuição dos volumes equivalentes de vazamento em meia chicana e a distribuição longitudinal do escoamento no casco e da componente de velocidade w, respectivamente. Assim como no caso de escoamento sem a corrente A da Seção anterior, as figuras apresentadas nesta Seção mostram para a vazão de 3,77 kg/s, conclusões análogas às vazões de 9,48 kg/s e 5,96 kg/s com a corrente A, apresentadas no Capítulo 5 e no Apêndice A, respectivamente. 82

96 Figura B.7: Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 3,77 kg/s 83

97 Figura B.8: Escoamento com a corrente A modelado com malha 24 x 48 x vazão 3,77 kg/s Figura B.9: Escoamento com a corrente A modelado com malha 24 x 48 x vazão 3,77 kg/s 84