ANÁLISE DA CONDUÇÃO DE CALOR EM UMA BARRA FINITA UTILIZANDO O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS 1

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1 SEMINÁRIO DE EXTENSÃO E INOVAÇÃO DA UTFPR 4º SEI-UTFPR 30 de Setembro de Câmpus Cornélio Procópio - PR ANÁLISE DA CONDUÇÃO DE CALOR EM UMA BARRA FINITA UTILIZANDO O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS 1 C.E.F. Leal*, M.S. Ribeiro**, G.P. Oliveira ***, E.P.D.O. Guazzi**** e A.M. Lobeiro****. 1 UTFPR CM *DACOC/UTFPR-CM, Campo Mourão, Brasil **DAAMB/UTFPR-CM, Campo Mourão, Brasil ***DACOM/UTFPR-CM, Campo Mourão, Brasil ****DAMAT/UTFPR-CM, Campo Mourão, Brasil cleber.efl@hotmail.com Resumo Este trabalho trata do estudo da condução do calor em uma barra finita. Tal problema é descrito por uma Equação Diferencial Parcial. Para obter sua solução foi aplicado o Método das Diferenças Finitas. O método consiste na discretização do domínio e substituição das derivadas presentes na equação diferencial por aproximações envolvo somente valores numéricos da função. Para efetuar os cálculos, implementou-se um algoritmo no software Matlab, a solução numérica obtida foi comparada com a solução analítica da equação por meio de uma tabela. Assim verificou-se a confiabilidade do método numérico empregado. Palavras-chave: Equação Diferencial Parcial, Equação do Calor, Matlab. Abstract This paper presents the study of heat conduction in a finite bar. This problem is described by a partial differential equation. In order to obtain its solution we applied the Finite Difference Method. The method consists of the discretization of the domain and replacing the derivatives present in the differential equation by approximations involving only numerical function values. To perform the calculations an algorithm was implemented using the Matlab software and the numerical solution obtained was compared with the analytical solution of this equation by means of a table. So we found the reliability of the numerical method employed. Keywords: Partial Differential Equation, Heat Equation, Matlab. Introdução Neste trabalho estudou-se a condução do calor em uma barra, descrita por uma Equação Diferencial Parcial (EDP), cuja solução numérica é obtida pelo Método das Diferenças Finitas (MDF). Para obter a solução pelo MDF foi necessário implementar um algoritmo em um ambiente iterativo, neste caso, o software Matlab, cuja base operacional são matrizes. Esse é um software bastante popular em computação técnica e científica, usado no mundo inteiro, não apenas no ambiente acadêmico. O nome do programa vem da junção das palavras MATriz e LABoratory. A utilização do algoritmo é essencial, pois tais

2 cálculos seriam desgastantes se feitos manualmente. Este artigo está organizado como descrito brevemente abaixo: Na seção Revisão Bibliográfica expõe-se uma introdução à teoria das Equações Diferenciais Parciais (EDPs) dando ênfase as equações parabólicas. Na seção Discretização apresenta-se o MDF para resolver esse tipo de equação. Na seção Processamento Computacional mostra-se um algoritmo que tem como base o método MDF com o uso do Matlab. Na seção Resultados, expõe-se os resultados obtidos com o algoritmo e sua relação com os valores provenientes da solução analítica. Na seção Considerações Finais faz-se as conclusões sobre o uso do método numérico para solução do Problema de Valor Inicial e de Fronteira (PVIF). Revisão Bibliográfica Um corpo é isotrópico se a condutividade térmica em cada um de seus pontos é indepente da direção do fluxo de calor através do ponto. Em um corpo isotrópico, a temperatura, u u(x, y, z, t), é obtida resolvo-se EDP dada pela Equação (1) ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = cρ t. Nesta equação,, c e ρ são funções de x, y, z e apresentam, respectivamente, a condutividade (1) térmica, o calor específico e a densidade do corpo no ponto (x, y, z). Quando, c e ρ são constantes, essa equação é denominada equação simples tridimensional do calor e é expressa na forma da Equação () u x + u y + u z = cρ t. () O objetivo neste trabalho é calcular a temperatura u(x, t) em uma barra, a qual obedece a equação do calor em uma dimensão, que é uma equação parabólica, dada pela Equação (3) t (x, t) = u α x (x, t), (3) so α = cρ/ [1]. Como a distribuição de temperatura depe da temperatura inicial ao longo da barra, inserese no problema a condição inicial dada na Equação (4) u(x, 0) = f(x), 0 x L, (4) onde f: [0, L] R é uma função dada que descreve a temperatura nos vários pontos da barra no instante t = 0, e satisfaz às condições de fronteira. Para o caso em que as temperaturas nas extremidades da barra são mantidas constantemente zero, tem-se na Equação (5) u(0, t) = u(l, t) = 0. (5) Matematicamente, o problema consiste em determinar uma função u(x, t) definida para 0 t T e 0 x L, de acordo com o PVIF observado na Equação (6) /8

3 onde x i = ih para i = 0,1,, m e t j = j t = u α x u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = f(x),, 0 < t < T, 0 < x < L, 0 < t < T, 0 < x < L. so a constante α e a função fvalores conhecidos []. Discretização (6) A essência dos métodos numéricos está na discretização do contínuo. É esta discretização que torna finito o problema e, portanto, viabiliza sua solução através dos computadores [3]. A ideia geral do método de diferenças finitas é a discretização do domínio e a substituição das derivadas presentes na equação diferencial por aproximações envolvo somente valores numéricos da função. Na prática, substitui-se as derivadas pela razão incremental que converge para o valor da derivada quando o incremento te a zero. Dizemos então que o problema foi discretizado. Quando o domínio tem mais de uma variável, a ideia acima é aplicada para cada uma das variáveis separadamente. O PVIF a ser estudado está apresentado na Equação (6), que tem como base a equação do calor ou difusão. Primeiro seleciona-se números m e N maiores que zero e define-se h = L m. Depois considera-se um tamanho de passo de tempo. Os pontos de rede para esse caso são (x i, t j ), para j = 0,1,, N. O método de diferenças é obtido ao se usar a série de Taylor em t para formar o quociente de diferenças dado na Equação (7) t (x i, t j ) = u(x i, t j + ) u(x i, t j ) w i,j+1 w i,j, e a série de Taylor em x para formar o quociente de diferenças dado na Equação (8) u x (x i, t j ) = u(x i + h, t j ) u(x i, t j ) + u(x i h, t j ) h w i+1,j w i,j + w i 1,j h. Ao substituir a equação (7) e (8) na equação (3) obtém-se a equação (9) que representa o Método de Diferenças Progressivas no j-ésimo passo t w i,j+1 w i,j α w i+1,j w i,j + w i 1,j h = 0. (7) O método de Diferenças Regressivas no (j + 1)- ésimo passo t, é dado na Equação (10) w i,j+1 w i,j α w i+1,j+1 w i,j+1 + w i 1,j+1 h = 0. (8) (9) (10) Considerando a média dos métodos apresentados obtém-se um método mais 3/8

4 promissor, chamado método de Diferenças Mediadas, dado pela Equação (11) w i,j+1 w i,j [w i+1,j w i,j + w i 1,j h + w i+1,j+1 w i,j+1 + w i 1,j+1 h ] = 0. (11) Isso é conhecido como método de Cran- Nicolson e é representado na forma matricial descrito na Equação (1) Aw (j+1) = Bw (j) (1) para cada j = 0,1,, N, onde o valor λ e o vetor w (j) são dados por (13), λ = α h, w (j) = (w 1,j, w,j,, w m 1,j ) t, (13) e as matrizes A e B são dadas por (14) e (15), respectivamente, A e = [ (1 + λ) λ 0 0 λ 0 0 λ 0 0 λ (1 + λ) ] (14) B = [ (1 λ) λ 0 0 λ 0 0 λ 0 0 λ (1 λ) ] onde A é uma matriz positiva definida, estritamente diagonal dominante, tridiagonal, e não singular. O algoritmo incorpora a Fatoração de Crout ao método de Cran-Nicolson [4]. Como um estudo de caso, considere o problema com valor de limite dado na Equação (16) t 1 u = 0, 16 x 0 < t < 1, 0 < x < 1, u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t < 1, u(x, 0) = sin πx, 0 x 1. Este problema foi implementado no algoritmo com os valores m = N = 100 e tempo máximo T = 1. O resultado numérico obtido foi comparado com a solução analítica conhecida, dada na Equação (17), (15) (16) (π² 4)t u(x, t) = e sin( πx), (17) conforme descrito na Tabela 1. Processo Computacional O algoritmo apresentado abaixo implementa a solução de uma EDP Parabólica pelo Método de Cran-Nicolson. 4/8

5 function [] = Parabolica_CranNicolson() symsxt func = inputdlg({'alpha = '},'Dados'); %alpha limites = inputdlg({'l: ', 'T: ', 'm: ', 'N: '},'Limites'); condicao = inputdlg({'u(x,0) = '},'Condição Inicial'); %point l, tempo maximo T alpha = sym(func); uf = matlabfunction(sym(condicao),'vars',[x t],'file','fxt'); pl = strnum(limites{1}); T = strnum(limites{}); m = strnum(limites{3}); N = strnum(limites{4}); h = pl/m; = T/N; lam = (alpha^)*/(h^); xvector = 0 : h : pl; %discretiza x y = 0 : : T; %discretiza t w = zeros(m+1,n+1); %valores iniciais for i = : m w(i,1) = uf(xvector(i),0); %resolve sistema linear tridiagonal com fatoração LU l(1) = 1 + lam; u(1) = -lam/(*l(1)); for i = :m- l(i) = l(1) + (lam*u(i-1)/); u(i) = -lam/(*l(i)); l(m-1) = l(1) + (lam*u(m-)/); fori = 1 : m+1 h = plot3(xvector(i),y(1),w(i,1),'r.'); holdon; for j = 1 : N z(1) = (((1-lam)*w(,j)) + (lam*w(3,j)/))/l(1); for i = :m-1 z(i) = (((1-lam)*w(i+1,j)) + ((lam/)*(w(i+,j) + w(i,j) + z(i-1))))/l(i); 5/8

6 w(m,j+1) = z(m-1); fori = m-: -1 :1 w(i+1,j+1) = z(i) - (u(i)*w(i+,j+1)); fori = 1 : m+1 h = plot3(xvector(i),y(j+1),w(i,j+1),'r.'); holdon xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('w'); title('equaçãoparabólica'); h = surf(xvector,y,w'); saveas(h,'grafico','fig'); u = zeros(m+1,n+1); solanalitica = inputdlg({'u(x, t) = '},'Solução Analítica', 1, {'0'}); funcanalitica = sym(solanalitica); file = fopen('resultados.txt','wt'); if ~(strcmp(char(funcanalitica),'0')) funanalitica = matlabfunction(funcanalitica,'vars',[x t],'file','fun_analitica'); fprintf(file,'i \t j \t xi \t\t tj \t\t wij \t\t\t u(i,j) \t\t Erro absoluto \t Erro percentual\n'); for i = 1 : m+1 for j = 1 : N+1 u(i,j)= funanalitica(xvector(i),y(j)); fprintf(file,'%d \t %d \t %.4f \t %.4f \t %.10f \t %.10f \t %.10e \t %.10e\n',i-1, j-1, xvector(i), y(j), w(i,j), u(i,j), abs(u(i,j) - w(i,j)), 100*abs(u(i,j) - w(i,j))/(u(i,j))); else fprintf(file,'i \t j \t xi \t\t tj \t\t wij\n'); for i = 1 : m+1 for j = 1 : N+1 fprintf(file,'%d \t %d \t %.4f \t %.4f \t %.10f\n', i-1, j-1, xvector(i), y(j), w(i,j)); fclose(file); 6/8

7 SEMINÁRIO DE EXTENSÃO E INOVAÇÃO DA UTFPR 4º SEI-UTFPR Resultados 30 de Setembro de Câmpus Cornélio Procópio - PR A Figura 1 exibe o gráfico 3D da solução numérica do problema. Figura 1 - Plotagem da Solução Numérica Por sua vez, a Tabela 1 expõe as imagens para alguns dos pontos discretizados, apresentando uma comparação entre as soluções numérica e analítica. Tabela 1 Valores Numéricos e Analíticos para Alguns Pontos Discretizados i j x i t j w ij u(x i, t j ) Erro absoluto Erro percentual e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+00

8 Observa-se na Tabela 1 que os valores da solução numérica estão próximos dos valores da solução analítica, pois o erros percentuais são pequenos e portanto expressa uma confiabilidade no algoritmo empregado. Conclusão Os resultados obtidos demonstram que o algoritmo é eficiente, devido à pequena ordem de grandeza dos erros absoluto e percentual. O trabalho se torna inovador pois deixa um algoritmo que está preparado para resolver todas as equações diferenciais do mesmo tipo que a tratada no PVIF apresentado. O emprego do Matlab, dotado de inúmeras ferramentas e uma interface de fácil manuseio, também contribui em grande parte para a elaboração deste trabalho. Com a implementação computacional, os cálculos foram automatizados, os resultados foram obtidos com facilidade e o método numérico pôde então ser executado com eficiência. Mourão por disponibilizar o espaço físico para a realização do projeto e deste artigo. Referências [1] Burden, R.L.; Faires, J. D. (003), Análise Numérica. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. [] Figueiredo, D.G. (1977) Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. 4 ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq. (Projeto Euclides). 74 p. [3] Cunha, C. (1993), Métodos Numéricos para as Engenharias e Ciências Aplicadas. Editora da UNICAMP, Campinas. [4] Chapra, S.C.; Canale, R.P. (008), Métodos Numéricos para Engenharia. ed. Porto Alegre: AMGH. Agradecimentos Agradecemos aos órgãos financiadores da UTFPR, Fundação Araucária e CNPq, que auxiliam os alunos-autores a prosseguir, durante a graduação, com o projeto de inovação que originou este trabalho. Também agradecemos à UTFPR Campus Campo 8/8