APÊNDICE A -- Introdução aos Sistemas Matlab/GNU Octave

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1 APÊNDICE A -- Introdução aos Sistemas Matlab/GNU Octave Existem uma série de ambientes matemáticos propícios para a solução de a maioria das tarefas a serem realizadas cotidianamente em cálculos da Engenharia: Matlab, Mathemathica, GNU Octave, SciLab, etc. Sendo alguns destes capazes inclusive de trabalhar com manipulação simbólica. Para este curso, basicamente o uso ficará restrito aos sistemas Matlab/GNU Octave sendo o primeiro um sistema licensiado e o segundo uma alternativa livre de ambientes matemáticos. Embora similares em grande número de comandos a coincidência não é completa existindo algumas diferenças entre os comandos em cada um dos sistemas. Existem uma série de referências que podem complementar as informações aqui fornecidas, dentre as quais destaco os materiais de Domingues e Mendes Jr (2002) e Eaton (2006). Outra importante fonte de ajuda é o próprio programa, onde uma série de informações a respeito de um comando podem ser obtidas utilizando-se help -i nome_do_comando. Inicialmente será visto simplesmente algumas operações fundamentais com matrizes e vetores que não apresentam variação entre estes sistemas. Com estas informações já são possíveis realizar uma série de procedimentos do nosso curso. A.1 Operações Fundamentais Neste tipo de plataformas estão contemplados todos os tipos de operadores, tanto para operação com reais com inteiros. Assim são possíveis a soma(+), subtração(-), divisão(/), multiplicação (*) divisão reversa (\) e exponencial (ˆ). Operações com inteiros são também

2 Tóp. Esp. Fluido-Témica 2 possíveis como a divisão, utilizando o truncamento dos decimais (floor), e resto (mod ou rem). Assim: octave>mod(5,2) 1 octave> rem(5,2) 1 octave> floor(5/2) 2 octave> disp(5**2), disp( ou ),disp(5^2) 25 ou 25 O disp é um comando utilizado para escrever na tela e converte a saida para caracteres. Comandos para arredontamento como round ou ceil também estão disponíveis no Octave. Além disto, existe uma extensa biblioteca matemática pré-implementada que permite o cálculo de uma série de funções hiperbólicas (exp, log, sinh, etc.), trigonométricas (sin, cos, tan, etc.), de Bessel (besselj, besselk, besseli, etc.) e uma infinidade de outras. A.2 Definições e operações com matrizes e vetores Antes de mais nada é possível criar vetores e matrizes através de um valor inicial, um valor final e incrementos constantes do tipo: octave> 1: octave> 1:2: ou então se estabelecendo não o incremento, mas sim o número de componentes da matriz:

3 Tóp. Esp. Fluido-Témica 3 octave> linspace(1,10,5) Para criar uma matriz ou um vetor incluindoos valores de cada posição e armazená-lo numa variável, o procedimento também é simples, basta inseri-lo da maneira mostrada abaixo: octave> a=[1 2; 4 7] a = ou ainda utilizando um <enter>, ao invés do ;, para indicar mudança de linha: octave> b=[3 6 > 9 4] b = Definidas as matrizes pode-se realizar operações entre elas. Veja por exemplo como realizar uma adição entre as matrizes a e b, definidas anteriormente. octave> a+b Da mesma maneira pode-se utilizar uma resposta anterior, mesmo que não armazenada em variável nenhuma utilizando da variável ans. Como exemplo disto, veja como apresentar a segunda coluna da matriz resposta anterior: octave> c = 8 11 c=ans(:,2) sendo que para isto é bastante útil o : da maneira apresentada. Ele pode representar, quando usado desta maneira, todas as linhas ou colunas de uma matriz. Caso desejasse mostrar apenas um componente da matriz, bastaria colocar o seu endereço ente parênteses:

4 Tóp. Esp. Fluido-Témica 4 octave> a(2,1) 4 Da mesma maneira que a adição, outras operações entre as matrizes poderiam ser realizadas, como por exemplo a multiplicação: octave> a*b Outra forma desta operação, a chamada multiplicação termo a termo, pode também ser necessária e neste caso ela pode ser realizada através da forma: octave> a.*b sendo ainda existente uma operação equivalente a esta para a divisão termo a termo, representada pelo operador.. A.2.1 Funções e operações especiais São ainda possíveis uma série de outras operações com matrizes, sendo destacadas aqui: Determinante (det): octave> -1 det(a) Matriz Inversa (inv): octave> inv(b)

5 Tóp. Esp. Fluido-Témica 5 Matriz Transposta ( ): octave> b Matriz nula de qualquer tamanho (z eros): octave> zeros(4) ou ainda para qualquer matriz não quadrada definindo-se o numero de linhas e colunas: octave> zeros(1,7) Matriz Unitária também pode ser montada de dorma análoga (ones): octave:1> ones(3,2) Matriz Identidade de qualquer tamanho (eye): octave> eye(4) que é uma operação bastante útil se você estiver interassado em montar uma linha qualquer com um valor 1 na posição da diagonal principal e o restante zeros: octave> eye(10)(5,:)

6 Tóp. Esp. Fluido-Témica 6 Matriz Diagonal genérica a partir de um vetor (diag): octave> a=[1 2 3] a = octave> diag(a) O vetor diagonal também pode ser usada para montar uma diagonal secundária da matriz, para isto basta fornecer como segundo argumento inteiro que representa a sua posição na matriz. Números negativos podem ser usados para representar diagonais secundárias abaixo da posição atual: octave> diag(a,-2) Se aplicado em uma matriz bidimensional, o comando diag retorna a respectiva diagonal indicada na forma de vetor, como se fizesse uma operação inversa da anteriormente demonstrada: octave:18> b=[ ; ; ; ] b = octave:19> diag(b,1) Operações com as colunas de componentes de uma matriz: no caso da soma (sum) octave> 5 9 sum(a) e ainda existem outros comandos que permitem a obtenção da média(mean), o produto dos termos(prod), o valor máximo (max), o valor mínimo (min) e a ordenação de matrizes (sort). Todos estes comandos realizam estas operações entre os elementos pertencentes à mesma coluna.

7 Tóp. Esp. Fluido-Témica 7 Deve-se lembrar ainda que mesmo nos ambientes deste tipo não existe a comutatividade em operações com matrizes assim: octave> c*c é diferente de: octave> c *c 185 como era de se esperar. Bem este texto serve como uma referência básica para o tratamento de matrizes e vetores nos referidos sistemas entretanto existem ainda uma série de diferentes comandos relacionados a este que podem ser encontrados em documentações mais aprofundadas e através do Help dos programas. Existem uma série de outras operações que permitem operações básicas com vetores, principalmente com relação à união de vetores (union) e a idendificação de posições que obedeçcam a características definidas (find). A.3 Gráficos e funções Para definir funções no octave nomalmente é indicado criar um arquivo com extensão.m no diretório corrente obedecendo a uma estrutura básica: i. a primeira linha deve conter a palavra chave function, em seguida a variável que armazena o valor a ser retornado que, por sua vez, é igualada ao nome da função seguida da sequência de parâmetros de entrada. É fundamental que o nome da função seja idêntico ao fornecido ao arquivo.m. ii. na linha a seguir são definidas as variáveis globais, se existirem. iii. depois vem o corpo da função com a sua sequência de comandos.

8 Tóp. Esp. Fluido-Témica 8 iv. o procedimento é finalizado com a palavra end. Veja por exemplo a criação de uma função do tipo sinal de um número. Desta forma será editado um arquivo sinal.m do tipo: # funç~ao sinal function ret=sinal(x) if (x!=0) ret=x/abs(x); else ret=0; endif end A partir deste ponto existe uma função pronta no octave de nome sinal que pode ser chamada em qualquer instante. Cabe ressaltar entretanto que esta função deve estar no diretório corrente ou no diretório de funções do octave. Assim: octave> ans= 1 octave> ans=- 1 octave> 0 sinal(100) sinal(-10) sinal(0) Esta mesma função poderia ser criada simplesmente digitando a sequência de comandos apresentada no octave dispensando, assim, a necessidade da criação de um novo arquivo. O incoveniente desta forma é que a mesma só estaria disponível depois de carregada para a memória do octave em cada seção. Quando se trata de funções mais simples, que envolve o seu cálculo diretamente a partir de parâmetros fornecidos o comandoinline pode ser uma boa alternativa. Sofre das mesmas limitações de quando se define a função no interior de um script, entretanto sua definição é bem mais simples: octave> f=inline("2*x.^2-3*x+4") f = f(x) = 2*x.^2-3*x+4 octave> f(2) 6

9 Tóp. Esp. Fluido-Témica 9 sendo que neste caso todos os parâmetros envolvidos na função seriam também argumentos da mesma dificultando, assim, definições mais complexas. Existem alternativas para personalizar esta definição uma vez que este comando pode ser utilizado com maior número de parâmetros. Maiores detalhes podem ser encontrados com a utilização da ajuda da função. Para elaboração de gráficos o octave se utiliza de um programa externo denominado GNU- PLOT. Existem comandos internos do próprio gnuplot que muitas vezes são utilizados para definir parâmetros preliminares dos gráficos. Para um bom conhecimento destas funções sugerese uma leitura do manual do próprio programa. Com relação ao comando para plotagem plot ele pode ser utilizado com a entrada de pelo menos dois vetores (x, y), mas sua forma geral permite a utilização de um formato em sequência identificando como vai ser a linha Apenas para ilustrar, foi feito um gráfico personalizado alterando algus parâmetros mais importantes do gnuplot via gset e utilizando-se de um script do octave: octave> x1=0:0.1:pi; %define vetor x octave> a=cos(x1); %define o primeiro vetor y octave> b=sin(x1); %define o segundo vetor y octave> gset xlabel "x" % define nome do eixo x octave> gset ylabel "y" % define nome do eixo y octave> gset key outside box % define legenda % do lado de fora do grafico e com borda octave> plot(x1,a,"-;cos(x);",x1,b,"-;sin(x);") e com isto foi criado o gráfico mostrado na figura (1). Deve-se ressaltar que em versões novas do programa existe a perspectiva de substiturir o comando gset por gnuplot_set. A.4 Operações lógicas É possível realizar uma série de operações lógicas e testes usando o Octave. As operações mais usuais são maior (>) ou maior ou igual (>=), menor(<) ou menor ou igual (<=), igual (==) e diferente (! = ou =). É conveniente notar que o teste de igualdade (==) é diferente da atribuição (=). if é utilizado para realização de comparações diretas e direcionar o fluxo do programa em funçaõ de seu resultado.

10 Tóp. Esp. Fluido-Témica 10 Figura 1: Gráfico gerado no octave octave> a=2 2 octave> if (mod(a,2)==0) disp(\"numero par\") else disp(\"numero impar\") endif Numero par octave> 3 a=3; octave> if (mod(a,2)==0) disp(\"numero par\") else disp(\"numero impar\") endif Numero impar while utilizado para o caso de repetições onde o teste é feito por diversas vezes a cada interação do problema. octave> z=1; octave> while (z<5) disp(z); z+=2; endwhile 1 3 for no caso de operações que usam um contador com incrementos constantes o comando for é o mais indicado. octave> for z=1:2:4 disp(z); endfor 1 3 switch permite a seleção de uma alternativa entre diversas. Pode ser substituido por um conjunto de if s em cascata.

11 Tóp. Esp. Fluido-Témica 11 octave> nlados=3; octave> switch (nlados) > case (3) disp("tri^angulo") > case (4) disp("quadrado") > case (5) disp("pentágono") > otherwise disp("figura n~ao classificada") > endswitch Tri^angulo Em todos os comandos acima o final endif, endwhile, endfor e endswitch pode ser substituido por end sem comprometer o funcionamento do script (e mantendo compatibilidade com o Matlab) A.5 Diferenças básicas entre o Matlab e o Octave Algumas diferenças básicas que podem afetar a compatibilidade entre ambos são: o nome de algumas funções são diferentes o comentário no Matlab é % e no Octave também é aceito o # no Matlab, os blocos formados por while, if e for e as functions necessariamente terminam com end. No octave pode-se usar, opcionalmente, endwhile, endif, endfor e endfunction. no Matlab a única forma aceita para a desigualdade é o =. O!= é aceito apenas no Octave. operadores incrementais ++ e - - não são aceitos no Matlab.

12 APÊNDICE B -- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias (ODEs) pelo GNU/Octave Será apresentado agora a técnica de solução de ODEs usando o gnu Octave. A solução via Matlab também é bastante similar ao procedimento proposto mudando apenas algumas funções. Será descrito o procedimento inicialmente para uma ODE de primeira ordem, depois uma de segunda ordem com condições iniciais e, finalmente, uma de segunda ordem com condição de contorno. Maiores detalhes a respeito dos comandos aqui utilizados, podem ser encontrados na documentação octave. B.1 Solução de ODE de primeira ordem Para arepresentar o problema será escolhida a solução da relação entre a temperatura de um termômetro e de seu banho apresentada na apostila. Neste caso a equação do problema é dada por: T (t, T ) = ( sin(2πt) T ) sendo a condição de partida a temperatura inicial do termômetro T (0) = 15. Para definir esta equação do problema é preciso criar um arquivo representando esta função, sendo que ambos (a função e arquivo) devem ter o mesmo nome. No caso será criado o arquivo dert.m, composto por: function dr=dert(tempo,temper) dr=37.681*( *sin(2*pi*tempo)-temper); endfunction

13 Tóp. Esp. Fluido-Témica 13 e a partir dele é possível calcular o valor da função para qualquer par ordenado T (t, T ). Por exemplo: octave> dert(0,15) Cabe ressaltar aqui que no Matlab não existe o comando endfunction, sendo que o mesmo não precisa ser incluido no caso de arquivos deste tipo. Entretanto o objetivo principal é a solução desta equação diferencial, portanto é preciso resolvê-la. Para tanto será montado uma outra função runge.m na qual será implementado o método de Runge-Kutta. A função referida que utilizará a dert.m, anteriormente definida. function resp=runge(tempo,temper,h) k1=h*dert(tempo,temper); k2=h*dert(tempo+h/2, temper+k1/2); k3=h*dert(tempo+h/2, temper+k2/2); k4=h*dert(tempo+h, temper+k3); resp=temper+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; endfunction Com esta função agora é possível realizar a marcha do processo de solução. Caso se desejasse a temperatura após decorridos 2 min, é possível obtê-la usando a função recém definida: octave> runge(0,15,2/60) Para a obtenção da solução completa é preciso repetir este procedimento por diversas vezes este procedimento e armazenar a solução em vetores. Para isto, a sequencia de comandos abaixo pode ser implementada diretamente ou via arquivo e a solução armazenada nos valores de te e TT: dt=2/60; te=0:dt:1; TT=zeros(1,31); TT(1)=15; for i=2:31 TT(i)=runge(te(i-1),TT(i-1),dt); endfor

14 Tóp. Esp. Fluido-Témica 14 que se executado no octave. Deve-se observar que o comando te=0:2/60:1; cria um vetor com todos os termos de 0 a 1, incrementados em intervalos de 2/60. Feita esta análise implementar ainda solução analítica do problema e a evolução da temperatura do banho em funções distintas (t exata.m e tbanho.m). O resultado obtido destas funções são armazenadas em variáveis: function tex=t_exata(t) tex= *sin(2*pi*t-0.165)-21.36*exp( *t); endfunction e function tba=tbanho(t) tba= *sin(2*pi*t); endfunction Definidas as funções pode-se avaliar as soluções e armazená-los nas variáveis texv e tba, a partir das quais, pode-se plotar os resultados. Estes valores estão mostrados no gráfico em função do tempo armazenado na variável te, e o resultado está mostrado na figura (2). Figura 2: Gráfico gerado no octave

15 Tóp. Esp. Fluido-Témica 15 Para comparação uma tabela de saída de dados foi montada com base nos resultados obtidos. Desta forma é possível uma análise dos valores numéricos de cada caso: octave> [te TT texv tba ] Neste gráfico estão mostradas a solução numérica e exata do problema, além da temperatura do banho. O comando utilizado para plotagem, considerando-se as avriáveis anteriormente definidas é dado por: xlabel "Tempo [horas]" ylabel "Tempertura [C]" plot(te,texv,"-;sol Analitica;",te,TT,"*;Sol Numerica;",te,tban, "-;Temp. Banho;");

16 Tóp. Esp. Fluido-Témica 16 B.1.1 Solução usando comandos preexistentes no octave Embora o procedimento acima possa ser realizado sem maiores problemas ele depende, como foi mostrado, da elaboração de uma rotina para a solução do problema, no caso usando o procedimento de Runge-Kutta. Existe uma alternativa um pouco mais simples que consiste na utilização do procedimento de solução já implementado no octave usando o comando lsode. Este comando consiste na utilização do algoritmo de Hindmarsh, um algoritmo um pouco mais recente que o de Runge-Kutta e otimizado para sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Para a solução do problema anteriormente proposto é preciso conhecer o uso de: lsode( nome da função, condição, domínio) sendo que: nome da função é o nome do arquivo que contem a expressão da função a ser integrada e cujo nome vem entre. Embora esta seja basicamente igual à definida anteriormente deve-se tomar o cuidado de que a função deve ser chamada sempre com o primeiro argumento sendo o vetor da grandeza a ser calculada e o segundo o do parâmetro da solução. Nestas condições a função utilizada na solução do problema do termômetro, chamada de dert2.m deve ser redefinida como: function dr=dert2(temper, tempo) dr=37.681*( *sin(2*pi*tempo)-temper); endfunction condição são a(s) condição(ões) de partida necessárias para a solução do problema. domínio representa a faixa de valores para os quais a solução vai ser obtida. Neste caso deve-se estabelecer a forma de um vetor do tipo início: passo: fim ou forma equivalente. Para o caso do exemplo anterior pode-se utilizar: octave> sol2=lsode("dert2",15,te); considerando o dominio do problema anteriormente definido por te. Depois disto a solução poderia ser plotada e comparada com as anteriores ou mesmo verificado a diferença entre a nova solução e a anterior.

17 Tóp. Esp. Fluido-Témica 17 Um procedimento similar a este poderia ser elaborado usando-se o Matlab para obter a solução deste problema com as seguintes diferenças: existem uma série de funções que permitem a solução de odes no Matlab, sendo a mais utilizada a ode45, que normalmente substituir o lsode. a chamada da função dentro do ode45 se dá com na frente do nome e não entre. o domínio pode ser estabelecido através de um vetor na forma [início final], além das formas anteriormente apresentadas. EXERCÍCIO: Repita o procedimento anteriormente apresentado agora para um termopar, cuja capacidade térmica e, por consequência, o tempo de resposta são bem menores. Supondo que as condições do banho são as mesmas propostas para o caso do termômetro e que as propriedades físicas do termopar são: ρ = 7600 kg/m 3 ; c = 0.12 kcal/kg K; D = m.considere neste caso que o volume submerso é igual ao diâmetro total do par termoelétrico. Solução: Neste caso a EDO do problema seria dada por: T (t, T ) = ( sin(2πt) T ) e a solução analítica do problema seria dada por: T (t) = sin(2πt ) exp( t) Agora apresente a solução numérica deste problema e compare-a com a resposta obtida a partir da solução analítica. B.2 Solução de ODE de segunda ordem ou ordens superiores Também no caso da EDO de segunda ordem é possível utilizar estes métodos. Como foi visto a saída é converter a solução para um sistema de equações diferenciais em que cada uma representa uma ordem diferente. Uma solução implementando a técnica de Runge Kutta apresentada anteriormente poderia ser vista, entretanto, aqui só será apresentada a técnica que se utiliza da função pré-implementada no octave lsode.

18 Tóp. Esp. Fluido-Témica 18 Bem para isto é necessário definir uma função que represente a equação diferencial do problema que foi apresentada anteriormente, sendo: T (r, T, T ) = 93.02(T 25) 1 r T que será representada através da função sol ale1.m, que tem como parâmetros de entrada um vetor que armazena T e suas derivadas e uma variável para armazenar a posição radial r. function temr=sol_ale1(temper, raio) temr=zeros(2,1); temr(1)=temper(2); temr(2)=93.02*(temper(1)-25)-1/raio*temper(2); endfunction onde a variável temr (1) e (2) representam as expressões para a primeira e segundas derivadas de T nos pontos considerados, respectivamente. Feito isto a solução pode ser obtida estabelecendo a região do domínio para a qual seria solucionada (raios rr), as condições iniciais) e executando a chamada do lsode, como mostra o script a seguir. octave> saida=lsode("sol_ale1", [ ], rr=[0.06:0.01:0.2]); octave> xlabel "Tempo [horas]" octave> ylabel "Temperatura [C]" octave> plot(rr,saida(:,1),"-*; Sol. Numerica;") octave> figure(2) octave> xlabel "Tempo [horas]" octave> ylabel "Grad. Temper [C/h]" octave> gset key left top octave> plot(rr,saida(:,2),"-*; Sol. Numerica;") que apresentaria a solução do problema na tela e o armazenaria na variável saida. A partir destes dados, poderia ser traçar os gráficos da forma que se mostrasse adequada e também identificar o tamanho real da aleta, a partir do ponto em que a derivada se anula. A figura (3), mostra o comportamento da solução.

19 Tóp. Esp. Fluido-Témica 19 Figura 3: Temperatura e gradientes no caso da aleta B.3 Solução de ODE de segunda ordem ou ordens superiores com condição de contorno deslocada Os problemas de ordem superior nem sempre fornecem as condições necessárias para a partida do processo de marcha, ou seja, o valor da função e de sua derivada no ponto. Em um grande número de situações serão conhecidos o valor da função, ou mesmo da função e derivadas, em dois pontos distintos. Imagine o caso da aleta anterior, se conhece o valor da temperatura na base e a da temperatura na ponta, ou mesmo a temperatura na base e as condições de convecção na ponta, o problema não poderia ser resolvido da maneira apresentada. Para obter-se a solução neste caso é necessário o procedimento iterativo, onde admite-se os valores da função e suas derivadas no ponto e busca-se os outros valores nos pontos desejados. Desta forma imagine o caso resolvido na apostila onde deseja-se saber o fluxo máximo de calor que pode ser dissipado por uma aleta com estas características. Admitindo-se que o comprimento infinito seja uma aleta de 2 m, busca-se o valor da derivada na base que obtenha fluxo de calor nulo nesta ponta. Calcula-se os valores inicialmente para duas estimativas da derivada na base da aleta, usando-se a seguinte sequência de comandos:

20 Tóp. Esp. Fluido-Témica 20 octave> rr=0.06:0.01:2; octave> fx1=-296.1; octave> fx2=-300; octave> saida=lsode("sol_ale1", [50 fx1], rr); octave> y1=saida(end,2) y1 = e+09 octave> saida=lsode("sol_ale1", [50 fx2], rr); octave> y2=saida(end,2) y2 = e+09 onde os valores fx1 e fx2 são os valores da derivada da temperatura no ponto r = 2 m. A partir destes valores utiliza-se o método da reta tangente mostrado no texto da apostila para encontrar a nova (neste caso, terceira) estimativa para o dt/dx r=6 cm. octave> fx3=(y2*fx1-y1*fx2)/(y2-y1) fx3 = Esta é a nova estimativa da derivada na base da aleta, com a qual podem ser reefetuados os cálculos sucessivas vezes até que seja encontrado um valor para a derivada da temperatura nula na posição desejada. Seguindo o procedimento abaixo: octave> fx1=fx2; octave> fx2=fx3; octave> saida=lsode("sol_ale1", [50 fx2], rr); octave> y2=saida(end,2) y2 = octave> fx3=(y2*fx1-y1*fx2)/(y2-y1) fx3 = que resulta num valor para a derivada na base de K/m, e que pode tranquilamente ser convertido para o valor do fluxo de calor na base q = W. O comportamento do gráfico da derivada da temperatura ao longo da posição pode ser visto utilizando um script de plotagem similar ao proposto anteriormente na página (18). Um procedimento similar a este, embora utilizando-se do comando pré-implementado no GNU-Octave, o fsolve (equivalente ao fzero no Matlab), para encontrar zero de funções pode também ser utilizado. Para tanto será necessária a definição de uma função que se anule quando o resultado esperado de derivada nula em x = 2 m ocorra. A implementação foi realizada na função ale inf.m, onde o parâmetro de entrada x é o vetor com o chute inicial da derivada e o valor retornado é a derivada da temperatura no ponto afastado da base, como mostrado a seguir:

21 Tóp. Esp. Fluido-Témica 21 function rr=ale_inf(x) raio=0.06:0.01:2; y=lsode("sol_ale1",[50 x], raio); rr=y(length(y),2); endfunction Definida esta função a mesma pode ser facilmente solucionada buscando-se o valor de x que zera a função acima: octave:65> solu=fsolve("ale_inf", -300) solu = octave:66> printf("%15.8f\n",solu); obtendo-se com isto um resultado similar ao anterior e o gráfico dos valores de tempertura e sua derivada também podem ser montados a partir do valor correto encontrado em solu.

22 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DOMINGUES, M. O.; MENDES JR, O. Introdução aos Programas Científicos de Distribuição Gratuita: GNU/Octave, GNU:Maxima, LaTeX e GNU/Rcs Acesso em 28/09/2006. EATON, J. W. Octave Manual Acesso 25/09/2006.