Métodos Numéricos em Fluido Térmica

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Campus Universitário de Bauru FACULDADE DE ENGENHARIA DE BAURU DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Tópicos Especiais em Fluido-Térmica Métodos Numéricos em Fluido Térmica Build: Autor: VICENTE LUIZ SCALON

2 SUMÁRIO 1 Equações Diferenciais e Métodos Numéricos 1 2 Introdução aos Sistemas Matlab/GNU Octave Operações Fundamentais Definições e operações com matrizes e vetores Funções e operações especiais Definição de funções Montagem de gráficos Operações lógicas Diferenças básicas entre o Matlab e o Octave Métodos para a solução de Eq. Diferenciais Ordinárias Método de Runge Kutta Implementação da solução no Gnu-Otave i

3 SUMÁRIO ii 3.2 Soluções de sistemas de equações diferenciais ou equações diferenciais de ordem superior utilizando Runge Kutta Procedimento de solução usando o octave Condição de Contorno Deslocada Procedimento de solução usando o octave Solução de Sistema de Equações Lineares Métodos iterativos de solução Métodos de inversão direta Equações Diferenciais Parciais - Caracterização e Métodos de Discretização e Solução Subdivisão das equações diferenciais parciais Formas de solução de equações diferenciais parciais Discretização do domínio Método dos Elementos Finitos Princípios gerais Aproximação por funções Aproximação nodal Aproximação por Elementos Finitos Definição geométrica dos elementos Regras para a discretização de domínios através de elementos finitos Elementos de referência

4 SUMÁRIO iii 6.4 Propriedades das funções de aproximação u(x) Construção das funções de interpolação Transformação de operadores diferenciais Montagem do Jacobiano Transformação de uma integral Coordenadas nodais e conectividade O método dos resíduos ponderados Transformação integral: a integral por partes Método de Galerkin Tratamento das condições de contorno Implementação da condição de contorno generalizada Integração Numérica Exemplos de Aplicação Método de Diferenças Finitas Aplicação da formulação de diferenças finitas em sistemas de equações diferenciais 97 8 Aplicação do Método de Diferenças Finitas em Problemas Bidimensionais e Transientes Solução de problemas bidimensionais Solução de problemas transientes Formulação Explícita Formulação Totalmente Implícita

5 SUMÁRIO iv Formulação Implícita

6 CAPÍTULO 1 Equações Diferenciais e Métodos Numéricos Uma grande parcela dos problemas de engenharia depende, para a obtenção de resultados, da solução de uma única ou até de um sistema de equações diferenciais. Até a primeira metade deste século buscou-se, de forma intensa, a solução analítica destas equações utilizando uma grande gama de ferramentas matemáticas como transformadas, solução por séries, etc. Com este esforço concentrado foram obtidos alguns resultados e muitas equações diferenciais puderam ser resolvidas. No entanto, quase todas estas respondem por problemas físicos simples e não representam uma amostra significativa dos problemas de engenharia que normalmente tem geometria e condições de contorno complexas. Desta forma, a partir da segunda metade do século XX, este panorama foi completamente modificado. Deixou-se de buscar a solução puramente analítica para estes problemas e passouse a trabalhar com os métodos numéricos na tentativa da obtenção de soluções aproximadas. Embora a grande maioria dos métodos numéricos sejam conhecidos a bastante tempo, a sua utilização em massa só ocorreu graças a um acontecimento: o grande avanço dos computadores. No passado quando se tentava resolver um problema, mesmo um extremamente simples, através de métodos numéricos este processo demandava um enorme tempo em cálculos e, muitas vezes, envolvia uma equipe de pessoas. Esta dificuldade praticamente inviabilizava a sua utilização até o aparecimento dos computadores de grande porte e, mais recentemente, os super computadores. Esta situação se inverteu completamente e nos dias de hoje são os métodos numéricos que 1

7 Tóp. Esp. Fluido-Témica 2 respondem praticamente pela totalidade dos problemas complexos em engenharia. Além disto o barateamento ocorrido em termos de custo/hora do tempo de CPU tem tornado-a, cada vez mais, acessível a um número maior de pessoas. Um exemplo disto é citado por (Maliska, 1995) em seu livro: a solução de um escoamento supersônico usando computadores do tipo IBM 704, existente na década de 60, consumiria um tempo de computação de 30 anos a um custo de alguns milhões de dólares enquanto o mesmo problema é resolvido hoje com alguns minutos de CPU a um custo de algumas centenas de dólares. Apesar de tudo isto que foi dito aqui os métodos analíticos ainda têm grandes utilidades. Em primeiro lugar, não tem muito sentido resolver um problema numericamente se a sua solução analítica é conhecida e pode fornecer a valores para todo o domínio, ao contrário da solução numérica que só só fornece a solução para os pontos considerados. Além disto a solução analítica é, muitas vezes, utilizada como padrão e até mesmo fonte de inspiração na resolução de problemas com métodos numéricos. Em outras vezes ainda, um modelo é testado em determinadas condições nas quais existe solução analítica para poder confrontar os resultados e, só depois do sucesso nesta consideração, é que o mesmo é estendido para casos onde a solução analítica não é conhecida. Quando não existe solução analítica que permita esta verificação do método numérico outra ferramenta é então utilizada: os ensaios experimentais. Da mesma forma que os métodos analíticos os métodos experimentais foram, e diria até que ainda são, muito utilizados na solução de problemas de engenharia. Isto se deve ao fato que a simulação pode ser feita sobre as condições desejadas (ou próximas dela) sem se preocupar sequer com as condições contorno ou tipo de equações diferenciais. Embora os métodos experimentais tenham os seus atrativos, têm também um grande problema: o seu elevado custo. Tanto a instrumentação necessária, como a montagem do experimento e a mão de obra necessária necessitam de um alto investimento, o que dificulta grandes desenvolvimentos nesta área. Além do mais a presença de sondas para tomada de medidas ou quaisquer outros objetos físicos, tendem a alterar as condições ideais para a retirada de medidas de um experimento, tornando muitas vezes o experimento impraticável. Um grande exemplo deste fato é a indústria aeronáutica que tem substituído grande parte dos seus ensaios em túnel de vento por simulações numéricas com excelentes resultados. Da mesma forma que a solução analítica muitas vezes são utilizados resultados experimentais para validar resultados de métodos numéricos, dispensando a partir de então a repetição da experiência para casos similares. Para a solução de equações diferenciais por métodos numéricos, da mesma forma que quando são resolvidas por métodos analíticos, é conveniente o conhecimento de alguns preceitos sobre equações diferenciais:

8 Tóp. Esp. Fluido-Témica 3 a) E.D.O. - Sistema Massa Mola b) E.D.P. - Eq. da quantidade de movimento Figura 1.1: Exemplos de E.D. ordinárias e parciais. Equação Diferencial Ordinária: onde a função que é a solução da equação diferencial é dependente de uma única variável. O exemplo clássico deste tipo de equação é a primeira lei de Newton, comumente aplicada em problemas envolvendo vibrações, como mostrado na figura (??a): mu (t) = F [t, u(t), u (t)] onde todas as variáveis são direta ou indiretamente função de t. Um grande número de problemas recai em equações diferenciais deste tipo. Equação Diferencial Parcial: é aquela em que as funções solução para a equação diferencial são dependentes de mais de uma variável. A maior parte dos problemas envolvendo geometrias bi e tri dimensionais e análise de transientes em corpos com gradientes internos recai neste tipo de equação diferencial. Tomando como exemplo utilizar-se-á a equação da quantidade de movimento linear, bidimensional e em coordenadas cartesianas, para um fluido newtoniano na direção x: ( u ρ t + u u x + v u ) y = P ( ) 2 x + µ u x + 2 u 2 y 2 Um exemplo de aplicação desta equação seria para a obtenção do perfil de velocidades em torno de uma asa, como mostrado na figura (??b). Equação Diferencial Linear: é o tipo de equação diferencial onde aparece uma composição linear da função e suas derivadas. Exemplo disto é a equação da condução de calor, para substâncias isotrópicas e com propriedades físicas admitidas independentes da tempera-

9 Tóp. Esp. Fluido-Témica 4 a) E. D. Linear - Conduçã numa placa b) E.D. não linear - Eq. do pêndulo Figura 1.2: Exemplos de E.D. linear e não linear. tura: 2 T x + 2 T 2 y = 0 2 A distribuição de temperaturas em uma placa plana mostrada na figura (??a), é um exemplo típico deste tipo de aplicação. Equação Diferencial Não Linear: é aquela a função não aparece de forma linear na equação diferencial, mas sim com termos quadráticos ou através de outras funções não lineares. Um exemplo deste tipo de equação é a equação de um pêndulo que, com base na figura (??b), pode ser dada como: d 2 θ dt + g 2 l sin θ = 0 que tem formas de solução bem complexa. Prova disto é a própria expressão acima, que é quase sempre resolvida através da linearização da equação (trabalhando-se com ângulos pequenos sin θ θ): d 2 θ dt 2 + g l θ = 0 Equação Diferencial Homogênea: é aquela em que o termo independente não se apresenta como função de nenhuma variável, ou melhor: y (x) = f(x, y) é homogênea se f(x, y) for uma constante ou uma expressão que permita uma transformação de variável que a deixe independente da variável transformada (normalmente um f(y/x)). Um exemplo de equação diferencial homogênea: y (x) = y (x) + y(x) = y (x) y (x) y(x) = 0

10 Tóp. Esp. Fluido-Témica 5 Equação Diferencial Não Homogênea: é a contraposição da da definição acima ou seja, quando o termo independente é necessariamente função de uma das variáveis do problema e não se conhece transformação de variáveis que o deixe homogêneo. Exemplo de equação diferencial não homogênea: y (x) y (x) y(x) = cos(x) Ordem de uma Equação Diferencial: representa o índice de derivação da maior derivada das que compõe a equação diferencial. Veja por exemplo a expressão: y + 2 y 3y = 0 que é uma equação de terceira ordem e que, conseqüentemente, precisa de pelo menos três condições de contorno para ser resolvida. Esta é na realidade a grande vantagem desta metodologia de classificação de equações diferenciais: indicar instantaneamente o número de condições de contorno necessárias para resolver o problema. Estas classificações indicam características principais da equações diferenciais e fornecem informações sobre como estas podem ser resolvidas. Não existe uma forma imediata para afirmar que uma equação diferencial tem solução exata pois até mesmo o tipo de condição de contorno pode influir sobre este aspecto. Um exemplo disto é a equação de condução bidimensional que tem solução analítica para temperaturas de parede dadas, mas não tem se uma das paredes está sujeita a um processo de convecção, por exemplo. Assim sendo a única maneira de descobrir sobre a existência da solução analítica para uma dada equação diferencial, caso você não saiba de antemão, é consultando um livro sobre o assunto. Mas é importante ressaltar que as características acima são importantes também para identificar qual o método numérico de solução que deve ser utilizado na solução de um problema. Vejamos por exemplo o tipo de solução mais utilizados segundo a natureza das equações diferenciais: Método de Euler Eq. Diferenciais Ordinárias Método de Passos Múltiplos (ou Preditor-Corretor) Método de Runge Kutta 1 Método de Diferenças Finitas Eq. Diferenciais Parciais Método de Volumes Finitos Método de Elementos Finitos 1 Muitas vezes este método também é utilizado na solução da parcela envolvendo o tempo de Eq. Diferenciais Parciais

11 Tóp. Esp. Fluido-Témica 6 É importante ressaltar que nada impede que se utilize esquemas de solução para Eq. Diferenciais Parciais em Eq. Diferenciais Ordinárias, uma vez que o seu procedimento é genérico, no entanto a recíproca não é verdadeira. Normalmente se adotam esquemas diferenciados para solução de equações diferenciais ordinárias, pois estes podem ser um pouco mais simples ou então mais precisos permitindo uma maior acuracidade na solução.

12 CAPÍTULO 2 Introdução aos Sistemas Matlab/GNU Octave Existem uma série de ambientes matemáticos propícios para a solução de algumas tarefas a serem realizadas cotidianamente em cálculos da Engenharia: Matlab, Mathemathica, GNU Octave, SciLab, Maxima, etc. Alguns destes são capazes, inclusive, de trabalhar com manipulação simbólica como o caso do Máxima, Mathemathica, Matlab (versões posteriores à 5.0), SAGE e o próprio octave se utilizando de pacotes adicionais.entretanto, para o caso de utilização em simulação numérica a manipulação simbólica não represbta um fator decisivo. Este capítulo, basicamente, ficará restrito ao uso dos sistemas Matlab/GNU Octave sendo o primeiro um sistema licensiado e o segundo uma alternativa livre de ambientes matemáticos. Embora similares em grande número de comandos existem algumas diferenças entre os comandos em cada um dos sistemas. Na maioria das vezes octave suporta tanto a sua sintaxe específica como aquela que seria utilizada pelo Matlab. O SciLab também é considerado uma boa alternativa livre ao uso do Matlab, mas o seu uso não será abordado neste material. Existem uma série de referências que podem complementar as informações aqui fornecidas, dentre as quais destaco os materiais de (Domingues & Mendes, 2002) e (Eaton, 2006). Outra importante fonte de ajuda é o próprio programa, onde uma série de informações a respeito de um comando podem ser obtidas utilizando-se help -i nome_do_comando. Inicialmente, será visto simplesmente algumas operações fundamentais com matrizes e ve- 7

13 Tóp. Esp. Fluido-Témica 8 tores que não apresentam variação entre estes sistemas. Com estas informações já são possíveis realizar uma série de procedimentos do nosso curso. 2.1 Operações Fundamentais Neste tipo de plataformas estão contemplados todos os tipos de operadores, tanto para operação com reais com inteiros. Assim são possíveis a soma(+), subtração(-), divisão(/), multiplicação (*) divisão reversa (\) e exponencial (ˆ). Operações com inteiros são também possíveis como a divisão, utilizando o truncamento dos decimais (floor), e resto (mod ou rem). Assim: octave>mod(5,2) ans = 1 octave> rem(5,2) ans = 1 octave> floor(5/2) ans = 2 octave> disp(5**2), disp( ou ),disp(5^2) 25 ou 25 O disp é um comando utilizado para escrever na tela e converte a saida para caracteres. Comandos para arredontamento como round ou ceil também estão disponíveis no Octave. Além disto, existe uma extensa biblioteca matemática pré-implementada que permite o cálculo de uma série de funções hiperbólicas (exp, log, sinh, etc.), trigonométricas (sin, cos, tan, etc.), de Bessel (besselj, besselk, besseli, etc.) e uma infinidade de outras. 2.2 Definições e operações com matrizes e vetores Antes de mais nada é possível criar vetores e matrizes através de um valor inicial, um valor final e incrementos constantes do tipo:

14 Tóp. Esp. Fluido-Témica 9 octave> 1:10 ans = octave> 1:2:10 ans = ou então se estabelecendo não o incremento, mas sim o número de componentes da matriz: octave> linspace(1,10,5) ans = Para criar uma matriz ou um vetor incluindoos valores de cada posição e armazená-lo numa variável, o procedimento também é simples, basta inseri-lo da maneira mostrada abaixo: octave> a=[1 2; 4 7] a = ou ainda utilizando um <enter>, ao invés do ;, para indicar mudança de linha: octave> b=[3 6 > 9 4] b = Definidas as matrizes pode-se realizar operações entre elas. Veja por exemplo como realizar uma adição entre as matrizes a e b, definidas anteriormente. octave> a+b ans = Da mesma maneira pode-se utilizar uma resposta anterior, mesmo que não armazenada em variável nenhuma utilizando da variável ans. Como exemplo disto, veja como apresentar a segunda coluna da matriz resposta anterior:

15 Tóp. Esp. Fluido-Témica 10 octave> c = 8 11 c=ans(:,2) sendo que para isto é bastante útil o : da maneira apresentada. Ele pode representar, quando usado desta maneira, todas as linhas ou colunas de uma matriz. Caso desejasse mostrar apenas um componente da matriz, bastaria colocar o seu endereço ente parênteses: octave> a(2,1) ans = 4 Da mesma maneira que a adição, outras operações entre as matrizes poderiam ser realizadas, como por exemplo a multiplicação: octave> a*b ans = Outra forma desta operação, a chamada multiplicação termo a termo, pode também ser necessária e neste caso ela pode ser realizada através da forma: octave> a.*b ans = sendo ainda existente uma operação equivalente a esta para a divisão termo a termo, representada pelo operador Funções e operações especiais São ainda possíveis uma série de outras operações com matrizes, sendo destacadas aqui: Determinante (det):

16 Tóp. Esp. Fluido-Témica 11 octave> ans = -1 det(a) Matriz Inversa (inv): octave> inv(b) ans = Matriz Transposta ( ): octave> b ans = Matriz nula de qualquer tamanho (z eros): octave> zeros(4) ans = ou ainda para qualquer matriz não quadrada definindo-se o numero de linhas e colunas: octave> zeros(1,7) ans = Matriz Unitária também pode ser montada de dorma análoga (ones): octave:1> ones(3,2) ans = Matriz de números aleatórios (r and): com todos os números aleatórios variando entre 0 e 1. octave> rand(2,4) ans =

17 Tóp. Esp. Fluido-Témica 12 Em função do exposto se o interesse é por uma matriz cujo o valor máximo é 10, basta mutiplicar o resultado anterior pelo valor máximo. Matriz Identidade de qualquer tamanho (eye): octave> eye(4) ans = que é uma operação bastante útil se você estiver interassado em montar uma linha qualquer com um valor 1 na posição da diagonal principal e o restante zeros: octave> eye(10)(5,:) ans = Matriz Diagonal genérica a partir de um vetor (diag): octave> a=[1 2 3] a = octave> diag(a) ans = O vetor diagonal também pode ser usada para montar uma diagonal secundária da matriz, para isto basta fornecer como segundo argumento inteiro que representa a sua posição na matriz. Números negativos podem ser usados para representar diagonais secundárias abaixo da posição atual: octave> diag(a,-2) ans = Se aplicado em uma matriz bidimensional, o comando diag retorna a respectiva diagonal indicada na forma de vetor, como se fizesse uma operação inversa da anteriormente demonstrada:

18 Tóp. Esp. Fluido-Témica 13 octave:18> b=[ ; ; ; ] b = octave:19> diag(b,1) ans = Operações com as colunas de componentes de uma matriz: no caso da soma (sum) octave> 5 9 sum(a) e ainda existem outros comandos que permitem a obtenção da média(mean), o produto dos termos(prod), o valor máximo (max), o valor mínimo (min) e a ordenação de matrizes (sort). Todos estes comandos realizam estas operações entre os elementos pertencentes à mesma coluna. Deve-se lembrar ainda que mesmo nos ambientes deste tipo não existe a comutatividade em operações com matrizes assim: octave> c*c ans = é diferente de: octave> c *c ans = 185 como era de se esperar. Bem este texto serve como uma referência básica para o tratamento de matrizes e vetores nos referidos sistemas entretanto existem ainda uma série de diferentes comandos relacionados a este que podem ser encontrados em documentações mais aprofundadas e através do Help dos programas. Existem uma série de outras operações que permitem operações básicas com vetores, principalmente com relação à união de vetores (union) e a idendificação de posições que obedeçcam a características definidas (find).

19 Tóp. Esp. Fluido-Témica Definição de funções Para definir funções no octave nomalmente é indicado criar um arquivo com extensão.m no diretório corrente obedecendo a uma estrutura básica: i. a primeira linha deve conter a palavra chave function, em seguida a variável que armazena o valor a ser retornado que, por sua vez, é igualada ao nome da função seguida da sequência de parâmetros de entrada. É fundamental que o nome da função seja idêntico ao fornecido ao arquivo.m. ii. na linha a seguir são definidas as variáveis globais, se existirem. iii. depois vem o corpo da função com a sua sequência de comandos. iv. o procedimento é finalizado com a palavra end. Veja por exemplo a criação de uma função do tipo sinal de um número. Desta forma será editado um arquivo sinal.m do tipo: # funç~ao sinal function ret=sinal(x) if (x!=0) ret=x/abs(x); else ret=0; endif end A partir deste ponto existe uma função pronta no octave de nome sinal que pode ser chamada em qualquer instante. Cabe ressaltar entretanto que esta função deve estar no diretório corrente ou no diretório de funções do octave. Assim: octave> ans= 1 octave> ans=- 1 octave> ans = 0 sinal(100) sinal(-10) sinal(0) Esta mesma função poderia ser criada simplesmente digitando a sequência de comandos apresentada no octave dispensando, assim, a necessidade da criação de um novo arquivo. O incoveniente desta forma é que a mesma só estaria disponível depois de carregada para a memória do octave em cada seção.

20 Tóp. Esp. Fluido-Témica 15 Quando se trata de funções mais simples, que envolve o seu cálculo diretamente a partir de parâmetros fornecidos o comandoi nline pode ser uma boa alternativa. Sofre das mesmas limitações de quando se define a função no interior de um script, entretanto sua definição é bem mais simples: octave> f=inline("2*x.^2-3*x+4") f = f(x) = 2*x.^2-3*x+4 octave> f(2) ans = 6 sendo que neste caso todos os parâmetros envolvidos na função seriam também argumentos da mesma dificultando, assim, definições mais complexas. Existem alternativas para personalizar esta definição uma vez que este comando pode ser utilizado com maior número de parâmetros. Maiores detalhes podem ser encontrados com a utilização da ajuda da função. 2.4 Montagem de gráficos Para elaboração de gráficos o octave se utiliza de um programa externo denominado GNU- PLOT. Existem comandos internos do próprio gnuplot que muitas vezes são utilizados para definir parâmetros preliminares dos gráficos. Para um bom conhecimento destas funções sugerese uma leitura do manual do próprio programa. Com relação ao comando para plotagem plot ele pode ser utilizado com a entrada de pelo menos dois vetores (x, y), mas sua forma geral permite a utilização de um formato em sequência identificando como vai ser a linha Apenas para ilustrar, foi feito um gráfico personalizado alterando algus parâmetros mais importantes do gnuplot via gset e utilizando-se de um script do octave: octave> x1=0:0.1:pi; %define vetor x octave> a=cos(x1); %define o primeiro vetor y octave> b=sin(x1); %define o segundo vetor y octave> gnuplot_set xlabel "x" % define nome do eixo x octave> gnuplot_set ylabel "y" % define nome do eixo y octave> gnuplot_set key outside box % define legenda % do lado de fora do grafico e com borda octave> plot(x1,a,"-;cos(x);",x1,b,"-;sin(x);")

21 Tóp. Esp. Fluido-Témica 16 Figura 2.1: Gráfico gerado no octave e com isto foi criado o gráfico mostrado na figura (2.1). Deve-se ressaltar que em versões antigas do programa utilizava-se substiturir o comando gnuplot_set por gset. Um dos aspectos mais complexos é a utilização de estilos de linhas e pontos neste tipo de plotagem. Além de escolher o título da legenda da curva é ainda possível nestes gráficos, escolher tanto a cor como a forma das linhas ou pontos da curva. Para tanto é interessante conhecer os esquemas a serem utilizados: - define a curva na forma de linhas;.., +, *, o e x define a curva na forma de diferentes estilos de pontos; ^ define gráfico de impulsos; L define gráfico de steps ; n ou c, definem a cor a ser utilizada de forma: Num. Letra Cor 0 k preto 1 r vermelho 2 g green 3 b azul 4 m magenta 5 c cyan Além destas cores pode-se ainda utilizar o w para o branco e os números maiores que cinco para outras variações.

22 Tóp. Esp. Fluido-Témica 17 Cabe ressaltar ainda que o comando fplot pode ser utilizado diretamente para a elaboração de gráficos a partir de funções diretamente. Ele pode ser utilizada de maneira análoga ao plot, excetuando-se pelas mudanças de formatos anteriormente demonstradas. octave> gnuplot_set xlabel "x" % define nome do eixo x octave> gnuplot_set ylabel "y" % define nome do eixo y octave> fplot("[cos(x), sin(x)]", [0,pi]) 2.5 Operações lógicas É possível realizar uma série de operações lógicas e testes usando o Octave. As operações mais usuais são maior (>) ou maior ou igual (>=), menor(<) ou menor ou igual (<=), igual (==) e diferente (! = ou =). É conveniente notar que o teste de igualdade (==) é diferente da atribuição (=). if é utilizado para realização de comparações diretas e direcionar o fluxo do programa em funçaõ de seu resultado. octave> a=2 2 octave> if (mod(a,2)==0) disp(\"numero par\") else disp(\"numero impar\") endif Numero par octave> 3 a=3; octave> if (mod(a,2)==0) disp(\"numero par\") else disp(\"numero impar\") endif Numero impar while utilizado para o caso de repetições onde o teste é feito por diversas vezes a cada interação do problema. octave> z=1; octave> while (z<5) disp(z); z+=2; endwhile 1 3 for no caso de operações que usam um contador com incrementos constantes o comando for é o mais indicado. octave> for z=1:2:4 disp(z); endfor 1 3

23 Tóp. Esp. Fluido-Témica 18 switch permite a seleção de uma alternativa entre diversas. Pode ser substituido por um conjunto de if s em cascata. octave> nlados=3; octave> switch (nlados) > case (3) disp("tri^angulo") > case (4) disp("quadrado") > case (5) disp("pentágono") > otherwise disp("figura n~ao classificada") > endswitch Tri^angulo Em todos os comandos acima o final endif, endwhile, endfor e endswitch pode ser substituido por end sem comprometer o funcionamento do script (e mantendo compatibilidade com o Matlab) 2.6 Diferenças básicas entre o Matlab e o Octave Algumas diferenças básicas que podem afetar a compatibilidade entre ambos são: o nome de algumas funções são diferentes o comentário no Matlab é % e no Octave também é aceito o # no Matlab, os blocos formados por while, if e for e as functions necessariamente terminam com end. No octave pode-se usar, opcionalmente, endwhile, endif, endfor e endfunction. no Matlab a única forma aceita para a desigualdade é o =. O!= é aceito apenas no Octave. operadores incrementais ++ e - - não são aceitos no Matlab.

24 CAPÍTULO 3 Métodos para a solução de Eq. Diferenciais Ordinárias Os problemas envolvendo as Equações Diferenciais Ordinárias são normalmente subdivididos em dois grandes grupos: Problemas de Valor Inicial: que são aqueles onde as condições de contorno são estabelecidas em um ponto inicial, e partir destas vão sendo calculados os valores para posições subseqüentes. Este procedimento é normalmente caracterizado por procedimento de marcha (os transientes são os melhores exemplos deste tipo de problemas). Problemas de Valor de Contorno: são aqueles onde as condições de contorno são estabelecidas em posições diferentes dentro de um problema, o que implica em uma solução que envolva todo o domínio. Para exemplificar melhor cada um dos problemas, imagine um caso de condução unidimensional em um sólido de condutividade térmica independente da temperatura com geração de calor. A equação diferencial para este problema é: T (x) = q k 19

25 Tóp. Esp. Fluido-Témica 20 Imaginando que a uma das temperaturas das faces é conhecida e T (x = 0) = T 0. Se além dela, for conhecido o fluxo de calor que está entrando por esta face ou seja, na mesma posição q(x = 0) = kt (0) = q 0 este problema será um problema de valor inicial e o procedimento de marcha poderá ser adotado. Por sua vez se, ao invés disso, forem conhecidas as duas temperaturas de parede em ambas as faces T (x = 0) = T 0 e T (x = L) = T L este problema passa a ser um problema de valor de contorno. 3.1 Método de Runge Kutta Existem diversos graus para o método de Runge Kutta, será mostrada aqui a dedução para o método de segunda ordem, para os métodos de ordem superior o procedimento é análogo. Sabe-se que por série de Taylor é possível expressar o valor qualquer ponto a partir de um ponto conhecido: y(x + x) = y(x) + x y (x) + x2 y (x) + 2! que pode ser escrito para um sistema discreto com espaçamento x = h na forma: y n+1 = y n + h y n + h2 2! y n + Suponhamos que uma dada equação diferencial pode ser manipulada de forma a obter uma expressão para a derivada primeira de forma que: y = f (x, y) = y n = f(x n, y n ) No caso da derivada de uma função qualquer em relação a x é conveniente lembrar da regra da cadeia: d dx f(x, y) = f x(x, y) + f y (x, y) dy dx sendo que os índices x ou y da função representam a derivada parcial da função em relação a tal derivada. Reescrevendo a expansão por Taylor, mas levando em conta esta informação tem-se agora uma expansão para funções de duas variáveis : y n+1 = y n + hf(x n, y n ) + h2 2! [f x(x n, y n ) + f y (x n, y n )y n] +

26 Tóp. Esp. Fluido-Témica 21 ou ainda: y n+1 = y n + hf(x n, y n ) + h2 2! [f x(x n, y n ) + f(x n, y n )f y (x n, y n )] + (3.1) O método de Runge Kutta se baseia no princípio de que existe um ponto em um determinado intervalo cuja a derivada fornece exatamente a tangente para o cálculo do ponto no extremo deste intervalo. Esta derivada pode ser expressa como uma composição linear na forma: y n+1 = y n + (a 1 y n + a 2 y )h (3.2) sendo y um valor previsto para a derivada para o ponto genérico (x n + b 1 h, y n + b 2 y nh). Assim o valor para y : y = f(x n + b 1 h, y n + b 2 y nh) que pode ser ainda expandida numa série de Taylor de primeira ordem (envolvendo os termos de h) f(x n + b 1 h, y n + b 2 y nh) = f(x n, y n ) + b 1 f x (x n, y n )h + b 2 y nhf y (x n, y n ) = f(x n, y n ) + b 1 f x (x n, y n )h + b 2 hf(x n, y n )f y (x n, y n ) Substituindo o valor da expansão de y na equação (3.2) tem-se que: y n+1 = y n + {a 1 f(x n, y n ) + a 2 [f(x n, y n ) + b 1 f x (x n, y n )h + b 2 hf(x n, y n )f y (x n, y n )]}h Que rearranjada resulta em: y n+1 = y n + (a 1 + a 2 )f(x n, y n )h + a 2 b 1 f x (x n, y n )h 2 + a 2 b 2 f(x n, y n )f y (x n, y n )h 2 (3.3) Finalmente, comparando-se as equações (3.1) e (3.3) obtém- se o seguinte sistema de equações: a 1 + a 2 = 1 a 2 b 1 = 1 2 a 2 b 2 = 1 2 Este sistema tem mais incógnitas que equações e a sua família de soluções é dada por: a 2 = 1 a 1 b 1 = 1 2 2a 1 b 2 = 1 2 2a 1

27 Tóp. Esp. Fluido-Témica 22 y n+1 K 3 K 1 2 K 2 2 K 4 x n h/2 h x n+1 Figura 3.1: Esquema de funcionamento do Runge Kutta de 4 a ordem Uma solução comum para o sistema seria dada se a 1 = a 2 que implica em a 1 = a 2 = 1/2 e b 1 = b 2 = 1 que igualaria ao método de Runge Kutta ao Método de Euler. Maiores detalhes desta dedução e do método de Euler podem ser encontrados em (Ruggiero & Lopes, 1988). Exercício: Resolva a equação diferencial para um problema de condução onde a geração de energia é função da temperatura dada por: dt dx = x + 2 T utilizando o Runge Kutta de 2 a ordem numa placa de 2 m (0 x 2) e usando um incremento h = 0.4. A temperatura numa face da parede é dada e é igual 10 C. (x = 0 T = 10). A figura (3.1) mostra graficamente como funciona a aproximação mais utilizada deste tipo de esquema: O Runge Kutta de 4 a ordem. São aproximadas tanto as retas tangentes como os pontos utilizados para os cálculos intermediários. É apresentada também na figura o valor do ponto calculado numericamente utilizando as escalas dos Ks. As expressões que são utilizadas para o Runge Kutta de 4 a ordem na aproximação de um problema y (x) = f(x, y) são:

28 Tóp. Esp. Fluido-Témica 23 K 1 = h f(x n, y n ) K 2 = h f(x n + h/2, y n + K 1/2) K 3 = h f(x n + h/2, y n + K 2/2) K 4 = h f(x n + h, y n + K 3 ) sendo que o valor posterior é calculado na forma: y n+1 = y n (K K K 3 + K 4 ) (3.4) Exemplo de Aplicação: Determinar o tempo de resposta de um termômetro de mercúrio de vidro quando este instrumento é utilizado na leitura de um ambiente cuja temperatura varia de forma senoidal com o tempo: T = sin(2πt) sendo o tempo t dado em horas. Admitir que o coeficiente global de transferência de calor entre o termômetro e o fluido é de 25 kcal/h m 2 C. O termômetro pode ser idealizado como um cilindro de mercúrio de 25 mm de comprimento e 6 mm de diâmetro e sua temperatura inicial de 15 C. Dados: ρmerc = kg/m 3 cmerc = kcal/kg C Volmerc = m 3 Solução: Pelo balanço térmico tem-se que: [ Qtde de calor armazenada no termômetro ] = Qtde de calor transferida pelo fluido ρmerc cmerc Volmerc dt dt = h A (T T ) (3.5) sendo que a área de transferência de calor por convecção é: A = πdl = π(0.006)(0.025) = m 2. Substituindo os valores na equação (3.5) tem-se: ( ) dt dt = 25 ( ) (T T )

29 Tóp. Esp. Fluido-Témica 24 ou de forma rearranjada tem-se: dt dt = (T T ) Como o valor de T = sin(2πt): dt dt = [ sin(2πt) T ] (3.6) que é uma expressão na forma T = F (t, T ). A condição inicial do problema também é conhecida e é dada por t = 0 T = 15 C. Para resolver este problema basta aplicar o método de Runge-Kutta ou então resolver esta expressão analiticamente. A solução exata para este problema pode ser encontrada em (Kreith, 1977) e é dada por: T = sin(2πt 0.165) exp( t) (3.7) Aplicando-se Runge Kutta para o problema em intervalos de tempo de 2 min (h = h) tem-se que: t = 0 : T=15 C t = K 1 = h F (0, 15) = {37.681[ sin(2π0) 15]} = K 2 = h F ( /2, /2) = F ( , ) = K 3 = h F ( /2, /2) = F ( , ) = K 4 = h F ( , ) = F ( , ) = T 2 = T (K K K 3 + K 4 ) isto implica em que T 2 = C. T 2 = ( ) 6 Utilizando a solução analítica para o problema a temperatura indicada pelo termômetro, para o mesmo tempo, é de C. Isto equivale a um erro de cerca de 1%, indicando a boa precisão do método.

30 Tóp. Esp. Fluido-Témica 25 A tabela (3.1) mostra a solução para este problema para vários valores de tempo. Ela fornece os valores da temperatura calculada pela solução analítica e por Runge Kutta, além de fornecer o valores para os Ks em cada tempo. A figura (3.2) mostra o comportamento das temperaturas lidas pelo termômetro, exata e numérica, e a temperatura real do banho. Pela figura é possível mostrar a boa concordância entre o resultado numérico e o resultado exato. Tabela 3.1: Tabela de resultados para o exemplo 1 Tempo (h) T exata T numérica K 1 K 2 K 3 K

31 Tóp. Esp. Fluido-Témica Sol. Analitica Sol. Numerica Temperatura do banho Temperatura [oc] Tempo[h] Figura 3.2: Temperaturas do termômetro e banho no exemplo Implementação da solução no GNU-Otave Para arepresentar o problema será escolhida a solução da relação entre a temperatura de um termômetro e de seu banho apresentada na apostila. Neste caso a equação do problema é dada por: T (t, T ) = ( sin(2πt) T ) sendo a condição de partida a temperatura inicial do termômetro T (0) = 15. Para definir esta equação do problema é preciso criar um arquivo representando esta função, sendo que ambos (a função e arquivo) devem ter o mesmo nome. No caso será criado o arquivo dert.m, composto por: function dr=dert(tempo,temper) dr=37.681*( *sin(2*pi*tempo)-temper); endfunction e a partir dele é possível calcular o valor da função para qualquer par ordenado T (t, T ). Por exemplo: octave> dert(0.15) ans =

32 Tóp. Esp. Fluido-Témica 27 Cabe ressaltar aqui que no Matlab não existe o comando endfunction, sendo que o mesmo não precisa ser incluido no caso de arquivos deste tipo. Entretanto o objetivo principal é a solução desta equação diferencial, portanto é preciso resolvê-la. Para tanto será montado uma outra função runge.m na qual será implementado o método de Runge-Kutta. A função referida que utilizará a dert.m, anteriormente definida. function resp=runge(tempo,temper,h) k1=h*dert(tempo,temper); k2=h*dert(tempo+h/2, temper+k1/2); k3=h*dert(tempo+h/2, temper+k2/2); k4=h*dert(tempo+h, temper+k3); resp=temper+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; endfunction Com esta função agora é possível realizar a marcha do processo de solução. Caso se desejasse a temperatura após decorridos 2 min, é possível obtê-la usando a função recém definida: octave> runge(0.15,2/60) ans = Para a obtenção da solução completa é preciso repetir este procedimento por diversas vezes este procedimento e armazenar a solução em vetores. Para isto, a sequencia de comandos abaixo pode ser implementada diretamente ou via arquivo e a solução armazenada nos valores de te e TT: dt=2/60; te=0:dt:1; TT=zeros(1,31); TT(1)=15; for i=2:31 TT(i)=runge(te(i-1),TT(i-1),dt); endfor que se executado no octave. Deve-se observar que o comando te0:2/60:1;= cria um vetor com todos os termos de 0 a 1, incrementados em intervalos de 2/60. Feita esta análise implementar ainda solução analítica do problema e a evolução da temperatura do banho em funções distintas (t exata.m e tbanho.m). O resultado obtido destas funções são armazenadas em variáveis:

33 Tóp. Esp. Fluido-Témica 28 function tex=t_exata(t) tex= *sin(2*pi*t-0.165)-21.36*exp( *t); endfunction e function tba=tbanho(t) tba= *sin(2*pi*t); endfunction Definidas as funções pode-se avaliar as soluções e armazená-los nas variáveis texv e tba, a partir das quais, pode-se plotar os resultados. Estes valores estão mostrados no gráfico em função do tempo armazenado na variável te, e o resultado está mostrado na figura (3.3). Para comparação uma tabela de saída de dados foi montada com base nos resultados obtidos. Desta forma é possível uma análise dos valores numéricos de cada caso: octave> [te TT texv tba ] ans =

34 Tóp. Esp. Fluido-Témica 29 Figura 3.3: Gráfico gerado no GNU-Octave Neste gráfico estão mostradas a solução numérica e exata do problema, além da temperatura do banho. O comando utilizado para plotagem, considerando-se as avriáveis anteriormente definidas é dado por: xlabel "Tempo [horas]" ylabel "Tempertura [C]" plot(te,texv,"-;sol Analitica;",te,TT,"*;Sol Numerica;",te,tban, "-;Temp. Banho;"); Solução usando comandos preexistentes no GNU-Octave Embora o procedimento acima possa ser realizado sem maiores problemas ele depende, como foi mostrado, da elaboração de uma rotina para a solução do problema, no caso usando o procedimento de Runge-Kutta. Existe uma alternativa um pouco mais simples que consiste na utilização do procedimento de solução já implementado no octave usando o comando lsode. Este comando consiste na utilização do algoritmo de Hindmarsh, um algoritmo um pouco mais recente que o de Runge-Kutta e otimizado para sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Para a solução do problema anteriormente proposto é preciso conhecer o uso de: lsode( nome da função, condição, domínio) sendo que: nome da função é o nome do arquivo que contem a expressão da função a ser integrada e cujo nome vem entre. Embora esta seja basicamente igual à definida anteriormente deve-se

35 Tóp. Esp. Fluido-Témica 30 tomar o cuidado de que a função deve ser chamada sempre com o primeiro argumento sendo o vetor da grandeza a ser calculada e o segundo o do parâmetro da solução. Nestas condições a função utilizada na solução do problema do termômetro, chamada de dert2.m deve ser redefinida como: function dr=dert2(temper, tempo) dr=37.681*( *sin(2*pi*tempo)-temper); endfunction condição são a(s) condição(ões) de partida necessárias para a solução do problema. domínio representa a faixa de valores para os quais a solução vai ser obtida. Neste caso deve-se estabelecer a forma de um vetor do tipo início: passo: fim ou forma equivalente. Para o caso do exemplo anterior pode-se utilizar: octave> sol2=lsode("dert2",15,te); considerando o dominio do problema anteriormente definido por te. Depois disto a solução poderia ser plotada e comparada com as anteriores ou mesmo verificado a diferença entre a nova solução e a anterior. Um procedimento similar a este poderia ser elaborado usando-se o Matlab para obter a solução deste problema com as seguintes diferenças: existem uma série de funções que permitem a solução de odes no Matlab, sendo a mais utilizada a ode45, que normalmente substituir o lsode. a chamada da função dentro do ode45 se dá com na frente do nome e não entre. o domínio pode ser estabelecido através de um vetor na forma [início final], além das formas anteriormente apresentadas. EXERCÍCIO: Repita o procedimento anteriormente apresentado agora para um termopar, cuja capacidade térmica e, por consequência, o tempo de resposta são bem menores. Supondo que as condições do banho são as mesmas propostas para o caso do termômetro e que as propriedades físicas do termopar são: ρ = 7600 kg/m 3 ; c = 0.12 kcal/kg K; D = m.considere neste caso que o volume submerso é igual ao diâmetro total do par termoelétrico.

36 Tóp. Esp. Fluido-Témica 31 Solução: Neste caso a EDO do problema seria dada por: T (t, T ) = ( sin(2πt) T ) e a solução analítica do problema seria dada por: T (t) = sin(2πt ) exp( t) Agora apresente a solução numérica deste problema e compare-a com a resposta obtida a partir da solução analítica. 3.2 Soluções de sistemas de equações diferenciais ou equações diferenciais de ordem superior utilizando Runge Kutta O mesmo procedimento mostrado anteriormente pode ser estendido para equações diferenciais de ordem superior, mas para isto é necessário algumas adaptações no esquema. A adaptação utilizada é converter a E.D. (Equação Diferencial) em um sistema. Este fato é melhor explicado tomando-se uma E.D. como exemplo: y + y y + 2 x = 0 = y = y + y 2 x Esta equação diferencial é análoga ao sistema abaixo: y = Z y = Z + y 2 x O procedimento para a solução de sistemas é idêntico ao método de solução de uma única equação desde que seja tomado o cuidado de calcular os Ks em paralelo para todas as equações. Isto é muito importante e deve ser respeitado e implica que antes de calcular qualquer K 2 os valores de K 1 devem ter sido calculados para todas as equações. Para ilustrar a forma de utilização deste procedimento será apresentado um exemplo a seguir. Exemplo de Aplicação: Considere uma aleta circular sobre um duto de de 12 cm de diâmetro e 0.5 cm de espessura e feita de alumínio (k = 215 W/m 2 C). A aleta troca calor com um ambiente a 25 C e com coeficiente de película de 50 W/m 2 C. Sabendo que a base

37 Tóp. Esp. Fluido-Témica 32 da aleta trabalhará há uma temperatura de 50 C e que deve dissipar uma quantidade de calor de 120 W pergunta-se qual o comprimento mínimo que esta aleta deverá ter? Obs: O calor trocado pela ponta da aleta pode ser desprezado. Solução: Fazendo um balanço térmico em um anel de espessura dr nesta aleta tem-se que: q r = q r+dr + qconv k(2π r t) dt dr = k(2π (r + dr) t) dt r dr + h 2 (2πr dr) (T T ) r+dr Fazendo a a aproximação da derivada (dt/dr) r+dr por série de Taylor na forma: dt dr = dt r+dr dr + d2 T r dr 2 dr r e ainda simplificando a equação obtém-se: r dt dr = (r + dr) ( ) dt dr + d2 T dr dr 2 2 h r dr k t (T T ) Note que os valores de avaliação da derivada deixaram de aparecer uma vez que todas agora passam a ser avaliadas na posição r. Expandindo a expressão: r dt dr = r dt dr + r d2 T dt dr + dr dr2 dr + d2 T dr 2 dr2 2 h r dr k t Desprezando-se o termo de ordem O(dr 2 ) e simplificando a expressão: (T T ) ou rearranjada d 2 T dr r d 2 T dr 2 dt dr 2 h k t (T T ) = 2 h k t (T T ) 1 r dt dr Substituindo pelos valores numéricos: d 2 T dr 2 = (T 25) 1 r dt dr (3.8) Esta equação está sujeita às condições de contorno: r = R, T = T b na base da aleta a temperatura é conhecida. Substituindo os valores tem-se que neste caso: T=50 C.

38 Tóp. Esp. Fluido-Témica 33 r = R, q = q b o fluxo de calor na base também é conhecido. No entanto é importante ressaltar que o fluxo de calor tem que ser adaptado para se tornar uma condição de contorno: q b = k 2 π R t dt dr = dt r=r dr = q b r=r 2 π k R t Substituindo os valores: dt dr 120 = r=r 2 π = Feito isto pode-se partir para a solução da equação propriamente dita. Para questão de nomenclatura utilizar-se-a o sistema de equações na forma: G(r, T, G) = G F (r, T, G) = (T 25) 1 r G sendo que T = F (r, T, G) e T = G(r, T, G) r = 0.06 T 1 = 50; e G 1 = r = 0.07 adotar-se a o segundo sub-índice 1 para os valores da integração da função e o índice 2 para a integração da sua derivada, assim K 1,1 = h G(0.06, 50, 296.1) = = 2.96 K 1,2 = h F (0.06, 50, 296.1) = 0.01 [93.02 (50 25) ] = K 2,1 = h G( /2, /2, /2) = 2.60 K 2,2 = h F (0.065, 48.52, 259.8) = K 3,1 = h G( /2, /2, /2) = 2.65 K 3,2 = h F (0.065, 48.70, ) = K 4,1 = h G( , , ) = 2.33 K 4,2 = h F (0.07, 47.35, ) = Os valores dos parâmetros de F e G são os mesmos para a mesma posição e foram somente apresentados de maneira diferente: sendo indicados em G e calculados em F.

39 Tóp. Esp. Fluido-Témica 34 E agora é possível calcular os valores desejados: T 2 = T (K 1,1 + 2 K 2,1 + 2 K 3,1 + K 4,1 ) = ( ) = G 2 = G (K 1,2 + 2 K 2,2 + 2 K 3,2 + K 4,2 ) = ( ) = Este mesmo procedimento pode ser repetido por diversas vezes até que o fluxo de calor G se anule, que é quando a aleta deixa de transferir calor. Os resultados para este problema podem ser encontrados na tabela (3.2). A solução analítica para este problema também pode ser obtida no entanto ele envolve funções de Bessel e pode ser dada na forma: T (r) = I 0 (9.645 r) K 0 (9.645 r) T (r) = [I 1 (9.645 r) + I 1 (9.645 r)] [K 1 (9.645 r) + K 1 (9.645 r)] sendo ainda que os valores calculados por estas funções também estão presentes na tabela (3.2). Um ponto importante no que tange ao cálculo da eficiência da aleta é descobrir o ponto onde a derivada se anula. Utilizando a solução analítica obtém-se r = , e fazendo uma regressão linear na tabela para os resultados numéricos obtém-se r = que equivale a um erro de 0.03%. Deste resultado é possível avaliar a eficiência da aleta: η = q real q ideal = π ( ) (50 25) = = 65.49% Procedimento de solução usando o GNU-Octave Também no caso da EDO de segunda ordem é possível utilizar estes métodos. Como foi visto a saída é converter a solução para um sistema de equações diferenciais em que cada uma representa uma ordem diferente. Uma solução implementando a técnica de Runge Kutta apresentada anteriormente poderia ser vista, entretanto, aqui só será apresentada a técnica que se utiliza da função pré-implementada no octave lsode.

40 Tóp. Esp. Fluido-Témica 35 Tabela 3.2: Tabela de solução para o exemplo resolvido 2 r T T exata G = dt/dr T exata k1,1 k1,2 k2.1 k2,2 k3,1 k3,2 k4,1 k4,

41 Tóp. Esp. Fluido-Témica 36 Bem para isto é necessário definir uma função que represente a equação diferencial do problema que foi apresentada anteriormente, sendo: T (r, T, T ) = 93.02(T 25) 1 r T que será representada através da função sol ale1.m, que tem como parâmetros de entrada um vetor que armazena T e suas derivadas e uma variável para armazenar a posição radial r. function temr=sol_ale1(temper, raio) temr=zeros(2,1); temr(1)=temper(2); temr(2)=93.02*(temper(1)-25)-1/raio*temper(2); endfunction onde a variável temr (1) e (2) representam as expressões para a primeira e segundas derivadas de T nos pontos considerados, respectivamente. Feito isto a solução pode ser obtida estabelecendo a região do domínio para a qual seria solucionada (raios rr), as condições iniciais) e executando a chamada do lsode, como mostra o script a seguir. octave> saida=lsode("sol_ale1", [ ], rr=[0.06:0.01:0.2]); octave> xlabel "Tempo [horas]" octave> ylabel "Temperatura [C]" octave> plot(rr,saida(:,1),"-*; Sol. Numerica;") octave> figure(2) octave> xlabel "Tempo [horas]" octave> ylabel "Grad. Temper [C/h]" octave> gset key left top octave> plot(rr,saida(:,2),"-*; Sol. Numerica;") que apresentaria a solução do problema na tela e o armazenaria na variável saida. A partir destes dados, poderia ser traçar os gráficos da forma que se mostrasse adequada e também identificar o tamanho real da aleta, a partir do ponto em que a derivada se anula. A figura (3.4), mostra o comportamento da solução. 3.3 Condição de Contorno Deslocada Até agora foi visto apenas casos onde as condições iniciais eram conhecidas de antemão. No entanto existem casos onde se deseja satisfazer condições que estejam deslocadas em relação ao ponto inicial. O procedimento de Runge Kutta funciona bem também neste caso, no entanto

42 Tóp. Esp. Fluido-Témica 37 Figura 3.4: Temperatura e gradientes no caso da aleta é necessário utilizar-se de um procedimento iterativo repetindo-o para diferentes condições iniciais até obter a condição deslocada desejada. Este procedimento é usado como uma maneira de contornar as limitações do método utilizando-o na solução de um problema de contorno. Embora este acerto na condição de contorno possa ser feito por tentativa e erro existem procedimentos mais otimizados para a busca dos valores iniciais: são eles os métodos de busca de zero de funções (método da bipartição, secante e Newton-Raphson). O método que tende a ser mais eficiente para este procedimento é o Método de da Secante, que é uma adaptação do método de Newton-Raphson. Para tanto é apresentada a seguir uma breve revisão a respeito dos métodos. Método de Newton Raphson: forma básica é: é um método que permite achar a raiz de expressões. Sua x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Método da Secante: é uma adaptação do Método de Newton-Raphson que procura expressar a derivada da função de forma discreta. Relembrando a definição de derivada é: f f(x + x) f(x) (x) = lim x 0 x No caso da expressão pela Método da Secante é tomada a expressão discreta para a derivada

43 Tóp. Esp. Fluido-Témica 38 utilizando-se dos dois pontos anteriormente calculados, ou seja, fazendo x = x n x n 1 e assim: x n+1 = f(x n ) x n f(x n ) f(x n 1 ) (x n x n 1 ) ou f(x n ) x n+1 = x n f(x n ) f(x n 1 ) (x n x n 1 ) Esta mesma expressão pode ser reagrupada na sua forma mais usual que é: x n+1 = f(x n) x n 1 f(x n 1 ) x n f(x n ) f(x n 1 ) (3.9) Esta expressão permite o cálculo de forma a obter valores estimados para as condições iniciais no caso de condição de contorno deslocada. Exemplo de Aplicação: Considere uma aleta circular sobre um duto de de 12 cm de diâmetro e 0.5 cm de espessura e feita de alumínio (k = 215 W/m 2 C). A aleta troca calor com um ambiente a 25 C e com coeficiente de película de 50 W/m 2 C. Sabendo que a base da aleta trabalhará há uma temperatura de 50 C pergunta-se qual máximo fluxo de calor que poderá ser dissipado pela aleta, independente do seu comprimento? Solução: A aleta terá a sua máxima dissipação de calor se o seu comprimento tender a infinito. Mas para que o seu comprimento tenda a infinito é preciso respeitar a condição de contorno: dt dr = 0 r No caso da solução numérica, é preciso estipular um valor para este infinito, neste caso estipulou-se como infinito o valor de 2 m. A outra condição de contorno é dada pela temperatura na base da aleta, ou seja T (r = 0.06) = 50 C. Como este problema é similar ao exemplo anterior tomou-se inicialmente a condição de contorno para a derivada, já calculada anteriormente, T (r = 0.06) = Depois dele adotou-se um valor arredondado para o T (r = 0.06) = 300. Os valores obtidos para a derivada em x = 2 m é mostrada a seguir:

44 Tóp. Esp. Fluido-Témica 39 dt/dx x=0 dt/dx x= Tomando por base estes dois valores é possível aplicar a expressão do método da secante, equação (3.9), e obter uma estimativa do valor que vai anular o fluxo afastado da base da aleta. Assim: x n+1 = ( 296.1)( ) ( 300)( ) = = Este é o novo valor que deve ser utilizado de forma a buscar a condição de contorno desejada. Executando o Runge Kutta com este valor inicial obtém-se o resultado mostrado abaixo:. dt/dr r=0.06 dt/dr r E-09 Isto indica que o máximo fluxo de calor que poderá ser dissipado por uma aleta deste tipo e sujeita às condições pré-estabelecidas é: dt q = k A b dr = 215 (2π ) ( ) = W r=0.06 A solução exata para este problema também é obtida em termos de função de Bessel e é dada por: T (r) = K 0 (9.645 r) dt dr = (K 1 (9.645 r) + K 1 (9.645 r)) Desta forma pode-se calcular o fluxo de calor máximo transmitido: dt dr = = q b = W r=0.06 Desta forma é possível verificar que o valor calculado através de Runge Kutta, praticamente coincide com o exato. 2 O valor para o foi adotado como sendo 2 m

45 Tóp. Esp. Fluido-Témica Procedimento de solução usando o octave Os problemas de ordem superior nem sempre fornecem as condições necessárias para a partida do processo de marcha, ou seja, o valor da função e de sua derivada no ponto. Em um grande número de situações serão conhecidos o valor da função, ou mesmo da função e derivadas, em dois pontos distintos. Imagine o caso da aleta anterior, se conhece o valor da temperatura na base e a da temperatura na ponta, ou mesmo a temperatura na base e as condições de convecção na ponta, o problema não poderia ser resolvido da maneira apresentada. Para obter-se a solução neste caso é necessário o procedimento iterativo, onde admite-se os valores da função e suas derivadas no ponto e busca-se os outros valores nos pontos desejados. Desta forma imagine o caso resolvido na apostila onde deseja-se saber o fluxo máximo de calor que pode ser dissipado por uma aleta com estas características. Admitindo-se que o comprimento infinito seja uma aleta de 2 m, busca-se o valor da derivada na base que obtenha fluxo de calor nulo nesta ponta. Calcula-se os valores inicialmente para duas estimativas da derivada na base da aleta, usando-se a seguinte sequência de comandos: octave> rr=0.06:0.01:2; octave> fx1=-296.1; octave> fx2=-300; octave> saida=lsode("sol_ale1", [50 fx1], rr); octave> y1=saida(end,2) y1 = e+09 octave> saida=lsode("sol_ale1", [50 fx2], rr); octave> y2=saida(end,2) y2 = e+09 onde os valores fx1 e fx2 são os valores da derivada da temperatura no ponto r = 2 m. A partir destes valores utiliza-se o método da reta tangente mostrado no texto da apostila para encontrar a nova (neste caso, terceira) estimativa para o dt/dx r=6 cm. octave> fx3=(y2*fx1-y1*fx2)/(y2-y1) fx3 = Esta é a nova estimativa da derivada na base da aleta, com a qual podem ser reefetuados os cálculos sucessivas vezes até que seja encontrado um valor para a derivada da temperatura nula na posição desejada. Seguindo o procedimento abaixo:

46 Tóp. Esp. Fluido-Témica 41 octave> fx1=fx2; octave> fx2=fx3; octave> saida=lsode("sol_ale1", [50 fx2], rr); octave> y2=saida(end,2) y2 = octave> fx3=(y2*fx1-y1*fx2)/(y2-y1) fx3 = que resulta num valor para a derivada na base de K/m, e que pode tranquilamente ser convertido para o valor do fluxo de calor na base q = W. O comportamento do gráfico da derivada da temperatura ao longo da posição pode ser visto utilizando um script de plotagem similar ao proposto anteriormente na página (36). Um procedimento similar a este, embora utilizando-se do comando pré-implementado no GNU-Octave, o fsolve (equivalente ao fzero no Matlab), para encontrar zero de funções pode também ser utilizado. Para tanto será necessária a definição de uma função que se anule quando o resultado esperado de derivada nula em x = 2 m ocorra. A implementação foi realizada na função ale inf.m, onde o parâmetro de entrada x é o vetor com o chute inicial da derivada e o valor retornado é a derivada da temperatura no ponto afastado da base, como mostrado a seguir: function rr=ale_inf(x) raio=0.06:0.01:2; y=lsode("sol_ale1",[50 x], raio); rr=y(length(y),2); endfunction Definida esta função a mesma pode ser facilmente solucionada buscando-se o valor de x que zera a função acima: octave:65> solu=fsolve("ale_inf", -300) solu = octave:66> printf("%15.8f\n",solu); obtendo-se com isto um resultado similar ao anterior e o gráfico dos valores de tempertura e sua derivada também podem ser montados a partir do valor correto encontrado em solu.

47 CAPÍTULO 4 Solução de Sistema de Equações Lineares Diversos métodos se apresentam como eficientes na solução de sistemas de equações lineares. Destacam-se dois grandes grupos que, neste caso, são os métodos iterativos de solução e os métodos diretos de solução. Neste capítulo apresentaremos os dois grupos com dois dos métodos mais usuais, sendo um representante de cada grupo. 4.1 Métodos iterativos de solução O grupo dos métodos iterativos de solução tem como característica comum o uso de procedimentos que vão sucessivamente se repetindo, cada vez com novos argumentos, até a obtenção da solução final (dentro de uma certa tolerância). São representantes destes métodos: Método da Sucessiva Sobre-Relaxação, Método de Gauss-Jacobi, Método de Gauss-Siedel, etc. O mais utilizado dentre todos é o método de Gauss-Siedel, cujo o procedimento pode ser descrito em alguns passos: 1. isolar em todo o sistema de equação, em cada linha a variável correspondente à diagonal da matriz (elemento central). 2. admitir uma solução de partida, em função da qual serão calculadas as soluções posteri- 42

48 Tóp. Esp. Fluido-Témica 43 ores. 3. substituir em cada uma das equações o valor atual para cada uma das variáveis obtendo, desta forma, um novo valor para cada variável. 4. repetir o passo 3 até que a oscilação da solução atinja um valor inferior à tolerância adotada. 5. adotar a solução obtida como solução do sistema de equações. Tanto o método de Gauss-Jacobi como o método da sucessiva sobre-relaxação (S.O.R.) tem procedimento similar ao descrito. No entanto convém ressaltar que o método de Gauss-Jacobi tem uma menor velocidade de convergência para a solução do sistema pois atualiza os valores das variáveis somente ao final de cada iteração. O método S.O.R. também é um método eficiente, no entanto o seu maior complicador é o cálculo do valor da sobre-relaxação, que depende das condições dos sistema linear. Na maior parte dos casos a sua convergência é até mais rápida que a de Gauss-Seidel. Maiores detalhes a respeito destes métodos podem ser encontrados em (Ruggiero & Lopes, 1988) e (Maliska, 1995). Exemplo: Resolva o sistema linear mostrado abaixo: 4 x x 2 = 10 2 x x x 3 = 19 3 x x x 4 = 29 2 x x x 5 = 48 3 x x x 6 = 61 x x x 7 = 43 2 x x 7 + x 8 = 41 2 x x 8 = 62 Solução:

49 Tóp. Esp. Fluido-Témica 44 Se isolarmos o elemento central de cada nó obtém-se: x 1 = 1( 3 x ) x 2 = 1( 3 x x ) x 3 = 1( 2 x x ) x 4 = 1( 2 x x ) x 5 = 1( 4 x x ) x 6 = 1( 2 x 4 7 x ) x 7 = 1( x x ) x 8 = 1( 2 x ) Partindo de um chute inicial onde x i = 0 para 1 < i < 8 tem-se, aplicando os conceitos de Gauss-Seidel, que: x 1 = 1 (10) = 2, 5 4 x 2 = 1 ( ) = 3, 5 4 x 3 = 1 ( 3 3, ) = 3, 7 5 x 4 = 1 ( 2 3, ) = 5, x 5 = 1 ( 3 5, ) = 9, x 6 = 1 ( 9, ) = 8, x 7 = 1 ( 2 8, ) = 8, x 8 = 1 ( 2 8, ) = 7, Repetido o procedimento por diversas vezes encontra-se as soluções mostradas na tabela (4.1), e a solução foi buscada até 30 iterações, mas notem que para parar neste ponto foi necessário uma tolerância superior a Chute Número de Iterações Solução inicial Exata Tabela 4.1: Resultados obtidos com o método de Gauss-Siedel

50 Tóp. Esp. Fluido-Témica 45 A 1 B C 2 A 2 B C 3 A 3 B C i A i B i C n A n Figura 4.1: Esquema de uma matriz triangular 4.2 Métodos de inversão direta Estes métodos diferem dos demais por não necessitar de procedimento iterativo para a busca da solução, eles buscam uma forma de solucionar diretamente o sistema. Dentre estes métodos destacam-se Método de Triangularização de Gauss, Método de Fatoração LU, etc. Existem ainda alguns métodos específicos para matrizes especiais, o caso típico (e muito utilizado pela peculiaridade de que na matriz cada ponto está relacionado somente aos seu dois vizinhos) é o TDMA (TriDiagonal Matrix Algorithm) ou Método Linha a Linha. Este método é extremamente útil principalmente quando se trabalha com Diferenças Finitas, como veremos posteriormente, que geram matrizes como estas. O método TDMA se baseia na triangularização de Gauss, mas feita para uma matriz Tridiagonal. A figura (4.1) mostra a forma geral deste tipo de matriz. O procedimento para utilização do TDMA é um pouco mais complexo que o de Gauss Siedel, imaginemos que uma linha qualquer do sistema pode ser expressa por: A i x i + B i x i+1 + C i x i 1 = D i Repare que para obedecer as condições do sistema é necessário que C 1 e B n sejam nulos resultando em um sistema composto por n incógnitas expresso através de uma matriz quadrada. O sistema pode, com isto, ser resolvido através da expressão: x i = P i x i+1 + Q i onde: P i = B i A i + C i P i 1 Q i = D i C i Q i 1 A i + C i P i 1

51 Tóp. Esp. Fluido-Témica 46 De acordo com as condições já descritas C 1 = 0 logo: P 1 = B 1 A 1 Q 1 = D 1 A 1 e a partir deles é possível calcular todos os outros até os valores P n e Q n. No entanto para obter o campo de temperaturas é preciso começar pela última linha e ir regredindo até a primeira. Sabe-se que B n = 0 e portanto P n = 0. Desta forma: x n = Q n donde é possível calcular todos os demais valores para a solução. Uma descrição mais detalhada do método e sua utilização pode ser encontrada em (Maliska, 1995). Exemplo: abaixo: Resolva o sistema linear, idêntico ao solucionado por Gauss-Seidel, mostrado 4 x x 2 = 10 2 x x x 3 = 19 3 x x x 4 = 29 2 x x x 5 = 48 3 x x x 6 = 61 x x x 7 = 43 2 x x 7 + x 8 = 41 2 x x 8 = 62 Solução: Este mesmo sistema pode ser expresso matricialmente na forma: x x x x = x x x x 8 e repare na sua formação Tridiagonal.

52 Tóp. Esp. Fluido-Témica 47 Os valores para A, B, C e D são retirados diretamente de cada linha do sistema de equações e podem ser vistos na tabela (4.2), assim sendo os valores de P 1 e Q 1 são: P 1 = B 1 A 1 = 3 4 = 0, 75 Q 1 = D 1 A 1 = 10 4 = 2, 5 E os próximos valores de podem ser calculados através da expressão: P 2 = B 2 A 2 + C 2 P 1 = ( 0, 75) = 1, 2 Q 2 = D i C i Q i 1 A i + C i P i 1 = , ( 0, 75) = 5, 6 sendo todos os demais P e Q calculados da mesma forma. O resultado para os mesmos neste caso pode ser encontrado na tabela (4.2). Calculados todos os valores de P e Q é possível voltar calculando a solução para o sistema de equações. Para a última linha sabe-se que: x 8 = Q 8 = 8 Com este resultado pode-se calcular o valor de x 7 através da expressão: x 7 = P 7 x 8 + Q 7 = 0, = 7 e assim sucessivamente até obter a solução para todas as variáveis. A solução completa está a disposição na tabela (4.2), exceto pela solução exata que é idêntica à obtida pelo TDMA. Linha A B C D P Q x Tabela 4.2: Resultados obtidos através do método TDMA

53 CAPÍTULO 5 Equações Diferenciais Parciais - Caracterização e Métodos de Discretização e Solução Até agora foi visto métodos de solução de equações diferenciais ordinárias, a partir de agora começaremos a ver as formas de solução numérica das equações diferenciais parciais. Na introdução desta apostila já foram discutidos alguns aspectos deste tipo de solução e a partir de agora será feito um aprofundamento nestes aspectos com a introdução de alguns conceitos novos. 5.1 Subdivisão das equações diferenciais parciais Da mesma forma que as equações diferenciais ordinárias, as E.D. parciais também podem ser subdivididas em subgrupos. Embora estes grupos sejam de interesse eminentemente matemático é importante conhecer as suas características principais e assim poder identificar as características de suas soluções. No caso de problemas físicos não se deve preocupar-se tanto com a natureza de uma equação diferencial como um todo, que é calculada a partir dos valores dos coeficientes dos termos da equação diferencial, mas sim como se comportam cada uma das coordenadas da mesma. 48

54 Tóp. Esp. Fluido-Témica 49 (c) (b) Ponto P (a) Figura 5.1: Figuras ilustrativas dos tipos de equações diferenciais Quanto à classificação pode-se dizer que as equações diferenciais se dividem em: Equação Diferencial Parabólica: é um tipo de equação diferencial em que existe uma direção definida para a a propagação de uma dada perturbação, vide figura (5.1a). Este tipo de equação é a mais simples de ser solucionada numericamente pois a solução de cada passo depende basicamente do conhecimento do passo anterior. Um bom exemplo da parcela parabólica de uma equação diferencial é a coordenada que envolve o tempo, cujo o comportamento é puramente parabólico. Veja por exemplo que para se conhecer a situação em um determinado tempo basta conhecer como este se encontrava no instante anterior. Embora este seja o melhor exemplo de comportamento deste tipo existem uma série de outros problemas que podem ter parcelas deste tipo (equações de camada limite, por exemplo). Equação Diferencial Elíptica é a mais comuns das formas das equações diferenciais, e neste tipo cada ponto está ligado a todo o domínio e só se pode resolver o problema a partir do conhecimento da solução de todo o domínio, vide figura (5.1b). Todos os problemas que necessitam de condições de contorno em dois pontos recaem em situações deste tipo, assim o grande exemplo de equação diferencial elíptica são as coordenadas envolvendo o espaço. Equação Diferencial Hiperbólica é aquela em que a perturbação também tem uma direção preferencial, no entanto esta direção preferencial não é conhecida, depende dos conhecimento, muitas vezes da própria solução do problema, vide figura (5.1c). Desta a solução deste tipo é praticamente um misto das outras, quando a direção preferencial é conhecida ela pode ser

55 Tóp. Esp. Fluido-Témica 50 resolvida como uma equação parabólica, quando não ela é resolvida como uma elíptica. Exemplos de equações deste tipo são a parcela convectiva das equações de transporte, equações de onda, etc. 5.2 Formas de solução de equações diferenciais parciais As formas básicas de solução de equações diferenciais parciais já foram discutidas na introdução. A respeito do seu uso não existe propriamente um consenso e várias discussões se apresentam. Embora não deva ficar apenas nisto vou transcrever aqui um trecho da referência (Maliska, 1995), cujo o autor é um dos mais respeitados da área numérica de todo o país. É importante notar que se trata apenas da opinião do autor e não propriamente de um consenso. Com o grande desenvolvimento experimentado pelos métodos numéricos e a conseqüente penetração dos mesmos na engenharia, não raramente se travam discussões acaloradas a respeito da eficiência do método das diferenças finitas (MDF) e elementos finitos (MEF). Minha intervenção neste ponto polêmico deve-se ao fato de ter observado, ao longo dos últimos 10 anos, que muitas afirmações acerca desses métodos são oriundas do desconhecimento desta natureza. Um breve histórico é importante para o entendimento. 0 MDF sempre foi empregado pelos especialistas da área de escoamento de fluidos, enquanto o MEF o foi para área estrutural, na solução de problemas da elasticidade. Os problemas, do ponto de vista físico, são completamente diferentes. Os de escoamento são altamente não-lineares (equações de Navier-Stokes), enquanto os de elasticidade não possuem os termos convectivos, não-lineares, e assemelham-se a problemas puramente difusivos de transferência de calor. Foi natural, portanto, o fato de os pesquisadores do MDF terem se concentrado na tentativa de dominar as não-linearidades dos termos convectivos e no problema do difícil acoplamento entre as equações, dificuldades não encontradas em problemas de elasticidade. Por muito tempo foi deixado para segundo plano o problema do tratamento de geometrias complexas, e o MDF teve todo o seu desenvolvimento baseado nos sistemas coordenados ortogonais, como o cartesiano, o cilíndrico e o esférico. Por esta razão, muitas pessoas ainda vinculam o MDF com malhas cartesianas, equivocadamente, uma vez que ele pode ser aplicado a qualquer tipo de malha, mesmo a não-estruturada usada em elementos finitos. Por outro lado, o MEF sempre teve a vantagem de usar malhas não-estruturadas, o que permite que problemas em geometrias complexas possam ser resolvidos. 0 MEF não teve penetração forte na área de fluidos por muito tempo, porque se acreditava que a equação diferencial a ser resolvida necessitava de um princípio variacional para que o método pudesse ser aplicado. Como a equação de Navier-Stokes não tem esta propriedade, a aplicação do MEF

56 Tóp. Esp. Fluido-Témica 51 em fluidos foi retardada. Até o inicio da década de 70, tinha-se, portanto, o MDF com grande experiência na área de fluidos, mas sem habilidades para tratar geometrias complexas; e o MEF, hábil no tratamento da geometria, mas sem ferramentas para tratar os termos convectivos presentes nas equações do movimento. Mesmo suplantando a questão do princípio variacional, através do uso do método de Galerkin e outras variantes, o MEF não teve sucesso imediato em problemas de fluidos, uma vez que o método de Galerkin (que é equivalente ao uso de diferenças centrais no MDF) é adequado apenas para problemas puramente difusivos. 0 uso do método de Galerkin em elementos finitos é equivalente ao uso de diferenças centrais em diferenças finitas, ambos produzindo instabilidade em problemas de convecção dominante. Este e outros problemas similares, que possuem a adequada interpretação física pelo não-funcionamento, motivaram pesquisas para o aprimoramento do método dos volumes finitos (MVF), no qual as equações aproximadas são obtidas através de balanços de conservação da propriedade envolvida (massa, quantidade de movimento, entalpia, etc.) no volume elementar. A observação do caráter físico de cada termo da equação diferencial permitiu que métodos mais robustos fossem desenvolvidos. A possibilidade de associar a interpretação física com a matemática influiu de modo considerável para que praticamente todos os analistas envolvidos com o MDF passassem a usar o MVF, visto que ambos, por serem equivalentes para uma série de problemas, levam muitas pessoas a confundi-los. Importantes desenvolvimentos foram então realizados no MVF, mas ainda em coordenadas ortogonais, principalmente cartesianas. Uma grande transformação, motivada pelo aparecimento de equipamentos mais velozes, processou-se na década de 70. Em meados dessa década, os sistemas coordenados ortogonais convencionais começaram a ceder espaço para os sistemas coordenados generalizados coincidentes com a fronteira do domínio, e o MVF passou a resolver problemas de fluidos em geometria, irregulares. Nos últimos 15 anos, foi espantoso o crescimento experimentado pelo MVF em coordenadas coincidentes com a fronteira. Praticamente todos os grandes pacotes hoje disponíveis no mercado para a solução de problemas de escoamento de fluidos com transferência de calor empregam coordenadas generalizadas no âmbito do MVF. Paralelamente, o MEF passou a empregar outras funções de interpolação para permitir o tratamento adequado dos termos convectivos não-lineares. As funções do tipo Petrov-Galerkin, que nada mais são do que a ponderação entre os efeitos difusivos e convectivos, semelhantes aos esquemas híbridos empregados em volumes finitos, possibilitaram um expressiva avaliação do MEF na área de escoamento de fluidos. Recentes formulações, onde estas funções são desenvolvidas ao longo da linha de corrente, também equivalentes aos esquemas skew usados em volumes finitos, permitiram que o MEF passasse, também, a tratar problemas de fluidos

57 Tóp. Esp. Fluido-Témica 52 minimizando os efeitos de difusão numérica. Atualmente, um grande esforço de pesquisa está sendo dedicado ao desenvolvimento de métodos em volumes finitos, usando malhas não-estruturadas, semelhantes, portanto, aquelas usadas em elementos finitos. No panorama atual, observa-se que ambos os métodos (MVF e MEF) estão resolvendo problemas altamente convectivos, inclusive com ondas de choque, em geometrias arbitrárias, mostrando que existe entre eles uma forte semelhança em termos de generalidade. Se olharmos do ponto de vista matemático, isto poderia ser diferente, uma vez que todos os métodos numéricos podem ser derivados do método dos resíduos ponderados, empregando-se diferentes funções peso. Por exemplo, o MDF surge quando a função peso é feita igual à função delta no ponto em consideração; o MVF aparece quando esta função peso é feita igual a 1 no volume elementar, e a zero em todos os outros volumes elementares, já o MEF-Galerkin surge quando estas funções peso são feitas iguais às funções tentativas. Logo, não existe sentido em argumentar que um determinado método é sempre superior a outro, visto que eles são derivados do mesmo principio e diferem apenas na forma de minimização escolhida. 0 que se tem, na prática, são diferentes graus de experiência dos diversos métodos para diferentes problemas. A preferência pessoal deste autor pelo método dos volumes finitos (MVF) para problemas de escoamento de fluidos é justificada primeiro pela escola seguida na sua formação e, segundo, pelo fato de o MVF, ao criar suas equações aproximadas, estar realizando um balanço da propriedade em nível de volumes elementares. Se o que se busca com o método numérico é a solução da equação diferencial que representa a conservação da propriedade em invés de ponto (infinitesimal), parece lógico que as equações aproximadas (que formam o sistema linear) representem a conservação em nível de volumes elementares (discreto). A depuração de um programa computacional também fica mais fácil quando o analista tem etapas a serem conferidas. Como no MVF os balanço de conservação devem ser satisfeitos em nível de volumes elementares, para qualquer tamanho de malha, todos os princípios de conservação podem ser checados em uma malha bastante grosseira. Ou seja, quase tudo pode ser feito manuseando-se poucos resultados em execuções rápidas no computador. Em outros métodos, pode-se apenas conferir a solução com uma malha refinada. Recentes desenvolvimentos mostram também o MEF aplicado em nível de volumes elementares, sendo denominado método dos elementos finitos baseado no volume de controle, conhecido na literatura internacional como CVFEM - Control Volume Finite Element Method, cujo objetivo é obter as equações aproximadas em nível de volumes elementares em uma base de elementos finitos. Muitos autores, principalmente aqueles ligados ao MEF clássico, não consideram o CVFEM como um MEF. Entretanto, foge do nosso escopo aprofundar esta e outras

58 Tóp. Esp. Fluido-Témica 53 questões específicas. Um outro método que vem ganhando destaque e espaço é o método dos elementos no contorno (Boundary Element Method - BEM da literatura internacional). Sua vantagem é a possibilidade de tratar apenas com a discretização da fronteira, sem necessidade de discretizar o domínio interno. 0 método é aplicado quando é possível transferir a influência do operador do domínio para a fronteira. Apesar de atraente, é um método que ainda está longe de responder as solicitações dos problemas complexos resolvidos pelos outros métodos. Sem dúvida é uma área de pesquisa que merece esforços. Depois desta discussão toda o método que será estudado mais a fundo é o método de diferenças finitas (MDF) por se tratar de um método tradicional, ainda amplamente utilizado e, que segundo o próprio texto mostra, não difere muito dos demais. 5.3 Discretização do domínio Como já foi discutido a solução numérica não gera soluções contínuas como as analíticas mas sim valores para pontos determinados. Trata-se portanto de uma etapa fundamental na solução numérica de um problema a escolha dos pontos para os quais vai se obter solução, o que é determinado pela discretização do domínio. Muitas vezes se obtém valores para pontos fora dos pontos da malha, mas estes valores são obtidos por interpolação da solução original, o que não garante a correção do seu valor, embora este procedimento forneça bons resultados na maior parte dos casos. Um dos grandes exemplos onde este procedimento falha é quando se tem um problema de solidificação ou fusão. Entre o ponto um ponto da malha que é sólido e outro líquido há uma forte descontinuidade, e uma simples interpolação linear neste caso não fornecerá bons resultados, embora a solução para cada ponto esteja correta. A escolha da malha também pode influir decisivamente na solução de um problema numérico. Um grande exemplo disto é que a utilização de dois pontos muito próximos numa malha onde a distância média entre os pontos é significativamente maior pode induzir em erros significativos na solução final do problema. Isto é explicável pela inclusão de uma quase-singularidade na matriz (dois pontos que respondem pela mesma equação), dificultando a solução do sistema. Recentemente tem sido desenvolvidas muitas técnicas de geração automática de malhas, em (Maliska, 1995) pode ser encontrada descrição de uma série destes métodos. Este procedimento é um conforto necessário pois, a medida que as geometrias dos problemas vão se tornando mais

59 Tóp. Esp. Fluido-Témica 54 complexas, o tempo necessário para gerar uma malha manualmente aumenta numa proporção muito maior. É importante ressaltar que para se trabalhar com a formulação de diferenças a ser apresentada nesta apostila é necessária que a malha seja ortogonal 1. Existem formulações alternativas para diferenças finitas e volumes finitos que trabalham com malhas ortogonais. O método de elementos finitos não requer malhas ortogonais. 1 Malha ortogonal é o tipo de malha em que cada ponto tem seus vizinhos diretos numa direção normal ou tangencial.

60 CAPÍTULO 6 Método dos Elementos Finitos Será mostrado neste capítulo todos os princípios da formulação de um problema através do método dos elementos finitos. Serão apresentados, de forma sucinta, os princípios da metodologia de elementos finitos, todos os passos a serem cumpridos na formulação de um problema desde a discretização até solução final do problema. 6.1 Princípios gerais Aproximação por funções O princípio fundamental de elementos finitos consiste em utilizar funções, de diferentes ordem, para aproximar a solução dentro do domínio do elemento (subdomínio do problema). Normalmente quando se tem uma determinada quantidade expressa em termos de uma variação, espacial ou temporal, pode-se determinar uma equação de aproximação. A qualidade desta aproximação pode ser determinada através de um desvio expresso por: e(x) = u(x) u ex (x) sendo e(x) o desvio, u(x) a aproximação e u ex o valor exato desta aproximação para este mesmo ponto. 55

61 Tóp. Esp. Fluido-Témica 56 Para construir uma aproximação exata é necessário escrever a aproximação de u(x) em função da posição e dos parâmetros de aproximação: escrever uma função contendo n parâmetros a i como, por exemplo u(x) = a 1 + a 2 x + a 3 x a n x n 1, ou qualquer outra função onde: u = f(x, a 1, a 2, a 3, a n ) determinar os parâmetros a i da aproximação usando uma determinada regra. Esta regra pode ser a de mínimos quadrados, ou ainda, a mais comum para determinação das funções de elementos finitos, a função em que o desvio e(x) = 0, nos pontos considerados. Desta forma obtém-se uma função que simplesmente aproxima o comportamento da variável ao longo do domínio. Com esta aproximação podem ser obtidas, dentre outras coisas,: um expressão simples para uma função complexa ou difícil de ser manipulada, válida para um certo número de pontos que se deseje ou ainda com boa aproximação dentro de uma certa região; solução para equações diferenciais parciais ou ordinárias (normalmente associadas a problemas físicos). Exemplo Aproximação da quantidade física: Suponha que deseja-se obter a distribuição de temperatura numa dada região e sabe-se que esta é uma função contínua (sem ressaltos) e são conhecidos os seus valores em três pontos: x u ex (x) 0,0 20 C 0,5 25 C 1,0 22 C Pode-se determinar uma expressão para as temperaturas entre os pontos 0 e 1, utilizando a o desvio nulo (e(x) = 0) nos pontos conhecidos e uma aproximação polinomial quadrática: u ex (x) u(x) = a 1 + a 2 x + a 3 x 2

62 Tóp. Esp. Fluido-Témica 57 assim: u ex (x = 0) = u(x = 0) = a 1 = 20 u ex (x = 0, 5) = u(x = 0, 5) a 1 + 0, 5 a 2 + (0, 5) 2 a 3 = 25 u ex (x = 1) = u(x = 1) a a 2 + (1) 2 a 3 = 22 Se resolvido o sistema com três equações e três incógnitas obtém-se que: a 1 = 20; a 2 = 18; a 3 = 16; que resulta em u(x) = x 16 x 2 e representa uma aproximação do u ex (x). Por exemplo, para uma aproximação da temperatura na posição x = 0, 7 pode ser usado: u(x = 0, 7) = , 7 16 (0, 7) 2 = , 84 = Exemplo: Solução aproximada de uma equação diferencial: Supondo que se tem um problema de condução com a geração de energia variando com a posição. Neste caso, a equação diferencial que rege o problema seria do tipo: e sabendo que: d 2 u = f(x) para 0 x 1 dx2 x f(x) 0,25 1 0,75 0,25 Tem-se, ainda, que as temperaturas nas extremidades do problema seriam conhecidas. Neste caso, as condições de contorno adotadas são: x = 0 : a temperatura u = 0 x = 1 : a temperatura u = 0 Para a obtenção da solução também se faz necessário a escolha de uma função que obedeça as condições de contorno. Assim, foi escolhida a seguinte aproximação: u ex (x) u(x) = a 1 sin(π x) + a 2 sin(2 π x)

63 Tóp. Esp. Fluido-Témica 58 Normalmente em soluções deste tipo é mais difícil encontrar uma solução que satisfaça as condições de contorno do que partir dela, e encontrar a solução do problema, propriamente dita. Desta forma tem-se que para este caso, nos dois pontos considerados: d 2 u dx 2 = a 1 π 2 sin(π x i ) 4a 2 π 2 sin(2 π x i ) x=xi e para os pontos analisados: d 2 u dx 2 = a 1 π 2 sin(0.25 π) 4a 2 π 2 sin(0.5 π) = 1 x=0,25 d 2 u dx 2 = a 1 π 2 sin(0.75 π) 4a 2 π 2 sin(1.5 π) = 0.25 x=0,75 Resolvendo o sistema composto por duas equações e duas incógnitas, obtém-se: que implica numa solução: a 1 = u(x) = π 2 ; a 2 = π 2 sin(π x) π 2 ; 1 sin(2 π x) π2 Pode-se utilizar ainda a expressão para avaliar a temperatura, ou outra variável de interesse, em qualquer ponto. Por exemplo para a posição x = 0, 25, tem-se: u(x = 0, 25) = = 0, 0728 π Aproximação nodal Este mesmo procedimento pode ser utilizado para expressar uma função para uma variável genérica em função dos pontos nodais. Para isto, note primeiro que nos casos anteriores poderia se fazer uma aproximação em função das variáveis a 1,, a n, bastando para isto: u(x) = P 1 (x) a 1 + P 2 (x) a P n (x) a n sendo P i chamada de função básica de interpolação (basis function). Imagine que se tenha um domínio qualquer e se conheça os valores de uma função qualquer em pontos determinados. Pode-se montar uma função que represente o comportamento da variável em função do seu valor nestes pontos. Para uma função u(x) tem-se que para uma

64 Tóp. Esp. Fluido-Témica 59 série de pontos nodais x 1, x 2,, x n os valores da função são, respectivamente, u 1, u 2,, u n. Pode-se desta forma fazer a aproximação nodal: u(x) = N 1 (x) u 1 + N 2 (x) u N n (x) u n ou ainda numa forma matricial: u(x) = [N 1 (x) N 2 (x) N n (x)] = u 1 u 2. u n = [N] u sendo N i chamada de função de interpolação (interpolation function) Assim sendo, é possível notar que (a) como u(x i ) = u i, as funções de interpolação assumem os valores:: { 0 sei j N j (u i ) = 1 sei = j (b) o erro da aproximação nos pontos nodais é nulo. e(x) = 0 se x = x i Exemplo Aproximação para quatro pontos: Considere a situação onde são escolhidos quatro pontos alinhados para solucionar o problema unidimensional. Desta forma a aproximação nodal é dada por: u(x) = N 1 (x) u 1 + N 2 (x) u 2 + N 3 (x) u 3 + N 4 (x) u 4 Neste caso é adotada como função de interpolação que respeite as condições anteriormente expostas: a função de Lagrange de terceiro grau, N i (x) = 4 j=1 j i (x x j ) (x i x j) (6.1) Tomando o exemplo de N 1 (x) tem-se: N 1 (x) = (x x 2)(x x 3 )(x x 4 ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 1 x 4 )

65 Tóp. Esp. Fluido-Témica 60 1,0 0,8 0,6 0,4 N 1 (x) 0,2 0,0-0,2-0, x Figura 6.1: Comportamento da função N 1 (x) na região considerada Assim se x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 5 e x 4 = 7 tem-se que: N 1 (x) = 1 (x 2) (x 5) (x 7) 24 que se substituído x 1 1, N 1 (x) O comportamento desta função pode ser visto para todos os pontos na figura (6.1). Raciocínio análogo é usado para as demais funções: N 2 (x) = (x x 1)(x x 3 )(x x 4 ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 )(x 2 x 4 ) = 1 (x 1) (x 5) (x 7) 15 N 3 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 4 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 )(x 3 x 4 ) = 1 (x 1) (x 2) (x 7) 24 N 4 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x 4 x 1 )(x 4 x 2 )(x 4 x 3 ) = 1 (x 1) (x 2) (x 5) 60 Assim, considerando a interpolação da própria variável espacial, ou seja u 1 = 1, u 2 = 2, u 3 = 5 e u 4 = 7: tem se que a função de interpolação u(x) é dada por:

66 Tóp. Esp. Fluido-Témica 61 u(x) = N 1 (x) u 1 + N 2 (x) u 2 + N 3 (x) u 3 + N 4 (x) u 4 = 1 24 (x 2) (x 5) (x 7) + 2 (x 1) (x 5) (x 7) (x 1) (x 2) (x 7) + 7 (x 1) (x 2) (x 5) 60 = x que resulta com isto na solução exata: u(x) = x. Este é apenas um exemplo unidimensional, no entanto na maior parte dos problemas que são tratados em elementos finitos, tem-se duas ou mais dimensões, e as novas funções de interpolação passam a ser função de todas as variáveis espaciais: u ex (x, y, z) = u ex ( x) ou ainda u( x) = [N 1 ( x) N 2 ( x) N n ( x)] = u 1 u 2. u n = [N] {u} 6.2 Aproximação por Elementos Finitos A construção das funções de aproximação u(x) vão se tornando mais difíceis a medida que o número de nós aumenta. Uma maior complexidade ainda é verificada quando o domínio V é irregular ou possui condições de contorno mais complexas. Por outro lado, as aproximações nodais de sub-domínio simplificam a obtenção da solução u(x) e são extremamente fáceis de serem implementadas em um computador. Este procedimento consiste, basicamente, dos seguintes passos: divisão do domínio principal V em sub-domínios V e ; a escolha de uma aproximação nodal adequada para cada subdomínio. De maneira geral, ela depende das dos pontos nodais e aproximações utilizadas nas vizinhanças. O método dos elementos finitos é apenas um tipo de aproximação nodal por sub-domínio, sendo suas características principais: a aproximação nodal dentro do sub-domínio depende apenas dos nós do próprio elemento;

67 Tóp. Esp. Fluido-Témica 62 a aproximação elementar u e (x) deve garantir um mínimo de continuidade entre dois elementos assim como nas suas fronteiras. Algumas definições importantes: Nós: são os pontos do sub-domínio onde a função é avaliada; Coordenadas nodais: são as coordenadas geométricas dos pontos avaliados. Variáveis nodais: são valores da função de interesse, u(x), nos nós Definição geométrica dos elementos. Imagine o problema genérico aproximado por elementos compostos pelos nós 1, 2, 3 e 4 e compreendendo o domínio total entre x 1 e x 4. Os três elementos lineares seriam responsáveis pelo seguintes domínios: Elemento 1 V 1 x 1 < x < x 2 Elemento 2 V 2 x 2 < x < x 3 Elemento 3 V 3 x 3 < x < x 4 Utilizando para cada um destes elementos de dois nós a função Lagrange tem-se que para cada elemento: u i (x) = N 1 u 1 + N 2 u 2 sendo N i dado pela expressão de Lagrange, equação (6.1). Deve-se notar que no exemplo anteriormente resolvido, utilizava-se um polinômio de Lagrange de quarta ordem, enquanto no caso de elementos de dois nós utiliza-se apenas o polinômio de segunda ordem Regras para a discretização de domínios através de elementos finitos A subdivisão de um domínio V em sub-domínios V e deve obedecer a algumas regras. (a) deve haver sempre uma fronteira comum entre os elementos adjacentes onde estarão os únicos pontos comuns entre os elementos. Estas fronteiras podem ser compostas por pontos, linhas ou áreas.

68 Tóp. Esp. Fluido-Témica 63 (a) Overlapping (b) Hole Figura 6.2: Anomalias comuns na discretização de um domínio através de malhas. (b) não é permitida a existência de regiões comuns a mais de um elemento (overlapping) e nem regiões dentro do domínio que não pertençam a região alguma (holes). Estas anomalias estão mostradas na figura (6.2). (c) quando a fronteira do domínio do problema não coincidem inclui-se uma anomalia (hole) que acarreta em um erro que não pode ser mensurado. Entretanto, estes erros, denominados por erros geométricos, podem ser minimizados utilizando-se elementos menores ou elementos de maior ordem, que melhor se adequam à fronteira. Estes procedimentos são melhores compreendidos quando discretiza-se uma fronteira do tipo mostrado na figura (6.3). Note que na fig. (6.3a) a discretização é feita com elementos grosseiros e não é possível representar a fronteira de forma adequada, apresentando maiores vãos (holes), nestas regiões. Na fig. (6.3b) utiliza-se elementos menores e a fronteira já pode ser melhor representada. E, finalmente, na figura (6.3c), nota-se que foi obtida uma boa representação da fronteira mesmo com elementos mais grosseiros, desde que estes sejam de ordem superior e suas fronteiras possam ser deformadas para se ajustar ao domínio do problema. (a) Malha Linear Grosseira (b) Malha mais refinada (c) Malha com elementos de maior ordem Figura 6.3: Erro comum na discretização do domínio.

69 Tóp. Esp. Fluido-Témica 64 Figura 6.4: Transformação do domínio elementar. 6.3 Elementos de referência Quando se trabalha com elementos finitos existem dois tipos básicos de sistemas de coordenadas. A metodologia de elementos finitos usa ferramentas matemáticas para efetuar a transformação (τ) de um sistema de coordenadas para outro. A figura (6.4) mostra o sistemas de referência para um elemento triangular. Os sistemas de coordenadas que coexistem neste caso são: Sistema de coordenadas local: é aquele que existe dentro do elemento ideal e cujas coordenadas são expressas em termos de ξ e η. Sistema de coordenadas global: que existe no sistema físico real e expresso em termos de coordenadas globais para todos os elementos. Pode-se expressar a transformação de um sistema de coordenadas em outro através da expressão: τ e : ξ = x e (ξ) onde o ponto ξ representa um ponto no sistema de coordenadas local e x o ponto no sistema global. Esta mesma expressão pode ser escrita em termos de variáveis nodais sendo expressa na forma: τ e : ξ = x e (ξ) = N(ξ) {x e } Para que esta transformação seja feita de maneira adequada são necessárias algumas condições:

70 Tóp. Esp. Fluido-Témica 65 o sistema de transformação deve ser biunívoco (um ponto em cada conjunto tem correspondência a outro único ponto do outro sistema). cada nó local do sistema de coordenadas corresponde a um nó do sistema generalizado e vice-versa. da mesma forma que os nós cada fronteira do elemento corresponde a uma fronteira global. Neste sistema de coordenadas pode-se utilizar as próprias coordenadas para verificar as funções de interpolação. Desta forma: x(ξ, η) = N 1 (ξ, η) x i + N 2 (ξ, η) x j + N 3 (ξ, η) x k = [N] {x} y(ξ, η) = N 1 (ξ, η) y i + N 2 (ξ, η) y j + N 3 (ξ, η) y k = [N] {y} sendo N as funções de interpolação. Estes conceitos de transformação de coordenadas podem ser vistos mais detalhadamente quando se realiza uma transformação para o elemento triangular, originalmente proposta na figura (6.4), assim: P = R + r r = ξ i ξ + η i η R = X i i ξ = X j X i i η = X k X i P = X i + ξ (X j X i ) + η (X k X i ) P = (1 ξ η) X i + ξ X j + η X k X i P = {(1 ξ η) ξ η} X j X k É possível notar que para que a transformação de coordenadas seja adequada é preciso considerar as amplitudes da transformação, assim como a múltipla composição de dimensões (η, por exemplo, apresenta derivadas tanto na direção x como y). é necessário conhecer o Jacobiano [J] da transformação. expressão: [J] = [ x ξ x η y ξ y η ] = [ x j x i x k x i Para corrigir este fator O Jacobiano pode ser dado pela y j y i y k y i det[j] = (x j x i )(y k y i ) (x k x i )(y j y i ) ]

71 Tóp. Esp. Fluido-Témica 66 É importante notar que o valor do determinante do Jacobiano resulta em duas vezes a área do mesmo. 6.4 Propriedades das funções de aproximação u(x) Propriedade Fundamental: o valor da função deve coincidir com os respectivos valores nodais. Com base na expressão geral: n u(x) = N 1 (x) x 1 + N 2 (x) x 2 + N n (x) x n = N i (x) x i tem-se que a propriedade é atendida se sobre o ponto nodal considerado j tem-se: { 0 se i j N j (x i ) = 1 se i = j Continuidade no elemento: as funções N i (x) devem ser contínuas em todo elemento, assim como as derivadas até a ordem s considerada. Continuidade entre elementos: tanto os valores da função como de suas derivadas devem ser os mesmos nas fronteiras de elementos adjacentes, sejam eles calculados por um ou outro elemento. Função polinomial completa O erro de truncamento é minimizado com a diminuição do elemento. Por muitas outras razões é necessário diminuir o erro das derivadas e da função de aproximação. Além do mais, é necessário que para que se resolva um problema ele possua pelo menos a mesma ordem (s) de derivadas contínuas na função de interpolação. Caso contrário a função seria automaticamente anulada e não se conseguiria os resultados desejados para o problema. i=1 Além disto existem algumas definições importantes que devem ser destacadas: se uma função é contínua pelas suas fronteiras ele é classificada com C 0, se a função e a primeira derivada são contínuas, ela é classificada de C 1, e assim sucessivamente. se a transformação de coordenadas e as funções de aproximação se utilizam das mesmas funções de interpolação, o elemento é chamado de isoparamétrico. se as funções de interpolação são diferentes podem haver dois tipos de transformação: pseudo-paramétrico: se as funções são diferentes mas utilizam a mesma base.

72 Tóp. Esp. Fluido-Témica 67 subparamétrica: quando as funções de interpolação da geometria são de ordem inferior à da variável de interesse. o número de variáveis nodais associados a cada um dos nós de cada elemento é denominado por grau de liberdade do sistema. 6.5 Construção das funções de interpolação Escolha da base polinomial: está diretamente associada ao número de pontos nodais do elemento, sendo que quanto maior o número de pontos, maior a base polinomial. A tabela (6.1) mostra a base associada ao número de pontos do elemento. Tabela 6.1: Base polinomial para elementos de até duas dimensões. Dimensão Grau do Base Polinomial Nós Polinômio Base completa 1 1 < 1 ξ > (linear) < 1 ξ ξ 2 > (quadrático) < 1 ξ η > (linear) < 1 ξ η ξ 2 ξ η η 2 > (quadrático) 3 Base incompleta 2 2 < 1 ξ ξ η η > (quadrático) 3 n d Para a construção do polinômio é utilizada a propriedade básica da função de interpolação, ou seja, o fato de que no ponto nodal o valor resultante é igual ao próprio valor da função. Sabendo que a transformação de sistemas é dada na forma: u(ξ) =< P (ξ) >< a(x) > (6.2) sendo < P (ξ) > a base polinomial e < a > as variáveis generalizadas para montagem da função de interpolação. A expressão apresentada na eq. (6.2) representa a aproximação generalizada, diferenciada da aproximação nodal.

73 Tóp. Esp. Fluido-Témica 68 Relação entre o sistema generalizado e nodal: é dada pela aproximação avaliada no ponto nodal: < P 1 (ξ 1 ) P 2 (ξ 1 ) P n (ξ 1 ) > {u n } = < P 1 (ξ 2 ) P 2 (ξ 2 ) P n (ξ 2 ) > {a} = [P n]{a} < P 1 (ξ n ) P 2 (ξ n ) P n (ξ n ) > ou ainda invertendo a matriz dos polinômios: {a} = [P n ] 1 {u n } (6.3) Expressões analíticas para as funções de interpolação: podem ser obtidas a partir dos resultados anteriores com respeito da base polinomial e o vetor a. Se substituir-se a eq. (6.3) na eq. (6.2), obtém-se: u(ξ) =< P (ξ) > [P n ] 1 {u n } que implica em dizer que as funções de interpolação para a aproximação nodal: u(ξ) =< N(ξ) > {u n } =< P (ξ) > [P n ] 1 {u n } ou ainda as funções de aproximação nodal são dados por: < N(ξ) >=< P (ξ) > [P n ] 1 (6.4) Derivadas de u(ξ): podem ser obtidas diferenciando em relação a cada uma das variáveis geométricas, como no caso unidimensional: { } [ ] [ ] u ξ < P ξ > = [P n ] 1 < N ξ > {u n } = {u n } = [B ξ ] {u n } < P η > < N η > u η Exemplo: Construção das funções de interpolação para um elemento quadrilateral de quatro nós: Serão utilizados agora os preceitos fornecidos para a obtenção das funções de interpolação de um elemento linear de quatro nós, como mostrado na figura (6.5). Escolha da base polinomial: já que o elemento possui quatro nós, é preciso escolher uma base de acordo com este tamanho. Já que não existe nenhuma base completa para quatro nós a melhor escolha, que respeita as condições de de simetria e inter-continuidade dos elementos é: P = 1 ξ η ξ η

74 Tóp. Esp. Fluido-Témica 69 Figura 6.5: Elemento bidimensional, linear e isoparamétrico. Montagem da matriz P n : é montada com base na avaliação da base polinomial nos quatro nós possíveis (com seus respectivos valores de ξ e η: 1 1 ξ =, η = [P n ] = Inversão de P n : neste caso a matriz é inversível: [P n ] 1 = 1 4 [P n] T = Obtenção das expressões de N : a partir da multiplicação da base polinomial pela inversa de [P n ]

75 Tóp. Esp. Fluido-Témica N = P [P n ] 1 = { 1 ξ η ξ η } N = N 1 (ξ, η) N 2 (ξ, η) N 3 (ξ, η) N 4 (ξ, η) N = 1 1 ξ η + ξη 1 + ξ η ξη 1 + ξ + η + ξη 1 ξ + η ξη 4 N = 1 (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) 4 O elemento determinado é isoparamétrico e portanto as mesmas funções utilizadas para a interpolação de uma quantidade genérica podem ser utilizadas para as variáveis espaciais (x e y no caso deste elemento bidimensional): x(ξ, η) = N x 1 x 2 x 3 x 4, y(ξ, η) = N y 1 y 2 y 3 y Transformação de operadores diferenciais As equações que governam os fenômenos físicos envolvem normalmente não somente as funções u, mas também as suas derivadas. Como já foi destacado, a aproximação no espaço real é sempre complexa devendo ser dada preferência para se trabalhar no domínio elementar. Isto implica na utilização das funções de aproximação no espaço ξ: u ex u(ξ) = < N(ξ) {u n } sendo possível a obtenção da solução através da transformação de coordenadas. Normalmente a transformação é complexa, como já foi enfatizado. De qualquer forma, quando é preciso avaliar uma derivada da referida função, seja qual for a transformação desejada, esta é feita através do princípio da regra da cadeia, que numa forma matricial poderia ser expressa por: x y z ξ ξ ξ = x y z η η η = { ξ} = [J] { x } ξ η ζ sendo [J] o Jacobiano da matriz de transformação. x ζ y ζ z ζ x y z

76 Tóp. Esp. Fluido-Témica 71 De forma análoga pode-se enfatizar que transformação inversa respeita a mesma regra: x y z = ξ x ξ y ξ z η x η y η z e que nos permite afirmar que [j] = [J] 1. ζ x ζ y ζ z ξ η ζ = { x} = [j] { ξ } Com isto é possível obter qualquer matriz de transformação, desde que esta seja biunívoca e, portanto, gere matrizes inversíveis. Alguns Jacobianos e seus inversos Unidimensional: [J] = J 1,1 [j] = [J] 1 = 1 J 1,1 Bi-dimensional: [J] = [ J 1,1 J 1,2 J 2,1 J 2,2 ] [ [j] = [J] 1 = 1 det[j] J 2,2 J 1,2 J 2,1 J 1,1 ] det[j] = J 1,1 J 2,2 J 2,1 J 1,2 Tri-dimensional: J 1,1 J 1,2 J 1,3 [J] = J 2,1 J 2,2 J 2,3 J 3,1 J 3,2 J 3,3 [j] = [J] 1 = 1 det[j] J 2,2 J 3,3 J 2,3 J 3,2 J 1,2 J 3,3 + J 1,3 J 3,2 J 1,2 J 2,3 J 1,3 J 2,2 J 2,1 J 3,3 + J 2,3 J 3,1 J 1,1 J 3,3 J 1,3 J 3,1 J 1,1 J 2,3 + J 1,3 J 2,1 J 2,1 J 3,2 J 2,2 J 3,1 J 1,1 J 3,2 + J 1,2 J 3,1 J 1,1 J 2,2 J 1,2 J 2,1 det[j] = J 1,1 (J 2,2 J 3,3 J 2,3 J 3,2 ) + J 1,2 (J 3,1 J 2,3 J 2,1 J 3,3 ) + J 1,3 (J 2,1 J 3,2 + J 3,1 J 2,2 ) Montagem do Jacobiano Considerando a matriz de transformação de variáveis entre um espaço real x e um espaço elementar ξ tem-se que a aproximação nodal se apresenta na forma: { x y z } = N [ {x} n {y n } {z n } ]

77 Tóp. Esp. Fluido-Témica 72 E o Jacobiano pode ser montado a partir das próprias derivadas da função: { } [ ] [J] = x y z = {x n } {y n } {z n } ξ η ζ N ξ N η N ζ Exemplo: Jacobiano para o elemento de quatro nós: x [ ] 1 y 1 [J] = 1 (1 η) (1 η) (1 + η) (1 + η) x 2 y 2 4 (1 ξ) (1 + ξ) (1 + ξ) (1 ξ) x 3 y 3 x 4 y 4 que após realizada a multiplicação resulta em: [J] = 1 x 1 + x 2 + x 3 x 4 + η (x 1 x 2 + x 3 x 4 ) y 1 + y 2 + y 3 y 4 + η (y 1 y 2 + y 3 y 4 ) 4 x 1 x 2 + x 3 + x 4 + ξ (x 1 x 2 + x 3 x 4 ) y 1 y 2 + y 3 + y 4 + ξ (y 1 y 2 + y 3 y 4 ) sendo que o determinante da matriz pode ser calculado através da expressão: e onde: det[j] = A 0 + A 1 ξ + A 2 η A 0 = 1 8 [(y 4 y 2 )(x 3 x 1 ) (y 3 y 1 )(x 4 x 2 )] A 1 = 1 8 [(y 4 y 3 ) (x 1 x 2 ) (y 2 y 1 )(x 3 x 4 )] A 2 = 1 8 [(y 1 y 4 )(x 2 x 3 ) (y 2 y 3 )(x 1 x 4 )] Transformação de uma integral Supondo agora que se deseje realizar uma integração de uma função genérica f no domínio elementar, muito mais simples, e transformá-la para o domínio real. Para realizar este objetivo é preciso analisar a natureza da integração. Para uma integração sobre um determinado volume no espaço real tem-se que: dv = (dx dy) dz sendo d x = J 1,1 dξ + J 2,1 d η + J 3,1 dζ d y = J 1,2 dξ + J 2,2 d η + J 3,2 dζ d z = J 1,3 dξ + J 2,3 d η + J 3,3 dζ

78 Tóp. Esp. Fluido-Témica 73 que implica que esta mesma função dv pode ser representada na forma: dv = det[j] dξ dη dζ 6.7 Coordenadas nodais e conectividade Com os nós numerados de forma seqüencial de 1 até n e expresso num sistema de coordenadas global (generalizado), pode-se montar um descrição com todos os pontos em uma tabela. No caso bidimensional devem constar na tabela o número do nó e sua respectiva coordenada x e y. A união de alguns nós faz surgir os elementos que também podem ser numerados seqüencialmente de 1 até m (m < n). Estes elementos podem ser descritos através do número dos nós que o compõem, e que podem ser associados ainda à tabela anterior, que possui as coordenadas dos pontos. Esta tabela que apresenta as conexões entre os nós de cada elemento é chamada de conectividade. A formulação por elementos finitos exige alguns cuidados sendo o principal deles o fato que a mesma deve obedecer uma seqüência de conexão entre os elementos, não podendo ser apresentada em uma ordem aleatória. Normalmente é utilizado um ponto como referência inicial e um sentido de numeração, horário ou anti-horário, para expressar a conectividade. Considerando todo o procedimento não faz diferença qual o ponto que se adota como origem para o elemento e nem o sentido de rotação, no entanto, para todos os elementos deve ser adotado o MESMO sentido de rotação. Um exemplo da montagem da tabela de coordenadas dos nós e de conectividade, pode ser visto no exemplo que se segue. Exemplo Numérico: Considere o volume total de chuva que incide sobre uma determinada região de área A e na qual são lidos uma série de pontos u i. Os pontos numerados de 1 a 10 estão mostrados na tabela (6.2) e figura (6.6) sendo apresentados suas coordenadas x e y e os níveis de chuva medidos sobre o ponto. O total de chuva Q pode ser definido como sendo: Q = u(x, y) da sendo que u(x, y) representa o nível de precipitação. A

79 Tóp. Esp. Fluido-Témica 74 Figura 6.6: Discretização do problema em elementos Com estes dados determine o valor total da precipitação sobre a região considerada e o índice médio de precipitação (u med ). Tabela 6.2: Nível de precipitação em diversos pontos selecionados No x[km] y[km] u n [cm] , 3 4, , 2 62, 3 3, , 3 84, 5 4, , 2 30, 1 5, , 9 57, 6 4, , 8 78, 2 10, , 3 10, 0 4, , 7 34, 3 4, , 9 36, 2 18, , 8 5, 1 15, 69 Solução: A primeira etapa consiste na montagem da tabela de conectividade para representar como os pontos estão interconectados. Esta tabela está representada na tabela (6.3). Aproximação nodal:

80 Tóp. Esp. Fluido-Témica 75 Tabela 6.3: Tabela de Conectividade Elemento u(ξ, η) = N 1 (ξ, η) N 2 (ξ, η) N 3 (ξ, η) N 4 (ξ, η) u 1 u 2 u 3 u 4 = 1 4 (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) u 1 u 2 u 3 u 4 Integração: Q = A u(x, y) dx dy = A u(ξ, η) det [J] dξ dη ou, na forma matricial: 1 1 Q = (A 0 + A 1 ξ + A 2 η) (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) dξ dη u 1 u 2 u 3 u 4 que depois de integrada: Q = 1 3 A 1 + A A A 1 + A A A 1 + A A A 1 + A A 2 u 1 u 2 u 3 u 4

81 Tóp. Esp. Fluido-Témica 76 que na forma polinomial pode ser escrita como: ( Q = 1 3 A 1 + A 0 1 ) ( 1 3 A 2 u A 1 + A 0 1 ) 3 A 2 u 2 + ( 1 3 A 1 + A ) ( 3 A 2 u A 1 + A ) 3 A 2 u 4 e depois de reagrupada resulta em: Q = A 0 (u 2 + u 1 + u 4 + u 3 ) + A 1 3 ( u 1 u 4 + u 3 + u 2 ) + A 2 3 (u 3 u 2 u 1 + u 4 ) ou ainda representado na forma: sendo: Q = A 0 U 1 + A 1 3 U 2 + A 2 3 U 3 U 1 = u 2 + u 1 + u 4 + u 3 U 2 = u 1 u 4 + u 3 + u 2 U 3 = u 3 u 2 u 1 + u 4 Para o primeiro elemento tem-se que: Nó 1 x 1 = 0, y 1 = 33, 3, u 1 = 4, 62 Nó 4 x 2 = 22, 2, y 2 = 30, 1, u 2 = 5, 45 Nó 5 x 3 = 49, 9, y 3 = 57, 6, u 3 = 4, 90 Nó 2 x 4 = 13, 2, y 4 = 62, 3, u 4 = 3, 81 Utilizando das definições anteriormente obtidas para elementos de quatro nós: A 0 = 1 8 [(y 4 y 2 )(x 3 x 1 ) (y 3 y 1 )(x 4 x 2 )] A 0 = 228, 19 A 1 = 1 8 [(y 4 y 3 ) (x 1 x 2 ) (y 2 y 1 )(x 3 x 4 )] A 1 = 1, 638 A 2 = 1 8 [(y 1 y 4 )(x 2 x 3 ) (y 2 y 3 )(x 1 x 4 )] A 2 = 55, 04 Conseqüentemente a vazão para o elemento 1 pode ser representada por: Q 1 = A 0 (u 2 + u 1 + u 4 + u 3 ) + A 1 3 ( u 1 u 4 + u 3 + u 2 ) + A 2 3 (u 3 u 2 u 1 + u 4 ) Q 1 = 4261, 5 cm km 2

82 Tóp. Esp. Fluido-Témica 77 Quanto ao cálculo da área, tem-se que: A = dx dy = det [J] dξ dη A = A 1 1 A = 4 A 0 A (A 0 + A 1 ξ + A 2 η) dξ dη = (2 A A 2 η)dη que implica em que: A 1 = 4 A 0 = 4 228, 19 = 912, 76 km 2 Tabela 6.4: Resumo dos resultados do exemplo. Média = x 1 y 1 u 1 x 2 y 2 u 2 x 3 y 3 u 3 x 4 y 4 u 4 1 0,0 33,3 4,62 22,2 30,1 5,45 49,9 57,6 4,90 13,2 62,3 3, ,2 62,3 3,81 49,9 57,6 4,90 78,8 78,2 10,35 39,3 84,5 4, ,2 30,1 5,45 39,3 10,0 4,96 59,7 34,3 4,26 49,9 57,6 4, ,9 57,6 4,90 59,7 34,3 4,26 73,9 36,2 18,36 78,8 78,2 10, ,3 10,0 4,96 69,8 5,1 15,69 73,9 36,2 18,36 59,7 34,3 4,26 A 0 A 1 A 2 U 1 U 2 U 3 Q Área 1 228,19 1,64 55,04 18,78 1,92-1, ,41 912, ,65-5,70 12,99 23,82 6,68 6, ,07 966, ,56-25,18-14,01 19,57-1,13-1, ,97 870, ,79-65,72 29,70 37,87 7,37 19, ,45 731, ,37 15,94-66,85 43,27 24,83 1, ,87 637,47 Qi Ai = 6, 86 cm Soma 28243, , O método dos resíduos ponderados Considere a resolução de um sistema físico qualquer, do qual se conhece a equação diferencial. Trata-se de uma equação em termos de derivadas parciais ou totais, linear ou não linear e de ordem m e pode ser expressa na forma: L(u) + f v = 0 em todo o domínio V. e sujeita às condições de contorno: C(u) = f s no contorno S.

83 Tóp. Esp. Fluido-Témica 78 sendo u a variável principal do problema e varia de acordo com a posição no espaço. Define-se a função residual como sendo: R(u) = L(u) + f v O método dos resíduos ponderados é normalmente expresso em sua forma integral: W (u) = ψ {R(u)}dV = ψ {L(u) + f v }dv (6.5) V V sendo ψ uma função peso dentre as possíveis e u a solução para o problema que satisfaz as condições de contorno C(u) Transformação integral: a integral por partes As transformações integrais são utilizadas para reduzir a ordem das equações diferenciais. Relembrando ainda que para uma integração genérica: u v = u dv + v du = u dv = v du + u v V V V V Caso se aplique este mesmo preceito para a equação integral de resíduos ponderados, eq. (6.5), este mesmo preceito quando esta acompanha uma derivada têm-se a forma fraca da equação, que é dada por: Unidimensional x2 x 1 x2 x 1 ψ du x2 dx dx = ψ d2 u dx 2 dx = x 1 x2 x 1 dψ dx u dx + (ψ u) x 2 dψ dx du dx dx + ( ψ du dx x 1 (6.6) ) x 2 (6.7) x 1 Bidimensional (vide figura 6.7) A ( u ψ A A x + u y ψ u dx dy = x ψ u dx dy = y ) dx dy = A A A ψ u dx dy + (ψ u) dy x S ψ u dx dy + (ψ u) dx y S ( ψ x + ψ ) u dx dy + (ψ u n ) ds (6.8) y S

84 Tóp. Esp. Fluido-Témica 79 ( ) 2 ( u ψ A x + 2 u ψ u dx dy = 2 y 2 A x x + ψ ) u dx dy + y y ( sendo que ψ u ) ( ds = ψ u ) ( dx + ψ u ) dy n y x S S S S ( ψ u ) ds (6.9) n A forma fraca da equação, obtida a partir da integração por partes mostrada anteriormente, apresenta algumas características e requisitos diferenciados: (a) a ordem da maior derivada de variável de interesse u é reduzida, o que relaxa a condição de continuidade necessária para a convergência; (b) algumas das condições de contorno aparecem diretamente na expressão geral; (c) reduz a ordem necessária para a função de interpolação entre os nós; (d) aumenta a ordem necessária para a função peso da solução Método de Galerkin Existem várias opções de escolha para a função peso, sendo que cada uma pode apresentar melhores ou piores resultados de acordo com o tipo de problema a ser solucionado. Esta escolha pode ser auxiliada com a utilização de referências básicas de elementos finitos, como (Dhatt & Touzot, 1984). No entanto existe um esquema de escolha de função peso que se destaca pela grande utilização nos mais diversos tipos de problemas. Este esquema de solução, conhecido como o Figura 6.7: Composição vetorial para integral sobre a superfície

85 Tóp. Esp. Fluido-Témica 80 método de Galerkin, se utiliza da mesma função usada na interpolação da variável principal (u) para a função de interpolação (ψ), ou seja: ψ = N 6.9 Tratamento das condições de contorno O tratamento das condições de contorno através do método dos elementos finitos não é uma tarefa simples, ele vem acompanhado de uma série de operações que não são imediatas. Para simplificar esta tarefa será utilizado neste estudo um tratamento simplificando, vide (Patankar, 1980), das condições de contorno onde é definida uma condição de contorno genérica na forma: u n = α c u + β c (6.10) Esta equação é capaz de representar qualquer condição de contorno usual (das três espécies) e outras ainda podem ser aproximadas. Para esta representação é necessário que: Condição de contorno da primeira espécie onde o valor da variável u é especificado na fronteira. Isto é possível de se obter substituindo os valores constantes na eq. (6.10) por: α c e β c u e sendo u e o valor especificado para a variável u na fronteira. Este esquema pode ser facilmente explicado indicando uma tendência de para qualquer valor resultante da derivada ( u/ n),o valor de u estará muito próximo do valor especificado u e. Uma outra possibilidade para este tipo de condição de contorno, e até mesmo mais comum no tratamento de condições deste tipo é a substituição da linha da matriz equivalente ao nó pela respectiva igualdade, ou sejam, u i = u e onde i é o número do nó considerado. Condição de contorno de segunda espécie onde o valor conhecido é a taxa de variação, ou fluxo, da variável considerada. Neste caso substitui-se os valores da eq. (6.10) por: α c = 0 e β c = u e onde u e é o valor da derivada na fronteira considerada, não se esquecendo de considerar o sinal da derivada, que deve estar de acordo com o sentido de n. Condição de contorno de terceira espécie é uma condição típica de transmissão de calor com a condição de convecção e deve expressar a igualdade (caso em que se trata de uma fronteira final de x): k T x = h(t T ) = T x = h k T + h T k

86 Tóp. Esp. Fluido-Témica 81 Figura 6.8: Tipos de fronteira para a discretização da C.C. de terceira espécie. e se igualarmos esta expressão à eq. (6.10) obtém-se que: α c = h k e β c = h T k É importante ressaltar que caso se trate de uma fronteira inicial de x, como mostrada na figura (6.8), n e i tem direções opostas, no entanto o sinal também Da expressão para convecção também se inverte pela posição da fronteira. Desta forma, o resultado final é sempre o mesmo e independe de se tratar de uma fronteira inicial ou final Implementação da condição de contorno generalizada Vejam o caso de implementação desta condição de contorno num elemento quadrilateral simples, figura (6.5), e cuja função de interpolação já foi obtida sendo: N = 1 (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) 4 Desta forma, a variável de interesse u pode ser expressa em termos da função de interpolação através da aproximação nodal: u(ξ, η) = N 1 (ξ, η) N 2 (ξ, η) N 3 (ξ, η) N 4 (ξ, η) u 1 u 2 u 3 u 4 = 1 (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) 4 u 1 u 2 u 3 u 4

87 Tóp. Esp. Fluido-Témica 82 Pode-se escolher qualquer uma das fronteiras para realizar a integração sobre a fronteira, mudando apenas o sentido da derivada e os pontos considerados e a direção sobre a qual é feita a derivada (ξ ou η). N ξ N η = 1 (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) 4 ξ = η 1 η 1 + η 1 η 4 = 1 (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) 4 η = ξ 1 ξ 1 + ξ 1 ξ 4 Para a face superior do elemento quadrado (η = 1) unindo os nós 3 e 4, a derivada normal passa a ser u/ η e a integral sobre a superfície passa a ser: S ( ψ u ) ds = n = α 16 = α 16 1 ξ= 1 1 ξ= 1 1 ξ= 1 ψ (αu + β) dξ = 1 ξ= (1 + ξ) (αu + β) dξ 2 (1 ξ) 0 u u (1 + ξ) 2(1 ξ) dξ + β 1 0 dξ 2 (1 + ξ) u (1 + ξ) ξ= 1 2 (1 ξ) u 4 2 (1 ξ) u (2 + 2ξ) 2 (2 + 2ξ) (2 2ξ) dξ u 2 + β 0 u 3 4 2ξ + ξ (2 + 2ξ) (2 2ξ) (2 2ξ) 2 2ξ ξ 2 u 4 1

88 Tóp. Esp. Fluido-Témica 83 S ( ψ u ) ds = α n ( ξ)3 4 3 ξ3 + 4ξ + β ξ3 + 4ξ 1 (2 2ξ) u 1 0 = α u β 3 3 u u u 1 0 = u α α u 3 β α 2α 0 0 u β = 2 3 αu 3 + 1αu β 1 αu αu 3 4 β Considerando o comprimento total l sendo representado por ξ variando entre -1 e 1 (2 unidades), tem-se: S ( ψ u ) ds = n αu αu αu αu β β l 2 = l αu 3 + αu 4 + 3β αu 3 + 2αu 4 + 3β 6.10 Integração Numérica Até agora todas as integrais a serem resolvidas o foram analiticamente, no entanto não pode deixar de se considerar a integral numérica como ferramenta importante neste tipo de solução. Da forma já vista anteriormente pode-se dizer que a integral a ser solucionada é: 1 n s n s n s n s g(x) dx = G(ξ, η) dξdη ω k G(ξ j, η k ) = ω j ω k G(ξ j, η k ) ω j 1 e j=1 k=1 j=1 k=1 Os pontos de integração são obtidos assim como a função peso para diversas geometrias sendo as mais comuns a quadratura de Gauss e o método de Newton-Cotes para elementos quadrilaterais

89 Tóp. Esp. Fluido-Témica 84 Esquema Num. pontos Posições Peso 4 ±1/ 3, ±1/ /6, 1/6 2/3, 1/6 1/6, 2/3 1/6 Figura 6.9: Pontos de integração para elementos triangulares e quadrangulares. e o método de Gauss-Radau para elementos triangulares. Existem uma série de pontos de integração escolhidos com funções peso também determinadas. Dentre estas possibilidades estão mostradas na figura (6.9) as mais utilizadas que são as de 4 pontos para elementos quadrangulares e 3 pontos para elementos triangulares Exemplos de Aplicação Um grande forno industrial é suportado por uma longa coluna de tijolos refratários com 1 m por 1 m de lado. Durante a operação em regime estacionário, as condições são tais que que três superfícies da coluna são mantidas a 500 K e a outra superfície é exposta há uma corrente de ar com T = 300 K e o coeficiente de película h = 10 W/m 2 K. Usando uma malha com δx = δy = 0.25 m, determine a distribuição bidimensional de temperatura bem como a taxa de calor transmitida ao ar por unidade de comprimento da coluna. (problema apresentado por (Incropera & DeWitt, 1999), pg 101) Solução: Para a solução deste problema será utilizada uma malha relativamente grosseira com 16 nós e 8 elementos, mostrada a seguir:

90 Tóp. Esp. Fluido-Témica 85 Se trata de um problema de condução simples em um meio isotrópico e a equação geral que rege o problema é dada por: 2 T x + 2 T 2 y = 0 2 Considerando a sua forma de resíduos ponderados, tem-se que: ( ) 2 T Ψ x + 2 T dv 2 y 2 e = 0 e e reduzida à sua forma fraca resulta em: ( Ψ T e x x + Ψ ) ( T dv e + Ψ T ) ds e = 0 y y e n Usando a aproximação nodal e multiplicando a expressão por (-1): ( ) ( Ψ Ψ N + x x y y N dv e {T } Ψ T ) ds e = 0 n e e depois, aplicando Galerkin: ( x {N} x N + y {N} ) y N dv e {T } e e e ( {N} T ) ds e = 0 n que é a expressão geral para o problema e que pode ser representada, em termos matriciais, na forma: e ( {N} [ x ] y [ x y ] ) N dv e {T } e ( {N} T ) ds e = 0 n Pelas propriedades matriz transposta, sabe-se que: ] [ x y [ N = [B] = [B] T = {N} x y ]

91 Tóp. Esp. Fluido-Témica 86 e portanto a representação matricial pode ser feita através da expressão: ( [B] T [B] dv e {T } + {N} T ) ds e = 0 n e e Sendo que para os elementos internos a integral de superfície é desprezada resultando em: [B] T [B] dv e {T } = 0 que em termos de variáveis locais se reduz a: e [B] T [B] det[j] dξ dη {T } = 0 onde a matriz [B] é escrita como: [ N ] x [B] = = N y [ ξ x ξ y η x η y ] N ξ N η = [J] 1 [B ξ ] = [Q] [B ξ ] 1 1 Reescrevendo a expressão acima em termos de variáveis locais tem-se: ([Q] [B ξ ]) T [Q] [B ξ ] det[j] dξdη {T } = [B ξ ] T [Q] T [Q] [B ξ ] det[j] dξdη {T } = 0 Para elementos quadriláteros as funções de aproximação são dadas por: N = 1 4 N = 1 ξ 4 N = 1 η 4 [ [B ξ ] = 1 4 (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) 1 + η 1 η 1 + η 1 η 1 + ξ 1 ξ 1 + ξ 1 ξ ] 1 + η 1 η 1 + η 1 η 1 + ξ 1 ξ 1 + ξ 1 ξ Quanto ao Jacobiano, ele pode ser representado a partir da matriz [B], na forma: x 1 y 1 [J] = [B ξ ] x 2 y 2 x 3 y e [Q] = [J] 1 3 x 4 y 4

92 Tóp. Esp. Fluido-Témica 87 O procedimento descrito até aqui é genérico e é idêntico para qualquer problema de condução simples. A partir de agora o procedimento passa a representar não só as características do problema, como também as características de malha e discretização representados pelo número de nós e tipo e número de elementos. Para o problema considerado, é necessário montar uma tabela com o número de nós, que pode ser dada por: Nó x y , , ,25 5 0,25 0,25 6 0,5 0, ,5 8 0,25 0,5 9 0,5 0, , ,25 0, ,5 0, , ,5 1 E também é necessário montar uma tabela que represente como estes nós estão associados para formar os elementos, é a chamada tabela de conectividade: elem

93 Tóp. Esp. Fluido-Témica 88 Feita a conectividade é possível notar que todos os elementos são iguais e a solução de um será idêntica a todos os demais. Assim, tomando o elemento 1 tem-se: 1. Integração Numérica: é feita sobre a equação anteriormente obtida, no domínio elementar transformando-se a integral em uma soma, avaliada nos pontos determinados e com a função peso adequada: n p n p [B ξ ] T [Q] T [Q] [B ξ ] det[j] dξdη {T } = sendo que neste caso foram escolhidos quatro pontos de integração: i=1 j=1 Ponto 1: ω i = 1, ω j = 1, ξ = 1/ 3, η = 1/ 3 [B ξ ] = 1 4 [ = e o Jacobiano para este elemento: ( ) ω i ω j [B ξ ] T [Q] T [Q] [B ξ ] det[j] {T } [ ] ] x 1 y [ ] [J] = [B ξ ] x 2 y 2 x 3 y 3 = x 4 y [ = sendo o valor do det [J] = e o [J] = Q = ] e assim [ ] [B ξ ] T [Q] T [Q] [B ξ ] = [ ] [ = ]

94 Tóp. Esp. Fluido-Témica 89 Que se usada toda a expressão para o primeiro ponto de integração resulta em: [V i ] = ω i ω j [B ξ ] T [Q] T [Q] [B ξ ] det[j] sendo [V 1 ] = 1 1 = Ponto 2: ω i = 1, ω j = 1, ξ = 1/ 3, η = 1/ 3 obtém-se det [J] = [V 2 ] = Ponto 3: ω i = 1, ω j = 1, ξ = 1/ 3, η = 1/ [V 3 ] = Ponto 4: ω i = 1, ω j = 1, ξ = 1/ 3, η = 1/ [V 4 ] = E se feita a somatória resulta na matriz elementar: 4 [V i ] = i=

95 Tóp. Esp. Fluido-Témica O mesmo procedimento deve ser repetido para todos os elementos. Neste caso, entretanto, tem-se o fato conveniente de que todos os elementos se encontram na mesma disposição e tem as mesmas características geométricas e, portanto, esta matriz encontrada vale para todos os elementos. 3. A próxima etapa consiste na montagem da matriz global a partir das matrizes elementares. Neste caso utiliza-se a tabela de conectividade para converter da numeração local para a numeração global, e cada linha e coluna da numeração local passam a responder por uma outra na numeração global. Vejamos para como exemplo para o primeiro elemento (onde a matriz global A ainda está vazia): numeração local numeração global A =

96 Tóp. Esp. Fluido-Témica 91 que depois de incluídos todos os elementos resulta em: [A] = Deve-se então incluir as condições de contorno que de acordo com a proposição geral pode ser expressa na forma da eq.() e respeitando a tabela abaixo(lembrando que l = 0.25 m): Nó 1 Nó 2 α β α l α l sendo que na linha relativa a cada condição devem ser somados os respectivos valores. Veja o exemplo para uma condição i-j: β l 2 i j i j α l α l 3 6 α l α l 6 3 = β l 2 β l 2 Implementando numa matriz teríamos:

97 Tóp. Esp. Fluido-Témica 92 2 [C] = {B c } = E a matriz final: [M] = [A] + [C] =

98 Tóp. Esp. Fluido-Témica 93 Tabela 6.5: Soluções diversas obtidas para o exemplo considerado. Num. Solução T 2 T 3 1 Diferenças finitas ((Incropera & DeWitt, 1999)) 357,0 339,1 2 Elementos finitos (15 pontos) 340,9 331,0 3 Elementos finitos (91 pontos) 346,8 336,5 4 Elementos finitos (231 pontos) 346,8 336,7 5 Idem a 2, mas utilizando T 1 = ,2 338,4 A matriz de carga {B}, não sofre alterações neste caso já que ela é alterada apenas pelas condições de contorno (sendo nula para a matriz elementar). A solução do sistema fica sendo: T , T , T , T , T , T , T 7 500, T , T , T , T , T , T , T , T Não existe solução analítica para este problema e não existe forma de determinar o valor exato da temperatura para estes pontos, no entanto o refinamento da malha tende a fornecer soluções mais próximas da solução real. São mostradas na tabela (6.5) uma série de soluções obtidas para este problema.

99 CAPÍTULO 7 Método de Diferenças Finitas O método de diferenças finitas foi, durante muito tempo, o único método numérico utilizado para problemas fluido-térmicos. Embora recentemente este venha perdendo espaço para outros métodos ainda é muito utilizado nesta área. A solução de qualquer problema em diferenças finitas se baseia no princípio da série de Taylor em que um ponto qualquer pode ser expresso em função dos seu pontos próximos, ou seja: f(x + x) = f(x) + df(x) dx que é na realidade uma série infinita. x + d2 f(x) ( x) 2 + d3 f(x) ( x) 3 + dx 2 2! dx 3 3! Para exemplificar esta aproximação imaginemos que a aproximação de pontos T i e T i+1 a partir de ponto T i. Imaginando que eles são igualmente espaçados e a distância entre os pontos é x. Neste caso: T i+1 = T i + T x x + 2 T ( x) 2 i x 2 i 2! + 3 T x 3 ( x) 3 + O( x) 4 (7.1) i 3! e o outro ponto, considerado na direção negativa de x, pode ser expresso por: T i 1 = T i T x x + 2 T ( x) 2 i x 2 3 T ( x) 3 i 2! x 3 + O( x) 4 (7.2) i 3! Como se tratam de séries infinitas, pode-se fazer a aproximação com a ordem do erro que se desejar. Grande número de trabalhos envolvendo a primeira derivada foram resolvidos através 94

100 Tóp. Esp. Fluido-Témica 95 de esquemas de primeira ordem (O( x) 2 ), mas atualmente são muito utilizados os esquemas de segunda ordem 1. A obtenção das expressões discretas é fácil a partir dai. No caso das aproximações acima, se utilizarmos até o termo de primeira ordem somente, cada uma pode resultar em aproximações para a primeira derivada. No caso da equação (7.1): T x = T i+1 T i (7.3) i x que é conhecida como a derivada avançada. Da mesma forma utilizando-se da expressão (7.2) pode-se chegar numa outra expressão, denominada por aproximação recuada: T x = T i T i 1 (7.4) i x Estas duas expressões são aproximações de primeira ordem e portanto, em condições normais, apresentam piores resultados que as expressões de segunda ordem, as mais utilizadas. As expressões de segunda ordem são as mais utilizadas, principalmente em problemas lineares, por fornecerem melhores resultados. A expressão para a primeira derivada considerando os termos de até segunda ordem pode ser obtida trabalhando-se com as expressões, basicamente fazendo a subtração da equação (7.2) da (7.1). Desta forma obtém-se: T i+1 T i 1 = 2 T x x i que rearranjada resulta em: T x = T i+1 T i 1 i 2 x (7.5) Como se está trabalhando com os termos de até segunda ordem pode-se obter também uma expressão para a segunda derivada. Isto é possível fazendo a soma das equações (7.1) e (7.2), donde obtém-se: T i+1 + T i 1 = 2 T i T x 2 ( x) 2 i 2! que rearranjada na forma desejada resulta em: 2 T x 2 = T i+1 2 T i + T i 1 (7.6) i ( x) 2 Como pode ser visto este procedimento é extremamente genérico e pode ser utilizado em esquemas de ordem superiores sem maiores problemas, dependendo apenas da utilização de um maior número de pontos. Repare que para chegar nas expressões de primeira ordem, apenas uma das expansões em Série de Taylor precisava ser conhecida, a partir das expressões de segunda ordem já são necessárias duas equações para resolver o problema (tanto as aproximações de T i+1 como T i 1 ). Este mesmo raciocínio continua valendo para expressões de ordem superior. 1 esquemas de ordem superiores também tem sido motivos de estudos recentemente.

101 Tóp. Esp. Fluido-Témica 96 Exemplo: A partir de uma malha irregular como a mostrada a seguir obtenha as expressões de segunda ordem para a primeira e segunda derivadas. x 2 x 1 T i 1 T i T i+1 Solução: Expandindo cada um dos pontos por série de Taylor, a partir do ponto i: T i+1 = T i + T x x T ( x 1 ) 2 i x 2 + O( x) 3 i 2! T i 1 = T i T x x T ( x 2 ) 2 i x 2 + O( x) 3 i 2! A partir desta expansão é possível obter a expressão para a primeira derivada fazendo-se a soma da primeira equação multiplicada por ( x 2 ) 2 e da segunda multiplicada por ( x 1 ) 2 : T i+1 ( x 2 ) 2 = T i ( x 2 ) 2 + T x x 1 ( x 2 ) T ( x 1 x 2 ) 2 i x 2 i 2 T i 1 ( x 1 ) 2 = T i ( x 1 ) 2 + T x x 2 ( x 1 ) 2 2 T ( x 2 x 1 ) 2 i x 2 i 2 T i+1 ( x 2 ) 2 T i 1 ( x 1 ) 2 = T i ( x 2 2 x 2 1) + T x ( x 1 x x 2 x 2 1) i Rearranjando a expressão de forma a isolar o valor da primeira derivada obtém-se: T x = T i+1 ( x 2 ) 2 T i 1 ( x 1 ) 2 + T i ( x 2 1 x 2 2) i x 1 x 2 ( x 2 + x 1 ) Da mesma forma pode se obter a expressão para a segunda derivada, mas agora pena multiplicando a expansão em Série de Taylor de T i+1 por x 2 e a de T i 1 por x 1. Assim: T i+1 x 2 = T i x 2 + T x x 1 x T x 2 1 x 2 i x 2 i 2 T i 1 x 1 = T i x 1 T x x 2 x T x 1 x 2 2 i x 2 i 2 T i+1 x 2 + T i 1 x 1 = T i ( x 1 + x 2 ) + 2 T x 1 x 2 ( x 2 + x 1 ) x 2 i 2 E desta forma a expressão final para a segunda derivada fica: 2 T x 2 = 2 T i+1 x 2 T i ( x 1 + x 2 ) + T i 1 x 1 i x 1 x 2 ( x 2 + x 1 )

102 Tóp. Esp. Fluido-Témica 97 Repare que estas duas expressões obtidas se reduzem às expressões (7.5) e (7.6) respectivamente quando x 1 = x 2 = x. 7.1 Aplicação da formulação de diferenças finitas em sistemas de equações diferenciais A utilização da metodologia de diferenças finitas em equações diferenciais em um dados problema é bastante simples, consistindo basicamente das seguintes etapas: 1. Discretização do domínio, que implica na escolha dos pontos onde serão obtidos valores para a solução. 2. Substituição das derivadas por sua aproximação calculada a partir de uma série de Taylor para um ponto genérico i. A aproximação central de segunda ordem para uma derivada de primeira ordem é dada pela equação (7.5), por exemplo. Outras aproximações já foram mostradas. 3. Transformação das equações diferenciais em sistema de equações baseados nos valores dos pontos discretos. Para isto é necessário a utilização da equação genérica para o ponto i, obtida no passo anterior para cada um dos pontos discretos. 4. Discretização e aplicação das condições de contorno nos pontos da fronteira do domínio e, com isto, obter equações discretizadas neste ponto. 5. Solução do sistema de equações obtido. Exemplo: Obtenha a equação geral discretizada para a equação de condução bidimensional: 2 T x + 2 T 2 y = 0 2 Solução: Utilizando as aproximações centrais para a segunda derivada em cada uma das direções, equação (7.6) têm-se que: 2 T = T i+1,j 2 T i,j + T i 1,j x 2 ( x) 2 2 T = T i,j+1 2 T i,j + T i,j 1 y 2 ( y) 2

103 Tóp. Esp. Fluido-Témica 98 Desta forma a equação geral fica: T i+1,j 2 T i,j + T i 1,j ( x) 2 + T i,j+1 2 T i,j + T i,j 1 ( y) 2 = 0 ou rearranjada na forma de mostrar os coeficientes de cada termo: ( 2 ( x) + 2 ) T 2 ( y) 2 i,j = 1 ( x) T 2 i+1,j + 1 ( x) T 2 i 1,j + 1 ( y) T 2 i,j ( y) T 2 i,j 1 Por curiosidade repare que se x = y, a expressão anterior fica: T i,j = T i+1,j + T i 1,j + T i,j+1 + T i,j 1 4 Exemplo: Resolva o problema proposto anteriormente para a aleta com fluxo de calor na base conhecido, resolvido por Runge Kutta, e compare os resultados com os obtidos através do método de diferenças finitas (problema da página 32). Solução: A equação diferencial da aleta foi obtida no exemplo anterior e é dada por: d 2 T dr 2 que discretizada pela aproximação central: T i+1 2 T i + T i 1 ( r) 2 Rearranjando a expressão tem-se: ( 1 ( r) + 1 ) T 2 i+1 2 r i r = 2 h k t (T T ) 1 r ( 2 ( r) + 2 h 2 k t dt dr = 2 h k t (T i T ) 1 T i+1 T i 1 r i 2 r ) ( 1 T i + ( r) 1 ) T 2 i 1 = 2 h 2 r i r k t T Considerando os valores de incremento de raio constante r iguais ao usados no Runge Kutta de 0,01 m e que o r 0 = 0, 06 m e os valores são idênticos ao do exercício anterior: ( ) ( T i , 02T i ) T i 1 = 2325, 6 (7.7) r i r i Têm-se também que as condições de contorno são conhecidas: T = 50 C em r = 6 cm = T 1 = 50 q = 120 W em r = 6 cm = T r = 120 π.0, 12.0, = 296, 10 Discretizando a condição de contorno do fluxo de calor especificado pela discretização avançada da primeira derivada tem-se que: dt dr = T 2 T 1 = 296, 10 = T 2 T 1 = 2, 96 = T 2 = 47, 04 r=6 r

104 Tóp. Esp. Fluido-Témica 99 Tabela 7.1: Resultados para o problema da aleta finita com fluxo de calor na base conhecido r T T exata dt/dr 2 dt/dr exata Utilizando agora a equação (7.7) para o ponto 2 (r = 0, 07) tem-se: ( ) ( T , 02 47, ) 50 = 2325, 6 0, 07 0, 07 que implica em: T 3 = , , , 6 = T 3 = 44, 66 Aplicando-se esta temperatura na equação do ponto 3 é possível calcular a temperatura do ponto 4 e assim sucessivamente. A tabela (7.1) mostra os resultados para este caso. Comparando estes resultados com os obtidos pela solução exata percebe-se um desvio. Este desvio tende a diminuir com a redução do espaçamento da malha. No entanto é conveniente ressaltar que através de Runge Kutta foram obtidos resultados muito mais precisos. Isto já era esperado uma vez que foi utilizado um procedimento de 4 a ordem contra o esquema de 2 a usado no caso de diferenças finitas. Na tabela (7.2) são mostrados resultados do valor obtido para a temperatura quando r = 0.15 m em diferentes malhas e o ponto nodal onde a derivada se inverte. Obviamente que há uma melhora na precisão quando se utiliza malhas mais densas. Exemplo: Resolva o problema anterior para o caso onde o fluxo de calor que passa pela base é desconhecido, mas a aleta é infinita.

105 Tóp. Esp. Fluido-Témica 100 Solução: É o mesmo caso do exemplo resolvido para Runge-Kutta na página 38. A equação diferencial, e conseqüentemente a sua discretização, não mudam em nada do obtido no exemplo anterior, assim como a condição de temperatura prescrita na base. A única condição modificada foi a de fluxo de calor na base que deixou de existir, passando agora para: T r = 0 quando r Estipulando o valor em que o fluxo de calor como nulo a 1 m da base (r=1,06 m). Desta forma utilizando r = 0, 1, será obtido um sistema com 100 incógnitas. Desta forma a nova equação de contorno fica: dt dr = T 101 T 100 = 0 = T 101 T 100 = 0 r=1.06 r Utilizando-se a equação (7.7) o sistema de equações fica sendo: T 1 = 50 (Condição de Contorno) 10714, 3 T , 02T , 7 T 1 = 2325, T , 02T T 2 = 2325, , 6 T , 02T , 4 T 3 = 2325, , 6 T , 02T , 4 T 99 = 2325, 6 T 101 T 100 = 0 (Condição de Contorno) Este sistema de equações deve ser resolvido por TDMA ou por Gauss-Seidel. Neste caso o sistema foi resolvido por TDMA e o resultado para os primeiro 20 pontos e os últimos 10 encontra-se na tabela (7.3). Comparando o fluxo de calor dissipado pela base calculado por diferenças finitas com o calculado por Ruge Kutta, percebe-se novamente uma diferença significativa (q b = 175, 96 W Tabela 7.2: Comparação do caso da aleta com fluxo de calor na base conhecido para diversas malhas r 0,01 0, Exato T (r = 0.15) 36,92 38,03 38,93 39,13 39,15 x i Posição nodal onde o sinal da derivada se inverte.

106 Tóp. Esp. Fluido-Témica 101 Tabela 7.3: Resultados para o problema da aleta infinita r A B C D P Q T dt/dx kadt/dx contra q = 165, 31 W, no caso da aproximação de 4 a ordem e 165,86 W da solução exata. A única forma de contornar esta diferença na precisão é utilizando malhas mais refinadas.

107 CAPÍTULO 8 Aplicação do Método de Diferenças Finitas em Problemas Bidimensionais e Transientes Foi visto no capítulo anterior a forma de discretização geral através de diferenças finitas. Embora o procedimento em si não mude tanto os problemas bidimensionais como transientes apresentam certos detalhes que serão tratados separadamente. Além disto estes são os grupos onde há uma maior utilização deste tipo de discretização uma vez que, nos casos vistos até agora, o método de Runge Kutta poderia ser aplicado com sucesso. De agora para frente isto não mais acontece pois as equações diferenciais tanto num caso como no outro são equações diferenciais parciais. 8.1 Solução de problemas bidimensionais A solução de problemas tridimensionais não envolve grandes dificuldades em termos de formulação, o seu único inconveniente é o fato de que o sistema de equações obtidos não é Tridiagonal e portanto não pode ser resolvido por TDMA. Desta forma a única possibilidade de solução para o sistema é o método de Gauss Seidel, dentre os vistos até agora. No entanto será apresentado a seguir um procedimento denominado por ADI, sigla em inglês 102

108 Tóp. Esp. Fluido-Témica 103 para direção alternadamente implícita. Este método nada mais é do que uma forma de converter o sistema de equações para um sistema tridiagonal e, portanto, possível de ser solucionado pelo TDMA. A metodologia é simples e consiste em tratar uma das direções implicitamente, enquanto a outra é tratada de forma explícita. É mostrado a seguir um exemplo desta forma de solução. Exemplo: Resolva o problema o problema de condução em uma placa plana de alumínio onde os seus lados estão submetidos a temperaturas especificadas de 100, 200, 100, 200 C, rotacionalmente. Considere a placa quadrada com lados de 2 m. Utilizando a discretização mostrada na figura abaixo obtenha o valor das temperaturas nos pontos. Dados: k alumínio = 215 W/m C. T = 200 C 4,1 4,2 4,3 4,4 T/ x = 0 3,1 3,2 3,3 3,4 T = 100 C 2,1 2,2 2,3 2,4 1,1 1,2 1,3 1,4 T/ y = 0 Solução: A equação de condução bidimensional já foi discretizada em exemplo anterior (página 97), e neste caso onde a malha é uniforme foi mostrado que a expressão para a temperatura genérica i, j é dada por: T i,j = T i+1,j + T i 1,j + T i,j+1 + T i,j 1 4 ou na forma matricial: T i+1,j 4 + T i,j+1 4 T i,j T i 1,j 4 + T i,j 1 4 = 0 Considerando o procedimento ADI é preciso adotar valores iniciais para a solução T i,j = 150 C, para todos os valores de i e j fora das condições de contorno.

109 Tóp. Esp. Fluido-Témica 104 É importante ressaltar que a presença de condições de simetria no interior da placa é equivalente à existência de uma linha ou coluna idêntica à do lado oposto. No caso, por exemplo, da linha de simetria inferior é equivalente à existência de uma linha idêntica à linha 2 do lado inferior à linha 1. Fato similar ocorre na superfície direita onde é equivalente a existir do lado esquerdo da coluna 1 uma coluna idêntica à 2. Quando nos utilizamos desta condição de simetria a expressão geral do problema passa a valer também para estes pontos no contorno. Adotando como primeira direção a ser resolvida implicitamente a direção x têm-se que a equação para o ponto i, j fica sendo: T i+1,j 4 T i,j + T i 1,j 4 = T i,j+1 4 T i,j 1 4 onde indica a utilização dos valores admitidos, ou calculados na iteração anterior. Repare que neste ponto a matriz já se tornou uma tridiagonal e pode ser resolvida através do algoritmo TDMA. No caso deste problema o sistema de equações fica: 2 T 2,1 + 2 T 1,2 4 T 1,1 = 0 T 1,3 + 2 T 2,2 4 T 1,2 + T 1,1 = 0 T 1,4 + 2 T 2,3 4 T 1,3 + T 1,2 = 0 T 1,4 = T 2,2 + T 3,1 4 T 2,1 + T 1,1 = 0 T 2,3 + T 3,2 4 T 2,2 + T 2,1 + T 1,2 = 0 T 2,4 + T 3,3 4 T 2,3 + T 2,2 + T 1,3 = 0 T 2,4 = T 3,2 + T 4,1 4 T 3,1 + T 2,1 = 0 T 3,3 + T 4,2 4 T 3,2 + T 3,1 + T 2,2 = 0 T 3,4 + T 4,3 4 T 3,3 + T 3,2 + T 2,3 = 0 T 3,4 = 100 T 4,1 = 200 T 4,2 = 200 T 4,3 = 200 T 4,4 = 200 Adotando a direção x como a primeira a ser resolvida implicitamente, o primeiro sistema

110 Tóp. Esp. Fluido-Témica 105 tridiagonal a ser resolvido fica: 2 T 1,2 4 T 1,1 = 300 T 1,3 4 T 1,2 + T 1,1 = 300 T 1,4 4 T 1,3 + T 1,2 = 300 T 1,4 = T 2,2 4 T 2,1 = 300 T 2,3 4 T 2,2 + T 2,1 = 300 T 2,4 4 T 2,3 + T 2,2 = 300 T 2,4 = T 3,2 4 T 3,1 = 350 T 3,3 4 T 3,2 + T 3,1 = 350 T 3,4 4 T 3,3 + T 3,2 = 350 T 3,4 = 100 T 4,1 = 200 T 4,2 = 200 T 4,3 = 200 T 4,4 = 200 Resolvendo por TDMA obtém-se a seguinte solução para o campo de temperaturas: T 1,1 T 1,2 T 1,3 T 1,4 T 2,1 T 2,2 T 2,3 T 2,4 148,07 146,15 136, ,07 146,15 136, T 3,1 T 3,2 T 3,3 T 3,4 T 4,1 T 4,2 T 4,3 T 4,4 172,12 169,23 154, De posse desta nova solução é possível partir para a próxima etapa tratando explicitamente os termos na direção x e implicitamente os da direção y. Desta forma o novo sistema de equações fica: 2 T 2,1 4 T 1,1 = 292, 3 T 3,1 4 T 2,1 + T 1,1 = T 4,1 4 T 3,1 + T 2,1 = 338, 5 T 4,1 = 200

111 Tóp. Esp. Fluido-Témica T 2,2 4 T 1,2 = 284, 6 T 3,2 4 T 2,2 + T 1,2 = 284, 6 T 4,2 4 T 3,2 + T 2,2 = 326, 9 T 4,2 = T 2,3 4 T 1,3 = 246, 2 T 3,3 4 T 2,3 + T 1,3 = 246, 2 T 4,3 4 T 3,3 + T 2,3 = 269, 2 T 4,3 = 200 T 1,4 = 100 T 2,4 = 100 T 3,4 = 100 T 4,4 = 200 Resolvendo por TDMA obtém-se a seguinte solução para o campo de temperaturas: T 1,1 T 2,1 T 3,1 T 4,1 T 1,2 T 2,2 T 3,2 T 4, ,84 173, , , T 1,3 T 2,3 T 3,3 T 4,3 T 1,4 T 2,4 T 3,4 T 4,4 126,92 130, Resolve-se diversas vezes este mesmo procedimento, e sempre utilizando-se dos valores obtidos do passo anterior, a solução final será obtida quando os valores do campo de temperatura deixem de variar (ou sua variação atinja um limite admitido como tolerável). As diversas soluções obtidas para este caso estão mostradas na tabela (8.1) até a convergência. 8.2 Solução de problemas transientes Até agora tratamos de problemas onde o buscado era simplesmente o estado estacionário (ou regime permanente), mas existe uma parcela muito grande de problemas em engenharia em que o interesse maior recai sobre o tempo necessário até que o regime estacionário (ou algum outro fenômeno) ocorra. Nestes casos é preciso considerar o regime transiente do problema. O estudo do transiente em si não apresenta grandes problemas, ele apenas inclui novos termos relacionados à variação da variável em relação ao tempo na equação diferencial. O problema passa a ser, desta forma, uma composição de diversas soluções intermediárias que funcionam como fotos do problema em cada instante estudado.

112 Tóp. Esp. Fluido-Témica 107 Tabela 8.1: Valores das iterações para o caso de condução numa placa plana Posi- Valores Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3 Iteração 4 ção Iniciais Linha Coluna Linha Coluna Linha Coluna Linha Coluna 1, , , , , , , , , , , , , , , , Além de tudo isto os problemas transientes trazem junto consigo uma série de novas definições na bagagem, de acordo com a forma que é feita a sua discretização. A seguir apresentaremos algumas das mais importantes Formulação Explícita A formulação explícita é aquela que mais se aproveita do caráter parabólico da solução transiente, como já foi discutido em capítulos anteriores. Ela se utiliza de uma solução num instante anterior já conhecida para calcular a solução posterior desejada. Utilizando-se deste procedimento ela não depende da inversão de matrizes tornando-se extremamente fácil e rápida para ser aplicada, pois o a obtenção dos resultados depende única e exclusivamente das temperaturas calculadas para o instante anterior. No entanto, esta facilidade tem o seu custo: este tipo de formulação não é incondicionalmente estável. Isto implica em que há determinadas condições que devem ser satisfeitas para que se consiga obter uma solução para problema. No caso, por exemplo da equação de calor, a condição

113 Tóp. Esp. Fluido-Témica 108 a ser satisfeita é: α t x onde t é o incremento de tempo, x o menor valor de espaçamento da malha e α a difusividade térmica. Exemplo: Considere uma placa de aço carbono com 1,6 cm de espessura que inicialmente se encontra há uma temperatura uniforme de 600 C. A placa num instante t = 0, num banho de 15 C. O coeficiente transmissão de calor é adotado igual a W/m 2 C. As propriedades do aço carbono podem ser adotadas como constantes (k = 40 W/m C e α = m 2 /s). Calcule o tempo necessário para que a temperatura do centro da placa atinja 100 C e a temperatura de um plano situado a 0,2 cm de uma das superfícies da chapa neste instante. Solução: A equação diferencial para o problema transiente de condução unidimensional é: T t = T α 2 x 2 que se discretizada na forma explícita fica: forma: T m+1 i t T m i = α T i+1 m 2Ti m + Ti 1 m x 2 No caso da formulação explícita o único termo desconhecido é o do instante m + 1 e desta ( T m+1 i = 1 2 α t ) T m x 2 i + α t x T m 2 i+1 + α t x T m 2 i 1 Adotando um espaçamento de malha regular e igual a 0,2 cm obtém-se 5 pontos no domínio como mostra a figura (8.1), e neste caso o valor máximo para o incremento de tempo é: α t x = 1 t ( ) = t 2 0, 4 1 = t 0, 2 2 Adotando o valor máximo possível para o t = 0, 2 s a equação geral fica sendo: T m+1 i = 1 2 T m i T m i 1 No caso deste problema temos condição de simetria no centro da placa. Podemos adotar neste ponto também a origem do eixo de coordenadas, vide figura (8.1). Isto implica que a condição de contorno nesta face é dada por: T x m+1 T2 T1 m+1 = 0 = x = 0 = T1 m+1 = T2 m+1

114 Tóp. Esp. Fluido-Témica Figura 8.1: Malha na placa considerando a simetria. A outra condição é dada na superfície e implica que o fluxo de calor que sai por convecção é igual ao que chega por condução: k A T x = h A (T p T ) p que pode ser divida por A e discretizada na forma: T5 m+1 T4 m+1 x = h k (T T m+1 5 ) ( 1 + h x k ) T5 m+1 = T4 m+1 + h x T k ou substituindo os valores (h = W/m 2 C, x = m e k = 40 W/m C): 1, 5 T5 m+1 = T4 m+1 + 0, 5T T5 m+1 = T 4 m+1 + 0, 5T 1, 5 Desta forma de posse da equação geral para os pontos internos e das duas condições de contorno, pode-se partir dos valores iniciais e marchar rumo a solução desejada. Neste caso a temperatura da placa é inicialmente uniforme em 600 C, podemos calcular o campo de temperaturas em t = 0, 2 s: T 1 2 = T T T 1 3 = T T T 1 4 = T T e aplicando as condições de contorno: T 1 1 = T 1 2 = = = = = = = T 1 5 = T , 5 T 1, 5 = , , 5 = 405 A tabela (8.2) mostra os resultados obtidos para as iterações. Para economia de espaço a partir de t = 2.0 s são mostrados apenas resultados em intervalos de 1 s.

115 Tóp. Esp. Fluido-Témica 110 Tabela 8.2: Transiente numa placa plana. t T 1 T 2 T 3 T 4 T Muito embora tenha sido obtido o resultado ele está ainda um pouco afastado da solução analítica que prevê que a temperatura do centro alcançará os 100 C em 11,6 s (contra os 8,8 s da solução numérica). Neste mesmo instante esperava-se obter uma temperatura de 73,6 C a 0,2 cm da superfície contra os 77,65 C obtidos numericamente. Detalhes da solução analítica podem ser vistos em (Bejan, 1996), página 137. Embora este erro tenha valores significativos, principalmente no que se refere ao tempo é possível minimizar os seus valores com o refinamento da malha. Vejamos por exemplo as soluções obtidas para diversas malhas.

116 Tóp. Esp. Fluido-Témica 111 Malha Tempo para Temperatura a 0,2 cm ( t x) o centro atingir 100 C da superfície da placa 0, 2 0, 2 8,8 s 77,65 C 0, 05 0, 2 8,85 s 76,98 C 0, 05 0, 1 10,2 s 75,10 C 0, , 05 10,86 s 74,53 C Formulação Totalmente Implícita Ao contrário da formulação explícita, este tipo se utiliza das temperaturas no próprio instante de tempo a ser calculado para avaliar as derivadas. Desta forma o grau de complexidade do problema aumenta consideravelmente, uma vez que a solução do campo de temperaturas só pode ser obtida através da solução de um sistema linear de equações. Este aumento na complexidade da solução do problema, no entanto, apresenta em contraponto uma vantagem, o esquema torna-se totalmente estável. Desta forma o incremento de tempo utilizado se torna independente da malha, permitindo uma melhor otimização dos parâmetros de solução Formulação Implícita Este tipo de formulação é qualquer uma em que estejam envolvidos termos na posição de tempo atual. Vejamos por exemplo se utilizamos uma aproximação genérica para o campo de temperaturas onde: temos que através desta expressão genérica que se: Ti θ = θ T m+1 i + (1 θ)ti m (8.1) θ = 0 o esquema recai na formulação explícita; θ = 1 o esquema recai na formulação totalmente implícita; 0 < θ < 1 o esquema recai na formulação implícita. É óbvio que a escolha do valor de θ influirá nas características do sistema a ser solucionado. Um grande exemplo disto é a estabilidade, a formulação implícita só é incondicionalmente estável para valores de θ 1/2.

117 Tóp. Esp. Fluido-Témica 112 m + 1 Esquema Explícito m m + 1 Esquema Implícito m m + 1 Esquema Totalmente Implícito m Figura 8.2: Interrelação entre os pontos em cada esquema de discretização de transientes. Existem diversos valores de θ utilizados comumente na solução de problemas transientes e, de acordo com a escolha do valor de θ o esquema recebe um nome diferente. De todos estes esquemas o mais difundido e também, que apresenta melhores resultados, é o de Crank- Nicholson, obtido quando se toma θ = 1/2. Este esquema é muito utilizado pois funciona como um tipo de aproximação de segunda ordem em relação ao tempo, e é altamente recomendado quando se está estudando problemas transientes onde se deseja acompanhar o tempo de evolução de um dado fenômeno. A figura (8.2) mostra esquemas dos valores utilizados em cada iteração pelos métodos explícito, implícito e totalmente implícito. Esta figura é bastante ilustrativa e permite entender o relacionamento existente entre os pontos em um dado instante para cada um dos esquemas. Exemplo: Considere uma placa de aço carbono com 1,6 cm de espessura que inicialmente se encontra há uma temperatura uniforme de 600 C. A placa num instante t = 0, num banho de 15 C. O coeficiente transmissão de calor é adotado igual a W/m 2 C. As propriedades do aço carbono podem ser adotadas como constantes (k = 40 W/m C e α = m 2 /s. Calcule o tempo necessário para que a temperatura do centro da placa atinja 100 C e a temperatura de um plano situado a 0,2 cm de uma das superfícies da chapa neste instante.

118 Tóp. Esp. Fluido-Témica 113 Solução: Este problema é idêntico ao resolvido anteriormente utilizando-se da formulação explícita, no entanto agora nos utilizaremos da discretização genérica, equação (8.1): T t = T α 2 x 2 que se discretizada na forma genérica fica: T m+1 i t T m i = α T m+θ i+1 2T m+θ i + T m+θ i 1 x 2 Adotando a formulação de Crank-Nicholson, temos que θ = 1/2: T m+1 i t T m i e as temperaturas podem ser admitidas como: = α T m+1/2 i+1 2T m+1/2 i + T m+1/2 i 1 x 2 T m+1/2 = 1 2 T m T m+1 Substituindo os valores na expressão e reagrupando os termos de forma a deixar os no tempo m + 1 no primeiro termo da equação: ( 1 + α t ) T m+1 x 2 i α t 2 x 2 T m+1 i+1 α t i 1 = 2 x T m+1 ( 2 1 α t ) x 2 T m i + α t 2 x 2 T m i+1 + α t 2 x 2 T m i 1 Adotando um espaçamento de malha regular e igual a 0,2 cm obtém-se 5 pontos no domínio e um incremento de tempo de 0,2 s a equação geral fica sendo: 1, 5 T m+1 i 0, 25 T m+1 i+1 0, 25 T m+1 i 1 = 0, 5 Ti m + 0, 25 Ti+1 m + 0, 25 Ti 1 m No caso deste problema temos condição de simetria no centro da placa. Podemos adotar neste ponto também a origem do eixo de coordenadas, vide figura (8.1). Isto implica que a condição de contorno nesta face é dada pela existência de um ponto idêntico ao ponto 4: T1 m+1 = T2 m+1 que se substituirmos na equação geral para o problema: 1, 5 T m+1 1 0, 5 T m+1 2 = 0, 5 T m 1 + 0, 5 T m 2

119 Tóp. Esp. Fluido-Témica 114 A outra condição é dada na superfície e implica que o fluxo de calor que sai por convecção é igual ao que chega por condução: k A T x = h A (T p T ) p que pode ser divida por A e discretizada na forma: T5 m+1 T4 m+1 x = h k (T T m+1 5 ) ( 1 + h x k ) T5 m+1 = T4 m+1 + h x T k ou substituindo os valores (h = W/m 2 C, x = m e k = 40 W/m C): 1, 5 T m+1 5 T m+1 4 = 0, 5T Desta forma é possível montar o sistema de equações para o primeiro passo no tempo considerando-se as duas condições de contorno e o valor inicial uniforme para a temperatura de 600 C: 1, 5 T1 m+1 0, 5 T2 m+1 = 600 1, 5 T2 m+1 0, 25 T3 m+1 0, 25 T1 m+1 = 600 1, 5 T3 m+1 0, 25 T4 m+1 0, 25 T2 m+1 = 600 1, 5 T4 m+1 0, 25 T5 m+1 0, 25 T3 m+1 = T5 m+1 T4 m+1 = 7, 5 A tabela (8.3) mostra os resultados obtidos para as iterações. Para economia de espaço a partir de t = 0, 1 s são mostrados apenas alguns resultados. Relembrando do exercício anterior onde se viu que o tempo para que a temperatura do centro atinja 100 C e a temperatura a 0,2 cm da superfície no mesmo instante, obtidos através de métodos analíticos, são respectivamente 11,6 s e 73,6 s. Comparando-se com os resultados obtidos através deste método percebe-se que estes se aproximam bem mais da solução exata que o método explícito (11 s e 73,1 C). Estes resultados podem ser ainda melhorados com o refinamento da malha, veja por exemplo se reduzirmo o t para 0,1 s e a malha para x = 0, 4 mm obtém-se o tempo para chegar a 100 Cigual a 11,5 s e a a 0,2 cm da superfície de 73.3 C. Refinamentos maiores fornecerão resultados melhores. A tabela (8.4) mostra a evolução transiente da temperatura na posição central da placa utilizando-se t = 0, 2 s e x = 2 mm utilizando-se dos três esquemas: explícito, totalmente implícito e Crank-Nicholson. Esta tabela permite uma comparação de como funciona cada um dos esquemas.

120 Tóp. Esp. Fluido-Témica 115 Tabela 8.3: Solução por Crank-Nicholson do transiente numa placa plana. t T 1 T 2 T 3 T 4 T

121 Tóp. Esp. Fluido-Témica 116 Tabela 8.4: Comparação da solução do transiente para uma placa plana utilizando-se de três métodos para discretização no tempo. Esquemas Tempo Explícito Tot. Implícito Crank-Nicholson (s) θ = 0 θ = 1 θ = 1/

122 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bejan, A., Transferência de Calor, Editora Edgard Blücher, Dhatt, G. e Touzot, G., The Finite Element Method Displayed, Ed. J. Wiley & Sons, Domingues, M. O. and Mendes, Jr, O., Introdução aos Programas Científicos de Distribuição Gratuita: GNU/Octave, GNU:Maxima, LaTeX e GNU/Rcs, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE, 2002, doc/ermac2002.pdf, Acesso em 28/09/2006. Eaton. J.W., Octave Manual, , Acesso 25/09/2006. Holman, J.P., Transferência de Calor, Editora McGraw Hill, Incropera, F.P. e DeWitt,D.P., Fundamentos da Transferência de Calor e Massa, 4 a ed., LTC Ed Kreith, F. Princípios da Transmissão de Calor, Editora Edgard Blücher, Lewis, R.W., Morgan,K., Thomas, H.R. e Seetharamu, K.N.,The Finite Element Method in Heat Transfer Analysis, Ed. J. Wiley & Sons, Maliska, C. R., Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional, LTC Editora, Patankar, S., Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere,

123 Tóp. Esp. Fluido-Témica 118 Ruggiero, M. A. G. e Lopes, V.L.R., Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais, McGraw Hill, Apostila de Transferência de Calor Computacional, UNICAMP, 1989.