Modelos de Séries Temporais no Stata

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1 Modelos de Séries Temporais no Stata Henrique Dantas Neder - Professor Associado Universidade Federal de Uberlândia 1 Introdução a Modelos Arima O comando arima do Stata estima modelos ARIMA padrões que são autoregressivos na variável dependente e modelos estruturais com perturbações (erros) ARMA. Considere um processo autoregressivo de médias móveis de primeira ordem. O comando arima estima todos os parâmetros no modelo: y t = x t β + µ t equação estrutural µ t = ρµ t 1 + θɛ t 1 + ɛ t perturbação aleatória (erro), ARMA(1,1) onde: ρé o parâmetro de autocorrelação de primeira ordem θé o parâmetro de médias móveis de primeira ordem ɛ t ~i.i.d. N(0,σ 2 ), signicando que ɛ t é um ruido branco Podemos combinar as duas equações e escrever um modelo na forma geral ARMA(p,q) no processo de perturbações como: y t = x t β+ρ 1 (y t 1 x t 1 β)+ρ 2 (y t 2 x t 2 β) ρ p (y t p x t p β) (1) +θ 1 ɛ t 1 + θ 2 ɛ t θ q ɛ t q + ɛ t É também comum escrever a forma geral do modelo ARMA de uma forma sucinta usando a notação do operador de lag: ρ(l p )(y t x t β) = θ(l q )ɛ t onde: L p = 1 ρ 1 L ρ 2 L 2... ρ p L p L q = 1 + θ 1 L + θ 2 L θ q L p e L j y t = y t j 2 Modelos ARIMA Modelos ARIMA puros sem a componente estrutural não tem regressores e são frequentemente escritos como autoregressões na variável dependente ao invés de Este texto é baseado em uma tradução livre de diversas partes do Manual de Séries Temporais do Stata (que acompanha o software e pode ser visualizado através do menu Help - Documentation) 1

2 autoregressões na perturbação (erro) aleatório de uma equação estrutural. Por exemplo, um modelo ARMA(1,1) pode ser escrito como: y t = α + ρy t 1 + θɛ t 1 + ɛ t Exemplo 1: Modelo ARIMA Enders (2004, 8793) considera um modelo ARMA para a série de preços ao atacado dos Estados Unidos (WPI) usando dados trimestrais para o período 1960q1 até 1990q4, O modelo ARIMA mais simples que inclui uma diferenciação prévia da série original e tanto componentes autoregressivas como de médias móveis é a especicação ARIMA(1,1,1), Nós podemos ajustar este modelo com o comando arima através de: [] arima wpi, arima(1,1,1) Podemos ver através dos resultados acima que o coeciente AR(1) é 0,874, o coeciente MA(1) é -0,412 (sendo que estes dois parâmetros são altamente signicativos) e o desvio padrão do termo de ruido branco ɛ t estimado é 0,725. 2

3 Este modelo também pode ser estimado usando o comando: arima D.wpi, ar(1) ma(1) Neste último caso estamos previamente aplicando o operador diferença D. a série para depois modelar a série diferenciada como um processo ARMA(1,1). Modelar a série original como um processo ARIMA(1,1,1) é equivalente a modelar a série original diferenciada como um processo ARMA(1,1). Se y t é a série de preços ao atacado dos EUA então estimamos um modelo ARIMA com a seguinte equação: D.y t = 0, , 874D.y t 1 0, 412ɛ t 1 + ɛ t com σ ɛt = 0, 725 Exemplo 2: Após examinar as primeiras diferenças da série WPI, Enders escolhe um modelo de diferenças aplicado ao logaritimo natural da série original para estabilizar a variância da série diferenciada. Os dados brutos e a primeira diferença do logaritimo da séries pode ser representado gracamente através do comando: tsset t, quarterly twoway (tsline wpi), title(indice de Preços ao Atacado - EUA) name(graco1) twoway (tsline D.ln_wpi), title(indice de Preços ao Atacado - EUA diferença dos logs) name(graco2) yline(0) graph combine graco1 graco2, commonscheme xsize(10) ysize(5) U.S. Wholesale Price Index Indice de Preços ao Atacado - EUA 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 quarterly date D.ln_wpi Indice de Preços ao Atacado - EUA diferença dos logs 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 quarterly date Com base nas autocorrelações, autocorrelações parciais (ver grácos abaixo) e os resultados de estimações preliminares, Enders identicou um modelo ARMA sob a séries log-diferenciada. ac D.ln_wpi, ylabels(-.4(.2).6) name(graco3) pac D.ln_wpi, ylabels(-.4(.2).6) name(graco4) graph combine graco3 graco4, commonscheme xsize(10) ysize(5) 3

4 Autocorrelations of D.ln_wpi Lag Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands Partial autocorrelations of D.ln_wpi Lag 95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)] Em adição ao termo autoregressivo e ao ao termo MA(1), um termo MA(4) é incluido para levar em conta o efeito trimestral remanescente. Portanto, o modelo a ser ajustado é: ln(wpi t ) = β 0 + ρ 1 { ln(wpi t 1 β 0 ) + θ 1 ɛ t 1 + θ 4 ɛ t 4 + ɛ t Podemos estimar este modelo com o comando arima: arima D.ln_wpi, ar(1) ma(1 4) 4

5 3 Modelos ARIMA com sazonalidade multiplicativa Muitas séries temporais exibem um componente periódico sazonal e o modelo ARIMA sazonal comumente chamado de SARIMA pode ser usado. Por exemplo, dados de vendas mensais de aparelhos de ar condicionado tem uma forte componente sazonal, com vendas altas nos meses de verão e baixas nos meses de inverno. No exemplo anterior levamos em conta efeitos trimestrais ao ajustar um modelo: (1 ρ 1 L){ ln(wpi t ) β 0 } = (1 + θ 1 L + θ 4 L 4 )ɛ t (2) Este é um modelo ARIMA com sazonalidade aditiva, no sentido de que os termos MA de primeira e de quarta ordem são especicados aditivamente 5

6 na equação (1 + θ 1 L + θ 4 L 4 ). Outra forma de considerar o efeito trimestral é ajustar um modelo ARIMA com sazonalidade multiplicativa. Um modelo SARIMA multiplicativo de ordem (1, 1, 1)(0, 0, 1) 4 para a série ln(wpi t ) é: (1 ρ 1 L){ ln(wpi t ) β 0 } = (1 + θ 1 L)(1 + θ 4,1 L 4 )ɛ t (3) ou após expandir os termos: ln(wpi t ) = β 0 + ρ 1 { ln(wpi t 1 ) β 0 } + θ 1 ɛ t 1 + θ 4,1 ɛ t 4 + θ 1 θ 4 ɛ t 5 + ɛ t (4) Na notação (1, 1, 1) (0, 0, 1) 4, o termo (1, 1, 1) signica que há um termo autoregressivo não sazonal (1 ρ 1 L) e um termo de médias móveis não sazonal (1 + θ 1 L) e que a série temporal é diferenciada uma vez no tempo. O termo (0, 0, 1) 4 indica que não há um termo autoregressivo sazonal, indica que há um termo de médias móveis sazonal (1 + θ 4,1 L 4 ) e que a série não é diferenciada sazonalmente. Este é conhecido como modelo SARIMA multiplicativo porque os fatores sazonais e não sazonais trabalham de forma multiplicativa: (1 + θ 1 L)(1 + θ 4,1 L 4 ). Multiplicando-se os termos impomos restrições não lineares aos parâmetros dos termos de defasagem de quinta ordem dos valores da série temporal; o comando arima impõe estas restrições automaticamente. Para melhor esclarecer esta notação, considere um modelo multiplicativo SARIMA (2, 1, 1) (1, 1, 2) 4 : (1 ρ 1 L ρ 2 L 2 )(1 ρ 4,1 L 4 ) 4 z t = (1 + θ 1 L)(1 + θ 4,1 L 4 + θ 4,2 L 8 )ɛ t (5) onde denota o operador diferença y t = y t y t 1 e s denota o operador de diferença sazonal de lag s s y t = y t y t s Expandindo a última expressão temos: z t = ρ 1 z t 1 +ρ 2 z t 2 +ρ 4,1 z t 4 ρ 1 ρ 4,1 z t 5 ρ 2 ρ 4,2 z t 6 +θ 1 ɛ t 1 +θθ 4,1 ɛ t 4 +θ 1 θ 4,1 ɛ t 5 +θ 4,2 ɛ t 8 +θ 1 θ 4,2 ɛ t 9 +ɛ t (6) onde z t = 4 z t = (z t z t 4 ) = (z t z t 1 ) (z t 4 z t 5 ) e z t = y t x t β se regressores são incluidos no modelo. Mais geralmente um modelo multiplicativo SARIMA (p, d, q) (P, D, Q) s é: ρ(l p )ρ s (L P ) d D s z t = θ(l q )θ s (L Q )ɛ t onde: ρ s (L P ) = (1 ρ s,1 L s ρ s,2 L 2s... ρ s,p L P s θ(l Q ) = (1 + θ s,1 L s + θ s,2 L 2s... θ s,q ρ s,p L Qs Se o gráco dos dados sugerem que o efeito sazonal é proporcional a média da série, então o efeito sazonal é provavelmente multiplicativo e um modelo SARIMA multiplicativo pode ser apropriado. Box, Jenkins, and Reinsel (2008, sec ) sugerem começar com um modelo SARIMA com quaisquer dados que exibirem um padrão sazonal e depois explorar modelos não multiplicativos SARIMA se os modelos multiplicativos não se ajustarem bem aos dados. Por 6

7 outro lado, Chateld (2004, 14) sugere que tomar logaritimo da série tornará o efeito sazonal aditivo e neste caso um modelo SARIMA aditivo como o ajustado no exemplo anterior seria apropriado. Em resumo, o analista deve tentar tanto o SARIMA aditivo como o SARIMA multiplicativo e vericar qual dos dois fornece melhor ajuste aos dados e melhores previsões. Exemplo 3: Modelo SARIMA multiplicativo Uma das mais comuns especicações SARIMA é o (0, 1, 1) (0, 1, 1) 12 aplicado aos dados de linhas aéreas de Box, Jenkins, and Reinsel (2008, sec. 9.2). O conjunto de dados airline.dta contem dados mensais de passageiros de linhas aéreas internacionais de janeiro de 1949 a dezembro de Após uma primeira diferenciação e uma diferenciação sazonal não podemos suspeitar de uma componente de tendência nos dados e então usamos a opção nocontant com o comando arima: use generate lnair = ln(air) arima lnair, arima(0,1,1) sarima(0,1,1,12) noconstant 7

8 []Portanto, o nosso modelo estimado de número mensal de passgeiros de linhas internacionais é: 12 lnair t = 0, 402ɛ t 1 0, 557ɛ t , 224ɛ t 13 + ɛ t ˆσ ɛ = 0, 037 O coeciente de ɛ t 13 (0,224) é aproximadamente igual ao produto dos coe- cientes deɛ t 1 ( 0, 402) e ɛ t 12 ( 0, 557). O comando arima designou o termo DS12.lnair para indicar que foi aplicado o operador diferença e o operador de diferença sazonal de 12 lags 12 a série lnair. Podemos também ajustar o mesmo modelo através do comando: arima DS12.lnair, ma(1) mma(1, 12) noconstant Para modelos multiplicativos SARIMA mais simples é mais fácil usar a opção sarima(), embora esta segunda sintaxe permita incorporar termos sazonais mais complicados. 8

9 4 Previsões dinâmicas após o arima Outra característica do comando arima é sua habilidade para utilizar o comando predict logo após a estimação do modelo para fazer previsões dinâmicas para a série temporal. Suponha que desejamos ajustar o modelo de regressão: y t = β 0 + β 1 x t + ρy t 1 + ɛ t usando uma amostra de dados det = 1,.., T e fazer previsões começando no tempo f. Se usamos o comando regress para ajustar o modelo, então podemos usar o comando predict para fazer previsões um passo a frente. Ou seja, o comando predict calculará: ŷ f = ˆβ 0 + ˆβ 1 x f + ˆρy f 1 O que é importante destacar aqui é que o comando predict usará o valor efetivo de y no períodof 1para calcular a previsão no período f. Portanto, se usarmos o comando regress não podemos fazer previsões para períodos adiante de f = T + 1 a menos que tenhamos valores observados para y para estes períodos. Se ao invés disso ajustrarmos nosso modelo através do comando arima, então o comando predict pode preduzir previsões dinâmicas através do uso do ltro de Kalman. Se usamos a opção dynamic(f), então para o período f o comando predict calculará: ŷ f = ˆβ 0 + ˆβ 1 x f + ˆρy f 1 através do uso do valor observado de y f 1 justamente como quando usamos o comando predict após o comando regress. Entretando, para o período f + 1 o comando predict < newvar >, dynamic(f) calculará: ŷ f+1 = ˆβ 0 + ˆβ 1 x f+1 + ˆρy f usando o valor predito de y f ao invés do valor observado. De forma similar, para o período f + 2, a previsão será: ŷ f+2 = ˆβ 0 + ˆβ 1 x f+2 + ˆρy f+1 Naturalmente, como o nosso modelo inclui o regressor x t, podemos fazer previsões apenas para períodos para os quais temos observações para x t. Entretanto, para modelos ARIMA puros, podemos calcular previsões dinãmicas muito além do período nal de nosso conjunto de dados se assim desejarmos. No exemplo 2 ajustamos o seguinte modelo: ln(wpi t ) = β 0 + ρ 1 { ln(wpi t 1 ) β 0 } + θ 1 ɛ t 1 + θ 4 ɛ t 4 + ɛ t através dos comandos: use arima D.ln_wpi, ar(1) ma(1 4) (resultados omitidos) predict xb,xb E o Stata calcula xb t como: xb t = ˆβ 0 + ρ ˆ 1 { ln(wpi t 1 ) β 0 } + ˆθ 1 ɛ t 1 + ˆθ 4 ɛ t 4 + ɛ t onde ˆɛ t j = { ln(wpi t j ) xb t j t j > 0 0 em caso contrário 9

10 signicando que o comando predict newvar,xb calcula predições usando a métrica da variável dependente. Neste exemplo, a variável dependente é representada pelas mudanças em ln(wpi t ) e portanto, as predições são, da mesma forma, mudanças nesta variável. Se, ao invés, usamos: predict y, y Stata calcula y t como y t = xb t +ln(wpi t ) de forma que y t representa os níveis preditos de ln(wpi t ). Em geral predict newvar, y reverterá qualquer operador de série temporal aplicado a variável dependente durante a estimação. Se nós queremos ignorar os componentes de erro ARMA quando fazemos as predições, usamos a opção structural: predict xbs, xb structural que gera xbs t = ˆβ 0 porque não há regressores no modelo e predict ys, y structural gera ys t = ˆβ 0 + ln(wpi t 1 ) Exemplo 4: Previsões dinâmicas Uma característica atrativa do comando arima é sua habilidade para fazer previsões dinâmicas. Suponhamos que queiramos estimar uma função consumo como: consump t = β 0 + β 1 m2 t + µ t µ t = ρµ t 1 + θɛ t 1 + ɛ t Primeiro, nós estimaremos o modelo usando os dados até o primeiro trimestes de 1978 e então calcularemos as previsões um passo adiante e as previsões dinâmicas. use keep if time<=tq(1981q4) arima consump m2 if tin(, 1978q1), ar(1) ma(1) (resultados omitidos) Para fazer as previsões um passo adiante: predict chat, y Porque nossa variável dependente não contem operadores de séries temporais poderíamos ter usado predict chat, xb e teriamos obtido os mesmos resultados. Faremos também previsões dinâmicas, mudando dos valores observados de consump para os valores previstos no primeiro trimestre de 1978: predict chatdy y, dynamic(tq(1978q1)) y twoway (line consump time, lwidth(medthick) lpattern(dot)) (line chat time, lpattern(dash)) (line chatdy time) if time>=tq(1977q1), ytitle(bilhões de dólares) xtitle(trimestre) 10

11 Bilhões de dólares q1 1978q1 1979q1 1980q1 1981q1 1982q1 trimestre série observada previsão dinâmica previsão um passo a frente 5 Aplicação de modelos ARIMA para séries de preços use indices de preços.dta, clear gen time = _n tsset time twoway (line Vestuario time), xlabel(#44, labsize(vsmall) grid) gen dvestuario = Vestuario - L12.Vestuario twoway (line dvestuario time), xlabel(#44, labsize(vsmall) grid) 11

12 Vestuario time A série apresenta um padrão cíclico com padrão nitidamente sazonal. É importante observar que os picos de preço ocorrem sempre no mes de dezembro, sugerindo um processo de formação de preços nitidamente inuenciado pela demanda. Os pontos mais baixos da série costumam ocorrer no mês de fevereiro. A série (deacionada) parece também ser estacionária. Podemos vericar isto através do comando <dfuller Vestuario>. Vamos tentar modelar a série usando inicialmente um modelo SARIMA (0, 0, 1) (1, 1, 10) 12 e depois tentando outras especicações: ac dvestuario pac dvestuario arima Vestuario, arima(0,0,1) sarima(1,1,0,12) noconstant estimates store modelo1 arima Vestuario, arima(1,0,0) sarima(1,1,0,12) noconstant estimates store modelo2 arima Vestuario, arima(0,0,0) sarima(1,1,0,12) noconstant estimates store modelo3 arima Vestuario, arima(1,0,1) sarima(1,1,0,12) noconstant estimates store modelo4 estimates stats modelo1 modelo2 modelo3 modelo4 estimates restore modelo4 ac dvestuario pac dvestuario arima Vestuario, arima(0,0,1) sarima(1,1,0,12) noconstant estimates store modelo1 arima Vestuario, arima(1,0,0) sarima(1,1,0,12) noconstant 12

13 estimates store modelo2 arima Vestuario, arima(0,0,0) sarima(1,1,0,12) noconstant estimates store modelo3 arima Vestuario, arima(1,0,1) sarima(1,1,0,12) noconstant estimates store modelo4 estimates stats modelo1 modelo2 modelo3 modelo4 Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC modelo modelo modelo modelo Note: N=Obs used in calculating BIC; see [R] BIC note O último modelo (modelo4) parece ser o que pelos critérios (máxima verossimilhança, AIC e BIC) o que melhor se ajusta aos dados. estimates restore modelo4 predict ruido, residuals twoway (line ruido time) ac ruido Autocorrelations of ruido Lag Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands predict chat, y predict chatdy, dynamic(70) y label var Vestuario "série observada" label var chat "previsão um passo a frente" label var chatdy "previsão dinâmica" 13

14 índice de preços vestuário mês série observada previsão dinâmica previsão um passo a frente 14