AVALIAÇÃO DE PROJETOS USANDO JOGOS EVOLUCIONÁRIOS E OPÇÕES REAIS

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1 AVALIAÇÃO DE PROJETOS USANDO JOGOS EVOLUCIONÁRIOS E OPÇÕES REAIS Aluna: Tatiana Kebudi Orlando Orientador: André Barreira da Silva Rocha Introdução Para se avaliar um projeto ou empresa, diversos métodos podem ser utilizados no ramo financeiro. Os dois que atualmente mais se destacam, a partir do cálculo de projeções futuras são: o ortodoxo, que concede um resultado a partir do valor presente líquido e o método das opções reais, que possuem uma maior flexibilidade quanto às variáveis de um modelo. [1] enfatizam como diferença fundamental entre eles o aspecto de as opções reais serem influenciadas pelo ambiente competitivo, que transforma opções reais exclusivas em opções reais comuns a todas as empresas. A par desse segmento, pode-se acrescentar a teoria dos jogos para enriquecer a análise Xdos dois métodos. A teoria dos jogos engloba diversos campos da ciência, tais como finanças, biologia, microeconomia, dentre outras. Tais assuntos têm sido usados com alta frequência nas tomadas de decisão. O uso das opções reais é intensificado com a presença de incertezas em relação aos fluxos de caixa futuros e, para que seja viável a avaliação de uma empresa, a mesma pode ser feita via um modelo discreto de árvore binomial. Tal método é muito utilizado nos casos de formulação de novos remédios, exploração de gás e exploração de petróleo, por exemplo. O tradicional dilema do prisioneiro, jogo estático de informação completa, será o tema base da teoria dos jogos a ser abordado no trabalho desenvolvido. Nesse exemplo, dois indivíduos são presos pela polícia e tem a opção de confessar ou não confessar, resultando em diferentes pagamentos para cada um. Nesse caso, o que se torna interessante é a presença do equilíbrio de Nash para a confissão de ambos, além da dominância de tal estratégia sobre a outra, justificada pela falta de garantia do outro prisioneiro em não confessar. Em resumo, é observado que os pagamentos individuais não são melhores do que os referentes à cooperação dos prisioneiros, players do jogo. Um outro ramo da teoria dos jogos que foi muito estudado e aprofundado foi a parte evolucionária que foca na evolução das populações ao longo do tempo. Podem ser feitos estudos com uma população ou duas, com duas ou três estratégias afim de se determinar a convergência de estratégias, isto é, qual prevalece com o passar do tempo, qual população sobrevive ou se existe um ciclo infinito. Alguns casos dependem das condições iniciais dadas, e estas podem determinar o resultado do modelo. A Teoria dos Jogos Evolucionários e as Opções Reais Foram feitos diversos estudos sobre a teoria dos jogos em uma primeira etapa a partir de artigos científicos nacionais e internacionais e em seguida foi incluída a teoria evolucionária, que remete ao estudo de evoluções ao longo do tempo relacionado a variados assuntos, como a biologia, evolução humana e cultural. Em paralelo, o estudo de opções reais foi feito com base em [2], onde foram aprofundados métodos estocásticos, maximização dos retornos de um portfólio e o comportamento do agente em relação ao risco, dentre outros.

2 Foram estudados diversos casos sobre a teoria dos jogos, tendo como uma base inicial os artigos [3], [4], [5] e [6] que tratam de assuntos voltados à evolução social das populações com a intervenção de programas educacionais e fluxos migratórios. Entretanto, em [6] foi visto com maior detalhe e serviu como estrutura para futuros desenvolvimentos de modelos. Neste caso, uma estrutura espacial é formada e inibe a evolução da cooperação no jogo de Snowdrift descrito em [6]. Assumindo que indivíduos ocupam sites regulares quando o mesmo é atualizado, o presente ocupante e seus vizinhos mais próximos competem para ocupar o site. Generalizando o replicador dinâmico para obter sucesso, as diferenças do pagamento são determinantes para cada iteração realizada. Em um primeiro momento das opções reais, foi realizado o estudo das letras gregas em que são citadas: o delta (Δ), que é a primeira derivada, representando a variação do prêmio para cada variação de R$ 1,00 no preço do ativo, sendo C o preço da call, isto é, opção de compra europeia e S o strike, o preço da ação a ser exercido através da opção: Δ = δc δs O gama (γ), que é a segunda derivada e que mede a variação do delta a partir da variação de R$ 1,00 no preço do ativo: γ = δ²c δs² O theta (θ), que mede o decaimento do prêmio para cada variação de um dia até a data do vencimento, onde t é o tempo: θ = δc δt O vega (υ), que mede a variação do prêmio para alteração de 1% na volatilidade (σ): υ = δc δσ E o roh (ρ), que mede a variação do prêmio da opção para cada variação de 1% da taxa de juros (r): ρ = δc δr Além das letras gregas estudadas, foram vistos outros conceitos que complementaram a análise para que posteriormente fosse visto e aprofundado o modelo de Black & Scholes que permite obter o valor da opção fora da data de vencimento do contrato. Nesse estudo, foi usado como premissa que o preço do ativo segue um movimento Browniano Geométrico, não paga dividendos desde o lançamento até a data de maturidade da opção, a taxa de juros livre de risco e a volatilidade são constantes e não há possibilidade de arbitragem. A equação diferencial parcial é calculada através do lema de Itô, que é usado no cálculo estocástico para encontrar a diferencial de uma função de um tipo particular de processo

3 estocástico e do processo de Wiener, que é um processo estocástico contínuo no tempo (movimento browniano). São feitas duas transformações de variáveis para assim transformar a equação diferencial parcial de Black & Scholes na equação diferencial parcial da condução do calor em uma barra infinita. Outro conceito visto e importante é o preço crítico do investimento, isto é, aquele que direciona o investidor à melhor decisão de investimentos. Pode ser exemplificado em três cenários: nunca investir; investir apenas em t = 1 e continuar se o preço subir ou investir em t = 0, e assim a partir desses contornos o investidor saberá alocar seu capital da melhor forma. Apesar dos benefícios fornecidos pelas opções reais, seu uso ainda é limitado devido à sua complexidade. Na conjuntura de diversas aplicações dessa teoria, a comparação entre a ortodoxia e o uso das opções reais na avaliação de um projeto foram utilizados como estudo para desmitificar qual seria o melhor método. Para isso, foram configuradas algumas premissas para o desenvolvimento de uma extensão de um modelo baseado em [7]: o setor produtivo modelado está regulado pelo governo de um país; competem apenas no mercado duas empresas que produzem um bem; toda demanda é igual a oferta, isto é, sempre que é produzida uma unidade do bem, existe um mercado consumidor que demanda pelo menos uma unidade; ambas as empresas utilizam uma tecnologia linear de produção, tendo como base uma estrutura de custo fixo acrescido de um custo marginal (c), que varia ao longo do tempo de forma estocástica, onde segue um movimento geométrico browniano; a volatilidade do preço da matéria prima (commodity) é dada por σ; a quantidade produzida pelas empresas foi estabelecida pelo governo do país com base na competição baseado em Cournot, onde as empresas competem de acordo com a quantidade produzida pelos seus concorrentes; caso o governo intervenha no setor através da inserção de uma nova regulamentação que fará com que o preço oscile, a empresa tem a possibilidade de contrair ou expandir sua produção a uma taxa δ. As devidas flexibilidades do modelo estudado são modeladas a partir de dois instantes no tempo Com base nesse contexto, forma-se a árvore binomial de duas empresas, onde o nó inicial representa t=1 e os nós dois e três, t=2, os quais apresentam os cenários desfavoráveis e favoráveis. Em ambos os cenários há jogos estáticos, com informação completa e simétricos nos quais será possível o uso de estratégias puras, expressadas por E (expandir) e N (não expandir) ou C (contrair) e N (não contrair). π A = π B q A = q B (C, C) (N, C) (E, E) (N, E) (C, N) (N, N) (E, N) (N, N) Assim, é formada a matriz de pagamentos que pode ser dividida em quatro categorias que refletem os payoffs de cada empresa, considerando as opções reais exclusivas ou não. Como desenvolvimento do modelo, foram feitas soluções de cada cenário futuro e o cálculo dos lucros esperados individuais visando a busca do método mais eficaz. O caso aprofundado foi o caso desfavorável, em que o governo impôs uma nova regulamentação no mercado e consequentemente o preço da matéria prima subiu, aumentando o custo de produção. Dessa forma, cada empresa toma a decisão de contrair ou não a produção e as seguintes equações representam os pagamentos para cada situação da empresa A e da empresa B, respectivamente:

4 π A (C, C) = (1 δ A q 0 δ B q 0 )δ A q 0 cq 0 δ A e σ π A (C, N) = (1 δ A q 0 q 0 )δ A q 0 cq 0 δ A e σ π A (N, C) = (1 q 0 δ B q 0 )q 0 cq 0 e σ π A (N, N) = (1 2q 0 )q 0 cq 0 e σ π B (C, C) = (1 δ B q 0 δ A q 0 )δ B q 0 cq 0 δ B e σ π B (C, N) = (1 δ B q 0 q 0 )δ B q 0 cq 0 δ B e σ π B (N, C) = (1 q 0 δ A q 0 )q 0 cq 0 e σ π B (N, N) = (1 2q 0 )q 0 cq 0 e σ Onde q 0 representa a quantidade em t=0, δ B está relacionado ao percentual que será contraído na produção para empresa B e δ A possui o mesmo objetivo, porém para a empresa A, c é o custo marginal da matéria prima (commodity) e σ a volatilidade do preço da commodity. Assim é formada a matriz de pagamentos para A: C N C (1 δ A q 0 δ B q 0 )δ A q 0 cq 0 δ A e σ (1 δ A q 0 q 0 )δ A q 0 cq 0 δ A e σ N (1 q 0 δ B q 0 )q 0 cq 0 e σ (1 2q 0 )q 0 cq 0 e σ E para empresa B: C N C (1 δ B q 0 δ A q 0 )δ B q 0 cq 0 δ B e σ (1 δ B q 0 q 0 )δ B q 0 cq 0 δ B e σ N (1 q 0 δ A q 0 )q 0 cq 0 e σ (1 2q 0 )q 0 cq 0 e σ Ao normalizar a matriz, sua forma simplificada é a seguinte: Onde: a 1 = π A (C, C) π A (N, C) a 2 = π A (N, N) π A (C, N) b 1 = π B (C, C) π B (C, N) b 2 = π B (N, N) π B (N, C) C N C a 1, b 1 0,0 N 0,0 a 2, b 2

5 Conclusões Após feita a análise, contemplando diferentes cenários (favorável/desfavorável, existência/não existência de opções reais e se são exclusivas ou comuns), a extensão do modelo resultou na abrangência das possibilidades finais. Vale ressaltar que as tomadas de decisões atuais não se voltam às opções reais e acabam se concentrando nas estratégias mais óbvias. No caso do modelo estendido, foi notado que ao tornar as taxas de contração variáveis, os comportamentos encontram-se similares. Pode-se dizer que como consenso, para o caso estudado de contração, sempre que as estratégias baseadas em opções reais foram utilizadas, lucros superiores foram obtidos em comparação com os do método tradicional. Foi observado que há dependência do tipo da opção que se detém em relação ao lucro final, e mesmo que a companhia seja líder de mercado no setor, não obrigatoriamente ela terá a maior rentabilidade, cabe às empresas tomarem as decisões conhecendo suas opções e entendendo qual será a melhor estratégia a ser utilizada. Esse assunto tem importância extrema no Brasil, visto que diversos setores regulados, como o elétrico, hidráulico, telefônico e de gás sofrem alterações que podem vir a ser desruptivas. Com o aprofundamento desses assuntos, foi possível realizar um trabalho interdisciplinar que englobou diferentes pontos da engenharia e principalmente do tema envolvendo a avaliação de projetos. O estudo inicial teórico teve sua importância para criar a uma base consistente e posteriormente desenvolver um paralelo com o lado prático e vívido do modelo. As aplicações ocorrem tanto na prática quanto na teoria que levam a uma diversidade de assuntos que podem vir a ser desenvolvidos no futuro.

6 Referências Bibliográficas [1] PERLITZ, M., PESKE, T., e SCHANK, R.. Real Options Valuation: The New Frontier in R&D Project Valuation? R&D Management, 21(3), [2] DIXIT, A. K., PINDYCK, R. S. Investment Under Uncertainty. 1 Ed. Princeton. Princeton, New Jersey. [3] BARREIRA DA SILVA ROCHA, A. Evolutionary dynamics of nationalism and migration. Physica A 392 (2013) Disponível em: [4] SCHIMIT, P.H.T., MONTEIRO, L.H.A e OMAR, N..Cash Transfer program and education investment: A model for social evolution. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 19 (2014) Disponível em: [5] MINNET, J., WANG, W.. Modelling endangered languages: The effects of bilingualism and social structure. Lingua 118 (2008) Disponível em: [6] HAUERT, C. e DOEBELI, M.. Spatial structure often inhibits the evolution of cooperation in the snowdrift game. Letters to Nature. Disponível em: [7] BARREIRA DA SILVA ROCHA, A.. The Prisioner Dilemma and The Inefficiency of The Real Options Method. Universidade de Essex, Reino Unido.