XXV SEMANA ACADÊMICA DA MATEMÁTICA ISSN O pomo da discórdia. Universidade Estadual do Oeste do Paraná

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1 O pomo da discórdia Daniel Zampieri Loureiro 1, Dulcyene Maria Ribeiro 2 1 Acadêmico do Curso de Matemática Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná 2 Professora do Curso de Matemática, Doutora em Educação Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná Caixa Postal Cascavel PR Brasil zampiieri@hotmail.com Resumo. Este artigo tem por objetivo apresentar os estudos iniciais sobre as curvas geométricas ciclóide, tautocrona braquistócrona 3. Tais curvas geométricas que atraíram a atenção de matemáticos do século XVII por suas propriedades únicas, inúmeras vezes passam despercebidas no cenário atual por serem pouco conhecidas, e pouco trabalhadas tanto nas escolas quanto nas universidades. Elas apresentam propriedades que podem ser aplicadas a situações reais, tais como o menor tempo percorrido por um objeto, caso da Braquistócrona, ou ainda objetos que se deslocam em tempos iguais lançados de diferentes distâncias, caso da Tautócrona. Por isso considera-se relevante o trabalho com essas curvas já que nos proporcionam mostrar aplicações diretas da matemática no cotidiano. Palavras chaves. Ciclóide, Braquistócrona, Tautocrona, Curvas Geométricas, História da matemática. 1. Introdução As curvas, ciclóide, tautócrona e braquistócrona são pouco conhecidas, e pouco trabalhadas tanto nas escolas quanto nas universidades. Elas apresentam propriedades que podem ser aplicadas a situações reais, tais como o menor tempo percorrido por um objeto ou ainda objetos que se deslocam em tempos iguais lançados de diferentes distâncias. Por isso considera-se relevante o trabalho com essas curvas já que nos proporcionam mostrar aplicações diretas da matemática no cotidiano. Vale ressaltar que de certa forma os conteúdos de Geometria Analítica relacionados às curvas, enfatizam as curvas fundamentais parábola, hipérbole e elipse, tornando a Ciclóide e suas propriedades coadjuvantes no processo de ensino e aprendizagem da matemática. Objetiva-se nesse texto apresentar um estudo histórico sobre a ciclóide, 3 Trabalho que está sendo desenvolvido como pesquisa na Monografia cumprindo assim o requisito necessário para obtenção de licenciado em matemática. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 1

2 braquistócrona e a tautocrona e as propriedades dessas curvas, como também sobre os matemáticos que trabalharam com ela ao longo da história da matemática. 2. Surge a Helena da Geometria O estudo das curvas sempre representou um fascínio na história de homens envolvidos com a matemática, como os gregos antigos que se destacaram com seus estudos sobre geometria. Ressaltam-se os trabalhos de Euclides em sua obra de primazia Os Elementos. Seus sucessores Arquimedes (287 a.c. 212 a.c.) e Apolônio de Perga (262 a.c. 190 a.c.) também desenvolveram trabalhos de grande relevância aos estudos da geometria. A Medida de um Círculo, A Quadratura da Parábola e Sobre as Espirais são três dos trabalhos de Arquimedes. Neles ele inaugura o método clássico 4 para o estudo do π (pi) e mostra que a área de um segmento parabólico é quatro terços da área de um triângulo inscrito de mesma base e de vértice no ponto onde a tangente é paralela a base. Segundo Eves (2004, p. 140) o terceiro trabalho de Arquimedes apresentou ainda as propriedades da curva hoje conhecida como espiral de Arquimedes cuja equação polar é. Arquimedes ao desenvolver seus tratados os fez em uma linguagem tão bem acabada, objetiva e com tamanha originalidade que perduram como uma das contribuições mais notáveis da matemática. Apolônio de Perga, hodierno de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola e a hipérbole que na matemática atual sobressaem-se em relação aos estudos de outras curvas não menos importantes. A ciclóide foi estudada primeiramente no século XV por Nicholas Cusa ( ), quando estava tentando encontrar a área de um círculo pela integração. Nicholas de Cusa era um padre alemão que se interessava por Geometria, Lógica e também por Filosofia e Astronomia, mas foi Galileu quem deu esse nome à curva em Os estudos sobre a ciclóide geraram polêmicas entre os matemáticos do século XVII desde Mersenne ( ) à família Bernoulli. Suas propriedades apresentam tantas belezas e controvérsias matemáticas que a ciclóide passou a ser chamada de a Helena da Geometria ou Pomo da Discórdia, intitulada dessa maneira pela desarmonia gerada entre os matemáticos da época. Boyer conta que em 1615, Mersenne tinha chamado a atenção dos matemáticos da época para a curva ciclóide. Em 1634 Mersenne propôs a Roberval ( ) que estudasse a curva, o qual em 1634 pode provar que a área sob um arco da curva é exatamente três vezes a área do circulo gerador, em 1638 descobriu como traçar a tangente a curva em qualquer ponto, problema que fora resolvido ao mesmo tempo também por Fermat e Descartes. Ainda segundo Boyer em 1643 Torricelli ( ), enviou a Mersenne a quadratura da ciclóide, e em 1644 publicou uma obra intitulada De parabole que incluía tanto a quadratura da ciclóide, quanto a construção da tangente. Ressalta-se o fato de Torricelli não mencionar que Roberval havia chegado nesse resultado antes dele, e por isso em 1646 Roberval escreveu uma carta acusando Torricelli de plágio, dele e de Fermat, é relevante mencionar que isso fora um dos acontecimentos polêmicos gerados 4 Consiste em calcular o perímetro de polígonos inscritos e circunscritos de 12, 24, 48, e 96 lados, chegando à conclusão de que o valor de π deve estar situado entre e (em notação decimal com aproximação de duas casas eqüivale a dizer que π vale 3,14). Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 2

3 por essa curva, que merecidamente faz jus ao pseudônimo Helena da Geometria ou Pomo da Discórdia. Galileu ( ) um dos primeiros a estudar a ciclóide propôs que arcos de pontes fossem feitos com base em suas propriedades. Pascal por sua vez resolveu problemas que relacionavam superfícies e volumes de revolução utilizando essa curva. Jakob e Johann Bernoulli estudaram a curva do menor tempo sendo ela denominada braquistócrona, que pode ser definida como segue. Dado dois pontos num plano vertical, a alturas diferentes, é a trajetória que uma partícula material deve seguir no plano para ir do ponto mais alto, ao ponto mais baixo no menor espaço de tempo possível. Mostraram também que uma partícula material atinge um ponto dado da trajetória num espaço de tempo que não depende do ponto de onde ela saiu, problema esse chamado de problema da tautócrona, que também foi discutido por Huygens ( ) e Newton ( ). Também é relevante indagar qual o motivo dessas curvas serem tão pouco trabalhadas e conhecidas na matemática atual. 3. Problema Novum, o desafio da Braquistócrona Após o alvoroço que a ciclóide trouxe a sociedade matemática no decorrer do século XV e XVII, Johann Bernoulli, professor de matemática em Gröningen e membro da celebre revista Acta Eruditorum 5, propôs como desafio que matemáticos determinassem qual seria a curva de descida mais rápida. Desse modo, propôs em junho de 1696, o seguinte problema: PROBLEMA NOVUM, ad cujus Solutionem Mathematici invitantur. Datis in plano verticali duobus punctis A et B, assignare mobili M viam AMB, per quam gravitate sua descendens, et moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniant ad alterum punctum B. Dados um plano vertical e dois pontos A e B sobre o plano, com A mais alto do que B, e um ponto móvel M, determinar uma curva ao longo da qual uma partícula material desliza no menor tempo possível de A até B, considerando apenas a ação da gravidade, sem atrito. (COELHO, 2008, p. 22) 5 Revista matemática fundada1682 na cidade de Leipzig por Otto Mencke e Gottfried Wilhelm Leibniz. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 3

4 FIGURA 1: O problema da Braquistócrona 6 Johann por sua vez noticiava possuir uma solução e provocava os matemáticos da época para que em seis meses fizessem o mesmo, este receberia as glórias de sua proclamação 7. Segundo Marques, Oliveira e Jafelice (2008, p. 256) em janeiro de 1697, Johann publicou uma nova proclamação a qual mencionava que apenas Leibniz lhe comunicara ter resolvido o desafio proposto. Frente a isso solicitou um adiamento do prazo até a Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o qual fora aceito. No decorrer do prazo foram apresentadas cinco soluções na Acta Eruditorum, de 1697, a do próprio Johann Bernoulli, a do seu irmão mais velho Jacob Bernoulli, a de Leibniz, a de L Hôpital e uma em anonimato, que posteriormente foi revelada ser de Newton (idem). Ainda segundo Marques, Oliveira e Jafelice (2008, p. 256), a ideia do problema proposto por Johann era direcionar ao erro pela intuição, o percurso mais rápido de uma esfera ao longo de um trajeto que una dois pontos a diferentes alturas, não é um plano inclinado em linha reta como se pensa. A solução para esse problema é exatamente uma das propriedades da ciclóide no caso a braquistócrona, nome dado por Galileu, que havia se interessado por outras de suas propriedades no início de Conclusão Com base nesse trabalho espera-se conhecer mais sobre as curvas estudadas e não estudadas na matemática escolar, as contribuições que a família Bernoulli e outros matemáticos deixaram sobre os estudos das curvas iniciadas no séc. XVII, as disputas 6 Fonte: A história dos problemas da tautocrona e da braquistócrona / 7 Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prêmio que prometemos. Este prêmio não é ouro nem prata (...) mas antes as honras, os elogios e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e privadamente, por palavra e por carta, a perspicácia do nosso grande Apollo. Johann Bernoulli - proclamação de (MARQUES, OLIVEIRA, JAFELICE; 2008, p. 256) Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 4

5 matemáticas na época pelo reconhecimento matemático e as aplicações e propriedades dessas curvas. Na maioria das vezes o ensino da matemática é tratado como algo desinteressante pelos alunos, o que pode ser explicado pelo fato de não estabelecerem um significado histórico para o conhecimento matemático. Os alunos desconhecem como foi o desenvolvimento científico e matemático de uma determinada época, como o homem chegou a um dado conhecimento e as mudanças que este sofreu ao longo do tempo. Por tudo isso, acredita-se que o conhecimento histórico pode ser uma poderosa ferramenta na construção do conhecimento matemático. 5. Referências ALENCAR, Hilário; SANTOS, Walcy. Geometria diferencial das curvas planas. Disponível em: < encial.das.curvas.planas pdf>. Acesso: em 16 mai BOYER, Carl Benjamin, História da Matemática; tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, COELHO, Rejeane Alexandre. A historia dos problemas da tautócrona e da braquistócrona f. Dissertação (Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, Disponível em: < Acesso: em 16 mai CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve história. 3 ed. São Paulo: Livraria da Física, CORRÊA, Wellington José. et al. Resolução do Problema da Braquistócrona usando o Maple. (Ed) Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia, 1, Ponta Grossa, PR. Anais... Ponta Grossa: PPGECT / UTFPR, p , EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da Unicamp, GRABINSKY, Guillermo. La ciclóide. Disponível em: < Acesso em: 23 mar JUNIOR, José Ribamar A. de Souza. O cálculo variacional e o problema da braquistócrona f. Dissertação (Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, MARQUES, Danilo A. et al. Modelagem Matemática das Pistas de Skate. FAMAT em Revista, 10, 2008, Uberlândia MG, Universidade Federal de Uberlândia, p , Disponível em: < Acesso em: 18 mai MENDES, Cláudio Martins. Curvas Parametrizadas. Disponível em: < >. Acesso em: 17 mai Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 5

6 HISTÓRIA, TÉCNICAS E AS PROBLEMÁTICAS DO ENSINO E APRENDIZAGEM DA DIVISÃO Diogo Leandro Piano 1, Daniel Zampieri Loureiro 1, Arleni Elise Sella Langer 2 1 Acadêmicos do Curso de Matemática Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná 2 Professora do Curso de Matemática, Mestra em Educação Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná Caixa Postal Cascavel PR Brasil zampiieri@hotmail.com Resumo: Este trabalho tem por objetivo apresentar conceitos históricos de alguns povos da antiguidade como os Babilônios e os Egípcios, acerca da divisão. Na sequência serão apresentados também os diferentes tipos de problemas envolvendo as técnicas de divisão como partilha, medida, comparação e o uso do método longo e o método breve. Busca-se também apontar questões que norteiam a construção do conhecimento no que diz respeito às dificuldades de se aprender e ensinar a divisão no âmbito escolar. Palavras-chave: Divisão; Ensino; Aprendizagem. 1. Introdução O frenesi pelo novo, pelas descobertas tecnológicas, pelos avanços científicos fascina a humanidade nos dias atuais. Mas tão fascinante quanto o que se nota hoje foram as descobertas e os avanços tanto nos campos da organização populacional, na evolução do pensamento, na arte, na arquitetura, nas engenharias e acima de tudo nos estudos matemáticos dos povos da antiguidade. Esses estudos tiveram importante contribuição nos campos da geometria, da álgebra e da aritmética como as conhecemos hoje. Conhecer as técnicas e os processos utilizados para resolução das quatro operações fundamentais pelos povos da antiguidade pode ser de grande relevância para o ensino da matemática hoje. Muitas vezes o professor opta por não trabalhar algumas passagens históricas do conteúdo da matemática perdendo dessa maneira a oportunidade de compreender e transmitir a concepção inicial no processo de ensino e aprendizagem, fazendo com que a manipulação simbólica fique mais ligada a memória do que aos reais significados envolvidos na elaboração do conteúdo ensinado. Buscamos assim investigar e compreender algumas técnicas utilizadas pelos Babilônios e Egípcios para resolução do algoritmo da divisão. Para posteriormente relacioná-las a alguma situação do ensino. No que diz respeito aos conteúdos de matemática do ensino fundamental nada causa mais terror nos professores menos preparados e nos alunos como a Divisão. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 6

7 Muito se questiona sobre quando e em que etapa da vida escolar dos alunos deve ser inserido tal conteúdo. Mas instigar tipos de questionamentos dessa natureza é promover guerras homéricas com educadores mais conservadores. As noções fundamentais de divisão podem aparecer nos anos iniciais, não de maneira tão formal, mas sim, de forma a moldurar as noções básicas de partição, já que muitos dos alunos aprendem a fazer a divisão, utilizando o algoritmo, mas poucos entendem o processo. Pretendemos nesse artigo apresentar algumas idéias sobre a divisão e seus métodos de resolução, mostrar ainda como muitas vezes esse conteúdo acaba por ser ensinado de maneira superficial, deixando uma lacuna no saber matemático de quem o aprende. 2. Divisão na Antiguidade Segundo [EVES, 2004], o aparecimento das primeiras formas de sociedade deu-se às margens de grandes rios, como o Tigre e o Eufrates situados na Ásia e o Nilo na África, em certas áreas do oriente antigo originou-se a matemática primitiva como uma ciência prática que vinha contribuir para atividades ligadas à agricultura, a engenharia e as práticas mercantis. A Mesopotâmia é uma região situada, no vale dos rios Eufrates e Tigre. Habitada inicialmente pelos sumérios, que desenvolveram um sistema de escrita, em torno do quarto milênio a.c., que pode ser o mais antigo da história da humanidade, a escrita cuneiforme. As antigas civilizações que habitavam o Sul da Mesopotâmia são chamadas, frequentemente, de Babilônios. Os babilônios criaram as primeiras tábuas de informação e de cálculo destinadas a armazenar dados extraídos da observação astronômica embasados na disposição dos astros no firmamento. Propagaram ainda seus métodos e operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação etc.), esses processos aritméticos eram muitas vezes efetuados com a ajuda destas tábuas: de multiplicação, de inversos multiplicativos, de quadrados e cubos e de exponenciais. As tábuas de inversos eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação, algumas dessas tábuas envolviam problemas de geometria como os encontrados na tábua de Plimpton e na tábua YBC Tabula escrita no período babilônico antigo (aproximadamente entre 1900 e 1600 a.c.), os primeioros a descrever seu conteúdo foram Neugebauer e Sachs em Essa tábua faz parte da Yale Babylonian Collection da Universidade de Yale. É do antigo período da Babilônia que vai de cerca de 2004 a 1595 a.c. A tábua continha originalmente 22 problemas dispostos por grau de dificuldade, mas apenas 11 estão parcialmente conservados. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 7

8 Figura 1: tábua YBC 4652 Fonte: História da Matemática no Egito / Figura 2: tábua Plimpton 322 Fonte: Quanto à civilização egípcia, desenvolveu-se no nordeste da África às margens do rio Nilo, entre 3200 a.c. de extrema importância para a civilização egípcia o Nilo era utilizado como via de transporte de pessoas e mercadorias, suas águas eram ainda utilizadas para beber, pescar, irrigar as margens favorecendo a agricultura, mais nada foi tão marcante nessa civilização quanto às contribuições matemáticas desse povo, foram eles os responsáveis pela criação dos primeiros símbolos para representação matemática. Impulsionados pelas necessidades da vida cotidiana e em virtude das inundações periódicas provocadas pelas enchentes do Nilo, que destruíam os marcos divisórios de terra, os egípcios desenvolveram o estudo da geometria. Além da geometria desenvolveram um sistema de numeração baseado no sistema decimal, símbolos específicos representavam valores de 10, 100, 1000, e Nos registros encontrados por historiadores como no papiro de Rhind 3 encontra-se uma tabela 3 O papiro Rhind tem data aproximada de 1650 a. C. É um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 8

9 utilizada para transformações de frações gerais em somas de frações unitárias, esta tabela mostra uma habilidade matemática por parte dessa civilização. Na divisão dos egípcios o divisor é dobrado sucessivamente ao invés do multiplicando. Uma das consequências do sistema de numeração egípcio é o caráter aditivo da aritmética. Assim a multiplicação e a divisão eram em geral efetuadas por uma sucessão de duplicações, com base no fato de que todo número pode ser representado por uma soma de potências de 2. Para a divisão egípcia é utilizada uma tabela com duas colunas, na primeira coluna colocamos duplicações a partir do um, e na segunda coluna duplicações a partir do divisor, e não tem necessidade de passar do valor do dividendo, por exemplo: : 13 Primeira coluna: duplicação a partir do 1. Segunda coluna: duplicação a partir do divisor 13 até o 208, pois o próximo número seria 416, que é maior que 247, e não seria necessário. Resultado: a soma dos correspondentes da segunda coluna, que somam , são: 13,26 e 208, sobre a primeira coluna, assim: 247 : 13 = = 19 O processo egípcio de divisão não só elimina a necessidade de aprender uma tábua de multiplicação, como também, como também se amolda tanto ao ábaco que perdurou enquanto esse instrumento esteve em uso e mesmo depois (EVES, 1997, p.73) 3. Os diferentes tipos de problemas Compreender um conceito matemático envolve diversos aspectos, sejam eles pela maneira que são expostos aos alunos, ou pelas estratégias e/ou procedimentos de resolução apropriados, não deixando de usar de representações diversas relacionadas ao conhecimento sobre o número, quantidades e algoritmos. Isso se torna um dos desafios essências e ao mesmo tempo uma das dificuldades principais no ensino da matemática, fazer com que tenha sentido o que se ensina para o aluno. Muitos dos alunos desenvolvem grande parte de sua aprendizagem recorrendo a procedimentos próprios não deixando de ter uma construção de conhecimento ativa. Para o professor é importante conhecer essas formas de construção perante determinados desafios que lhe são propostos, levando em consideração inclusive as estratégias que os alunos utilizam para resolvê-los. A divisão é uma operação matemática comumente associada a dificuldades, tanto no ensino quanto na aprendizagem, para amenizar tais situações podem ser utilizadas táticas que incluam os diferentes tipos de divisão, como: partilha, medida e comparação. Dessa maneira procuraremos ponderar conceitos envolvidos na divisão. Tem cerca de dezoito pés de comprimento por cerca de treze polegadas de altura, embora não tenha sido encontrado desta forma. É uma fonte primária rica sobre a matemática egípcia antiga; descreve os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, o uso que faziam das frações unitárias, seu emprego da regra da falsa posição, sua solução para o problema da determinação da área do círculo e muitas aplicações da matemática a problemas práticos. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 9

10 3.1. Ideia da partilha Em uma determinada situação vamos considerar o seguinte problema matemático. Se eu tenho um pacote com doze balas e quero dividi-las entre quatro crianças a resposta encontrada será três balas para cada criança ou em outra interpretação três balas por criança. O que sugere a seguinte indagação: Por que a resposta não é dada somente em balas ou em crianças? Para responder essa indagação a idéia utilizada para esse tipo de operação, relaciona o conceito de divisão como partilha. Por exemplo, dado o nosso pacote de balas quero dividi-las entre mim e meu amigo e a pergunta a se fazer é a seguinte: quantas balas para cada um de nós dois? Assim a resposta será tantas balas para cada um de nós dois, sendo essa a noção de partilha. Então a partilha acontece quando estou dividindo duas grandezas de tipos diferentes, nesse caso a grandeza balas está sendo dividida pela grandeza crianças, logo o resultado será uma grandeza diferente das iniciais, assim a resposta para esta questão será a grandeza balas por crianças que é denominada taxa. Mesmo sendo matematicamente menos simples os alunos usam-na desde cedo visto que a contagem não é necessária para este processo, e sim predizer o tamanho de determinadas partes a serem partilhadas. Fazendo com que o aluno trabalhe de maneira intuitiva, para que com o passar do tempo familiarize-se com processos algébricos mais avançados Ideia da medida Em um determinado recipiente cabiam 96 bombons, sendo que cada caixa era capaz de conter 8 bombons. Quantas caixas dessas seriam necessárias para embalar esses 96 bombons? É fácil ver que o resultado seriam 12 caixas, mas o que levaremos em consideração é o pensamento por trás dessa operação e o método para a resolução. Temos que o resultado é dado em caixas, isso nos remete a perceber que a ideia empregada para a resolução é a de medida. Essa ideia consiste em formar grupos de determinados tamanhos. Nesse caso o resultado aparece exatamente com a mesma grandeza utilizada na pergunta, no contexto, quantas caixas utilizadas para embalar os bombons. Na ideia de medida o tamanho do todo é conhecido e o tamanho de cada parte também; a operação, busca encontrar a quantidade de partes com esse determinado tamanho Ideia de comparação Além das ideias de partilha e da medida existe ainda a ideia da comparação. Na comparação a pergunta básica é quantas vezes a medida de uma determinada grandeza é maior do que outra medida de mesma grandeza. Vamos explicar esse raciocínio utilizando o mesmo exemplo dos bombons. Imaginando uma caixa com 8 bombons e ainda uma outra maior com 96. Quantas vezes a caixa com 96 bombons é maior do que a com 8 bombons? Para essa questão devemos pensar em quantas vezes a caixa com 8 bombons caberá dentro da outra com Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 10

11 96 bombons, sendo que o resultado obtido será de 12 vezes. Esse resultado será chamado de razão. Esta ideia de divisão envolve problemas de maior complexidade, aconselhando-se só em um período de maior maturidade apresentá-lo aos alunos e em contextos compreensíveis para eles. 4. Métodos de resolução 4.1. O método longo O método longo consiste em efetuar as divisões apresentando os cálculos que estão sendo efetuados. A cada multiplicação realizada na chave (divisor) teremos um número correspondente que será subtraído do dividendo, obedecendo a ordem da esquerda para direita 4. Cada um desses cálculos serão apresentados na conta que segue, como exemplo: Podemos notar que todos os passos da divisão estão sendo apresentados, percebamos que 12 cabe 6 vezes dentro de 79 o que resulta em 79-72, a subtração resulta em 07 agora baixamos 2 do dividendo e obteremos o 72, assim 12 cabe 6 vezes dentro de 72 efetuamos a subtração e obtemos zero, baixando 6 do dividendo não podemos mais dividir 6 por 12, consequentemente colocamos zero na chave, logo nossa resposta será 660 na chave com resto 6. Dessa maneira o método tende a facilitar a compreensão do que está sendo calculado na operação propiciando a visualização dos cálculos efetuados O método breve O método breve ou curto se contrapõe o método longo, sendo que este apresenta somente os restos das subtrações realizadas, ou seja, as subtrações feitas ao dividendo são efetuadas mentalmente, como exemplo: 4.3. Divisão por estimativa Nas fases iniciais da construção do conhecimento do aluno, grande parte do tempo utilizado no processo de ensino e aprendizagem da divisão, discussões, técnicas e 4 A divisão é a única operação realizada nessa ordem (esquerda para a direita). Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 11

12 métodos são postos em prática com a gana de buscar a melhor maneira de se ensinar com sucesso esse conteúdo. Durante muito tempo inflamavam-se embates sobre o uso dos métodos curto ou longo, entre o ocultar os cálculos buscando um raciocínio matemático mais aprimorado, ou apresentá-los visando facilitar sua compreensão. Recentemente em meio às discussões de qual método utilizar ganha força um método alternativo intitulado, divisão por estimativa. Por meio dele a ênfase se detém no cálculo mental, já que a ideia principal do método é dividir e efetuar sucessivas subtrações. Por exemplo se queremos, dividir 192 balas por 12 crianças, começamos distribuindo 10 balas para cada criança, e subtraímos do dividendo as 120 balas necessárias para isso. Assim temos que sobram 72 balas, posso imaginar que isso permite que eu distribua ainda 3 balas para cada uma das crianças. Assim terei mais uma subtração de 36 balas do dividendo, restando ainda 36 balas para serem distribuídas. Dessa forma percebendo ainda que dessas 36 balas, podemos ainda distribuir 3 balas para cada criança finalizando assim a operação não restaram balas 5. As dificuldades no ensino-aprendizagem da divisão Cada criança recebeu 16 balas Há tempos indagações sobre as dificuldades de se ensinar e aprender matemática gera discussões de grande relevância no cenário educacional. Ao questionarmos alunos quanto a conteúdos ditos básicos, que deveriam ser claros, encontraremos respostas e olhares aterrorizados, pondo a prova que tais conteúdos não são de tão fácil absorção, a destacar a divisão. O pavor desse conteúdo não surpreende somente alunos, mas ataca de maneira incisiva o ego e orgulho dos professores. Poucos são aqueles que admitem a dificuldade de ao ensinar esse conteúdo. Nem todos conseguem progredir da identificação da dificuldade para a procura de alternativas, embora sejam nessa direção as sugestões de [FREIRE, 2005]: Quando vivemos a autenticidade exigida pela prática de ensinar-aprender participamos de uma experiência total, diretiva, política, ideológica, gnosiológica, pedagógica, estética e ética, em que a boniteza deve achar-se de mãos dadas com a docência e com a seriedade. (FREIRE, 2005, p.24) As quatro operações deveriam ser de domínio total por parte daquele que as ensina mais por vezes a divisão prega peças desagradáveis em sala de aula, deixando muitas vezes os professores em verdadeiras situações constrangedoras. O ponto em questão seria qual é o problema do ensino e aprendizagem da divisão? Não há como negar que o ensino da divisão é por vezes cansativo e angustiante, pois parece exigir conhecimentos prévios seja por parte do aluno, seja por parte do Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 12

13 professor, um emaranhado de conhecimento que por vezes é fraco, superficial e defasado. No decorrer do tempo escolar, aprender matemática esteve ligada ao ensino da aritmética e isso gerava a falsa ideia de que saber matemática se resumia em saber a tabuada e saber fazer contas, fato este que ainda se destaca na ideologia contemporânea de muitas escolas. Não basta apenas saber o algoritmo da divisão, deve-se instigar o aluno a ser crítico, apontador de problemas, consciente e apto a reconhecer quando e em quais situações do cotidiano a divisão pode ser útil. Multiplicar e dividir deve envolver situações em que os alunos possam lidar com grupos equivalentes, com a disposição retangular, com razões, comparações e produtos cartesianos [CARVALHO e GONÇALVES, 2003, s.p.]. Com o intuito de minimizar a deficiência no ensino da divisão o professor pode utilizar de artifícios diversos, que possibilitem ao aluno expandir seu raciocínio lógico. Alguns desses artifícios foram apresentados no decorrer do artigo como por exemplo: a ideia de partilha, de comparação, de medida e ainda o método longo e breve. É necessário ficar claro que os problemas propostos em sala de aula pelos professores, não deve expor os alunos somente a situações problemas onde o intuito resuma-se a classificar qual ideia utilizar na resolução. Anseia-se que os alunos expandam suas chances de resolução em diversos tipos de contextos sejam eles escolar ou no cotidiano. 6. Considerações finais As dificuldades no ensino e aprendizagem da operação de divisão estão longe de serem solucionadas, seja pelo desinteresse dos alunos, seja pelo despreparo de alguns professores ou por fontes de pesquisas escassas. Cabe ao professor buscar maneiras diferenciadas, para instigar o aluno a derrubar barreiras de preconceitos, que por inúmeras vezes, quando não sempre, impedem a construção do conhecimento matemático. O professor que realmente ensina, quer dizer, que trabalha os conteúdos no quadro da rigorosidade do pensar certo, nega, como falsa, a fórmula farisaica do faça o que mando e não o que eu faço. Quem pensa certo está cansado de saber que as palavras a que falta a corporeidade do exemplo pouco ou quase nada valem. Pensar certo é fazer certo. (FREIRE, 2005, p. 34) Um dos objetivos desse trabalho é mostrar o quão amplas são as ideias do conteúdo da divisão, reflexos de povos que deixaram uma rica herança cultural, incluindo a sua evolução, trazendo consigo mudanças na forma do pensamento matemático, apresentando idéias e artifícios que com sabedoria podem e devem ser utilizados em sala de aula. Ressaltamos com veemência quão difícil foi encontrar material didático confiável, para a elaboração desse artigo, o que mostra a complexidade de tal conteúdo. A divisão pode parecer abstrata aos olhos dos alunos e aos olhos de alguns professores, o que implica tanto esforço da parte de quem aprende quanto esforço da parte de quem a ensina. O que não se pode permitir é fechar os olhos para as dificuldades do ensino e aprendizagem da divisão, não podemos ser professores apenas por ser professores, Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 13

14 devemos estar capacitados para ensinar certo e bem os conteúdos matemáticos, buscando causar no aluno muito mais que curiosidades no ato de aprender, mas sim uma realização que seja constituída de práticas e descobertas acerca da divisão. 7. Referências CARVALHO, Alice; GONÇALVES, Henriqueta, Multiplicação e divisão: conceitos em construção... Educação em Matemática nº 75, Novembro/Dezembro de CORREIA, Carlos Eduardo Félix. Matemática, análise de erros e formação continuada de professores polivalentes. São Paulo: Porto de ideias, EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, FREIRE, Paulo, Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, LUCHETTA, Valéria Oestete Jannis. História da matemática na Babilônia. Disponível em: < >. Acesso em: 06 abr RIBEIRO, Dulcyene Maria, Historia da matemática no Egito. Texto não publicado utilizado como subsídio na disciplina de História da Matemática, Licenciatura em Matemática UNIOESTE, THEES, Andréa; LENNON Fábio. Resolução de equações algébricas. Disponível em: <s3.amazonaws.com/ppt-download/equaes-algbricas-grupo-leibniz2797.ppt>. Acesso em: 06 abr 2011 Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 14

15 O teorema do ponto fixo de Banach e algumas aplicações Andressa Fernanda Ost 1, André Vicente 2 1 Acadêmica do Curso de Matemática - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Cascavel - PR - Brasil 2 Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Cascavel - PR - Brasil andressa ost@hotmail.com, avicente@unioeste.br Resumo. Neste trabalho estudamos o teorema do ponto fixo de Banach e algumas aplicações sobretudo na obtenção de solução para sistemas de equações lineares, na demonstração do teorema de Picard e na prova de resultados que garantem a existência de soluções para equações integrais. Palavras Chaves. Teorema do ponto fixo de Banach, Análise Matemática. 1. Introdução Em diversos momentos, no estudo de aspectos referentes a Análise Matemática e Aplicações, nos deparamos com resultados cujas demonstrações envolvem o Teorema do Ponto Fixo de Banach. O fato interessante é que, além de garantir a existência e unicidade do ponto fixo, tal teorema fornece um processo iterativo que permite encontrar computacionalmente o ponto fixo e também estimar o erro de truncamento. Desta forma, ele torna-se uma importante ferramenta teórica e aplicada. O objetivo central deste trabalho é apresentar o teorema do ponto fixo de Banach e sua demonstração, no entanto, destinaremos uma seção para a breve descrição de algumas aplicações. A primeira delas refere-se ao estudo de solução para sistemas de equações lineares. A segunda aplicação destina-se a demonstração do teorema de Picard, o qual é um conhecido resultado que garante a existência de solução para um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária. Por último, aplicamos o teorema do ponto fixo de Banach ao estudo de equações integrais do tipo Fredholm e também de Volterra. Os resultados contidos neste trabalho foram estudados pela acadêmica num projeto de iniciação científica. O trabalho está dividido da seguinte forma: a seção 2 destinase à demonstração do teorema do ponto fixo de Banach e na seção 3 apresentamos as aplicações. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 15

16 2. Resultado principal Como dito na introdução, nesta seção enunciaremos e demonstraremos o teorema do ponto fixo de Banach, o qual segue abaixo. Teorema 2.1 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Considere um espaço métrico X = (X, d), com X. Suponha que X é completo e seja f : X X uma contração em X. Então f tem precisamente um ponto fixo. Dem.: Vamos construir uma sequência (x n ) n N e mostrar que ela é de Cauchy, de modo que convirja no espaço completo X. Depois provaremos que o limite, x, é ponto fixo de f e f não possui mais pontos fixos. Tomemos x 0 seguinte forma: X arbitrário e definimos uma sequência iterativa (x n ) n N da x 0 x 1 = f(x 0 ) x 2 = f(x 1 ) = f(f(x 0 )). =. x n = f(x n 1 ) = f(f... (f(x 0 ))...). Agora, provaremos que (x n ) n N é de Cauchy. Pela definição de contração e observando a definição de (x n ) n N temos: d(x m+1, x m ) = d(f(x m ), f(x m 1 )) αd(x m, x m 1 ) = αd(f(x m 1 ), f(x m 2 )) α 2 d(x m 1, x m 2 ). α m d(x 1, x 0 ). Assim, usando a desigualdade triangular e a fórmula da soma da progressão geométrica obtemos, para n > m, d(x m, x n ) d(x m, x m+1 ) + d(x m+1, x m+2 ) d(x n 1, x n ) α m d(x 1, x 0 ) + α m+1 d(x 1, x 0 ) α n 1 d(x 1, x 0 ) = (α m + α m α n 1 )d(x 0, x 1 ) ( ) 1 α = α m n m d(x 0, x 1 ). 1 α Como 0 < α < 1, segue que 1 α n m < 1, consequentemente d(x m, x n ) αm 1 α d(x 0, x 1 ) (1) para n > m. Agora, novamente usando o fato que 0 < α < 1, dado ε > 0 exite n 0 N tal que se m > n 0 tem-se que α m 1 α d(x 0, x 1 ) < ε. (2) Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 16

17 Portanto, se n > m > n 0, então de (1) e (2), segue que d(x m, x n ) < ε, ou seja, (x n ) n N é uma sequência de Cauchy. Como X é completo concluímos que (x m ) n N converge, digamos, x m x, com x X. Agora, vamos mostrar que este limite x é um ponto fixo da aplicação f. desigualdade triangular e da definição de contração temos d(x, f(x)) d(x, x m ) + d(x m, f(x)) d(x, x m ) + αd(x m 1, x). (3) Como x m x, podemos fazer o segundo membro de (3) menor do que ε, para todo ε > 0. Disto segue que d(x, f(x)) = 0, assim f(x) = x, ou seja, x é um ponto fixo de f. Suponhamos agora que x também é ponto fixo de f, isto é, f(x ) = x. Da definição de contração obtemos d(x, x ) = d(f(x), f(x )) αd(x, x ), isto implica que d(x, x ) = 0, pois α < 1. Portanto x = x, o que mostra que o ponto fixo de f é único. Da 3. Aplicações Como dito anteriormente, neste trabalho também apresentamos algumas aplicações do teorema do ponto fixo de Banach. A primeira foi na demonstração de um teorema que garante a existência e unicidade de solução para sistemas de equações lineares e como consequência deste teorema obtem-se os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel. Estes métodos, mediante hipóteses apropriadas, garantem a convergência de uma sequência iterativa para a solução de sistema de equações lineares. O teorema que garante a existência e unicidade de solução é: Teorema 3.1. Sejam C = (c jk ) uma matriz n n e b = (b 1, b 2,..., b n ) T dados. Se para j = 1, 2,..., n, então o sistema n c jk < 1, (4) k=1 x = Cx + b, com x = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ), possui uma única solução x. Esta solução pode ser obtida como o limite da sequência iterativa (x (0), x (1),...), onde x (0) é arbitrário e para m = 0, 1,.... x (m+1) = Cx (m) + b, Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 17

18 Resumidamente a demonstração consiste na construção de um operador T : X X x T x = Cx + b, onde X é o espaço métrico R n munido de métrica d(x, y) = max 1 i n x i y i, com x = (x 1, x 2,..., x n ) e y = (y 1, y 2,..., y n ). A condição (4) garante que T é uma contração. Maiores detalhes da demonstração podem ser encontrados em [KREYSZIG, 1978], página 309. Na prática o teorema acima é empregado para resolver sistemas da forma: Ax = c, onde A = (a ij ) é uma matriz n n e c = (γ 1, γ 2,..., γ n ) é um vetor no R n conhecidos. Decomposições apropriadas da matriz A nos levam aos dois métodos iterativos: Iteração de Jacobi: ξ (m+1) j = 1 a jj (γ j n k=1 k j a jk ξ (m) k ) onde a jj 0 para j = 1, 2,..., n, que convergem para a solução se Iteração de Gauss-Seidel n a jk < a jj. (5) k=1 k j ξ (m+1) j = 1 j 1 (γ j a jk ξ (m+1) k a jj k=1 n k=j+1 onde a jj 0 para j = 1, 2,..., n, que converge para a solução se a jk ξ (m) k ) n c jk < 1. (6) k=1 As condições (5) e (6) estão associadas a (4). Outra aplicação do teorema do ponto fixo de Banach consiste na prova de um teorema de existência e unicidade de solução para um problema de valor inicial de primeira ordem, mais precisamente: { x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0 (7) onde x 0 é um ponto dado e f é uma função conhecida. Assim temos o teorema de Picard: Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 18

19 Teorema 3.1 (Teorema de Picard). Seja f contínua em um retângulo e portanto limitada em R, digamos R = {(t, x) t t 0 a, x x 0 b} f(t, x) c para todo (t, x) R. Suponha que f satisfaça a condição Lipschitziana em R, com respeito ao segundo argumento, isto é, existe uma constante k tal que para (t, x), (t, v) R, tem-se f(t, x) f(t, v) k x v. Se { β < min a, b c, 1 } k então existe uma única solução de (7) no intervalo [t 0 β, t 0 + β]. Dem.: Ver [KREYSZIG, 1978], página 315. A última aplicação apresentada refere-se ao estudo de existência e unicidade de soluções para algumas equações integrais, mais precisamente, no teorema de equações integrais de Fredholm e de equações integrais de Volterra. Uma equação de Fredholm é uma equação da forma x(t) µ b a k(t, τ)x(τ)dτ = v(t) (8) onde v e k são funções conhecidas, µ uma constante real e x : [a, b] R é a função a ser determinada. Usando o teorema do ponto fixo de Banach prova-se o seguinte resultado: Teorema 3.2. Sejam k C([a, b] [a, b]) e v C([a, b]). Se µ < 1 c(b a), (9) onde k(t, τ) c, (t, τ) [a, b] [a, b]. Então existe uma única solução u : [a, b] R de (8). Dem.: Ver [KREYSZIG, 1978], página 321. A hipótese (9) está relacionada a hipótese de contração do teorema do ponto fixo de Banach. Outra classe de equações integrais que são estudadas com frequência e cuja demonstração de resultados de existência e unicidade está associado ao teorema do ponto fixo de Banach, são as equações do tipo Volterra, ou seja, equações da forma: x(t) µ t a k(t, τ)x(τ)dτ = v(t), (10) onde k e v são funções conhecidas. Assim temos o seguinte resultado: Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 19

20 Teorema 3.3. Sejam v contínua em [a, b] e k contínua na região triangular R do plano tτ dado por a τ t, a t b. Então a equação (10) possui uma única solução em [a, b] para todo µ. Dem.: Ver [KREYSZIG, 1978], página 321. Note a diferença entre as equações de Fredholm e Volterra, na primeira o limite superior da integral é uma constante b, e na segunda é uma variável t, isto acarreta em uma hipótese sobre µ no primeiro caso que não é necessário no caso das equações tipo Volterra. Referências KREYSZIG, E. Introductory functional analysis with applications. Canadá: John Wiley & Sons, LIMA, E. L. Análise Real: Funções de uma variável. IMPA, 10 ed., Rio de Janeiro, LIMA, E. L. Espaços Métricos. IMPA, 4 ed., Rio de Janeiro, Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 20

21 Interação entre Escola Básica e Ensino Superior através do Projeto PIBID/Matemática/Foz José Ricardo Souza 1, Kelly Roberta Mazzutti Lübeck 1, Renata Camacho Bezerra 1 Elenice Ana da Silva de Alencar 2, Rosana Gagliotti de Dio 3 1 Colegiado do Curso de Matemática Centro de Engenharias e Ciências Exatas (CECE) da Universidade Estadual do Oeste do Paraná R. Tarquinio Joslin dos Santos, 1300, Pólo Universitário Foz do Iguaçu PR - Brasil {josericardo1012, kellyrobertaml, renatacamachobezerra}@gmail.com 2 Colégio Estadual Ipê Roxo, Rua Claudio Gonzales Gavilã, nº 83, Cidade Nova Foz do Iguaçu PR Brasil alencarelenice@hotmail.com 3 Colégio Estadual Barão do Rio Branco, Rua Silvino Dal Bó, nº 85, Polo Centro Foz do Iguaçu PR Brasil rosana_dedio@hotmail.com Resumo: O objetivo deste artigo é apresentar as discussões e atividades desenvolvidas pelo Projeto PIBID/Matemática/Foz, em especial no que tange a análise da realidade de dois colégios públicos de Foz do Iguaçu, através da investigação realizada com o auxílio de seus Projetos Políticos Pedagógicos e de reuniões com docentes das escolas envolvidas. Os bolsistas do Programa realizaram a leitura e a reflexão acerca destes projetos para, a partir destes dados, fundamentar o plano de ações que visa intervir positivamente na qualidade do processo de ensinoaprendizagem destas instituições especificamente na área da matemática. Pode-se afirmar que as realidades, as aspirações e as dificuldades são singulares e que por este motivo um trabalho que objetive a melhoria da qualidade da educação deve considerar estas especificidades. Palavras chave: Educação. Interação. Matemática. 1. Apresentação do Programa PIBID Este artigo foi desenvolvido com a colaboração dos bolsistas acadêmicos 1 que participam do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/ Bolsistas PIBID: Aline Soares da Silva, Anne Karoline Assis Barbosa, Azuaite Aramis Schneider, Carlos Henrique Lange, César Henrique Santa Cruz do Carmo, Debora Daiana Klering Wiest, Evandro Carlos Andretti, Francisco Rafael Cáceres, José Guilherme Simion Antunes, Juliana Raupp dos Reis, Luciano Lucas Ramires, Maiara Aparecida Sassi Cristan, Marcos Castelli, Patrícia Farinéa da Rocha. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 21

22 do curso de Licenciatura em Matemática da Unioeste, campus de Foz do Iguaçu. O projeto do PIBID é um programa apoiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES. Um dos grandes desafios apresentados para a atual nova sociedade, que alcançou status e reconhecimento como nova classe consumidora, a qual impulsionou o desenvolvimento deste país fazendo com que este atingisse o patamar de país emergente, diz respeito à melhoria da educação, em todos os seus níveis de ensino. Isto mostra que os desafios propostos para a educação requerem atenção de todos os eixos sociais. Em especial, a Universidade Estadual do Oeste do Paraná UNIOESTE através de seu Plano de Desenvolvimento Institucional (PDI), apresenta seus objetivos e metas enquanto instituição formadora de saberes e coloca como visão: Ser reconhecida como uma universidade pública, de referência na produção e socialização do conhecimento, comprometida com a formação de profissionais para atuar com base em princípios éticos para o exercício da cidadania (PDI, 2007, p. 4). Isto mostra a preocupação desta instituição com a formação comprometida de seus profissionais. Sabendo que boa parte dos acadêmicos ingressantes nas licenciaturas abandona o curso e muitos concluintes não atuam como docentes na Educação Básica surgem então, dentro da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, diversos projetos a fim de que esta situação seja superada. Dentre eles a instituição conta com o Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID), apoiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e a Diretoria de Educação Básica Presencial (DEB). O PIBID têm dentre seus objetivos: a) incentivar a formação de docentes em nível superior para a Educação Básica; b) contribuir para a valorização do magistério; c) elevar a qualidade da formação inicial de professores nos cursos de licenciatura, promovendo a integração entre a Educação Superior e a Educação Básica; d) inserir os licenciandos no cotidiano de escolas da rede pública de educação, proporcionando-lhes oportunidades de criação e participação em experiências metodológicas, tecnológicas e práticas docentes de caráter inovador e interdisciplinar que busquem a superação de problemas identificados no processo de ensinoaprendizagem; e) incentivar escolas públicas de Educação Básica, mobilizando seus professores como co-formadores dos futuros docentes e tornando-as protagonistas nos processos de formação inicial para o magistério; f) contribuir para a articulação entre teoria e prática necessárias à formação dos docentes, elevando a qualidade das ações acadêmicas nos cursos de licenciatura (BRASIL, 2010). O PIBID, edital de 2011, desenvolvido pela Unioeste, através da Pró-Reitoria de Graduação PRG intitula-se Vivências e Experiências nas Escolas: Construindo a Profissão Docente, e aliados a este projeto são desenvolvidos vários subprojetos, Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 22

23 divididos nos cursos oferecidos pela instituição, como História, Química, Educação Física, Letras, Enfermagem e Matemática. Será sobre este último que trataremos mais detalhadamente. O Subprojeto de Licenciatura em Matemática conta com um coordenador de área, 14 acadêmicos bolsistas de iniciação, dois supervisores docentes, um de cada colégio onde serão desenvolvidas as principais ações do projeto e, também, a equipe ainda conta com outros dois docentes da Unioeste. As atividades iniciaram-se no mês de julho de 2011, e dentre os objetivos deste subprojeto está a inserção dos bolsistas em dois colégios públicos de Foz do Iguaçu: Colégio Estadual Ipê Roxo e Colégio Barão do Rio Branco para que haja a integração dos acadêmicos da graduação com o futuro ambiente de trabalho. A escolha destes colégios se deu por distintas razões. A localização geográfica (periferia e centro), a diferença de IDEB (embora os números aparentemente sejam próximos - 3,9 e 3,4 - estes números são resultados de vários indicativos e, portanto, muito significativos) e a modalidades de ensino médio distintas (enquanto uma oferece o ensino médio tradicional e EJA a outra oferece o ensino médio tradicional e a modalidade magistério e um curso de complementação pedagógica. O PIBID dentro do curso de Matemática pretende atender a todos os níveis da Educação Básica, fazendo-o da seguinte maneira: as séries iniciais com alunos do magistério e as séries finais do ensino fundamental e o ensino médio com os próprios alunos dos colégios selecionados. Nesta primeira etapa do projeto (PIBID/Matemática/Foz) dentre as leituras realizadas estão os Projetos Políticos Pedagógicos dos colégios, para que os acadêmicos e docentes conheçam as propostas pedagógicas das escolas de aplicação do projeto. Em nenhum momento o objetivo destas leituras foi à comparação entre os dois colégios, mas sim uma aguçada investigação de suas realidades, possibilidades, anseios e projetos, para que, ao compreender o histórico e a realidade de cada instituição, se possam conhecer as raízes dos problemas e dificuldades existentes nestes locais. 2. Caracterização das Instituições Foram os resultados do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica- IDEB os motivos primordiais para a escolha destas escolas para a participação no projeto, além é claro, da localização das instituições e de sua disponibilidade para com o desenvolvimento de projetos de formação de novos professores. Segundo o MEC: O Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) foi criado em 2007 para medir a qualidade de cada escola e de cada rede de ensino. O indicador é calculado com base no desempenho do estudante em avaliações do Inep e em taxas de aprovação. Assim, para que o IDEB de uma escola ou rede cresça é preciso que o aluno Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 23