VERSÃO PARA IMPRESSÃO

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1 VERSÃO PARA IMPRESSÃO PROJETO TOPOGRÁFICO UIA 1 GENERALIDADES

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3 3 SUMÁRIO Aula 1 Definição, Importância e Aplicação Definição Importância Aplicação... 7 Aula 2 Unidades de Medida: Lineares, Angulares e de Superfície Unidades de Medidas Lineares... 9 Exemplo Unidades Angulares Radiano Medida Sexagesimal Unidades de Medida de Superfície Aula 3 Operações com Ângulos Operações com Ângulos em Radianos Operações com Ângulos em Graus, Minutos e Segundos Exemplo Conversão Sexagesimal e Radiano e Operações Trigonométricas Conversão Sexagesimal e Radiano Conversão de Sexagesimal para Radiano Exemplo Conversão de Radiano para Grau, Minuto e Segundo Exemplo Operações Trigonométricas Aula 4 Planos de Projeções Plano Horizontal Plano Perfil Projeção Ortogonal Sistema de Projeção Topográfica Aula 5 Escalas Teóricas e Práticas Escalas em Topografia Exemplo Exemplo Erro Gráfico (e) Escala Gráfica Aula 6 Escalas mais Usadas em Topografia, Convenções Escalas mais Utilizadas em Topografia Exemplo Exemplo Convenções Topográficas... 25

4 4 INTRODUÇÃO Grande parte das obras civis se inicia com o conhecimento das condições do terreno. Para esse conhecimento, muitas vezes, é necessária a realização de um projeto topográfico, o qual permita a descrição mais detalhada do local, a fim de garantir mais segurança na execução do empreendimento. Na disciplina de Projeto Topográfico, você irá desenvolver todos os conhecimentos necessários para a realização de um projeto de topografia, desde com conceitos necessários à concepção até a preparação de planilhas e a finalização prática. Na primeira unidade, você irá conhecer os principais conceitos relacionados ao projeto de topografia, revisar as operações com ângulos, medidas e outras unidades utilizadas nos projetos, compreender e determinar as escalas utilizadas nos desenhos de topografia e compreender as principais aplicações de um Projeto Topográfico. Na UIA 2 você irá se aprofundar na primeira etapa de levantamentos e processamento de dados em topografia, que é a planimetria, onde serão estudadas as formas do levantamento planimétrico, as operações matemáticas a serem utilizadas, o cálculo de polígonos e a formação da primeira parte do projeto topográfico, além dos equipamentos utilizados nesse levantamento. Na terceira UIA você irá entrar no estudo da taqueometria, que é o rápido levantamento do relevo de um terreno. Nessa unidade, será possível conhecer os métodos de levantamento, os principais tipos de taqueômetro, seu funcionamento etc. O processamento dos dados obtidos em campo e as aplicações desse estudo. Na última unidade entraremos na parte mais prática do curso, conhecendo os principais equipamentos utilizados num levantamento topográfico, seu manuseio, as medidas obtidas por cada um deles etc. Além disso, será possível aprender também os cálculos indiretos de distâncias, os levantamentos e a elaboração de planilhas de projeto, finalizando com o cálculo do polígono levantado.

5 5 Aula 1 DEFINIÇÃO, IMPORTÂNCIA E APLICAÇÃO n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e assista à videoaula e tenha uma breve introdução dos principais tópicos que serão abordados nesta aula. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1.1. DEFINIÇÃO O conhecimento da topografia se inicia a partir da Geodésia, que tem por objetivo o estudo da forma e dimensões da Terra, representando grande parte ou seu todo, através de elementos como mapas, cartas geográficas etc., com o uso de aproximações matemáticas e geométricas. No entanto, é necessário muitas vezes, como é o caso de obras civis, o conhecimento mais detalhado de um espaço menor, como os diversos trechos que servem de leito para uma estrada, ou o local onde será construída uma barragem ou ainda o terreno onde será construída uma edificação. Para isso, nós fazemos uso da topografia. A palavra topografia tem sua origem do grego, a partir da junção de duas palavras: topos (lugar) e graphen (descrever). Por isso, a topografia é definida como a descrição exata e minuciosa de um lugar (DOMINGUES, 1979). Perceba que, desde a sua definição, a topografia se inicia a partir de medições, nas quais se faz sempre presente a necessidade de uma descrição detalhada do lugar e, aliado a isso, total precisão e exatidão nessas medições. Isso dá ao estudo da topografia uma importância ímpar, uma vez que diversas outras etapas, como a locação de uma obra ou ainda o controle de deslocamentos, estão ligadas às medições topográficas e ao bom projeto topográfico. Mas o que seria então um projeto topográfico? Um projeto topográfico é a própria representação e descrição gráfica do lugar que se deseja estudar, respeitando-se as necessidades de informações do empreendimento e a escala de representação que forneça os detalhes necessários à execução desse projeto. Portanto, a realização de um bom projeto topográfico exige trabalho prático e que, para fins de engenharia, costuma ser dividido em cinco etapas, as quais foram definidas por BRINKER & WOLF (1977): 1. Tomada de decisão: consiste na escolha dos métodos a serem utilizados na realização dos levantamentos, quais equipamentos utilizar (teodolito, estação total etc.), quais pontos serão levantados etc. Em resumo, definir os fatores de influência no projeto topográfico e definir seu desenvolvimento. Portanto, é importante uma visita de campo nesse momento. 2. Trabalho de campo ou aquisição de dados: consiste no levantamento topográfico propriamente dito. Nesta etapa é que são realizadas as medições de ângulos, distâncias, gravação dos dados etc. através da instrumentação escolhida na etapa anterior.

6 6 3. Cálculos ou processamento dos dados: nesta etapa, com os dados obtidos no trabalho de campo, são efetuados os cálculos para se obter as coordenadas dos pontos e outras unidades de interesse (área, volume etc.). 4. Mapeamento ou representação: esta é a etapa mais característica do projeto topográfico, pois consiste na representação através de cartas topográficas ou mapas dos dados processados na etapa anterior. 5. Locação: a última etapa caracteriza a locação dos pontos topográficos no campo, como na locação das estacas do eixo de uma estrada. Dentro de projeto topográfico, damos importância maior às etapas de trabalho de campo, processamento dos dados e representação. De acordo com a NBR (ABNT, 1994, p. 3), o levantamento topográfico pode ser definido como: Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhes visando à sua exata representação planimétrica numa escala predeterminada e à sua representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com equidistância também predeterminada e/ ou pontos cotados. (ABNT, 1994, p. 3) Veja como essa definição de levantamento topográfico relaciona bem as atividades desenvolvidas no estudo da topografia, sendo composto basicamente de dois levantamentos: um planimétrico (horizontal) e outro altimétrico (de nível). Como você viu na definição de topografia, seu estudo consiste na descrição minuciosa e detalhada de um lugar. Na definição de levantamento topográfico, chegamos à conclusão que, para bem realizar essa descrição, são necessárias medições de ângulos e distâncias (feitas em campo) e, posteriormente, sua exata representação, respeitando-se os limites de precisão e escala definidos na concepção do projeto topográfico. Perceba que existe uma ligação entre o levantamento topográfico e o projeto topográfico. Essa relação se deve, portanto, ao fato de o projeto topográfico ser o resultado, para fins de execução, de um levantamento topográfico que atenda às necessidades requeridas para a concretização das etapas que dependem do conhecimento da topografia do lugar IMPORTÂNCIA Como você viu no tópico anterior, a topografia é responsável pela descrição detalhada de um lugar. Essa descrição detalhada de um lugar serve para medição de diversas variáveis de interesse, como volume, área, distâncias, tanto na fase de execução de um projeto de engenharia quanto no monitoramento da obra. Observe que normalmente o projeto topográfico servirá de base para os demais projetos e também para a execução de uma obra de engenharia e, portanto, é imprescindível que se dê bastante atenção a todas as etapas que envolvem a elaboração desse projeto, pois as consequências se propagaram a outros projetos e à qualidade final da obra executada.

7 7 Fique por dentro da importância do trabalho de um topógrafo e da topografia para as obras de engenharia civil conferindo a reportagem da Equipe de Obra da PINI. A importância do levantamento topográfico, portanto, começa na concepção de um empreendimento. Em edifícios, por exemplo, o conhecimento da topografia de um lugar pode interferir na decisão do construtor na aquisição de um terreno, baseado no levantamento planialtimétrico cadastrado no município, ou ainda no retorno financeiro da obra. Além disso, o projeto topográfico traz segurança ao engenheiro e ao arquiteto da obra em questão, uma vez que permite adaptações do projeto arquitetônico, por exemplo, para respeitar os limites de gabarito da região, aproveitar as diferenças de nível do terreno na arquitetura, ou ainda a determinação precisa das movimentações de terra, das estruturas de contenção necessárias etc. Veja, então, que, por menor que seja o porte de uma obra, o conhecimento da topografia é essencial para a segurança e economia necessários e, além disso, o projeto topográfico acompanha a obra desde a concepção dos demais projetos até a sua execução e controle de deslocamentos APLICAÇÃO Você pode perceber no item anterior que um projeto topográfico é parte essencial das obras civis, em especial as de grande porte. Portanto, é preciso conhecer em que situações se aplica um projeto topográfico e qual o nível de aprofundamento requerido para cada tipo de obra civil. Primeiro você deve observar que a topografia não se aplica somente às obras de engenharia civil corriqueiras, ela também tem sua aplicação em outras áreas, como: Irrigação e drenagem agrícola: nesse campo, o conhecimento da topografia é extremamente importante para a definição do tipo de sistema de irrigação (como por aspersão, por sulcos etc.), no dimensionamento do sistema de bombeamento da água, no dimensionamento das tubulações do sistema de aspersão etc. Planejamento urbano e territorial: serve de base para definição de áreas de risco, determinação de áreas alagáveis etc. Reflorestamento: nesse campo, pode ser utilizado para determinar a cobertura vegetal necessária etc. Mas na área de Engenharia Civil, onde se aplica o estudo detalhado da topografia de um lugar? Observe que na maioria das obras civis, uma característica marcante de etapa inicial são as movimentações de terra. O projeto topográfico é de extrema importância nessa etapa, pois permite a determinação precisa das cotas do terreno, dos volumes de terra a serem aterrados e/ou escavados etc. Vejamos então as principais aplicações do projeto topográfico dentro da área de Engenharia Civil:

8 8 Edificações: na construção de edifícios, o conhecimento da topografia do terreno serve para determinar as cotas de assentamento das fundações, as movimentações de terraplanagem 1, reaterros 2 etc., além do monitoramento de deslocamentos etc. Projeto e execução de estradas: nesse campo, o projeto topográfico é importante na determinação do traçado e no projeto geométrico 3 da estrada, na definição dos cortes e aterros ao longo dos diversos trechos, nas determinações de distâncias de transporte etc. Na fase de execução, a topografia determina e controla as alturas de aterros das camadas do pavimento 4, locação das estacas de eixo e borda da estrada etc. Grandes obras de engenharia, como pontes, viadutos e túneis: nas grandes obras civis, o projeto topográfico também é importante na locação dos pontos, na determinação dos volumes de terra a serem movimentados e, em especial, na verificação dos deslocamentos (recalques). Obras de drenagem e esgotamento sanitário: o conhecimento da topografia é essencial na determinação das bacias de esgotamento, necessidade e dimensionamento de estações elevatórias 5, determinação da bacia de drenagem 6, locação da rede como um todo etc. Note que, por mais diversas que sejam as obras de engenharia, não apenas civil, e por menos complexas que possam ser, o projeto topográfico tem sua aplicação e nível de aprofundamento. Não deixe de assistir à reportagem do programa ambiente, que trata da evolução da topografia e traz exemplos de aplicação. Aula 2 UNIDADES DE MEDIDA: LINEARES, ANGULARES E DE SUPERFÍCIE Na aula anterior você aprendeu a definição de topografia, os principais conceitos relacionados, a importância de um projeto topográfico na Engenharia Civil e no último tópico as diversas aplicações da topografia. No entanto, para avançar nos conhecimentos sobre projeto topográfico, você precisa conhecer as principais unidades de medida utilizadas e as operações de conversão etc. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e assista à videoaula sobre unidades de medida lineares, ângulares e de superfície. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1 Movimentação de terra para tornar um terreno plano. 2 Aterro de uma área escavada com o próprio material proveniente da escavação. 3 Projeto do traçado de uma estrada. 4 Conjunto de diversas camadas que compõe a estrutura de uma estrada. 5 Conjunto formado por sistema motor-bomba e tubulações para aumentar a energia no deslocamento de um fluido. 6 Área em que todas as precipitações convergem para um ponto.

9 UNIDADES DE MEDIDAS LINEARES Quando pensamos em unidades de medidas lineares, a primeira unidade que nos vem à mente é o metro. É exatamente sobre essa unidade, que serve na medição de comprimentos e distâncias, que iremos tratar nesse primeiro tópico. O metro tem sua origem na necessidade de se padronizar um conjunto de medidas que pudesse servir de base a outras, aceito por todos e que tivesse algo pouquíssimo ou não variável como base. Historicamente, o metro foi definido como a décima milionésima parte do quadrante de um meridiano terrestre (entre o polo norte e a linha do Equador), por volta de 1972, em Paris. Hoje, enxergando a necessidade de uma nova definição para o metro, este equivale ao espaço linear percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/ segundos, e equivale ao mesmo metro padrão definido em Paris. Ficou curioso para conhecer um pouco mais dessa história? Não deixe de conferir a reportagem da revista Superinteressante. No entanto, o metro não é a única unidade de medida utilizada quando se deseja expressar a distância entre dois pontos. Em cartas geográficas e/ou topográficas mais antigas, pode-se encontrar outras unidades de medida, tanto para distâncias horizontais quanto verticais. Até hoje, por exemplo, é possível encontrar em algumas áreas a utilização de unidades diferentes do metro, como é o caso da altura de cruzeiro em aviões, que também costuma ser expressa em pés. Entretanto, a unidade padrão do Sistema Internacional (SI) é o metro. Veja na tabela 1 as principais relações entre unidades de medida de distâncias. Unidade Transformação p/ metro 1 pé 0,3048 m 1 jarda 0,9144 m 1 milha 1609,34 m Tabela 1. Unidades de medida de comprimento e transformação Entretanto, o metro muitas vezes é um comprimento muito pequeno para representar distâncias topográficas ou muito grandes para representar pequenas dimensões. Por isso, devem ser utilizadas as potências, expressas por radicais, como: quilômetro, hectômetro, decâmetro, decímetro, centímetro e milímetro. Na representação de distâncias horizontais entre duas estacas de locação de uma estrada, o metro pode ser uma unidade conveniente, mas no caso da distância entre duas cidades, por exemplo, é importante utilizar unidades como o quilômetro. Portanto, observe a relação entre as unidades expressa na tabela 2. Unidade Transformação p/ metro 1 mm 10-3 m 1 cm 10-2 m 1 dm 10-1 m

10 10 1 dam 10 m 1 hm 10² m 1 km 10³ m Tabela 2. Potências do metro A escolha da unidade a ser utilizada também irá depender da escala utilizada no projeto, como será estudado mais na frente, na aula de escalas e convenções. Observe que, em algumas situações, você pode se deparar com a utilização de uma unidade para representar uma dimensão e outra unidade para representar outra dimensão de uma mesma grandeza (comprimento, por exemplo) e, portanto, você precisa dominar bem a conversão entre unidades. Para isso, vamos resolver juntos o exemplo 1. EXEMPLO 1. Uma empresa de construção de casas populares recebeu as dimensões dos lotes onde serão construídas as casas em várias unidades de comprimento diferentes. Observe as dimensões descritas abaixo e realize as conversões: Casa A: comprimento = 150 dm, largura = 900cm Casa B: comprimento = 1,2 dam, largura = 100dm Casa C: comprimento = mm, largura = 0,009km Solução: Realizando as conversões, a partir da tabela 2, temos: Casa A: Casa B: Casa B: comprimento = 150 x 10-1 = 15 metros largura = 900 x 10-2 = 9 metros comprimento = 1,2 x 10 = 12 metros largura = 100 x 10-1 = 10 metros comprimento = x 10-3 = 20 metros largura = 0,009 x 10 3 = 9 metros 2.2. UNIDADES ANGULARES Assim como nas unidades de medida lineares, também há diversas unidades de medidas angulares, são elas: radiano, sexagesimal e decimal. Nesse tópico, você irá aprender sobre as duas primeiras unidades de medidas angulares, que são as utilizadas normalmente RADIANO O radiano (rad) é a unidade de medida no Sistema Internacional para a medição de ângulos planos e pode ser definida como o ângulo central subentendido por um arco cujo comprimento é igual ao raio da

11 11 circunferência que contém o arco. Observe melhor na figura 1 o que é esse ângulo (x), definido a partir do arco com origem em A e extremidade em B. Figura 1. Ângulo (x) definido s partir do arco de origem em A e extremidade em B. Fonte: MEDIDA SEXAGESIMAL Como vimos, além do radiano, há também a medida sexagesimal de ângulos, que expressa uma medida angula em graus, minutos e segundos, em múltiplos de 60, cuja relação é descrita abaixo: 1 = 60 1 = 60 Portanto, um grau pode ser definido como um arco que equivale 1/360 de uma circunferência que contém o arco. Essa unidade de medida é muito utilizada em projetos topográficos e em representações em mapas geográficos etc. O percurso entre o ponto de origem e o de extremidade do arco pode ser feito por dois caminhos, se no sentido horário, dá origem ao ângulo externo, se no sentido anti-horário, dá origem ao ângulo interno. Não deixe de assistir ao vídeo de revisão unidades de medidas angulares para entender melhor como utilizar essas unidades UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE Além de medir distâncias lineares e angulares, em topografia também é importante a determinação de áreas ou superfície e, para isso, você precisa definir uma unidade de medida de superfície. Corriqueiramente, as unidades de medidas de superfícies são derivadas das unidades de medidas de comprimentos, ou seja, são unidades quadráticas destas, como o metro quadrado, o quilômetro quadrado etc. No entanto, também há unidades específicas de superfície, como é o caso do hectare, que equivale a metros quadrados. A representação da medida de superfície é importante, haja vista normalmente você não encontrar figuras geométricas bem definidas em projetos topográficos, o que dificulta a obtenção rápida da área de uma superfície somente pelas dimensões lineares. Na tabela 3 você pode encontrar a conversão entre as unidades de medida de superfície para a unidade padrão do metro quadrado.

12 12 Unidade Transformação p/ metro quadrado 1 ha 10 4 m² 1 dam² 10 2 m² 1 km² 10 6 m² 1 pé² 0,0929 m² Tabela 3. Conversão entre hectare (ha) e metro quadrado (m 2 ) Observe que as medidas de superfície são em superfícies planas, mas as superfícies normalmente em topografia apresentam inclinações diversas ao longo de uma mesma superfície e, por isso, é importante a descrição das diversas medidas em um mesmo projeto topográfico. Aula 3 OPERAÇÕES COM ÂNGULOS No item 2.2 da Aula 2 você aprendeu as principais unidades de medidas angulares, sua origem e definição. Entretanto, para seguir no conhecimento do projeto topográfico, é preciso conhecer e dominar as principais operações com ângulos. Você viu na aula anterior que os ângulos, normalmente, são expressos ou em radianos ou em graus, minutos e segundos. Portanto, você irá estudar as operações com ângulos em radianos, depois em graus, minutos e segundos e por último a conversão entre as unidades e as operações trigonométricas OPERAÇÕES COM ÂNGULOS EM RADIANOS No item da Aula 2 você aprendeu a definição de um radiano. Ao longo de um levantamento topográfico e também do projeto topográfico, você irá se deparar com a necessidade de realizar operações de soma, subtração etc. com os ângulos. Na soma e subtração de ângulos escritos em radianos, procede-se semelhantemente a essas operações com números reais, bastando-se indicar, além do valor do ângulo em radiano, o sentido tomado (horário ou anti-horário) OPERAÇÕES COM ÂNGULOS EM GRAUS, MINUTOS E SEGUNDOS Você aprendeu no item da Aula 2 a definição de um grau no sistema sexagesimal e seus múltiplos. Diferentemente dos ângulos em radianos, no sistema sexagesimal os ângulos podem ser expressos em graus decimais (com frações separadas por casas decimais após a vírgula) ou através dos suplementares minuto e segundo, que você viu que no mesmo tópico que 1 equivalente a 60 e 1 a 60. Na soma e subtração de ângulos escritos em graus decimais, procede-se semelhantemente a essas operações com números reais, bastando-se indicar, além do valor do ângulo em radiano, o sentido tomado (horário ou anti-horário).

13 13 Já quando se utiliza em graus, minutos e segundos, você precisa ter o cuidado de converter às unidades suplementares de minuto e segundo quando a operação exigir. Veja o exemplo 1 para compreender melhor essas operações. EXEMPLO 1. Deseja-se saber a diferença entre dois ângulos, sendo eles, respectivamente, e 35º Solução: Primeiro você deve realizar a operação com os segundos, depois com os minutos e por último com os graus. 17 < 20, logo, precisamos converter 1. Daí temos: = = 57 Agora vamos realizar a operação com os minutos: 22 < 53, logo, precisamos converter 1. Daí temos: = Agora realizando a operação com os graus: = = 54 Portanto, a resposta é Aprofunde seu conhecimento assistindo ao vídeo do Prof. Marcos Araújo e entenda mais sobre operações com ângulos CONVERSÃO SEXAGESIMAL E RADIANO E OPERAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Agora que você já domina as operações entre os ângulos, vamos conhecer a conversão entre as unidades de ângulo e as principais operações da trigonometria que envolvem ângulos e que são de interesse no estudo de um projeto topográfico CONVERSÃO SEXAGESIMAL E RADIANO Muitas vezes você pode se deparar com a utilização de unidades diferentes de ângulos, ou com a necessidade de se realizar conversões para operações entre números e ângulos ou relações matemáticas que exijam uma unidade específica.

14 14 CONVERSÃO DE SEXAGESIMAL PARA RADIANO Nessa conversão, primeiramente você deve transformar o ângulo que está escrito em graus, minutos e segundos para ângulo em graus decimais, conforme você estudou na Aula 2. Feito isso, você transforma o ângulo que está escrito em graus para radiano, a partir da seguinte relação: 1 = (π/180) rad Veja o exemplo 2 e compreenda melhor como fazer essa transformação. EXEMPLO 2. Deseja-se expressar um ângulo de em radianos. Solução: Primeiro você deve transformar de graus, minutos e segundos para graus decimais: 10 = 10/60 = 10/3600 = 0, = 20/60 = 0,33333 Logo, temos que equivale a 30,33611 Feito isso, você pode transformar de graus decimais para radianos: 30,33611 x (π/180) = 0,52946 rad. CONVERSÃO DE RADIANO PARA GRAU, MINUTO E SEGUNDO Nessa conversão, você segue o caminho inverso da anterior. Primeiramente você deve transformar o ângulo que está escrito em radiano para ângulo em graus decimais, a partir da seguinte relação: 1 rad = (180/π) Depois, você transforma o ângulo de graus decimais para grau, minuto e segundo, como foi aprendido na Aula 2. O exemplo 3 e pode ajudar você a compreender melhor como realizar essa transformação. EXEMPLO 3. Deseja-se expressar um ângulo de 0,250 rad em graus, minutos e segundos. Solução: Primeiro você deve transformar de radiano para graus decimais: 0,250 rad = 0,250 x (180/π) = 14,32394 (14 + 0,32394 ) Feito isso, você pode transformar de graus decimais para graus, minutos e segundos: 0,32394 = = 0,32394x60 = 19,4364 (19 + 0,4364 ) 0,4364 = 0,4364x60 = 26,184, que podemos truncar para 26 Logo, temos que 0,250 rad equivale a aproximadamente

15 OPERAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Até agora você já conhece as principais unidades de medidas lineares e angulares, aprendeu a realizar as principais operações e conversões relacionadas a cada uma dessas unidades. Entretanto, também é necessário o estudo das operações que permite relacionar medidas lineares a medidas angulares. Isso é possível através das operações trigonométricas. Há diversas operações trigonométricas na matemática, mas para fins de projeto topográfico vamos nos aprofundar nas funções seno, cosseno e tangente. Quer aprender mais? Na figura 2, você pode ver um triângulo retângulo simples, formado por 3 ângulos, sendo um de 90 e outros dois ( α e β ), dois catetos ( c e b, respectivamente) e uma hipotenusa ( a ). Figura 2. Triângulo Retângulo. Fonte: VEIGA, ZANETTI, FAGGION (2012). a. Seno O seno de um ângulo é definido como a relação entre o cateto oposto a este e à hipotenusa do triângulo, ou seja: sen = cateto oposto (c) hipotenusa (a) b. Cosseno O seno de um ângulo é definido como a relação entre o cateto adjacente a este e à hipotenusa do triângulo, ou seja: cos = cateto adjacente (b) hipotenusa (a) c. Tangente Já a tangente de um ângulo qualquer é definida como a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo, ou seja: tg = cateto oposto (c) cateto adjacente (b) d. Lei dos senos Uma outra relação trigonométrica muito importante em topografia é a conhecida Lei dos Senos. Isso se dá porque nem sempre se dispõe somente de triângulos retângulos, de modo que seja necessária a utilização de uma outra ferramenta matemática para determinação de uma medida desconhecida. A Lei dos senos permite a determinação de uma medida desconhecida de qualquer triângulo. Observe o triângulo da figura 3:

16 16 Figura 3. Triângulo qualquer. Fonte: Você pode determinar qualquer uma das medidas do triângulo dispondo normalmente de dois ângulos e a medida de um lado. Para isso, deve utilizar a Lei dos Senos que é definida matematicamente a seguir: a sena = b senb = c senc Aprofunde seu conhecimento acerca da Lei dos senos através do vídeo sobre o assunto. Aula 4 PLANOS DE PROJEÇÕES Nas aulas anteriores você estudou as principais unidades de medidas lineares e angulares e as operações com ângulos mais importantes no estudo da topografia. Na Aula 3 você ainda aprendeu a determinar medidas não conhecidas e as principais operações trigonométricas. Em termos de projeto topográfico, as representações são feitas no plano da prancha (ou folha) e, por isso, é preciso que se conheçam os principais planos de projeção, como são feitas as projeções e as representações, especialmente de nível. Você deve lembrar que, matematicamente, um plano pode ser definido a partir de: 3 pontos não alinhados; uma reta e um ponto não contido na reta; duas retas que se interceptam. Os planos podem ser os mais diversos, como já elenca o estudo da geometria descritiva, na qual os planos são representados pelos seus traços no plano vertical e no plano horizontal. Em geometria descritiva os planos mais comuns são: horizontal, perfil, vertical, de topo, inclinado que passa pela linha de origem dos diedros, plano rampa e plano qualquer. Em termos de projeto topográfico, os planos que interessam são o plano horizontal, que servirá de base para as projeções das curvas de nível e a alocação das coordenadas topográficas e o plano perfil, que representa as medidas verticais de um terreno, com seus respectivos detalhes.

17 17 Assista ao vídeo sobre Projeção Ortográfica e fique ainda mais por dentro do assunto! PLANO HORIZONTAL No plano horizontal, qualquer ponto contido nele se projeta verticalmente sobre o seu traço vertical. Portanto, os pontos altimétricos não podem ser expressos diretamente sobre o plano horizontal, o que acontece através das curvas de nível. A Figura 4 apresenta o plano horizontal em termos de geometria descritiva. Figura 4. Plano horizontal. Fonte: No plano horizontal, todos os pontos da superfície do terreno são projetados ortogonalmente ao plano, de modo que se forma uma superfície plana que dará origem a planta topográfica do projeto. Observe que o terreno tende a possuir grandes dimensões no sentido horizontal e, portanto, nas representações no plano horizontal, tende a ser utilizadas escalas menores que no plano perfil, por exemplo. Os fatores que influenciam na escolha da escala serão estudados na próxima aula PLANO PERFIL No plano perfil são representadas as projeções ortogonais verticais do terreno. O plano perfil, junto ao plano horizontal, compõem a maioria dos projetos topográficos e também dos projetos geométricos, pois permitem as representações em planta e em perfil. A Figura 5 apresenta em termos de geometria descritiva o que significa o plano perfil. Figura 5. Plano perfil. Fonte:

18 PROJEÇÃO ORTOGONAL Agora que você conheceu os principais planos de projeção em um projeto topográfico, é preciso conhecer como deve ser feita a projeção nos planos. Você viu no item anterior que as projeções em planta e perfil são sempre projeções ortogonais, por ser a representação mais fiel à original. Isso se dá porque, matematicamente, a projeção ortogonal de um vetor em um plano que não o contém é o vetor mais próximo do original. A projeção ortogonal de objetos se dá a partir de retas auxiliares centradas no infinito que interceptam o plano de projeção. Na Figura 6 você pode entender melhor como é a projeção ortogonal de um objeto em um plano. Figura 6. Projeção ortogonal de um modelo em um Plano. Fonte: SISTEMA DE PROJEÇÃO TOPOGRÁFICA Nos itens anteriores você conheceu os principais planos de projeção e como é feita, geometricamente, uma projeção ortogonal. Agora você irá aprofundar um pouco mais o conhecimento dentro do projeto topográfico. De acordo com a NBR (ABNT, 1994, p. 5), o que caracteriza o sistema de projeção utilizado nos levantamentos topográficos é: as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção localizado no infinito; a superfície de projeção é um plano normal à vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido ao datum vertical brasileiro; as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e à refração atmosférica têm as seguintes expressões aproximadas: Δl (mm) = -0,004 l³ (km) Δh (mm) = +78,1 l² (km) Δh (mm) = +67 l² (km)

19 19 Onde: Δl = deformação planimétrica devida à curvatura da Terra, em mm. Δh = deformação altimétrica devida à curvatura da Terra, em mm. Δh = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração atmosférica, em mm. l = distância considerada no terreno, em km. o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1/35000 nesta dimensão e 1/15000 nas imediações da extremidade desta dimensão; a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topográfico; o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das peculiaridades do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada importante. Leia a reportagem da MundoGEO sobre plano topográfico local e aprofunde seus conhecimentos do assunto. Confira! A NBR (ABNT, 1994, p. 6) ainda preconizar algumas observações a respeito do levantamento topográfico no sistema de projeção topográfico, as quais são descritas a seguir: Nas medidas dos desníveis, em distâncias superiores a 100 m, para a representação altimétrica dos detalhes levantados, o efeito conjunto da curvatura terrestre e da refração atmosférica deve ser eliminado ou minimizado por procedimentos operacionais ou por correções apropriadas; e nas medições de distâncias no apoio topográfico planimétrico, a redução destas ao nível de referência altimétrica do sistema deve ser levada em consideração. O posicionamento geográfico da área, objeto de levantamento, quando possível, deve ser dado pelas coordenadas geodésicas da origem do sistema planimétrico. Quando se utilizar como origem planimétrica do levantamento topográfico um ponto com coordenadas UTM (Universal Transversa de Mercator), este deve necessariamente constar do Relatório Técnico e da legenda do Desenho Topográfico Final.

20 20 Aula 5 ESCALAS TEÓRICAS E PRÁTICAS Após estudar as unidades de medida, as operações e os planos que envolvem um projeto topográfico, você precisa conhecer melhor as escalas de projeto, que irão ajudar a determinar o nível de detalhamento do seu levantamento topográfico. Na Aula 4 vimos que o levantamento topográfico é representado através de planos de projeções e que essas projeções podem descrever uma superfície ou um perfil etc. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e assista à videoaula sobre escalas teóricas e práticas. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Em termos de levantamento topográfico, na elaboração de um projeto de topografia, existe a limitação de espaço para a representação, de modo que é necessária a definição de uma escala que relacione as medidas reais com as medidas do desenho em projeto. A NBR 8196 afirma que: A escala a ser escolhida para um desenho depende da complexidade do objeto ou elemento a ser representado e da finalidade da representação. Em todos os casos, a escala selecionada deve ser suficiente para permitir uma interpretação fácil e clara da informação representada. A escala e o tamanho do objeto ou elemento em questão são parâmetros para a escolha do formato da folha de desenho. (ABNT, 1999, p. 2) Observe que, ao se definir a escala de um projeto topográfico, deve-se levar em conta a complexidade do que se deseja representar e a suficiência da escala para interpretação do que ali é representado. Portanto, em levantamentos mais amplos e que necessitem de menor exatidão, pode-se utilizar uma escala menor. As escalas podem ser de três tipos: natural: quando a medida o objeto na representação é igual ao objeto natural. de redução: quando a medida do objeto na representação é menor que o objeto natural. de ampliação: quando a medida do objeto na representação é maior que o objeto natural. Observe que a escala é, portanto, uma relação entre uma medida do objeto real e do objeto no desenho e seu valor é adimensional. Aprofunde seu conhecimento! A seguir, assista ao vídeo sobre as escalas representadas no desenho técnico e aprimore o seu saber.

21 ESCALAS EM TOPOGRAFIA Em topografia, podemos definir a escala como a relação entre uma medida linear entre dois pontos no desenho do projeto topográfico e a medida entre os mesmos dois pontos no terreno. As escalas de redução, que são as utilizadas em projetos topográficos, normalmente têm sua indicação da seguinte forma: Escala 1 : X, onde X é o valor do denominador, ou seja, o fator de redução da escala. Por exemplo, se a escala é 1:200, significa dizer que para cada 1 unidade no desenho equivale a 200 unidades no terreno natural. Veja o exemplo 1 e entenda melhor como é feita a conversão a partir da leitura de um dado num projeto topográfico para a medida no terreno natural. EXEMPLO 1. Deseja-se obter a distância aproximada entre uma jazida de material para o aterro de um viaduto e o local onde será construído o viaduto. Sabe-se que, no projeto topográfico, a distância é de aproximadamente 75 centímetros e que a escala do projeto é 1:500. Determinar a distância em metros. Solução: Primeiro vamos determinar a distância real no terreno. 1/500 = 75cm/D, logo: D = 500 x 75cm = cm Agora vamos converter de centímetro para metro: cm = x 10-2 m = 375 m Resposta: a distância é de 375 metros. Veja que é simples a obtenção da medida real de distâncias no projeto topográfico. Muitas vezes, entretanto, você pode estar interessado em saber a área de uma superfície representada em planta por exemplo, o que pode ser obtido através da medição da área no desenho e transformação desse valor para o valor da área no terreno natural, através da escala. No entanto, esse processo de conversão é um pouco diferente. Na conversão de medidas lineares, a conversão é direta, já no caso de área, o fator de multiplicação não deve ser diretamente o denominador da escala, observe: Escala 1:X, 1 unid = X unid, para o caso de área, temos 1 unid x 1 unid = X unid x X unid, logo, temos que o fator de multiplicação seria 1 unid² = X²unid². Veja o exemplo 6 que irá ajudar você a compreender melhor essa conversão.

22 22 EXEMPLO 2. Deseja-se determinar a área de uma bacia de drenagem de um bairro. Para tanto, o engenheiro obteve a medida da área aproximada em um projeto topográfico disponível no município, a qual foi de aproximadamente 3755 centímetros quadrados. A escala de projeto utilizada foi 1: Determine a área da bacia em hectares. Solução: Primeiro vamos determinar o fator de multiplicação de área na escala. 1 : 5000 = 1 unid² : (5000²) unid² = 1 unid² : unid² Logo: p/ cm², teremos no terreno x = cm² Convertendo para hectare, temos: cm² = x 10-8 = 938,75 ha ERRO GRÁFICO (E) Como você tem visto ao longo das últimas aulas, o projeto topográfico visa representar um levantamento topográfico de um terreno. Nessa representação, há um erro relacionado à exatidão do equipamento utilizado no desenho ou na sua plotagem. Segundo a NBR 13133, o erro de graficismo aceitável na elaboração de um desenho topográfico é da ordem de 0,2 mm. A partir desse erro de graficismo, é possível determinar a precisão da escala. Como você aprendeu no item 5.1 desta aula, uma medida representada no desenho topográfico está relacionada a uma medida no terreno real a partir da escala do projeto. Da mesma forma acontece com o erro, quando menor a escala utilizada, maior o erro e, por consequência, menor a precisão da escala. A precisão de uma escala (p) é definida como o maior valor possível que uma distância ou medida pode se encontrar no terreno real, ou seja, é a multiplicação do fator de redução da escala pelo erro de graficismo, como pode ser escrito a seguir: p = 0,2X A tabela 4 apresenta os valores de precisão para algumas escalas usuais. Escala Precisão 1:200 4 cm 1:250 5 cm 1: cm 1: cm 1: m Tabela 4. Valores de precisão para algumas escalas usuais.

23 23 Observe que a escala deverá ser escolhida, portanto, não apenas pelo nível de detalhamento requisitado no projeto, mas também pela precisão mínima exigida para a execução ESCALA GRÁFICA Você viu nos itens anteriores as escalas topográficas, o erro gráfico e a precisão da escala. Entretanto, em projetos impressos especialmente, o desenho pode sofrer modificações nas suas dimensões, principalmente em função de mudanças de temperatura, umidade e pela própria modificação de dimensões do papel ao longo do tempo, o que faz com que a escala de projeto não seja exatamente a escala representada no momento em que se utilizar a carta topográfica ou o mapa, por exemplo. É nesse contexto que surge a escala gráfica. Nela, é representado um segmento, em forma de ábaco, que permite a conversão dos valores obtidos através da leitura em projeto para os valores do terreno natural. No início do ábaco há segmentos menores, para conversão de medidas menores. A Figura 7 apresenta um exemplo de segmento utilizado em escalas gráficas. Figura 7. Exemplo de segmento utilizado em escalas gráficas. Fonte: Adaptador de VEIGA, ZANETTI, FAGGION (2012). Como você pode perceber, os valores determinados no desenho a partir do segmento impresso na escala geográfica não irão alterar a precisão da escala, uma vez que o segmento também irá sofrer alterações com o tempo, nas mesmas proporções que o desenho topográfico, de modo a preservar as relações da escala de projeto. Quer saber mais? Assista, no link a seguir, ao vídeo da Prof.ª Angela Correia sobre Escalas e aprofunde seus conhecimentos. Aula 6 ESCALAS MAIS USADAS EM TOPOGRAFIA, CONVENÇÕES Na aula anterior você pode conhecer os tipos de escalas, como é definida uma escala, a precisão e os erros relacionados a uma escala e a escala topográfica. Agora é necessário compreender quais as escalas mais usuais para cada finalidade e as convenções de sentido, unidade etc. em topografia. Observe na tabela 5, as principais escalas utilizadas e a finalidade de cada uma. Aplicação Escala Detalhes de terrenos urbanos 1:50 Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200 Plantas de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1.000

24 24 Planta de propriedades rurais Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais 1: : : : : : Cartas de municípios 1: : Mapas de estados, países, continentes etc. 1: a 1: Tabela 5. Escalas mais utilizadas e aplicação. Fonte: Adaptador de VEIGA, ZANETTI, FAGGION (2012) ESCALAS MAIS UTILIZADAS EM TOPOGRAFIA Portanto, você pode observar que, dentre as aplicações corriqueiras em topografia, as escalas normalmente usadas são 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000. Observe que, não necessariamente é preciso adotar uma mesma escala para as diversas representações de um projeto topográfico. Em perfil, por exemplo, as escalas utilizadas costumam ser 10 vezes maiores que em planta. Para fixar bem esse conceito de escala maior e menor, observe o exemplo 1. EXEMPLO 1. Um estudante de Engenharia Civil pretende realizar o projeto geométrico de uma estrada a partir de um projeto topográfico na escala 1: Seu professor sugeriu que utilizasse uma escala duas vezes maior. Qual escala deve ser utilizada pelo estudante? Solução: Uma escala maior significa dizer uma escala com denominador menor. Portanto, o estudante deverá utilizar a escala 1:500. Vimos na introdução desta aula às diversas aplicações de cada escala em topografia, veja o exemplo 2 para fixar os conhecimentos na tomada de decisão da escala a ser utilizada. EXEMPLO 2. O engenheiro de uma companhia de saneamento é responsável pelas obras de esgotamento sanitário de um município do interior de Goiás. Para determinar a bacia de esgotamento 7 de uma região recentemente expandida do município, será realizado um levantamento topográfico. Qual deverá ser a escala em planta e perfil do projeto topográfico, sabendo que a bacia grande parte de 3 bairros pouco populosos do município. Solução: Uma vez que se trata de uma bacia de 3 bairros pouco populosos, podemos considerar 7 Área em que todos os ramais prediais da rede coletora de esgoto converge para um coletor principal.

25 25 que o projeto caracteriza plantas de arruamento e loteamentos urbanos, cuja escala adequada é entre 1:500 e 1: Como no enunciado a utilização não é para fins de locação, podemos utilizar a menor escala, que é 1:1.000 em planta. Para o perfil do terreno local, podemos utilizar uma escala 10 vezes maior, ou seja, a escala 1:100. Amplie seus conhecimentos! Assista ao vídeo da entrevista sobre topografia em loteamentos urbanos e rurais e aprenda mais sobre os elementos de destaque para definir a escala de projeto nesses casos no link a seguir. Observe que não existe uma escala específica a ser utilizada para todos os tipos de projetos, ou para um grupo. O que existe é uma orientação usual, mas a escala a ser adotada é uma decisão do projetista e irá depender, como você tem visto desde o início do curso de projeto topográfico, da necessidade de detalhamento e da complexidade dos elementos a serem representados CONVENÇÕES TOPOGRÁFICAS Nos projetos em geral, normalmente elementos da realidade são representados através de símbolos, desenhos ou linhas, que facilitam, uniformizam e padronizam o desenho. Vendo a necessidade de se padronizar os símbolos entre os projetistas, de modo a qualquer projeto poder ser interpretado por alguém, ainda que não seja seu autor, a NBR traz um anexo só para definir as convenções topográficas. Neste item você irá conhecer cada uma dessas convenções, que serão de extrema importância para o desenvolvimento do seu projeto topográfico. A Figura 8 apresenta a convenção para as curvas de nível em projeto topográfico. Figura 8. Curvas de Nível. Fonte: Adaptado de NBR (ABNT, 1994) A Figura 9 apresenta a convenção para os diversos tipos de cerca que podem ser encontrados em um projeto topográfico.

26 26 Figura 9. Cercas e alambrado. Fonte: Adaptado de NBR (ABNT, 1994) A Figura 10 apresenta as convenções topográficas para elementos de instalações hidráulicas, de esgotamento sanitário, de drenagem e equipamentos de instalação ou distribuição de energia elétrica. Figura 10. Instalações diversas. Fonte: Adaptado de NBR (ABNT, 1994) A Figura 11 apresenta para os diversos obstáculos que podem compor e devem ser representados no projeto topográfico.

27 27 Figura 11. Representação de Obstáculos Diversos. Fonte: Adaptado de NBR (ABNT, 1994) A Figura 12 apresenta as representações de estradas, caminhos carroçáveis, guias, estradas de ferro, eixo e construção qualquer em alvenaria ao longo do caminho. Figura 12. Representações de estradas, guias e construções. Fonte: Adaptado de NBR (ABNT, 1994) As demais convenções de desenhos e símbolos para projetos topográficos podem ser encontradas no Anexo B da NBR

28 28 Assista, a seguir, ao vídeo sobre convenções topográficas e aprenda a inserir e escalonar as convenções apresentadas aqui utilizando o AutoCAD. Nesta unidade, você aprendeu o que é topografia e projeto topográfico, sua importância na área de engenharia e os principais campos de aplicação. Foi possível perceber que um projeto topográfico se aplica desde a obras de edificações até sistemas de irrigação, esgotamento sanitário etc. Além disso, você também conheceu as principais unidades de medida de ângulo, distância e superfície as operações matemáticas necessárias para o desenvolvimento do projeto topográfico. Aliado a isso, você agora é capaz de definir as escalas de projeto para cada tipo de obra, as convenções de norma e as escalas que são mais utilizadas em topografia. Com isso, você já é capaz de avançar no estudo de projeto topográfico! Você terminou o estudo desta unidade. Chegou o momento de verificar sua aprendizagem. Ficou com alguma dúvida? Retome a leitura. Quando se sentir preparado, acesse a Verificação de Aprendizagem da unidade no menu lateral das aulas ou na sala de aula da disciplina. Fique atento, essas questões valem nota! Você terá uma única tentativa antes de receber o feedback das suas respostas, com comentários das questões que você acertou e errou. Vamos lá?!

29 29 REFERÊNCIAS DOMINGUES, F. A. A. - Topografia e astronomia de posição para engenheiros e arquitetos. Editora McGraw- Hill do Brasil, 1979, São Paulo/SP, 403p. BRINKER, R. C; WOLF, P. R. Elementary Surveying. New York, Harper & Row, p. ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR : Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, ABNT, 1994, 35p. ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 8196 : Desenho técnico Emprego de escalas. Rio de Janeiro, ABNT, 1999, 2p. VEIGA, Luis Augusto Koenig; ZANETTI, Maria Aparecida Zehnpfennig; FAGGION, Pedro Luis. Fundamentos de Topografia. Curitiba/PR: UFPR, Disponível em: < Acessado em 06 de fevereiro de GLOSSÁRIO Bacia de drenagem: Área em que todas as precipitações convergem para um ponto. Bacia de esgotamento: Área em que todos os ramais prediais da rede coletora de esgoto converge para um coletor principal. Estação elevatória: Conjunto formado por sistema motor-bomba e tubulações para aumentar a energia no deslocamento de um fluido. Pavimento: Conjunto de diversas camadas que compõe a estrutura de uma estrada. Projeto geométrico: Projeto do traçado de uma estrada. Reaterro: Aterro de uma área escavada com o próprio material proveniente da escavação. Terraplenagem: Movimentação de terra para tornar um terreno plano.