Olavo Freire (Séc.XIX)- Exemplos de parábola

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1 Universidade de São Paulo Faculdade de Educação Dissertação de Mestrado: Área de Concentração: : Ensino de Ciências e Matemática Parábola e catenária: história e aplicações Leda Maria Bastoni Talavera Orientador: Prof. Dr. Antônio Carlos Brolezzi 19 de março de 2008

2 Problema de pesquisa Surgiu a partir do livro didático de Olavo Freire, Noções de geometria prática, em sua 15ª edição do ano de 1894.

3 Olavo Freire (Séc.XIX)- Exemplos de parábola Uma pedra arremessada à mão e com certa elevação. Os refletores das lanternas de alguns carros, locomotivas e navios. Certos cometas descrevem ao redor parabólicas. não do periódicos sol órbitas

4 Ponte Pênsil como exemplo de parábola Em certas pontes pênseis, a cadeia presa ás hastes verticais que sustentam o estrado tem a forma de uma parábola.

5 Osvaldo Sangiorgi (Séc.XX)

6 Afinal parábola ou catenária? Como a catenária é a curva que representa o formato de um cabo suspenso pelas extremidades sob a ação do seu próprio peso, surgiu o interesse em estudar por que a parábola, e não a catenária, é usada pelos autores.

7 Objetos de pesquisa Este trabalho tem como objetos de pesquisa a curva catenária e a parábola no âmbito da educação e da história da matemática.

8 Capítulos 1) A parábola e a ponte pênsil no livro de Olavo Freire 2) Cabos, cordas e curvas na matemática grega 3) Um famoso problema da história do cálculo 4) As curvas catenária e parábola na engenharia e arquitetura 5) Uso de tecnologia no estudo da catenária e da parábola

9 Capítulo 1: A parábola e a ponte pênsil no livro de Olavo Freire Chervel: Livros didáticos são fontes importantes dos saberes escolares. É conveniente que o ensino se adapte a orientação especial da cultura de cada época. (Klein, 1908:282). Reforma Benjamin Constant (1890), baseada no positivismo de August Comte/ matemática concreta compreendia a geometria e a mecânica.

10 Geometria Prática No início da educação escolar brasileira: Organização de textos didáticos baseados em livros de autores franceses como os de Bélidor ( ). Com Clairaut ( ) : Primeira reação contrária à abordagem euclideana no ensino da geometria, através da obra Éléments de géométrie. O estudo da geometria visava resolver problemas de artilharia e fortificações: Saber Prático / Geometria Prática.

11 Matemática Militar: Instrumentos geométricos no século XVII

12 Sobre o autor Olavo Freire Uma alteração significativa na abordagem da Geometria apareceu no final do século XIX com o livro intitulado Geometria prática de Olavo Freire (Silva 2000: 148)

13 O que trouxe de novo o livro de Olavo Freire? Aboliu os axiomas, os enunciados e demonstrações de teoremas. Vinculou os conceitos geométricos a problemas da vida cotidiana. Incluiu muitas figuras para ilustrar os conceitos e vinculá-los los ao cotidiano do aluno. Enfatizou os problemas que utilizam a régua e compasso.

14 O que trouxe de novo o livro de Osvaldo Sangiorgi? Movimento da Matemática Moderna no Brasil Características dos livros didáticos de matemática:apresentam a mesma terminologia baseada na teoria dos conjuntos. Os alunos não precisariam saber fazer, mas sim, saber justificar por que faziam (Miorim 1998: 114). Segundo a teoria de Chervel, esses livros didáticos tornaram-se uma vulgata, tendo como referência os livros de Osvaldo Sangiorgi.

15 Objetivos em comum : Freire(1894) e Sangiorgi(1974) Em termos de exemplos e ilustrações para o estudo da parábola, os dois livros publicados em contexto histórico-político brasileiro diferente, usaram a idéia da corda suspensa por dois pontos.

16 Capítulo 2: Cabos, cordas e curvas na Matemática Grega. Modelo geométrico Grego mais estático do que dinâmico. Encontramos com Pitágoras a primeira consideração teórica do comportamento estático e dinâmico de cordas : Relação entre comprimento de uma corda estendida e a altura musical do som emitido. Arquimedes: Antecipação do Cálculo Diferencial Integral/área sob curvas.

17 Motivadores: Problemas Práticos Menaecmus: Estudo das Cônicas para resolver os três problemas clássicos da geometria grega. Ptolomeu :Aperfeiçoou modelos geométricos de Apolônio para o estudo dos movimentos dos planetas.

18 Capítulo 3: Um famoso problema do cálculo O problema para encontrar a equação que represente essa curva pode ser considerado um dos mais famosos e difíceis problemas da história do cálculo. Catenária: a curva de uma corrente suspensa

19 Confusão Leonardo da Vinci e Galileu acreditavam ser essa curva uma parábola. Corrente suspensa relaciona-se a linhas ou superfícies flexíveis/ aspectos mecânicos. Maio de Lançado oficialmente o problema para a comunidade matemática no Acta eruditorum Solução oficial publicada no Acta eruditorium

20 Corrente Suspensa Johann Bernoulli e Leibniz resolveram o problema através de métodos analíticos. O estudo das curvas começou com as investigações de Huygens, por volta do ano de O problema da Corrente Suspensa foi resolvida por ele através de métodos geométricos. A curva da corrente suspensa foi batizada de catenária por Leibniz /originada da palavra latina catena que significa cadeia.

21 Capítulo 4: AS CURVAS CATENÁRIA E PARÁBOLA NA ENGENHARIA E ARQUITETURA A primeira pênsil registrada é chinesa, a Ponte Quan-Xian, construída em 285 a.c., com cabos principais feitos de fibras de bambu trançadas. Ponte suspensa chinesa sob o rio Mekong construída por volta de 1470.

22 Ponte suspensa desenhada por Faustus Verantius Escritos de Faustus Verantius de 1617, encontram-se sugestões de prováveis aperfeiçoamentos das pontes de corda usadas pelos militares franceses

23 Engenheiro francês pioneiro na construção de Pontes Pênseis Claude Navier ( ) 1836), escreveu textos teóricos sobre o projeto de pontes pênseis, em um dos quais aparece a catenária na construção do cabo pênsil Ponte Pênsil Menai, na Inglaterra, 1826

24 As estruturas articuladas da Ponte Pênsil Distribuindo as tensões

25 Os cabos são usados em ponte pênsil Cargas concentradas no cabo, pontos M e N, (figura A). Suspensão em parábola, (figura B). Suspensão em catenária, (figura C).

26 [...] Com carga uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento, o formato do cabo que é gerado recebe o nome de catenária. (Botelho 1998, p. 212). [...] a carga que ocorre é uniformemente distribuída ao longo da distância entre os dois apoios sucessivos. É o caso de cabos que sustentam pontes pênseis. (Botelho, 1998: 212)

27 Teoria do Deslocamentos por Melan (1888) Com a carga acidental, os cabos se deslocam no espaço até a nova posição de equilíbrio, não mais permanecendo na forma de uma parábola única (LAGINHA, 1997:39)

28 Capítulo 5: Uso da tecnologia no estudo da catenária e da parabóla coshx e x 2 e x 1 2 x +K 2

29 Famílias de catenárias e a curva parábola

30 Famílias de parábolas e a curva catenária

31 Comprovação algébrica Usando o polinômio de Taylor na função e e x x 1 1 x x 2 x 2! 2 x 2! 3 x 3! 3 x 3! Somando-se as funções acima obteremos: x cosh x e e x x K

32 Experimento em sala de aula : Propriedade da catenária

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38 Forma da Catenária: Equilíbrio estético e funcional à obra Arco catenário, casa Milá de Gaudi Dulles Internacional Airport,USA

39 Arco em forma de Catenária com 192m. Missouri (Estados Unidos): Homenagem ao presidente Thomas Jefferson

40 Resistência à ação dos ventos : barraca de camping

41 Conclusão Surpreendentemente, na prática da engenharia, as pontes pênseis de fato usam aproximações por parábolas. Mesmo assim, não parece que o exemplo do livro de Olavo Freire tenha levado em consideração essas questões. O reaparecimento do exemplo do balanço no livro de Sangiorgi parece reforçar a tese de que havia, sim, uma certa confusão entre catenária e parábola para alguns autores de livros didáticos.

42 Sem a curiosidade que me move, que me inquieta,que me insere na busca, não aprendo nem ensino. Paulo Freire