SIMULAÇÃO DO CONTROLE DE VIBRAÇÃO POR AMORTECIMENTO VISCOSO: TRAÇANDO PASSOS DO PROJETO DE NANOMÁQUINAS

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1 SIMULAÇÃO DO CONTROLE DE VIBRAÇÃO POR AMORTECIMENTO VISCOSO: TRAÇANDO PASSOS DO PROJETO DE NANOMÁQUINAS Luiz Justino da Silva Junior (UESC) FLAVIO PIETROBON COSTA (UESC) A vibração é um movimento oscilatório que ocorre em um intervalo de tempo, podendo prejudicar o bom funcionamento de máquinas bem como alterar as características de determinadas estruturas, levando à perda de eficiência, desgastes e falhas.. O presente trabalho é caracterizado pelo desenvolvimento de um modelo acoplado de interação fluido - estrutura, para o estudo do amortecimento de vibrações em vigas utilizando a teoria de Timoshenko, desenvolvendo sensibilidade ao problema de vibrações em sistemas mecânicos de forma a solucionar e analisar os resultados referentes a este problema. Manipulam-se os diferentes valores de viscosidade de um fluido buscando a minimização do movimento oscilatório da viga. As simulações foram realizadas utilizando o software Fortran, considerando o método de diferenças finitas a técnica de discretização para obtenção dos dados numéricos. A simulação tem aplicação ao desenvolvimento de nanoequipamentos. Palavras-chaves: Controle de vibrações, teoria de vigas de Timoshenko, amortecimento viscoso

2 1. Introdução Qualquer movimento que se repete após um determinado intervalo de tempo é chamado de vibração ou oscilação (RAO, 2008). A vibração corresponde ao estudo do movimento de um corpo em torno de sua posição de equilíbrio, bem como às forças nele associadas. Máquinas e estruturas estão sujeitas a sofrer esse tipo de comportamento seja em pequenas ou grandes proporções. O estudo de vibração possui como um de seus importantes propósitos a redução de níveis vibratórios através de projeto e montagem adequada de máquinas, estruturas, equipamentos ou componentes eletrônicos, a fim de obter controle eficaz do movimento oscilatório. O amortecimento de vibrações será estudado pela imersão de modelos de vigas em fluido, com análise de resultados referentes à oscilação da viga excitada por carga de impacto, para valores diversos de viscosidade do fluido, tal que o amortecimento de vibrações da viga seja alcançado pela absorção de energia pela difusão no fluido de amortecimento. A excitação do fluido pela viga em vibração é responsável pelo efeito convectivo no fluido, também parcela componente do sistema de amortecimento por dispersão de energia. O problema encontra aplicação em controle de vibrações industriais e na construção de mecanismos de amortecimento e/ou controle de vibrações, em macro e mesoescala. Recentemente, a pesquisa de nanomáquinas tem exigido o desenvolvimento de aplicações de controle de vibrações, no qual se insere o presente trabalho, no sentido de evitar a ruina dessas máquinas por excesso de vibração, buscando dissipar a energia concentrada em pequenas dimensões dos nanoequipamentos e das nanoestruturas. Tal consideração é fundamental no projeto de produtos que sejam elaborados com o emprego de nanoestruturas ou nanoequipamentos em seu processo de integração. O presente trabalho é caracterizado pelo desenvolvimento de um modelo acoplado de interação fluido estrutura, com a utilização do método de diferenças finitas para discretização do meio contínuo (viga), visando o estudo da aplicação da teoria de Timoshenko a vigas sujeitas a amortecimento de vibrações, desenvolvendo sensibilidade ao problema de vibrações em sistemas mecânicos de forma a solucionar e analisar os resultados referentes a este problema. 2. A teoria de vigas de Timoshenko A teoria de vigas de Timoshenko buscou corrigir a teoria clássica de Euler-Bernoulli, que desconsidera o efeito devido ao cortante, obtendo valores subestimados de deslocamento e deflexão da viga à solicitação externa. De acordo com Pietrobon (1998), a introdução de um fator corretivo adimensional denominado de coeficiente de cisalhamento, k, buscou obter valores de tensões e distorções compatíveis com as reais. A teoria de Timoshenko se baseia nas seguintes hipóteses (FAGUNDES, 2002): 1) A seção transversal da viga tem um plano longitudinal de simetria; 2) O carregamento aplicado atua sobre o plano longitudinal de simetria; 3) Uma seção plana perpendicular ao eixo da viga permanece plana e perpendicular ao eixo da viga após uma deformação; 4) Não ocorre deformação no plano da seção transversal; 5) Um elemento de linha dx da viga sofre deslocamento axial u(x) na direção x, deslocamento transversal w(x) na direção z, e sofre uma rotação no plano xz, que é a taxa de variação de w em relação a x. 2

3 Fonte: Oñate (1992) Figura 1 Viga de Timoshenko A medida que a relação altura (h) pelo comprimento (L) aumenta, a tensões de cisalhamento na direção da altura tornam-se importantes e não podem ser mais desprezadas. Da figura 1 tem-se que a rotação da seção normal pode ser expressa por: (2.1) na qual dw/dx é o declive de deformação do eixo da viga e ϕ é o giro adicional devido à deformação por cortante. O campo de deslocamento se expressa da seguinte forma: (2.2) (2.3) (2.4) sendo u,v,w os deslocamentos nas direções x,y,z respectivamente. As equações 2.1 e 2.2 mostram que as deformações não nulas são as seguintes: (2.5) 3

4 (2.6) na qual é a deformação normal e é a distorção. As duas tensões não nulas e se relacionam com as correspondentes deformações (2.7) (2.8) onde é a tensão normal, E é o módulo de elasticidade longitudinal, é a tensão de cisalhamento e é a curvatura do eixo da viga. Segundo Pietrobon (1998), considerando que a distorção resulta constante ao longo da seção, sendo na realidade as tensões cisalhantes e consequentemente as distorções reais variáveis ao longo da seção, tal simplificação exige uma correção. Esta fica validada pela adoção de um fator corretivo adimensional (coeficiente de cisalhamento, k) incluído nas relações tensão-deformação: (2.9) onde o índice f indica que as tensões cisalhantes e distorções, supostas constantes na seção, são grandezas fictícias. 3. O método de diferenças finitas O método de diferenças finitas é usado como uma técnica de discretização, onde o domínio (região) de interesse é representado por um conjunto de pontos ou nós e a informação entre esses pontos é comumente obtido usando expansão em séries de Taylor (LAPIDUS E PINDER, 1999). Inicialmente é necessário considerar os conceitos fundamentais encontrados no modelo de teoria de aproximações. O domínio de solução das equações diferenciais estudadas em determinado problema é subdivididos por uma rede com um número finitos de pontos. A derivada de cada ponto é então representada por uma aproximação de diferenças finitas. Alternativamente, pode visualizar este processo de discretização como a substituição da solução de equações diferenciais com uma interpolação polinomial e a diferenciação desse polinômio. 4

5 Fonte: Lapidus e Pinder (1999) Figura 2 Discretização em diferenças finitas Inicialmente se considera u(x), na qual u é uma função contínua de variável independente x. Discretiza-se o domínio x (Figura 2) dentro de um conjunto de pontos tal que: (3.1) Por substituição da posição x r por rh, as coordenadas nodais são especificadas como o produto do número inteiro r e o espaçamento h (aqui h é assumido constante e normalizado como menos do que unidade) (LAPIDUS E PINDER, 1999). O número inteiro r simboliza a posição do nó ao longo da coordenada relativa x para um ponto de partida especificado, geralmente r = 0 quando x = 0. Quando h é uma constante, u(rh) pode ser representado como u r. Ainda segundo Lapidus e Pinder (1999), as duas possíveis aproximações para a primeira derivada de u em x r, em diferenças finitas, são representados por: (3.2) (3.3) 4. O amortecimento Segundo Thomson (1973), o amortecimento está presente em todos os sistemas oscilatórios. Seu efeito é retirar energia do sistema. A energia em um sistema em vibração ou é dissipada sob a forma de calor ou irradiada. Faz-se uma experiência simples da dissipação de energia em calor, ao se dobrar certo número de vezes uma tira de metal, de um lado para o outro. Quando se faz uma bóia balançar para baixo e para cima na água, ela irradia ondas e daí resulta a sua perda de energia. Segundo Rao (2008), embora a quantidade de energia convertida em calor ou som seja muito pequena, é importante considerar o amortecimento para uma previsão precisa da resposta de vibração de um sistema. Admite-se que um amortecedor não tem nem massa nem elasticidade, e que a força de amortecimento só existe se houver velocidade relativa entre as suas duas extremidades. É difícil determinar as causas do amortecimento em sistemas práticos. 4.1 Amortecimento viscoso Amortecimento viscoso é mecanismo de amortecimento mais comumente usado em análises de vibrações. Quando sistemas mecânicos vibram em um meio fluido como ar, gás, água e óleo, a resistência oferecida pelo fluido ao corpo em movimento faz que a energia seja dissipada (RAO, 2008). Nesse caso, a quantidade de energia dissipada depende de muitos fatores como o tamanho e a forma do corpo em vibração, a viscosidade do fluido, a freqüência de vibração e a velocidade do corpo em vibração. No amortecimento viscoso, a força de 5

6 amortecimento é proporcional à velocidade do corpo vibratório. Exemplos típicos de amortecimentos viscosos são: 1) Película de fluido entre superfícies deslizantes; 2) Fluxo de fluido ao redor de um pistão dentro de um cilindro; 3) Fluxo de fluido através de um orifício; 4) Película de fluido ao redor de um mancal de apoio. 5. Materiais e métodos A abordagem do problema neste projeto envolveu Pesquisa Quantitativa, considerando que há uma relação dinâmica entre os componentes, sólido e fluido, do sistema vibratório. Foi estabelecida a significação física das variáveis, parâmetros e operadores do modelo matemático que rege o problema. A interpretação dos fenômenos e a atribuição de significados são básicas no processo de pesquisa quantitativa. A partir da compreensão da física do problema, em um vínculo linear entre a viga e o fluido viscoso, é válida a superposição de efeitos. Com base nesta consideração foi estabelecido o modelo matemático que permite o estudo numérico do acoplamento fluido estrutura controle de vibrações. Do ponto de vista dos objetivos do trabalho foi feita uma Pesquisa Exploratória, visando proporcionar compreensão da física envolvida no problema, com vistas a propor, pela construção de hipóteses adequadas, aplicações futuras deste modelo. Foram analisados modelo de viga do tipo apoiada engastada. Nesse modelo de viga adota-se a condição de que a razão entre a altura e o comprimento da viga é muito menor que a unidade (HARIK, 2001). Para análises iniciais considerou-se a viga com seção retangular discretizada em 98 seções (número de nós igual a 99) com uma carga de impacto sendo aplicada em uma região da viga situada no nó crítico, na posição definida pelo nó 53. Para obtenção dos dados de deslocamento foi-se utilizado o aplicativo Fortran junto com o código implementado de Modelagem Computacional de Barras Pela Teoria de Viga de Timoshenko, do qual foi obtido a oscilação do deslocamento translacional em relação ao intervalo de tempo que varia de 0 a O código em Fortran foi executado para a viga com e sem amortecimento, verificando a influência da viscosidade no amortecimento de determinada viga. Para visualização dos dados, seu comportamento e possíveis comparações se utilizou do Excel para geração de gráficos, que viriam a ser inseridos a partir dos dados gerados no Fortran. Por meio dos dados, foi analisado o comportamento das vigas de acordo com alteração do valor da viscosidade, procurando-se amortecer as vibrações contidas na estrutura em estudo da melhor maneira possível. Para a análise de vigas foram utilizados alguns dados gerais referentes às propriedades do material da estrutura e parâmetros. 6

7 6. Resultados Figura 3 Dados do problema A partir do valor inicial da viscosidade de 12 MPa.s começou-se a analisar o amortecimento de vibrações no modelo de viga. Para essa viscosidade não foi possível identificar quaisquer alterações no deslocamento da viga ao longo do tempo, pois o valor da viscosidade é muito pequeno e pode ser para essa situação considerada como desprezível. Com o modelo de viga (apoiada engastada) e utilizando um valor de 240 MPa.s para a viscosidade verificou-se pequenas alterações do deslocamento da viga quando amortecida por fluido viscoso comparada com aquela sem amortecimento. Pelas irregularidades (ainda que muito pequenas) contidas nas linhas nota-se o efeito do amortecimento (Figura 4). Figura 4 Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de 240mPa.s À medida que a viscosidade cresce a viga vai sendo amortecida pelo fluido e dessa forma apresentando deslocamento transversal menor ao longo do tempo. Utilizando o mesmo 7

8 modelo de viga comentado anteriormente observa-se um maior amortecimento da viga, sendo que o valor da viscosidade passou a ser de MPa.s (Figura 5). Figura 5 Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de mPa.s A viga apoiada engastada com valor de viscosidade de MPa.s apresentou um amortecimento de vibrações ainda maior (Figura 6). Mesmo utilizando outro tipo de viga o comportamento é o mesmo, diferindo no valor da oscilação do deslocamento que alguns modelos de vigas apresentam maior que outros. Figura 6 Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de mPa.s 8

9 No entanto, quando se utilizou um valor de viscosidade de MPa.s (Figura 7) houve divergência por parte dos dados numéricos da viga imersa em fluido viscoso, passando a apresentar deslocamentos ao longo do tempo maiores que a viga sem fluido viscoso. Esta situação passa a não ser mais viável. Figura 7 Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de mPa.s Para viscosidade de MPa.s verificou-se que ainda há divergência (Figura 8) entre o resultado numérico e aquele correspondente à oscilação livre. Figura 8 Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de mPa.s Já para viscosidade de MPa.s o amortecimento feito pelo fluido é ainda maior, estando ainda mais próximo do ideal (Figura 9). 9

10 Figura 9 Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de mPa.s Dessa forma, pode-se afirmar que o valor da viscosidade para que o amortecimento da viga apoiada engastada feita por um fluido viscoso seja máxima está entre MPa.s e MPa.s. No momento em que se estabelece valor de viscosidade ideal se determina que fluido será utilizado para amortecer tal estrutura, onde se consegue desenvolver modelos acoplados de fluido-estrutura e construir mecanismos de amortecimento de vibrações que darão maior eficiência, durabilidade e menores solicitações à uma estrutura específica. 7. Conclusão A simulação do controle de vibração vem tendo grande importância na elaboração de projetos de máquinas e estruturas, buscando aumentar a qualidade destes, proporcionando ganhos de eficiência e estabilidade, pois minimizará problemas como desgastes, trepidação, ruído excessivo, e fenômeno da ressonância, onde este origina deflexões excessivas e falhas. Com um sistema de amortecimento adequado, consegue-se dissipar certa quantidade de energia para cada ciclo de vibração, evitando os inconvenientes ditos anteriormente. A análise dos resultados obtidos permitiu verificar o quanto a viscosidade influencia no amortecimento de vibrações para uma estrutura imersa em um fluido, sendo que a viscosidade crescendo o amortecimento (absorção de energia) cresce, até um valor limite. Manipulando determinados parâmetros que tem prioridade no amortecimento de vibrações como a viscosidade, é possível construir mecanismos que venham ter grandes aplicações práticas futuramente. Referências FAGUNDES, F.A. Modelagem de vigas de compósitos laminados usando elementos finitos formulados na notação strain gradient. Curitiba: Dissertação de mestrado, HARIK, V. M. Ranges of applicability for the continuum beam model in the constitutive analysis of carbon nanotubes: nanotubes or nano-beams?, NASA ICASE, Thecnical Report LAPIDUS, L. & PINDER, G.F. Numerical solutions of partial differential equations in science and engineering, New York: John Wiley & Sons Inc,

11 OÑATE, E. Cálculo de estructuras por el método de los elementos finitos. Barcelona: CIMNE, PIETROBON, F. Análise numérica da flexão dinâmica de vigas com a consideração da deformabilidade por cortante e da inércia de rotação, Rio de Janeiro: MSc Thesis COPPE/PEC-UFRJ, RAO, S.S. Vibrações Mecânicas, 4 ed., São Paulo: Prentice Hall, THOMSON, W.T. Teoria da vibração com aplicações, Rio de Janeiro: Editora Interciência,

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