PREFÁCIO. Profª Sonia Santos. TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 1

Transcrição

1 PREFÁCIO Ao longo dos séculos, a convivência em sociedade provocou na humanidade a necessidade da criação de um mecanismo capaz de gerenciar numerais. Existem indicações de que os sistemas de numeração surgiram para registrar objetos, que inicialmente eram pedaços de pau e ossos talhados, peças de barro e cordas com nós. Com o passar do tempo, teve início o agrupamento de determinados números de unidades. Primeiro os grupos eram relacionados às mãos e aos pés: cinco em cinco, dez em dez, vinte em vinte. Contudo, em se tratando de quantidades maiores, era difícil juntar paus e ossos ou identificar o número de traços facilmente. As civilizações antigas começaram, então, a criar símbolos que representavam esses agrupamentos de objetos. Surgiram assim os sistemas numéricos destas civilizações, como é o caso do sistema egípcio, o sistema romano, o sistema chinês. E desde o surgimento das primeiras contagens até o aparecimento do nosso sistema numérico decorreram milhares de anos. A origem do nosso sistema de numeração posicional, assim como hoje nós usamos, remonta do século V, e chama-se Indo-Arábico devido aos méritos de duas grandes civilizações: Indiana e Arábica. Neste livro, o Prof. Ivan Mendes procura abordar de maneira ampla o sistema de numeração decimal posicional, abrangendo conhecimentos obtidos através de pesquisas realizadas em livros didáticos de outros países, graduando as dificuldades através de níveis, e esgotando os temas através de exercícios exaustivos de fixação cuidadosamente selecionados, que auxiliam o leitor a fixar os conceitos e a materializar sua aplicação prática, enriquecendo assim a formação obtida pela leitura. O leitor também terá a oportunidade de acompanhar o crescimento das dificuldades entre os seus diversos níveis, participando da construção do conhecimento pelo preenchimento de lacunas com a teoria, que direcionam a leitura. Quem, como eu, conhece o Prof. Ivan Mendes, sabe da sua satisfação pessoal em transmitir conhecimentos adquiridos ao longo de sua carreira como professor, estabelecendo de forma didática uma relação entre o assunto e a História das Civilizações. É uma carreira coroada de êxitos e de aprovações, que agora culminam na publicação da sua terceira obra, que ora tenho o prazer e a honra de prefaciar. Aos leitores, meus parabéns por estarem adquirindo uma obra de qualidade, que com certeza vai transformar, em quem a lê, a visão tradicional do sistema de numeração posicional, o que irá contribuir significativamente para a desmistificação deste tópico da aritmética, apontando também o caminho a seguir para que os conhecimentos sejam utilizados no cotidiano com maior segurança pelo conhecimento pleno do conteúdo. Profª Sonia Santos TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 1

2 APRESENTAÇÃO O livro ARITMÉTICA SISTEMA DE NUMERAÇÃO foi dividido em dois níveis: Nível 1: Questões fáceis e regulares sobre o tema e Nível 2: Questões difíceis ou que dependem de outros temas. Registramos que este material é o primeiro de uma coleção de quatro temas da Aritmética que serão publicados futuramente e que aparecem em vários editais de concursos públicos civis e militares Agradecemos desde já as críticas e as sugestões dos nossos leitores no ivan.mendes@oi.com.br. Prof. Ivan Mendes AGRADECIMENTOS Esta obra é dedicada, em memória, aos meus pais, Walter Larsen Mendes e Izabel Figueira Mendes por sempre terem lutado pelo meu aprendizado, dando-me a liberdade de escolher uma profissão sem restrições. A minha esposa Martha e aos nossos filhos, Marcelo e Gabriel, pela compreensão aos meus estudos, que por algumas vezes, retirou-me do cenário familiar. Aos meus ex-alunos, que são minha fonte de aprendizado, em especial, Thiago Severgnini, Thiago Silva e Iury Kersnowsky por revelarem a sua gratidão de forma singular. Prof. Ivan Mendes TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 2

3 PRINCIPAIS SIGLAS EPCAR Escola Preparatória de Cadetes do Ar CMRJ Colégio Militar do Rio de Janeiro CMBH Colégio Militar de Belo Horizonte CMSM Colégio Militar de Santa Maria CMJF Colégio Militar de Juiz de Fora CMCG Colégio Militar de Campo Grande CMPA Colégio Militar de Porto Alegre IME Instituto Militar de Engenharia CN Colégio Naval CMB Colégio Militar de Brasília CMS Colégio Militar de Salvador CMR Colégio Militar de Recife CMF Colégio Militar de Fortaleza CMC Colégio Militar de Curitiba CMM Colégio Militar de Manaus UFMG Universidade Federal de Minas Gerais ÍNDICE BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL 5 REPRESENTAÇÕES DE BASES DE NUMERAÇÃO 5 DECOMPOSIÇÃO DOS NÚMEROS 5 VALOR DO ALGARISMO NO NÚMERO 5 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 6 IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL 8 BASES DE NUMERAÇÃO COM MENOS DE DEZ ALGARISMOS 8 BASES DE NUMERAÇÃO COM MAIS DE DEZ ALGARISMOS 8 A CRIAÇÃO DE SÍMBOLOS NO INTERIOR DE UM SISTEMA DE NUME- RAÇÃO O MAIOR NÚMERO EM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS 9 INTERVALO NO QUAL ENCONTRAMOS OS NUMERAIS COM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS CÁLCULO DA QUANTIDADE DE NÚMEROS COM UMA CERTA QUAN- TIDADE DE ALGARISMOS EM QUALQUER BASE DE NUMERAÇÃO POSI- CIONAL PARIDADE DE UM NUMERAL ESCRITO EM UMA BASE QUALQUER 12 BASE DE NUMERAÇÃO MISTA 12 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) 16 TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página

4 CARACTERÍSTICAS DO NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO OPERAN- DO NA ADIÇÃO OU NA SUBTRAÇÃO DE DOIS NÚMEROS DE DOIS ALGA- 18 RISMOS CADA UM COM A INVERSÃO DAS ORDENS FÓRMULA PARA CALCULAR A QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM UMA SUCESSÃO DE 1 ATÉ n 18 QUANTIDADE DE VEZES QUE UM ALGARISMO SIGNIFICATIVO APA- RECE EM UMA SUCESSÃO 19 QUANTIDADE DE VEZES QUE O ALGARISMO ZERO APARECE EM UMA SUCESSÃO 26 TRANSPOSIÇÃO DE SISTEMAS DE NUMERAÇÕES COM BASES DIFE- RENTES 29 TRANSPOSIÇÃO DE UMA BASE PARA OUTRA SENDO ESTA UMA PO- TÊNCIA DAQUELA 34 TRANSPOSIÇÃO DE UMA BASE PARA OUTRA SENDO ESTA UMA EX- TRAÇÃO DAQUELA 35 TRANSPOSIÇÕES UTILIZANDO-SE DOS NÚMEROS MÁXIMOS 36 TRANSPOSIÇÕES DE BASES PELO MÉTODO DE HORNER 36 TRANSPOSIÇÃO DE UM NÚMERO DECIMAL FRACIONÁRIO PARA UMA BASE QUALQUER E VICE-VERSA 43 NÚMEROS POSITIVOS MENORES DO QUE 1(UM) 46 EXERCÍCIOS DE NÍVEL 1 48 EXERCÍCIOS DE NÍVEL 2 85 GABARITOS 103 BIBLIOGRAFIA 109 TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 4

5 Tema 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO É constituído por um conjunto de regras e símbolos por meio dos quais pode-se ler, falar e escrever os números. BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL É o número de unidades necessárias de uma certa ordem, para que possa formar uma unidade de ordem imediatamente superior, ou seja, é o número de elementos do conjunto tomado como padrão. REPRESENTAÇÕES DE BASES DE NUMERAÇÃO Número 52 na Base 10: 52 ou 52 (10) ou 52 [10] ou ou (52) 10 Número 52 na Base 7: 52 (7) ou 52 [7] ou 52 7 ou (52) 7 DECOMPOSIÇÃO DOS NÚMEROS ( FORMA POLINOMIAL) Número 347 no nosso sistema de Base 10:3x x10 + 7; Número 347 na Base 8: 3x x8 + 7, sendo, em ordem, os algarismos do sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Número 347 na Base 9: 3x x9 + 7, sendo, em ordem, os algarismos do sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Número 347 na Base 6: 3x x6 + 7, sendo, em ordem, os algarismos do sistema: 0, 1, 4, 3, 7 e 5. Observe que o símbolo 7 representa a quantidade 4, assim como o símbolo 4 representa, 2. VALOR DO ALGARISMO NO NÚMERO VALOR ABSOLUTO: Não depende da sua posição no numeral. Ex 1.: O valor absoluto do algarismo 4 no número é 4; TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 5

6 Ex 2.: O valor absoluto do algarismo 4 no número (3.406) 7 é 4. VALOR RELATIVO ou POSICIONAL: Depende da sua posição no numeral. Ex 1.: O valor relativo do algarismo 4 no número é 4x10 2 = 400; Ex 2.: O valor relativo do algarismo 4 no número (3.406) 7 é 4x7 2 = NÚMERO: É uma ideia de quantidade. NUMERAL: É qualquer símbolo que usamos para representar uma quantidade. Desta forma, a quantidade dez pode ser representada pelos numerais 10, X, dez, ten, etc... NÚMERO CARDINAL: É o que exprime quantos elementos há em um conjunto de elementos. Ex.: Trinta e três NÚMERO ORDINAL: É o que assinala a posição(ordem) de um elemento no conjunto. Ex.: Trigésimo terceiro (33º) NÚMERO MULTIPLICATIVO: É o que exprime a multiplicidade dos valores. Ex 1.: duas vezes: duplo ou dobro Ex 2.: três vezes: triplo ou tríplice Ex 3.: quatro vezes: quádruplo Ex 4.: cinco vezes: quíntuplo Ex 5.: seis vezes: sêxtuplo Ex 6.: sete vezes: séptuplo SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Para se escrever os numerais são necessários apenas dez símbolos, chamados de algarismos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, sendo os nove primeiros algarismos significativos e o zero insignificativo. TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 6

7 Historicamente, os algarismos foram inventados pelos Hindus e divulgados pelos Árabes, por isso chamamos de algarismos Indo-Arábicos. ALGARISMOS: São sinais numéricos ou letras que representam os números. Os algarismos indo-arábicos são chamados também de dígitos, palavra que vem do latim digitus, o que significa dedo. No sistema decimal, adotamos o princípio da posição decimal para a colocação dos algarismos. O número um é a unidade simples. A reunião de dez unidades simples forma a dezena que é a unidade de 2ª ordem. Dez dezenas constituem uma centena, unidade de 3ª ordem e assim sucessivamente. Em uma classe completa há três algarismos. Qualquer número é igual a soma dos valores relativos de seus algarismos. O número que encerra 7 dezenas de milhares, 9 centenas e 6 unidades é Colocar um zero à direita de um número inteiro, corresponde a torná-lo 10 vezes maior. Suprimir um zero à direita de um número inteiro, corresponde a torná-lo 10 vezes menor. Em trinta unidades há 3 dezenas. Qualquer algarismo significativo só pode ocupar a 1ª ordem se desejarmos que sejam iguais seus valores relativo e absoluto. Visando a formar oito unidades de terceira ordem, preciso de 80 unidades de 2ª ordem. Com duzentas unidades formo 2 centenas ou vinte dezenas. O número possui 3 classes, 7 ordens, 7 algarismos e a classe mais elevada é a dos milhões. A soma do valor absoluto do algarismo 2 com o valor relativo do algarismo 3 do nº 324 é 302. Em há 8 unidades de milhares, 85 centenas, 857 dezenas e unidades. Uma centena corresponde a 100 unidades, uma dezena corresponde a 10 unidades, uma dúzia corresponde a 12 unidades, meia centena corresponde a 50 unidades, meia dezena corresponde a 5 unidades, meia dúzia corresponde a 6 unidades e uma centena corresponde a 20 meias dezenas. O resultado da soma do maior número de quatro ordens com o menor de cinco algarismos é O maior número que se pode escrever com os sete algarismos romanos, sem repetir nenhum deles, nem lhes sobrepor traços horizontais é o MDCLXVI. TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 7

8 IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL A identificação de uma base de numeração nem sempre é a quantidade de símbolos criados, pois o que determina a base de numeração é o número de unidades necessária, em uma certa ordem, para a formação de uma unidade de ordem imediatamente superior. Existem sistemas de numeração com uma certa base, mas pautada em outra base auxiliar ou, ainda, combinada e com quantidade de símbolos diferente tanto da base principal quanto da base auxiliar. Por exemplo, o sistema de numeração dos Maias é de base vigesimal com auxílio da base quinária. Este sistema possui três símbolos, sendo o zero representado por uma concha e os outros dois símbolos, a saber, o ponto e a barra horizontal correspondendo, respectivamente, a quantidade um e cinco. A utilização destes dois últimos símbolos é, no máximo, até quatro vezes seguidos. Números superiores a dezenove são escritos na vertical, segundo potências de vinte, em ordem, de baixo para cima. BASES DE NUMERAÇÃO COM MENOS DE DEZ ALGARISMOS Ex 1 : Base 7 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Ex 2 : Base 8 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} BASES DE NUMERAÇÃO COM MAIS DE DEZ ALGARISMOS Em função do aumento da base, criam-se símbolos (algarismos) em ordem crescente. Ex 1 : Base 12 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B} Ex 2 : Base 13 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,?,, } A CRIAÇÃO DE SÍMBOLOS NO INTERIOR DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO Para descobrirmos que base de numeração é o criado, devemos observar quando aparecem dois símbolos que representa uma quantidade no nosso sistema de numeração. Ex 1.: NOSSO CRIADO # # Resposta: Base 7 e, conforme o sistema de numeração acima, existe o numeral (82) 7. TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 8

9 Ex 2.: NOSSO CRIADO A 5 8 B Resposta: Base 10 NOMENCLATURA DE ALGUMAS BASES DE NUMERAÇÃO Base 2 : Binária Base 3: Terciária Base 4: Quaternária Base 5: Quinária Base 8: Octal Base 10 : Decimal Base 12 : Duodecimal Base 16 : Hexadecimal Base 20 : Vigesimal Base 60 : Sexagesimal O MAIOR NÚMERO EM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS BASE 10 1 algarismo algarismos algarismos BASE 7 1 algarismo algarismos 66 7x algarismos 666 7x7x Desta forma, se na base 10, 10 n possui n+1 algarismos, sendo n a quantidade de zeros no final do número, onde 10 n - 1 é o último número com n algarismos. Então, na base 7, 7 n possui n+1algarismos, sendo n a quantidade de zeros no final do número, onde 7 n 1 é o último número com n algarismos. TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 9

10 Por isso que a x, na base a, será 1, sendo a x -1 um número com vários símbolos x 1, ou seja,, representando o maior número de x algarismos. INTERVALO NO QUAL ENCONTRAMOS OS NUMERAIS COM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS BASE 10 Total de números Total de algarismos 2 algarismos 10 até 99 ou [10; 10 2 [ = x 2 = algarismos 100 até 999 ou [10 2 ; 10 3 [ = x 3 = algarismos 1000 até 9999 ou [10 3 ; 10 4 [ BASE = 9000 Total de números 9000 x 4 = Total de algarismos 2 algarismos 10 até 33 ou [4 1 ; 4 2 [ 16 4 = x 2 = 24 3 algarismos 100 até 333 ou [4 2 ; 4 3 [ = x 3 = 144 BASE 7 Total de números Total de algarismos 2 algarismos 10 até 66 ou [7 1 ; 7 2 [ 49 7 = x 2 = 84 3 algarismos 100 até 666 ou [7 2 ; 7 3 [ = x 3 = 882 Comentário 1:Nas bases de numeração, a contagem de números ou algarismos, que estão em uma certa ordem, é mais fácil quando utilizamos a potência dessas bases. Observe: Quantos números eu escrevo, na base 5, com três algarismos? Solução: Utilizando as potências, o intervalo será: [5 2 ; 5 3 [ Subtraindo, teremos: = 100 números. Repare que o número 5 3 = 125 não serve, por isso que a diferença é 100 e não 101. A quantidade de números com uma certa quantidade de algarismos, excetuando 1(um) algarismo, será: TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 10

11 a) Par, se a base de numeração for par somente; b) Ímpar, se a base de numeração for ímpar somente; c) Par, se a base de numeração for par, e a quantidade de algarismos for par somente; d) Sempre par, independentemente da base de numeração ou da quantidade de algarismos. No sistema de numeração nosso, o total de números com 100 algarismos é dado por 9x10 99, enquanto que, no sistema de base oito, será 7 x Comentário 2:Na questão anterior, trabalhamos a evidência na diferença. Observe: No sistema de base 6, o total de números com 20 algarismos é: Solução: Utilizando as potências, o intervalo será: [6 19 ; 6 20 [ Subtraindo, teremos: (6 1) 5 x CÁLCULO DA QUANTIDADE DE NÚMEROS COM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM QUALQUER BASE DE NUMERAÇÃO POSICIONAL T n = (b 1) x b n-1 Q n = (b 1) x b n-1 x n T n = Total de números, Q n = Quantidade de algarismos e b = A base de numeração Todos de 1(um) algarismo: Todos de 2(dois) algarismos: Todos de 3(três) algarismos: T 1 =( b 1)x b 0 T 2 = (b 1)x b 1 T 3 = (b 1)x b 2 Q 1 =( b 1)x b 0 x 1 Q 2 =( b 1)x b 1 x 2 Q 3 =( b 1)x b 2 x 3 Todos de 4(quatro) algarismos: T 4 = (b 1)x b 3 Q 4 =( b 1)x b 3 x 4 Ex 1.:Todos os números de três algarismos, além da quantidade de algarismos, na base: a) Dez T 3 = (b 1)x b n-1 T 3 = (10-1) x 10 2 T 3 = 9 x 10 2 e Q 3 = 9 x 10 2 x 3 TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 11

12 b) Cinco T 3 = (b 1)x b n-1 T 3 = (5-1) x 5 2 T 3 = 4 x 5 2 e Q 3 = 4 x 5 2 x 3 c) Sete T 3 = (b 1)x b n-1 T 3 = (7-1) x 7 2 T 3 = 6 x 7 2 e Q 3 = 6 x 7 2 x 3 PARIDADE DE UM NUMERAL ESCRITO EM UMA BASE QUALQUER Para descobrirmos se um numeral é par ou ímpar, devemos distinguir se a base do sistema de numeração é par ou ímpar. Se a base de numeração é par, sua paridade dependerá do último algarismo, ou seja, se o último algarismo for par, o número será par; se o último algarismo for ímpar, o número será ímpar. Ex 1.: (4301) 8 Este número é ímpar, pois termina em algarismo ímpar. Ex 2. : (562) 8 Este número é par, pois termina em algarismo par. Se a base de numeração é ímpar, sua paridade dependerá da soma dos algarismos do numeral, ou seja, se a soma dos algarismos do numeral for par, o número será par; se a soma dos algarismos do numeral for ímpar, o número será ímpar. Ex 1.: (6011) 7 Este número é par, pois a soma dos algarismos é par. Ex 2. : (124) 7 Este número é ímpar, pois a soma dos algarismos é ímpar. BASES DE NUMERAÇÃO MISTA A identificação de uma base de numeração nem sempre é a quantidade de símbolos criados, pois o que determina a base de numeração é o número de unidades necessária, em uma certa ordem, para a formação de uma unidade de ordem imediatamente superior. Existem sistemas de numeração com uma certa base, mas pautada em outra base auxiliar ou, ainda, combinada e com quantidade de símbolos diferente tanto da base principal quanto da base auxiliar. Por exemplo, o sistema de numeração dos Maias é de base vigesimal com auxílio da base quinária. Este sistema possui três símbolos, sendo o zero representado por uma concha e os outros dois símbolos, a saber, o ponto e a barra horizontal correspondendo, respectivamente, a quantidade um e cinco. A utilização destes dois últimos símbolos é, no máximo, até quatro vezes seguidos(base auxiliar 5). Números superiores a dezenove são escritos na vertical, segundo potências de vinte, em ordem, de baixo para cima (base principal 20). Observe a ilustração abaixo: TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 12

13 Outro exemplo é o sistema de numeração dos esquimós (Inuítes) que se utiliza da base vigesimal combinada com a base quinária, porém com 20 símbolos, incluindo a representação do zero. APLICAÇÃO DA BASE DE NUMERAÇÃO MISTA 01. Foi criado um sistema de numeração posicional e horizontal com o crescimento das ordens da direita para a esquerda. No entanto, nas ordens pares, os símbolos são as nossas vogais {a, e, i, o, u}. Enquanto que, nas ordens ímpares, os símbolos são os nossos sete primeiros algarismos {0,1, 2, 3,4, 5, 6}. Desta forma, o crescimento numérico seria {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, o0, o1,.}. Perguntamos: a) Como seria o número 94 do nosso sistema decimal transposto para o sistema acima? Solução: Repare que a=0, e=1, i=2, o=3 e u= ª ordem(base 7) ª ordem(base 5) o 3 b) E o numeral e0a4 transposto para o sistema decimal nosso? Solução: (e0a4) 7 0 x5 0 x x5 0 xa x 5 1 x x5 1 xe Observe que, na multiplicação das bases mistas pelos algarismos, há um crescimento nos expoentes de cada base, alternadamente. TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 13

14 NÚMEROS NATURAIS ( ) É o conjunto de todos os números inteiros e positivos, além do zero. = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} NÚMEROS INTEIROS ( ) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} SUCESSÃO DOS NÚMEROS É um conceito dos números naturais ou inteiros pelo acréscimo de mais uma unidade. Ex 1.: O sucessor(consecutivo) do nº 7 é o nº 8; Ex 2.: O antecessor do nº 7 é o nº 6. NÚMEROS PARES (2k) É um conceito dos números naturais ou inteiros, sendo estes números múltiplos de 2(dois). Ex 1.:34 é par Ex 2.: 3,14 não é par NÚMEROS ÍMPARES (2k+1) É um conceito dos números naturais ou inteiros, sendo aqueles que não são múltiplos de 2. Ex 1.: 19 é ímpar Ex 2.: 1,9 não é ímpar SUCESSÃO DOS NÚMEROS PARES OU ÍMPARES A sucessão se dá pelo acréscimo de duas unidades. Ex 1.: O par sucessor(consecutivo) do nº 4 é o nº 6. TEMA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 14