A Matemática e o Malabarismo

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Iago César Furtado
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1 Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências do Porto Centro de Matemática da Universidade do Porto Seminário Diagonal 29/11/2012

2 Antigo Egipto Fragmento do papiro de Rhind (ca A.E.C).

3 Antigo Egipto Pintura egípcia (1994 a 1781 A.E.C).

4 Antigo Egipto A mais antiga representação conhecida mostrando malabaristas (1994 a 1781 A.E.C).

5 Matemáticos Ronald Graham (1935) foi um dos principais arquitectos do desenvolvimento da matemática discreta no século XX. Presidente da Sociedade Americana da Matemática de 1993 a 1994, ganhou o prémio Pólya em 1972, a medalha Euler em 1994, o prémio Lester R. Ford em 1991 e o prémio de carreira Steele em 2003; publicou mais de 300 artigos e 5 livros. Foi investigador principal dos laboratórios Bell durante muitos anos, tendo-os tornado um centro de pesquisa de topo, a nível mundial, em matemática discreta e ciência de computadores.

6 Ronald Graham Ronald Graham foi presidente da International Jugglers Association em 1972.

7 Ronald Graham Durante a licenciatura, Ronald Graham fez parte de um número de circo intitulado The Bouncing Bears. Actuou com o Cirque du Soleil.

Claude Shannon Claude Shannon (1916 2001) é um dos fundadores da era das comunicações electrónicas e o fundador da teoria da informação.

8 Claude Shannon Claude Shannon ( ) é um dos fundadores da era das comunicações electrónicas e o fundador da teoria da informação. Trabalhou nos Bell Labs em problemas matemáticos relacionados com comunicações e criptografia. Foi professor e investigador no MIT de 1956 a Shannon hobbies incluiam: clarinete, xadrez, monociclo e malabarismo.

David Eisenbud David Eisenbud (1947) e professor em Berkeley e foi director do Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) de 1997 a 2007.

9 David Eisenbud David Eisenbud (1947) e professor em Berkeley e foi director do Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) de 1997 a Foi presidente da Sociedade Americana de Matem atica de 2003 a Foi galardoado com o pr emio Steele em Eisenbud hobbies: m usica e malabarismo. Ant onio Machiavelo A Matem atica e o Malabarismo

Allen Knutson Allen Knutson (1969) é doutorado em Matemática pelo MIT, e é professor na Universidade de Cornell desde 2009. Foi galardoado com o prémio Levi L.

10 Allen Knutson Allen Knutson (1969) é doutorado em Matemática pelo MIT, e é professor na Universidade de Cornell desde Foi galardoado com o prémio Levi L. Conant em 2005, juntamente com Terence Tao, pelo artigo expositivo: Honeycombs and Sums of Hermitian Matrices, Notices of the AMS 48 (2001) Foi detentor do recorde mundial de 12 bolas em malabarismo envolvendo duas pessoas, de 1990 a 1995 (o actual recorde é 13).

11 A notação transposicional (site-swap) Como descrever/comunicar truques de malabarismo? Notação site-swap : (1981) Paul Klimek, Universidade da Califórnia em Santa Cruz; (1985) Bruce Tiemann e Bengt Magnusson, Instituto de Tecnologia da Califórnia; (1985) Mike Day, Colin Wright e Adam Chalcraft, Cambridge, Inglaterra. (Vanilla) Site-Swap: Bolas lançadas alternadamente pela mão direita e pela mão esquerda, de uma forma periódica. No máximo uma bola é lançada a cada momento.

12 Padrões Mão direita Mão esquerda tempo Mão direita Mão esquerda tempo

13 Padrões Mão direita Mão esquerda tempo

14 Site-swap

15 Site-swap m n n+1 m-1

16 Resultados Assim: mn (n + 1)(m 1) Exemplo: O número de bolas de um padrão malabar é igual à média aritmética dos respectivos números. Exemplo: ( ) = 5.

17 Resultados Será que 5412 é um padrão malabar? E 5124? E 5134? Uma sequência de p números, n 1, n 2,..., n p, é um padrão malabar (simples) se e só se os restos dos números i + n i, quando divididos por p, forem todos os números de 0 a p 1. Exemplos: = = = Podemos inverter isto para arranjar sequências malabares: , = 45524

18 Resultados O número de sequências malabares simples com b bolas e de período p é dado por 1 p d p onde µ é a função de Möbius. ( p ) ( µ (b + 1) d b d), d 1, se n for o produto de um número ímpar de primos distintos, µ(n) = 0, se na factorização de n em primos houver repetições, 1, se n for o produto de um número par de primos distintos. Há 12 padrões malabares (simples), com b = 3 e p = 3: 423, 441, 504, 522, 531, 621, 603, 630, 711, 720, 801, 900.

19 Grafos de estados Grafo de estados com b = 3 e h = 5.

20 Grafos de estados Grafo de estados com b = 3 e h = 5.

21 A eterna questão Para que é que serve?

22 Claude Shannon Sempre segui os meus interesses sem grande consideração por valores financeiros ou valor para o mundo. Gastei muito tempo em coisas completamente inúteis.

23 Clavelina moluccensis

24 Aplicação à Geometria Algébrica

25 Schiller Apenas os que têm a paciência de fazer as coisas simples com perfeição adquirem a capacidade de fazer coisas difíceis com facilidade. Friedrich von Schiller ( )

26 Para saber mais Peter J. Beck, Arthur Lewbel, The Science of Juggling, Scientific American, November 1995, pp Joe Buhler, David Eisenbud, Ron Graham, Colin Wright, Juggling Drops and Descents, Amer. Math. Monthly 101 (1994), pp Steve Butler, Ron Graham, Enumerating (multiplex) juggling sequences, Ann. Comb. 13 (2010), no. 4, Allen Knutson, Thomas Lam, David Speyer, Positroid Varieties: Juggling and Geometry, arxiv: (15 Nov 2011). Burkard Polster, The Mathematics of Juggling, Springer A. Machiavelo, Algumas Observações sobre a Matemática Recreativa, Boletim da SPM 58 (2008), pp A. Machiavelo, Matemática e Malabarismo, Gazeta de Matemática 168 (2012), pp Claude Shannon, Scientific Aspects of Juggling, manuscript from ca. 1980, published in Claude Elwood Shannon, Collected Papers (Wiley 1993), Daniel Wolpert, The Real Reason for Brains, TED talk, 2011.

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