Regressão múltipla linear

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1 Regressão múltpla lnear (Análse de superfíces de tendênca) Coefcente de correlação lnear produto momento, segundo Pearson (r) SPXY = -( ) / n; SQX = - () / n; SQY = - () / n r cov(, ) var( )var( ) r SPXY SQX. SQY ( )( ) n 1 ( ) ( ). n 1 n 1 1 r: -1 à +1; r:, não há correlação lnear entre e. t r n, 1r Coefcente de determnação r*1%: fração da varânca total de e eplcada pela relação lnear; ajuste da dstrbução dos pontos em relação à reta. Regressão lnear Verfcado pelo valor de r que ocorre uma sgnfcante correlação lnear entre duas varáves há necessdade de quantfcar tal relação, o que é feto pela análse de regressão. 4 Modelo: equação de uma reta que, dsposta num sstema de eos cartesanos, com valores de (varável dependente) na ordenada e (varável ndependente) na abcssa, a soma dos quadrados dos desvos vertcas dos pontos em relação a ela seja mínma. 1

2 Equação da reta: Y = a + bx onde é o valor estmado para um específco valor ; b revela a nclnação da reta, ou seja o acréscmo ou decréscmo do valor de em relação à ; a locala na ordenada o ponto de nterseção da reta em relação ao sstema de coordenada retangulares. Utlando o método dos mínmos quadrados, os valores da equação da reta são determnados por: b SPXY SQX n n a b 5 6 Regressão curvlínea Y * a a X a X a X... 1 potêncas crescentes de, varável ndependente e coefcentes e : parábola com um únco ponto de nfleão com potêncas crescentes de, curva mas complea para ajuste processo por etapas (stepwse) Função quadrátca O modelo para a regressão polnomal de grau k é Y X X o 1... X k k 7 8

3 Função cúbca Etensão da regressão lnear Regressão lnear: a b Regressão múltpla lnear : b b1 b 9 1 (regressão polnomal) Ajustando uma superfíce de tendênca de 1º grau 1 Grau Grau Y Y Y Grau VARIÁVEL X X X LINHA PARABOLA CURVA DE GRAU Dados nterpolados Dados orgnas Z Z Z VARIÁVEL X X X PLANO PARABOLOIDE SUPERFÍCIE DE GRAU Y Y Y 11 1

4 1 O comportamento espacal de varáves mapeáves pode ser mostrado com os valores dstrbundo-se segundo curvas de mesmo valor, também conhecdas como sopletas. Tas mapas, como os topográfcos, fornecem mportantes nformações, porém, em algumas stuações os padrões de varação não se mostram muto claros devdo a flutuações locas ou a valores anômalos. É comum nessas crcunstâncas falar-se em tendêncas regonas que são mascaradas por anomalas locas. Método da análse de superfíces de tendênca: separação entre grandes e sstemátcas mudanças estentes na área e pequenas, aparentemente não ordenadas, que se mpõem aos padrões mas geras. 14 Regressão polnomal Superfíces contínuas calculadas por crtéros de regressão polnomal, onde Z é a varável dependente em função lnear das coordenadas X-Y dos pontos amostrados e rregularmente dstrbuídos O modelo para a representação da superfíce, pelo método dos polnômos não ortogonas, é: ( X, Y) [ a a1 a a a4...] e (, ) onde (X,Y) é a varável mapeada em função das coordenadas e e e representa os resíduos, ou seja, a fonte não-sstemátca de varação. Análse de superfíces de tendênca Representação de uma superfíce lnear (grau 1) Separação entre o aspecto estrutural (determnístco) e o aspécto errátco (casual): tendêncas regonas e pequenas, aparentemente não ordenadas flutuações, que se mpõem aos padrões mas geras. Detecção de anomalas: resíduos, postvos e negatvos, de superfíces de bao grau. Modelagem por suavação: verfcação da superfíce de mas alto grau possível que se ajuste aos dados. para o cálculo dos coefcentes a, os dados são dspostos num sstema de equações normas n a a1 a ( X, Y) a a1 a e [A] = [XY] -1 [Z]

5 5 Superfíce de grau n b b b b b b Cudados: procurar tecer consderações apenas em relação à área coberta pelos pontos evtando as etremdades dos mapas, pos a etrapolação pode apresentar dstorções; o número de pontos deve ser maor que o número de coefcentes do polnômo a ser calculado; o arranjo dos pontos, anda que rregular, deve ser casual e raoavelmente bem dstrbuído, evtando agrupamentos; 18 Quando da nversão da matr, por programas em mcrocomputador, podem ocorrer problemas com os resultados obtdos para superfíces de mas alto grau, sso porque em sstemas com valores de dversos dígtos, tpo UTM, a precsão computaconal se deterora egndo formato de dupla precsão. Mesmo assm podem ocorrer lmtações e, então, a solução é a transformação das coordenadas e, conforme as equações, que fornecem valores para as coordenadas entre e 1 e não modfca a forma das superfíces: mn ma mn * mn ma mn * 19

6 Verfcação do ajuste das superfíces: coefcente de determnação (R ) Proporção da varação total da varável dependente que é eplcada pela varação das varáves ndependentes e Varação total dos dados: SQT = Z (Z)/n Varação devdo à superfíce calculada: SQP = Z* (Z*)/n Varação devdo aos resíduos: SQR = SQT - SQP Superfíces de tendênca Superfíce orgnal com pontos de amostragem Lnear Quadratc Cubc Porcentagem de ajuste da superfíce: R = (SQP/SQT)1 1 O coefcente de correlação r ndca a relação entre varáves e r ndca o quanto uma varável eplca a outra, ou quanto a superfíce calculada se ajusta aos dados espacas orgnas. R = 45.4 % R = 8.11 % R = 9.7 % Eemplo Y 1 = ( (17.) = Equação do plano: Y = X X 4 6

7 Superfíce de grau 1 Resíduos postvos e negatvos 5 6 Amostragem/Ro Paraba: plancton 1 Eemplos

8 Superfíce lnear Resíduos da superfíce de tendênca Dengue na área urbana de Ro Claro/SP (1998-) Área urbana de Ro Claro/SP No muncípo de Ro Claro/SP a ncdênca da dengue aumentou de menos que 5 casos por 1. habtantes nos anos de 1998 e 1999 para 49 casos/1. hab. no ano de, num total de 588 casos confrmados Entre as áreas com ocorrênca da dengue destaca-se a regão nas promdades do cemtéro públco São João Baptsta e nas promdades da rodova estadual Washngton Luís 1 8

9 Superfíce de tendênca de 1o grau para ncdênca do dengue (casos por 1. habtantes)para. Fo verfcado para o ano de um total de 598 notfcações postvas com uma taa de ncdênca da ordem de 49 casos/1. habtantes Legenda Cemtéro Rodova Área Urbana Escala Gráfca 1 Km Superfíce de tendênca de 1o. grau (Incdênca casos/1. hab) Mapa de resíduos da superfíce de tendênca lnear Regressão polnomal (SURFER) Legenda Cemtéro Rodova Área Urbana Usar a matr de dados do eercíco (1 pontos de amostragem e varável Cd) 7516 Escala Gráfca 1 Km Resíduos da superfíce de tendênca de 1o. grau 5 6 9

10 Cálculo da superfíce lnear Entrar em Grd/Data e, em seguda, escolher a opção Grddng Method/ Polnomal Regresson e em Optons o grau da superfíce desejada. Caso quera gravar o arquvo com os valores do retculado com um nome especal, fae-lo usando Browse. 7 8 Impressão da superfíce Entrar em Map/Contour e escolher o arquvo *.grd recem calculado. Em seguda, na janela Contour Map decdr sobre Fll Contours, Color Scale, Smootng, Level, Fll e Label. O resultado sera um arquvo *.srf, que poderá ser gravado e mpresso 9 4 1

11 Cálculo e mpressão do mapa de resíduos Entrar em Grd/Resduals e escolher o arquvo *.grd e, em seguda, o correspondente arquvo *. dat. Na janela Grd Resduals aparecera a nformação Store resduals n column [ ]. Abrr a janela Worksheet e regravar o arquvo *.dat, agora com os valores resduas calculados. Abrl a janela Plot, e em seguda Grd. Na janela Grddng method escolher em Data Columns, como varável Z, a coluna com os valores resduas e em Grddng Method um algortmo para a confecção do mapa de valores resduas. Por eemplo Mnmum Curvature ou Natural Neghbor. Para a mpressão do mapa de resíduos segur os mesmos passos anterormente descrtos em Impressão da superfíce. 41 Mínma curvatura 4 Vnho natural e polígonos de Thessen 1 unr unr todos os os pares de pontos com segmentos de recta reta traçar a perpendcular a cada segmento de reta Polígono de Thessen Vnho natural 4 Ao ser adconado um novo ponto, os polígonos se modfcam. A área assocada a esse ponto é emprestada das estentes. O nterpolador usa medas ponderadas, onde os pesos são proporconas às áreas emprestadas

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