Fundamentos de Matemática I 2017

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1 PUC - ECEC - Escola de Ciências Exatas e da e Física Fundamentos de Matemática I 2017 GO, Fevereiro / 2017 Prof: Me. Samuel Lima Picanço 1 Expressões Algébricas e Polinômios 1.1 Expressões Algébricas Uma expressão algébrica pode ser entendida, de modo mais fácil, como uma forma genérica para representarmos os números. Isso mesmo! Os números que tanto causam pavor nas pessoas, podem ser representados por letras. Vejamos isso em exemplos: Primeiro Exemplo i) Como seria a representação de um número inteiro? Certamente você pensou em algum número inteiro (número que usamos para contar quantidades inteiras, positivas ou negativas) certo? Mas para representarmos um número, sem saber qual é ele, usamos uma letra. É comum usarmos o famoso x. Um número x ii) Qual seria o sucessor desse número? A palavra sucessor quer dizer o que vem após. Nesse caso, queremos escrever uma representação para o número inteiro que vem logo após ao x. Sucessor do número x + 1 iii) Qual seria o dobro do número que você pensou no item i? Para obtermos o dobro de um número, basta multiplicá-lo por 2. Sendo assim: O dobro do número 2x. Esta é ainda uma representação para um número par. Lembrando que o sucessor de um número inteiro par é sempre um número inteiro ímpar, então poderíamos representar um número ímpar por 2x+1. Notas de Aula do Professor - Expressões Algébricas iv) Qual seria a representação para o quadrado de um número? Levando-se em consideração que o número pode ser representado por x, o seu quadrado seria: O quadrado de um número x 2. Todas as potências com expoentes inteiros poderiam ser representadas como foi feito aqui nesse item. Use sua criatividade de bom algebrista para trabalhar esta ideia. Quero enfatizar aqui que acabamos de ver que podemos representar os números por letras e isso é de grande utilidade na resolução de problemas em matemática. É comum os estudantes fazerem confusões com isso. Tente relacionar a ideia com algo que vivencie no seu dia a dia. Imagine um número como uma fruta, por exemplo. Se zer isto, não vai errar. Ao olhar para 2x você pode pensar em duas maçãs. Pronto, agora você já sabe que cada um dos seus x é o equivalente a uma unidade de maçã. Se te pedirem para representar outro número (ou outra fruta), você terá que usar outra letra, como veremos no exemplo a seguir: Segundo Exemplo i) Como seria a representação para a soma de dois números? Bem, analogamente ao que zemos no Exemplo 1, iremos utilizar letras (frutas, lembra?) para generalizar estes números. Se um desses é o x (maçã), o outro pode ser o y (pêra). A soma de dois números x + y Quando esta ideia é introduzida, é muito comum as pessoas começarem a confundir as coisas. Não confunda: x + y é apenas x + y e nada mais. Não podemos somar dizendo que é 2x ou 2y. Se você os encarar como frutas, uma maçã mais uma pêra é apenas uma maçã mais uma pêra. A ideia para 1

2 a diferença é a mesma. A diferença entre dois números seria representada por x y. ii) Qual seria a representação para a soma dos quadrado de dois números? Aqui temos uma pergunta mais elaborada. Para escrever a soma dos quadrados de dois números, é necessário antes que se conheça o quadrado deles. Lembremo-nos aqui que, o quadrado de um número é ele multiplicado por ele mesmo. Depois de conhecer os quadrados, podemos somá-los. O quadrado de x é x 2 O quadrado de y é y 2 A soma dos quadrados x 2 + y 2. iii) Como seria a representação para o quadrado da soma? Embora seja comum os estudantes confundirem a soma dos quadrados com o quadrado da soma, estamos falando de coisas completamente diferentes. Note que aqui estamos interessados em primeiro somar dois valores para depois calcularmos o seu quadrado. Sendo assim: O quadrado da soma (x + y) 2. Para que você não erre e não confunda os itens ii e iii, vejamos a ilustração: Aqui temos a soma dos quadrados = 13 (2 + 3) 2 Aqui temos o quadrado da soma 5 2 = 25 É claro que 13 25, portanto (2 + 3) 2 Isto ilustra que x 2 + y 2 (x + y) 2. O último item do exemplo anterior nos motivou a pensar que, operar com as expressões algébricas pode não ser tão simples como operar com números. Isso é um fato: ao resolver por exemplo (2 + 3) 2 podemos nos concentrar primeiro em somar os valores dentro dos parênteses e depois calcular o quadrado do resultado. Quando estamos trabalhando com letras, torna-se necessário desenvolver técnicas e estratégias para muitas vezes mudar a forma de escrever uma expressão. Iremos falar agora de... 2 Produtos Notáveis O produto é o resultado de uma multiplicação. Aqui estamos nos referindo a produtos que podem ser calculados por meio de relações ou fórmulas pré-estabelecidas, já que aparecerão com muita frequência em nossos estudos.saber bem os produtos notáveis pode ser a chave do sucesso para que você compreenda futuramente um pouco do Cálculo Diferencial e Integral O Quadrado da Soma Já vimos que o quadrado da soma entre dois números pode ser representado por (x + y) 2. Mas esta será a única forma de escrever tal expressão? A resposta é não! Podemos desenvolver este produto (sim, (x + y) 2 = (x + y).(x + y) é um produto). Vamos inicialmente desenvolver o produto usando a propriedade distributiva: (x + y) 2 = (x + y).(x + y) Multiplicando todos os números do primeiro fator por todos os termos do segundo fator, temos: (x + y) 2 = x.x + x.y + y.x + y.y Note que x.y é a mesma coisa que y.x, pois a multiplicação de dois números é comutativa (a ordem dos fatores não altera o produto).sendo assim, podemos escrever x.y +x.y (aqui, pense em x.y como uma maçã). Então, uma maçã mais uma maçã é igual a duas maçãs. Logo xy + xy = 2xy. Óbvio que x.x = x 2 e y.y = y 2. Sendo assim, o produto ca: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 Note que o resultado obtido tem uma relação com os termos dentro dos parênteses. Irei enunciar a relação e encare-a como um lindo verso de uma poesia perfeita: "Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro número vezes o segundo número, mais o quadrado do segundo!" Muitas pessoas gostam de gravar fórmulas ou relações e para estes, podemos estabelecer o seguinte: (x + y) 2 = ( ) 2 + 2( )( ) + ( ) 2 Sendo que, no primeiro e no segundo parêntese você vai colocar o primeiro número da soma. No terceiro e no quarto parêntese você irá colocar o segundo termo 2

3 da soma. Não deve colocar o sinal pois, estamos estabelecendo uma relação para a soma de dois termos. Vale ressaltar que chamaremos de soma mesmo se os dois sinais dos termos dos parênteses forem negativos. ( x 2) 2 = ( ) 2 + 2( )( ) + ( ) 2 Nesse caso, o primeiro termo (ou parcela) da soma será o x e o segundo será o 2. ( x 2) 2 = (x) 2 + 2(x)(2) + (2) 2 Desenvolvendo o lado direito da igualdade, temos: ( x 2) 2 = x 2 + 4x + 4 É importante notar que depois de desenvolver um quadrado da soma obtemos um trinômio (três termos) e esse trinômio é especial. Ele é chamado de Trinômio Quadrado Perfeito. Sabe por quê? Porque independente do valor que você escolher para x, ao substituir esse valor no trinômio, o resultado será um número quadrado perfeito. Um quadrado perfeito é um número que possui raiz exata. Vamos testar? No triômio x 2 + 4x + 4 do exemplo anterior, vamos escolher x = Lembre-se de que 81 = 9, portanto é um quadrado perfeito. Tente explicar o porquê disso! O Quadrado da Diferença O que diferencia o quadrado da soma do quadrado da diferença é simplesmente o seguinte: os sinais dos dois termos do parêntese será DIFERENTE. Não importa a ordem, se os termos forem diferentes, temos um Quadrado da Diferença. Veremos agora como obter uma relação para este produto notável. (x y) 2 = (x y).(x y) Desenvolvendo o lado direito da igualdade, assim como zemos para a soma (aqui, tome cuidado com a danada da multiplicação de sinais, lembra? Multiplicando-se dois números com sinais diferentes o resultado será negativo, já se os sinais forem iguais, o resultado será positivo.) (x y) 2 = x.x + x.( y) y(x) + ( y).( y) É super conveniente e aconselhável que você utilize ( ) para organizar os termos negativos. Lembra que a multiplicação é comutativa? Então x.( y) = y.x. Portanto podemos escrever xy no primeiro e também no segundo. Sendo assim, xy xy = 2xy. Para entender e nunca mais errar, pense em xy como 1 real. O menos antes signica que você deve. Então, você deve 1 real para uma pessoa e 1 real para outra pessoa. Sendo assim, você deve 2 reais e irá representar isso com 2, mas no nosso caso, 2xy. No último termo, ( y).( y) = y 2 pois estamos multiplicando termos com mesmo sinais. Então, o produto ca assim: (x y) 2 = x 2 2xy + y 2 Assim como para o produto da soma existe uma fórmula,aqui também. Observe que a única coisa que mudou no resultado foi o sinal do termo do meio. (x y) 2 = ( ) 2 2( )( ) + ( ) 2 Vale ressaltar que este também é um Trinômio Quadrado Perfeito e irei deixar com você o teste. A partir de agora, todas as vezes que você for desenvolver algo do tipo, poderá simplesmente recorrer à fórmula O Produto da Soma Pela Diferença Aqui, estamos falando em um produto entre dois fatores especiais. Esses fatores são formados por uma soma e por uma diferença entre dois termos. (x + y)(x y) = Aqui o produto já está explicitado e iremos usar também a propriedade distributiva. (x + y)(x y) = x.x + x( y) + y.x + y( y) Desenvolvendo os produtos e lembrando que x( y) = xy e y.x = xy, podemos cancelar estes dois termos por serem opostos. Sendo assim irá sobrar apenas x.x = x 2 e y.( y) = y 2. (x + y)(x y) = x 2 y 2 O poema aqui é mais fácil. "O quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo." Podemos escrever aqui a fórmula assim: (x + y)(x y) = ( ) 2 ( ) 2 3

4 Sendo que no primeiro parêntese você irá colocar o primeiro termo da soma(ou diferença) e no segundo, o segundo termo da soma (ou diferença). Nada de colocar os sinais dentro dos parênteses. Aqui, o resultado do produto tem apenas dois termos, logo não são trinômios. Como os dois termos estão elevados ao quadrado, dizemos que há uma diferença entre dois quadrados. Recaptulando até aqui: o resultado de um quadrado da soma ou da diferença - trinômio quadrado perfeito. O resultado de um produto da soma pela diferença - diferença entre dois quadrados O Cubo da Soma Bem, se o quadrado da soma é obtido fazendo-se uma soma e elevando ao quadrado, aqui estamos falando de uma soma elevada ao cubo. (x + y) 3 = (x + y)(x + y)(x + y) Deixarei para que você pratique a álgebra aqui e obtenha os resutados esperados. A dica é: (x + y) 3 = (x + y)(x 2 + 2xy + y 2 ). Ao nal, o resultado que você deve chegar é: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 Vamos estabelecer a relação por meio de uma fórmula: (x + y) 3 = ( ) 3 + 3( ) 2 ( ) + 3( )( ) 2 + ( ) 3 Note que aqui temos 4 termos ao nal do desenvolvimento e ao todo aparecem 6 parênteses. Nos três primeiros você deve colocar o primeiro termo da soma e nos três últimos, o segundo termo da soma. Nada de sinal hein! O Cubo da Diferença Analogamente, para o cubo da diferença temos: (x y) 3 = (x y)(x y)(x y) Também é bom que você pratique suas habilidades de bom algebrista aqui. A dica do momento é: (x y) 3 = (x y)(x y) 2. No m você deve chegar em: (x y) 3 = x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3 Observe que os sinais negativos são dos termos que ocupam posição par (o primeiro e o segundo respectivamente). Vamos estabelecer a relação por meio de uma fórmula: (x + y) 3 = ( ) 3 3( ) 2 ( ) + 3( )( ) 2 ( ) 3 Que tal praticarmos agora?deixarei alguns exercícios para que você resolva, usando as relações dos produtos notáveis: Questão 1. Resolta os seguintes produtos notáveis. Faça calmamente usando as fórmulas até ter segurança de fazer direto: a) (x + 1) 2 = b) (x 1) 2 = c) (2x + 1) 2 = d) ( 3x + 4) 2 = e) (2x 2 + 5) 2 f ) (2x + 5)(2x 5) = g) (2x 1)(2x + 1) = h) (2x + 3) 3 = i) (3x 1) 3 ( j) 2x 2) 1 2 = 3 Fatoração de Polinômios Na seção anterior vimos como desenvolver produtos por meio de relações, os chamados produtos notáveis. Vimos 5 relações e é bom que que claro que existem outras relações que você irá descobrindo ao longo de seus estudos.vamos agora aprender a fatorar os Polinômios. Fatorar signica escrever um polinômio como produto de fatores mais simples. Fazemos isso o tempo todo com números. Por exemplo, ao decompor o 20 obtemos os fatores 2 2 e 5 (Teorema Fundamental da Aritmética, depois leia sobre isso). Logo 20 = Lembra que foi dito que, um polinômio é uma forma de representar números? Portanto as coisas que fazemos com números podemos fazer também com os polinômios, e iremos agora aprender a fatorar um. Iremos trabalhar os processos mais comuns de fatoração, os que aparecem mais, e os outros que forem surgindo durante seus estudos, tiramos as dúvidas em sala. 4

5 3.0.1 Fator Comum em Evidência Obseve a expressão polinomial a seguir: 3x 15 O que ela tem de especial? Aparentemente nada,mas você vai passar a observar estas coisas com mais carinho e verá que, nesta pequena expressão, o 3 é um fator comum. O que isto signica? Que todos os termos da expressão (as parcelas da soma) podem ser dividas por 3. "E o que isso acrescente em minha vida?"você deve ter pensado.no momento isso talvez não sirva para nada mas certamente num futuro bem próximo você vai precisar desse "truque" 3x 15 = 3(x 5) Note que o lado direito da igualdade foi obtido da seguinte forma: dividimos todos os termos por 3 e indicamos no parêntese o resultado da divisão. Caso desenvolvamos o lado direito, voltamos para resultado de antes, o lado esquerdo. Olha agora este polinômio: x 2 5x O que todos os termos têm em comum? Isso mesmo, o fator x. Ele é o fator comum e como tal, pode ser colocado em evidência. x 2 5x = x(x 5) Novamente o lado direito foi obtido da forma como mencionado no caso anterior. Dividimos tudo por x e indicamos o resultado da divisão dentro do parêntese. Como já disse, isto lhe será útil e não vai demorar muito para você perceber. Toda expressão polinomial em que um fator comum é percebido poderá ser reescrita como um produto entre o fator comum e o resultado da divisão da expressão por ele. (TQP) é o resultado de um produto notável (o quadrado da soma ou quadrado da diferença). Sendo assim, ao detectarmos um TQP, podemos escrevê-lo de forma fatorada. Vejamos como: x 2 + 4x + 4 Primeira coisa: é claro para que isto é um trinômio pois é uma expressão polinomial com 3 termos. Agora, o que torna tão especial? Vejamos já já. Segunda coisa: se os sinais do primeiro e do terceiro termo forem diferentes, então o trinômio não é um TQP. Terceira coisa: se os sinais dos termos mencionados antes forem iguais as chances do trinômio serem um TQP aumentaram. Calcule a raiz quadrada do primeiro termo e do terceiro. Se, ao multiplicar estas raízes uma pela outra e em seguida por 2, o resultado for o termo do meio, então o trinômio é um TQP. Vamos testar? x2 = x 4 = 2 x (raiz do primeiro) vezes 2 (raiz do terceiro) vezes 2 é igual a 4x (termo do meio). Portanto este trinômio é um TQP. Sua forma fatorada será: (x + 2) 2, sendo os termos de dentro do parêntese as raízes do primeiro e do terceiro termo do trinômio. x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 Vale ressaltar que se, o sinal do termo do meio for igual ao sinal dos demais termos, então na forma fatorada usaremos sinais iguais. Nesse caso todos os termos são positivos. Vejamos outros casos: x 2 2x + 1 Temos um trinômio e queremos classicá-lo como quadrado perfeito ou não. Se for quadrado perfeito vamos fatorá-lo. x2 = x Fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito Um trinômio é simplesmente uma expressão algébrica polinomial com 3 termos. Dentre todos os polinômios que você imaginou no momento, há um tipo super especial: o Trinômio Quadrado Perfeito. Já falei sobre ele antes, lembra? Um Trinômio Quadrado Perfeito e 1 = 1 O produto das raízes entre si e depois por 2 resulta no termo do meio, portanto este é um TQP. Sua forma fatorada será: x 2 2x + 1 = (x 1) 2 5

6 Nesse caso temos o quadrado da diferença pois o sinal do termo do meio é diferente dos demais sinais. Uma observação importante aqui é a seguinte: x 2 = x, mas estamos considerando que x 0 por questões práticas. O fundamental para você aprender a diferenciar as formas de se fatorar um polinômio é fazendo muito exerício. A seguir veremos mais uma regra Fatoração da Diferença Entre Dois Quadrados Esta é uma regra muito simples de ser usada, bem como reconhecer quando usá-la. x 2 4 Note que estamos trabalhando com uma expressão polinomial de apenas dois termos (um binômio) e que os sinais dos termos são diferentes. Devemos lembrar que esta expressão é o resultado de um produto da soma pela diferença e queremos fazer o processo contrário: voltar para a forma fatorada. Tome a raiz dos termos que aparecem na expressão: x2 = x e 4 = 2 Agora basta escrever uma soma e uma diferença com esses termos, assim: x 2 4 = (x + 2).(x 2) É bem simples de se aplicar esta regra de fatoração, exercite bastante para não errar Fatoração de Trinômios do Tipo x 2 + Sx + P Como fazer para fatorar trinômios que não são TQP? É claro que nem todos permitirão a você esta facilidade, de escrevê-los de forma fatorada. Em alguns trinômios em que o termo que multiplica o x 2 é 1, o termo do meio pode ser escrito como a soma de dois números e o termo independente é o produto desses mesmos termos. Vejamos isso na prática: { 6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6}.Agora, aos pares, separe os números desse conjunto e veja qual é o par deles cuja soma é 5 (termo do meio do trinômio). Percebemos que os números que multiplicados resultam em 6 somados resultam em 5 são 2 e 3. Sendo assim, podemos escrever o trinômio da seguinte forma: x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Note que 5 é a soma de dois números e 6 é o produto deles, nesse caso, 2 e 3. Existem outras formas de fatorar polinômios e conforme elas aparecerem iremos discutindo. As mais usuais são estas que vimos. Hora de praticar. Questão 2. Use uma regra conveniente para fatorar os seguintes polinômios: a) x 2 + 8x + 16 b) x 2 4x c) x 2 x d) x 2 7x + 10 e) 4x 2 + 4x + 1 f ) 25x 2 16 g) x 3 2x 2 + x h) 9x 2 + 6x 1 i) x 2 2 j) x x + 20 Você deve se perguntar: e quando o termo que multiplica o x 2 não for 1? Nesse caso iremos estudar adiante como proceder. Sugestão de vídeo: D1CZ10o4 x 2 5x + 6 Pense assim: quais são os divisores inteiros do 6 (termo independente)? A resposta é: 6