ESTATÍSTICA Aplicada à METROLOGIA

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1 ESTATÍSTICA Aplicada à METROLOGIA José Carlos BORGES Supervisor de Radioproteção da Fundação Hemocentro de Ribeirão Preto - FUNDHERP Diretor de P&D do Centro de Ensaios e Pesquisa em Metrologia - METROBRAS Professor aposentado do Depto. de Engenharia Nuclear da COPPE - UFRJ Áreas de atuação : Radioproteção - Metrologia das Radiações

2 Estatística A necessidade de se estudar estatística decorre da natureza ALEATÓRIA do FENÔMENO e da MEDIÇÃO. Isto requer que os dados obtidos sejam objeto de : Análise dos dados, interpretação do resultado da medição que darão respaldo à : tomada de decisão.

3 Quando medimos algum mensurando ( PROPRIEDADE de um fenômeno ), temos em mente realizar alguma coisa com o resultado da medida, ainda que seja tão somente comunicar o resultado. Ocorre que os resultados da medição ( CONJUNTO de medidas ) estão quase sempre afetados por erros, que podemos chamar de equívoco, distração ou fraude mas, também, erros intrínsecos, que não podem ser eliminados, por mais que nos esforcemos, mas que podem ser reduzidos. Para tanto, precisam ser : estudados e compreendidos.

4 EXEMPLO Medir a espessura de placas de aço ( controlar sua qualidade durante a fabricação ) parece, a priori, uma operação que, se feita com cuidado e com um bom instrumento, levará a um resultado que não poderá ser posto em dúvida. Entretanto, como é impossível determinarmos o valor real da espessura da placa, o melhor que podemos fazer é medirmos a espessura com uma qualidade excelente, tão grande que qualquer esforço para melhora-la seja desnecessário ou inadequado, tendo em vista o que se pretende fazer coma placa. Como não podemos evitar completamente os erros de medição, devemos aprender a conviver com eles.

5 Por que sempre haverá erros? Entre outras razões, porque a espessura pode depender de : Temperatura - pressão - umidade do ambiente ; local medido na placa ( espessura não uniforme ) ; características limitadoras do instrumento utilizado ( estabilidade, resolução, etc. )

6 Outro problema é a disponibilidade dos objetos medidos. Nem sempre temos acesso a todos os elementos que compõem o que chamamos de população - objeto de estudo. GERALMENTE, PODEMOS / TEMOS QUE estudar - medir apenas uma porção da população, chamada amostra Exemplo : pesquisa eleitoral para prefeito População : todos os eleitores da cidade ( ) Amostra : eleitores da cidade

7 RAZÕES - NECESSIDADES para se realizar medições : controlar a qualidade de um produto, planejar atividades, determinar causas e efeitos, aprimorar processos, para conhecer o comportamento de sistemas. Para que os resultados da medição sejam corretos / adequados permitindo que tomemos decisões acertadas / otimizadas, necessitamos de ferramentas estatísticas padronizadas que transformem dados qualitativos ou quantitativos em resultados válidos suficientemente exatos e com incertezas aceitáveis.

8 ESTATÍSTICA Conjunto de ferramentas ( instruções) padronizadas para Escolher amostras - Planejar medidas Processar e apresentar dados na forma de tabelas, gráficos, etc. ( estatística descritiva ) Cujos resultados nos forneçam as características da amostra, que nos permitam deduzir as propriedade da população ( inferência estatística )

9 TIPOS DE DADOS ESTATÍSTICOS As ferramentas estatísticas aplicam-se não somente a dados quantitativos ( valores numéricos ), mas também a : dados qualitativos dados semi-quantitativos Exemplo : verificar a natureza dos dados ( variáveis ), estabelecer uma classificação para cada tipo e nomear suas características.

10 Um laboratório de calibração de dectetores tem alguns equipamentos na prateleira, prontos para serem retirados por seus usuários. 05 detetores tipo Geiger, 04 câmaras de ionização, 06 contadores proporcionais e 03 detectores de cintilação de estado sólido. Alguns desses aparelhos já passaram por calibração anteriormente : 03 estão sendo calibrados pela primeira vez, 09 já foram calibrados 1 vez antes e 07 já foram calibrados 3 vezes. Os equipamentos estão em sete faixas de preço: 02 na categoria A, 06 na B, 01 na C, 03 na categoria D, 03 na E, 03 na F e 01 na categoria G sendo A os mais baratos e G os mais caros.

11 Na forma de tabela, esses dados ficam mais fáceis de serem analisados : Tabela 1 - Tipo de aparelho Tipo de aparelho N o. de detect. Tabela 2 - N o. De calibrações N o. de calibrações N o. de aparelhos Tabela 3 - Faixa de preço Faixa de preço No. de aparelhos Detector geiger A 2 Câmara ionização B 6 Contador proporcional C 1 Detector cintilação 3 D 3 E 3 F 3 G 1

12 Que tipos de dados estatísticos ( variáveis estatísticas ) estão sendo apresentados nessas tabelas? Na 1 ª tabela, o dado estatístico é tipo de detector na 2 ª é número de calibrações e na 3 ª é faixa de preço. Vamos começar com a 2a tabela Os números da segunda coluna são as frequências de cada categoria da 1a coluna: Dados da tabela 2 Variável: número de calibrações Valores da variável : 1, 2 e 3 Freqüências de cada valor : 3, 9 e 7.

13 Examinando a 1a tabela. Os números que aparecem na frente de cada tipo de detector da tabela 1 são as freqüências de cada tipo. Dados da tabela 1 : Variável : tipo de detector. Valores da variável : detector Geiger, câmara de ionização, contador proporcional, cintilador. Frequências de cada valor : 5, 4, 7 e 3.

14 No caso da tabela 2, os valores da variável são números. No caso da tabela 1, os valores são palavras. Isso faz diferença? Sim! Os dados qualitativos da tabela 1 são chamados dados nominais e os dados quantitativos da tabela 2 são chamados dados intervalares e o tratamento que se pode/deve dar a cada tipo é diferente.

15 Examinando a Tabela 3 Dados da tabela 3 Variável : faixa de preço. Valores da variável : A, B, C, D, E, F e G Freqüências de cada valor: 2, 6, 1, 3, 3, 3 e 1 Neste caso, as variáveis são letras MAS a ordem dos valores é pré-definida. Cada letra corresponde a uma faixa de preço maior que a da letra precedente. A esse tipo de variáveis damos o nome de dados ordinais

16 8 Histograma de Frequência : Tipo de Detector Geiger Muller 2 Câmara de Ionização 3 Contador Proporcional 4. Detector de Cintilação

17 Exemplos de tipos de dados estatísticos Tipo de dados Exemplos de variáveis Valores possíveis Dados nominais sexo feminino; masculino; Indefinido estado civil solteiro; casado; divorciado tipo sanguíneo A ; B ; AB ; O tipo de emissão radioativa Alfa, gama, raio X, nêutron, pósitron Dados ordinais classe social A; B; C; D; E etc. escolaridade 1 o ; 2 o ; 3 o classe de radiotoxicidade da Tabela V (3.01) I; II; III; IV; V Dados intervalares peso 1,5 ; 7,38 ; 40 ; 50 ; 250 ( qualquer número ) altura 1,57 ; 1,75 ; 7,2 ; 8500 ( qualquer número ) energia da radiação 5,7 ; 370 ; 660 ; 1,17 ( qualquer número ) tensão de operação 600 ; 800 ; 400 ; 550 ( qualquer número )

18 Exemplo Resultado de um ensaio de espectrometria gama: O número de fótons de cada energia ( eixo x ) que é contado pelo detector ( eixo y ). FREQÜÊNCIA VARIÁVEL Figura 1 Espectro gama do Cobalto-57.

19 DETERMINAÇÃO DE ERROS EXPERIMENTAIS Quando um cientista/analista/operador faz uma medição, em geral, assume que exista um valor verdadeiro daquilo que está medindo. Quando relata o resultado, em geral, o que faz é especificar uma faixa de valores dentro da qual espera que o valor verdadeiro esteja. A forma usual de especificar esta faixa de valores é: Valor Medido = melhor estimativa do valor ± incerteza Avaliar esta incerteza é o objetivo da determinação de erros experimentais.

20 Devemos ter conhecimento das fontes de erros na medição e de quanto eles afetam o resultado. Isto implica: Identificar as fontes de erro Eliminar os erros que puderem ser evitados Quantificar os erros inevitáveis Padronizar os efeitos desses erros por meio do registro da incerteza nos resultados da medição Os erros que podem e devem ser controlados são chamados de erros sistemáticos. Os erros que não podem ser controlados são chamados de erros aleatórios

21 ERROS SISTEMÁTICOS Os erros sistemáticos estão relacionados com o uso de equipamentos descalibrados, aplicação de procedimentos inadequados ou emprego dos modelos, subjacentes ao processo de medição, conceitualmente errados. A ) Falta de calibração O elemento mais crítico de qualquer processo de medição é a relação entre uma medida e o padrão da unidade de medida, ou seja, a calibração do instrumento.

22 A calibração é a comparação entre a indicação do instrumento e o valor do padrão mantido por um laboratório de referência para as unidades das respectivas grandezas. Tabela 5 - Exemplo de grandezas e suas unidades de medida grandeza unidade do SI outros sistemas comprimento metro polegada, milha massa quilograma arroba, onça atividade becquerel curie exposição coulomb por quilograma röentgen

23 Erro ou falta de calibração do instrumento de medida. FONTE DE RADIA ÇÃO FONTE DE RADIA ÇÃO DETETO R CALIBR ADO DETETOR DESCALIB RADO Tanto a régua quanto o detetor indicarão, sistematicamente, valores diferentes dos verdadeiros. A régua mostrada na figura sempre vai subestimar o comprimento verdadeiro. O detetor vai sempre superestimar a intensidade da radiação.

24 B ) Equívoco / Engano Falhas nos procedimentos de medição são as fontes de erro mais sujeitas ao controle do experimentador ( quem faz a medida ). Erros do operador PADRÃO DE COMPRIMENTO OBJETO RÉGUA CALIBRADA, PORÉM MAL USADA FONTE DE RADIAÇÃ O FONTE DE RADIAÇÃ O DETETOR CALIBRADO DETETOR CALIBRADO EM POSIÇÃO ERRADA

25 C ) Erro conceitual O modelo conceitual equivocado é uma fonte de erro sistemático que, frequentemente, passa desapercebida. Exemplo de erro sistemático, importante na área radiológica : utilizar um instrumento inadequado para medir diferentes tipos de radiação.

26 ERROS ALEATÓRIOS São causados por variações incontroláveis nos instrumentos de medida, acarretando a não repetição dos valores observados em medidas consecutivas Mesmo instrumentos muito BONS exibem pequenas variações aleatórias. Essas variações são descritas por dois termos : precisão e repetibilidade que podem ser usados como sinônimos de estabilidade. Tabela 6 - Valores das contagens dos fótons provenientes de uma fonte que foram detectados por um detector Geiger Medida 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a Resultado

27 EXATIDÃO E PRECISÃO Os dois tipos de erros descritos são distinguidos e expressos pelas exatidão e precisão das medidas. TIROS PRECISOS E INEXATOS TIROS PRECISOS E EXATOS TIROS IMPRECISOS E INEXATOS TIROS IMPRECISOS E EXATOS

28 FREQÜÊNCIA Exemplo Observe o gráfico abaixo. No eixo x, estão os valores obtidos em uma série de medidas de um mesmo objeto. No eixo y, estão as freqüências dos ( quantas vezes cada valor foi obtido ). As medições foram feitas com quatro instrumentos diferentes. QUALIDADE DOS INSTRUMENTOS A EXATO E PRECISO C A B D B EXATO E IMPRECISO C INEXATO E PRECISO D INEXATO E IMPRECISO VALOR OBSERVADO VALOR VERDADEIRO Figura 6 - Representação gráfica de exatidão e precisão.

29 A curva A contém os resultados de um instrumento exato, pois os valores obtidos estão próximos do valor verdadeiro, e preciso, pois os valores estão pouco dispersos. A curva B contém os resultados de um instrumento exato, pois os valores estão próximos do valor verdadeiro, e impreciso, pois os valores estão mais dispersos. A curva C contém os resultados de um instrumento inexato, pois os valores se concentram em torno de um valor distante do valor verdadeiro, porém preciso, já que os resultados estão bem agrupados. A curva D contém os resultados de um instrumento inexato, pois os valores estão distantes do valor verdadeiro, e impreciso, pois os resultados estão mais dispersos.

30 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Algarismo significativo é aquele ao qual está associado um significado físico e deve dar uma informação correta do valor real de uma grandeza.

31 AVALIAÇÃO DE INCERTEZAS A incerteza em um resultado, a partir de uma única Uma única medida medida, depende muito de inúmeras condições do processo de medição mas, em geral, pode ser estimada como sendo metade da menor divisão da escala do instrumento. Exemplo de medidas com diferentes precisões medida de X = 4,70 cm - o 7 exato e o 0 incerto Estimativa de X = 4,7 cm - o 7 é incerto

32 Várias medições : A incerteza de uma média de uma série de medidas do mesmo objeto é o desvio padrão ( s ) das medidas. s é a medida mais comum da dispersão estatística. Ele mostra o quanto de variação ou "dispersão" existe em relação à média ( ou valor esperado ). Um desvio padrão pequeno indica que os dados tendem a estar próximos da média. Um desvio padrão alto indica que os dados estão bastante espalhados em relação à média.

33 O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da variância. É definido de maneira a dar-nos uma medida de dispersão que : Seja um número não-negativo; Use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos inicialmente. Fórmula da Variância Fórmula do Desvio Padrão O Coeficiente de Variação é obtido pela razão entre o desvio-padrão e a média Indica se a dispersão é grande em relação à média.

34 ERRO DE / POR ARREDONDAMENTO Arredondamento é a operação que Elimina algarismos do número e, portanto, diminuindo o número de algarismos significativos, aumenta o erro (? )

35 PROPAGAÇÃO DE ERROS EXPERIMENTAIS Muitas vezes, a grandeza que se quer avaliar não pode ser medida diretamente com um instrumento. Para determiná-la, medimos outras grandezas relacionadas. Se uma grandeza z é função de outras grandezas x e y : z = f ( x, y ) a expressão que nos dará a incerteza s ( z ) será : s(z) 2 z x s 2 x 2 z y s 2 y

36 A expressão z x significa a derivada parcial de z em relação à variável x Exemplo : incerteza na determinação da distância percorrida por um objeto a partir da medida da velocidade e do tempo: Seja v = 10,1 ± 0,5 e t = 6,3 ± 0,1. Qual a distância percorrida e a incerteza no resultado? D = v. t = 10,1. 6,3 = 63,63 Arredondando para a quantidade correta de algarismos significativos a resposta é 64

37 Para estimarmos a incerteza no resultado, utilizamos a expressão para s ( z ) e as funções derivadas : D v t D t v s v = 0,5 s t = 0,1 s D t 2 s 2 v v 2 s 2 t 6,3 2 0,5 2 10,1 2 0,1 2 3,3079 3

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