Minicurso sobre Deconvolução em Imagens

Transcrição

1 Primeiro Encontro VII Encontro de Ciência e Tecnologia FGA/UnB Campus Gama - FGA Universidade de Brasília 18 de Novembro de 2015

2 Parte I Introdução

3 Motivação Porque diabos estamos aqui para estudar mais matemática? - Porquê vocês são demais! :) Na verdade, nosso problema consiste em recuperar imagens como essa abaixo!

4 Motivação Porque diabos estamos aqui para estudar mais matemática? - Porquê vocês são demais! :) Na verdade, nosso problema consiste em recuperar imagens como essa abaixo!

5 Motivação Sério mesmo que dá pra fazer isso? É bruxaria? É culpa das estrelas? - Sério! É possível, não é bruxaria e muito menos depende das estrelas! :) O problema é: não é tão simples e trivial como parece nas fotos! =P - É um procedimento "bastante não-linear"!

6 Motivação Sério mesmo que dá pra fazer isso? É bruxaria? É culpa das estrelas? - Sério! É possível, não é bruxaria e muito menos depende das estrelas! :) O problema é: não é tão simples e trivial como parece nas fotos! =P - É um procedimento "bastante não-linear"!

7 Porque é importante esse assunto? Esse problema é conhecido como Deconvolução (neste caso chamada de Não-Cega) - Ele pertence a uma classe de problemas chamado Problema Inverso Problemas inversos são comuns na engenharia: - A NASA utilizava a Deconvolução Cega para correções das imagens do Hubble; - Pode ser usado na Sismologia para localizar em que ponto do inteiror da terra se iniciou o terremoto; - É usado bastante na Meteorologia (o INPE tem um grande pesquisador nesse assunto); - Engenharia biomédica (meu caso!).

8 Porque é importante esse assunto? Porque então a gente não tem uma disciplina sobre esse assunto então? - Medo da matemática! - Pouco se estuda isso no Brasil (essa disciplina não existe na UnB em nenhum nível) - Currículos defasados! Quem domina esse assunto? Gringos! - Asiáticos e - Americanos! Estou aqui para introduzir o assunto a vocês e também aprender! :) - Precisei usar um pouco dele no meu doutorado e me apaixonei!

9 Porque é importante esse assunto? Vamos ao que interessa! Mas, antes precisamos revisar algumas coisas e aprender outras...

10 Parte II Imagens

11 Imagem como função Podemos imaginar que a intensidade de luz que atingiu um plano é uma função da sua posição. Desta forma, se Ω R 2 é o domínio da imagem. Então, uma imagem pode ser descrita como uma função I : Ω R. (1) Esse é um modelo matemático ideal de uma imagem.

12 Imagem como função: Exemplo!

13 Amostragem Como não podemos armazenar valores continuamente no plano da imagem, então um número finito de sensores é organizado em uma malha.

14 Imagens como funções discretas Depois de amostrada adequadamente uma imagem é uma função discreta. O domínio da imagem agora é discreto e também o seu contradomínio em que K N e ϕ n R. Ω N 2. I : Ω {ϕ 1, ϕ 2,, ϕ k }, (2)

15 Representando uma imagem A estrutura de dados para uma imagem é simplesmente um arranjo 2D de valores, isto é, uma matriz. Os valores no arranjo podem ser quaisquer tipo de dados (bit, byte, int, float, double,...). - Cada entrada da matriz I(u, v) é chamado de pixel; - Exemplo: uma TV Full HD tem pixels, isto é, ela é uma matriz com 1920 colunas e 1080 linhas.

16 Imagens e o MATLAB O MATLAB já vem com uma Toolbox pronta para trabalhar com imagens (Image Processing Toolbox). Para carregar uma imagem dentro do MATLAB na variável I: >> I = imread( arquivo_foto.ext ); Para exibir na tela a imagem I recém carregada: >> imshow(i);

17 Parte III Filtragem e Convolução

18 Filtro Digital Um filtro digital é um conjunto de operações matemáticas, que é aplicado a uma imagem amostrada com o objetivo de modificar características desta imagem. - Exemplo: borrar, aguçar, reduzir ruídos; Qual a importância de falar de filtros aqui? - Nosso problema de desborrar uma imagem é na prática desfazer uma filtragem!

19 Pra que serve a filtragem? Borrar

20 Pra que serve a filtragem? Sharpening (Aguçamento)

21 Pra que serve a filtragem? Coisas estranhas

22 Filtragem Espacial Um filtro espacial é uma operação na imagem em que o valor da intensidade de um pixel I(u, v) é modificado por uma função das intensidades dos pixels que estão na vizinhaça do ponto (u, v)

23 Exemplo: a média em uma vizinhança Vamos tomar a média em uma vizinhança 3 3, isto é, o pixel (u, v) da imagem filtrada será dado pela média dos 9 pontos em verde e azul. Intensidade no novo pixel: I (u, v) = I(u + i, v + j) (3) i= 1 j= 1

24 Como um filtro espacial funciona H é o núcleo ou kernel (matriz) do filtro Para a média na vizinhança H(i, j) = (4)

25 O que esse filtro faz?

26 O que esse filtro faz?

27 O que esse filtro faz?

28 Imagens e o MATLAB Como executar essa mesma filtragem no MATLAB? - Carregamos a imagem na variável I: >> I = imread( arquivo_foto.ext ); - Em seguida, criamos o filtro: >> H = ones(3,3)./9; - Finalmente, executamos a filtragem e armazenamos na variável Imf: >> Imf = imfilter(i,h);

29 Qual a matemática desse processo? Convolução! Comecemos com o caso unidimensional (1D) Dadas duas funções contínuas f (x) e g(x) definimos a convolução entre as funções por: (f g)(x) = No caso discreto (o nosso) f (ζ) g(x ζ)dζ. (5) Sejam f (x) e g(x) duas funções discretas então a convolução é dada por: (f g)(n) = f (m) g(n m). (6) m=

30 Operador linear Um operador linear T é uma função T : Ω Ω que satisfaz: 1 T (ci) = ct (I), 2 T (I 1 + I 2 ) = T (I 1 ) + T (I 2 ), em que c é uma constante. A convolução é um operador linear! Da álgebra linear temos que: Se T é um operador linear, então dado um vetor x podemos escrever T (x) = Ax, em que A é uma matriz.

31 Exemplo Vamos considerar a função f = {0, 1, 2, 1, 1, 3, 0} e o kernel g = {1/2, 1, 1/2}, então podemos escrever 1 1/ /2 1 1/ /2 1 1/ f g = 0 0 1/2 1 1/ /2 1 1/ /2 1 1/ /2 1 0 (7)

32 Convolução bidimensional Nosso caso é bidimensional (2D) Sejam I uma imagem e H um filtro, então a convolução bidimensional discreta é definida por I (u, v) = I H = m= n= I(u m, v n) H(u, v). (8) No caso 2D a convolução também é uma operação linear I H = M I, em que M é uma matriz! - Observação: neste caso a imagem I deve ser escrita como um vetor!

33 Imagens e o MATLAB O MATLAB escreve a matriz M da convolução entre um filtro H e a imagem I. - Dado um filtro H: >> H = ones(3,3)./9; - Então a matriz M da convolução é dada por: >> M = convmtx2(h,m,n); Neste caso, temos que m n é o tamanho da imagem. - Para saber o tamanho da imagem I no MATLAB basta usar: >> [m n] = size(i);

34 Problema inverso Finalmente podemos definir o nosso problema de interesse Suponha que a imagem original I tenha sido borrada por um núcleo conhecido H e tenha sofrido degradação por ruído aditivo ε gerando a imagem I, isto é, I = I H + ε. Como a imagem I não é conhecida, conhecemos apenas a imagem degradada I, a função de borramento H e o ruído ε, o nosso objetivo é recuperar a imagem I.

35 Problema inverso Encontrar a imagem original I dadas as condições citadas é um problema inverso. Não é trivial Problema mal-posto, isto é, uma das condições não é satisfeita: existe solução para o problema; a solução do problema é única; a solução do problema possui dependência contínua (suave) com dados de entrada.

36 Exemplo Não existe unicidade na convolução. - Considere r(t) = 1 se t [ 0.5, 0.5] e r(t) = 0 caso contrário. Graficamente abaixo temos o resultado de C(t) = r(t) r(t).

37 Exemplo - Considere agora s(t) = 1 se t [ 1, 1] e s(t) = 0 caso contrário. Graficamente abaixo temos o resultado de C(t) = s(t) C(t).

38 Parte IV Álgebra Linear

39 Autovalores e Autovetores Considere uma matriz A e um vetor não nulo x. Um problema muito comum e com diversas aplicações na engenharia é determinar um escalar λ tal que: Ax = λx. (9) - λ é chamado de autovalor de A; - x é chamado de autovetor de A. Aplicações: - Dinâmica de população; - Sistemas massa-mola; - Cadeias de Markov; - Dinâmica dos fluidos; - Equação de Schrödinger: iħ t Ψ = ĤΨ - etc...

40 Autovalores e Autovetores Como encontrar autovalores e autovetores? Simples! Resolver (A λi)x = 0, (10) observando que x 0. Para encontrar soluções dessa forma é necessário que λ seja tal que det(a λi) = 0. (11) p(λ) = 0 (polinômio característico).

41 Autovalores e Autovetores Uma matrix  é dita similar a uma matriz A se para alguma matriz não singular P.  = P 1 AP (12) Se X é uma matriz formada pelos autovetores de A como coluna, então A = XDX 1, (13) em que D é uma matriz diagonal formada pelos autovalores de A. Fera, né? =D

42 Autovalores e Autovetores: Exemplo Vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz [ ] 5 2 A = 2 2 (14) Resposta: λ 1 = 1 e λ 2 = 6; v 1 = (1, 2) e v 2 = (2, 1).

43 Decomposição em valores singulares (SVD) SVD é baseado em um teorema da álgebra linear que afirma que uma matriz retangular A pode ser quebrada num produto de três matrizes: - Uma matriz ortogonal U - Uma matriz diagonal Σ - A transposta de uma matriz ortogonal V isto é, A = U Σ V T, (15) em que U T U = I, V T V = I. As colunas de U são os autovetores ortogonais de A A T ; as colunas de V são os autovetores ortogonais de A T A; e Σ é uma matriz diagonal contendo a raiz quadrada dos autovalores correspondentes a U ou V em ordem decrescente.

44 Decomposição em valores singulares (SVD) A SVD é um método para identificar e ordenar as dimensões nas quais os pontos analisados exibem a maior variação. Vamos considerar a matriz A = Ela pode ser escrita na forma [ ] [ A = UΣV T = [ ] (16) ] (17)

45 Imagens e o MATLAB O MATLAB fornece as matrizes U, Σ e V que formam a decomposição em valor singular de uma matriz não quadrada H. - Dada uma matriz H: >> [U, S, V] = svd(h); Neste caso, você pode verificar que H = U S V T fazendo: >> U*S*V ; Observação: o operador de transposição no MATLAB é.

46 FIM! Por hoje é só pessoal! Muito Obrigado! ;)