A divisão de tarefas no balanceamento de carga em linhas de produção

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE INFORMÁTICA CARLOS ALEXANDRE X. DA SILVA A divisão de tarefas no balanceamento de carga em linhas de produção Goiânia 2017

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3 CARLOS ALEXANDRE X. DA SILVA A divisão de tarefas no balanceamento de carga em linhas de produção Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação do Instituto de Informática da Universidade Federal de Goiás, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ciência da Computação. Área de concentração: Ciência da Computação. Orientador: Prof. Dr. Humberto José Longo Co-Orientador: Prof. Dr. Leslie Richard Foulds Goiânia 2017

4 Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor, através do Programa de Geração Automática do Sistema de Bibliotecas da UFG. Xavier da Silva, Carlos Alexandre A divisão de tarefas no balanceamento de carga em linhas de produção [manuscrito] / Carlos Alexandre Xavier da Silva f.: il. Orientador: Prof. Dr. Humberto José Longo; co-orientador Dr. Leslie Richard Foulds. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás, Instituto de Informática (INF), Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação, Goiânia, Bibliografia. Apêndice. Inclui siglas, abreviaturas, gráfico, tabelas, lista de figuras, lista de tabelas. 1. Sistemas de fabricação. 2. Balanceamento de linhas de produção. 3. Divisão de tarefas. 4. Otimização combinatória. I. Longo, Humberto José, orient. II. Título. CDU 658.5

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6 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador(a). Carlos Alexandre X. da Silva

7 Aos Professores Waldemar Grzechca (in memoriam), Humberto Longo e Leslie Folds que iniciaram a pesquisa sobre o tema dessa dissertação e foram fundamentais para a conclusão deste mestrado. Aos meus pais, pelo apoio incondicional e incentivo aos estudos.

8 Agradecimentos Agradeço ao meu orientador, Prof. Humberto José Longo, por estar sempre disponível, pela paciência nas inúmeras correções durante o mestrado e pelos ensinamentos, que desde a época da graduação foram fundamentais para minha formação e sempre estimularam meu interesse pela pesquisa. Agradeço ao meu co-orientador Prof. Leslie Richard Foulds pela atenção, disponibilidade, pelas críticas e correções sugeridas durante o mestrado. Agradeço aos meus pais por estarem sempre presente e pelo apoio incondicional para minha formação. Agradeço aos meus amigos pelo incentivo e apoio constante, em especial, Paulo Cezar, Victor Martin, Vinícius Coelho e Welton Cardoso. Agradeço à CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) pela concessão da bolsa durante todo o período de realização deste mestrado.

9 Não é a saída do porto, mas a chegada que determina o sucesso de uma viagem. Henry Ward Beecher, 1921.

10 Resumo X. da Silva, Carlos Alexandre. A divisão de tarefas no balanceamento de carga em linhas de produção. Goiânia, p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Informática, Universidade Federal de Goiás. O balanceamento eficaz de uma linha de produção é importante para aprimorar a produtividade e reduzir custos de uma industria. O problema do balanceamento de linhas de produção (Assembly Line Balancing Problem - ALBP) envolve atribuir as tarefas necessárias para produzir cada unidade de um produto entre estações de trabalho ao longo de uma linha de produção, a fim de otimizar alguma medida de desempenho do sistema. Tradicionalmente, supõe-se que o trabalho total necessário para cada unidade de produto foi particionado em tarefas economicamente indivisíveis, de modo que uma maior divisão gera custos desnecessários. Assim, cada tarefa requerida não pode ser dividida e deve ser realizada em uma única estação. Na prática, no entanto, isso pode não ser sempre verdadeiro quando existe um objetivo orientado ao tempo, tal como a minimização do número de estações para um determinado tempo de ciclo. Neste caso, pode ser que o número mínimo das estações possa ser reduzido quando for possível continuar a dividir tarefas particulares de formas limitadas, mesmo se a divisão induzir custos adicionais de tempo. A permissão de tal divisão de tarefas nos leva a um novo problema de balanceamento de linhas de produção, o qual denotamos por TDALBP (Task Division Assembly Line Balancing Problem). Nós propomos um modelo de programação linear inteira binária para o TDALBP e procedimentos efetivos para solucioná-lo. Os procedimentos foram avaliados sobre adaptações de várias instâncias SALBP clássicas da literatura. Os resultados computacionais são promissores e mostram o potencial do TDALBP para a melhora significativa do desempenho de linhas de produção. Palavras chave Sistemas de fabricação, balanceamento de linhas de produção, divisão de tarefas, otimização combinatória.

11 Abstract X. da Silva, Carlos Alexandre. The task division assembly line balancing problem. Goiânia, p. MSc. Dissertation. Instituto de Informática, Universidade Federal de Goiás. In one version of the Simple Assembly Line Balancing Problem (SALBP) tasks are assigned to stations along an assembly line with a fixed cycle time in order to minimise the required number of stations. It has traditionally been assumed that the total work needed for each product unit has been partitioned into economically indivisible tasks. However, in practice, it may be that the minimum number of stations can be reduced when it is possible to further divide particular tasks in limited ways even with additional time penalty costs. Allowing task division leads to a new assembly line balancing problem, TDALBP (Task Division Assembly Line Balancing Problem) and a solution procedure for it. This work introduces a mathematical model for the TDALBP and presents promising computational results for the adaptation of some classical SALBP instances from the research literature. The results demonstrate that the TDALBP has the potential to significantly improve assembly line performance. Keywords optimisation. Manufacturing systems, assembly line balancing, task division, combinatorial

12 Sumário Lista de Figuras 14 Lista de Tabelas 15 1 Introdução Estrutura da dissertação 19 2 O balanceamento de linhas de produção Revisão bibliográfica Conceitos e definições básicas Medidas de qualidade 27 3 TDALBP Task Division ALBP Introdução Definição do TDALBP Modelo matemático para o TDALBP 35 4 Algoritmo BB&R e adaptação ao TDALBP Algoritmo BB&R Adaptação do BB&R para o TDALBP 47 5 Experimentos computacionais Introdução Instâncias do TDALBP Resultados com o Método-M Resultados com o Método-A Teste de penalidade 60 6 Principais contribuições e propostas de pesquisas Principais contribuições Propostas de pesquisas 63 Referências Bibliográficas 64 A Abreviações e Acrônimos 68 B Notação utilizada 69

13 C Modelos SALBP-1 e ASALBP 72 C.1 Modelo SALBP-1 de Patterson e Albracht 72 C.2 Modelos ASALBP 73 C.2.1 Capacho e Pastor 73 C.2.2 Scholl, Boysen e Fliedner 74 D Tabelas de resultados 76

14 Lista de Figuras 1.1 Trabalhadores na linha de produção na fábrica da Ford Motor Company Rouge Plant, [39] linha de produção moderna - Maruti s [28] Fluxo de uma linha de produção Grafo de precedência de uma instância do SALBP Disposição das tarefas em estações para a solução detalhada na Tabela Grafo de precedência ilustrando as tarefas potencialmente divisíveis A versão expandida do grafo de precedência do exemplo numérico. 34

15 Lista de Tabelas 2.1 Solução ótima para a instância apresentada na Figura 2.2, com tempo de ciclo c = Dados de entrada para a instância TDALBP Possíveis valores para os parâmetros de entrada da função H Solução ótima do BPA-TD para o TDALBP sem penalidades Solução ótima do BPA-TD para o TDALB com penalidades Resultados computacionais - Mediana Resultados do CPLEX com as instâncias do TDALBP geradas pelo Método-A Resultados do BB&R-TD com as instâncias do TDALBP geradas pelo Método-A Resultados computacionais - Teste de penalidade. 60 D.1 Eficiências de linha das soluções ótimas de 31 instâncias SALBP D.2 Resultados para as instâncias do TDALBP geradas pelo Método-A que não obtiveram um resultado melhor que suas versões SALBP-1. 77

16 Introdução CAPÍTULO 1 O artesanato pode ser considerado a primeira forma de processo produtivo, no qual uma única pessoa podia realizar todo o processo de produção para construir uma peça de artesanato. Os mestres de ofício, que eram os donos das oficinas e dos instrumentos, conheciam todas as etapas de produção e dominavam as técnicas necessárias para produzir cada produto. Os aprendizes dependiam dos mestres para trabalhar e aprender o ofício, o que poderia demorar anos para dominar as técnicas de produção. O processo de produção era totalmente manual e dependia diretamente da habilidade e velocidade do artesão. Por isso, o artesanato produzia em pequena escala, e devido ao tempo gasto na produção, os produtos eram mais caros. A manufatura surgiu após o artesanato, no período de transição do feudalismo para o capitalismo. Nesse período, como escrito por Marx e Engels [25], em A ideologia alemã, a manufatura tornou-se, ao mesmo tempo, um refúgio dos camponeses contra as corporações que os excluíam ou remuneravam mal, do mesmo modo que anteriormente as cidades dominadas pelas corporações haviam servido de refúgio aos camponeses contra a nobreza rural que os oprimia. Na manufatura a produção era dividida em diferentes etapas, com cada trabalhador responsável por uma etapa, e não mais por todo o processo de produção. Era requerido que o trabalhador aprendesse apenas as técnicas requeridas por sua etapa de produção. A manufatura diminuiu os custos e aumentou a produção, o que permitiu atender um mercado consumidor maior. De acordo com Mantoux [24] a indústria moderna nasceu na Inglaterra, na última terça parte do século XVIII. Na revolução industrial, a manufatura foi substituída pela maquinofatura. Com a evolução da tecnologia a indústria passou a utilizar máquinas cada vez mais eficientes, e no lugar de pessoas habilidosas para realizar tarefas complexas, era necessário pessoas comuns, com pouco treinamento, para realizar tarefas bem mais simples como manusear o maquinário ou verificar a qualidade do produto. Assim, o processo de produção ficou mais eficiente, produzindo em grande escala produtos mais baratos. A linha de produção é um processo de fabricação no qual partes de um produto são montadas sequencialmente para gerar um produto final. Na maioria dos casos, as

17 17 linhas de produção possuem um sistema semiautomatizado no qual o produto se move de uma estação a outra, como mostrado na Figura 1.1. Em cada estação ao longo da linha, começando com uma parte até o produto final, há operários e máquinas que executam suas tarefas sobre o produto. Figura 1.1: Trabalhadores na linha de produção na fábrica da Ford Motor Company Rouge Plant, [39] A linha de produção foi projetada para ser um meio eficiente e altamente produtivo de fabricação de produtos. Ela teve um impacto significativo no início do século XX, desencadeando a produção em massa e permitindo pela primeira vez que um grande volume e variedade de produtos chegassem a população com um preço razoável. O conceito de produção em linha teve seu início na indústria automotiva, onde foi introduzido pela primeira vez por Ransom Eli Olds em 1901, na sua Olds Motor Vehicle Company [41]. Em 1913, Henry Ford tinha melhorado significativamente o conceito de linha de produção, e a primeira linha de produção para a fabricação em massa de automóveis padronizados construída foi atribuída a ele. As linhas de produção modernas mantiveram os mesmos princípios, porém o avanço da tecnologia revolucionou o modo de produção. Como pode ser visto na Figura 1.2, uma linha de produção 95% automatizada. Grande parte das tarefas realizadas por operários envolviam movimentos repetitivos, o que um robô fazia eficientemente, com mais precisão, de forma mais segura e ainda diminuía os custos de produção. As linhas de produção desencadearam a produção de grandes volumes de uma ampla variedade de produtos montados, padronizados e personalizados, incluindo não só os veículos, mas também muitos aparelhos domésticos e produtos eletrônicos. No balanceamento de linhas de produção, tradicionalmente supõe-se que o trabalho total requerido para qualquer unidade de qualquer produto foi dividido em

18 18 Figura 1.2: linha de produção moderna - Maruti s [28] tarefas economicamente indivisíveis. Assim, divisões menores das tarefas resultariam em subtarefas improdutivas e um aumento no conteúdo total de trabalho. Portanto, cada tarefa requerida é indivisível, no sentindo de que ela deve ser realizada em uma única estação. No entanto, mudanças tecnológicas, planejamento de produtos, processos de fabricação e projeto de trabalhos podem criar oportunidades de mudanças significativas, de modo que o conteúdo total de trabalho possa vir a ser dividido em novas formas. Assim, algumas das tarefas consideradas indivisíveis poderiam ser divididas em subtarefas e atribuídas a diferentes estações. Quando uma tarefa, com tempo de processamento relativamente longo, envolve várias operações simples, partes dessa tarefa podem ser proveitosamente adiadas para outras estações. Por exemplo, suponha que uma tarefa consista no aperto de uma certa quantidade de parafusos e possua um dos tempos de processamentos mais longos dentre todas as tarefas. Suponha também que apenas dois parafusos sejam suficientes para fixar com segurança duas peças em seus lugares. Assim, o restante dos parafusos podem ser apertados em estações posteriores, sem prejuízo para a conclusão de outras tarefas intermediárias. Neste caso, o número mínimo de estações requerido pode ser reduzido, mesmo se a divisão induzir uma penalidade adicional de tempo. A inclusão da possibilidade de tal divisão de tarefas leva a uma nova variante do problema de balanceamento de linha de produção. Este conceito foi discutido de maneira qualitativa por alguns autores, como Chase e Jacobs [10]. Mas, até onde sabemos, além de uma breve introdução ao problema por Grzechca e Foulds [13], a questão não foi discutida na literatura aberta de forma quantitativa. A proposta do presente trabalho é preencher essa lacuna na literatura, discutindo uma versão rigorosa do problema, formulando um modelo inteiro binário, propondo métodos, soluções e relatando experimentos computacionais com os métodos propostos.

19 1.1 Estrutura da dissertação Estrutura da dissertação Neste Capítulo 1 introduzimos o problema do balanceamento de linhas de produção com divisão de tarefas e evidenciamos os objetivos deste trabalho. No Capítulo 2 discutimos os principais conceitos e soluções relacionados a sistemas de linha de produção apresentados na literatura aberta e introduzimos formalmente o ALBP - Assembly Line Balancing Problem e seus conceitos básicos. No Capítulo 3 definimos formalmente o TDALBP - Task Division Assembly Line Balancing Problem e os modelos matemáticos que o descrevem. No Capítulo 4 discutimos sobre o algoritmo BB&R - Branch and Bound & Remember para o SALBP-1 e apresentamos uma adaptação desse algoritmo para o TDALBP. No Capítulo 5 discorremos sobre a criação de instâncias de teste do TDALBP e sobre os resultados computacionais obtidos no trabalho. No Capítulo 6 apresentamos as principais contribuições do trabalho e definimos novas propostas de pesquisa.

20 O balanceamento de linhas de produção CAPÍTULO 2 O problema do balanceamento de linhas de produção consiste em atribuir às estações de trabalho de uma linha de produção tarefas necessárias para produzir cada unidade de um produto, a fim de otimizar o desempenho do sistema sobre alguma medida dada. O princípio do balanceamento de uma linha de produção foi introduzido primeiramente por Bryton [6], como um desafio de planejamento de médio prazo. Um estudo quantitativo publicado por Salveson [29] formulou esse problema como um programa linear e foi o primeiro a introduzir o termo the Assembly Line Balancing Problem (ALBP). Em 1986 Baybars [2] definiu duas classes para o ALBP, Simple Assembly Line Balancing Problem (SALBP) e Generalized Assembly Line Balancing Problem (GALBP). A classe SALBP contém os problemas de linha de produção cujo objetivo é minimizar o tempo ocioso total considerando exclusivamente dois tipos de restrições relacionadas à atribuição de tarefas: restrição de tempo de ciclo, relacionada ao tempo disponível da estação; e restrição de precedência, estabelecida pela ordem em que as tarefas podem ser processadas. Outros problemas que contém restrições adicionais são considerados GALBP. Baybars [2] descreve várias dessas restrições, como o caso em que a linha pode ser utilizada para a produção de dois ou mais modelos do mesmo produto em lotes, conhecido multi-model, ou o caso em que a linha pode ser utilizada para a produção de dois ou mais modelos do mesmo produto, não em lotes, mas podem ser misturados, conhecido como mixed-models, O seguinte conjunto de pressupostos é válido para o SALBP: P1) todos os parâmetros de entrada são conhecidos com certeza; P2) nenhuma tarefa pode ser dividida entre duas ou mais estações; P3) tarefas não podem ser processadas em sequências arbitrárias, devido a requisitos tecnológicos de precedência; P4) cada tarefa deve ser processada; P5) todas as estações de trabalho são identicamente equipadas e capazes de processar qualquer tarefa;

21 2.1 Revisão bibliográfica 21 P6) tempos de processamento de tarefas são independentes da estação em que são processadas e das tarefas que as precedem; P7) qualquer tarefa pode ser processada em qualquer estação; P8) a linha de produção é em série, sem paralelismo, nem alimentação secundária; P9) a linha de produção é projetada para a fabricação em massa de um modelo de um único produto; P10) o tempo disponível para completar todas as tarefas atribuídas a uma estação (tempo de ciclo) é dado e fixo, e P11) o número de estações de trabalho é dado e fixo. Os pressupostos P1 P11 são bem restritivos em relação aos problemas de balanceamento de linha de produção do mundo real. Muitos problemas de balanceamento de linha de produção apresentados na literatura são derivados do relaxamento de um dos pressupostos P1 P11. Os dois problemas mais populares do SALBP consideradas na literatura surgem do relaxamento dos pressupostos P10 e P11 e são: SALBP-1: The Simple Assembly Line Balancing Problem-1 Dado o tempo disponível para completar todas as tarefas atribuídas a uma estação, o objetivo é minimizar o número de estações (relaxamento do pressuposto P11). SALBP-2: The Simple Assembly Line Balancing Problem-2 Dado o número de estações, o objetivo é minimizar o tempo necessário para completar todas as tarefas atribuídas a uma estação (relaxamento do pressuposto P10). Nesta dissertação é discutida uma nova variante do SALBP-1, a qual surge do relaxamento do pressuposto P2, permitindo que uma tarefa possa ser dividida entre duas ou mais estações. Esse novo problema é discutido em detalhes no Capítulo 3. A seguir é apresentada uma breve revisão bibliográfica sobre diversos trabalhos relacionados a diferentes variantes do ALBP. 2.1 Revisão bibliográfica A gestão das linhas de produção, tal como observado por Baybars [2], Scholl [31] e muitos outros, é um desafio significativo a curto-médio prazo no planejamento de produção. Os planejadores frequentemente têm que examinar um grande número de alternativas e lidar com informações incertas, restrições tecnológicas e logísticas do modelo. O procedimento mais direto para solucionar o SALBP-1 seria gerar todas as possíveis combinações de conjuntos de tarefas e estações, que respeitam as restrições do problema e escolher a mais eficiente. Porém, essa abordagem exige um tempo exponencial de execução, sendo assim inviável até mesmo para pequenas instâncias do problema.

22 2.1 Revisão bibliográfica 22 Instâncias práticas do SALBP-1 no mundo real podem ser extremamente grandes, com milhares de tarefas. De fato, como mostrado por Baybars [2], o SALBP-1 é um problema de otimização combinatória pertencente à classe N P -difícil. Os modelos de Programação Linear Inteira foram os primeiros a serem utilizados para descrever formalmente os problemas de balanceamento de linha de produção. A primeira formulação matemática apresentada na literatura foi publicada por Salveson [29] em Essa formulação exigia um grande número de variáveis, o que a tornou inviável até mesmo para instâncias médias do problema. Em 1960 Bowman [5] introduziu duas novas formulações de programação linear inteira. Desde então, vários autores, como White [40], sugeriram modificações ou variações que reduzem o número de variáveis e restrições na formulação. O conceito de GALBP proposto por Baybars foi estendido brevemente por Ghosh e Gagnon [12], os quais levaram em consideração o número de produtos que são processados na linha de produção e a variabilidade do tempo de processamento das tarefas. Depois, Becker e Scholl [3] apresentam um estudo sobre os principais problemas e métodos do GALBP. Capacho e Pastor [9] apresentaram formalmente uma generalização do GALBP denominada ASALBP (Alternative Subgraphs Assembly Line Balancing Problem). Nesta variante do problema o pressuposto P3, de que todas as tarefas são processadas em um modo predeterminado, é relaxado. Eles consideram a possibilidade de processamentos alternativos, nos quais os tempos de processamento e as relações de precedência de algumas tarefas dependem da alternativa selecionada. Devido à natureza N P -difícil do SALBP-1, os métodos heurísticos e metaheurísticos tornaram-se técnicas populares para resolvê-lo. Os métodos heurísticos mais comuns na literatura para a resolução do SALBP-1 são construtivos ou de enumeração aproximada das soluções. Os meta-heurísticos mais comuns são aplicações da busca tabu ou de algoritmos genéticos (Betancourt (capítulo 2.4.2) [4], Scholl e Becker [32]). A maior parte dos métodos construtivos são baseados em regras de prioridade. A prioridade de cada tarefa é computada a partir do seu tempo de processamento e de suas relações de precedência. As tarefas são então ordenadas em uma lista de prioridade para a execução do procedimento de construção. O procedimento de construção de uma solução pode ser orientado a estação ou orientado a tarefa. Na primeira estratégia, em cada iteração, a tarefa com maior prioridade é atribuída a uma determinada estação k, até que ela esteja completamente carregada, e repetido para as estações seguintes. Na segunda estratégia, a tarefa de maior prioridade, dentre todas as disponíveis, é selecionada e atribuída à primeira estação na qual ela pode ser atribuída (Talbot et al [38], Scholl (capítulo 5.1) [31]). Os métodos de enumeração aproximada são baseados nos métodos de enumera-

23 2.1 Revisão bibliográfica 23 ção exatos, os quais são modificados por alguma heurística para reduzir o espaço de busca. Por exemplo na Heurística de Hoffmann [19], a solução é construída estação por estação e, em cada iteração, são geradas todas as possíveis cargas e escolhida aquela que possuí o menor tempo ocioso. Muitas variações dessa heurística foram propostas na literatura, algumas podem ser vistas em Fleszar e Hindi [11] e Sewell e Jacobson [36]. Lapierre, Ruiz e Soriano [23] utilizam a Busca Tabu para resolver o SALBP- 1 com dois tipos de transições para soluções vizinhas, os quais eles chamam de Nh 1 e Nh 2. Na Nh 1 ocorre um processo de troca entre duas tarefas. Assim, em cada iteração, é selecionada a estação que possuí o tempo de estação mais próximo de 50% da sua capacidade. Para cada tarefa da estação escolhida, são consideradas todas as possíveis trocas com cada uma das tarefas atribuídas a outras estações. A função objetivo é então aplicada a cada uma dessas possíveis trocas e a que apresentar o melhor aperfeiçoamento é aplicada. Na Nh 2 há um processo de transferência de tarefas, onde, em cada iteração, é selecionada a estação com a menor carga de tarefas. E de forma semelhante à Nh 1, a função objetivo é calculada sobre a transferência de cada tarefa da estação escolhida para cada uma das outras estações, e a transferência que apresentar o melhor aperfeiçoamento é aplicada. Em ambas, Nh 1 e Nh 2, só são consideradas transições não listadas como tabu. Lapierre, Ruiz e Soriano [23] utilizam dois mecanismos tabu para lidar com tarefas e estações. Uma tarefa se torna um tabu quando é transferida de sua estação atual. Essa tarefa se mantem tabu por uma certo número de iterações, que incluí um fator randômico para evitar ciclos na lista. Uma estação se torna um tabu quando uma de suas tarefas é transferida para outra estação. Neste caso, a estação não pode receber novas tarefas, mas, suas tarefas ainda podem ser transferidas. Da mesma forma, a estação se mantem um tabu por um certo número de iterações. O algoritmo parte de uma solução inicial válida e iterativamente aplica a transição Nh 1 até que nenhuma melhoria possa ser feita. Então, ele alterna para a transição Nh 2 e, novamente, explora até que nenhuma melhoria possa ser feita. O processo continua alternando entre os métodos de transição até que um critério global de parada seja atingido. Seu algoritmo também permite que soluções inviáveis sejam visitadas, ou seja, soluções onde o tempo de estação das estações excede o tempo de ciclo. Com o surgimento de métodos de otimização modernos, baseados em Programação Dinâmica e Branch and Bound, métodos exatos se tornaram cada vez mais eficientes e se tornaram capazes de resolver muitas instâncias do ALBP. Apesar disso, eles ainda não são capazes de resolver instâncias de grande porte, pois o tempo de processamento e o armazenamento requerido continuam inviáveis na prática. O primeiro modelo de programação dinâmica apresentado na literatura para o ALBP foi publicado por Jackson [17] em Posteriormente outros modelos foram publicados, como o de Kao e Queyranne [20] em A programação dinâmica para o

24 2.1 Revisão bibliográfica 24 ALBP se inicia com um estado para cada possível atribuição de carga completa para a primeira estação. Então, uma transição de um estado s para um estado s + 1 é realizada através de uma escolha (função de transição). Cada novo estado representa uma nova estação na linha de produção. O principal problema da programação dinâmica é que a quantidade de estados cresce de forma exponencial, de forma que o armazenamento requerido torna-se inviável na prática. Os algoritmos atuais que envolvem programação dinâmica utilizam a técnica em conjunto com outras técnicas, como Sewell e Jacobson [36] que utilizam programação dinâmica e Branch and Bound. A técnica de Branch and Bound tem sido utilizado nos modelos mais conceituados para resolver o SALBP-1 otimamente. Scholl e Klein [35] apresentaram uma comparação com resultados computacionais entre abordagens que utilizam Branch and Bound com diferentes estratégias para solucionar o SALBP-1. O SALBP-1, sem as restrições de precedência, pode ser visto como um Bin Packing, onde um conjunto de tarefas (itens) tem que ser alocado (guardado) em estações (caixas) idênticas de mesmo tempo de ciclo (mesmo tamanho finito). A solução de uma tal instância do Bin Packing é utilizada em muitos algoritmos como um limite inferior para o SALBP-1, como em FABLE [18], SALOME [34] e BB&R [36]. Os métodos que resolvem o SALBP-1 otimamente evoluíram com o desenvolvimento de técnicas modernas, seguidas do aproveitamento das melhores características apresentadas por métodos anteriores. O algoritmo FABLE, apresentado por Johnson [18], utiliza um conjunto de limites inferiores, incluindo uma solução do Bin Packing, como descrito anteriormente, e uma série de regras de dominação, para descartar soluções parciais dominadas por soluções previamente exploradas. Nourie e Venta [26] apresentaram uma estrutura em árvore utilizada em seu algoritmo OptPack, para eliminar soluções previamente exploradas de forma mais eficiente do que as regras de dominação utilizadas no FABLE. Hoffmann [15] apresentou um sistema híbrido, chamado Eureka, que utiliza Branch and Bound para encontrar uma solução ótima dentro de um tempo limite previamente definido. Caso essa solução não seja encontrada, é utilizada uma heurística para encontrar uma solução aproximada. Hoffmann também percebeu que algumas instâncias poderiam ser resolvidas mais rapidamente se processadas na direção oposta. E então, ele propôs utilizar metade do tempo limite computando em uma direção e a outra metade na direção oposta. Scholl e Klein [34] apresentaram em 1997 o algoritmo SALOME, o qual combinava as melhores características dos algoritmos FABLE e Eureka. Em 1999 [35] aprimoraram o SALOME adicionando uma regra de dominação baseada na árvore desenvolvida por Nourie e Venta [26] para o OptPack. De acordo com Sewell e Jacobson [36], SALOME era o melhor algoritmo para resolver o SALBP-1 otimamente. Porém, nesse mesmo artigo eles propuseram um novo algoritmo híbrido chamado BB&R (Branch,

25 2.2 Conceitos e definições básicas 25 Bound and Remember) o qual utiliza Branch and Bound e programação dinâmica, com resultados computacionais superiores ao SALOME. 2.2 Conceitos e definições básicas O princípio fundamental do balanceamento de linhas de produção consiste em atribuir tarefas a um conjunto ordenado de estações de trabalho, de maneira que as relações de precedências entre as tarefas sejam respeitadas e alguma medida de eficiência seja otimizada. Seguindo a notação e terminologia usada por Scholl, Boysen e Fliedner [30], uma linha de produção consiste de um conjunto de m estações de trabalho organizadas de forma linear, ligadas por um dispositivo mecânico de manuseamento de materiais. O movimento básico do material através da linha de produção começa com as peças necessárias para iniciar a criação de cada unidade de um único produto, alimentando consecutivamente a primeira estação. O trabalho necessário para completar cada unidade do produto é dividido em um conjunto de tarefas V = {1,...,n}, onde cada uma delas deve ser atribuída a uma estação. Uma vez que um produto parcialmente montado entra em uma estação ativa, um conjunto de tarefas (não vazio) atribuído é executado sobre ele, o qual, após isto, segue para a próxima estação ativa até o produto final como ilustrado na Figura 2.1. Figura 2.1: Fluxo de uma linha de produção. Material base Estação 1 Estação 2... Estação m Produto final Material e/ou tarefa Material e/ou tarefa Material e/ou tarefa Material e/ou tarefa O tempo requerido para completar cada tarefa j V é denominado tempo de processamento (inteiro positivo) e é denotado por t j, j = 1,...,n. O conjunto de tarefas atribuído a uma estação k compreende a sua carga, e é denotado por S k. O tempo total requerido para processar todas as tarefas atribuídas a cada estação k = 1,...,m; é denominado tempo de estação, e é denotado por t(s k ). O tempo comum disponível para completar todas as tarefas atribuídas em sequência em cada estação é denominado tempo de ciclo, e é denotado por c. O tempo de estação não deve exceder c. Se t(s k ) é estritamente menor que c, então k tem tempo ocioso de c t(s k ) unidades de tempo em cada ciclo. Há sequências de tarefas que devem ser seguidas na produção de qualquer produto e estas são representadas em um grafo de precedência G = (V,A,t), que tem

26 2.2 Conceitos e definições básicas 26 um conjunto de arcos A, representando as relações de precedências necessárias (i, j) entre diferentes tarefas i, j V. Isto é, se (i, j) A ou se existe em G um caminho de arcos de i até j (denotado por i G j), então a tarefa i deve ser completada antes que a tarefa j seja iniciada. G é acíclico, com V numerado topologicamente e t : V N, onde t( j) = t j, j = 1,...,n (tempo de processamento da tarefa j). Para cada tarefa j V, seu conjunto de predecessores diretos é definido como P j = {i V (i, j) A} e seu conjunto de sucessores diretos é definido como F j = {i V ( j,i) A}. Para as relações indiretas de precedência, também são definidos o conjunto de todos os predecessores P j = {i V i G j} e o conjunto de todos os sucessores Fj = {i V j G i}. Exemplo 1: A Figura 2.2 ilustra um grafo de precedência de uma instância SALBP-1 com tempo de ciclo c = 10, n = 23 tarefas, e seus respectivos tempos de processamento. Figura 2.2: Grafo de precedência de uma instância do SALBP Figura 2.3: Disposição das tarefas em estações para a solução detalhada na Tabela 2.1. S S 2 S S S S S S S S S 12 S 5 Para o SALBP-1, o objetivo é atribuir as tarefas a estações respeitando o tempo de ciclo, as precedências e minimizando o número de estações

27 2.3 Medidas de qualidade 27 necessárias para o processamento das tarefas. A solução ótima da instância apresentada na Figura 2.2 necessita de m = 12 estações. Uma das soluções com m = 12 tarefas é detalhada na Tabela 2.1 e mostrada na Figura 2.3. Tabela 2.1: Solução ótima para a instância apresentada na Figura 2.2, com tempo de ciclo c = 10. k S k t(s k ) 1 {1} 5 2 {2, 4} 8 3 {3} 7 4 {5,6,7} 9 5 {8, 12} 10 6 {9} 8 7 {10, 11} 10 8 {13, 15, 16} 10 9 {14, 21} {17, 19, 20} 7 11 {18, 22} {23} Medidas de qualidade A qualidade de uma solução de uma instância ALBP pode ser avaliada segundo diferentes critérios. Os mais comuns são a Eficiência de Linha (LE Line Efficiency), o Tempo de Linha (LT Line Time) e o Índice de Suavidade (SI Smoothness Index). A eficiência de linha, calculada pela Equação 2-1, é o percentual de utilização da linha, o qual é expresso como a razão entre o tempo total para processamento das tarefas nas estações e o tempo de ciclo multiplicado pelo número de estações. Quando LE = 100%, significa que a linha de produção opera a 100% da sua capacidade. LE = m t(s k ) k=1 c m 100%, (2-1) O tempo de linha, calculado pela Equação 2-2, é o período de tempo necessário para cada unidade do produto ser completado na linha de produção. LT = c (m 1) +t(s m ), (2-2) O índice de suavidade, calculado pela Equação 2-3, descreve o equilíbrio relativo de uma linha de produção em relação ao maior dos tempos de estação. O equilíbrio perfeito é

28 2.3 Medidas de qualidade 28 indicado pelo índice de suavidade 0. SI = m (t(s max ) t(s k )) 2 ; (2-3) k=1 onde S max é a estação que possuí a maior carga entre todas as estações. Exemplo 2: Essas medidas de qualidade computadas sobre a solução da instância, do Exemplo 1, ilustrada na Figura 2.3, produz LE = 83,33%, LT = 116 e SI = 8,25. Portanto, o percentual de utilização da linha (LE) é de 83,33%, o período de tempo necessário para produzir cada unidade do produto (LT) é de 116 segundos e o equilíbrio relativo da linha (SI) é 8,25.

29 TDALBP Task Division ALBP CAPÍTULO Introdução O TDALBP (Task Division Assembly Line Balancing Problem) é uma generalização do SALBP-1, com o pressuposto 1 P2 relaxado de forma limitada, no sentido de que um dado subconjunto de tarefas pode, potencialmente, ser dividido de maneira particularmente conhecida. Em vez de limitar cada tarefa a ser processada em exatamente uma estação, ela pode ser dividida atribuindo-se cada uma das suas consequentes subtarefas para diferentes estações. Neste caso, a soma dos tempos de processamento das subtarefas deve ser igual ao tempo de processamento da tarefa original. Foi considerado também que a divisão de uma tarefa implica em um gasto extra de tempo, o que faz com que uma dada penalidade de tempo seja adicionada ao tempo de processamento de cada uma das suas subtarefas. Essa penalidade é fixa para cada subtarefa e não depende da estação em que a subtarefa é ativada. Neste capítulo será definido formalmente o TDALBP e apresentado um modelo de programação linear inteira binária para o mesmo. O TDALBP foi formulado de maneira similar ao modo como o ASALBP (Alternative Subgraphs Assembly Line Balancing Problem) foi formulado por Scholl, Boysen e Fliedner [30]. O ASALBP estende o SALBP-1 relaxando a suposição implícita de que todas as tarefas são processadas em um modo pré-determinado, ou seja, não existem alternativas de processamento. Em vez disso, os autores assumem que existem alternativas para partes do processo de produção. Cada parte é chamada de variável subprocesso, o que resulta em um subgrafo (disjuntivo) alternativo ao grafo de precedência, dos quais exatamente um tem que ser escolhido para cada parte. Em nossa formulação do TDALBP também assumimos que existe alternativas de processamento, mas apenas para um determinado subconjunto de tarefas potencialmente divisíveis. O nó que representa cada tarefa potencialmente divisível no grafo de precedência é expandido para um conjunto de nós adicionais (cada um com as mesmas relações de 1 Os pressupostos que definem o SALBP são apresentados no Capítulo 2

30 3.2 Definição do TDALBP 30 precedência que o nó original), onde cada novo nó representa uma subtarefa criada com a divisão da tarefa original. É possível considerar o TDALBP como um caso especial do ASALBP, em que cada tarefa potencialmente divisível é considerada como um subprocesso variável e cada combinação possível de subtarefas é representada por um subgrafo alternativo. Desta forma, qualquer instância TDALBP pode ser resolvida por qualquer método ASALBP, como os propostos por Capacho [7] e por Scholl, Boysen e Fliedner [30]. No entanto, no TDALBP cada tarefa potencialmente divisível pode ser dividida em diversas subtarefas. Além disso, as combinações de subtarefas viáveis não correspondem somente às partições do tempo de processamento, tal como ilustrado no Exemplo 3. Estes fatores podem levar, na prática, a um número exponencial de subgrafos. Exatamente uma das combinações de subtarefas deve ser escolhida com todas as suas subtarefas atribuídas a diferentes estações. O processamento de cada subtarefa também induz uma penalidade de tempo, independentemente da estação em que ela será processada. Assim, a menos que restrições sejam colocadas no processo de divisão, o número de opções de divisão cresce exponencialmente com o número de subtarefas dadas. Isto leva a um grande número de subgrafos ASALBP alternativos para todos os casos triviais de instâncias TDALBP. Por esta razão, nós preferimos construir um modelo TDALBP dedicado que contém somente o conjunto de subtarefas dadas, cuja cardinalidade cresce em O(1). Exemplo 3: Suponha uma instância do TDALBP com uma tarefa que é potencialmente divisível em várias subtarefas viáveis, cada uma com tempo de processamento dentro do conjunto {1,2,3,4,5,6}. Note-se que a própria tarefa original, com tempo de processamento igual a 6, é considerada uma alternativa entre as subtarefas. As opções de possíveis divisões podem incluir combinações de subtarefas com os seguintes tempos de processamento: {6}, {5, 1}, {4, 2}, {4, 1, 1}, {3, 3}, {3, 2, 1}, {3, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1} e {1, 1, 1, 1, 1, 1}. A escolha da primeira combinação de subtarefas reflete a decisão de não dividir a tarefa original. 3.2 Definição do TDALBP Ainda seguindo a notação e terminologia usada por Scholl, Boysen e Fliedner [30], apresentamos o TDALBP que permite uma combinação única de subtarefas para cada tarefa potencialmente divisível a ser escolhida, o que leva ao modelo TDALBP dado na seção 3.3. A seguir uma notação complementar necessária para a apresentação do

31 3.2 Definição do TDALBP 31 modelo TDALBP. D conjunto de tarefas potencialmente divisíveis (D V,D ); I conjunto de tarefas indivisíveis (I V, D I = V, D I = ); r j número de subtarefas na qual a tarefa j pode ser processada, j V. (r j = 1 j I e r j > 1 j D); t q j qth tempo de processamento (positivo, inteiro) disponível para a tarefa j, j V,q = 1,...,r j ; T j = t q j q = 1,...,r j sequência (não crescente) dos tempos de processamentos em que a tarefa j V pode ser processada, onde t 1 j = t j, o tempo de processamento original da tarefa j, e t p j t q j sempre que p < q, para 1 p,q r j (para toda tarefa j I, T j contém apenas o tempo t 1 j de processamento da tarefa original); f q j penalidade de tempo (estritamente positiva) caso a tarefa j seja processada por t q j unidades de tempo, j V, q = 1,...,r j ( f 1 j é definido como zero para cada tarefa original j, j V ). O nó que representa cada tarefa potencialmente divisível em V é expandido para incluir um novo conjunto de nós em G, os quais representam todas as subtarefas que poderiam ser criadas se a tarefa for dividida. Cada novo nó é atribuído às mesmas relações de precedência do nó original. Com apenas um leve abuso de terminologia, a partir de agora, nós usamos os termos tarefas e nós indistintamente. Supõe-se que o nó terminal n, é o único em G sem sucessores. Se isso não ocorrer naturalmente em G, um último nó fictício com tempo de processamento nulo é introduzido. Supõe-se também que a tarefa n é indivisível. Para permitir certas combinações de subtarefas, de cada tarefa potencialmente divisível j D, j pode ser dividida em subtarefas com tempos iguais de processamento. No entanto, presume-se que tais subtarefas ainda têm de ser processadas em diferentes estações. Por exemplo, se t j = 6, pode ser útil dividir j em duas subtarefas, a serem processadas em diferentes estações, cada uma com tempo de processamento de 3 unidades. Não há nenhuma penalidade de tempo se a tarefa j não for dividida e é por isso que f 1 j é definido como zero para toda tarefa j V. Se uma tarefa j for dividida e isso resultar em uma subtarefa com um tempo de processamento de t q j, ativa em qualquer estação, o tempo total de processamento dessa subtarefa é definido como (t q j + f q j ), j D; q = 1,...,r j. Note-se que todos os valores f q j são independentes da estação. Além disso, presume-se que não

32 3.2 Definição do TDALBP 32 existem relações de precedência entre subtarefas de uma mesma tarefa potencialmente divisível. Esses conceitos são ilustrados através do exemplo 4. Como mencionado anteriormente, a tarefa n é supostamente indivisível e única, no sentido de que não possui tarefas sucessoras. Cada nó j é utilizado para gerar um conjunto de nós D j = { j} { j q q = 2,...,r j }, formado pelas possíveis subtarefas da tarefa j, (incluindo a própria tarefa) correspondendo às entradas em T j, i.e.: t q j, j D,q = 1,...,r j. Cada nó j D é substituído por D j nós em G. A cada novo nó j q, na versão expandida de G, são atribuídas as mesmas relações de precedência do nó j, j D,q = 2,...,r j. Isso é realizado da seguinte maneira. Se o arco (h p, j q ) A para algum p, 1 p r h e para algum j q, j D e 1 q r j, então os arcos (h p, j q ), p = 1,...,r h e q = 1,...,r j são adicionadas a A. Se o arco ( j q,i s ) A para algum j q, onde j D e 1 q r j ; e para algum s, onde 1 s r i ; então os arcos ( j q,i s ), q = 1,...,r j ; e s = 1,...,r i ; são adicionados a A. A cada novo nó j q é atribuído um tempo de processamento de (t q j + f q j ). Os tempos de processamento de todos os nós originais em V mantêm-se inalterados. Assim, V agora está particionado em V = I ( j D j ) e n é aumentado de modo a representar o novo número total de nós. Todos os nós no grafo transformado são reindexados topologicamente. Para cada nó potencialmente divisível j, um registro deve ser mantido sobre os nós recém criados das subtarefas em D j, j D. Esse processo de transformação é ilustrado nas Figuras 3.1 e 3.2 do Exemplo 4. O TDALBP consiste em ativar um subconjunto de subtarefas para cada tarefa j D potencialmente divisível, atribuindo-as a estações com as seguintes características: a subtarefa ativada satisfaz todas as relações de precedência que envolvem a tarefa j; a soma dos tempos de processamento das subtarefas ativadas é igual ao tempo de processamento fornecido t j da tarefa j; o tempo total de processamento de cada subtarefa ativada é a soma dos seus tempos de processamento e penalidades de tempo fornecidos; e cada subtarefa ativada da tarefa j deve ser processada em uma estação distinta, j D. Se uma tarefa potencialmente divisível j D não for dividida (quando o tempo original t 1 j é escolhido), suas subtarefas têm seus arcos em G ignorados. O objetivo do TDALBP é minimizar o número necessário de estações para processar todas as tarefas. Esse objetivo é alcançado quando todas as tarefas ativadas (as indivisíveis e as subtarefas de tarefas potencialmente divisíveis) podem ser atribuídas ao número mínimo possível de estações, considerando-se o tempo de ciclo e as restrições de precedência. Como mencionado anteriormente, cada tarefa potencialmente divisível j D é mantida como alternativa de subtarefa, com tempo de processamento t 1 j. A ativação j D

33 3.2 Definição do TDALBP 33 dessa subtarefa corresponde à não divisão da tarefa j. Essa possibilidade garante que uma solução ótima do SALBP-1 continua a ser válida para o TDALBP. Logo, a solução ótima deste não pode ser pior do que a do SALBP-1. Exemplo 4: Este exemplo 4 mostra a transição da instância SALBP-1 apresentada no Exemplo 1 para uma instância TDALBP. O conjunto D = {2, 3, 9, 13, 14, 18} de tarefas foi escolhido como aquelas potencialmente divisíveis (representadas por nós redondos na Figura 3.1) e o conjunto I = {1,4,5,6,7,8,10,11,12,15,16,17,19,20,21,22,23} representa as tarefas indivisíveis (nós quadrados na Figura 3.1). Os tempos de processamento das tarefas são mostrados acima dos nós. Todas as subtarefas, seus tempos de processamento e de penalização são apresentados na Tabela 3.1. Figura 3.1: Grafo de precedência ilustrando as tarefas potencialmente divisíveis Tabela 3.1: Dados de entrada para a instância TDALBP. j t 1 j t 2 j t 3 j t 1 j + f j 1 t 2 j + f j 2 t 3 j + f j 3 f j 1 f j 2 f j Como pode ser visto na Tabela 3.1, cada tarefa potencialmente divisível j tem três (r j = 3) opções de processamento: T j = (t 1 j,t2 j,t3 j ). Duas das subtarefas da tarefa potencialmente divisível têm os mesmos tempos de processamento determinados (t2 2 = t3 2 = 3). Neste exemplo, todas as penalidades de tempo são iguais à uma unidade. A Figura 3.2 exibe a versão expandida de

34 3.2 Definição do TDALBP 34 G, com a inclusão de todas as possíveis subtarefas e de seus tempos finais de processamento. Para tornar o processo de transformação claro, os índices de tarefas não foram renumerados topologicamente. Figura 3.2: A versão expandida do grafo de precedência do exemplo numérico S S S S S S 6 S S S S S 5 A instância utilizada no Exemplo 1 e ilustrada pela Figura 3.1 é uma instância SALBP-1, portanto, sem divisão de tarefas e sem penalidades de tempo. Uma solução ótima para esta instância exibida na Tabela 2.1, com um tempo de ciclo c = 10, tem estações com cargas: S 1 = {1}, S 2 = {2,4}, S 3 = {3}, S 4 = {5,6,7}, S 5 = {8,12}, S 6 = {9}, S 7 = {10,11}, S 8 = {13,15,16}, S 9 = {18,22}, S 10 = {14,21}, S 11 = {17,19,20} e S 12 = {23}. O número mínimo de estações necessárias para processamento das tarefas é m = 12. Dadas as potenciais divisões de tarefas descritas na Tabela 3.1, com suas respectivas penalidades de tempo, seria possível reduzir o número mínimo de estações necessárias para processamento das tarefas? A resposta para essa questão é afirmativa. Ao transformar essa instância em uma instância TDALBP, uma solução ótima, ainda com tempo de ciclo c = 10, possui estações com cargas de: S 1 = {1,3 2 }, S 2 = {2,3 3 }, S 3 = {4,5,7}, S 4 = {6,9 2 }, S 5 = {8,12}, S 6 = {9 3,11,16}, S 7 = {10,14 3 }, S 8 = {13 2,14 2 }, S 9 = {15,18}, S 10 = {13 3,17,19,20}, S 11 = {21,22,23}. O

35 3.3 Modelo matemático para o TDALBP 35 número mínimo de estações necessárias para processamento das tarefas agora é m = 11, que é estritamente menor do que para o Exemplo 1. Note-se que é possível processar a subtarefa 14 3 antes da subtarefa 14 2 já que não existem relações de precedência entre subtarefas de uma mesma tarefa potencialmente divisível. Além disso, das seis tarefas potencialmente divisíveis em D = {2,3,9,13,14,18}, quatro são divididas (tarefas 3, 9, 13, e 14) e duas não (tarefas 2 e 18). Apesar do tempo total de penalidade, calculado pelo somatório das penalidades de todas as subtarefas ativas, de f3 2 + f f f f f f f 14 3 = 8 unidades de tempo, comparandose com a solução anterior, o número mínimo de estações necessárias para executar todas as tarefas foi reduzido em 1 unidade. Uma outra solução ótima para este problema, ainda com o número mínimo de estações necessárias para o processamento das tarefas igual a 11, mas com uma penalidade adicional de tempo total de apenas f3 2 + f f9 2 + f 9 3 = 4 unidades de tempo, tem estações com cargas de S 1 = {2,4}, S 2 = {1,3 2 }, S 3 = {3 3,5}, S 4 = {6,9 2 }, S 5 = {8,12}, S 6 = {7,9 3,13}, S 7 = {10,16}, S 8 = {14,17}, S 9 = {11,19,20}, S 10 = {15,18}, S 11 = {21,22,23}. Os conjuntos S i, i = 1,...,11, relacionados a essa solução, são demostrados na Figura Modelo matemático para o TDALBP Nesta seção é apresentado um modelo de programação linear inteira binário para o TDALBP, o qual é, em parte, baseado no modelo SALBP-1 de Patterson e Albracht [27] e nos modelos ASALBP de Capacho [7] e de Scholl [30] (vide Apêndice C). Cada tarefa indivisível em I deve ser atribuída a exatamente uma estação. Para cada tarefa potencialmente divisível j D, deve-se considerar as subtarefas em D j, que incluem a própria tarefa j. Neste caso, duas possibilidades devem ser consideradas: (i) a primeira subtarefa (que representa a tarefa original) de j é ativada sozinha e é atribuída a uma única estação, onde será processada em t j unidades de tempo, sem penalidades ( f j 1 = 0); ou (ii) as subtarefas j q D j, q = 2,...,r j (excluindo a primeira subtarefa) são ativadas e atribuídas a diferentes estações, onde cada subtarefa j q será processada em t q j + f q j unidades de tempo, referentes ao processamento e à penalidade pela divisão. Os tempos de processamento das subtarefas ativadas, desconsiderando-se as penalidades, devem somar o tempo de processamento t j original da tarefa j. A seguinte notação e terminologia é utilizada para o grafo expandido. Para cada tarefa j V, seja E j a primeira estação na qual j pode ser atribuída, dada as relações de precedência, os tempos de processamento e o tempo de ciclo. Seja L j a última estação