Questão 01. Da análise da figura tem-se: y + 3y= 5 4y = 5 y = 1,25 PC = 3 1, PC = 8,75. RESPOSTA: Alternativa 01.

Transcrição

1 PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - MARÇO DE 010. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01 Na figura, AB = 4u.c, BC = 6u.c e M é o ponto médio do segmento AC. Calcule a distância x de P a C sabendo que a distância de P a A é igual a um terço da distância de P a M. 01) 8,5u.c 0) 8,5u.c 03),5u.c 04),00u.c 05) 6,5u.c Sendo 1) AB = 4u.c, BC = 6u.c e M o ponto médio do segmento AC pode-se associar ao ponto A a abscissa 0, ao ponto C a abscissa 10 e ao ponto M a abscissa 5. ) AP = y e PM = 3y. Resulta a figura: Da análise da figura tem-se: y + 3y= 5 4y = 5 y = 1,5 PC = 3 1,5 + 5 PC = 8,5. RESPOSTA: Alternativa 01. Questão 0. e eram dois colegas de escola. dizia gostar muito de e a assediava com muita freqüência. Um belo dia, pediu o número do telefone de, que respondeu dizendo:, meu telefone é composto de oito dígitos totalmente distintos e o prefixo é 34; se você realmente gosta de mim, ligue-me hoje à tarde que eu estarei esperando. Quantas tentativas, no máximo, deverá fazer para, com certeza, descobrir o número de? 01) ) ) ) ) 360 Representação do telefone de : PREFIXO a b c d Possibilidades de valores para a, b, c, d O número de tentativas que, no máximo, deverá fazer é: = 360. RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado

2 Questão 03. A posição de um ponto P da Terra é determinada por suas coordenadas geográficas: latitude e longitude. A latitude do ponto P é a medida, em graus, do arco, contido no meridiano que passa por P, sendo A o ponto desse meridiano que está no equador. Longitude de P é a medida, em graus, do arco equatorial determinado pelo meridiano que passa por P e o meridiano que passa pelo observatório de Greenwich, na Inglaterra. Essas coordenadas são determinadas com grande precisão por aparelhos chamados GPS (Sistema de posicionamento global) utilizam satélites. Supondo que o raio da terra (suposta esférica) é de 6000km e que as cidades X e Y estão situados num mesmo meridiano, tendo latitudes de 10 0`N e 9 40 S, entre essas cidades calcule a distância, em quilômetros, entre essas cidades. 01) 143 0) ) ) 80 05) 3050 FIGURA I FIGURA II A figura I acima representa a situação-problema. Na figura II, o círculo de centro C representa o meridiano onde se localizam as cidades X e Y que determinam um arco de comprimento l e medida: = 0. 0 l 1 l 1 l 680 Logo vale a relação: = = = l= = 093, , , ,14 3 RESPOSTA: Alternativa 0 Questão 04. e vão sentar-se à mesma fila de um cinema. A fila tem 10 cadeiras, todas vazias. Como não querem sentar-se em cadeiras vizinhas, de quantas maneiras poderão sentar-se? 01) 4 0) 54 03) 64 04) 05) o N 8 8 TOTAL Considerando que sente em primeiro lugar e que somente depois escolha o lugar para sentar: Se sentar na cadeira 1 ou 10, terá em cada caso (10 ) cadeiras para sentar, então um total de 16 maneiras de sentar-se (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado

3 Se escolher uma das cadeiras de número a 9. Em cada caso somente terá (10 3) cadeiras para sentar, o que dá um total de 8 = 56 maneiras de sentar-se. Logo ao final são =. RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 05. A figura ao lado representa um quadro com círculos congruentes e tangentes dois a dois. Sabe-se que o consumo de tinta para pintar os círculos, em primeira demão é de 1cm³ de tinta para cada 100 cm² de área a ser pintada. Na segunda demão o consumo de tinta é de 0% a menos. Determine a quantidade de tinta, em litros, necessária para pintar esses círculos com duas demãos. (Considerar π = 3). 01) 0,8 0) 0,4 03) 0,48 04) 0,54 05) 0,60 Como os círculos são congruentes, tangentes entre si, dois a dois, e cada um deles tangente a dois lados consecutivos do quadrado, pode-se concluir que 4R = 00cm R = 50cm. A área dos quatro círculos, em cm², é então: 4πR² = ² = Como na primeira demão, para cada 100 cm² de área a ser pintada, gasta-se 1cm³ de tinta, tem-se a proporção: 1 x = x = 300 que na primeira demão o consumo de tinta é de 300 cm³ Se na segunda demão o consumo de tinta é de 0% a menos, este consumo é de: (100% 0%) 300 = 40 cm³. Logo um consumo total de (300cm³ + 40cm³) = 540cm³ = 0,540dm³ = 0,54l. RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 06. (UFBA008/modificada) Em uma escola, cinco meninos e três meninas disputam uma prova de natação. Cada nadador ocupa uma das oito raias da piscina, numeradas de 1 a 8, e os que obtiverem o primeiro, o segundo e o terceiro lugar subirão ao pódio para premiação. Com base nessas informações e admitindo-se que não existe a possibilidade de empate, considere as seguintes afirmativas: (I) Existem exatamente 430 maneiras distintas de distribuir os nadadores nas raias de modo que a 1 e a 8 sejam ocupadas por meninas. (II) Existem exatamente 336 formações distintas para o pódio. (III) Existem exatamente 180 formações distintas para o pódio com dois meninos e uma menina. Podemos afirmar que: 01) apenas a afirmativa I é falsa. 0) apenas a afirmativa II é falsa. 03) apenas a afirmativa III é falsa. 04) apenas uma afirmativa é verdadeira. 05) todas as afirmativas são verdadeiras (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 3

4 (I) VERDADEIRA Raia 1 Raia Raia 3 Raia 4 Raia 5 Raia 6 Raia Raia 8 3 meninas 6! possibilidades meninas Logo existem exatamente 3 6! = 430 maneiras distintas de distribuir os nadadores nas raias de modo que a 1 e a 8 sejam ocupadas por meninas. (II) VERDADEIRA 1 o lugar o lugar 3 o lugar Possibilidades 8 6 Se os que obtiverem o primeiro, o segundo e o terceiro lugar subirão ao pódio para premiação, o número total de maneiras para este acontecimento é: 8 6 = 336. (III) VERDADEIRA 1 o lugar o lugar 3 o lugar TOTAL Possibilidades 3 meninas 5 meninos 4 meninos = 60 1 Possibilidades 5 meninos 3 meninas 4 meninos = 60 Possibilidades 5 meninos 4 meninos 3 meninas 5 4 3= 60 3 TOTAL 180 RESPOSTA: Alternativa 05 Questão 0. As retas r e t são paralelas. Calcule x sabendo que CD é paralelo à s retas r e t e que AB é paralelo a DE. 01) 100 0) 15 03) ) ) 145 Traçando-se as retas s e u, respectivamente, pelos pontos B e C, paralelas às retas r e t e prolongando-se AB até interceptar a reta t no ponto F, tem-se: 1) D ĈB + CBˆ H = 180 ( ângulos colaterais internos). ) H Bˆ C = x ) A Bˆ H = AFˆE = x - 0 (ângulos correspondentes). 4) DEFG é um paralelogramo (( GF // DE e EF // DG) 5) F ĜD = DÊF e EFˆG = EDˆ G (ângulos opostos do paralelogramo) Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 : x + (x 0 ) = 360 4x = 500 x = 15. RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 4

5 Questão 08. Com os algarismos do conjunto {0;1;;3;4;5;6;;8}, quantos números ímpares, situados entre 00 e 00, podemos formar com algarismos distintos? 01) 16 0) ) ) ) 140 Os números, em questão, são todos os valores ímpares de x tais que 00 < x < 00. Logo a ordem das centenas só pode ser preenchida com os algarismos, 3, 4, 5 ou 6 e a das unidades pelos algarismos 1, 3, 5 ou. Somente não existem condições para o preenchimento da ordem das dezenas. Comecemos o preenchimento pelas ordens para as quais existem condições: C D U I - Preenchimento (, 4 ou 6) (1, 3, 5 ou ) Número de possbilidades 3 4 II - Preenchimento Entre 3 ou 5, escolhe-se, por exemplo o 3 (1, 5 ou ) Número de possbilidades 3 O total de números será então: = = 16. RESPOSTA: Alternativa 01. Questão 09. Os ciclistas A e B partem de um mesmo ponto e no mesmo instante. A razão entre os raios R e r das rodas das bicicletas de A e B, respectivamente, é igual a 1,5. As rodas da bicicleta de A dão n voltas por minuto, enquanto as da do ciclista B dão (n + ) voltas por minuto. Em cada instante a razão entre as distâncias percorridas por A e B é igual a 10. Calcule o valor de n. 01) 5 0) 30 03) 35 04) 40 05) 45 Sendo r a medida do raio da bicicleta de B, o raio da bicicleta de A é R = 1,5r. Em 1 minuto as rodas da bicicleta do ciclista A dão n voltas, portanto percorre (n 1,5rπ) = 3nrπ. Em 1 minuto as rodas da bicicleta do ciclista B dão (n +) voltas, portanto percorre (n+) rπ) = (n+4)rπ. Como em cada instante a razão entre as distâncias percorridas por A e B é igual a 10 3n 10 = 1n = 0n + 40 n = 40 (n + ) RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 5

6 Questão 10. Quantos números naturais, maiores que 45, podemos formar com quatro algarismos distintos? 01) 304 0) 60 03) ) ) 50 Sendo: 45 < n < 5000 UM C D U 4 6, 8 ou 9 UM C D U 4 3, 5, 6, 8 ou 9 3 0,1,,5,6,8 ou 9 UM C D U 4 8 ou 9 8 0,1,,3,5,6, ou 9 0 1,,3,5,6, ou 9 3 números (5 ) = 35 números 8 = 11números Sendo < n < : UM C D U 5,6,,8 ou 9 5 0,1,,3,4,6,,8 ou 9 0 1,,3,4,6,,8 ou 9 1,3,4,6,,8 ou = 50 números Total de números: = 60. RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 11. O quadrilátero ABCD é inscritível. Calcule a medida y do ângulo A BˆC. 01) ) ) ) ) Sendo ABCD um quadrilátero inscritível, dois ângulos opostos são suplementares, como se pode comprovar pela figura ao lado, onde se vê que a soma dos dois arcos determinados pelos pontos A e C é igual a 360 : y + x = 360 y + x = 180. A soma dos ângulos internos do quadrilátero ABCD é igual a 360 : x + (x + y) = 360 x = 360 x = x = 61 0 x = x = y = = RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 6

7 Questão 1. ( n + )! + 4n! A soma das soluções da equação = 10 (n + 1)! n! é: 01). 05 0) 06 03) 0 04) 08 05) 09 ( n + )! + 4n! ( n + )(n + 1)n! + 4n! n! n = 10 = 10 (n + 1)! n! (n + 1)n! n! [ + )(n + 1) + 4] [(n + 1) 1] [( + )(n + 1) + 4] n! [(n + 1) 1] (n = 10 n + 3n = 10n n n + 6 = 0 ( n + )! + 4n! A soma das soluções da equação = 10 é. (n + 1)! n! RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 13. As medidas dos lados de um triângulo escaleno são os inteiros 40, 50 e x. Quantos são os possíveis valores de x? 01) 8 0) 03) 6 04) 5 05) 4 = 10 Propriedade da desigualdade entre os lados de um triângulo: Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é menor que a soma dos outros dois e maior que o módulo da diferença desses dois lados. x < < 40 + x 10 < x < 90 Então: 40 < 50 + x x 40 e x 50 x > 10, x 40 e x 50 Existem ( ) = 9 números pertencentes ao intervalo 10 < x < 90. Mas, como x tem que ser diferente de 40 e de 50, pois o triângulo é escaleno (todos os lados diferentes) o total de valores inteiros para x é 9 =. RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 14. Os triângulos AFE e BED são isósceles de bases FE e ED. Calcule a medida y do ângulo AÊB. 01) 15 0) 0 03) 30 04) 35 05) (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado

8 Desmembrando a figura acima: Como o triângulo AFE é isósceles, 180 x AFˆE AÊF = (I). No triângulo AFC, considerando a soma dos ângulos internos, chega-se a AFˆC =1 80 (x + 30 ) = 150 x. (II). 180 x De (I) e (II) tem-se a igualdade = 150 x 180 x = 300 4x 3x = 10 x = 40. Na figura 4, A ÊC é externo ao triângulo AFE, logo, 80 + y = x + x y = 0 - x = 30. RESPOSTA: Alternativa 03. QUESTÃO DISCURSIVA Questão 15. Os ângulos internos do hexágono ABCDEF são congruentes. Sabendo que AB = 10cm, BC = 1cm, CD = 10cm e que DE = 15cm, calcule em centímetros, o perímetro desse hexágono. 1) Como os ângulos internos do hexágono são congruentes, os seus lados opostos são paralelos: AB // ED, BC //FE e AF // CD. ) Prolongando-se AB até o ponto I e traçando CG // DE // AB, tem-se os trapézios isósceles ABCH e CDEG, logo AH = 1cm e EG = 10cm. 3) Pela figura acima deduz-se que o triângulo AFI é equilátero, então o triângulo FGH também o é, logo, GE = 10cm = FE + FH. 4) O perímetro do hexágono ABCDEF é igual a: AB + BC + CD + DE + (EF + FH) + AH = = 69. RESPOSTA: o perímetro do hexágono ABCDEF é 69cm (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 8