ANÁLISE DOS EFEITOS DA NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA EM PÓRTICOS PLANOS DE AÇO

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1 ANÁLISE DOS EFEITOS DA NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA EM PÓRTICOS PLANOS DE AÇO Luiz Alberto Araújo de Seixas Leal Eduardo de Morais Barreto Campello Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Av. Prof. Luciano Gualberto, travessa 3, n o 380, CEP , São Paulo/SP, Brasil Resumo. A consideração dos efeitos da não linearidade geométrica é um importante aspecto na análise das estruturas de aço. Nesse contexto, é possível destacar dois métodos que propõem avaliar tais efeitos: o método baseado nos coeficientes B 1 e B 2 e o método baseado em teorias de barras geometricamente exatas. O primeiro pode ser caracterizado como um método aproximado, recomendado pela norma brasileira de estruturas de aço ABNT NBR 8800:2008, e é baseado em análises estruturais sob linearidade geométrica. Por outro lado, o segundo consiste numa análise estrutural avançada que leva em consideração o comportamento geometricamente não linear sem quaisquer restrições quanto à magnitude dos deslocamentos e das rotações. Este artigo apresenta um estudo comparativo entre os resultados dos efeitos da deslocabilidade de pórticos planos de aço obtidos com o uso do método aproximado e do método baseado numa formulação geometricamente exata, como forma de avaliar a validade da metodologia recomendada pela ABNT NBR 8800:2008. Palavras-chave: Efeitos da não linearidade geométrica, Coeficientes B 1 e B 2, Análise geometricamente exata, Estruturas de aço

2 Template for - Análise dos efeitos da não linearidade geométrica em porticos planos de aço 1 INTRODUÇÃO A análise das estruturas de aço requer a consideração dos efeitos da não linearidade geométrica. A interação entre os carregamentos atuantes nos elementos estruturais e os deslocamentos da estrutura provoca o surgimento da não linearidade geométrica, ou seja, causa uma alteração nos esforços solicitantes, tais como momentos fletores e esforços normais. Nas últimas décadas, alguns autores têm proposto diferentes métodos e formulações que visam a observar mais fielmente o equilíbrio dos elementos estruturais na configuração final ou deformada como, por exemplo, LeMESSURIER (1976) e CHEN & ZHOU (1987 apud CHEN & GOTO, 1987). Nesse contexto, é possível destacar dois métodos: o método baseado nos coeficientes B 1 e B 2 e o método baseado em teorias de barras geometricamente exatas. A proposta da primeira metodologia é desenvolver um estudo baseado no equilíbrio da estrutura na configuração inicial ou indeformada (análise sob linearidade geométrica) e, em seguida, amplificar os momentos fletores e esforços normais pelos coeficientes B 1 e B 2. Esse é o método recomendado pela ABNT NBR 8800:2008 para as estruturas de aço e pode ser caracterizado como uma forma aproximada de avaliação dos efeitos da não linearidade geométrica. Por outro lado, o método baseado em teorias de barras geometricamente exatas está embasado em formulações que promovem o equilíbrio de forma exata na configuração final ou deformada. Algumas vantagens no emprego desta metodologia envolvem a criação de um modelo estrutural mais confiável e realista, além de eliminar as hipóteses simplificadoras da análise sob linearidade geométrica. A formulação geometricamente exata é consistente para situações de grandes deslocamentos e rotações. É importante ressaltar que existem algumas outras importantes metodologias, amplamente utilizadas pelo meio técnico, que também propõem estimar os efeitos da não linearidade geométrica. Destacam-se, por exemplo, dois métodos: método baseado no Coeficiente γ z, recomendado pela ABNT NBR 6118:2007, e o método baseado na análise P- Δ. A análise P-Δ propõe a avaliação do pórtico em diversas etapas ou iterações onde, no início de cada uma, a posição da estrutura é atualizada utilizando os deslocamentos obtidos na etapa anterior. Dentro de cada etapa, o equilíbrio é calculado por meio de análise sob linearidade geométrica, obtendo-se assim novos deslocamentos e novos esforços internos (solicitações) nos elementos estruturais. Repete-se o processo até que seja alcançada uma convergência numérica no valor dos deslocamentos e dos esforços, ou seja, até que a diferença entre os resultados de uma etapa para outra é suficientemente pequena. 2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Este subtópico propõe discutir alguns conceitos fundamentais, onde são destacados alguns termos frequentemente utilizados no meio técnico que, na visão dos autores, podem gerar uma interpretação inadequada ao seu respeito no que concerne aos efeitos da não linearidade geométrica em estruturas. A análise estrutural sob linearidade geométrica, também conhecida na literatura técnica pela expressão "análise estrutural de primeira ordem", consiste na avaliação do equilíbrio dos elementos estruturais na sua posição inicial ou indeformada. A hipótese

3 LEAL, A.S; CAMPELLO, E.M.B adotada é a de que os deslocamentos são muito pequenos e logo a posição deformada pode ser confundida com a indeformada. Entretanto, sabe-se que nem sempre essa suposição é verificada e, em casos de estruturas sensíveis ao deslocamento lateral, a análise pode conduzir a uma avaliação incorreta e incapaz de reproduzir o real comportamento da estrutura. A análise estrutural de segunda ordem é caracterizada por estudar o comportamento do pórtico na sua configuração deformada, contudo retendo nas equações de equilíbrio apenas os termos de primeira e segunda ordem nos deslocamentos e rotações (essa aproximação é valida desde que os deslocamentos/rotações sejam pequenos ou relativamente moderados). A norma brasileira de estruturas de aço descreve, inapropriadamente, que esse tipo de análise pode estar embasado em teorias geometricamente exatas, teorias aproximadas ou adaptações a resultados da teoria de primeira ordem. Dessa forma, confunde erradamente a análise não linear (que pode ser de diversas ordens, até mesmo exata) com a análise de segunda ordem. O termo segunda ordem, como sinônimo de análise não linear, tem sido amplamente utilizado pelo meio técnico. Na opinião dos autores, a terminologia mais adequada para designar o que comumente se chama "análise de segunda ordem" seria análise sob não linearidade geométrica. Além disso, sugere-se ainda utilizar "análise sob linearidade geométrica" para designar "análise de primeira ordem". Vale lembrar, por exemplo, que a expressão momento de segunda ordem, utilizada erradamente para caracterizar um dos esforços solicitantes atuantes na configuração final ou deformada, também é empregada para designar uma característica geométrica da seção transversal. Nesse artigo busca-se evitar, sempre que possível, os termos considerados inadequados. Figura 1 Efeito das não linearidades em estruturas aporticadas [Extraída de ALVARENGA & SILVEIRA, 2006] A análise estrutural geometricamente exata, por sua vez, é a análise sob não linearidade geométrica que não faz nenhuma restrição quanto à magnitude dos deslocamentos e das rotações. É aquela que impõe, de maneira direta e exata, o equilíbrio da estrutura na configuração final, sem fazer nenhuma aproximação de natureza geométrica. As formulações características a esse tipo de análise são por natureza não lineares e adequadas para uma avaliação mais realista acerca dos esforços internos e deslocamentos que os elementos estruturais experimentam. Já a análise estrutural elástica consiste no estudo das estruturas com comportamento elástico, linear ou não linear ou seja, trata das estruturas que não apresentam deformações permanentes após a retirada do carregamento e que respondem ao carregamento de forma imediata (sem depender da sua taxa de aplicação). Havendo proporcionalidade entre as forças externas aplicadas e os efeitos observados (esforços internos, deslocamentos e rotações), falase em análise estrutural elástica linear. Para esses casos, nesse trabalho, será adotada a terminologia análise estrutural elástica sob linearidade do material.

4 Template for - Análise dos efeitos da não linearidade geométrica em porticos planos de aço 3 MÉTODO APROXIMADO BASEADO NOS COEFICIENTES B 1 E B 2 O método baseado nos Coeficientes B 1 e B 2 é recomendado pela ABNT NBR 8800:2008 para uma estimativa da influência causada pela não linearidade geométrica local (Efeito P-δ) e global (Efeito P-Δ). A amplificação dos esforços solicitantes obtidos em análises sob linearidade geométrica tem despertado o interesse de diversos pesquisadores desde o início da década de 60 (LeMESSURIER, 1976). Neste contexto, CHEN & GOTO (1987) destacam alguns trabalhos, cuja proposta de avaliação do comportamento estrutural sob não linearidade geométrica se assemelha à filosofia adotada pelos Coeficientes B 1 e B 2. Existem diversos métodos (Chen & Zhou 1987; Cheong-Siat-Moy 1972; LeMessurier 1976, 1977; Lu 1983; Nixon, et. al 1975; Stevens 1967; Yura 1971) disponíveis para a análise da não linearidade geométrica baseada aproximadamente na mesma filosofia proposta pelos coeficientes B 1 e B 2 presentes nas especificações do AISC/LRFD. Entretanto, estes métodos nem sempre fornecem resultados satisfatórios para fins de projeto, uma vez que eles são altamente aproximados e a sua aplicação geralmente é restrita a pórticos com ligações rígidas e sujeitos a pequenos deslocamentos. (CHEN & GOTO, 1987) A metodologia embasada nos Coeficientes B 1 e B 2 consiste na construção de dois modelos estruturais: estrutura nt e estrutura lt (Figura 2). Figura 2 Modelos de cálculo idealizados para o cálculo dos coeficientes B 1 e B 2 A Figura 2 apresenta os modelos que devem ser utilizados para a determinação dos Coeficientes B 1 e B 2. Em (a), a estrutura real é submetida a carregamentos verticais e horizontais que, quando atuam simultaneamente, provocam o surgimento dos efeitos da não linearidade geométrica local e global. Em (b), a estrutura nt é caracterizada por apresentar restrições à movimentação, em cada pavimento, na direção horizontal, permitindo a avaliação dos efeitos locais P-δ, através da determinação do Coeficiente B 1. Em (c), a estrutura lt está sujeita apenas à ação da força horizontal reativa obtida a partir do equilíbrio da Figura 2.7 (b), o que permite estimar a influência dos efeitos globais P-Δ, através do cálculo do Coeficiente B 2. O procedimento de cálculo consiste no desenvolvimento de duas etapas fundamentais: classificação da estrutura quanto à sua deslocabilidade lateral e amplificação dos esforços solicitantes. Em relação à classificação, a ABNT NBR 8800:2008 indica que a estrutura pode ser caracterizada, através do Coeficiente B 2, como de pequena, média e grande

5 LEAL, A.S; CAMPELLO, E.M.B deslocabilidade. Na primeira delas, a influência da não linearidade geométrica global é considerada desprezível ou, em outras palavras, não é necessário avaliar o efeito P-Δ. Em relação à amplificação dos esforços solicitantes, é importante avaliar o comportamento real de cada uma das forças internas. Baseada em recomendações e estudos de diversos pesquisadores, a ABNT NBR 8800:2008 sugere que os efeitos globais P-Δ sejam levados em consideração na avaliação dos momentos fletores e dos esforços normais. Além disso, é preciso considerar ainda a influência que o efeito local P-δ, causado pela não retilineidade dos elementos, exerce sobre os momentos fletores. Tem-se então que: onde M sd, N sd e V sd : Esforços solicitantes de cálculo; M nt, N nt e V nt : Esforços solicitantes de cálculo fornecidos pela estrutura nt; M lt, N lt e V lt : Esforços solicitantes de cálculo fornecidos pela estrutura lt; Note que, conforme explicitado nas equações 1, 2 e 3, o efeito local da não linearidade geométrica, retratado pelo Coeficiente B 1, influencia apenas os momentos fletores. Já o efeito da não linearidade geométrica global, reproduzido pelo Coeficiente B 2, produz uma amplificação dos momentos fletores e esforços normais. 3.1 Vantagens e desvantagens O emprego dos Coeficientes B 1 e B 2 oferece algumas vantagens e desvantagens. Dentre as vantagens, a principal delas é que o método é bastante simples e envolve apenas análises sob linearidade geométrica, o que o torna bastante acessível. Destaca-se também o fato de o seu coeficiente majorador para os efeitos globais P-Δ poder ser variável entre os pavimentos, estabelecendo assim uma avaliação mais realista do comportamento dos elementos estruturais. Outro importante aspecto diz respeito aos esforços cortantes. Segundo resultados de pesquisadores como, por exemplo, OLIVEIRA et al (2013), não seria realista considerar uma elevação em tais esforços, uma vez que o caráter geometricamente não linear não exerce influência significativa. A metodologia baseada nos Coeficiente B 1 e B 2 recomenda que os esforços cortantes adotados para o dimensionamento dos elementos estruturais sejam aqueles fornecidos pela análise sob linearidade geométrica. Dentre as desvantagens, refere-se ao fato de a metodologia ser um pouco mais trabalhosa em relação a outros métodos aproximados, uma vez que o coeficiente amplificador B 2 é calculado para cada um dos pavimentos do pórtico, conforme destacado por SILVA (2004): O método de Amplificação dos Momentos (B 1 -B 2 ) mostrou ser um pouco mais trabalhoso do que o método do Coeficiente γ z... ao contrário do Coeficiente γ z, os coeficientes B 2 variam para cada andar, constituindo-se num coeficiente local de cada barra. (SILVA, 2004). (1) (2) (3)

6 Template for - Análise dos efeitos da não linearidade geométrica em porticos planos de aço Além disso, por se basear num conjunto de análises lineares, o método deve ser utilizado com muito cuidado em estruturas cuja deslocabilidade lateral é alta (em casos extremos, deve até mesmo ser evitado). 3.2 Coeficiente B 1 O coeficiente B 1 está relacionado aos efeitos localizados em barras isoladas que compõem a estrutura, isto é, caracteriza-se pela avaliação do efeito P-δ. O problema foi discutido no trabalho de CHEN & WANG (1999) e é possível compreender melhor o significado a partir do estudo de elementos estruturais isolados, sujeitos a binários concentrados e forças axiais nas extremidades, conforme ilustrado na Figura 3. Figura 3 Efeito P-δ em barras isoladas A Figura 3 (a) mostra o caso geral, onde as duas extremidades possuem momentos M 1 e M 2 distintos. Se for analisada a interação entre a flecha δ, vista num ponto intermediário do elemento de barra, e as forças axiais aplicadas nas extremidades, percebe-se que o diagrama de momentos fletores sofrerá uma alteração na sua forma. O gráfico hachurado mostra quais seriam os esforços internos caso se utilize uma análise sob linearidade geométrica, ao passo que a curva com valores mais críticos fornece uma representação mais realista do comportamento estrutural. Logicamente, a relevância dos efeitos da não linearidade geométrica local dependerá da magnitude dos esforços solicitantes de uma determinada barra. Segundo CHEN & LUI (1987), podem ser definidas três situações: Tabela 1. Classificação dos elementos estruturais segundo CHEN & LUI (1987) A norma ABNT NBR 8800:2008 recomenda o emprego da Equação 4 para o cálculo do coeficiente B 1, conforme pode ser visto a seguir.

7 LEAL, A.S; CAMPELLO, E.M.B (4) onde: N e é a força axial que provoca a flambagem elástica por flexão da barra no plano de atuação do momento fletor, calculada com o comprimento real da barra, considerando, se for o caso, a chamada imperfeição inicial do material, conforme [ABNT NBR 8800:2008]; N sd1 é a força axial de compressão solicitante de cálculo na barra considerada, obtida em análise sob linearidade geométrica (N sd1 = N nt + N lt ) [ABNT NBR 8800:2008]; C m é um coeficiente que depende das condições de aplicação do carregamento transversal ao longo das barras. Se houver forças transversais, a norma brasileira permite que seja adotado, de forma conservadora, o valor C m =1,0. Por outro lado, se não houver carregamento externo entre os nós da barra, sugere-se adotar o seguinte valor: (5) Segundo a norma ABNT NBR 8800:2008, M 1 /M 2 é a relação entre o menor e o maior dos momentos fletores solicitantes de cálculo na estrutura nt no plano de flexão, nas extremidades apoiadas da barra, tomando como positiva quando os momentos provocarem curvatura reversa e negativa quando provocarem curvatura simples (M 1 =M nt1 ; M 2 =M nt2 ). 3.3 Coeficiente B 2 O Coeficiente B 2 permite avaliar a influência da não linearidade geométrica global, causada pela interação entre os esforços solicitantes e os deslocamentos observados nas extremidades das barras. A formulação do Coeficiente B 2 pode ser desenvolvida a partir da verificação das condições de equilíbrio em duas situações distintas: configuração indeformada e configuração deformada. Figura 4 - Influência da não linearidade geométrica global [Extraída de SILVA, 2004] A Figura 4 retrata as forças internas atuantes em ambas as situações. Na Fig. 4 (a), os esforços solicitantes são obtidos pelo equilíbrio da estrutura na configuração inicial, sob linearidade geométrica. Na Fig. 4 (b), a estrutura é avaliada na configuração final ou

8 Template for - Análise dos efeitos da não linearidade geométrica em porticos planos de aço deformada e os momentos fletores solicitantes consideram a não linearidade de maneira aproximada pela amplificação, através do Coeficiente B 2, dos resultados obtidos na configuração inicial. Nesse caso: onde os momentos M lt1 e M lt2 são obtidos em análise sob linearidade geométrica. O índice lt significa lateral translation ou deslocável lateralmente. As formulações permitem que seja encontrada uma equação similar àquela que é recomendada pela ABNT NBR 8800:2008. Para isto, basta isolar o Coeficiente B 2 e substituir a Equação 6 na Equação 7: (6) (7) (8) Note que a Equação 8 ainda relaciona o Coeficiente B 2 com o deslocamento Δ 2, referente à configuração deformada. A estratégia adotada por SALMON & JOHNSON (1997), em seguida, consiste na adoção de uma carga lateral equivalente e amplificada: (9) (10) (11) onde o coeficiente φ é um fator de proporcionalidade entre os deslocamentos laterais e a carga horizontal de cálculo. (12) (13) (14) A relação que define o Coeficiente B 2 (Equação 14) é obtida a partir da Equação 13. Note que a Equação 14 representa a razão entre os deslocamentos Δ 2 /Δ 1. É importante ressaltar que a norma brasileira de aço introduz ainda um coeficiente de ajuste R s na relação descrita pela Equação 14.

9 LEAL, A.S; CAMPELLO, E.M.B 4 MÉTODO BASEADO EM TEORIAS DE BARRAS GEOMETRICAMENTE EXATAS 4.1 Teoria clássica das barras vs. teoria geometricamente exata A análise do comportamento das estruturas, em termos de deslocamentos, rotações, deformações e esforços solicitantes, pode ser feita a partir da construção e idealização de modelos estruturais. A ideia principal é reproduzir da maneira mais realista possível o que acontece em cada um dos elementos estruturais. Diversos estudiosos como, por exemplo, Timoshenko e Vlasov, propuseram teorias e equações matemáticas cuja função era caracterizar os componentes estruturais sujeitos a carregamentos externos, e que, com o passar dos anos, foram sendo constantemente modificadas. As mudanças ocorreram, dentre outros fatores, pela crescente evolução experimentada pela Engenharia e pelo surgimento de novos tipos de materiais e técnicas construtivas. De fato, tais avanços tornaram as construções mais leves, esbeltas e arrojadas, fazendo com que fosse importante o desenvolvimento de formulações mais complexas que pudessem caracterizar esse novo cenário. Nesse contexto, as teorias de barras, importantíssimas para o estudo dos pórticos planos de aço tratados nesse artigo, despertaram o interesse de matemáticos como Jacob Bernoulli e Leonard Euler. No século XVII, o objeto do estudo do Jacob Bernoulli era a configuração deformada de barras elásticas e alguns aspectos do seu trabalho como, por exemplo, a proporcionalidade entre a curvatura do elemento estrutural e o momento fletor num dado ponto, foram usados posteriormente por Euler, no século XVIII (TIMOSHENKO, 1953), servindo de base para a conhecida "Teoria de barras de Bernoulli-Euler". A teoria assume algumas hipóteses cinemáticas que não fornecem resultados realistas para qualquer situação. Foi admitido que as seções transversais ao longo de um elemento de barra permanecem planas e perpendiculares ao eixo da barra após a deformação, cuja validade só é verificada na flexão pura. A hipótese aproxima-se bem da realidade para níveis de deformações práticos e dimensões de seções transversais de barras usuais. Outra formulação clássica bastante difundida no meio técnico é a Teoria de barras de Timoshenko. A teoria estabelece que as seções transversais permanecem planas na situação deformada, porém não necessariamente perpendiculares ao eixo da viga. Em outras palavras, a influência da distorção da seção, causada pelo esforço cortante, é considerada, ainda que de maneira aproximada. Nos últimos anos, diversas teorias de barras mais complexas e avançadas têm sido desenvolvidas. Nesse contexto, é possível destacar as teorias geometricamente exatas, cuja proposta é abordar os efeitos da não linearidade geométrica de forma exata nas formulações matemáticas. Tais teorias incorporam as rotações e os deslocamentos de quaisquer magnitude nos modelos estruturais (SIMO, 1990), diferentemente do que ocorria nas teorias clássicas que admitiam sempre a hipótese de pequenos deslocamentos e rotações, ou de teorias melhoradas que admitiam no máximo deslocamentos e rotações moderados. Os primeiros trabalhos que surgiram no âmbito das teorias geometricamente exatas foram desenvolvidos por REISSNER (1972) e ANTMAN (1972).Embora tenham sido importantes por despertar um interesse crescente nos estudos acerca da não linearidade geométrica, as formulações propostas por REISSNER e ANTMAN eram consistentes e verdadeiras apenas para a análise de elementos de barras num espaço bidimensional. O principal entrave para a

10 Template for - Análise dos efeitos da não linearidade geométrica em porticos planos de aço generalização da teoria para o espaço tridimensional era o tratamento das rotações, cujo caráter não comutativo torna a caracterização matemática muito mais trabalhosa e complexa. A generalização das formulações para o espaço tridimensional, consistentes com os Princípios da Mecânica dos Sólidos Deformáveis, ocorreu somente a partir do trabalho de Simo e colaboradores em meados da década de 1980 (CAMPELLO, 2000). Nesse contexto, a teoria de barras geometricamente exata utilizada neste artigo é consistente com tais princípios e adota algumas hipóteses cinemáticas importantes. A formulação desenvolvida leva em consideração os efeitos da distorção da seção transversal, causados pelo esforço cortante, e o empenamento não uniforme, causado pela torção. Maiores detalhes podem ser vistos em CAMPELLO (2000), PIMENTA & CAMPELLO (2001), PIMENTA, CAMPELLO & WRIGGERS (2008) e CAMPELLO & LAGO (2013). A teoria adotada é válida para situações de grandes deslocamentos, rotações e deformações, conforme mencionado na introdução, e gera equações não lineares que são resolvidas pelo Método dos Elementos Finitos, através do programa computacional PEFSYS. O programa mencionado é um programa de elementos finitos para análise não linear e foi desenvolvido a partir do projeto temático da FAPESP, intitulado Análise Não-Linear de Estruturas (Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica, Escola Politécnica da USP, ), coordenado pelo Prof. Paulo de Mattos Pimenta e que vem, ao longo dos últimos anos, sendo extensivamente ampliado pelo segundo autor deste trabalho. 5 EXEMPLOS NUMÉRICOS O propósito fundamental deste artigo será discutido neste capítulo. O objetivo principal é avaliar se o método aproximado baseado nos coeficientes B 1 e B 2, recomendado pela ABNT NBR 8800:2008, é adequado para estruturas de pequena, média e grande deslocabilidade. Desta forma, um estudo comparativo será desenvolvido e, a partir de dados numéricos, será observada a confiabilidade dos resultados e proximidade entre o método supracitado e o método baseado em teorias de barras geometricamente exatas. 5.1 Metodologia A metodologia adotada consiste no estudo de pórticos planos de aço, sujeitos a carregamentos verticais e horizontais, progressivamente aumentados, com o objetivo de observar, inicialmente, os deslocamentos laterais e os esforços solicitantes máximos obtidos (1) pelos Coeficientes B 1 e B 2 (2) por meio da análise geometricamente exata. A ideia é submeter cada pórtico a uma abrangente faixa de sensibilidade aos efeitos da não linearidade geométrica, ou seja, sujeitá-lo a situações de pequena, média e grande deslocabilidade e, posteriormente, efetuar uma análise comparativa entre os métodos. Tabela 2 Estudos de caso Análise sob linearidade geométrica e de material [LG&M] Análise com o método aproximado [coeficientes B 1 e B 2 ] sem redução das rigidezes [SRR] com redução das rigidezes [CRR] Análise geometricamente exata [PEFSYS] sem redução das rigidezes [SRR] com redução das rigidezes [CRR]

11 LEAL, A.S; CAMPELLO, E.M.B A Tabela 2 resume como os estudos de caso estão organizados. Basicamente, as análises empregadas são: análise sob linearidade geométrica e do material, análise aproximada pelos coeficientes B 1 e B 2 e análise geometricamente exata. É importante destacar que a não linearidade do material, embora não esteja no escopo deste trabalho, também foi considerada, de maneira indireta, nos exemplos. A norma brasileira ABNT NBR 8800:2008, no item , recomenda que, para as estruturas de média e grande deslocabilidade (B2 1.10), a influência causada pela chamada imperfeição inicial do material seja considerada mediante redução das rigidezes dos elementos em 20%. Desta forma, os estudos de caso contemplam duas situações: análise sem redução das rigidezes (SRR) e análise com redução das rigidezes (CRR). Um aspecto importante para as análises efetuadas diz respeito ao comportamento do aço estrutural. O modelo constitutivo presentemente adotado nos pórticos é o elástico linear de Hooke (no caso das análises sob linearidade geométrica) e o hiperelástico de Saint-Venant (no caso das análises geometricamente exatas). Cabe destacar que o primeiro é um caso particular desse último, no caso de as deformações serem pequenas os deslocamentos e as rotações podem ser quaisquer. Em todos os casos analisados a seguir, o módulo de elasticidade longitudinal do aço é tomado com o valor de 200 GPa e o módulo de elasticidade transversal com o valor de 77 GPa. Por fim, vale ressaltar que não é objetivo deste trabalho a verificação da segurança quanto aos Estados Limites Últimos (ELUs), mas sim apenas avaliar a deslocabilidade lateral e os esforços solicitantes decorrentes dos diferentes métodos de análise estrutural. 5.2 Ferramentas computacionais As ferramentas computacionais utilizadas para as simulações numéricas são os softwares FTOOL (TecGraf, PUC-Rio) e o PEFSYS. O primeiro deles foi empregado para efetuar as análises sob linearidade geométrica, bem como para avaliar os efeitos das deslocabilidades local e global pelo método aproximado baseado nos Coeficientes B 1 e B 2. O segundo, para efetuar as análises geometricamente exatas. 5.3 Exemplo 1 Pórtico com um pavimento O primeiro pórtico a ser analisado é constituído de um pavimento, com ligações rígidas entre as vigas e pilares, sujeito a carregamentos concentrados e uniformemente distribuídos. As vigas têm vão de 5 metros e são perfis W460 46,0. Já os pilares têm comprimento, entre pavimentos, de 4.5 metros e são perfis W150x29,8 (H). Neste exemplo, o total de componentes nodais foi de 280, espaçados a cada 5 centímetros. No que se refere às vinculações na fundação, foi admitido que os pilares estão articulados nas mesmas. As vigas são dotadas de travamento lateral contínuo. Em outras palavras, suas translações nodais na direção perpendicular ao plano da estrutura são nulas. Na prática, tal situação é encontrada nos sistemas estruturais dotados de lajes maciças de concreto solidariamente fixadas às mesas superiores das vigas, em geral por meio de pinos (stud-bolts).

12 Template for - Análise dos efeitos da não linearidade geométrica em porticos planos de aço Figura 5 - Representação do pórtico de um pavimento Os carregamentos aplicados são tais que as tensões normais atuantes resultam sempre no regime elástico. Observe que, mesmo na situação de esforços solicitantes internos máximos, as tensões normais permanecem abaixo da resistência ao escoamento do aço, que no caso é σ y = 34,5kN/cm 2. Para a seção mais solicitada: onde: M,N são os esforços solicitantes máximos, detalhados na Tabela 3 [PEFSYS - CRR]; W,A são, respectivamente, o módulo elástico resistente e a área da seção transversal do pilar. Os resultados obtidos em termos de esforços solicitantes, coeficientes B 1 e B 2 e deslocamentos laterais estão apresentados nas Tabelas 3 a 4 e na Figura 6 a seguir. Nas tabelas, a coluna Δ 1 se refere ao valor do deslocamento lateral no topo do pórtico obtido por meio da análise sob linearidade geométrica e de material (LG&M), enquanto que Δ 2 se refere ao valor desse deslocamento obtido por meio da análise geometricamente exata (PEFSYS). Tabela 3 - Resultados do exemplo 1. Esforços atuantes na seção mais solicitada dos pilares Figura 6 Resultados do exemplo 1. Curvas de esforços atuantes (na seção mais solicitada dos pilares, em kn.m e em kn) versus parâmetro de carregamento.

13 LEAL, A.S; CAMPELLO, E.M.B A partir da avaliação dos resultados da Tabela 3 e da Figura 6, percebe-se que os momentos fletores e os esforços normais máximos fornecidos pela metodologia aproximada foram bastante satisfatórios quando comparados com os valores obtidos por meio da análise exata, onde, para ambas solicitações, as diferenças entre resultados se mantiveram abaixo de 10%. Tabela 4 Resultados do exemplo 1. Esforços atuantes na seção mais solicitada dos pilares, valores dos coeficientes B1 e B2 e deslocamentos laterais. 5.4 Exemplo 2 Pórtico com três pavimentos O segundo pórtico a ser analisado é constituído de três pavimentos, com ligações rígidas entre as vigas e pilares, sujeito a carregamentos concentrados e uniformemente distribuídos. As vigas têm vão de 12 metros e são perfis W460 68,0. Já os pilares têm comprimento, entre pavimentos, de 6 metros e são perfis W250x62,0 (H). Neste exemplo, o total de componentes nodais foi de 720, espaçados a cada 10 centímetros. Quanto às condições de contorno essenciais ao equilíbrio estrutural, o pórtico caracterizase por apresentar as mesmas vinculações estabelecidas no exemplo anterior, ou seja, a base dos pilares P1 e P2 estão rotuladas e as vigas possuem travamento lateral contínuo. Figura 7 Representação do pórtico de três pavimentos É válido ressaltar que os carregamentos aplicados são tais que as tensões normais atuantes resultam sempre no regime elástico. O parâmetro de carregamento que provoca

14 Template for - Análise dos efeitos da não linearidade geométrica em porticos planos de aço esforços internos máximos (P/P ref =10) conduz a tensões normais inferiores à resistência ao escoamento do aço dos perfis. Para a seção mais solicitada: onde: M,N são os esforços solicitantes máximos, detalhados na Tabela 5 [PEFSYS - CRR]; Tabela 5 Resultados do exemplo 2. Esforços atuantes na seção mais solicitada dos pilares Figura 8 Resultados do exemplo 2. Curvas de esforços atuantes (na seção mais solicitada dos pilares, em kn.m e em kn) versus parâmetro de carregamento. A avaliação dos resultados da Tabela 5 e da Figura 8 permite afirmar que a correlação entre ambas as metodologias é satisfatória para o pórtico de três andares analisado. Observase que, assim como no pórtico de um pavimento, as discrepâncias entre os valores fornecidos pelo PEFSYS e pelo FTOOL foram inferiores a 10%. Tabela 6 Resultados do exemplo 2. Esforços atuantes na seção mais solicitada dos pilares, valores dos coeficientes B1 e B2 e deslocamentos laterais.

15 LEAL, A.S; CAMPELLO, E.M.B 5.5 Exemplo 3 Pórtico com quatro pavimentos O último pórtico a ser analisado é constituído de quatro pavimentos, com ligações rígidas entre as vigas e pilares, sujeito a carregamentos concentrados e uniformemente distribuídos. As vigas têm vão de 12 metros e são perfis W460 68,0. Já os pilares têm comprimento, entre pavimentos, de 6 metros e são perfis W250x62,0 (H). Neste exemplo, o total de componentes nodais foi de 720, espaçados a cada 10 centímetros. Figura 9 Representação do pórtico de quatro pavimentos As tensões normais, observadas nos elementos estruturais mais solicitados, permanecem em regime elástico, ou seja, a tensão máxima atuante é inferior à resistência ao escoamento do aço estrutural. onde: M,N são os esforços solicitantes máximos, detalhados na Tabela 7 [PEFSYS - CRR]; Tabela 7 Resultados do exemplo 3. Esforços atuantes na seção mais solicitada dos pilares

16 Template for - Análise dos efeitos da não linearidade geométrica em porticos planos de aço Figura 10 Resultados do exemplo 3. Curvas de esforços atuantes (na seção mais solicitada dos pilares, (em kn.m e em kn) versus parâmetro de carregamento. A partir da avaliação dos resultados da Tabela 7 e da Figura 10, percebe-se que as forças internas máximas fornecidas pela metodologia aproximada foram bastante satisfatórias quando comparadas com os valores obtidos por meio da análise exata. Alguns autores também haviam notado que o método aproximado fornecia resultados satisfatórios, como SILVA (2004). Tabela 8 Resultados do exemplo 3. Esforços atuantes na seção mais solicitada dos pilares, valores dos coeficientes B1 e B2 e deslocamentos laterais. 6 CONCLUSÕES Os resultados dispostos nas tabelas e figuras do item 5 permitem afirmar que houve uma correlação satisfatória entre a metodologia aproximada baseada nos coeficientes B 1 e B 2 e a metodologia baseada nas formulações geometricamente exatas. Observa-se que a diferença entre os valores dos momentos fletores máximos atuantes nos pilares para ambos os métodos foi, em todos os casos avaliados, inferior a 10%. Em relação aos esforços normais máximos, a discrepância foi ainda menos significativa. No exemplo 3, por exemplo, a variação entre o esforço normal fornecido pelas análises sob linearidade geométrica e geometricamente exata foi da ordem de 3%. Outro aspecto observado diz respeito ao fato de que a análise geometricamente exata forneceu, em todos os parâmetros de carga e pórticos planos estudados, valores dos esforços solicitantes inferiores àqueles obtidos pela análise aproximada. É importante destacar que as conclusões não são gerais e valem apenas para os pórticos planos de aço estudados neste artigo. Não é possível, por exemplo, afirmar que a metodologia de amplificação esforços pelos coeficientes B 1 e B 2 sempre fornecerá resultados de esforços solicitantes próximos aos obtidos pela análise geometricamente exata. Nesse contexto, ressalta-se que, em pórticos sujeitos a elevada deslocabilidade (da ordem de B 2 igual 2), LEAL & CAMPELLO (2013) observaram que a diferença entre os resultados fornecidos pelas metodologias começam a ficar significativos.

17 LEAL, A.S; CAMPELLO, E.M.B Por fim, sugere-se que, em trabalhos futuros, sejam observadas as diferenças e semelhanças entre os resultados obtidos, por metodologias distintas, em pórticos com ligações flexíveis entre as vigas e os pilares. Diversos autores vêm estudando o assunto, como AVAKIAN (2007), LAVALL et. al (2012) e evidenciado que a distribuição dos esforços solicitantes e a deslocabilidade da estrutura é significativamente afetada pela adoção de ligações flexíveis. Outro tema sugerido é a implementação de modelos estruturais mistos de aço e concreto. A relevância pode ser vista por dois aspectos: (a) grande parte dos trabalhos relacionados ao método baseado nos coeficientes B 1 e B 2 aborda apenas as estruturas de aço e (b) tem crescido o número de construções mistas de aço e concreto. Inclusive, a norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 contempla o dimensionamento de estruturas mistas e, desta forma, é importante verificar se a influência das não linearidades geométricas local e global, em tais elementos, é adequada para a análise de esforços solicitantes. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR6118 Projeto de Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro, ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR8800 Projeto de Estruturas de Aço e de Estruturas Mistas de Aço e Concreto de Edifícios. Rio de Janeiro, ALVARENGA, A.R; SILVEIRA, R.A.M. A configuração geométrica inicial na análise avançada de portais planos de aço. Revista Escola Minas, AVAKIAN, AMÁLIA CAMILLO. Estruturas aporticadas mistas aço-concreto: avaliação de metodologias de análise. Dissertação de mestrado, Universidade Federal do Rio de Janeiro - COPPE CAMPELLO, E.M.B. Análise não-linear de perfis conformados a frio. Dissertação de mestrado, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo CAMPELLO, E.M.B; LAGO, L.B. Effect of higher order constitutive terms on the elastic buckling of thin-walled rods. Thin-walled Structures, 2013 (accepted for publication). CHEN, SHENG-JIN; WANG, WU-CHYUAN. Moment amplification factor for P-δ effect of steel beam-column. Journal of Structural Engineering, Vol.125, No.2, February, CHEN, W.F; GOTO, Y. Second-Order elastic analysis for frame design. Journal of Structural Engineering, CHEN, W.F; LUI, E.M. Structural Stability. United States of America, LAVALL, A.C.C; SILVA, R.G.L; FAKURY, R.H. Comportamento elastoplástico de pórticos de aço considerando as ligações semirrígidas viga-pilar. CBCA. Revista da Estrutura de Aço. V.01, N o 3, p Dezembro, 2012.

18 Template for - Análise dos efeitos da não linearidade geométrica em porticos planos de aço LE MESSURIER, WM. J. A Practical Method of Second Order Analysis: Part 1 Pin Joint Systems. AISC Engineering Journal LEAL, A.S; CAMPELLO, E.M.B. Análise elástica dos efeitos da deslocabilidade global em estruturas de aço. CBCA. Revista da Estrutura de Aço, OLIVEIRA, D.M; SILVA, N.A; BREMER, C.F; INOUE, H. Considerações sobre a determinação do coeficiente γ z. Revista IBRACON de estruturas e materiais. Volume 6, n o 1, p PIMENTA, P; CAMPELLO, E.M.B. Geometrically nonlinear analysis of thin-walled space frames. In: Proceedings of the Second European Conference on Computational Mechanics (II ECCM). Cracow, PIMENTA, P; CAMPELLO, E.M.B.; WRIGGERS, P. An exact conserving algorithm for nonlinear dynamics with rotational DOFs and general hyperelasticity. Part 1: Rods. Computacional Mechanics, 42, , SALMON, CHARLES G; E.JOHNSON, JOHN. Steel structures: design and behavior. 4 th Edition. HarperCollinsCollegePublishers, SILVA, R.G.L. Avaliação dos efeitos de 2ª ordem em edifícios de aço utilizando métodos aproximados e análise rigorosa. Dissertação de mestrado, Universidade Federal de Minas Gerais, SIMO, J.C. The (symmetric) Hessian for geometrically nonlinear models in solid mechanics: Intrinsic definition and geometric interpretation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 96, , 1990.