Modalidade e Metafisica

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1 Modalidade e Metafisica November 19, 2012 Segue-se um resumo/adaptação/explicação da introdução de Michael J. Loux ao livro The Possible and the Actual. 1 Cepticismo sobre a modalidade David Hume: rejeitava a ideia de que a modalidade fosse uma característica da realidade. Contraste com a ideia aceite hoje em dia (pela maioria das pessoas a trabalhar na área) de que a realidade tem uma estrutura modal, uma ideia aceite em parte graças aos desenvolvimentos da semântica da lógica modal e da reflexão sobre as várias formas de discurso modal. 2 História Na história recente, a modalidade foi encarada com suspeita, em parte devido às inclinações empiristas em voga no inicio do século XX, e também às crenças de que um sistema puramente extensional (como o dos Principia Mathematica de Russell e Whitehead) nos dava o paradigma da lógica. C. I. Lewis desenvolveu diferentes formalizações da inferência modal para capturar a noção pre-teórica 1

2 de implicação (pouco satisfeito com o condicional material do sistema Russell- Whitehead). (ver os paradoxos da implicação material). Mas uma vez que o seu trabalho indicou como construir diversos sistemas não equivalentes de lógica modal, e não apenas um, os cépticos da modalidade continuaram resistentes à ideia de que a realidade tivesse propriedades modais. Já conhecemos esses sistemas. Dos que tratava C.I. Lewis: O sistema mais fraco era M (ou T ) que tem todas as tautologias verocondicionais, mais duas formulas modais, e teria ainda modus ponens e a regra de necessitação (se A é um axioma de T, então A também o é).: 1. (A B) ( A B) 2. A A O sistema de Brower (B) contém T mais o seguinte 3. A A S4 é construído a partir de T acrescentando antes 4. A A Em S4, o seguinte é derivável: 5. A A. 6. A A. Dada uma fórmula com uma ocorrência de um só operador modal, podemos substituí-la por outra com qualquer número de iterações do operador modal em questão. Também poderíamos obter S4 acrescentando-lhe simplesmente 7. A A 2

3 Finalmente, temos S5, que inclui nos teoremas 8. A A 9. A A Quando o que buscamos é uma teoria que sistematize a inferência modal, queremos saber quais são as inferências que são legítimas e quais as que não o são. Uma vez que temos quatro sistemas distintos, como escolher o sistema adequado? Será que basta contrastar os axiomas dos diferentes sistemas para ver quais deles concordam com as nossas intuições pre-teóricas? Um problema com esta estratégia é que assume, primeiro, que temos intuições claras sobre (3), (4) e (7) (por exemplo). Mas muitas vezes, não é nada claro que tenhamos tais intuições claras sobre o estatuto das proposições modais. As intuições terão de confrontar, também, as fórmulas deriváveis com os axiomas de cada sistema, B, S4 e S5 Por exemplo: 10. p p 11. ( q) ( q) 12. (( r) ( r)). A primeira é derivável em B, a segunda em S4 e a última em S5. Outra razão para cepticismo foi que durante muito tempo não houve uma semântica para os vários sistemas modais. Não havia modelos (conjuntos de objectos, e as fórmulas seriam sobre esses objectos) em termos dos quais as fórmulas pudessem ser interpretadas. Como explicar então o que é uma fórmula válida? A partir de meados do século XX, começaram a formular-se estratégias para encontrar uma semântica para os diversos sistemas modais, apelando à ideia 3

4 Leibniziana de mundo possível. Essencialmente, a necessidade seria interpretada como verdade em todos os mundos possíveis, e a possibilidade como verdade em algum mundo possível. Carnap, por exemplo, tenta explicar a modalidade à la Leibniz com à noção de descrições de estado, em que estas são conjuntos maximamente consistentes de frases atómicas, tais que para cada frase atómica S, ou S é um membro do conjunto de frases maximamente consistentes, ou a sua negação o é. Uma frase seria necessariamente verdadeira sse fosse verdadeira em todos os conjuntos de frases maximamente consistentes. A adaptação da noção Leibniziana de mundo possível permite tratar os operadores modais de uma forma uniforme de modo a que os símbolos funcionem como operadores nos diferentes sistemas modais não equivalentes. A semântica modal de Saul Kripke é uma das mais conhecidas. Kripke define para T uma estrutura de um modelo-t, a qual é um triplo ordenado G, K, R, em que K é um conjunto de objectos, G um objecto no conjunto e R a relação de possibilidade relativa, ou acessibilidade. Teremos de imaginar que R está definida sobre K de antemão, i.e., que mundos são acessíveis relativamente a que outros mundos. A relação de acessibilidade será, em T, reflexiva. Dada a estrutura de um modelo-t, Kripke define um modelo como uma função binária de frases atómicas de T e de mundos possíveis para valores de verdade. Informalmente, um modelo atribui a cada formula atómica de T um valor de verdade em cada mundo possível. Dado o modelo, qualquer frase não atómica pode receber um valor de verdade em cada mundo no modelo. (a) A é verdade em w sse A é falsa em w. (b) (A B) é verdade em w sse ou A é verdade em w ou B é verdade em w. (c) A é verdade em w sse existe pelo menos um mundo possível w tal que w é acessível a w e A é verdade em w. 4

5 (d) A é verdade em w sse para todo o mundo possível w acessível a w, A é verdade em w. A validade-em-t é definida por Kripke de tal forma que uma fórmula é válida em T sse é verdadeira em todos os modelos numa estrutura de modelo-t. Kripke provou, com esta noção de validade, a completude de T, i.e., que todas as fórmulas que são válidas em T são deriváveis por meio das regras de T. Neste caso, a fórmula A A tem de ser válida em T, o que requer que se A é verdade em todos os mundos acessíveis a w então A é verdade em w. Como em T a relação de acessibilidade é reflexiva, a condição é satisfeita e Kripke provou também a completude de B, por meio da noção de validade num modelo-b, tornando a relação de acessibilidade não só reflexiva mas também simétrica (fórmula: A A). E prova a completude de S4 usando a noção de validade num modelo-s4, tornando a relação de acessibilidade reflexiva e transitiva. (fórmula A A). Finalmente, prova ainda a completude de S5 em termos da validade num modelo-s5. Com as noções de validade em B, S4 e S5, Kripke prova a completude dos sistemas, de forma a que toda e qualquer fórmula válida num destes sistemas é demostrável nesse mesmo sistema. A cada um destes sistemas de lógica modal proposicional corresponde um sistema de lógica modal quantificada. Nós não estudámos os sistemas quantificados. Essencialmente, Kripke introduz a noção de estrutura de um modelo quantificacional, para cada um dos tipos de modelos considerados, e uma função que atribui a cada mundo um conjunto de objectos. Cada conjunto é o conjunto de objectos que existem em cada mundo possível. Um conjunto de objectos é o domínio de cada mundo possível. A união dos domínios é domínio de todos os objectos possíveis. Um modelo quantificacional é uma função binaria de expressões predicativas e mundos possíveis para conjuntos 5

6 de n-tuplos de objectos. Um modelo quantificacional dá-nos a interpretação dos predicados no sistema, para cada predicado e mundo possível, atribui um conjunto de n-tuplos ordenados de objectos a extensão dos predicados nos mundos possíveis. Assim, pode determinar-se o valor de verdade de cada fórmula quantificada nos vários sistemas em cada mundo possível. Os métodos dados permitem determinar o valor de verdade de qualquer fórmula em qualquer dos sistemas de lógica modal quantificada. Uma fórmula é válida sse for verdadeira em todos os modelos quantificados numa estrutura quantificada T, B, S4 ou S5. (ignorando as complicações a variação de existentes em diferentes mundos, o que tem efeitos para a fórmula de Barcan e para a conversa da fórmula de Barcan: FB: x F x xf x; CFB: xf x x F x). A semântica da lógica modal permite responder ao segundo problema que motivava o cepticismo com respeito à lógica modal. Esta estratégia também permite aparentemente responder ao primeiro problema ou dificuldade que motivava o cepticismo: como decidir entre os vários modelos. O que o trabalho na semântica da lógica modal sugere é que os operadores modais são uma espécie de quantificadores sobre mundos possíveis, em que é um quantifica sobre todos os mundos possíveis que são acessíveis a partir de um mundo de partida (restringindo a noção de possibilidade relativa ou acessibilidade no sistema relevante) e o um quantificador existencial, que quantifica sobre pelo menos um mundo acessível a partir do mundo de partida. Nesta medida, a estratégia Leibniziana dá-nos uma representação daquilo de que tratam os sistemas modais e explica a diferença entre estes sistemas com base na diferença na relação de acessibilidade nos diferentes sistemas. Assim, a escolha de sistema modal não precisa de ser ditada pelas nossas intuições sobre fórmulas complicadas, mas podemos perguntar-nos que inferência modal preferimos, com base nas nossas preferências com respeito à relação de acessi- 6

7 bilidade (ou possibilidade relativa). Podemos perguntar-nos, por exemplo, se o que é metafisicamente necessário ou possível pode variar de mundo para mundo. Consoante a resposta, podemos preferir B, S4 ou S5. 3 Extensionalidade e Mundos Possíveis 3.1 Mundos Possíveis A semântica modal permitiu encontrar uma base sólida para a lógica modal, e permitiu fazer aplicações da lógica modal a outras áreas, com modificações sobre o aparato dos mundos possíveis: lógica temporal, lógica epistémica, e lógica deontica, em cada caso com uma semântica bem definida. Mas os empiristas continuaram a resistir à lógica modal, que rejeitam a possibilidade de fazer sentido de um sistema não-extensional. (Para essas pessoas, uma lógica tem de ser extensional). Além do mais, a semântica modal depende da noção de mundo possível, e para isso parece que temos de assumir que há mundos possíveis distintos do nosso, e que há objectos que não encontramos no mundo actual. Ora, não sabemos, segundo tais cépticos, o que serão tais coisas, e não deveríamos ter de nos comprometer com a existência de mundos possíveis ou objectos nãoexistentes. Como interpretar os vários sistemas modais? Uma sugestão é vê-los como um sistema não interpretado de inscrições que incorporam um vocabulário primitivo e dois tipos de regras: (1) regras que nos permitem construir sequências de inscrições a partir do vocabulário primitivo, e (2) regras que nos permitem derivar certas sequências de inscrições a partir de sequências anteriores. Neste sentido, os sistemas não são sobre nada. Poder-se-ia insistir que qualquer conjunto de objectos que satisfaça as restrições formais impostas pela semântica de 7

8 Kripke serviria. Contudo, se estes sistemas são sistemas de lógica modal, então são teorias legítimas sobre as inferências modais. E se é assim, então os objectos a que apelamos nos modelos para a semântica desses sistemas têm de ser algo que possa ser plausivelmente visto como o objecto do discurso modal. Quais são as alternativas aqui? Falar de mundos possíveis é simplesmente uma formalização das nossas crenças pre-filosóficas. Quando dizemos que é necessário que = 4 queremos dizer que aconteça o que acontecer, = 4. Estas diferentes maneiras como as coisas se podiam ter passado é aquilo que determina a verdade das frases prefixadas com operadores modais. Estas parafrases: como as coisas se podiam ter passado, o que teria acontecido, etc., seriam maneiras de quantificar sobre mundos possíveis, e os mundos possíveis seriam assim aquilo que confere valor de verdade às nossas afirmações sobre o que tem de ser, ou pode ser, o caso. O problema com os mundos possíveis, segundo alguns, é que são entidades metafisicamente exóticas, que, como diria Russell, violam um sentido robusto da realidade. 3.2 Modalidade De Re e De Dicto Falar de mundos possíveis também é útil quando falamos de outros tipos de discurso, em particular quando falamos da modalidade de re. A modalidade de dicto concerne a modalidade da verdade das proposições. A modalidade de re concerne o estatudo modal da exemplificação de um atributo por um objecto particular. Imaginemos que Kripke está a pensar no número 3. Podemos assim distinguir: 13. Necessariamente, aquilo em que Kripke está a pensar é um número primo. 8

9 14. A coisa em que Kripke está a pensar é necessariamente um número primo. (13) faz uma atribuição de modalidade de dicto e (14) faz uma atribuição de modalidade de re. (14) deve ser verdade, mas podemos duvidar que (13) o seja. Mesmo que as atribuições de modalidade dos dois tipos sejam distintas, em ambos os casos podemos esperar que a referência a mundos possíveis é requerida. No caso da modalidade de dicto, entende-se que uma certa proposição é verdadeira aconteça o que acontecer, em todos os mundos possíveis. No caso da modalidade de re, entende-se que um certo objecto não poderia ter existido sem ter tido um determinado atributo. (no caso da necessidade) 3.3 Contrafactuais O discurso contrafactual também parece apoiar a ideia de que os mundos possíveis são elementos da ontologia a que nos comprometemos no discurso não filosófico. Os contrafactuais como 15. Se o Nixon não se tivesse demitido, teria havido uma crise constitucional. Verificamos que a lógica extensional não explica adequadamente o discurso contrafactual, como o caso (15). Nestes casos, não estamos a falar de como as coisas se passaram. O discurso contrafactual resiste um tratamento puramente extensional porque fala de coisas que vão para lá do que existe ou acontece, pelo menos assim parece ser. No discurso contrafactual, os mundos possíveis de que falamos parecem ser restritos. Não estamos a dizer que em todos os mundos possíveis em que o Nixon não se demite, há uma crise constitucional, porque certamente haverá mundos possíveis em que ele não se demite e não há qualquer crise. Estamos a dizer, presumivelmente, que, num mundo suficientemente próximo ou semelhante ao actual, se o Nixon não se demite, há uma crise constitucional. A ideia é que para um contrafactual se tivesse sido o caso que 9

10 p então teria sido o caso que q, nos mundos que se assemelham ao actual tanto quanto possível, compatíveis com p ser verdade nesse mundo, então q é verdade nesse mundo também. 3.4 Significado A noção de mundos possíveis também se tornou útil para explicar a noção de significado. Os filósofos que favorecem o extensionalismo sempre resistiram a falar de significado. Os significados não teriam condições de identidade precisas nem obedeceriam a princípios de individuação claros. A alternativa pareceria ser abandonar qualquer noção de sentido. Outra alternativa é explicar o significado em termos de referência. Na versão mais forte do extensionalismo, o significado dos termos não lógicos é a sua extensão. O sentidos dos termos singulares são os seus referentes, o significado dos termos predicativos são os conjuntos de n-tuplos que os satisfazem, e as frases têm como significado o valor de verdade. Um problema desta abordagem é que parece que o significado tem de ser mais fino do que a teoria prevê. Os termos singulares co-referenciais, bem como os predicados co-extensionais, e as frases com o mesmo valor de verdade, tornamse (respectivamente) sinónimos entre si. Isto parece problemático. (ver casos de expressões com significado sem referentes, ou de diferente valor cognitivo de frases com diferentes termos co-referenciais, e diferente valor de verdade de algumas de tais frases). De todas as formas, a ideia de que saber o significado é saber fixar a extensão de um termo é atraente: saber o significado de um predicado seria saber a que tipo de coisas se aplica, saber o significado de uma frase declarativa seria saber em que condições seria verdadeira. Poderemos isolar o erro da abordagem extensional? Segundo alguns autores (Cresswell ou Kaplan), a referência não se faz simplesmente a referentes actuais. 10

11 As expressões linguísticas servem para falar do que é o caso, mas também do que poderia ter sido o caso. O significado é um conceito referencial e portanto tem de ser analisado por meio da noção de uma extensão; mas também é uma noção modal e por isso tem de ser explicado em termos de mundos possíveis. O significado das expressões não-lógicas (nomes, predicados, frases) seria uma função de mundos possíveis para as suas extensões. O significado é uma função que atribui a cada mundo possível a extensão que uma expressão tem quando a usamos para falar sobre esse mundo. Assim, os termos singulares têm como significado funções de mundos para objectos; o significado de predicados n-ários é uma função de mundos para conjuntos de n-tuplos ordenados, e o significado de frases declarativas é uma função de mundos para valores de verdade. Uma estratégia semelhante seria utilizada para explicar relações, propriedades, conceitos individuais, proposições, etc. Em vez de analisar estas noções simplesmente com recurso a noções de teorias de conjuntos, utilizar-se-iam as noções do referencialista modal. Os conceitos individuais seriam funções de mundos para indivíduos, propriedades seriam funções de mundos para conjuntos de objectos, as relações, funções de mundos para conjuntos de pares ordenados, triplos ordenados, etc. E proposições seriam funções de mundos possíveis para valores de verdade. As entidades abstactas em questão são entidades de teoria de conjuntos, e por isso têm condições de identidade simples. Preservam-se as propriedades modais, para além das actuais, destes objectos abstractos, graças ao uso da noção de mundos possíveis. Nesta abordagem, o significado dos termos singulares são conceitos singulares, os de predicados são propriedades e relações, e os de frases, certas proposições. 11