MODELAGEM DA DISPERSÃO DE POLUENTES NO CICLO DIURNO DA CAMADA LIMITE ATMOSFÉRICA VIA MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS. Roseane Alves de Souza Albani

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1 MODELAGEM DA DISPERSÃO DE POLUENTES NO CICLO DIURNO DA CAMADA LIMITE ATMOSFÉRICA VIA MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Roseane Alves de Souza Albani Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica. Orientador: Fernando Pereira Duda Rio de Janeiro Dezembro de 2014

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3 Albani, Roseane Alves de Souza Modelagem da Dispersão de Poluentes no ciclo diurno da Camada Limite Atmosférica via Método de Elementos Finitos/Roseane Alves de Souza Albani. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, XVII, 104 p.: il.; 29,7cm. Orientador: Fernando Pereira Duda Tese (doutorado) UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Mecânica, Referências Bibliográficas: p Camada Limite Atmosférica. 2. Elementos Finitos. 3. Transporte Advectivo-Difusivo. 4. Dispersão Atmosférica. 5. Galerkin Least Squares. I. Duda, Fernando Pereira. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Título. iii

4 Ao meu amado esposo Vinícius, companheiro fiel de todas as horas. iv

5 Agradecimentos Ao meu esposo Vinícius por todo carinho e compreensão dedicados a mim ao longo da minha formação. À minha avó Miriam, que sempre me estimulou a querer ser mais. Aos meus sogros (Pais) Derli e Antônio, meu cunhado Filipe e minha tia emprestada Dilma, pelo carinho e amizade com que sempre me acolheram. Agradeço a todos os meus amigos pelo estímulo e encorajamento nas horas mais difíceis. Agradeço ao meu orientador Fernando Pereira Duda, pela orientação, incentivo, e por acreditar na minha capacidade. Agradeço ao Prof. Luiz Cláudio Gomes Pimentel, pelas diversas conversas sempre muito instrutivas para mim, por ter me introduzido nesta área e por me permitir a convivência no NCQAr. A todos os colegas do NCQAr, pela convivência agradável que tive neste laboratório, em especial, Leonardo Aragão e Maurício Soares pela boa vontade com que sempre me ajudaram. Gostaria também de agradecer ao colega Gabriel Guerra, pela paciência e boa vontade com que sempre me socorreu nas dificuldades computacionais. À nossa secretária acadêmica Vera Noronha, pela eficiência, simpatia e boa vontade de sempre. Ao CNPq pelo suporte financeiro. A Deus, por tudo. v

6 É melhor, muito melhor, contentar-se com a realidade; se ela não é tão brilhante como os sonhos, tem pelo menos a vantagem de existir. Machado de Assis vi

7 Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.) MODELAGEM DA DISPERSÃO DE POLUENTES NO CICLO DIURNO DA CAMADA LIMITE ATMOSFÉRICA VIA MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Roseane Alves de Souza Albani Dezembro/2014 Orientador: Fernando Pereira Duda Programa: Engenharia Mecânica Neste trabalho, apresentamos uma metodologia para a simulação numérica da dispersão de poluentes na Camada Limite Atmosférica (CLA). O modelo utilizado consiste de uma equação de transporte advectivo-difusivo tridimensional transiente, o qual inclui processos de deposição seca, além de parametrizações para as componentes horizontais do vento médio e difusividade turbulenta vertical. Estas, por sua vez, incluem no modelo a variação no tempo das forçantes térmicas e mecânicas responsáveis pelo processo de difusão turbulenta na CLA. Ademais, o modelo permite ainda a variação da direção do vento com o tempo, o que é essencial quando se pretende investigar o efeito do ciclo diurno na dispersão da pluma. Como parte do procedimento de obtenção da solução, o método estabilizado de Galerkin Least Squares (GLS) foi empregado em conjunto com malhas adaptativas. Isto se mostrou essencial especialmente por se tratar de um problema que envolve grandes variações de concentração próximo à fonte de emissão, e que está sujeito a instabilidades numéricas geradas quando o transporte na CLA é governado pela advecção. Pode-se ainda acrescentar que o refinamento adaptativo é necessário quando se considera o giro do vento com o tempo, pois a malha é refinada na direção do escoamento, que é a região do domínio onde os gradientes de concentração são maiores, ou seja, a malha é refinada apenas nas regiões poluídas. Isto reduz sobremaneira o custo computacional sem comprometer o desempenho da solução numérica. Os resultados obtidos mostraram que esta metodologia foi capaz de simular o ciclo diurno, representando de forma adequada o comportamento físico esperado para a pluma. vii

8 Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.) POLLUTANT DISPERSION MODELING IN THE DIURNAL CYCLE OF THE ATMOSPHERIC BOUNDARY LAYER USING THE FINITE ELEMENT METHOD Roseane Alves de Souza Albani December/2014 Advisor: Fernando Pereira Duda Department: Mechanical Engineering We present a methodology to simulate numerically the pollutant dispersion within the Atmospheric Boundary Layer (ABL). Such model consists of a transient tri-dimensional advection-diffusion transport equation, which includes dry deposition effects, besides parametric models to the horizontal components of the mean wind speed and vertical eddy diffusivity. In addition, such parameterizations include the time variation of the mechanical and thermal forcing, which causes the ABL dispersion. Furthermore, the model simulates the wind turning in time. This is essential when the diurnal cycle effect is investigated in the plume dispersion. As a part of the presented methodology, the stabilized Galerkin Least Square method (GLS) was employed jointly with adaptive meshes. Such procedure was essential since the solution changes quickly near the source of emission, and also to deal with numerical instability which arises when the ABL flow is mechanically driven. Moreover, the adaptive mesh refinement is necessary when the wind turning is considered, since it is possible to refine the mesh just in the flow direction, which is the region of the higher concentration gradients. This represents a remarkable computational gain without compromising the numerical solution. The obtained results showed that the presented methodology is capable to simulate the diurnal cycle, representing adequately the expected physical behavior of the plume. viii

9 Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas Lista de Abreviaturas xi xv xvii 1 Introdução Organização da tese Revisão da Literatura Soluções analíticas e semi-analíticas Soluções numéricas Camada Limite Atmosférica Estrutura da camada limite atmosférica Modelagem da Dispersão na CLA Modelo de Dispersão Atmosférica A equação de transporte Coeficiente de difusão turbulenta na CLA Campo de Vento na CLA Modelagem Numérica Método de elementos finitos aplicado a problemas advectivos-difusivos Formulação variacional Formulação de elementos finitos Avaliação com dados experimentais Modelo para simulação dos experimentos Metodologia de solução Convergência da solução - experimento de Prairie-Grass Convergência da solução - Experimento de Hanford Convergência da solução - Experimento de Copenhagen ix

10 6.3 Avaliação estatística do modelo de dispersão Experimento de Prairie Grass Avaliação estatística do modelo Experimento de Hanford Avaliação estatística do modelo Experimento de Copenhagen Avaliação estatística Dispersão na CLA devido ao ciclo diurno Modelo transiente bidimensional Avaliação com modelo unidimensional transiente Distribuição da concentração com a estabilidade atmosférica Variação da direção do vento com o tempo Conclusões 78 Referências Bibliográficas 81 A Dados meteorológicos, concentrações obtidas e observadas 91 A.1 Dados meteorológicos, experimento de Prairie-Grass A.2 Dados meteorológicos, concentrações obtidas e observadas. Experimento de Hanford A.3 Dados meteorológicos, concentrações observadas e obtidas. Experimento de Copenhagen x

11 Lista de Figuras 3.1 Definição das escalas características relativas a cada região na camada limite instável (L < 0). Típicos valores de h/l na camada limite instável. Fonte: HOLTSLAG e NIEWSTADT [60]) Camada limite estável (L > 0). A linha pontilhada é dada por z/l = 1. Fonte: HOLTSLAG e NIEWSTADT [60]) Um exemplo da estrutura das malhas utilizadas nas simulações do problema bidimensional, obtida para simular o caso 9 do experimento de Prairie-Grass Um exemplo da malha adaptativa gerada para simular o caso 9 do experimento de Prairie-Grass C(x, 1, 5), u(z), K zz (z) e número de Peclet. Rodada 7 (h/l = 107, 9) Prairie-Grass na condição instável C(x, 1, 5), u(z), K zz (z) e número de Peclet. Rodada 11 (h/l = 2, 2) Prairie-Grass na condição instável C(x, 1, 5), u(z), K zz (z) e número de Peclet. Rodada 68 (h/l = 8, 5) Prairie-Grass estável C(x, 1, 5), u(z), K zz (z) e número de Peclet. Rodada 24 (h/l = 0, 61) Prairie-Grass estável C(x, 1, 5)/Q, u(z), K zz (z) e número de Peclet. Caso 5 (h/l =2,66)Hanford (sem deposição) C(x, 0.6)/Q, u(z), K zz (z) e número de Peclet. Caso 1 (h/l =- 43,04) Copenhagen C(x, 0.6)/Q, u(z), K zz (z) e número de Peclet. Caso 6 (h/l =- 2,2847) Copenhagen Gráfico de concentração residual analisado em termos da distância a partir da fonte considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Prairie-Grass nas condições estável (esquerda) e instável (direita) Diagrama de dispersão da concentração observada versus concentração prevista xi

12 6.12 Concentração residual em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Prairie-Grass na condição estável Concentração residual em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Prairie-Grass na condição instável Diagrama de dispersão da concentração observada versus concentração prevista Concentração residual analisado em termos da distância a partir da fonte considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Hanford sem deposição Concentração residual analisado em termos da distância a partir da fonte considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Hanford com deposição Gráfico de concentração residual analisado em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Hanford casos sem deposição Concentração residual analisado em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Hanford com deposição Comparação dos perfis verticais em x = 300 m e x = 3000 m Este esquema representa a disposição das unidades de amostras (representadas por círculos) ao longo do setor 40 o 150 o. Fonte: GRY- NING E LICK [33] Diagrama de dispersão da concentração observada versus concentração prevista obtidas para o experimento de Copenhagen. Concentrações integradas, c(x, z 0 )/Q 10 4 [s/m 2 ] (figura da esquerda) e concentrações máximas c(x, 0, z 0 )/Q 10 7 [s/m 3 ] (figura da direita) Concentração residual em termos da distância a partir da fonte considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Copenhagen. Concentrações integradas (figura da esquerda). Concentrações máximas (figura da direita) Concentração integrada residual em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Copenhagen Concentração máxima residual em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Copenhagen xii

13 7.1 Concentrações obtidas para valores de u r sucessivamente menores e comparação com [105], considerando os instantes t = 10h (figura da esquerda), t = 11h (figura da direita) e t = 12h (figura central) Concentração C(x,z)[kg/m 2 ], considerando os instantes t = 6 e t = 7 horas respectivamente Concentração C(x,z)[kg/m 2 ], considerando os instantes t = 8 e t = 13 horas respectivamente Concentração C(x,z)[kg/m 2 ], considerando os instantes t = 15 e t = 17 horas respectivamente Concentração C(x,z)[kg/m 2 ], considerando os instantes t = 18 e t = 19 horas respectivamente Concentração C(x,z)[kg/m 2 ], considerando o instante t = 20 horas Perfis longitudinais de concentração c/q(x, z 0 )[s/m 2 ] em z = z Perfis verticais de concentração c/q(x, z)[s/m 2 ] nas posições x = 50 [m] e x = 500 [m] Malhas com refinamento adaptativo na direção do escoamento do vento. Malha inicial em t = 12 h (1 a linha figura da esquerda). As demais malhas foram geradas em t = 16 h. O refinamento da malha é concentrado em torno do eixo da pluma Superfícies de concentração considerando os cortes pelos planos z = z 0 m (figura da esquerda) e z = 30 m (figura da direita) às 12 h Superfícies de concentração considerando os cortes pelos planos z = z 0 m (figuras da esquerda) e z = 30 m (figuras da direita) para as 13 horas e 100s (primeira linha) e 13 h e 3500 s (segunda linha) Superfície de concentração considerando os cortes pelos planos z = z 0 m (figuras da esquerda) e z = 30 m (figuras da direita) para as 14 h e 100 s (primeira linha) e 14 h e 3500 s (segunda linha) Perfis de concentração às 12 h. Cortes no plano xy por em retas paralelas ao eixo x (Figuras da primeira linha). Concentração no eixo da pluma (segunda linha) Superfície de concentração considerando os cortes pelos planos z = z 0 m (figuras da esquerda) e z = 30 m (figuras da direita) para as 15 h e 100 s (primeira linha) e 15 h e 3500 s (segunda linha) Perfis de concentração às 13 h. Cortes no plano xy por em retas paralelas ao eixo x Superfície de concentração considerando os cortes pelos planos z = z 0 m (figuras da esquerda) e z = 30 m (figuras da direita) para as 16 h e 100 s (primeira linha) e 16 h e 3500 s (segunda linha) xiii

14 7.17 Perfis de concentração às 14 h. Cortes no plano xy por em retas paralelas ao eixo x (Figuras da primeira linha). Concentração no eixo da pluma (segunda linha) Perfis de concentração às 15 h. Cortes no plano xy por em retas paralelas ao eixo x (Figuras da primeira linha). Concentração no eixo da pluma (segunda linha) Perfis de concentração às 16 h.cortes no plano xy por em retas paralelas ao eixo x (Figuras da primeira linha). Concentração no eixo da pluma (segunda linha) xiv

15 Lista de Tabelas 6.1 Convergência da solução numérica. Rodada 7- Prairie-Grass na condição instável Convergência da solução numérica. Rodada 11- Prairie-Grass na condição instável Convergência da solução numérica. Rodada 24- Prairie-Grass na condição estável Convergência da solução numérica. Rodada 68- Prairie-Grass na condição estável Convergência da concentração nas rodadas 7, 11, 24 e 68 do experimento de Prairie-Grass Convergência da solução numérica. Rodada 5-Hanford(sem deposição) Convergência da solução numérica (c(x, z 0 )/Q 10 4 [s/m 2 ]). Rodada 1- Copenhagen Convergência da solução numérica (c(x, z 0 )/Q 10 4 [s/m 2 ]). Rodada 6- Copenhagen Convergência da solução numérica (c(x, 0, z 0 )/Q 10 7 [s/m 3 ]). Rodada 1- Copenhagen Convergência da solução numérica (c(x, 0, z 0 )/Q 10 7 [s/m 3 ]). Rodada 6- Copenhagen Comparação dos índices estatísticos para as concentrações normalizadas c/q(s/m 2 ) utilizando os dados do experimento de prairie Grass na condição estável Comparação dos índices estatísticos para as concentrações C(g/m 2 ) utilizando os dados do experimento de Prairie Grass, condição instável Índices estatísticos para as concentrações normalizadas obtidas através do GLS e resultados da literatura (sem deposição) Índices estatísticos para as concentrações normalizadas obtidas através do GLS e resultados da literatura (com deposição) xv

16 6.15 Comparação do desempenho dos índices estatísticos entre as concentrações integradas normalizadas obtidas através do presente método e resultados da literatura com o experimento de Copenhagen Comparação do desempenho dos índices estatísticos entre as concentrações máximas normalizadas obtidas através do presente método e resultado da literatura com o experimento de Copenhagen Dados Micrometeorológicos gerados pelo AERMET Dados Micrometeorológicos gerados pelo AERMET Convergência da concentração c(x, y, z 0 ) 10 4 [g/m 3 ] no eixo da pluma A.1 Dados meteorológicos medidos durante o experimento Prairie-Grass considerando a atmosfera estável A.2 Dados meteorológicos medidos durante o experimento Prairie-Grass considerando a atmosfera instável A.3 Concentrações obtidas, observadas (C(x, 1.5)/Q(s/m 2 )). Experimento de Prairie Grass na condição estável A.4 Continuação da tabela A A.5 Continuação da tabela A A.6 Concentrações obtidas, observadas (C(x, 1.5)(g/m 2 )). Experimento de Prairie grass na condição instável A.7 continuação de A A.8 continuação de A A.9 continuação de A A.10 Dados meteorológicos e concentrações observadas, normalizadas pela taxa de emissão A.11 Concentrações obtidas normalizadas pela taxa de emissão, SF 6 /Q(x, 1, 5)(sm 2 ), experimento de Hanford sem deposição A.12 Concentrações obtidas normalizadas pela taxa de emissão, ZnS/Q(x, 1, 5)(sm 2 ), experimento de Hanford com deposição A.13 Dados meteorológicos e concentrações normalizadas pela taxa de emissão observados durante o experimento de Copenhagen A.14 Concentrações obtidas normalizadas pela taxa de emissão c(x, z 0 )/Q(10 4 s/m 2 ) A.15 Concentrações máximas obtidas normalizadas pela taxa de emissão c(x, 0, z 0 )/Q(10 7 s/m 3 ) xvi

17 Lista de Abreviaturas ADMM Advection-Diffusion Multi-Layer Method, p. 8 CCL Camada de Convecção Livre, p. 18 CITT Classical Integral Transform technique, p. 7 CLA Camada Limite Atmosférica, p. 1 CLC Camada Limite Convectiva, p. 4 CLE Camada Limite Estável, p. 12 CLS Camada Limite Superficial, p. 13 CM Camada de Mistura, p. 12 GITT Generalized Integral Transformed Technique, p. 7 GLS Galerkin Least Squares, p. 4 MEF Método de Elementos Finitos, p. 2 NNUL Near Neutral Upper Layer, p. 18 SUPG Streamline Upwind Petrov-Galerkin, p. 9 TSMO Teoria de Similaridade de Monin-Obukhov, p. 7 xvii

18 Capítulo 1 Introdução A todo momento poluentes são emitidos na atmosfera como resultado de diversas atividades humanas e processos naturais. Estes poluentes podem causar danos à saúde da população e ao meio ambiente, principalmente nos grandes centros urbanos, devido às emissões veiculares e atividades industriais. O impacto da poluição no meio ambiente pode ser associado à diversos fatores, dentre os quais, as espécies químicas envolvidas, sua concentração, extensão da área atingida por ela, e do tipo de ambiente. Desta forma, para estimar este impacto é necessário a identificação das fontes de emissão, destino dos poluentes, assim como o tempo que levarão para se deslocar, e como se dispersarão. Uma forma de se avaliar o impacto da poluição no meio ambiente é através do estudo da dispersão atmosférica. Este estudo pode ser realizado por meio do monitoramento dos valores de concentração, através de equipamentos de medição adequados. Esta forma de avaliação pode ter um custo elevado, além de muitas vezes ser dificultado por falhas técnicas nos equipamentos. Desta forma, a simulação da dispersão atmosférica pode ser empregada para substituir ou complementar este tipo de estudo. A simulação da dispersão, envolve primeiramente a escolha de modelos matemáticos que incorporem as principais variáveis meteorológicas responsáveis por este processo, como transporte pelo vento e difusão por turbulência, além do uso de metodologias para a solução, numérica ou analítica, de tais modelos. O transporte e a difusão na atmosfera são governados por movimentos ou sistemas que abrangem uma grande quantidade de escalas espaciais e temporais. A dispersão atmosférica envolve também outros processos físicos-químicos, tais como a cinética das reações químicas e a remoção de poluentes via processos de deposição seca e úmida. A maior parte dos poluentes provenientes de fontes naturais ou antropogênicas são emitidas na Camada Limite Atmosférica (CLA). A princípio, seu transporte e difusão são essencialmente determinados pela distribuição do vento médio, turbulência na CLA e sistemas de microescala associados. Além disso, os poluentes 1

19 são misturados por toda a CLA, transportados para distâncias cada vez maiores e dispersados por sistemas e movimentos de escalas crescentes, sendo influenciados pela circulação de mesoescala. Portanto, a variabilidade da velocidade e direção do vento, além da intensidade da turbulência em um período de tempo, são fatores de grande importância nos valores de concentrações médias na superfície durante este período. O processo de dispersão na CLA pode ser descrito por um conjunto de sete equações. Ver, por exemplo, [1]. Resolver estas equações de forma acoplada não é uma tarefa de fácil execução, exigindo uma grande capacidade computacional. Deste modo, uma abordagem adotada com frequência em estudos de dispersão atmosférica é resolver uma equação para o transporte de uma quantidade escalar, inserindo a informação sobre a física da atmosfera através de formas paramétricas para o campo de velocidades e coeficientes de difusão turbulenta, como feito em [2 6]. Estas parametrizações são descritas em termos de teorias de similaridade para a CLA. Apesar de inúmeras simplificações matemáticas na modelagem da dispersão de poluentes na atmosfera obtidas através da utilização destas parametrizações, é possível que haja complicações na resolução do problema. Assim, uma grande quantidade de métodos de soluções analíticas e semi-analíticas tem sido propostas na literatura, como pode ser visto em [2, 3, 5 7]. Uma boa concordância entre as concentrações obtidas por meio destas soluções com dados de diferentes experimentos com traçadores na CLA, considerando condições de estabilidade atmosférica diversas, tem sido alcançadas. No entanto, até o momento nenhuma solução analítica para modelos de dispersão eulerianos que considere o importante efeito da variação das condições de estabilidade na atmosfera, além da mudança da direção do vento com o tempo e coordenada vertical z, foi desenvolvida devido às hipóteses simplificadoras necessárias à obtenção das mesmas. Por outro lado, o uso de métodos puramente numéricos para a solução deste tipo de problema não exige as mesmas restrições ao problema físico, como por exemplo, a hipótese de vento unidirecional, e parâmetros meteorológicos tomados por seus valores médios ao longo do período de simulação. Desta forma, soluções obtidas numericamente, em especial, através do Método de Elementos Finitos (MEF), se tornaram, nas últimas décadas, opções bastante atraentes para problemas de poluição atmosférica e qualidade do ar. Isto pode ser constatado pela quantidade de trabalhos existentes na literatura destinados à este fim, como por exemplo, [8 14]. Foi alcançado por tais metodologias um desempenho numérico satisfatório na simulação do transporte de um escalar, sem considerar, em geral, a estrutura física da CLA. Uma das principais vantagens na aplicação do MEF a este tipo de problema é que a malha pode se adaptar à geometrias e condições de fronteira complexas. Desta 2

20 forma, o relevo do terreno e a complexidade dos diversos ambientes onde se deseja estudar a dispersão, podem ser facilmente incorporados ao modelo. Além disso, esta flexibilidade em se adaptar a diferentes resoluções de malha é bastante útil na obtenção de refinamentos locais em regiões onde a solução varia drasticamente, como em regiões próximas à fontes de emissão pontuais. Pode ser ainda acrescentado que a modelagem da dispersão na CLA via MEF permite que sua estrutura transiente seja incorporada ao modelo de dispersão, ou seja, a variação com o tempo da altura da CLA, dos parâmetros micrometeorológicos, e a variação na intensidade e direção do vento, inclusive na direção vertical, podem ser considerados. Desta forma, uma solução mais abrangente e flexível para este problema pode ser obtida, já que não há necessidade de tantas hipóteses simplificadoras. Conforme observado por diversos autores, a inclusão das condições meteorológicas locais são fundamentais para a obtenção de soluções mais realísticas em um modelo de dispersão atmosférica. Sabe-se que o vento médio determina a média da velocidade e a direção do transporte dos poluentes em diferentes alturas. A velocidade média do vento determina a extensão da área de alcance da poluição, e sua direção, as possíveis regiões afetadas por ela. Ademais, a turbulência determina a taxa de espalhamento horizontal e vertical do poluente. Assim, informações sobre as características da turbulência, direção e intensidade do vento, além da altura da CLA são dados de entrada fundamentais à um modelo de dispersão. Tendo em vista os argumentos descritos acima, neste trabalho pretende-se investigar a distribuição da concentração dos efluentes liberados a partir de fontes pontuais na CLA ao longo do ciclo diurno via MEF. Mais precisamente, avaliar no modelo de dispersão a influência ao longo do ciclo diurno, da estabilidade atmosférica, turbulência, e direção e intensidade do vento, os quais são as principais variáveis meteorológicas responsáveis pela dispersão na CLA. O modelo matemático empregado, consiste de uma equação para o transporte de um escalar passivo, em regime transiente, incluindo os mecanismos de transporte advectivo e difusivo, além de processos de deposição seca. Os fluxos turbulentos são descritos de acordo com a hipótese de transporte por gradiente, ou teoria K, a qual estabelece que os fluxos turbulentos de concentração são proporcionais ao gradiente de concentração média, por meio de uma difusão turbulenta, denotada por K. A informação sobre a turbulência na CLA é inserida no modelo de dispersão através de K. Para contabilizar a influência do processo de aquecimento e resfriamento da superfície terrestre, e desta forma, a estrutura da CLA no processo de dispersão, formas paramétricas para as componentes horizontais da velocidade do vento e difusão turbulenta, as quais são baseadas em teorias de similaridades para a CLA, são 3

21 aplicadas. O importante efeito da variabilidade da direção do escoamento do vento com o tempo também é incluído no modelo. A aplicação do MEF consiste da discretização do modelo matemático através da divisão do domínio computacional em um certo número de elementos, e a solução é então aproximada por uma base de funções polinomiais. É fato bastante conhecido na literatura de elementos finitos que a solução para a equação da advecção-difusão obtida através do método de Galerkin clássico pode ser corrompida por oscilações, quando a advecção é o mecanismo de transporte dominante [15]. Ao simular a dispersão atmosférica no ciclo diurno, é possível que ocorram situações em que o escoamento na CLA seja governado pela advecção. Isto pode ocorrer por exemplo, durante o período da noite, quando o vento é forte, e o resfriamento radiativo da superfície, e a inversão térmica associada suprimem a mistura turbulenta em toda a CLA, ou ainda, durante o dia, quando a velocidade do vento aumenta rapidamente com a altura nos primeiros metros da Camada Limite Convectiva (CLC), enquanto que próximo à superfície, a turbulência assume pequenos valores. Para evitar instabilidades na solução numérica em tais situações, a formulação de elementos finitos estabilizados de Galerkin Least Squares (GLS), ou Galekin mínimos quadrados, proposta por HUGHES et al [15] será empregada. Este método consiste em adicionar à formulação de Galerkin, termos de estabilização resultantes da minimização em mínimos quadrados de um operador residual da formulação variacional. Este operador inclui um parâmetro que controla a quantidade de estabilização a ser acrescentada à formulação original, sendo uma função da relação entre a advecção e a difusão do escoamento. Devido à ausência de experimentos com gases traçadores e soluções analíticas que considerem as variações temporais na direção do vento e condições de estabilidade atmosférica no processo de dispersão, a avaliação da solução numérica obtida via GLS será feita a partir da comparação entre soluções oriundas de versões simplificadas do modelo matemático tridimensional transiente, e resultados disponíveis na literatura. Para mostrar a aplicabilidade da metodologia empregada à diversas condições de estabilidade, o modelo será avaliado com dados de experimentos clássicos. O efeito da variação da direção do vento com o tempo na distribuição da concentração em superfície será avaliado fisicamente. Serão utilizados dados meteorológicos gerados pelo AERMET, o pré-processador de dados meteorológicos do AERMOD [16]. Para simplificar a análise física dos resultados, não serão consideradas as variações na direção do vento com a altura, isto é, ao longo da CLA. No entanto, este efeito poderia ser facilmente incluído, caso desejado. 4

22 1.1 Organização da tese No Capítulo 2 será apresentada uma revisão da literatura sobre metodologias de solução para modelos de dispersão, com destaque especial aos trabalhos relacionados à este, de alguma forma. No Capítulo 3 será feita uma breve exposição sobre a estrutura de uma CLA idealizada, bem como das teorias de similaridade utilizadas na sua descrição. No Capítulo 4 será descrito o modelo matemático para a dispersão atmosférica na CLA, e no Capítulo 5, será apresentada a formulação de Galerkin Least Squares para o problema de dispersão atmosférica descrito no Capítulo 4. Os Capítulos 6 e 7 são destinados à validação e análise do comportamento físico das soluções obtidas. Assim, no Capítulo 6 a solução do problema simplificado será avaliada com dados experimentais, e no Capítulo 7, a solução transiente tridimensional será avaliada fisicamente. No Capítulo 8 serão apresentadas as conclusões e sugestões de trabalhos futuros. 5

23 Capítulo 2 Revisão da Literatura Diversas metodologias tem sido empregadas na descrição do complexo processo de dispersão atmosférica, e uma das mais conhecidas, faz uso de uma equação da difusão-advecção. Nos últimos anos, divesas técnicas analíticas e numéricas tem sido utilizadas na resolução destes problemas. A seguir foram selecionados alguns trabalhos importantes com este objetivo. 2.1 Soluções analíticas e semi-analíticas Antes da invenção e popularização do uso dos computadores, apenas soluções analíticas eram utilizadas na descrição da dispersão de poluentes a partir de fontes instantâneas ou contínuas. As primeiras soluções analíticas para a equação da advecção-difusão foram obtidas a partir da hipótese de velocidade do vento e os coeficientes de difusão turbulenta são invariantes no tempo e no espaço ao longo da CLA, o qual conduz ao modelo de puff ou pluma gaussiana. No entanto, os resultados de diversos experimentos de difusão de gases traçadores, como o experimento de Prairie-Grass em 1959 [17], mostraram ocorrências frequentes de distribuições não gaussianas de concentração [18]. Um aprimoramento na descrição dos processos da dispersão turbulenta na CLA foi alcançado através da inclusão de leis de potência para representar as variações verticais na velocidade do vento e turbulência, conforme mostrado em HINRICH- SEN [19]. Metodologias de solução considerando leis de potência começaram a ser exploradas na década de 50, tendo entre as pioneiras, as soluções apresentadas em [20, 21], e nos últimos anos [18, 22, 23]. Com o passar do tempo, diversas campanhas experimentais foram realizadas, como os experimentos de Kansas [24], Minnesota [25] e Copenhagen [26], e a análise de seus dados possibilitou um grande progresso no entendimento da estrutura do escoamento na CLA. A partir disto, descrições mais complexas e realísticas para o campo de velocidade e difusão turbulenta foram sendo desenvolvidos, como aqueles 6

24 apresentados em [4, 27, 28]. Isto motivou a busca pelo desenvolvimento de novas e mais sofisticadas metodologias visando a obtenção de soluções analíticas capazes de fornecer resultados mais satisfatórios e coerentes com dados observacionais. Nos últimos anos, diversos problemas em modelagem da qualidade do ar tem sido resolvidos através da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT)[29]. A aplicação deste método envolve os seguintes passos: solução de um problema de Sturm-Liouville associado a equação original, expansão do campo de concentração em série, em termos de uma dada auto-função, e substituição desta expansão na equação da advecção-difusão original. Seguindo a ideia apresentada em [30], WORTMANN et al [7] utilizaram o método analítico GITT associado a transformada de Laplace na obtenção do campo de concentração bidimensional em regime permanente. Como parametrização para a CLA, foi utilizado o modelo de difusão turbulenta vertical proposto em [27], o qual se baseia na teoria estatística da turbulência. Esta parametrização é função da coordenada vertical z, da altura da camada de mistura z i, e da escala de velocidade convectiva w. Desta forma, as características da turbulência gerada pela forçante térmica são inseridas no modelo de dispersão. Para a descrição do campo de vento, foi utilizado o modelo apresentado em [31], o qual utiliza a Teoria de Similaridade de Monin-Obukhov (TSMO). O modelo de dispersão foi avaliado através dos índices estatísticos apresentados em [32], com os dados meteorológicos e de concentração do experimento de Copenhagen [33]. Segundo os autores, o modelo foi capaz de representar bem as concentrações na superfície, com emissões a partir de uma fonte pontual elevada, sob condições atmosféricas moderadamente instáveis. Uma extensão desta metodologia foi proposta posteriormente por CASSOL et al [34], na resolução de problema transiente com condições de fronteira não homogêneas. A técnica GITT não pode ser aplicada diretamente a problemas com condições de fronteira não homogêneas, e desta forma, um filtro matemático foi utilizado. O sistema de equações obtido após a aplicação do filtro foi resolvido através da Classical Integral Transform technique (CITT)[35] e as equações resultantes com condições de fronteira homogêneas, foram resolvidas utilizando a GITT. A dinâmica da CLA foi introduzida nas simulações através do mesmo conjunto de parametrizações que aqueles apresentados em [7], além da parametrização para a difusão turbulenta vertical apresentada em [36], também função dos parâmetros da camada limite convectiva. O modelo foi avaliado estatisticamente com os dados dos experimentos de Prairie- Grass [17] e Copenhagen. Segundo os autores, este trabalho é um avanço na busca por modelos analíticos transientes tridimensionais, nos quais se considerem variações temporais e espaciais no campo de vento e turbulência, o que até o momento só havia sido feito através de modelagem numérica. Outra metodologia bastante empregada consiste em discretizar verticalmente a 7

25 CLA em subcamadas, através da técnica conhecida como Advection-Diffusion Multi- Layer Method (ADMM). Em cada uma destas subcamadas a equação da advecçãodifusão é resolvida utilizando a transformada de Laplace nas variáveis espaciais, conforme apresentado em [6, 36 42]. Os coeficientes de difusão turbulenta e velocidade do vento sendo função da variável espacial z e parâmetros meteorológicos, assumem valores médios nas camadas nesta direção. Na solução apresentada em [38, 41] a Transformada de Laplace é aplicada também na variável temporal, sendo adaptada em [40] para incluir os processos de deposição seca na modelagem. Considerando a equivalência entre as formulações integral e aquelas expressas em termos de séries para soluções analíticas, [6] apresentaram uma solução integral considerando a difusão turbulenta vertical como uma função das variáveis espaciais x e z. A solução para a equação da difusão atmosférica bidimensional, nas direções x e z foi desenvolvida sem a utilização de valores médios na direção x, conforme realizado em trabalhos anteriores. Segundo os autores, esta metodologia de solução pode ser aplicada em conjunto com quaisquer formas de parametrização para a difusividade turbulenta vertical e velocidade do vento. Os testes realizados mostraram que a inclusão do efeito da memória no coeficiente de difusão turbulenta vertical para distâncias próximas à fonte, produziu uma melhoria considerável nos resultados em relação à mesma parametrização no seu limite assintótico, função apenas da variável espacial z. KUMAR e SHARAN [5] apresentaram uma nova metodologia para a obtenção de soluções analíticas para a equação da dispersão atmosférica, em que esta é definida através de uma forma funcional generalizada, permitindo o uso de formas generalizadas para a velocidade do vento em função da coordenada z, e coeficiente de difusão turbulenta vertical em função de ambas as coordenadas, x e z. Esta metodologia foi aplicada a resolução de uma equação da advecção-difusão bidimensional permanente e campo de vento unidirecional. Foi observado que definindo formas particulares para os coeficientes de difusão e velocidade do vento, soluções obtidas a partir de outras técnicas podem ser recuperadas. A solução foi avaliada para várias condições de estabilidade atmosférica, com os dados do experimento de Hanford [43], Copenhagen e Prairie-Grass. Na avaliação com dados observacionais, foi utilizada a parametrização para a velocidade do vento proposta em [44], em que uma extensão para toda a CLA do perfil de vento para camada de superfície foi formulado. Após o trabalho citado acima, outras metodologias foram desenvolvidas para a obtenção de soluções analíticas mais gerais, como a apresentada em GUERRERO et al [3]. Neste trabalho, a técnica CITT foi empregada para obter uma solução analítica unificada da equação da difusão turbulenta atmosférica. O problema em questão é descrito por uma equação de difusão-advecção tridimensional permanente. A expressão obtida após a aplicação da CITT fornece uma solução unificada para as 8

26 situações em que são considerados domínios infinito e semi-infinitos. Foi mostrado que as soluções analíticas existentes na literatura são casos particulares da solução analítica generalizada desenvolvida neste trabalho. Esta metodologia permite que sejam utilizadas formas arbitrárias para a velocidade do vento como função da coordenada vertical z e para as difusividades turbulentas como função das coordenadas x e z. De acordo com os autores, a convergência dos resultados é melhor do que aquelas apresentadas em [7] e [5], por que esta é associada diretamente à equação de difusão atmosférica. Isto aconteceu pois ambos os coeficientes k zz e u(z) foram considerados no seu problema de auto-valor. A solução foi validada através dos experimentos de Prairie-Grass na condição instável e o experimento de Copenhagen. Foram utilizadas as parametrizações para a difusão turbulenta vertical e velocidade do vento obtidos em [4], a qual considera ambas as forçantes térmica e mecânica na geração de energia cinética turbulenta, permitindo a simulação de condições de estabilidade e instabilidade atmosférica. A performance da solução unificada apresentada por GUERRERO et al [3] foi avaliada em PIMENTEL et al [2] para o experimento de Prairie-Grass na condição estável. Nas simulações foram utilizados dois conjuntos para as parametrizações da difusão turbulenta vertical e velocidade do vento distintos: aqueles apresentados em [4], neste considerando a difusão de momentum vertical, o outro conjunto, utilizando o perfil de vento obtido em [44] e difusão turbulenta desenvolvida em [45]. Foi visto que a taxa de convergência é influenciada pela condição de estabilidade e pela parametrização considerada. Foi ressaltado pelos autores que esta diferença na taxa de convergência provavelmente está relacionada ao número de Peclet obtido através das diferentes parametrizações, foi observado que quanto maior o número de Peclet, mais lenta é a convergência da solução. 2.2 Soluções numéricas Métodos puramente numéricos podem ser uma boa alternativa na obtenção da solução de problemas de modelagem da qualidade do ar, e dentre estes destaca-se o MEF. A aplicação deste método consiste da discretização do modelo matemático através da divisão do domínio computacional em um certo número de elementos. A solução então é aproximada por uma base de funções polinomiais. Em [46], foi resolvido um problema de transporte de poluentes advectivo-difusivo transiente, através do método de Crank-Nicolson Galerkin. A condição de fronteira na superfície considerou o processo de remoção de poluentes via deposição seca. Os coeficientes de difusão turbulenta e a velocidade do vento foram considerados constantes ao longo do domínio computacional em todas as simulações. O método Streamline Upwind Petrov-Galerkin(SUPG) [47] foi utilizado por 9

27 MEHEMET [12] na resolução de um problema de transporte de poluentes envolvendo escalas urbanas e regionais. A metodologia apresentada envolve um esquema que acomoda uma malha grossa, para descrever o transporte regional, e uma malha mais fina, para incluir os processos de microescala. Uma das principais dificuldades apontadas pelos autores na resolução deste tipo de problema é acoplar estas duas escalas e produzir uma solução livre de oscilações. O método SUPG, por não ser monótono, não consegue eliminar os overshoots e undershoots na solução na vizinhança de fortes gradientes [48]. Para eliminar possíveis oscilações ocorrendo principalmente na região de interface das malhas, um mecanismo de suavização destes gradientes foi desenvolvido neste trabalho, e inserido na formulação por meio de um filtro não linear que conserva massa. Os testes apresentados pelos autores mostraram que as instabilidades na solução foram praticamente eliminadas. BURREL et al [10] resolveram um problema bidimensional transiente e puramente advectivo, utilizando o método de elementos finitos de mínimos quadrados (LSFEM [49]) e Crank-Nicolson para as discretizações espacial e temporal respectivamente. Segundo os autores, o LSFEM apresenta vantagens em relação à métodos como o SUPG na resolução de problemas advectivos. Uma delas está no fato de que o método SUPG possui uma função (parâmetro de estabilização), a qual controla a quantidade de difusão artificial, que precisa ser ajustada. E além disso, ao contrário destes métodos, o LSFEM leva à um sistema de matrizes simétrica positivas-definidas, mesmo para equações que não sejam auto-adjuntas, como é o caso das equações de transporte com termo advectivo dominante. Os estudos de convergência da solução realizados mostraram que o refinamento da malha na região da fonte ou a utilização de funções de interpolação com grau maior que um é necessário na modelagem do trasporte de poluentes emitidos a partir de fontes pontuais. Os autores enfatizaram que estes estudos são necessários a todos os métodos numéricos utilizados em modelagem de poluição atmosférica. Os métodos de Galerkin e Euler atrasado foram utilizados por SOUZA [50] para resolver um problema advectivo-difusivo bidimensional em regime transiente. A modelagem considerou a dispersão turbulenta de um espécie na atmosfera a partir de uma fonte pontual elevada. A formulação matemática deste problema incluiu parametrizações para a difusão turbulenta vertical e velocidade do vento longitudinal fisicamente relevantes, propostas em [27, 51] e [31]. A solução foi avaliada com os dados do caso 9 do experimento de Copenhagen, e comparação com a solução analítica apresentada em [7]. Os testes aplicados na análise do comportamento físico da solução mostraram que ao considerar valores relativamente baixos para a velocidade do vento na altura de referência (10m), a solução não apresentou oscilações na simulação de um ciclo diurno. A simulação do transporte de poluentes sobre terrenos complexos tem sido bas- 10

28 tante abordada nos últimos anos, veja por exemplo [8, 52]. No contexto de elementos finitos, diversas técnicas para construção de malhas flexíveis e adaptativas aos contornos do terreno vem sendo desenvolvidas [8, 53]. Uma nova metodologia para a modelagem da qualidade do ar foi empregada por Oliver et al [8] para resolver um problema transiente tridimensional envolvendo reações químicas e processos de remoção via deposição seca. O método estabilizado de mínimos quadrados [49] foi utilizado na discretização das derivadas espaciais, e o método de Crank- Nicolson, empregado às derivadas espaciais. Informações sobre o campo de velocidade vento tridimensional foram inseridas através de um modelo que preserva massa [54]. Este modelo formula um problema de mínimos quadrados no domínio tridimensional para encontrar o campo de vento de forma que ele seja ajustado tanto quanto possível a um campo interpolado obtido experimentalmente. Malhas adaptativas também tem sido utilizadas na resolução de problemas envolvendo várias espécies químicas reagindo entre si. MONFORT e FOGUET [9] aplicaram um esquema adaptativo multi-malha para resolver a equação da advecçãodifusão para um grande número de espécies químicos. Fazendo uso de um operador de separação, o modelo foi desenvolvido em duas partes: transporte e reações. A parte da equação referente ao transporte foi desacoplada e resolvida para cada uma das espécies. A parte da reação química é reduzida a um conjunto de equações diferenciais envolvendo todas as espécies e separadas nó a nó. Através deste procedimento, cada componente da solução foi discretizada em uma malha computacional diferente. A malha gerada para cada espécie é adaptada em relação a características específicas de sua distribuição espacial, sendo mais refinada nas regiões com maiores gradientes de concentração, de acordo com o esquema proposto em [55]. O método estabilizado de mínimos quadrados [49] foi utilizado na discretização das derivadas espaciais, e o método de Crank- Nicolson, empregado às derivadas espaciais. Na modelagem do problema, foi considerada a emissão das espécies a partir de uma fonte pontual, a qual foi inserida no modelo computacional como uma esfera de raio igual a 5 m. Nas simulações, foram considerados valores constantes para os coeficientes de difusão turbulenta no plano horizontal. Segundo os autores, foram utilizadas parametrizações para difusão turbulenta vertical e velocidade do vento descritos em [56], e foram simuladas três condições de estabilidade atmosférica, a saber, estável, neutra e instável. Nenhuma informação foi dada em relação aos parâmetros micrometeorológicos utilizados nas simulações. Os resultados apresentados mostraram que com utilização de multi malhas adaptativas é possível obter a mesma precisão que com uma única malha adaptativa padrão, com menos graus de liberdade. Segundo os autores, alguns níveis de refinamento são necessários para capturar a estrutura da pluma próximo à fonte de emissão, afim de reduzir as oscilações na solução. 11

29 Capítulo 3 Camada Limite Atmosférica Em geral, os poluentes são liberados e inicialmente dispersados devido a processos físicos que ocorrem na parte da atmosfera mais próxima à superfície da terra, conhecida como Camada Limite Atmosférica. Desta forma, quando se investiga os processos de dispersão atmosférica, é essencial a compreensão de sua estrutura. Neste capítulo é feita uma breve descrição sobre as principais teorias utilizadas nas últimas décadas para a caracterização do escoamento nesta região. 3.1 Estrutura da camada limite atmosférica A CLA se desenvolve continuamente em resposta ao aquecimento e resfriamento da superfície durante o ciclo diurno. Durante o dia, o aquecimento da superfície terrestre é responsável por uma forte convecção. Esta forte turbulência na direção vertical gera uma camada instável e bem misturada, a qual normalmente é chamada de Camada de Mistura (CM). Por causa desta intensa mistura, os gradientes de escalares e de momentum nesta região normalmente são nulos ou desprezíveis [1]. Durante a noite, o resfriamento radiativo da superfície gera uma Camada Limite Estável (CLE) e muito menos difusiva. O escoamento na CLA pode ser descrito através de um conjunto composto por sete equações: três equações para a conservação do momentum, uma equação para a conservação de massa, uma equação para a conservação da energia térmica, uma equação para a conservação do vapor d água e uma equação de estado. Este conjunto de equações para as quantidades médias e suas respectivas flutuações, aplicado à um fluido em rotação pode ser simplificado ao que é conhecido como a aproximação de Boussinesq [1], e de forma resumida é descrito em [57]: A viscosidade dinâmica (µ = ρν) e a condutividade térmica molecular (κ T ) são constantes por todo o fluido. Assim, a pequena dependência na temperatura e pressão que essas propriedades moleculares tem, pode ser negligenciada. 12

30 O calor gerado pelas tensões viscosas é negligenciado na equação da termodinâmica. O ar é tratado como um fluido incompressível. Flutuações nas propriedades do fluido são muito menores que seus valores de referência ou quantidades médias. As flutuações na pressão podem ser desprezadas em relação às flutuações de temperatura e densidade. Flutuações na massa específica resultantes de flutuações na temperatura são importantes somente quando são diretamente afetadas pelo empuxo. Em se tratando de problemas de dispersão de poluentes atmosféricos, a equação para o transporte de uma quantidade escalar precisa ser resolvida. A informação sobre o campo de vento pode ser inserida através da equação para a conservação de momentum. Esta equação, por sua vez é resolvida de forma acoplada às equações de estado, conservação da energia térmica, massa e vapor d água 1. A resolução simultânea de ambas as equações (transporte e momentum) demanda um grande tempo computacional. Uma alternativa normalmente adotada na descrição dos processos de dispersão de poluentes na atmosfera é a utilização de parametrizações para a velocidade do vento e difusão turbulenta 2, baseados em teorias de similaridade para a CLA. Estas descrições trazem uma grande simplificação computacional no processo de resolução de um problema de dispersão. Uma teoria de similaridade utiliza análise dimensional como base para expressar relações entre diferentes quantidades na forma adimensional, de modo a revelar leis de escala fundamentais. Este método envolve a escolha de escalas características apropriadas, e a organização destas em grupos adimensionais. O objetivo de qualquer teoria de similaridade aplicada à atmosfera é dimensionar corretamente quantidades importantes na atmosfera (perfil de vento e fluxos turbulentos) através da escolha de escalas apropriadas de comprimento, velocidade e temperatura [57]. A hipótese básica deste método é assumir que a estrutura da CLA pode ser descrita somente em termos de um pequeno conjunto de parâmetros característicos. A TSMO (ver por exemplo, [58]) para a Camada Limite Superficial (CLS) é um exemplo bastante conhecido da aplicação desta metodologia. Em muitos trabalhos a estrutura da turbulência na CLA foi descrita através de escalas características (ver por exemplo,[59],[60] e [61]). A validade destas descrições foi comprovada através de experimentos ([25] e [62]) e simulações numéricas [63]. 1 Se a atmosfera úmida estiver sendo considerada. 2 Se os fluxos turbulentos os quais aparecem na equação de conservação de quantidade escalar após a substituição da quantidade instantânea por seu valor médio mais sua flutuação, forem descritos por um modelo de fechamento de 1 a ordem. 13

31 Em [60], a atmosfera idealizada foi dividida em um número de regimes caracterizados pelos parâmetros micrometeorológicos. Isto pode ser visto nas figuras 3.1 e 3.2. Esta análise foi limitada a uma CLA horizontalmente homogênea, em regime estacionário e sem a presença de nuvens. Na figura 3.1, a atmosfera instável foi dividida em cinco regimes diferentes. Outros trabalhos anteriores a este apresentaram esta divisão ver e.g. [64] e [59]. Figura 3.1: Definição das escalas características relativas a cada região na camada limite instável (L < 0). Típicos valores de h/l na camada limite instável. Fonte: HOLTSLAG e NIEWSTADT [60]). A camada limite instável se forma quando há um fluxo de calor sensível da superfície para o ar acima desta, o que é resultado de uma diferença de temperatura potencial positiva entre estas duas regiões. Segundo apresentado em [60], a camada limite instável é dividida nas regiões descritas a seguir. Camada Limite Superficial: Região da CLA em contato direto com a superfície. O escoamento na CLS é descrito de acordo com a TSMO. O ponto de partida desta teoria são as equações baseadas nas aproximações de Boussinesq, obtidas das equações do movimento e termodinâmica [65], U i t + U U i j = 1 P u i u j x j ρ x j x j θ t + U θ j = u i θ x j x j + g θ 0 θδ i,3 + ν 2 U i x 2 k + k 2 θ x 2 k (3.1) (3.2) Em que U i [m/s] é a componente i do vento médio, P [N/m 2 ] é a pressão média do ar, ν[m 2 /s] é a viscosidade cinemática, k [W/mK] é a condutividade térmica do ar, u i θ [W/m 2 ] e u i u j [W/m2 ] são os fluxos de calor e momentum respectivamente, 14

32 g θ 0 [mk/s 2 ] é o parâmetro de empuxo, sendo θ 0 a temperatura potencial na superfície, e θ[k], a temperatura potencial média. Na equação (3.1) a rotação da terra não foi considerada, e desta forma, as equações (3.1) e (3.2) tem seu uso restrito à CLS. Considerando a turbulência homogênea e estacionária, e o vento médio descrito por U i = V (x 3 )δ i,3, e desta forma, W = V (z). As equações (3.1) e (3.2) são simplificadas a u w z = ν 2 V z 2 (3.3) w 2 z = 1 P ρ z g θ (3.4) θ 0 u v z = 0 (3.5) w θ z = k 2 θ z 2 (3.6) O gradiente horizontal de pressão foi desprezado 3. Integrando as equações (3.3) e (3.6) na direção z, obtém-se, µ V z ρu w = C 1 (3.7) w θ k θ z = C 2 (3.8) C 1 é a tensão de cisalhamento τ (N/m 2 ), e a partir desta é definida uma grandeza com dimensão de velocidade, dada por u = τ ρ (3.9) Desta forma, (3.7) se torna µ V z ρu w = u 2 (3.10) A constante C 2 é o fluxo de calor na direção vertical. Como feito para a velocidade de atrito, é definida uma escala característica de temperatura para a CLS, Com w θ k θ z = T u (3.11) 9). 3 Esta hipótese é razoável em escalas de comprimento de alguns quilômetros,(ver e.g. [66] cap. 15

33 T = H (3.12) ρc p u Em que ρ [kg/m 3 ] é a massa específica do ar, c p [J/kgK] é o calor específico do ar à pressão constante, e H [W/m 2 ] é o fluxo de calor da superfície. As equações (3.4), (3.10) e (3.11) descrevem respectivamente os perfis de pressão,velocidade e temperatura na CLS, considerando um escoamento estacionário, sobre uma superfície horizontalmente homogênea, e vento unidirecional. Em analogia ao que é feito para descrever os processos de difusão molecular, o transporte turbulento na CLA para o fluxo de momentum (τ), calor (H) e umidade (E), são expressos em termos do gradiente vertical, τ = K m ρ u z H = K h ρc p θ z (3.13) (3.14) E = K q ρ q z (3.15) Em que K m, K h e K q em (m 2 /s) são os coeficientes de transferência turbulenta de momentum, calor e umidade respectivamente; u, θ e q, representam a componente de velocidade média na direção x 4, a temperatura potencial média e umidade específica média. Na CLS sobre um terreno uniforme, a diminuição da tensão 5 com a altura é pequena o suficiente para ser desconsiderada. Por ser uma quantidade vetorial, a constância na tensão implica em constância também na direção do vento com a altura, e isto torna possível tratar o transporte de momentum como um problema unidimensional na CLS. Os fluxos turbulentos 6 podem ser definidos por τ = ρu w (3.16) H = ρc p w θ (3.17) E = ρw q (3.18) A evidência empírica obtida a partir de dados de experimentos realizados em lo- 4 Normalmente escolhida como a direção preferencial para o vento. 5 O fluxo de momentum tem unidade de tensão (força/área). 6 O fluxo através de qualquer plano implica uma correlação entre a componente de velocidade do vento normal ao plano e a quantidade em questão. 16

34 cais planos, aponta que na CLS, a estrutura da turbulência pode ser descrita por um pequeno conjunto de parâmetros, como proposto por Monin e Obukhov[67], que são a altura acima da superfície z, a tensão cinemática na superfície τ 0 /ρ = (u w ) 0, e o fluxo de calor na superfície H 0 /ρc p. De acordo com a hipótese de Monin- Obukhov, vários parâmetros e estatísticas da CLS, tais como gradientes, variâncias e covariâncias, quando adimensionalizados de forma apropriada por escalas de velocidade u e temperatura T = ( w θ ) 0 u, se tornam funções universais de z/l, onde L é o comprimento de Monin-Obukhov, definido por 7. L = u 3 ( ) g κ (θ w) θ 0 0 Em que κ é a constante de von Kàrman. Neste trabalho, foi utilizado o valor 0.4 para esta constante. Algumas formas adimensionais importantes para a CLS, obtidas a partir da TSMO são φ m ( z L ) = κz u u z φ h ( z L ) = κz θ T z cisalhamento do vento (3.19) estratificação térmica (3.20) φ w ( z L ) = σ w u variabilidade em w (3.21) φ θ ( z L ) = σ θ T variabilidade em θ (3.22) φ ɛ ( z L ) = κzɛ u 3 dissipação da energia cinética turbulenta (3.23) Em que σ w e σ θ são os desvios-padrão de w e θ, e ɛ é a taxa de dissipação da energia cinética turbulenta. As formas destas funções não podem ser previstas por análise dimensional e são determinadas empiricamente através de experimentos [57]. Formas bastante conhecidas na literatura para estas funções foram obtidas nos trabalhos de BUSINGER et al [69] e DYER [70]. De (3.9), (3.13) e (3.19) tem-se a forma para as difusão turbulenta de momentum para a CLS, K m (z/l) = κzu φ m (z/l) e de (3.12), (3.14) e (3.20), o mesmo para a difusão turbulenta de calor (3.24) 7 L pode ser obtido por análise dimensional, como sendo a razão entre os termos de produção de energia cinética por cisalhamento e empuxo, na equação da energia cinética turbulenta, para turbulência estacionária e horizontalmente homogênea [68]. 17

35 K h (z/l) = κzu φ h (z/l) (3.25) Camada de Mistura (CM): A CM é a região de domínio dos movimentos convectivos de grande escala, resultantes do aquecimento da superfície. Esta intensa mistura gera uma distribuição quase uniforme de u e θ. Nesta região a presença da superfície não tem influência sobre o escoamento e portanto, z e τ 0 /ρ não são parâmetros relevantes. Os parâmetros básicos que descrevem o escoamento na CM são a altura da CM (h), a qual normalmente é considerada como a altura da primeira inversão no perfil de temperatura potencial, e o fluxo cinemático de calor na superfície (H 0 /ρc p ). O limite inferior da CM em z = 0, 1h é um resultado experimental e se aplica somente à condições fortemente convectivas [68]. As escalas de velocidade e temperatura para a CM, são definidas respectivamente por: w = ( ) 1/3 g θ (θ w) 0h e θ = (w θ ) 0 w A teoria de similaridade para a CM, implica que as propriedades estatísticas da turbulência, adimensionalizados com w e θ devem ser função somente de z/h 8. Camada de Convecção Livre (CCL): A região localizada entre a z L < 1 e 0, 1h (na figura 3.1) é uma camada de ligação (matching Layer) entre a CLS instável e a CM. Nesta região os gradientes de velocidade do vento e temperatura não são desprezíveis. A velocidade de fricção deixa de ser um parâmetro importante, então somente H 0 /ρc p, z, e g/θ permanecem importantes. Esta camada é conhecida como matching Layer, por que relações expressas como função de z/l na CLS, são escritas de forma equivalente para a CM, como função de z/h com apenas um ajuste de κ em z/l. As escalas de velocidade e temperatura nesta região são definidas por [71], e u f = ( ) 1/3 g θ (θ w) 0z T f = (w θ ) 0 u f Parâmetros da turbulência adimensionalizados com u f e T f devem ser constantes neste contexto. Near Neutral Upper Layer (NNUL): A região conhecida como NNUL, ou camada superior quase neutra é definida, segundo Holtslag [60], pelos mesmos parâmetros que a CLS, com o acréscimo de h. Por fim, a camada de entranhamento (Entrainment Layer) é a região de interface 8 Segundo Kaimal [25], a estrutura da turbulência na CM não percebe z. No entanto, muitas quantidades nesta camada são funções de z/h e portanto às vezes se inclui z como parâmetro de governo [59]. 18

36 entre a atmosfera livre e a camada limite instável. A estrutura desta camada ainda não é bem compreendida e por isso, nenhum parâmetro de escala pode ser dado [72]. A CLE se forma quando há um fluxo de calor sensível da atmosfera para a superfície, resultado de uma diferença de temperatura potencial negativa entre estas duas regiões. A figura 3.2 mostra a divisão da CLE segundo Holtslag [60]. CLS: Possui a mesma estrutura, sendo descrita pelos mesmos parâmetros que na condição instável. Escala Local (Local Scaling). Logo acima da CLS a turbulência escala com z e com os fluxos locais τ e θ w [73]. Nesta região, as variáveis turbulentas adimensionais podem ser escritas como função de z/λ [73], onde Λ é o comprimento de Monin-Obukhov local, definido por Λ = τ 3/2 κ g θ θ w Z-Less Layer : Com o aumento de z/λ é esperado que a dependência em z desapareça por que a estratificação estável inibe os movimentos verticais e portanto os turbilhões não sentem a presença da superfície, e esta região é escalada por τ e θ w [73]. Na figura 3.2, foram descritas as regiões de escala para a atmosfera estável. Condições com h/l < 1 foram consideradas como quase neutra [73]. A região de Local Scaling é definida como a região acima de z/λ = 1. Na região de intermitência a turbulência é muito fraca e esporádica e não é mais contínua no tempo e espaço, sendo confinada à regiões isoladas, onde se desenvolve e desaparece. Nenhuma teoria de similaridade foi desenvolvida até hoje para esta região. Figura 3.2: Camada limite estável (L > 0). A linha pontilhada é dada por z/l = 1. Fonte: HOLTSLAG e NIEWSTADT [60]). 19

37 Capítulo 4 Modelagem da Dispersão na CLA Em modelos de dispersão de maior complexidade, a equação da dispersão atmosférica pode ser acoplada à equação do movimento para a obtenção do campo de vento, conforme descrito no Capítulo 3. Além disso, os fluxos turbulentos gerados pelas flutuações no campo de velocidades e nos escalares (concentração, temperatura e umidade) são descritos de acordo com modelos de fechamento de ordem maior que 1. Uma abordagem consideravelmente mais simples que a descrita acima, é obtida a partir do uso de formas parametrizadas para o campo de velocidades, e a modelagem dos fluxos turbulentos seguindo o fechamento de 1 a ordem, ou teoria K ou teoria do comprimento de mistura [56]. Dos esquemas de fechamento existentes, este é o mais simples e tem sido amplamente utilizado para modelar a transferência turbulenta, em analogia ao empregado para a difusão molecular. Boussinesq [74] foi o primeiro a aplicar esta hipótese para o fluxo de momentum, através da introdução de uma viscosidade turbulenta. Este modelo de fechamento utiliza uma relação fluxo-gradiente, na qual o problema de se especificar uma covariância desconhecida é transferido à determinação, de forma fisicamente realística, de uma difusão turbulenta. A dependência da difusão em relação ao escoamento e a dificuldade em se determinar como esta dependência ocorre é um dos desafios na modelagem a partir da teoria K [1]. Os modelos de dispersão atmosférica baseados na teoria K tem sido extensivamente aplicados no estudo dos processos de difusão na CLA, principalmente por conta de sua simplicidade e habilidade em reproduzir concentrações experimentais. 4.1 Modelo de Dispersão Atmosférica A equação de transporte O problema de valor de contorno especificado a seguir, descreve o transporte de espécies não reativas, cuja concentração média na localização (x, y, z) [m] R 3 no 20

38 instante t [0, T ] [s] é representada pela função suave c = c(x, y, z, t) [kg/m 3 ], a qual é a solução da equação (4.1). A lei de conservação de massa para c pode ser expressa na forma diferencial como c + u c (K c) + λc = f em Ω t c(, 0) = c 0 ( ) em Ω (4.1) c = g em Γ g (K c) n = q em Γ q O primeiro termo do lado esquerdo da equação (4.1) representa a taxa de variação da concentração com o tempo, o segundo e o terceiro, os fluxos de massa [kg/m 3 s] do poluente devido ao transporte advectivo e difusivo respectivamente. A constante λ representa uma taxa de decaimento (e.g. decaimento radioativo), e f [kg/m 3 ] representa o termo fonte. Foi feita a hipótese de que a difusão molecular é desprezível em relação à difusão turbulenta, e desta forma, a contribuição difusiva ao fluxo surge do movimento turbulento na atmosfera, sendo causado pela flutuação turbulenta no campo de velocidades e concentração. Este fluxo é descrito em (4.1) de acordo com a teoria K. O sinal negativo do termo difusivo assegura que o poluente é transportado de uma região de alta concentração para uma região de menor concentração. O vetor n é normal à fronteira Γ, e g e q são funções conhecidas nos contornos Γ g e Γ q, respectivamente. Finalmente, o vetor u = (u, v, w) [m/s] representa o campo de velocidades, e K representa o tensor cujas entradas são as difusividades turbulentas K xx, K yy e K zz [m 2 /s], as quais em geral, são funções da posição e condições meteorológicas, e desta forma, também podem ter uma dependência temporal. Os eixos coordenados da equação estão alinhados com os eixos principais do tensor de coeficientes de difusão turbulenta, portanto, somente os elementos da diagonal principal são não nulos. A dedução da equação (4.1) pode ser vista em detalhes, por exemplo, em [65, Capítulo 8]. Há na literatura diversas parametrizações para as difusividades turbulentas e componentes horizontais da velocidade do vento, por exemplo [4, 27, 28, 44, 75]. A seguir são descritas aquelas a serem utilizadas neste trabalho Coeficiente de difusão turbulenta na CLA Quando os efeitos da flutuação do campo de vento e da concentração são incluídos na equação da conservação de um escalar, termos desconhecidos (covariâncias) são acrescentados à esta equação. Conforme dito no início deste capítulo, a representação destes termos será feita através da teoria K, em que os fluxos de escalares são descritos pelo produto entre uma difusão turbulenta e o gradiente desta 21

39 quantidade. Com este esquema, toda a informação sobre a estrutura da turbulência na CLA é inserida no modelo de dispersão através dos coeficientes de difusão turbulenta (K xx,k yy e K zz ). Neste trabalho serão utilizados valores constantes para (K xx e K yy ), e os modelos a ser empregados na representação de K zz são descritos a seguir. Existe na literatura uma grande quantidade de perfis para K zz. De acordo com WYNGAARD [1], esta proliferação de modelos para a difusão turbulenta reflete a dificuldade em determiná-la analiticamente, e a carência de dados para obtêla empiricamente. Segundo o mesmo autor, considerando a difusão turbulenta de momentum, a especificação de K zz geralmente segue a um dos três métodos: i) prescrição dos valores de K zz, ii) prescrição da forma de K zz ou iii) prescrição da dinâmica de K zz. Com o primeiro método, um valor constante para K zz é assumido. O terceiro critério é aplicado a partir do emprego de equações descrevendo a evolução dos fluxos turbulentos. Isto é feito através de fechamento de segunda ordem. A segunda metodologia é utilizada com bastante frequência para modelar os coeficientes de difusão turbulenta utilizados em modelos de dispersão atmosférica, ver por exemplo [4, 28, 45, 51, 75]. As concentrações obtidas a partir da aplicação destas parametrizações mostraram que modelos como estes são capazes de descrever com razoável precisão dados observacionais, sob diversas condições de estabilidade atmosférica, além de possuírem a vantagem de exigirem em geral, poucos parâmetros de entrada. O esquema, apresentado por O BRIEN [51], utiliza uma representação explícita para K zz, a qual se aproxima assintoticamente da forma de K zz na CLS para pequenos valores de z e assume o valor zero no topo da CLA, sendo descrito por, Com K zz (z) = K zz (h) + A(K zz (h s ) K zz (h) + (z h s )B) (4.2) e A = (h z)2 (h h s ) 2 (4.3) B = K zz z z=h s + 2(K zz(h s ) K zz (h)) (h h s ) (4.4) Em que h s é a altura da CLS. A equação (4.2) é válida em h s < z < h, tal que K(h s ), deve satisfazer (3.24) ou (3.25). A partir da hipótese de que o valor de K zz em z = h é pequeno quando comparado 22

40 a seu valor máximo na camada limite, além de que, em z = h, e que a derivada de K zz em relação a z é igual a zero, esta parametrização foi obtida com base na interpolação via polinômios de Hermite (ver e.g. Ralston [76]) nos pontos z = h s e z = h. De acordo com [57], a desvantagem deste tipo de modelo está na ausência de qualquer dependência de K zz nas propriedades do escoamento, exceto pela influência de K zz (h s ). No entanto, segundo o autor, esta parametrização é fisicamente realística, no sentido de que seu valor máximo ocorre aproximadamente na região central da CLA, assumindo valores progressivamente menores a medida que se aproximam o topo da camada limite e a superfície. ULKE [4] propôs uma formulação para a difusão turbulenta vertical para ser utilizada em modelos eulerianos de dispersão de poluentes na CLA, a qual fornece uma transição suave entre diferentes regimes de estabilidade e diferentes alturas. Isto foi possível através da inclusão de informações sobre a turbulência gerada por empuxo e cisalhamento nas equações, inseridas a partir da velocidade friccional u e do parâmetro de estabilidade h/l. As parametrizações foram estabelecidas considerando a hipótese de validade local das equações de energia cinética turbulenta, considerando homogeneidade horizontal e regime permanente. Dados observacionais, bem como resultados obtidos a partir de modelos de fechamento de 2 a ordem e LES (Large Eddy Simulations) mostram um decréscimo com a altura do fluxo de momentum por unidade de massa (u w ) na CLA ([77 79]). Isto pode ser escrito através de uma relação funcional, que estabelece uma dependência entre o fluxo de momentum por unidade de massa normalizado pelo seu valor na superfície [4]. u w = (u w ) 0 [ 1 z h] α (4.5) Estimativas de α obtidas empiricamente ou através de simulações, foi observado que seu valor varia entre 1 e 2. Na obtenção destas parametrizações, em [4], foi utilizado α = 2. Assim, a partir de (4.5), tem-se a seguinte dependência funcional em relação a altura da CLA para a velocidade de fricção, 1 [ u = u 0 1 z ] h (4.6) A parametrização foi construída a partir da forma conhecida para a difusão turbulenta de momentum na CLS, dada por (3.24), sendo estendida por toda a CLA através da substituição da velocidade friccional na superfície em (3.24) por 1 Foi utilizada a equação (3.10) para o fluxo de momentum, considerando desprezível o primeiro termo no lado esquerdo. Nas parametrizações propostas em [4], a velocidade de fricção na superfície foi representada por u 0. 23

41 (4.6), além do acréscimo do parâmetro z/h. A função φ m na equação (3.24), foi proposta por WIERINGA [80]. Desta forma, para a condição estável (h/l > 0), K m, é dado por e ( z ( K m = κu 0 h 1 h) z ) ( h ) 1 z (4.7) h L h ( z ( K m = κu 0 h 1 h) z ) ( 1 22 h ) 1/4 z (4.8) h L h para a condição instável (h/l < 0). Na equação (4.1), foi assumido que K zz = K m Campo de Vento na CLA A forma como ocorre a dispersão de poluentes na atmosfera é muito dependente da intensidade e da direção do escoamento atmosférico onde estes estão inseridos. A intensidade do vento fornece informação sobre a extensão da área de alcance da poluição, e sua direção, as possíveis regiões afetadas por ela. Para a obtenção de soluções mais confiáveis para um modelo de dispersão de poluentes, são necessárias informações relevantes sobre a distribuição do vento na CLA. Diversos fatores que influenciam a intensidade e direção do vento e sua variação com a altura na CLA, entre eles: a rugosidade da superfície, o ciclo de aquecimento e resfriamento diurno, a profundidade da CLA, a rotação da terra, presença de nuvens e regime de precipitação [81]. Modelos analíticos semi-empíricos para a descrição do campo de vento tem sido amplamente utilizados em alternativa à resolução das equações do movimento, na modelagem da dispersão atmosférica [4, 44]. Um modelo analítico bastante conhecido, desenvolvido por TENNEKES [82], foi obtido a partir das equações do movimento, para uma atmosfera idealizada sob condição neutra, barotrópica e estacionária. O perfil de vento foi obtido através de análise de escala e utilizando o método de perturbação singular [83]. Esta parametrização estabelece que existe uma camada onde a escala de comprimento escolhida para representar os processos físicos da região próxima à superfície (z/z 0 ) é tão grande que os efeitos de z 0 (comprimento de rugosidade) são desprezíveis, enquanto a escala de comprimento escolhida para representar os processos distantes da superfície (zf/u ) (f é o parâmetro de coriolis), é tão pequena que os efeitos de f devem ser ignorados, o cisalhamento do vento pode depender somente da fricção e da altura (z) [1]. Esta é uma das formas clássicas para obtenção do perfil logarítmico do vento na CLS. Esta teoria de similaridade foi obtida a partir de idealizações de situações 24

42 que raramente acontecem na atmosfera real. Para a atmosfera não neutra, esta teoria deve ser generalizada, afim de inserir os efeitos do aquecimento na superfície [82]. Muitos trabalhos foram propostos com o objetivo de estender este perfil para toda a camada limite considerando uma atmosfera não neutra. Veja por exemplo [4, 31, 44, 84]. ULKE [4] desenvolveu uma parametrização para as componentes horizontais da velocidade do vento, na qual a velocidade do vento é função da altura relativa (z/h), considera os efeitos da tensão de cisalhamento na camada limite, e é dependente da estabilidade e apresenta uma transição suave entre as condições instável e estável. Os perfis de vento foram obtidos a partir da integração da equação para o fechamento de 1 a ordem, obtendo u(z) = u 0 κ Para a condição estável, e { ln z [ 1 6, 9 h ] [ z z0 z 0 L h 6, 9 2 [ ]]} h z 2 z0 2 L h 2 (4.9) u(z) = u 0 κ { ln z z 0 + ln [ (1 + µ 2 0 )(1 + µ 0 ) 2 ] + (1 + µ 2 )(1 + µ) 2 2(arctan(µ) arctan(µ 0 )) + 2L } 33h [µ3 µ 3 0] (4.10) Para a condição instável, em que ( µ = 1 22 h z L h ) 1/4 and µ 0 = ( 1 22 h L ) 1/4 z 0. h Para pequenos valores de h/l, a estratificação é próxima à neutra. Para valores progressivamente maiores de h/l, desde que h/l = κ(w /u 0 ) 3 (4.11) em que w é a escala de velocidade convectiva, a importância relativa entre a turbulência gerada pelo empuxo e o cisalhamento está sendo considerada através do parâmetro de estabilidade para ambos, a velocidade do vento, e coeficiente de difusão turbulenta vertical [4]. Na simulação do problema transiente, os valores de h, L e u foram obtidos do AERMET. Para simplificar a notação, definiu-se h(t) = h, L(t) = L e u (t) = u. Desta forma, K zz (z, t) = K zz e u(z, t) = u(z). A dependência do tempo no modelo ocorre através dos processos de aquecimento e resfriamento da superfície ao longo do dia. Mais precisamente, durante as horas da manhã, a medida que o aquecimento da superfície aumenta gradualmente, uma 25

43 forte convecção pode levar a um grande desenvolvimento na CLA. Por outro lado o resfriamento noturno gera um empuxo negativo, o qual conduz a uma considerável redução da espessura da CLA. O comprimento de Monin-Obukhov depende diretamente do fluxo de calor na superfície, e por esta razão muda ao longo do dia, assim como a velocidade de fricção. A frequência da variação temporal destas quantidades no modelo, depende da frequência com estes dados são obtidos. 26

44 Capítulo 5 Modelagem Numérica 5.1 Método de elementos finitos aplicado a problemas advectivos-difusivos O método de elementos finitos baseado na formulação de Galerkin, quando aplicado a problemas elípticos, conduz à uma matriz de rigidez simétrica, e neste caso pode ser mostrado que a diferença entre a solução analítica e a obtida através do MEF é minimizada com respeito à uma determinada norma [47]. A aplicação deste método a equações de natureza hiperbólica, como é o caso da equação de transporte predominantemente advectivo, conduz a uma matriz associada ao termo advectivo assimétrica e consequentemente, a propriedade mencionada acima é perdida. Este efeito é visto na solução na forma de oscilações. Em problemas dominados por advecção, a solução obtida através do método de Galerkin exibe um caráter globalmente oscilatório [85]. A aproximação de Galerkin com elementos finitos lineares é equivalente ao método de diferenças finitas centradas, e consequentemente padece do mesmo problema em aplicações à problemas advectivos. O recurso utilizado em diferenças finitas para solucionar este problema consiste em tratar o termo advectivo como uma aproximação de primeira ordem, com um ponto a montante (Upwind). A desvantagem deste método é que a diferença central possui precisão de segunda ordem, e esta perda de precisão aparece na solução, tornando-a excessivamente difusiva [86]. No contexto de elementos finitos, o efeito Upwind foi conseguido de diversas formas. Para uma evolução mais detalhada dos métodos de estabilização do tipo Upwind, ver por exemplo [86] e [47]. Nas últimas três décadas, várias formulações estabilizadas de elementos finitos para problemas advectivos-difusivos, foram propostas com o objetivo de remover as instabilidades numéricas em tais situações, como aquelas encontradas em [15, 48, 87, 88]. Dentre estas formulações, uma das que mais se destaca é o método de Galerkin Least Squares (GLS), proposto por HUGHES et al [15]. A formulação variacional 27

45 de GLS é construída a partir da adição à formulação de Galerkin, de um termo correspondente à ponderação em mínimos quadrados. Este termo extra inclui um parâmetro de estabilização, o qual determina a contribuição da estabilização à esta formulação. Ao considerarmos especificamente o contexto da modelagem para dispersão atmosférica proposta no Capítulo 3, ao longo de um ciclo diurno, possivelmente ocorrerão situações em que o escoamento na CLA é governado pela advecção, seja por toda a sua extensão, ou apenas em regiões específicas desta como próximo à sua superfície e ao topo. Desta forma, na busca pela solução do modelo de dispersão apresentado no Capítulo 3 via MEF, faz-se necessário o emprego de uma metodologia capaz de fornecer uma solução estável, a qual adicione estabilização numérica extra somente quando essencial, ou seja, quando a advecção é o transporte de mecanismo dominante. Em algumas aplicações do MEF à problemas de modelagem da qualidade do ar encontrados na literatura, foi observado que os diversos tipos de métodos estabilizados empregados, foram utilizados em conjunto com malhas com refinamento adaptativo, ou com maior refinamento nas regiões onde previamente tinha-se o conhecimento de que os gradientes da solução são mais acentuados, como na vizinhança de fontes pontuais. O mesmo procedimento foi adotado neste trabalho. A seguir, é apresentada a formulação de elementos finitos utilizada nas simulações. 5.2 Formulação variacional O problema definido através de (4.1) está na forma forte, e sua resolução utilizando MEF exige que ele seja escrito na forma fraca, ou variacional. Para isto, alguns espaços de funções são definidos a seguir. Seja H 1 (Ω t ) um espaço de Sobolev das funções de quadrado integrável definidas no domínio Ω t, as quais tem derivadas fracas de primeira ordem de quadrado integrável, também definidas em Ω t. O índice t é para enfatizar que é permitida a variação do domínio no tempo, de acordo com as variações na altura da CLA. O espaço definido por Φ = { c H 1 (Ω t [0, T ]) : c = g em Γ D [0, T ] } (5.1) é composto pelas funções H 1 (Ω t [0, T ]) as quais são iguais às funções g, na porção de Dirichlet Γ D da fronteira de Ω t, para todo tempo t [0, T ]. Por outro lado, o espaço 28

46 V = { η H 1 (Ω t ) : η = 0 em Γ D } (5.2) é composto por funções em H 1 (Ω t ) as quais desaparecem na porção Γ D da fronteira Ω t. Note que os elementos do espaço Φ são tempo-dependentes, enquanto que os elementos de V não dependem do tempo. A partir da integração da equação (4.1) em todo o domínio, e fazendo uso das condições de fronteira, o problema de dispersão atmosférica, pode ser escrito como segue: Encontre uma função c no espaço Φ satisfazendo a formulação variacional A(c, η) = l(η) η V (5.3) em que e A(c, η) = Ω t l(η) = [ η c ] + ηu c + K c η + ηλc dω (5.4) t ηfdω + Ω t ηqdγ Γ q η em V. (5.5) Formulação de elementos finitos Afim de obter a solução do problema variacional (5.3) através do MEF, consideremos uma partição do domínio Ω t em N e elementos finitos. Seja Ω e o interior do enésimo elemento, com fronteira Γ e. Definindo Ω = Ω e, a união de todos e os elementos interiores de Ω t, e Γ = e Γ e Γ, a união de suas interfaces. Além disso, os elementos são tais que podem ser mapeados em elementos padrão ou isoparamétricos. Os espaços de elementos finitos equivalentes de Φ e V podem ser definidos como Φ h,n = { c h H 1 (Ω t ) : c h P n (Ω e ) e c h = g(t) em Γ g [0, T ] } (5.6) e V h,n = { η H 1 (Ω t ) : η h P n (Ω e ) e η h = 0 em Γ g } (5.7) Em que P n (Ω e ) consiste no espaço de polinômios de grau n, em coordenadas locais correspondentes ao elemento padrão e c h denota a restrição de c ao elemento Ω e. O método de Galerkin aplicado ao problema (5.3) consiste em encontrar c h ϕ h,n tal que para todo η h V h,n e t [0, T ] satisfaz 29

47 A(c h, η h ) = l(η h ) (5.8) Em que A(c h, η h ) = Ω ] [η h ch t + ηh u c h + K c h η h + η h λc h dω (5.9) e l(η h ) = η h fdω + η h qdγ (5.10) Ω Γ q Conforme discutido anteriormente, a solução obtida através do método de Galerkin é deteriorada globalmente em situações em que o transporte advectivo é dominante. Para evitar este efeito indesejado, a formulação de GLS para problemas advectivos apresentada em [15], será utilizada. De acordo com [89], o método de GLS pode ser visto como uma metodologia geral para a obtenção de um MEF convergente, abrangendo uma classe mais geral de funções de interpolação que o método de Galerkin. O método de GLS se baseia no uso de termos de estabilização que são resultantes da minimização em mínimos quadrados de um operador residual da formulação fraca, sendo adicionado à formulação de Galerkin. Para o problema em questão, este operador é dado por A LS (c h, η h ) = Ω e τ GLS [ c h t + u ch (K c h ) + λc h ] [ u η h (K η h ) + λη h] d Ω (5.11) e [ l LS (η h ) = fτ GLS u η h (K η h ) + λη h] d Ω (5.12) Ω e A formulação Galerkin mínimos quadrados para o problema é dada por N e N e A(c h, η h ) + A LS (c h, η h ) = l(η h ) + l LS (η h ) η h V h (5.13) e=1 Segundo HUGHES et al. [15], τ GLS é um parâmetro positivo possuindo dimensão de tempo, e satisfaz as seguintes propriedades, e=1 ( ) he τ GLS = O, Pe grande (5.14) u 30

48 e ( ) h 2 τ GLS = O e, Pe pequeno (5.15) K em que h e é um parâmetro do elemento da malha, Pe é o número de Peclet, definido por P e = u h e 2 K (5.16) ainda de acordo com [15], uma escolha de τ GLS satisfazendo estas propriedades é dada por τ GLS = h e 2 u ξ(p ee ) (5.17) O parâmetro τ GLS determina a quantidade de difusão artificial acrescentada à solução. A forma para ξ(p e e ) empregada no método GLS é discutida em [88, Apêndice A]. Há na literatura uma grande quantidade de trabalhos em que foram propostas diversas formas funcionais para ele. Uma revisão sobre diversas metodologias para a obtenção deste parâmetro pode ser vista em [90]. Em geral, ao simular a dispersão considerando uma CLA instável, a importância do termo de mínimos quadrados será reduzida, devido a diminuição da advecção. Por outro lado, ao lidar com uma condição estável, o parâmetro τ GLS assumirá maiores valores, fornecendo maior estabilidade à solução. Por fim, as funções c h e η h são aproximadas por e c h (, t) = nnos i=1 N i ( )c i (t) (5.18) η h ( ) = nnos i=1 N i ( )d i (5.19) em que c i (t) são os valores nodais de concentração no instante t, N i ( ) é o vetor cujas entradas são polinômios de Lagrange de ordem n, dependentes apenas da localização espacial dos elementos. O número de componentes deste vetor é determinado pela quantidade de nós dos elementos da malha. Substituindo as aproximações (5.18) e (5.19) nas formas integrais (5.11) e (5.12), e fazendo a mudança de coordenada apropriada, obtém-se as matrizes ao nível do elemento. O cálculo das matrizes elementares em detalhes pode ser visto em [86, 91 93]. Neste trabalho, o sistema (5.13) foi resolvido através dos softwares COMSOL Multiphysics 4.4 e Matlab R2013b. 31

49 Capítulo 6 Avaliação com dados experimentais Neste capítulo, um caso particular do modelo proposto no Capítulo 4 será utilizado para avaliação da solução com dados experimentais. Serão utilizados os experimentos comumente empregados na validação de modelos de dispersão de poluentes atmosféricos sobre terrenos planos em regime permanente. Mais precisamente, serão utilizados os dados dos experimentos de Prairie-Grass [17], Hanford [43] e Copenhagen [33]. Isto permite verificar o desempenho do método empregado ao simular diversas condições de estabilidade atmosféricas, as quais podem surgir ao longo de um ciclo diurno. Em todas as simulações serão utilizadas as parametrizações para a difusão turbulenta e componente longitudinal da velocidade do vento desenvolvidas em [4] e descritas no Capítulo Modelo para simulação dos experimentos As hipóteses estabelecidas a seguir são aplicadas ao modelo de dispersão original descrito pela equação (4.1), afim de adequá-lo fisicamente aos casos simulados no presente capítulo. 1. A solução é permanente, o que é razoável quando a velocidade do vento e todos os parâmetros são independentes do tempo, e a escala de tempo em questão é longa suficientemente. 2. O campo de vento horizontal é unidirecional, sendo alinhado à direção x. Esta hipótese é suportada pelo fato de que é sempre possível fazer uma rotação no sistema de coordenadas e alinhar a direção do vento à uma direção particular. Ademais, a componente longitudinal do vento é dependente da coordenada vertical z. Além disso, em uma superfície suficientemente plana, frequentemente a componente vertical do vento médio é pequena suficiente para ser 32

50 negligenciada [94, pp 272]. Assim, pode ser assumido que o campo de vento satisfaz u = u(z), v = 0, w = 0. (6.1) 3. O transporte turbulento na direção x é desprezível comparada ao transporte advectivo na mesma direção. Esta hipótese é razoável sob condição de vento moderado à forte [95]. Portanto, pode-se assumir que Em outras palavras, u(z) c x [ ] c K xx. (6.2) x x [ ] c K xx 0 x x 4. Os experimentos utilizados nesta avaliação foram realizados sobre locais planos, desta forma, variações na topografia são consideradas desprezíveis. Assim, a superfície do solo pode ser tomada como o plano z = z 0, em que z 0 é o comprimento de rugosidade do terreno. 5. O poluente fica retido na CLA. K zz c z 6. O poluente não penetra a superfície, = 0 em z = h (6.3) K zz c z = 0 em z = z 0 (6.4) 7. Para contabilizar o processo de deposição seca na superfície o fluxo será dado por em que v d é a velocidade de deposição. K zz c z v dc = 0 em z = z 0 (6.5) 8. O poluente é emitido à uma taxa constante Q [g/s], a partir de uma fonte pontual localizada no ponto (0, H s ), onde H s é a altura da fonte. O termo fonte pode ser descrito como f(0, H s ) = 33 Q u(z) δ(z H s) (6.6)

51 Em que δ( )[m 1 ] é a distribuição delta de Dirac. 9. Para lidar numericamente com a singularidade no ponto (0, H s ) (concentração infinita), a delta de Dirac foi aproximada através da distribuição gaussiana, i.e., em que σ é o desvio padrão. δ(z H s ) = 1 σ 2π exp( (z H s) 2 2σ 2 ) (6.7) 10. De acordo com [96], experimentos mostraram que o perfil lateral da pluma se assemelha a uma distribuição gaussina. Assim, para determinar a concentração c(x, y, z), basta conhecer a concentração integrada c(x, z) = c(x, y, z) dy, e σ y, e usar a seguinte equação ( ) y c(x, y, z) = c(x, z)(2πσy) exp. 2σ 2 y em que σ y é o espalhamento da pluma na direção y. A partir das hipóteses 1,2, 3, e 10, desconsiderando o termo de decaimento na equação original 4.1, esta pode ser escrita como, u(z) c x = [ ] c K zz. (6.8) z z Modelos envolvendo estas hipóteses tem sido aplicados com sucesso na avaliação com os dados experimentais utilizados neste trabalho, como exemplo, pode-se citar [2 5, 40]. 11. Na avaliação do modelo tridimensional com dados experimentais descarta-se a hipótese 10, obtendo-se, u(z) c x = [ ] c K yy + [ ] c K zz. (6.9) z z z z além disso, considera-se que o fluxo de poluente através das faces laterais é nulo, e a fonte de emissão é inserida no ponto cujas coordenadas são (0, 0, H s ). 34

52 6.2 Metodologia de solução O problema de dispersão atmosférica proposto neste capítulo apresenta, ao menos, duas dificuldades principais. A primeira delas é lidar com os fortes gradientes impostos pela condição de contorno, representada por uma distribuição delta de Dirac. A outra é lidar com situações em que o transporte advectivo seja predominante. Em alguns trabalhos envolvendo o MEF, o primeiro problema é contornado através do uso de malhas refinadas localmente na região próxima à fonte de emissão, conforme feito, por exemplo em [8, 10, 46]. A segunda dificuldade será tratada aqui através do uso conjunto da formulação estabilizada de Galerkin Least Squares, descrita no capítulo 5, além da escolha de malhas apropriadas. Estas malhas são escolhidas de forma que, para cada caso simulado, partindo da estrutura de malha apresentada na Figura 6.1 (para o caso bidimensional), seja encontrada uma malha na qual a solução seja convergente, através do controle do tamanho dos elementos nas regiões 1 e 2. Isto é feito pois nem toda a região do domínio espacial possui particular importância para a solução numérica, já que estamos interessados na solução em uma região muito próxima à superfície. Desta forma, a ideia foi utilizar malhas mais finas justamente nestas regiões do domínio e uma malha mais grossa nas demais regiões, reduzindo o consumo de memória, e portanto o tempo da simulação. Inicialmente, para o caso do escoamento unidirecional foram feitas simulações utilizando malhas com refinamento adaptativo (Figura 6.2), as quais tem por objetivo, aumentar a precisão da solução numérica considerando o custo computacional e uma estimativa de erro definida a priori. No entanto, esta estratégia de refinamento de malha levou a um tempo computacional maior, pois uma parte maior do domínio foi refinada. As Figuras 6.1 e 6.2 apresentam dois exemplos de malhas geradas para a simulação do caso 9 do experimento de Prairie-Grass, com um aumento na imagem na região mais próxima à fonte de emissão (ponto x = 0, z = 0,5 m) e à superfície. Assim, a metodologia para a solução do modelo de dispersão com escoamento do vento unidirecional, consiste da utilização da formulação de elementos finitos descrita no Capítulo 5, o emprego das parametrizações para a difusividade turbulenta vertical e componente longitudinal desenvolvidas em [4], descritas no Capítulo 4, além do uso de malhas com refinamento local conforme o exemplo apresentado na Figura 6.1. A principal contribuição desta metodologia está na utilização de formas paramétricas para a descrição do escoamento e difusividade turbulenta, que incorporam ao modelo de dispersão, a física da CLA. Foram simulados ao todo 48 casos do experimento de Prairie-Grass, 12 casos do experimento de Hanford (com e sem deposição) e 9 casos do experimento de Copenhagen, o que possibilitou uma análise da performance do método, considerando 35

53 Figura 6.1: Um exemplo da estrutura das malhas utilizadas nas simulações do problema bidimensional, obtida para simular o caso 9 do experimento de Prairie-Grass. diversos regimes de estabilidade atmosférica. Os resultados foram avaliados com os dados de concentração dos respectivos experimentos, além de soluções analíticas disponíveis na literatura. Devido à grande quantidade de casos simulados, é apresentada a convergência da solução em relação a malha apenas para dois casos de cada experimento, nos quais as situações de maior e menor estabilidade atmosférica foram observadas. São apresentados também, gráficos comparando os perfis de velocidade do vento e difusão turbulenta vertical, e variação do número de Peclet local com a altura da CLA. Desta forma, é possível em cada caso verificar a importância relativa entre os mecanismos de transporte dominantes ao longo da CLA para os casos extremos de estabilidade atmosférica encontrados em cada um dos experimentos. A seguir, são descritos os procedimentos adotados na obtenção das concentrações, em todos os casos simulados. O domínio computacional do problema bidimensional consiste de um retângulo com dimensões [0, L x ] [z 0, h], em que L x é o comprimento longitudinal do domínio, e h é a altura da CLA. Para a avaliação do problema tridimensional, o domínio computacional é o paralelepípedo com dimensões [0, L x ] [ L y, L y ] [z 0, h], sendo L y o comprimento lateral do domínio. Na Figura 6.1, como exemplo, é apresentada a malha utilizada na simulação do caso 9 do experimento de Prairie-Grass, em que L x = 800 m, h = 548 m e z 0 = m. Esta estrutura de malha foi utilizada de modo que se tenha um refinamento maior nas regiões onde, porventura, fortes gradientes apareçam, e onde se deseja maior precisão nos resultados. No problema estudado neste trabalho, estes gradientes elevados ocorrerão sempre na região vizinha à fonte de emissão, e quando a 36

54 Figura 6.2: Um exemplo da malha adaptativa gerada para simular o caso 9 do experimento de Prairie-Grass. equação que modela o problema apresentar uma natureza hiperbólica. Fisicamente, isto ocorrerá nas regiões da CLA (e/ou condição de estabilidade atmosférica) em que a velocidade do vento é superior à difusão turbulenta. Nos casos em que oscilações na solução persistem, apesar da estabilização, malhas progressivamente mais finas na região 2 foram utilizadas. A malha final escolhida para cada caso foi aquela na qual a solução obteve convergência local, ou seja, convergência da solução na região próxima à superfície (região 2). A convergência local da solução foi avaliada em um corte no domínio em z = z m, em que z m foi escolhido como a altura onde os dados experimentais foram medidos. Esta altura varia de acordo com o experimento simulado. Para o experimento de Prairie-Grass e Hanford, z m = 1, 5 m e para o experimento de Copenhagen z m = 0, 6 m. Na região 3 foi utilizada uma malha mais grossa, com tamanho do elemento fixo. No que se segue, por números de refinamentos entenda-se o número de vezes em que a aresta dos elementos da malha original foi dividida por 2. Desta forma, ref1 significa que na região em questão, a aresta de cada elemento foi dividida uma vez por 2, com ref2, 2 refinamentos locais foram empregados, e desta forma, cada aresta da malha original foi dividida por 4, e assim por diante. O critério utilizado para determinar o número de refinamentos necessários à obtenção da solução final foi baseado no cálculo da distância na norma L 2 entre as soluções obtidas com malhas com refinamentos sucessivos, dividida pela norma L 2 da solução obtida com a malha mais fina, conforme descrito na equação (6.10). erro i = c ref i c ref i+1 L 2 (z m) c ref i+1 L 2 (z m) (6.10) 37

55 Nesta equação, c ref i denota a solução obtida com a malha mais grossa e c ref i+1, a solução obtida com malha mais fina, e i o número de refinamentos realizados na região 2. O número de refinamentos foi considerado satisfatório, isto é, considerou-se a solução como convergida, quando esta distância normalizada ficou abaixo de 0,01. Em todas as simulações envolvendo problema bidimensional, a malha foi discretizada em elementos finitos triangulares, e no caso tridimensional, foram empregados elementos finitos tetraédricos. Em ambos os casos foi utilizada uma base de polinômios de Lagrange de grau 1. A convergência da solução para cada experimento é apresentada a seguir Convergência da solução - experimento de Prairie- Grass As Tabelas apresentam a variação dos valores de concentração de acordo com o número de refinamentos determinados para as regiões 1 e 2, nos pontos em que as concentrações foram medidas no experimento de Prairie-Grass. Na tabela 6.5 é apresentada a convergência da solução de acordo com a estimativa de erro definida em (6.10). Tabela 6.1: Convergência da solução numérica. Rodada 7- Prairie-Grass na condição instável x[m] c ref1 c ref2 c ref3 c ref4 c ref5 Experimental Malha1 Malha2 malha4 50 4,4251 4,4389 4,4596 4,4723 4,4781 5, ,7117 2,7506 2,7640 2,7737 2,7737 2, ,4686 1,4733 1,4790 1,4779 1,4780 0, ,7195 0,7193 0,7192 0,7185 0,7181 0, ,3327 0,3320 0,3312 0,3304 0,3301 0,0265 Tabela 6.2: Convergência da solução numérica. Rodada 11- Prairie-Grass na condição instável x[m] c ref1 c ref2 c ref3 c ref4 c ref5 Experimental Malha1 malha2 malha3 50 3,3228 3,3195 3,3356 3,3444 3,3482 3, ,2144 2,2437 2,2602 2,2688 2,2692 2, ,3049 1,3101 1,3212 1,3215 1,3218 1, ,7016 0,7014 0,7031 0,7027 0,7023 0, ,3578 0,3569 0,3563 0,3555 0,3551 0,1986 Pode-se observar que em geral, a solução precisa de menos refinamentos para convergir em pontos mais afastados da fonte de emissão. Esta tendência foi observada 38

56 Tabela 6.3: Convergência da solução numérica. Rodada 24- Prairie-Grass na condição estável x[m] c ref1 c ref2 c ref3 c ref4 Experimental Malha1 Malha2 malha3 50 0,0970 0,0529 0,0488 0,0491 0, ,0695 0,0377 0,0347 0,0349 0, ,0437 0,0235 0,0216 0,0217 0, ,0254 0,0137 0,0126 0,0126 0, ,0144 0,0077 0,0071 0,0071 0,0040 Tabela 6.4: Convergência da solução numérica. Rodada 68- Prairie-Grass na condição estável x[m] c ref2 c ref3 c ref4 c ref5 Experimental Malha1 Malha2 malha3 50 0,3099 0,1569 0,1148 0,1154 0, ,2447 0,1239 0,0907 0,0912 0, ,1797 0,0910 0,0666 0,0670 0, ,1223 0,0619 0,0454 0,0456 0, ,0798 0,0404 0,0296 0,0298 0,02831 em outros trabalhos, como em [2, 3]. Isto ocorre devido a dificuldade encontrada pelos métodos (numéricos ou não) em aproximar a solução próximo aos fortes gradientes de concentração gerados pela fonte de emissão. Nas Figuras são apresentados os perfis de concentração longitudinal, difusão turbulenta vertical, componente longitudinal da velocidade do vento e número de Peclet local (em cada nó da malha) com a altura. Nas Figuras 6.3 e 6.4, embora com preponderância do transporte difusivo em uma parte considerável da CLA, pode-se observar que principalmente nos gráficos da direita (nas figuras 6.3 e 6.4), que a velocidade do vento apresenta uma grande variação com a altura próximo à superfície, assumindo valores elevados nesta região, o que possivelmente levou a solução à convergir lentamente, já que neste caso, ambas precisaram de 4 refinamentos para convergir. Os perfis verticais de difusividade turbulenta, velocidade do vento e número de Peclet local foram obtidos a partir de um corte vertical no domínio na posição x=100 m. Considerando que exceto na região vizinha à fonte, a malha utilizada é aproximadamente uniforme na direção x, estes perfis não apresentam variações significativas ao longo desta direção, e por isto, este corte foi escolhido arbitrariamente. Em todos os casos simulados, os gráficos de K zz (z), u(z) e Pe foram construídos através da malha na qual a solução alcançou a convergência. Na simulação da rodada 7 do experimento de Prairie-Grass, foi observado que com a malha1, no intervalo x entre 10 e 40 metros a solução apresentou instabilidades 39

57 Tabela 6.5: Convergência da concentração nas rodadas 7, 11, 24 e 68 do experimento de Prairie-Grass. Rodada erro 1 erro 2 erro3 erro4 tolerância 7 0,076 0,046 0,029 0,0011 0, ,070 0,059 0,029 0,0089 0, ,8405 0,0853 0,0057-0, ,9751 0,3662 0,0054 0,01 Figura 6.3: C(x, 1, 5), u(z), K zz (z) e número de Peclet. Rodada 7 (h/l = 107, 9) Prairie-Grass na condição instável. Figura 6.4: C(x, 1, 5), u(z), K zz (z) e número de Peclet. Rodada 11 (h/l = 2, 2) Prairie-Grass na condição instável. na ordem de 0.1 na região de concentração máxima, em x 20 metros. Estas oscilações foram consideravelmente reduzidas (ordem 0.01) com o uso da malha2, e eliminadas com a malha4. Também foram feitas comparações com as soluções analíticas obtidas por GUER- RERO et al [3], para o caso instável, e PIMENTEL et al [2] para o estável, além dos dados gerados pelo modelo Operationelle Meteorologiske Luftkvalitetsmodeller (OML) [59] para ambas as condições. É importante observar que apesar da maior intensidade do vento e menores 40

58 valores de difusão turbulenta vertical, menores valores foram assumidos pelo número de Peclet local nas rodadas 24 e 68. Isto se deve ao fato de que foi utilizada uma malha inicial mais fina nas regiões 1 e 2 nos casos estáveis, com comprimento máximo da aresta do elemento l=1,34 m, enquanto que nos casos instáveis, l=5,36 m. Em geral, quando se considera o regime estável, menores valores na altura da CLA são observados do que durante condições instáveis. Desta forma, nas simulações realizadas neste trabalho, em geral, foi possível partir de malhas mais finas quando simulando condições estáveis já que, nestes casos em geral a espessura da CLA, e portanto, o domínio computacional é muito menor. Apesar disto, o tempo computacional para as rodadas 7 e 11 foram de 7 e 6 segundos respectivamente, enquanto que nas rodadas 24 e 68, o tempo computacional foi de 1 minuto e 7 segundos e 50 segundos respectivamente. Em geral, na simulação dos casos estáveis o tempo computacional foi maior. Figura 6.5: C(x, 1, 5), u(z), K zz (z) e número de Peclet. Rodada 68 (h/l = 8, 5) Prairie-Grass estável. Figura 6.6: C(x, 1, 5), u(z), K zz (z) e número de Peclet. Rodada 24 (h/l = 0, 61) Prairie-Grass estável. 41

59 6.2.2 Convergência da solução - Experimento de Hanford Para a análise da convergência da solução na simulação do experimento de Hanford, foi escolhido apenas um caso, já que neste experimento houve pouca variação nas condições de estabilidade (2 < h/l < 3). A Tabela 6.6 apresenta os resultados da simulação obtida através do método GLS, com duas malhas distintas. Malha1 e Malha2 referem-se às malhas com um e dois refinamentos na região 1 respectivamente. A região 2 não precisou de refinamentos, já que malhas mais finas nesta região produziram os mesmos resultados. Este comportamento não foi uma regra na simulação do experimento de Hanford, já que em geral, na região 2 foram necessários mais de um refinamento. O comprimento máximo da aresta do elemento na região 2 foi 5,18 m, e o tempo computacional para a obtenção da solução neste caso foi de 1s. A figura 6.7 apresenta a comparação entre as concentrações obtida e observada, além das parametrizações para a componente longitudinal da velocidade do vento e difusividade turbulenta vertical utilizado nas simulações, a partir dos dados do caso 5 no experimento de Hanford. A estimativa do erro (de acordo com (6.10)) obtido para as malhas 1 e 2 foi de Tabela 6.6: Convergência da solução numérica. Rodada 5-Hanford(sem deposição) x[m] Malha1 Malha2 Experimental 800 0, , , , , , , , ,00664 Figura 6.7: C(x, 1, 5)/Q, u(z), K zz (z) e número de Peclet. Caso 5 (h/l =2,66)Hanford (sem deposição). 42

60 6.2.3 Convergência da solução - Experimento de Copenhagen Considerando o experimento de Copenhagen, foram disponibilizadas além das concentrações integradas, as concentrações máximas, o que permitiu a avaliação do modelo tridimensional. Nas Tabelas 6.7, 6.8, 6.9 e 6.10 é apresentada a convergência da solução obtida na avaliação da solução com os dados dos casos 1 e 6 do experimento de Copenhagen, de acordo com a malha empregada, além de sua comparação com as concentrações observadas. Na simulação dos casos 1 e 6, considerando as concentrações integradas, as malhas com as quais a convergência foi obtida (malha1), foram empregados 5 e 4 refinamentos na região 1 e 2 refinamentos na região 2. O comprimento máximo inicial da aresta do elemento foi de 5 m, e a simulação de ambos os deste experimento levou 3 s. O erro da solução foi estimado em 0,0051 e 0,0029 para as rodadas 1 e 6 respectivamente. Em relação às concentrações máximas (Tabelas 6.9 e 6.10), verificou-se que a a malha com comprimento de aresta máximo de 5 m, na região vizinha à linha (x, 0, z 0 ) foi suficiente para a convergência da solução. Na Tabela 6.9, malha1 e malha2 referem-se a malhas obtidas a partir de 5 e 6 refinamentos na região vizinha à fonte. Para as concentrações máximas, o erro da solução foi estimado em 0,01 e 0,005 para as rodadas 1 e 6 respectivamente Tabela 6.7: Convergência da solução numérica (c(x, z 0 )/Q 10 4 [s/m 2 ]). Rodada 1- Copenhagen x[m] malha1 malha2 Experimental ,3066 6,3391 6,3301 6, ,7395 3,7579 3,7522 2,31 Tabela 6.8: Convergência da solução numérica (c(x, z 0 )/Q 10 4 [s/m 2 ]). Rodada 6- Copenhagen x[m] malha1 malha2 Experimental ,9280 2,9338 2,9326 3, ,1373 2,1414 2,1405 2, ,7086 1,7178 1,7110 1,83 Tabela 6.9: Convergência da solução numérica (c(x, 0, z 0 )/Q 10 7 [s/m 3 ]). Rodada 1- Copenhagen x[m] malha1 malha2 Experimental ,35 8,26 8,05 10, ,39 3,88 3,77 2,14 43

61 Tabela 6.10: Convergência da solução numérica (c(x, 0, z 0 )/Q 10 7 [s/m 3 ]). Rodada 6- Copenhagen x[m] malha1 malha2 Experimental ,54 9,14 9,19 7, ,53 4,79 4,81 3, ,81 3,30 3,31 1,74 Figura 6.8: C(x, 0.6)/Q, u(z), K zz (z) e número de Peclet. Caso 1 (h/l =- 43,04) Copenhagen. Figura 6.9: C(x, 0.6)/Q, u(z), K zz (z) e número de Peclet. Caso 6 (h/l =- 2,2847) Copenhagen. Conforme será visto a seguir em mais detalhes, na avaliação com diversos dados de concentração experimental e obtidos por solução analítica, a metodologia descrita acima fornece um resultado bastante satisfatório. 44

62 6.3 Avaliação estatística do modelo de dispersão Para verificar o desempenho de modelos de dispersão de poluentes, são aplicados índices estatísticos os quais caracterizam o acordo entre os resultados obtidos pelo modelo e os dados experimentais. Os índices estatísticos apresentados em [32], foram utilizados para avaliar o desempenho de modelos analíticos e semi-analíticos [2, 3, 5, 7] e numéricos [4, 97]. Os índices são: Erro Quadrático Médio Normalizado- NMSE = (C 0 C p ) 2 - Indica o quanto C 0 C p os dados observados e calculados diferem uns dos outros. Seu valor ideal é zero. Coeficiente de Correlação:CC = (C 0 C 0 )(C p C p ) - É utilizado para determinar o grau de associação entre os valores observados e calculados, e σ 0 σ p possui variação entre -1 e 1. Se os dados estão correlacionados, CC > 0, caso contrário, CC < 0. Seu valor ideal é 1. Fractional Bias : F B = C 0 C p - Este índice indica se a concentração 0.5(C 0 + C p ) calculada superestima ou subestima a observada. Valores positivos indicam que o modelo está subestimando os valores experimentais, e valores negativos, que o modelo superestima os valores experimentais. Sua variação está entre 2 e 2, e o valor ideal é 0. Desvio Fracional Padrão : F S = (σ 0 σ p ) - Compara as variâncias dos 0.5(σ 0 + σ p ) dados calculados e observados. seu valor ideal é 0. Fator de dois : FAC2 - Indica a fração de dados normalizados que está no intervalo 0, 5 C p C 0 2. Seu valor ideal é 1. Os subscritos 0 e p se referem às concentrações observadas e previstas (calculadas) respectivamente. As barras indicam a média sobre todas as medidas. σ 0 and σ p são os desvios-padrão de C 0 e C p respectivamente. 6.4 Experimento de Prairie Grass O experimento de Prairie Grass [17] foi realizado entre julho e agosto de 1956, em uma região próxima a O Neil, no estado de Nebraska, Estados Unidos. Esta campanha experimental teve como objetivo determinar a taxa de difusão de um traçador como função das condições meteorológicas, considerando uma variedade destas. 45

63 Seus dados de concentração tem sido amplamente utilizados para avaliar modelos de dispersão para fontes localizadas próximo à superfície sobre terreno homogêneo. Durante a realização do experimento, o traçador SO 2 foi emitido sem empuxo a partir de uma fonte pontual a 0,5 m de altura, exceto nas rodadas 65, 67 e 68, cuja altura da fonte foi de 1,5 m. O comprimento de rugosidade do terreno foi estimado em 0,006 m. O período de amostragem das concentrações foi 10 minutos, e as medições foram feitas em arcos concêntricos nas seguintes distâncias em metros a partir da fonte: 50, 100, 200, 400 e 800, em uma altura de 1,5 m. Os dados meteorológicos e taxas de emissão da fonte são apresentados nas Tabelas A.1 e A.2. Estes dados, assim como as concentrações medidas durante o experimento estão disponíveis para consulta através da página: PrairieGrass.xls. O valor de altura de camada limite para todas as rodadas da condição estável foi 200 metros, conforme descrito na página citada acima. As soluções obtidas no presente trabalho (GLS), para as cinco distâncias longitudinais a partir da fonte, 50, 100, 200, 400 e 800 metros são descritas nas Tabelas A.3-A.9. Em cada ponto de medição, a solução obtida para as rodadas nas condições estável e instável é comparada aos resultados do modelo OML disponível na versão digital através da página descrita acima. As concentrações obtidas no regime estável foram comparadas também à solução analítica obtida em PIMENTEL et al [2], na qual foi o mesmo conjunto de parametrizações para a difusão turbulenta vertical e componente longitudinal da velocidade do vento utilizados neste trabalho foi empregado Avaliação estatística do modelo O desempenho frente aos índices estatísticos obtidos a partir das simulações com os dados dos experimentos de Prairie-Grass, nas condições estáveis e instáveis, assim como a comparação com resultados obtidos da literatura são descritos nas Tabelas 6.11 e 6.12 respectivamente. Para o caso estável, o índice negativo FB indica que as concentrações observadas são superestimadas em geral, por todas as metodologias. Para o caso instável, esta tendência é evidenciada apenas na metodologia proposta, e aquela obtida em GUERRERO et al [3], com os menores valores de FB obtidos por GLS em ambos os casos estável e instável. Os valores positivos de FS indicam que todos os modelos que exceto MOREIRA et al. [38] (caso estável) subestimam o espalhamento das concentrações observadas. Os coeficientes de correlação mostram um elevado grau de correspondência entre as 46

64 concentrações obtidas e observadas. Por fim, os valores de FAC2 mostram que 99% e 77% das concentrações obtidas ficaram entre a metade e o dobro das concentrações experimentais para as rodadas nas condições estável e instável respectivamente. Estes índices foram os melhores para GLS e PIMENTEL et al. [2] considerando os casos estáveis e GUERRERO et al. [2] seguido de perto por GLS para o caso instável. Da observação dos índices estatísticos e comparação com soluções publicadas na literatura, pode-se concluir que a metodologia apresentada, representou muito bem as concentrações experimentais em variadas condições de estabilidade atmosférica, para regiões próximas à fonte de emissão. Tabela 6.11: Comparação dos índices estatísticos para as concentrações normalizadas c/q(s/m 2 ) utilizando os dados do experimento de prairie Grass na condição estável. Solução NMSE CC FB FS FAC2 ideal GLS 0,03 0,96-0,08 0,1 0,99 KUMAR e SHARAN [5] 0,06 0,972-0,160 0,120 0,95 MOREIRA et al[38] 0,49 0,77-0,224-0,258 0,82 PIMENTEL et al [2] 0,043 0,962-0,082 0,085 0,990 Tabela 6.12: Comparação dos índices estatísticos para as concentrações C(g/m 2 ) utilizando os dados do experimento de Prairie Grass, condição instável. Solução NMSE CC FB FS FAC2 ideal GLS 0,08 0,94-0,08 0,19 0,77 DEGRAZIA et al [27] 0,64 0,83 0,31 0,46 0,68 GUERRERO et al [3] 0,04 0,96-0,09 0,13 0,79 Segundo HICKS e DOBOSY [98] apud HANNA [99], para que se desenvolva um melhor entendimento físico das predições do modelo de dispersão, é necessário avaliar sua performance em relação a seus parâmetros de entrada (e.g. velocidade de fricção, velocidade do vento, parâmetro de estabilidade e distância da fonte). O ideal é que o modelo não apresente nenhuma tendência em relação a eles. Desta forma, foram feitos gráficos da concentração residual em função destes parâmetros. A Figura 6.10 mostra a concentração residual em função da distância da fonte. Pode ser observado a partir da análise dos resultados apresentados nas Tabelas A.3- A.9 e da Figura 6.10, que as concentrações obtidas através do GLS possuem uma tendência à subestimar as concentrações observadas próximo à fonte de emissão (x = 50 m), e a superestimar a partir de 50 metros de distância nos casos instáveis, após 100 metros de distância nos casos estáveis. Esta tendência aumenta à medida 47

65 Figura 6.10: Gráfico de concentração residual analisado em termos da distância a partir da fonte considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Prairie-Grass nas condições estável (esquerda) e instável (direita). que a fonte de emissão fica mais distante. Uma possível causa para a subestimação das concentrações próximo à fonte, é que esta tendência seja intrínseca ao modelo de difusão turbulenta empregado. Segundo ULKE [4], este modelo apresenta uma leve (não significativa) tendência à superestimação das concentrações observadas próximo à fonte. No entanto, é importante ressaltar que o experimento de Prairie- Grass não foi utilizado para validação do modelo de difusão turbulenta no trabalho em questão, e a avaliação mais próxima à fonte foi feita em x=100 m, com os dados do experimento de Hanford para a condição estável. Portanto, à este respeito, conclui-se que não se pode atribuir com certeza a tendência à subestimação das concentrações próximo à fonte à parametrização para a difusão turbulenta utilizada, já que o modelo não foi avaliado para distâncias inferiores a x = 100 m, embora não se possa descartar esta possibilidade. Quanto à tendência à superestimação da solução em regiões mais afastadas da fonte durante condições convectivas, talvez isto possa ser atribuído ao fato de que o traçador utilizado neste experimento (SO 2 ) possivelmente sofreu processo de deposição seca, o que não foi considerado no modelo computacional para simulação deste experimento. Esta consideração foi feita em [2], cujos resultados mostraram estas mesmas tendências. É um fato bastante conhecido da literatura, que a teoria K apresenta problemas na descrição dos fluxos turbulentos quando CLA é fortemente convectiva. Isto ocorre pois os efeitos dos updrafts e downdrafts não são incorporados à relação fluxo- 48

66 gradiente estabelecida pela teoria K. Foi observado em que [100], ao simular o experimento de Prairie-Grass nas condições instáveis, que uma grande melhora nos índices estatísticos foi alcançada através da inclusão de um termo contra-gradiente, o qual considera o efeito da assimetria no transporte de poluentes, na equação da advecção-difusão. Além disto, foi observado no mesmo trabalho, que a assimetria possui uma grande influência na concentração com a distância a partir da fonte. Desta forma, é possível que a ausência de um termo contra-gradiente no modelo de dispersão proposto neste trabalho, possa também ter contribuído para esta discrepância maior entre os valores observados e obtidos durante condições instáveis. Isto pode ainda ser reforçado ao observar o gráfico de concentração residual em função da estabilidade atmosférica, na Figura 6.13, já que o maior espalhamento em relação à linha c p /c 0 é vista nos casos de maior instabilidade atmosférica, ou seja, 1/L maior em módulo. A solução obtida neste trabalho possui as mesmas tendências àquelas utilizadas como comparação, mas no caso da solução analítica, em que são utilizados o mesmo conjunto de parametrizações, a semelhança nos resultados e tendências é muito maior. Isto reforça o argumento de que as tendências apresentadas são causadas por uma insuficiência nas parametrizações empregadas em descrever a turbulência, e não pelo método empregado para obtenção da solução do problema. Figura 6.11: Diagrama de dispersão da concentração observada versus concentração prevista. As tendências discutidas acima podem ser vistas também nos gráficos de dispersão 6.11, já que as maiores concentrações (próximas à fonte) estão abaixo da 49

67 linha na qual c p = c 0, e as menores concentrações (mais afastadas da fonte), acima desta linha. Figura 6.12: Concentração residual em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Prairie-Grass na condição estável. A concentração residual em função da estabilidade atmosférica e velocidade friccional pode ser vista nas Figuras 6.12 e 6.13 para as condições estável e instável, respectivamente. Pode-se ver que de forma geral, os resultados obtidos tendem a superestimar as concentrações observadas tanto para a condição estável quanto para a instável, e que esta tendência é consideravelmente maior na condição instável. Além disto, a partir da análise conjunta da concentração residual em função da estabilidade e velocidade friccional, percebe-se que no caso instável, há um espalhamento menor para em direção à neutralidade, ou seja, para os menores valores de 1/L, o que está de acordo com o gráfico de concentração residual em função da velocidade de fricção, já que em geral, os maiores valores de velocidade friccional foram vistos nos casos mais próximos à neutralidade. Nos casos estáveis, há uma leve tendência à superestimação das concentrações observadas com a estabilidade, mas isto não é influenciado pelo aumento ou diminuição de estabilidade, o que também é visto no gráfico da Figura

68 Figura 6.13: Concentração residual em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Prairie-Grass na condição instável. 6.5 Experimento de Hanford O experimento de Hanford [43] foi conduzido durante as condições estáveis em Hanford, Washington/Estados Unidos, no período entre 18/05/1983 e 27/06/1983. Hanford é localizado em uma região semi-árida no sudeste de Washington. A superfície do terreno é plana, com plano de deslocamento de aproximadamente 1,4 m, e comprimento de rugosidade 0,03 m. Durante este experimento, dois traçadores, um depositante (ZnS) e outro não depositante (SF 6 ), foram liberados de uma torre a uma vazão de 0,3 g/s, a 2 m de altura, e após coletado a 1,5 m do solo, em cinco arcos de amostra 100, 200, 400, 800, 1600 e 3200 m a partir da fonte. A velocidade de deposição efetiva do traçador ZnS foi obtida a partir do modelo desenvolvido por HORST [101]. Os dados meteorológicos medidos durante o experimento, além da velocidade de deposição e as concentrações normalizadas são descritas na tabela A.10. Nas tabelas A.11 e A.12 são apresentados os resultados obtidos para as rodadas do experimento de Hanford considerando o gás não depositante e depositante respectivamente. É também apresentada a comparação com a solução analítica obtida em ARAGÃO [102] (modelo I), no qual é utilizado o mesmo conjunto de parametrizações para a componente longitudinal da velocidade do vento e difusão turbulenta vertical que no presente trabalho. Pode ser constatado a partir das tabelas A.11 e A.12 que em geral a concentração obtida numericamente ficou bastante próxima à analítica, apresentando as mesmas tendências, e ambas bastante 51

69 próximas aos valores observados Avaliação estatística do modelo Nas tabelas 6.13 e 6.14 são apresentados os índices estatísticos obtidos através dos casos sem deposição e com deposição, respectivamente. Tabela 6.13: Índices estatísticos para as concentrações normalizadas obtidas através do GLS e resultados da literatura (sem deposição). Solução NMSE CC FB FS FAC2 ideal GLS 0,13 0,85-0,32-0,11 0,67 ARAGÃO [102] 0,12 0,86-0,3-0,07 0,67 KUMAR e SHARAN [5] 0,2 0,91-0,13 0,15 0,73 KUMAR e SHARAN [103] 0,22 0,91-0,207 0,005 0,7 SHARAN e MODANI [95] 0,52 0,87 0,32 0,39 0,53 ULKE [4] 0,23 0,876-0,19 0,06 0,69 Tabela 6.14: Índices estatísticos para as concentrações normalizadas obtidas através do GLS e resultados da literatura (com deposição). Solução NMSE CC FB FS FAC2 ideal GLS 0,04 0,88 0,01 0,08 1 ARAGÃO [102] 0,29 0,88-0,52-0,35 0,56 MOREIRA et al [40] 0,09 0,95-0,22-0,08 1 A partir da análise dos resultados apresentados nas tabelas A.11 e A.12 e dos gráficos 6.14 e 6.15, diferentemente do que foi observado na simulação do experimento de Prairie-Grass, não são vistas quaisquer tendências nas concentrações de acordo com o distanciamento da fonte de emissão. Assim, é possível estabelecer um padrão de comportamento em relação à esta variável. Ao observar a concentração residual em função da estabilidade e velocidade friccional para o caso sem deposição, aparentemente a razão c p /c 0 diminui com o aumento da estabilidade e a diminuição da velocidade friccional. De acordo com os dados da tabela A.10, a velocidade friccional diminui a medida que a atmosfera assumiu um caráter de maior estabilidade. Nos casos em que a deposição seca é considerada, a razão c p /c 0 é menor em situações mais próximas à neutralidade, a qual corresponde à maiores valores de velocidade friccional. Estas situações são representativas por exemplo, das rodadas 1 e 3, nos quais são vistos os melhores resultados. 52

70 Figura 6.14: Diagrama de dispersão da concentração observada versus concentração prevista. Figura 6.15: Concentração residual analisado em termos da distância a partir da fonte considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Hanford sem deposição. Os efeitos das diferentes condições de fronteira na superfície, definidas pelas equações (6.4) e (6.5) são demonstrados na Figura 6.18, utilizando os dados do experimento de Hanford. 53

71 Figura 6.16: Concentração residual analisado em termos da distância a partir da fonte considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Hanford com deposição. Figura 6.17: Gráfico de concentração residual analisado em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Hanford casos sem deposição. São comparados os perfis verticais de concentração, considerando a condição de fronteira em z = z 0 descrita pela equação (6.4), ou seja, supondo a reflexão total do poluente pela superfície (sem deposição), além da condição descrita por (6.5), na 54

72 Figura 6.18: Concentração residual analisado em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Hanford com deposição. Figura 6.19: Comparação dos perfis verticais em x = 300 m e x = 3000 m. qual o efeito da deposição seca é considerado. Na figura 6.19 são apresentados os perfis verticais de concentração obtidos para duas distâncias a partir da fonte. Em x = 300 m os efeitos da deposição já podem ser percebidos, através de uma redução significativa da concentração na superfície, 55

73 quando comparada ao mesmo cenário, considerando a condição de fluxo com reflexão total do poluente. Além disso, próximo à fonte (x = 300 m) o efeito de deposição afeta a pluma apenas muito próximo à superfície, já que há diferenças nas concentrações apenas a poucos metros acima do chão. A medida que a fonte fica mais distante, o perfil de concentração vertical tende a se tornar mais homogêneo, e a perda de material para a superfície reduz consideravelmente a concentração ao longo de toda a extensão da perfil, conforme visto na figura Experimento de Copenhagen Os dados do experimento de Copenhagen, tem sido grandemente utilizados na avaliação de modelos de dispersão atmosférica, cujos efluentes são liberados sem empuxo a partir de uma fonte pontual elevada. Esta série de experimentos foi conduzida na parte norte de Copenhagen/Dinamarca, com a liberação sem empuxo do traçador SF 6, a partir de uma torre de televisão, a 115 m de altura. Amostras de concentração do traçador foram recolhidas em posições separadas entre si por aproximadamente 2 o, em setor circular entre 40 o e 150 o. Este setor foi escolhido afim de evitar uma região cuja topografia é mais complexa, o que influenciaria o processo de dispersão. As amostras de concentração foram obtidas a uma distância radial da fonte que variou entre 2 e 6 quilômetros. Nos vários experimentos, o traçador foi liberado à uma taxa de emissão constante que variou entre 2,4 e 4,7 g/s. O comprimento de rugosidade do terreno foi estimado em 0,6 metros, sendo obtido a partir de perfis de velocidade do vento e variância da componente vertical da velocidade do vento. O tempo de amostragem do experimento foi de uma hora. Os valores médios dos parâmetros meteorológicos e concentrações normalizadas observados, além das concentrações máximas normalizadas durante o período de uma hora são apresentados nas Tabelas A.13 e A.15. A Figura 6.20 apresenta a caracterização do sítio do experimento. Para uma descrição técnica detalhada deste experimento ver [26]. Nas simulações considerou-se que K yy = 50[m 2 /s]. Na tabela A.14 são apresentadas as concentrações integradas normalizadas pela taxa de emissão, obtidas via GLS para as distâncias longitudinais onde foram feitas as medições de acordo com cada rodada do experimento. Em cada um destes pontos, são feitas comparações com a solução analítica obtida em GUERRERO et al [3](analítica ) e ARAGÃO [102] (analítica ), as quais foram obtidas a partir do mesmo conjunto de parametrizações que a solução apresentada neste trabalho. Na maior parte dos casos, a solução via GLS apresentou valores próximos àquelas tomadas como comparação, apresentando em geral, as mesmas tendências, o que pode 56

74 Figura 6.20: Este esquema representa a disposição das unidades de amostras (representadas por círculos) ao longo do setor 40 o 150 o. Fonte: GRYNING E LICK [33] ser constatado também através dos índices estatísticos apresentados a seguir. Na Tabela A.15 são descritas as concentrações máximas obtidas por meio do modelo tridimensional Avaliação estatística A análise dos valores dos índices estatísticos apresentados nas Tabelas 6.15 e 6.16 indica que os resultados obtidos neste trabalho são comparáveis àqueles obtidos por meio de diferentes métodos e publicados anteriormente na literatura, os quais também utilizaram parametrizações para a componente longitudinal da velocidade do vento e difusão turbulenta vertical baseadas em teorias de similaridade para a CLA. Os índices FB com valores positivos indicam que no geral, as concentrações obtidas por diversos métodos, inclusive o presente, tendem a subestimar os valores de concentração observados, com exceção dos resultados apresentados em [4] e [104]. Os pequenos valores do NMSE indicam que as concentrações obtidas e observadas estão bastante próximas, além disso, há uma elevada correspondência entre elas, 57

75 Tabela 6.15: Comparação do desempenho dos índices estatísticos entre as concentrações integradas normalizadas obtidas através do presente método e resultados da literatura com o experimento de Copenhagen. Solução NMSE CC FB FS FAC2 ideal GLS 0,06 0,86 0,11 0,16 1 GUERRERO et al [3] 0,06 0,83 0,02 0,2 0,96 KUMAR e SHARAN [5] 0,086 0,9 0,12 0,65 1 MOREIRA et al[39] 0,09 0,85 0,11 0,13 1 ULKE [4] 0,23 0,876-0,19 0,06 0,69 ARAGÃO [102] 0,07 0,83 0,02 0,2 0,96 Tabela 6.16: Comparação do desempenho dos índices estatísticos entre as concentrações máximas normalizadas obtidas através do presente método e resultado da literatura com o experimento de Copenhagen. Solução NMSE CC FB FS FAC2 ideal GLS COSTA [104] evidenciada pelo altos valores de CC. Importante também observar que no caso das concentrações integradas, todos os pontos são preditos no fator de dois, e 91% dos valores de concentração máxima, ficaram entre a metade e o dobro das concentrações experimentais, o que pode ser constatado no gráfico Figura 6.21: Diagrama de dispersão da concentração observada versus concentração prevista obtidas para o experimento de Copenhagen. Concentrações integradas, c(x, z 0 )/Q 10 4 [s/m 2 ] (figura da esquerda) e concentrações máximas c(x, 0, z 0 )/Q 10 7 [s/m 3 ] (figura da direita) Da análise dos gráficos das concentrações residuais em função da distância longitudinal a partir da fonte de emissão (Figuras 6.22), percebe-se uma tendência à superestimação das concentrações máximas em relação às observadas para pontos 58

76 Figura 6.22: Concentração residual em termos da distância a partir da fonte considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Copenhagen. Concentrações integradas (figura da esquerda). Concentrações máximas (figura da direita). Figura 6.23: Concentração integrada residual em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Copenhagen. progressivamente mais distantes da fonte de emissão, enquanto que para as concentrações integradas, nenhuma tendência clara é observada. Quanto à velocidade friccional e estabilidade atmosférica (Figuras 6.23 e 6.24), não é possível estabelecer padrão de comportamento da solução em relação estes parâmetros, já que nenhuma tendência em relação à eles é claramente observada. A avaliação da metodologia proposta através dos dados do experimento de Copenhagen mostrou que esta representou de forma satisfatória as concentrações experimentais, considerando a dispersão da pluma emitida a partir de uma fonte elevada para condições instáveis e próximas à neutralidade. 59

77 Figura 6.24: Concentração máxima residual em termos da estabilidade e velocidade friccional, considerando os resultados obtidos a partir do experimento de Copenhagen. 60

78 Capítulo 7 Dispersão na CLA devido ao ciclo diurno No capítulo anterior foi verificado o bom desempenho da solução ao simular diversas condições de estabilidade atmosférica. Neste capítulo, será dado um passo adiante na simulação de situações mais próximas à realidade, em que serão consideradas a variação dos parâmetros micrometeorológicos e direção do vento com o tempo. Como forma de avaliar o modelo de dispersão em regime transiente considerando as variações temporais dos parâmetros meteorológicos, primeiramente serão reproduzidos os resultados do modelo unidimensional transiente apresentado em [105]. Em seguida, o modelo será avaliado quanto a sua habilidade em reproduzir os comportamentos esperados para a distribuição de concentração quando são consideradas as variações nas condições de estabilidade atmosférica ao longo do ciclo diurno. A avaliação do problema em três dimensões, foi realizada no capítulo anterior, considerando o escoamento unidirecional do vento. No passo seguinte, considera-se a variação na direção do vento com o tempo, e os resultados são avaliados fisicamente. Vale ainda acrescentar que em todas as simulações realizadas neste capítulo foram utilizadas as parametrizações para as componente horizontais de velocidade do vento desenvolvidas em [4], exceto na avaliação apresentada na primeira seção, em que foi empregada a parametrização para a difusão turbulenta vertical proposta em [51]. 7.1 Modelo transiente bidimensional Avaliação com modelo unidimensional transiente A medida que a velocidade do vento em uma altura de referência (por exemplo, u r = 10 m) se aproxima de zero, é esperado que a solução do problema advectivodifusivo transiente bidimensional descrito em (7.1), se aproxime dos resultados do 61

79 modelo unidimensional proposto por LEE e LARSEN [105], o qual também pode ser descrito pela equação (7.1), se retirarmos o termo de advecção e a condição de contorno em x = 0. [ ] c c + u(z) t x = c K zz λc z x c(x, z, 0) = c 0 u(z)c(0, z, t) = Qδ(z H s ) (7.1) K zz c z (z 0, t) = E c K zz (h, t) = 0 z Em [105] foi realizado um estudo sobre a dispersão vertical do radônio 222 Rn num período de 24 horas, considerando sua emissão a partir da superfície de forma contínua e uniforme sobre a região de estudo. Na equação (7.1), a constante E representa o fluxo de 222 Rn da superfície para a atmosfera e λ é a constante de decaimento de 222 Rn. Para a validação de seu modelo, em [105], foram utilizados dados de concentração de 222 Rn medidos na atmosfera em um período de 24 horas, iniciado às 12 horas, terminando às 12 horas do dia seguinte. A condição inicial c 0 para o modelo foi obtida a partir do perfil vertical de concentração, medido na atmosfera no início deste período. A variação temporal das condições meteorológicas foi considerada no modelo computacional através dos parâmetros u, w, L e h, inseridos na parametrização para a difusão turbulenta vertical desenvolvida em [51] e descrita pela equação (4.2). É importante observar que, em [105], foram consideradas variações nas condições meteorológicas por intervalos de tempo não necessariamente pequenos, conforme pode ser constatado na Figura 1 em [105], em que são apresentados os perfis de difusão turbulenta vertical incorporados ao modelo computacional, no período de 24 horas. De acordo com esta figura, é possível observar que, por exemplo, entre meio-dia e oito da noite, na média, a estrutura turbulenta da CLA é estacionária, o que, fisicamente, não necessariamente ocorre. No entanto, o objetivo desta seção é apenas a reprodução dos resultados, e não uma análise física mais detalhada da solução, o que será feito nas próximas seções. Afim de fazer a verificação proposta, foram considerados os perfis verticais de concentração obtidos em [105], nos instantes 10, 11 e 12 horas. Neste período, foram fornecidas variações horárias nos parâmetros meteorológicos. Para incluir o efeito 62

80 da advecção nas simulações, foi utilizada a parametrização para as componentes horizontais de velocidade do vento proposta em ULKE [4]. Foram considerados valores sucessivamente menores para a velocidade do vento na altura de referência, o que implica na diminuição da velocidade friccional, e a consequente diminuição do valor da velocidade do vento ao longo da CLA. Figura 7.1: Concentrações obtidas para valores de u r sucessivamente menores e comparação com [105], considerando os instantes t = 10h (figura da esquerda), t = 11h (figura da direita) e t = 12h (figura central) Nos gráficos apresentados na Figura 7.1 foi considerada uma posição fixa x = 2000 m, para diminuir a influência da condição de fronteira em x=0, inerente ao modelo bidimensional. A medida que u r 0, a solução obtida para o problema bidimensional (7.1) se aproxima daquela apresentada em [105]. Pode-se ainda observar que a solução transiente apresenta um comportamento físico adequado, já que com a intensificação da turbulência convectiva com o tempo, e o consequente aumento da dispersão, ocorre uma diminuição gradual da concentração na superfície e seu aumento nos níveis mais elevados da camada limite devido à hipótese de que o poluente fica retido na CLA. Esta redução de concentração na superfície é evidenciada pelo aumento do gradiente de concentração no solo com o tempo, o que é visto nos gráficos como o aumento da inclinação da reta tangente ao gráficos da concentração em z = 0. Pode ser concluído, portanto, que o modelo 63

81 transiente bidimensional reproduziu satisfatoriamente os resultados apresentados em [105] Distribuição da concentração com a estabilidade atmosférica Diferentemente do que foi feito na seção anterior, para melhor avaliar o comportamento físico da solução de acordo com as variações temporais nas condições de estabilidade, as simulações serão realizadas considerando variações horárias nos parâmetros micrometeorológicos. Para analisar o efeito do ciclo diurno, e assim das variações das condições de estabilidade neste período, o efeito da advecção será incluído, considerando, a princípio, um vento unidirecional. Serão utilizados nas simulações dados micrometeorológicos gerados pelo AERMET. Foram obtidos valores horários de u [m/s], L[m], z 0 [m] e h[m], ao longo de um período de 15 horas. O modelo computacional consiste, neste caso, da equação (7.1), desconsiderando o termo de decaimento (λ = 0) e a condição de fluxo com reflexão total do poluente pela superfície, ou seja, E = 0. Além disso, foram empregadas as parametrizações para a componente longitudinal da velocidade do vento e difusão turbulenta vertical propostas em [4]. Neste período, foram observadas mudanças nas condições de estabilidade atmosférica, e desta forma, pôde-se observar o comportamento da pluma com o passar do tempo, e a influência da transição entre os regime de estabilidade nos valores de concentração. Na Tabela 7.1 são descritos os dados meteorológicos utilizados nas simulações. O domínio computacional é um retângulo com dimensões [0, 1000] [z 0, h], com h descrito na Tabela 7.1. Os valores utilizados para z 0 e H s, em metros, foram 1 e 10, respectivamente. Figura 7.2: Concentração C(x,z)[kg/m 2 ], considerando os instantes t = 6 e t = 7 horas respectivamente. A partir dos gráficos apresentados, pode-se ver a sensibilidade dos perfis de concentração em relação à variação das condições de estabilidade atmosféricas com o tempo. Considerando que no início da simulação a CLA não está poluída (c 0 = 0), a 64

82 Tabela 7.1: Dados Micrometeorológicos gerados pelo AERMET. time[h] h[m] L[m] u [m/s] t = t = t = t = t = t = t = t = t = t = t = t = t = t = t = Figura 7.3: Concentração C(x,z)[kg/m 2 ], considerando os instantes t = 8 e t = 13 horas respectivamente. Figura 7.4: Concentração C(x,z)[kg/m 2 ], considerando os instantes t = 15 e t = 17 horas respectivamente. fonte pontual localizada no contorno propagou o poluente para o interior do domínio. A atmosfera se torna menos estável no intervalo 6 t 7 horas, seguindo para uma condição instável entre os instantes 8 e 17 horas, se tornando novamente estável às 18 horas. A partir da análise das Figuras é possível observar o comportamento global da solução nos instantes correspondentes. Em t = 6 h, os níveis de concen- 65

83 Figura 7.5: Concentração C(x,z)[kg/m 2 ], considerando os instantes t = 18 e t = 19 horas respectivamente. Figura 7.6: Concentração C(x,z)[kg/m 2 ], considerando o instante t = 20 horas. tração mais elevados são observados ao longo da linha da fonte, e o poluente alcança maiores distâncias longitudinais. Além disso, a pluma se dispersa muito menos na direção vertical ao longo do eixo x. Isto acontece devido ao forte transporte advectivo observado neste horário. A medida que o regime instável se aproxima (t = 8 h), os valores de concentração são reduzidos mais drasticamente com a distância da fonte, e o poluente alcança a superfície mais próximo à fonte. Durante o regime instável, representado nas Figuras 7.3 e 7.4, o vento mais fraco e a intensa mistura vertical dispersam o poluente resultando em uma considerável redução nos níveis de concentração no domínio. Quando a atmosfera se torna estável novamente, a redução na intensidade da turbulência aumenta novamente os níveis de concentração ao longo da extensão da pluma, assim como sua redução ao longo da direção vertical, conforme esperado. Uma análise mais detalhada da solução e sua variação no tempo devido à mudança nas condições de estabilidade pode ser vista nas Figuras 7.7 e 7.8. No instante inicial de simulação, o valor pequeno e positivo de L resulta na destruição da energia cinética turbulenta pelo empuxo negativo, inibindo a difusividade turbulenta vertical, o que causa a redução da capacidade dispersiva da atmosfera. Este evento, associado a pequena espessura da camada limite, principalmente no instante t = 6h, causou a drástica diferença entre as concentrações entre este horário e os demais. Quando o regime instável é estabelecido, uma redução da concentração é observada. Em seguida, há novamente um aumento nos valores de concentração, desde que o regime estável é restabelecido. 66

84 Figura 7.7: Perfis longitudinais de concentração c/q(x, z 0 )[s/m 2 ] em z = z 0. Figura 7.8: Perfis verticais de concentração c/q(x, z)[s/m 2 ] nas posições x = 50 [m] e x = 500 [m]. Os perfis de concentração vertical são apresentados na Figura 7.8 para duas distâncias a partir da fonte. Em x = 50m os maiores picos de concentração são observados para todos os instantes analisados próximo à superfície. Além disso, considerando o regime instável, o poluente penetra até maiores distâncias na direção vertical, o que é coerente, desde que o poluente é removido da superfície e transportado em direção ao topo da camada limite de forma mais drástica durante o regime instável. Outro comportamento esperado pode ser observado na Figura 7.8, em que, ao redor da fonte (x = 50 m) existe muito menos espalhamento a medida que a atmosfera se torna mais estável. A partir de t = 6 h, existe uma abertura progressiva dos perfis de concentração e a pluma se estende até pontos mais distantes da fonte no nível da superfície, e também em direção ao topo da camada limite. Conforme discutido anteriormente, isto é devido a intensificação da mistura vertical, que causa uma homogeinização dos perfis verticais de concentração. 67

85 É importante esclarecer que durante a transição do regime instável para estável (entre 17 e 18 horas), como esperado, somente muito próximo à fonte existe alguma diferença entre os perfis de concentração. Além disso, é possível ver que o pico de concentração se torna mais acentuada quando o regime se torna estável. 7.2 Variação da direção do vento com o tempo Em seções anteriores, o efeito das condições de estabilidade no modelo de dispersão foi investigado, considerado o alinhamento da direção do vento com o eixo x, para facilitar a análise. No entanto, esta hipótese perde o sentido quando um longo período de tempo é simulado, já que a direção do vento pode variar frequentemente. Além disso, de acordo com [106], pequenos desvios na direção do vento podem causar grandes erros nas estimativas das concentrações, dependendo da estabilidade atmosférica, caso a concentração seja medida por um amostrador alinhado com a direção original. Assim para descrever a evolução temporal da pluma de forma mais realística, fazse necessária a inclusão da componente lateral da velocidade do vento no modelo de dispersão atmosférica, conforme descrito pela equação (7.2). c c c + u(z)cos(ω) + u(z)sen(ω) t x y = [ ] c K xx + x x [ ] c K yy + [ ] c K zz + Qδ(x x s )δ(y y s )δ(z H s ) y y z x c(x, y, z, 0) = 0 c( L x, y, z, t) = 0 c(x, L y, z, t) = 0 (7.2) K xx c x = 0 em x = L x K yy c y = 0 em y = L y K zz c z = 0 em z = z 0 e z = h Para que o modelo computacional possa permitir a variação da direção do vento 68

86 em todas as direções, a fonte é inserida no interior do domínio, não havendo a necessidade da utilização da distribuição gaussiana para representar a delta de Dirac, já que, neste caso, o termo fonte entra naturalmente na formulação variacional. Nas simulações desta seção foram utilizados os mesmos dados gerados pelo AER- MET empregados no caso bidimensional transiente, sendo que neste caso, foi escolhido o intervalo de tempo compreendido entre 12 e 16 horas, devido a maior variação na direção do vento (ω) observada em todo o período. É importante notar que nas simulações apresentadas neste trabalho, não foram consideradas variações na direção do vento com a coordenada vertical z, apesar de não haver restrições quanto à inclusão deste efeito no modelo. A fonte de emissão foi posicionada no ponto central do domínio x s = 0, y s = 0 H s = 10 m. Para os coeficientes de difusão turbulenta longitudinal e lateral foi considerado que K xx = K yy = 50[m 2 /s], os quais são valores normalmente utilizados durante condições instáveis [94, p. 272]. Variações na topografia foram consideradas desprezíveis, de forma que, assim como no problema bidimensional, a superfície foi considerada como sendo o plano z = z 0. Além disso, a componente vertical da velocidade do vento foi negligenciada pela razão discutida no início capítulo anterior. Tabela 7.2: Dados Micrometeorológicos gerados pelo AERMET. tempo[horas] h[m] L[m] u [m/s] ω[ o ] A dispersão na CLA será simulada em um domínio computacional que consiste de um paralelepípedo cujas dimensões são [ 1000, 1000] [ 500, 500] [z 0, h][m]. Ao considerar a variação na direção do vento com o tempo, houve a necessidade da utilização de uma estratégia diferente para a geração de malhas daquela adotada quando o vento é unidirecional. Quando o escoamento do vento é unidirecional, a direção na qual a poluição se dispersará é previamente conhecida, o que permitiu a discretização das malhas da maneira como foi feito nas simulações até agora. No entanto, quando sua direção muda ao longo do tempo, se o mesmo procedimento fosse utilizado, e em toda a região próxima à superfície a malha fosse refinada, regiões poluídas e não poluídas sofreriam iguais refinamentos, produzindo um custo computacional desnecessário. A direção do escoamento do vento é aquela onde estão os maiores valores de concentração do poluente, e consequentemente, os maiores gradientes de concentração. Portanto, nessas regiões, maiores refinamentos se fazem necessários. A estratégia 69

87 de construção de malha adotada aqui, levará isso em conta. Desta forma, regiões em que a malha será mais ou menos refinada, serão escolhidas de acordo com uma estimativa de erro baseada no gradiente da solução. Assim, primeiramente a solução será obtida em uma malha inicial mais grossa, e iterativamente elementos são inseridos nas regiões onde a estimativa de erro for alta, e então o modelo é resolvido novamente. Este procedimento pode ser repetido quantas vezes se desejar, de acordo com o número máximo de refinamentos, definido previamente. O número de refinamentos necessários à obtenção da solução final foi determinado de acordo com a convergência da solução no eixo da pluma, ao nível da superfície (z = z 0 ). O erro foi calculado conforme descrito na equação (6.10), e os valores obtidos estão apresentados na Tabela 7.3, para os instantes 12, 13, 14, 15 e 16 h. Figura 7.9: Malhas com refinamento adaptativo na direção do escoamento do vento. Malha inicial em t = 12 h (1 a linha figura da esquerda). As demais malhas foram geradas em t = 16 h. O refinamento da malha é concentrado em torno do eixo da pluma. Na Figura 7.9 são apresentadas algumas das malhas utilizadas nas simulações. A face do voltada para fora representa o plano xy. Na primeira linha, no gráfico da esquerda, tem-se a malha gerada no instante inicial (t = 12 h), a qual possui 70

88 maior resolução apenas na região vizinha à fonte de emissão. A malha seguinte, na mesma linha à direita, foi gerada no início do último horário de simulação (t = 16 h). No instante anterior à este (t = 15 h), a direção do vento era de 48 o (indicado pela linha azul), e desta forma, logo após a mudança na direção em t = 16 h, a concentração provavelmente ainda estava alta na região onde o vento incidia, o que faz com que mais elementos ainda estejam lá alocados. A medida que o vento se estabelece na nova direção (170 o, indicado pela linha vermelha), a concentração aumenta nesta região, o que é visível também pelo aumento na densidade da malha na vizinhança do eixo da pluma. Por outro lado, nas outras regiões, a malha fica mais grossa e aproximadamente uniforme, o que resulta dos baixos níveis de concentração nestas partes do domínio. O tempo computacional para a obtenção da solução, considerando 5 horas de simulação foi de cerca de 10 horas. Tabela 7.3: Convergência da concentração c(x, y, z 0 ) 10 4 [g/m 3 ] no eixo da pluma. Tempo (h) erro 2 erro 3 tolerância 12 h 0,1225 0,0012 0,01 13 h 0,1654 0,0004 0,01 14 h 0,2649 0,0007 0,01 15 h 0,2168 0,0030 0,01 16 h 0,1068 0,0023 0,01 Uma análise preliminar da distribuição da concentração no domínio, com o passar do tempo, pode ser feita através dos gráficos de superfície. Para isto, foram feitos cortes paralelos ao plano xy em z = z 0 e z = 30 m, para dois instantes extremos de cada uma das horas simuladas, conforme indicado nas Figuras Estes instantes foram escolhidos para que se possa analisar a influência da mudança de direção do vento na distribuição espacial da concentração imediatamente após esta mudança ter ocorrido, e num instante em que a distribuição de concentração já alcançou o regime permanente em cada direção. Logo após a ocorrência de mudança na direção do vento, percebe-se um rápido alinhamento do eixo da pluma com a nova direção. Por outro lado, a concentração diminui drasticamente na região previamente poluída. Pode ser constatado ainda que a pluma sofre pouca dispersão fora de seu eixo, se mostrando pouco mais ou menos estreita de acordo com o período de simulação. Isto possivelmente é consequência de um ligeiro aumento da velocidade do vento entre uma condição e outra, e diminuição da mistura vertical. Um acúmulo de massa é observado no extremo esquerdo do domínio nos horários 13 e 16 horas (Figuras 7.11 e 7.14). A condição de contorno a qual estabelece a reflexão total do poluente nesta face do domínio é a responsável por este acúmulo de poluição nesta região, quando o vento gira entre 179 o e 170 o. No mundo real, este 71

89 Figura 7.10: Superfícies de concentração considerando os cortes pelos planos z = z 0 m (figura da esquerda) e z = 30 m (figura da direita) às 12 h. Figura 7.11: Superfícies de concentração considerando os cortes pelos planos z = z 0 m (figuras da esquerda) e z = 30 m (figuras da direita) para as 13 horas e 100s (primeira linha) e 13 h e 3500 s (segunda linha). efeito pode representar uma barreira física retendo o poluente e fazendo com que se acumule no domínio. Se o vento fosse fraco o suficiente para que o poluente não chegasse no extremo do domínio antes da mudança na sua direção, este acúmulo de massa não ocorreria. Caso não se desejasse observar o efeito desta condição de fronteira na solução mantendo estas mesmas condições meteorológicas, seria necessária a utilização de um domínio computacional mais extenso nas direções x e y. Comparando-se as superfícies de concentração em z = z 0 e z = 30 m, percebese que a concentração diminui consideravelmente em relação à sua distribuição no plano z = z 0, e desta forma, o máximo de concentração está localizado mais próximo à superfície. A partir da análise das Figuras , é possível ter uma noção quantitativa da solução apresentada nas Figuras Foram feitos cortes no plano xy paralelos ao eixo x, com z fixo em z = z 0 Em cada hora são também apresentados os perfis de concentração ao longo da linha da pluma. 72

90 Figura 7.12: Superfície de concentração considerando os cortes pelos planos z = z 0 m (figuras da esquerda) e z = 30 m (figuras da direita) para as 14 h e 100 s (primeira linha) e 14 h e 3500 s (segunda linha). Figura 7.15: Perfis de concentração às 12 h. Cortes no plano xy por em retas paralelas ao eixo x (Figuras da primeira linha). Concentração no eixo da pluma (segunda linha). 73