BIFURCAÇÃO E CAOS EM CIRCUITOS ELETRÔNICOS: SIMULAÇÃO E EXPERIMENTO

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1 BIFURCAÇÃO E CAOS EM CIRCUITOS ELETRÔNICOS: SIMULAÇÃO E EXPERIMENTO Alípio Monteiro Barbosa, Samir Angelo Milani Martins Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos 6627, Belo Horizonte, MG, Brasil GCoM Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal de São João del-rei, Praça Frei Orlando Centro, São João del-rei, Minas Gerais, Brasil s: alipiomonteiro@yahoo.com.br, martins@ufsj.edu.br Abstract This paper presents numerical and experimental studies, evidence of bifurcation and chaos in electronic systems by means of numerical and experimental analyzes. Bifurcation and chaos are observed in electronic circuits as simple as a RLD (resistor-inductor-diode) circuit, an electronic system that emulates the Duffing s system and an electronic DC-DC Buck converter. For the DC-DC Buck converter, it was verified the presence of chaotic behavior into the numerical and experimental analysis, equivalently. Keywords Chaotic dynamics, chaos, bifurcation, electronic circuits, engineering applications. Resumo O presente artigo apresenta estudos numéricos e experimentais, evidências de bifurcação e caos em sistemas eletrônicos, por meio de análises numéricas e experimentais. Bifurcação e caos são constatados em circuitos eletrônicos muito simples, como um circuito RLD (Resistor-Indutor-Diodo), um sistema eletrônico que emula o sistema de Duffing e um conversor eletrônico CC-CC Buck. Para o conversor CC-CC Buck, verificou-se a presença de comportamento caótico por meio de análise numérica e experimental, sendo as mesmas equivalentes. Palavras-chave Dinâmica caótica, caos, bifurcação, circuitos eletrônicos, aplicações em engenharia. 1 Introdução Dinâmica não linear é o estudo do comportamento de sistemas cujas equações de evolução no tempo são não lineares, ou seja, as variáveis dinâmicas que descrevem as propriedades do sistema aparecem nas equações matemáticas que descrevem o sistema na forma não linear. Há na literatura diferentes modelos, teóricos e experimentais, para estudar e caracterizar o comportamento de sistemas dinâmicos não lineares. Monteiro (2006) e Ferrara e Prada (1994) apresentam em seus livros uma série de exemplos com ilustrações e detalhadas análises, além de um extensa lista de referências. Uma classe de modelos que tem sido importante para o estudo de sistemas dinâmicos são os circuitos eletrônicos. Os circuitos eletrônicos caóticos vêm se firmando como ambientes ideais para a exploração experimental de alguns fenômenos típicos da dinâmica não linear e caótica (Rocha et al., 2005; Sprott, 2000). Dois circuitos tradicionalmente explorados são o circuito de Chua (Chua, 1994; Chua, 1987)e o oscilador de Colpitts (Kennedy, 1994). Segundo Turci (2005), são circuitos de construção elaborada. Diante desse contexto e do ponto de vista prático-didático para ensino e estudo do comportamento caótico, espera-se poder trabalhar com circuitos eletrônicos tão simples quanto possível, de modo que os mesmos apresentem características de caos. Neste trabalho estudou-se três tipos de circuitos eletrônicos, bem como sua implementação por meio de experimentos de simulação e empíricos. Desse modo, caracterizou-se o comportamento caótico em sistemas eletrônicos simples, e de fácil construção (para o caso empírico) e simulação. Dentre os circuitos eletrônicos, utilizou-se um circuito RLD, constituído de um indutor, um diodo, uma resistência e uma fonte senoidal (Hanias et al., 2009), um circuito eletrônico analógico que emula o comportamento dinâmico de sistemas físicos e matemáticos, em particular o sistema de Duffing (Battelli e Palmer, 1993), e, em especial, um conversor eletrônico de potência CC-CC Buck. Circuitos eletrônicos chaveados apresentam uma dinâmica rica. Uma das características desses circuitos é a operação comutada entre diferentes topologias de circuitos, o que ocasiona uma variedade de comportamentos não lineares, incluindo a ocorrência de cenários específicos de bifurcações e a presença de evolução caótica (Turci, 2009). Há uma série de trabalhos preocupados em descrever o comportamento caótico dos conversores (Giaouris et al., 2012; Taborda et al., 2012; Tse, 1994b; Deane e Hamill, 1990). Estes circuitos são fáceis de construir, exibem uma variedade de comportamentos dinâmicos e oferecem uma excelente oportunidade para uma comparação detalhada com a teoria. Desse modo, o principal objetivo do artigo é constatar fenômenos não lineares e comportamentos caóticos em

2 circuitos eletrônicos de simples construção, simulação e implementação, do ponto de vista numérico (por meio de simulações) e prático (conversor CC-CC Buck). O presente artigo está organizado como segue: a presente seção introduziu o tema a ser estudado, bem como apresentou o presente trabalho. A seção 2 apresenta a descrição e configuração dos circuitos eletrônicos analisados de forma numérica (circuito RLD e Duffing) e experimental (conversor CC-CC Buck). A seção 3 apresenta os resultados obtidos pela análise numérica de simulações, mostrando a presença de caos em circuitos eletrônicos muito simples. Após, na seção 4, são apresentados e discutidos os resultados experimentais obtidos na implementação do conversor CC-CC Buck. Por fim, são apresentadas as considerações finais e agradecimentos. 2 Descrição e configuração dos circuitos 2.1 Circuito RLD Considere um circuito constituído de um diodo (D), um indutor (L) e uma resistência (R), excitado porum sinal senoidal(v in ), como mostra a Figura1, sendo o diodo o elemento não linear do circuito. Para tensões mais elevadas, a capacitância interna do diodo depende fortemente da tensão sobre o elemento, deixando de ser constante. A Equação 1 mostra o sistema de equações diferenciais, construídas a partir da análise das tensões de Kirchhoff. A tensão no diodo é dado pela expressão entre parênteses. V d consiste em um modelo de capacitâncias linear por partes com uma pequena tensão de offset (E O ). C j e C d são, respectivamente, capacitâncias de depleção e difusão do diodo. Detalhes da descrição do circuito podem ser vistos em Turci (2009) e Hanias et al. (2009). Nesse sistema, o parâmetro de bifurcação é a amplitude do sinal de entrada. 2.2 Sistema de Duffing O sistema forçado de Duffing representa um sistema massa-mola não linear excitado por uma força externa periódica. A equação de Duffing descreve a resposta de uma série de fenômenos físicos importantes, como destacado por Savi (2004). A Figura 2 ilustra um circuito eletrônico capaz de emular o oscilador. A construção de um circuito analógico para emular o sistema dinâmico requer basicamente um elemento capaz de produzir a não linearidade cúbica, o que foi feito por meio de dois multiplicadores analógicos e dois integradores (um amplificador operacional com um capacitor na malha de realimentação) para a obtenção das variáveis u e v a partir das suas derivadas. A adaptação do sistema original para a implementação analógica requer um escalamento das variáveis, como cita Rocha et al. (2005). A Equação 2 mostra o sistema de Duffing equivalente ao circuito apresentado, sendo a amplitude do sinal de entrada, F o, o parâmetro de bifurcação. Figura 2: Circuito eletrônico baseado no sistema forçado de Duffing (Rocha et al., 2005). Figura 1: Circuito a diodo. V d queda de tensão no diodo D. du dv = 1 25 v (2) = 2 25 v + 4 u3 64 u [ ] F ocos( 2 25 t) dq di dθ = I = Vinsin(θ) L 1 L = 2πf RI L ( q (Cj C d) + (Cj +C d) +E O 2C jc d 2C jc d (1) ) 2.3 Conversor CC CC Buck A Figura 3 mostra uma possível topologia para o conversor CC-CC Buck realimentado. Em modo descontínuo a operação do conversor consiste em: i) chave fechada: o diodo fica inversamente polarizado e a corrente no indutor cresce. O capacitor, o indutor e a carga recebem energia da fonte; ii) chave aberta: a corrente no indutor

3 é mantida através do diodo (roda livre). O indutor descarrega auxiliando o capacitor a manter a energia na carga; e iii) chave ainda aberta, o indutor é totalmente descarregado, o diodo bloqueia e somente o capacitor mantém a tensão na carga. O fato de operar em regime descontínuo, aliado ao circuito realimentado, propicia o aparecimento de comportamento caótico no conversor. apresentou períodos 1, 2, 4 e caos. A rota para o caos por duplicação de período é ilustrado pelo diagrama de bifurcação na Figura 7. Além da rota para o caos por duplicação de período, pode-se verificar no sistema transições abruptas para o comportamento caótico, ou ainda o desaparecimento abrupto do mesmo. Figura 4: Circuito RLD. Forma de onda temporal. Períodos 1, 2, 4 e caos. Figura 3: Conversor Buck realimentado (Bernardo et al., 1998). O modelo dinâmico para o conversor é apresentado em (3). Quando a tensão de saída é menor que a tensão de referência a chave é fechada (δ = 1) e quando a tensão de saída é maior que a tensão de referência a chave é aberta (δ = 0) (Bernardo et al., 1998; Tse, 1994a). di dv = 1 L v + δ(t) L E = 1 C i 1 RC v (3) Tse (1994a) apresenta um desenvolvimento detalhado para obtenção do mapa discreto para o circuito do conversor Buck realimentado. O mapa, para T = 333,33µs, E = 33V, v = 25V, L = 208µH, C = 222µF e R = 12,5Ω, é apresentado na Equação 4. k é uma constante relacionada ao ganho de realimentação, sendo h(d n ) é zero para d n < 0, um para d n > 1 e d n para os outros casos. x n+1 = 0,8872x n + 1,2 33 (33 x n) h(d n ) 2 x n d n = 0,4717 k(x n 25) (4) 3 Resultados de simulação 3.1 Circuito RLD As Figuras 4 e 5 mostram, respectivamente, a evolução temporal e o espaço de fase para quatro valores do parâmetro de bifurcação V o. Como fica evidenciado no mapa de Poincaré (Figura 6), o sistema, para os valores de V o de 0,2; 2,5; 7,9 e 10 Figura 5: Circuito RLD. Períodos 1, 2, 4 e caos. Figura 6: Circuito RLD. Mapa de Poincaré. Períodos 1, 2, 4 e caos. 3.2 Sistema de Duffing O sistema de Duffing foi simulado para quatro valores de F o (0,5; 0,74; 1,02; e 1,25), nos quais o sistema apresentou período 1, 2, 3 e caos, respectivamente. As Figuras 8 e 9 mostram, respectivamente, a evolução temporal e os atratores para tais casos. Esse sistema é muito sensível aos valores de F o, o que torna computacionalmente difícil traçar com precisão o diagrama de bifurcação.

4 Figura 7: Circuito RLD. Diagrama de bifurcação. V o parâmetro de controle. Figura 11: Duffing. Diagrama de bifurcação. F o parâmetro de controle. Contudo, por meio da Figura 10 é possível visualizar algumas transições. 3.3 Conversor CC CC Buck A Figura 12 mostra o circuito implementado nopsim 1. Omesmocircuitofoi implementadoem laboratório, como será apresentado na próxima seção. Figura 8: Duffing.Forma de onda temporal. Períodos 1, 2, 3 e caos. Figura 12: Circuito do conversor Buck. Circuito prático utilizado tanto para simulação quanto para a montagem experimental. Figura 9: Duffing. Atratores. Períodos 1, 2, 3 e caos. a) Contínuo (ver Equação 3) Realizou-se a simulação do conversor Buck para duas situações: período 1 e regime caótico. A Figura 13 ilustra os atratores e a evolução temporal para as duas situações. b) Discreto (ver Equação 4) Figura 10: Duffing. Mapa de Poincaré. Períodos 1, 2, 3 e caos. O diagrama de bifurcação do conversor, mostradonafigura14apresentaumarotaparaocaos por dobramento de período. O número de Feigenbaum(verEquação5), quefoipropostocomouma característica universal de razões entre os valores dos parâmetros de controle em cada uma das bifurcações na rota para o caos, é bem definido no 1 Software específico para simulação de circuitos. Disponível em

5 respectivamente, a evolução temporal e os atratores para diferentes valores de tensão de entrada (V in ). Figura 13: Conversor Buck. Atratores, corrente no indutor (eixo x) e tensão de saída (eixo y) e (abaixo) formas de onda temporal da corrente no indutor. Período 1 e caos. Figura ampliada. diagrama do conversor. Para os dados simulados apresentou um valor aproximado de 4,2. Figura 15: Diagrama em fotos da montagem do circuito experimental para estudo do conversor Buck. Figura 14: Diagrama de bifurcação para o conversor Buck. Parâmetro de bifurcação k, constante relacionado ao ganho de realimentação. σ limn = α n α n 1 α n+1 α n (5) = 0,16 0,18 0,17 0,16 = 4,2 Figura 16: Forma de onda temporal da corrente no indutor do conversor Buck. Períodos 1, 2, 4 e caos. 4 Resultado experimental Além de análise numérica, implementou-se o conversorbuck tambémemlaboratório 2. Oscomportamentos obtidos na teoria foram observados experimentalmente. A Figura 15 apresenta a montagem do circuito, que consite em quatro módulos: circuito de controle da chave (módulo PWM), driver de acionamento, conversor e a carga. A tensão de saída é constantemente corrigida, por meio de ajustes no ciclo de trabalho, para manter o valor de referência. O fato do circuito ser chaveado, não linear e realimentado são condições que permitem que o sistema apresente caos. Essa afirmativa é ilustrada por meio das Figuras 16 e 17, que mostram, 2 Utilizou-se a plataforma de testes, isolada, desenvolvida por Santos Filho et al. (2003). 5 Conclusões Neste trabalho estudou-se três possibilidade de circuitos eletrônicos que podem apresentar comportamento caótico. Tais circuitos são de construção simples e apresentam comportamentos valiosos para o estudo e ensino de sistemas dinâmicos não lineares. Ademais, constatou-se que os resultados teóricos, para o conversor CC-CC Buck se aproximam bastante dos práticos, onde também foi constatado comportamento caótico, apresentando cenários de bifurcações e rota para o caos, mostrando que mesmo circuitos eletrônicos relativamente simples podem apresentar dinâmica altamente não-linear.

6 PEM fuel cell fed DC-DC boost converter, International Journal of Hydrogen Energy 37(23): Hanias, M. P., Avgerinos, Z. e Tombras, G. S. (2009). Period doubling, feigenbaum constant and time series prediction in an experimental chaotic RLD circuit, Chaos, Solitons e Fractals 40: Kennedy, M. P. (1994). Chaos in the Colpitts oscillator, IEEETransactions on Circuits and Systems I-Fundamental Theory and Applications 41(11): Figura 17: Atrator, corrente no indutor (eixo x) e tensão de saída (eixo y). Conversor Buck. Períodos 1, 2, 4 e caos. Agradecimentos Agradecimentos ao CNPq e à agência de fomento CAPES Brasil, pelo apoio financeiro para realização do presente trabalho. Ao CEFET-MG, que disponibilizou os laboratórios para ensaio e testes experimentais. Referências Battelli, F. e Palmer, K. J. (1993). Chaos in the Duffing equation, Journal of Diferential Equations 101(2): Bernardo, M., Garofalo, F. Glielmo, L. e Vasca, F. (1998). Switchings, bifurcations, and chaos in DC DC converters, IEEE Transacions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications 45(2): Chua, L. O. (1987). Special issue on chaotic systems, Proc. IEEE 75(8): Chua, L. O. (1994). Chua circuit - an overview 10 years later, Journal of Circuits Systems and Computers 4(2): Deane, J. H. B. e Hamill, D. C. (1990). Analysis, simulation and experimental study of chaos in the buck converter, Power Electronics Specialists, pp Ferrara, F. N. e Prada, C. P. C. (1994). Caos - uma introdução, 1 edn, Edgar Blucher. Fradkov, A. L. e Evans, R. J. (2005). Control of chaos: Methods and applications in engineering, Annual Reviews in Control 29: Monteiro, L. H. A. (2006). Sistemas Dinâmicos, 2 edn, Livraria da Física. Rocha, R., Filho, L. S. M. e Machada, R. F. (2005). Analogia eletrônica no ensino de física, Revista Brasileira de Ensino de Física 27(2): Santos Filho, R. M., Pinto, M. A. S. e Souza, J. K. S. (2003). Low cost embedded kits for teaching power electronics in laboratory, VII COBEP - Congresso Brasileiro de Eletrônica de Potência. Savi, M. A. (2004). Dinâmica não-linear e caos. Notas de aula - COPPE - Universidade Federal do Rio de Janeiro. Sprott, J.C.(2000). Anewclassofchaoticcircuit, Physics Letters A 266: Taborda, J. A., Angulo, F. e Olivar, G. (2012). Characterization of chaotic attractors inside band-merging scenario in a zad-controlled buck converter, International Journal of Bifurcation and Chaos 22(10): Tse, C. K. (1994a). Chaos from a buck switching regulator operating in discontinuous mode, International Journal of Circuit Theory and Applications 22: Tse, C. K. (1994b). Flip bifurcation and chaos in three-state boost switching regulators, IEEE Transacions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications 41(1): Turci, L. F. R. (2005). Caracterização e controle de caos em circuitos chaveados, Dissertação, Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Turci, L. F. R. (2009). Caracterização, controle de caos e sincronização em circuitos chaveados, Tese, Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Giaouris, D., Stergiopoulos, F., Ziogou, C. e Ipsakis, D. (2012). Nonlinear stability analysis and a new design methodology for a