A Circuit for Automatic Measurement of Bifurcation Diagram in Nonlinear Electronic Oscillators

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1 A Circuit for Automatic Measurement of Bifurcation Diagram in Nonlinear Electronic Oscillators R. A. Ricco, A. Verly and G. F. V. Amaral Abstract Experimental bifurcation diagram is very helpful to describe the global behaviour of nonlinear electronic oscillators. The diagram allows insight gain of the oscillators behaviour for a parameter variation. However, when the bifurcation parameter is a resistance, experimental bifurcation diagrams are hard to achieve. In this case, if the potentiometer resistance has been used to change the gain, it is possible to replace the potentiometer by an alternative circuit using operational transconductance amplifier. This kind of circuit is presented in this work and experimental results are provided to piecewise affine Rössler electronic oscillator. The results obtained show a very good matching with the theoretical diagram. Then, if the bifurcation parameter is a resistance, voltage or current, we have implemented a circuit to extract the experimental bifurcation diagram of all nonlinear electronic oscillators. Keywords Operational Transconductance Amplifiers, Automatic Gain Control, Nonlinear Dynamical Systems, Bifurcation Diagram, Chaotic Systems. A I. INTRODUÇÃO NECESSIDADE de analisar e modelar comportamentos não lineares surge devido às não linearidades inerentes à maioria dos sistemas, como por exemplo, histerese, saturação magnética, folgas, comportamentos de relés, características de componentes de circuitos eletrônicos, entre outras [1]; [2]; [3]; [4]; [5]. Quando um determinado parâmetro de um sistema é variado em uma ampla faixa, o sistema pode apresentar comportamento dinâmico não linear. Sistemas em geral podem ser controlados para trabalhar em certas faixas de operação e executar tarefas que trazem benefícios a sociedade. Pode-se citar como exemplo, circuitos osciladores que são usados para gerar ondas periódicas e não periódicas [2]. O principal obstáculo para estudar circuitos não lineares é levantar todos os comportamentos de uma determinada faixa de operação. Como não existem métodos analíticos gerais para determinar as possíveis soluções desses sistemas, o uso de técnicas qualitativas que caracterizam o comportamento global de sistemas é de grande relevância. Um importante grupo de ferramentas que as ciências dispõem para análise de sistemas, principalmente em ramos aplicados como as engenharias, são as ferramentas de simulação [6]. Apesar de extremamente importantes e úteis, essas ferramentas não conseguem representar toda a gama de possibilidades de um sistema físico e, além disso, se não R. A. Ricco, Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP), João Monlevade, Minas Gerais, Brasil, ricco@deelt.ufop.br A. Verly, Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP), João Monlevade, Minas Gerais, Brasil, annyverly@deelt.ufop.br G. F. V. Amaral, Universidade Federal de São João del-rei (UFSJ), São João del-rei, Minas Gerais, Brasil, amaral@ufsj.edu.br forem utilizadas corretamente, podem apresentar comportamentos totalmente diferentes do sistema modelado. No diagrama de bifurcação obtido por simulação, por exemplo, se o passo de integração não for devidamente escolhido, o resultado da simulação pode não corresponder ao esperado. Uma maneira prudente, em se tratando da análise de sistemas, é o emprego de ferramentas de simulação aliado à técnicas experimentais. Dentro desse contexto, outra importante ferramenta utilizada na análise de sistemas não lineares é o diagrama de bifurcação. Essa ferramenta relaciona os parâmetros do sistema com seu respectivo comportamento assintótico [7]; [3]. O diagrama de bifurcação é amplamente utilizado tanto para proposições de análise quanto para modelagem de sistemas não lineares [8]. Além do mais, o diagrama de bifurcação é um dos critérios utilizados na validação de modelos não lineares. Por isso, é de grande auxílio em procedimentos de identificação de sistemas [9]. Em seu trabalho Tse [10] mostra que o estudo experimental desempenha o papel de verificar e estabelecer certos fenômenos não lineares em sistemas físicos. Assim, experiências devem ser projetadas para a análise de sistemas sob diversos aspectos. Discute-se, também, o fato de que em sistemas eletrônicos é possível analisar alguns comportamentos não lineares por meio de um osciloscópio, utilizando algumas técnicas facilmente empregadas, tais como, análise no domínio do tempo, espaço de fases e espectros de frequência. Entretanto, são citadas outras técnicas não tão triviais: a seção de Poincaré e o diagrama de bifurcação. Além do trabalho de Tse [10], outros artigos foram publicados versando sobre o assunto, no entanto nenhum deles desenvolve um sistema capaz de detectar seções de Poincaré e digramas de bifurcações para circuitos eletrônicos em geral. Eles se restringem a determinadas aplicações [11] e a técnicas que envolvem sistemas discretos, como a equação do mapa logístico [12], que utilizam placas de aquisição de dados e softwares para tratamento dos dados [13], e métodos arcaicos como o uso de fotos em sequência para formar uma imagem do diagrama completo [14]. A fim de complementar o estudo de diagramas de bifurcação, este trabalho propõe um circuito que pode extrair diagramas de bifurcação experimentais de sistemas em que o parâmetro de bifurcação pode ser uma resistência, tensão ou corrente elétrica. Deve-se ressaltar que no trabalho de Tse [10] somente diagramas de bifurcação, em que a tensão é o parâmetro de bifurcação, podem ser obtidos. Além disso, o circuito que extrai o diagrama de bifurcação pode ser facilmente montado na maioria dos laboratórios de eletrônica que possuam ao menos um osciloscópio de no mínimo dois canais.

2 Para testar a eficiência desse circuito, a metodologia proposta foi aplicada em um sistema de difícil obtenção de diagramas de bifurcação. O sistema teste é conhecido como sistema de Rössler afim por partes [15] e o circuito eletrônico que o implementa possui uma resistência elétrica como parâmetro de bifurcação. Destaca-se que o circuito de Rössler afim por partes ainda não havia sido validado experimentalmente, por meio do diagrama de bifurcação experimental. Sendo assim, as próximas seções deste artigo estão organizadas da seguinte maneira: na seção 2 são abordados os sistemas de Rössler e o sistema de Rössler afim por partes bem como o circuito que implementa esse último [15]. Na seção 3 é abordado o projeto de um circuito que extrai o diagrama de bifurcação experimental e a seção de Poincaré de um sistema não linear. Na seção 4 os resultados obtidos com a metodologia proposta são analisados e comparados com aqueles obtidos por simulação, para o sistema de Rössler e o sistema com dinâmica equivalente conhecido como circuito Rössler afim por partes. Por fim, na seção 5 são feitas as considerações finais. circuitos eletrônicos [15]. Tal implementação é descrita pelo seguinte sistema de equações diferenciais: dx = y z (4) dy = x + ay (5) dz = 5x 2z 15+ 4,5045 x + tanθ z 4 (6) em que a e tanθ são os parâmetros de bifurcação. O circuito que realiza as equações (4), (5) e (6) é apresentado na Fig. 2. O circuito amplificador A1, na configuração inversora, é uma realização do parâmetro a. O ganho do amplificador inversor é modificado por meio de um potenciômetro. Quando o valor da resistência do potenciômetro é alterada o comportamento em estado estacionário do circuito de Rössler afim por partes também é modificado. Vale ressaltar que saber o comportamento em estado estacionário, para todos os valores de resistência do potenciômetro, é uma questão importante no estudo de dinâmica não linear. Até o presente momento é desconhecido na literatura tal implementação. II. O SISTEMA DE RÖSSLER O sistema de Rössler é muito utilizado em estudos no campo de dinâmica não linear. O comportamento desse sistema pode ser constante, com oscilações periódicas e caóticas [16]. Além disso, ele representa uma classe de circuitos não lineares com comportamento dinâmico equivalente. dx = y z (1) dy = x + ay (2) dz = b + ( x c) z (3) Para o conjunto de parâmetros a = 0,398, b = 2 e c = 4, o sistema apresenta comportamento caótico, como mostrado na Fig. 1. Figura 2. Circuito de Rössler afim por partes. Para o sistema de equações (4), (5) e (6), ajustou-se os parâmetros a = 0,398 e tg(θ) = 0,4 e obteve-se, por intermédio do circuito da Fig. 2, o atrator mostrado na Fig. 3. Figura 1. Atrator do sistema de Rössler simulado, para o conjunto de parâmetros a = 0,398, b = 2 e c = 4. O sistema de Rössler afim por partes, que é um sistema de comportamento dinâmico equivalente ao de Rössler original, foi proposto para facilitar a implementação por meio de Figura 3. Atrator do sistema de Rössler experimental, para o conjunto de parâmetros a = 0,398 e tg(θ) = 0,4.

3 III. METODOLOGIA O diagrama de bifurcação é uma ferramenta que mostra o comportamento em estado estacionário em uma ampla faixa de valores de um parâmetro. Ele mostra a relação do parâmetro de bifurcação com qualquer variável de estado do sistema de forma estroboscópica. No caso de diagramas de bifurcação experimentais, a visão estroboscópica da variável de estado é obtida por um circuito de controle de pulso de amostragem-retenção. O pulso controlado é obtido pela combinação de um detector de janela com um multivibrador monoestável, um detector de passagem por zero e um amplificador operacional na configuração de diferenciador. O amplificador na configuração de diferenciador é necessário, pois o diagrama de bifurcação deve ser obtido somente em uma direção do fluxo das variáveis de estado do sistema. Essa modificação é um diferencial se comparado ao circuito de controle de pulso proposto por Tse [10]. Para construir o diagrama de bifurcação experimental é necessário mensurar a variável de estado escolhida e variar automaticamente o parâmetro de bifurcação. Entretanto, para o circuito de Rössler afim por partes, o parâmetro de bifurcação é uma resistência (potenciômetro) que é manualmente modificada. Para cada valor ajustado é necessário desligar o circuito e mensurar o valor de resistência do potenciômetro. Esse procedimento torna a construção do diagrama de bifurcação uma tarefa extremamente difícil. Na Fig. 4, a representação em diagrama de blocos do diagrama de bifurcação experimental é mostrada. Um resumo da função de cada bloco é discutido a seguir: - Bloco 1 - circuito de varredura: Tem a função de variar o parâmetro de bifurcação na faixa desejada. O circuito gera uma forma de onda dente de serra discretizada. O circuito deve permitir o ajuste do tempo dos patamares de tensão ou corrente. O tempo de cada patamar está relacionado com o conteúdo de frequência do sinal a ser medido. O tempo ajustado deve ser suficiente para que o sistema estabilize e amostre pontos suficientes na seção de Poincaré. Esse bloco pode ser substituído no caso do laboratório ter um gerador de função que gere onda dente de serra com baixo nível de ruído e com os patamares bem definidos. O nível de ruído nesse bloco é um fator de extrema importância para a obtenção do diagrama de bifurcação experimental, pois dependendo da sensibilidade do sistema analisado, uma pequena variação nos patamares de tensão ou corrente pode alterar o comportamento dinâmico observado. Caso isso ocorra, podem-se gerar diagramas de bifurcação experimentais que não reproduzam o comportamento global do sistema. - Bloco 2 - circuito de conversão do parâmetro de bifurcação: Esse bloco só é necessário nos casos em que o parâmetro de bifurcação não é uma tensão ou corrente elétrica. Ele funciona em conjunto com o bloco 1. No caso do circuito eletrônico analisado neste trabalho, o parâmetro de bifurcação é uma resistência elétrica. - Bloco 3 - circuito que define a seção de Poincaré: Nesse circuito ajusta-se a seção de Poincaré adequada ao sistema em análise. - Bloco 4 - circuito de amostragem da seção de Poincaré: Esse bloco registra o valor da variável de estado do sistema, no momento que recebe um sinal do bloco 3. Esse bloco pode ser substituído quando o osciloscópio utilizado for tridimensional. Nesse caso a terceira variável controla a intensidade das demais variáveis no plano cartesiano. Figura 4. Diagrama de blocos do sistema de obtenção do diagrama de bifurcação experimental. A seguir serão descritos detalhes e diferenças dos blocos 2 e 3, com relação ao trabalho de Tse [10]. A. Controle e conversão do parâmetro de bifurcação Um circuito alternativo para variar automaticamente o parâmetro de bifurcação é baseado no amplificador operacional de transcondutância (do inglês operational transconductance amplifier - OTA) [17]; Fig. 5. O ganho do OTA é controlado por meio de um sinal de tensão obtido por um gerador de onda dente de serra. O sinal de tensão ( V ) tem a função de variar a resistência no cont potenciômetro. Portanto, é o parâmetro de bifurcação convertido. O gerador de onda dente de serra pode ser construído conforme descrito em [10] ou por um gerador de função. Um conversor tensão-corrente é necessário para polarizar corretamente os transistores do OTA. A tensão da onda dente de serra ( V ) e o ganho ( G ), dentro da faixa de cont operação [1,0 2,8] V, estão relacionados por: G = 0,8721V - 0,1225 (4) cont A equação (4) foi obtida de forma empírica. A linearidade apresentada na equação (4) é muito importante para permitir a variação do ganho de forma exata e obter comportamentos específicos em estado estacionário sem distorções. Figura 5. Circuito de controle automático de ganho. Este circuito varia o parâmetro de bifurcação a do circuito de Rössler afim por partes. B. Seção de Poincaré Segundo Monteiro [7] a seção de Poincaré é um plano que intercepta o fluxo continuo de um sistema no espaço de fases de maneira transversal, transformando o estudo desse sistema

4 continuo de dimensão N no estudo de um mapa em um espaço de fases com dimensão N-1. A escolha desse plano pode ser orientada pela coordenada do ponto fixo, em torno do qual ocorre a oscilação no espaço de estados. Um dado importante para a aplicação da seção de Poincaré é a estimação dos pontos fixos do sistema, já que por meio deles é que se define uma órbita, isso significa dizer que após uma trajetória cruzar a seção de Poincaré no ponto fixo ela retorna a este mesmo plano depois de um tempo t. A função que descreve a sequência de pontos nos quais essa trajetória intercepta a seção de Poincaré é conhecida como mapa de Poincaré. Essa ferramenta é utilizada para o estudo qualitativo do comportamento dinâmico de um sistema, pois a estabilidade de órbitas pode ser analisada com o mapa de Poincaré. A Fig. 6 exemplifica o atrator e uma seção de Poincaré para o circuito de Rössler afim por partes, simulado para os mesmos parâmetros da Fig 3. Figura 6. Seção de Poincaré do atrator do circuito de Rössler afim por partes para o plano P = { y, z ϵ x 0,1 e x 0}. Simulado para os mesmos parâmetros da Fig 3. O circuito que implementa a detecção da seção de Poincaré tem sua topologia apresentada na Fig. 7. Figura 7. Circuito que define a seção de Poincaré. O circuito da Fig. 7 é composto por dois circuitos principais: - 1. Detector de Janela: Também chamado de comparador de janela apresenta uma tensão nula na saída quando a entrada estiver dentro de uma determinada faixa de valores, e uma saída positiva quando estiver fora da faixa. Assim, obtém-se as seguintes possibilidades considerando V1 > V2: se X > V1 a saída é 5V, se V2 < X < V1 a saída é 0V e se X < V2 a saída é 5V. Como o multivibrador monoestável CI1 é disparado por borda de descida, a saída Q estará em nível alto (5V) e em nível baixo (OV), por um tempo determinado por t=2π(r38)(c4) em segundos Diferenciador e detector de passagem por zero: Esse circuito garante que a seção de Poincaré só será detectada quando o fluxo estiver num mesmo sentido. A combinação dos sinais dos dois circuitos na porta lógica NAND CI2, fornece um pulso, SP, de descida no eixo Z do osciloscópio aumentando a intensidade desse ponto onde o eixo Z corta no plano XY. O sinal SP é usado para visualizar a seção de Poincaré no osciloscópio. A saída da porta NAND é conectada a uma porta inversora CI3, assim o sinal de saída da porta inversora SP1 irá controlar o tempo de amostragem e retenção do bloco 4, apresentado na Fig. 4, quando o osciloscópio não for tridimensional III. RESULTADOS EXPERIMENTAIS E DISCUSSÃO Para construir o circuito de Rössler afim por partes, apresentado na Fig. 2, os seguintes valores de componentes são escolhidos: R1 = R2 = R3 = R5 = R6 = R10 = R11 = R12 = R23 = 10kΩ, R4 = R7 = R19 = 10MΩ, R8 = R9 = R13 = R14 = R20 = R21 = 100kΩ, R15 = R22 = 1MΩ, R16 = 220k Ω, R17 = 200kΩ, R18 = 500kΩ, P1 = [0 5]kΩ, P2 = [0 50]k Ω, C1 = C2 = C3 = 1μF, A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = A7 = A8 = A9 = TL074, D1 = 1N4148. Todos os resistores e potenciômetros são de 1/8W e 10% de tolerância. Os capacitores são de cerâmica com 10% de tolerância e tensão de trabalho de 25 V. No circuito de controle de ganho automático, mostrado na Fig. 5, os seguintes componentes são usados: R24 = R29 = 100kΩ, R25 = 11kΩ, R26 = 24kΩ, R27 = 10kΩ, R28 = 330 Ω, R30 = 680Ω, R31 = R32 = 470kΩ, T1 = BC558, A10 = A11= TL074, OTA = CA3094. A configuração do amplificador de transcondutância CA3094 é idêntica ao do CA3080 quando a saída é coletada no pino 1 ao invés do pino 6 ou 8. Por fim, no circuito que define a seção de Poincaré, mostrado na Fig. 7, os seguintes componentes são usados: R33 = R34 = R35 = 82kΩ, R36 = R37 = R42 = R47 = 10kΩ, R38 = 665Ω, R39 = R40 = R41 = 1MΩ, R43 = R45 = R46 = 100k Ω, R44 = 8,2kΩ, C4 = 22nF, C5 = 10nF, IC1 = 4528, IC2 = 74LS00, IC3 = 74LS14, A12 = A13 = A16 = LP339, A14 = A15 = TL074, D2 = D3= 1N4148. A tolerância dos resistores e capacitores das figuras 5 e 7 é igual aos componentes do circuito de Rössler afim por partes, exceto os resistores R28 e R30 que são de 1/4W e tolerância de 1%. Primeiramente, para se obter o diagrama de bifurcação experimental é necessário ter um osciloscópio que possua dois, ou mais canais de entrada e o eixo Z de intensidade. O eixo Z de intensidade é um controle externo para modulação da intensidade do sinal, que é mostrado na tela do osciloscópio (canais X e Y), em que, para sinais em 1 (5V) a intensidade diminui e em 0 (OV) a intensidade aumenta, a persistência do osciloscópio deve ser ajustada para o modo infinito. Neste trabalho foi utilizado um osciloscópio de quatro canais da marca HP, modelo 4601A.

5 A combinação dos circuitos propostos em conjunto com o osciloscópio implementa o diagrama de bifurcação experimental. O diagrama de bifurcação experimental do circuito de Rössler afim por partes é mostrado na Fig. 8. Como pode ser observado na Fig. 8, o circuito afim desenvolve um cenário de duplicação de período. A medida que o parâmetro de bifurcação aumenta surge uma nuvem de pontos que caracteriza comportamento caótico. As faixas mais escuras entre a nuvem de pontos são conhecidas como janelas de periodicidade. A Fig. 9 mostra o diagrama de bifurcação do sistema de Rössler original. Comparando as figuras 8 e 9 pode-se verificar que os dois diagramas de bifurcação possuem um comportamento dinâmico equivalente. Pois, ambos desenvolvem cascata de duplicação de período e possuem janelas de periodicidade com padrões aproximados. duplicação de período, ou seja, o sistema possui período 2. Na Fig. 10 (c) é mostrado o sistema com período três. Tal tipo de oscilação é uma evidência experimental que o sistema seguirá sua rota em direção ao caos conforme teorema de Sarkovskii [7]. De fato, isso é evidenciado na Fig. 10 (d), em que a linha contínua mostra que o sistema atinge o caos. Figura 10. Seções de Poincaré experimentais para: (a) oscilação de período 1, (b) oscilação de período 2, (c) oscilação de período 3 e (d) oscilação caótica. Figura 8. Diagrama de bifurcação experimental do circuito de Rössler afim por partes: eixo horizontal é o parâmetro de bifurcação a e o eixo vertical o estado y. Na Fig. 11 são apresentadas séries temporais experimentais do circuito de Rössler afim por partes, com os principais comportamentos em estado estacionário mostrados na Fig. 10. Na Fig. 11 (a) é mostrado o sistema oscilando com período 1, na Fig. 11 (b) apresenta-se o sistema com oscilações de período 3 e, por fim, na Fig. 11 (c) apresenta-se o sistema com oscilações caóticas. Figura 9. Diagrama de bifurcação teórico do sistema de Rössler. Os circuitos descritos neste trabalho proporcionam outra possibilidade de análise no osciloscópio que é a visualização da seção de Poincaré experimental. Para se obter a seção de Poincaré, basta colocar o osciloscópio no modo XY, conectar um dos estados do sistema que se deseja analisar (y) ao canal 1, conectar um outro estado do sistema (z) ao canal 2 e ao canal Z conecta-se o sinal SP1 que vem do circuito que detecta a seção de Poincaré. A seção de Poincaré do circuito de Rössler afim por partes é mostrada na Fig. 10 para quatro comportamentos dinâmicos diferentes. A Fig. 10 (a) mostra o sistema oscilando com período 1. Na Fig. 10 (b) é mostrada a Figura 11. Séries temporais mensuradas do circuito de Rössler afim por partes para: (a) oscilação de período 1, (b) oscilação de período 3 e (c) oscilação caótica.

6 VI. CONCLUSÃO Foi implementado um circuito que extrai o diagrama de bifurcação experimental de sistemas que possuem resistência, tensão ou corrente elétrica como parâmetro de bifurcação. Também, foi proposto um circuito auxiliar que garante que a seção de Poincaré será amostrada somente em uma direção do fluxo no espaço de estados. Para o sucesso do sistema de obtenção do diagrama de bifurcação foi proposto um circuito que varia automaticamente o parâmetro de bifurcação. Essa aplicação foi obtida com o OTA CA3094 que é altamente linear. Como citado, os parâmetros do circuito são facilmente alterados e completamente configuráveis, o que é uma característica muito conveniente para obter comportamentos diferentes em estado estacionário. Por fim, o parâmetro de bifurcação do circuito de Rössler afim por partes foi convertido de uma resistência para um sinal de tensão e seu diagrama de bifurcação foi extraído. Os resultados obtidos mostram uma grande compatibilidade com os resultados teóricos reportados na literatura. Acredita-se que a proposta de obtenção do diagrama de bifurcação apresentada neste trabalho pode ser aplicada para sistemas com comportamento dinâmico equivalente ou não com o sistema de Rössler, desde que o parâmetro de bifurcação possa ser convertido em um sinal de corrente ou tensão. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o apoio parcial do CNPq e da FAPEMIG. Além de agradecer aos professores Lane Maria Rabelo Baccarini pelo suporte oferecido com os componentes eletrônicos e Luis Antonio Aguirre pelas críticas e sugestões no trabalho. Também, agradecem ao técnico de laboratório Carlos Eduardo Pádua Oliveira pelo suporte técnico oferecido. REFERÊNCIAS [1] C. Garcia. Modelagem e Simulação de Processos industriais e de sistema eletromecânicos. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, [2] L. O. Chua, C. A. Desoer, and E. S. Kuh. Linear and nonlinear circuits. 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Suas principais áreas de interesse no contexto de sistemas de controle incluem: identificação por subespaços, modelagem e identificação de sistemas lineares e não-lineares, identificação caixa cinza, sincronismo de osciladores não lineares e caos em circuitos eletrônicos. Anny Verly é Engenheira Eletricista formada em 2010 pela Universidade Federal de São João del-rei (UFSJ). Recebeu o título de Mestre em Engenharia Elétrica pela UFMG em 2012, onde foi bolsista pelo CNPq. Atualmente é professora do curso de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Ouro Preto. Atua nas áreas de identificação, análise, modelagem e controle de sistemas. Tendo interesse nas áreas de automação industrial, modelagem matemática, sistemas dinâmicos lineares e não-lineares, identificação de sistemas, instrumentação e controle de processos. Gleison Fransoares Vasconcelos Amaral possui graduação em Engenharia Industrial Elétrica pela Universidade Federal de São João del-rei (2000), mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Minas Gerais (2001) e doutorado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Minas Gerais (2006). Atualmente é professor adjunto da Universidade Federal de São João Del- Rei. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Sistemas Dinâmicos, atuando principalmente nos seguintes temas: caos, sistemas dinâmicos não-lineares, dinâmica não-linear, modelos lineares por partes e invariantes dinâmicos.