OBTENÇÃO EXPERIMENTAL DO CIRCUITO CAÓTICO DE CHUA

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1 OBTENÇÃO EXPERIMENTAL DO CIRCUITO CAÓTICO DE CHUA Gabriel Satelli de França [Bolsista PIBIC- JR], Dr. Elmer Pablo Tito Cari [Orientador], Matheus Augusto Paiva Luz [Colaborador] Curso Técnico em Eletrotécnica UTFPR Professor de Engenharia Elétrica UTFPR Curso Técnico em Eletrotécnica UTFPR Campus Cornélio Procópio Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Avenida Alberto Carazzai, 1640 Cornélio Procópio/PR, Brasil CEP gabriel_satelli95@hotmail.com, elmerpablotc@hotmail.com, matheus_apl@hotmail.com Resumo Este artigo apresenta os procedimentos para construção do Circuito caótico de Chua em forma experimental. Inicialmente foi implementado o circuito usando o simulador Multisim 11. Na sequência foi montado o circuito no protoboard e na placa de circuito impresso. Posteriormente, foram amostradas as medidas de tensão em dois pontos diferentes e corrente do indutor, a fim de observar o atrator de Chua gerado pelo circuito usando uma placa de aquisição de dados e o programa Labview 7.0. As dificuldades na fase de projeto, na montagem e na obtenção das medidas são relatadas neste artigo. O protótipo desenvolvido será usado futuramente em estudo de estimação de parâmetros em sistemas dinâmicos caóticos. Palavras-chave: Caótico; Chua; Experimental; Parâmetro; Abstract - The procedures to mount the experimental chaotic Chua s circuit is shown on this article. The circuit was developed using the program Multisim 11. After that, the circuit was implemented in protoboard prototype, a printed circuit board (PCB) was obtained. After the production of the circuit board, the program Labview 7 was used to acquire voltages in two different points and the inductor current, expecting to obtain the Chua s attractor, such as the voltage waveform. This prototype will be used in the future research to estimate parameters of dynamic chaotic systems. Keywords: Chaotic; Chua; Experimental; Parameter; INTRODUÇÃO Sistemas caóticos são sistemas dinâmicos que possuem uma regra bem definida para sua evolução, sendo estas regras não lineares com grande parte da trajetória instável, ou seja, um sistema onde pequena incerteza nas condições iniciais e parâmetros crescem exponencialmente com o tempo [1]. Devido ao fato desses sistemas se apresentarem em diversos campos de estudo tais como previsão do clima, economia, dinâmica populacional e comunicações, as pesquisas referentes a eles tem sido intensificadas recentemente com intuito de adquirirmos maior ciência dele e serem mais bem utilizados. Em 1984 foi elaborado por Leon O. Chua um circuito eletrônico não-linear com intuito de oferecer um comportamento análogo ao sistema autônomo tridimensional do proposto por Lorenz, chamado circuito de Chua [2]. Esse circuito continha quatro elementos

2 lineares (dois capacitores, um indutor e um resistor) e um resistor não-linear chamado diodo de Chua. Nesse circuito ao ser adicionado um resistor linear em série com o indutor obtém-se o oscilador de Chua [3]. Dado o fato de que a montagem de um laboratório de pesquisa de comportamento caótico na área torna-se inviável na maioria dos lugares em razão de suas necessidades físicas e ao alto custo, passou-se a usar em larga escala o circuito de Chua para tais estudos como uma analogia eletrônica viável e ao mesmo tempo um dos poucos sistemas físicos não lineares que apresentam regimes caóticos por diferentes abordagens, tais como simulações computacionais, experimentos e análises matemáticas. No presente trabalho, mostra-se as fases do projeto e construção do circuito de Chua bem como as amostragens de medidas. METODOLOGIA Nesta seção, apresenta-se o processo de produção da placa do circuito de Chua, passando por sua implementação no programa Multisim, sua montagem na matriz de contato, a confecção da placa de circuito impresso e os testes no osciloscópio e no programa Labview. Com o alto número de pesquisas na área do circuito de Chua, vários circuitos foram montados por diferentes pesquisadores ao longo dos anos. Como referências para montagem foram utilizados os seguintes artigos [4] e [5]. O circuito de Chua é formado por três elementos lineares armazenadores de energia (um indutor L e capacitores C1 e C2), um resistor linear R, e um resistor não linear N R formado por dois amplificadores operacionais associados a seis resistores sendo esta uma malha que apresenta o efeito de resistência negativa trabalhando assim como uma fonte restauradora de energia para o circuito como descrito em [6]. O circuito foi apresentado por Kennedy em [7] e é esquematizado na figura 1. Figura 1. Esquema do circuito de Chua com dois Amplificadores operacionais apresentado por Kennedy [7]. A primeira etapa para elaboração da placa foi à implementação do circuito no programa Multisim para obter na simulação os sinais do circuito e validar os valores

3 apresentados como mostrado na figura 2. Os valores utilizados para os elementos foram obtidos de [4] e são mostrados na Tabela 1. Tabela 1. Tabela de elementos de acordo com o circuito da Figura 2. Elemento Valor C1 5 nf C2 100 nf L1 13 mh R1 10 Ω R2 - Potenciômetro 10 kω R3 22 kω R4 220 Ω R5 22 kω R6 220 Ω R7 2,2 kω R8 3,3 kω R9 1 kω R10 1 kω U1 LM 741 U2 LM 741 Na figura 2 poderemos observar a disposição dos elementos e as adaptações do circuito de Chua apresentado na figura 1. No caso, o N R é formado por uma malha com dois amplificadores e seis resistores, (3 ao 8). Em R temos um conjunto de três resistores, R10 ligado em paralelo com R2 esse conjunto liga-se em série com R9, sendo que esta configuração nos permite variar a resistência entre 1 kω e 2 kω de um modo preciso, pois sem essa configuração a variação do potenciômetro que é logarítmica não permitiria tal precisão. O conjunto apresenta a fórmula para sua equivalência abaixo: R eq = R9 + R2. R10/ (R2+R10) (1) Substituindo em (1) os respectivos valores das resistências temos: R eq = R / (R ) O ajuste da configuração de R foi fundamental para a obtenção do atrator. Observouse que entre 1500 Ω e 1980 Ω existe o atrator. Nas figuras 3-6 mostra-se respectivamente a tensão no capacitor 2, a tensão no capacitor 1, o atrator gerado de Vc1 x Vc2 e a corrente de L para R = 1800 Ω.

4 Figura 2. Circuito implementado no Multisim, mostrando equivalências com a figura 1. Figura 4. Onda obtida de Vc2 no Multisim. Figura 3. Onda obtida de Vc2 no Multisim. Figura 6. Onda obtida de IL no Multisim. Figura 5. Onda obtida de Vc2 x Vc1 no Multisim.

5 Depois de verificada a eficácia do circuito por simulação como mostrado na figura 5 que mostra o atrator gerado pelo circuito, passamos a montar e testar o circuito no protoboard com o intuito de verificar se os componentes na sua forma real produzem o mesmo efeito do simulado. Processo necessário devido às variações de valores em relação à forma simulada. Como foi observado durante a montagem da matriz de contato, deve-se atentar que pequenas mudanças podem causar alterações em escalas não-lineares quando o objeto de estudo é um sistema caótico, características que custaram tempo no desenvolvimento do projeto. Na figura 7 mostra-se o circuito de testes montado no protoboard. Nesta etapa o mais difícil foi encontrar um indutor apropriado para ajustar as diferenças de valores da referência [4] com o real, o valor da resistência R2, mostrada na figura 2, foi ajustado até encontrar o atrator como mostrado na figura 8, obtida no osciloscópio. Figura 7. Circuito de Chua montado no protoboard. Figura 8. Atrator formado no osciloscópio no teste do protoboard. Após a montagem e os testes do circuito na matriz de contato, é observado que a dinâmica caótica se mantém nos componentes reais, sendo assim, o passo seguinte é a construção da placa de circuito impresso mostrada na figura 9 utilizando como base o método

6 de transferência térmica para passar o circuito para PCI. Nesta fase foi onde se apresentaram os maiores problemas, desde que o ruído nas medidas e os valores pequenos dos parâmetros como, por exemplo, os capacitores de 5 nf e 100 nf. Tais parâmetros dificultam a presença do atrator, sendo então necessário montar o circuito por variadas vezes para obter os resultados esperados mostrados nas figuras de 7 a 10. Figura 9. Placa do circuito de Chua RESULTADOS E DISCUSSÃO Para legitimar os resultados dos testes da placa, testamo-la de dois modos distintos: uma vez de modo análogo ao teste do protoboard e outra vez utilizando o software Labview e uma placa de aquisição de dados da National Instruments. Um problema nesta etapa, já esperado devido aos testes do protoboard é que foi necessária uma taxa de amostragem pequena devido à presença de parâmetros muito pequenos (C1 = 5 nf e C2 = 100 nf). Foi necessária uma freqüência de amostragem de f = 100 khz (t = ) e um tempo total de amostragem de 0.01 segundos. Estes dados foram importados para o programa Matlab para geração dos gráficos. Nas figuras mostram-se os resultados das medidas obtidas no Labview, a tensão nos capacitores 1 e 2 e a corrente no indutor. Na figura 10 mostra-se o atrator de Chua obtido com Vc1 x Vc2. Figura 10. Onda obtida de Vc2 no Labview. Figura 11. Onda obtida de Vc2 no Labview.

7 Figura 13. Onda obtida de Vc2 x Vc1 no Labview. Figura 12. Onda obtida de IL no Labview. CONCLUSÕES Após as experiências realizadas no circuito, dentro do programa Multisim, no protoboard e na placa observamos resultados semelhantes, com variações principalmente no protoboard resultantes de alguns problemas físicos como o indutor, lembrando que uma pequena diferença na condição inicial e parâmetros podem alterar totalmente o resultado. Porém os resultados na placa com o indutor já soldado foram mais satisfatórios, entretanto ainda é necessário um maior domínio sobre os programas Labview e Matlab para que possamos oferecer resultados mais precisos. No geral constatamos que estamos próximos de ter um dispositivo que possa ser um objeto de estudo confiável devido à proximidade dos resultados obtidos no Labview e Multisim. Este trabalho faz parte de um projeto maior denominado Estimação de parâmetros de Sistemas Caóticos [9] realizado na UTFPR CP. Para trabalhos futuros objetivamos usar um indutor eletrônico como apresentado em [2], [6] e [8] no lugar do indutor, com a finalidade de eliminar problemas de ruídos, aumentar a taxa de precisão do valor da indutância e facilitar a amostragem da corrente. AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente ao CNPQ e ao Professor Dr. Elmer Pablo Tito Cari, pela oportunidade de trabalhar neste projeto, a UTFPR e aos meus amigos Matheus A. P. Luz, Matheus M. Breve, Luiz Otávio Fernandes, Adevanir P. R. Filho e Luca H. R. Cazionato pelo apoio e colaboração durante estes últimos meses. REFERÊNCIAS [1] MOREIRA, I. C. Sistemas Caóticos em Física uma Introdução. Revista Brasileira de Ensino de Física, Rio de Janeiro, v. 15, No. 1 4, p , [2] NASCIMENTO, A. W. M. Análise de Caos em Oscilações de Baixa Frequência em Dispositivos Não-Lineares f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) Universidade Federal de Itajubá, Itajubá, [3] CHUA, L. O.; WU, C. W.; HUANG, A.; ZHONG, G. A. Universal Circuit for Studding And Generating Chaos - Part I: Routes to Chaos. IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol. 40, No. 10, Outubro de [4] MULUKUTLA, M.; AISSI, C. (2002) Implementation of the Chua s Circuit and its Applications, ASEE Gulf-Southwest Annual Conference.

8 [5] LANDGRAF, Taylon G. Metodologia de estimação de parâmetros com aplicação em modelos de cargas estáticas e sistemas caóticos f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Elétrica) Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Cornélio Procópio, [6] JUNIOR, E. R. V. Espaço de Parâmetros para um Circuito Caótico Experimental f. Dissertação (Mestrado em Física) Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, [7] KENNDY, M. P. Robust OP Amp Realization of Chua s Circuit, Frequenz, v. 46, No 3 4, p , [8] TORRES, L. A. B.; AGUIRRE, L. A.. Inductorless Chua s Circuit, Electronics Letters, Belo Horizonte, v. 36, No 23, p , [9] LANDGRAF, T. G; CARI, E. P. T. (2002) Metodologia para estimar parâmetros de sistemas caóticos usando medidas no tempo, Seminário de Iniciação Científica e Tecnológica.