Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 2012.

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1 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 22. ESTIMAC A O DE PARA METROS NO SISTEMA CAO TICO DE CHUA UTILIZANDO MEDIDAS AMOSTRADAS NO TEMPO: EXPERIE NCIAS PRA TICAS E DISCUSSO ES TEO RICAS Taylon G. Landgraf, Elmer P. T. Cari, Edson A. R. Theodoro, Luis F. C. Alberto Departamento de Engenharia Ele trica da Escola de Engenharia de Sa o Carlos da Universidade de Sa o Paulo - EESC/USP, Av. Trabalhados Sa o-carlense, no 4, Centro, CEP , Sa o Carlos, SP, Brasil Universidade Tecnolo gica Federal do Parana - UTFPR, Avenida Alberto Carazzai, no 64, Centro, CEP 863-, Corne lio Proco pio, PR, Brasil s: taylon@usp.br, elmer@utfpr.edu.br, theodoro@sc.usp.br, lfcalberto@usp.br Abstract In this paper a methodology for parameter estimation of Chua s chaotic system is presented. A estimation technique is based on the trajectory sensitivity methodology which uses the partial derivative of outputs with respect to parameters (sensitivity functions to update the parameters. An adequate choice of outputs and inputs is performed in order to achieve a decoupled estimation process. A comprehensive theoretical analysis is made in order to show that if the decoupled estimation process provides C -synchronization between the outputs of the real system and the mathematical model, then the estimated parameters are ε-close to the correct parameters. At first, the parameters are estimated from measurements obtained from simulation and then, using sampled measurements from a real circuit built in laboratory. A comparative analysis os the parameter estimation is performed in both cases. Trajectory sensitivity, parameter estimation, chaotic systems, Chua s circuit Keywords Resumo Neste artigo apresenta-se uma metodologia para a estimac a o de para metros do sistema cao tico de Chua. A te cnica de estimac a o de para metros baseia-se na metodologia de sensibilidade de trajeto ria que utiliza as derivadas parciais das saı das em relac a o aos para metros (func o es de sensibilidade para realizar o ajuste dos para metros. Uma escolha adequada das entradas e saı das e realizada para possibilitar o desacoplamento do processo de estimac a o. Uma ana lise teo rica e realizada a fim de mostrar que se o processo de estimac a o desacoplado prove a sincronizac a o C entre as saı das do sistema real e do modelo matema tico, enta o os para metros estimados esta o ε-pro ximos aos para metros corretos. Inicialmente, os para metros sa o estimados a partir de medidas obtidas via simulac a o computacional e, na seque ncia sa o utilizadas medidas amostradas de um circuito real construı do em laborato rio. Uma ana lise comparativa da estimac a o dos para metros nas duas situac o es e apresentada. Palavras-chave Sensibilidade de Trajeto ria, estimac a o de para metros, sistemas cao ticos, circuito de Chua Introduc a o A estimac a o de para metros de sistemas cao ticos tem aplicac o es em va rios campos da cie ncia e da engenharia, tais como: criptografia digital, ana lise de sistemas biolo gicos (determinac a o dos valores iniciais de populac o es e processamento de informac o es (Xie e Xu, 2. O sistema de Chua e um dos circuitos cao ticos mais estudados na literatura cientı fica, devido ao fato de ser o primeiro sistema fı sico conhecido em que a existe ncia de caos pode ser (Matsumoto et al., 988: (i provada matematicamente, (ii simulada por computador e (iii verificada em laborato rio atrave s de medidas fı sicas. Devido a isto, um grande nu mero de trabalhos te m sido publicados na literatura especializada a respeito deste sistema entre os quais citamse: (Matsumoto et al., 988 e (Chua et al., 993. Sistemas cao ticos sa o caracterizados por tre s caracterı sticas (propriedades em seu comportamento dina mico: determinismo, aperiodicidade e grande sensibilidade a s condic o es iniciais (Eisencraft, 2. Observando essas caracterı sticas, nota-se que geralmente tais sistemas apresentam comportamentos dina micos complexos regidos por equac o es matema ticas concisas (Rodrigues, 996. Existem diversas te cnicas que podem ser utilizadas na estimac a o de para metros de sistemas (modelos dina micos, tais como: (i Me todos baseados em gradientes; (ii Me todos dos mı nimos quadrados; (iii Redes Neurais; (iv Lo gica Fuzzy e (v Algoritmos Gene ticos (Maitra et al., 26, (Visconti et al., 2. Neste trabalho e utilizada a metodologia de sensibilidade de trajeto ria que se enquadra dentro do me todo dos mı nimos quadrados. Esta metodologia minimiza o erro entre a saı da produzida pelo modelo matema tico e aquela produzida pelo sistema real usando func o es de sensibilidade de trajeto ria na atualizac a o dos para metros do modelo matema tico. Entre as principais vantagens desta metodologia frente as demais destacam-se (Cari, 29: (i pode ser implementada para qualquer sistema dina mico na o linear e (ii requer um intervalo pequeno de aferic a o de medidas. A estrate gia para realizar a estimac a o dos para metros no sistema de Chua foi dividida em duas fases. Inicialmente, a metodologia de sensibilidade de trajeto ria e utilizada para estimar os para me- 85

2 tros a partir de medidas obtidas por simulação usando o software Multisim. em um modelo proposto por (Kennedy, 992. Posteriormente, através da experiência adquirida na fase inicial, os parâmetros são estimados a partir de medidas reais obtidas de um circuito de Chua construído em laboratório. Utilizando a metodologia de sensibilidade de trajetória com uma escolha apropriada de entradas e saídas do modelo, demonstra-se que os parâmetros deste sistema podem ser estimados de forma desacoplada em um processo sequencial. A apresentação deste trabalho está organizada da seguinte forma: na seção 2 é apresentado o método de estimação de parâmetros baseada na técnica de sensibilidade de trajetória, na seção 3 são apresentadas a modelagem, a simulação e a implementação em laboratório do circuito de Chua, uma prova condicional da correta estimativa dos parâmetros do sistema de Chua, através do processo de estimação desacoplado, é discutida na seção 4, os resultados são apresentados na seção 5, e na seção 6, apresentam-se as conclusões deste trabalho. 2 Metodologia de sensibilidade de trajetória para estimação de parâmetros de sistemas dinâmicos não-lineares Considere um sistema não-linear modelado por: dx = f(x,p,u y = h(x,p,u, ( onde x é o vetor de variáveis de estado, y é o vetor de saída, u é o vetor de entrada e p é o vetor de parâmetros do modelo a ser estimado. As funções f e h são não-lineares, contínuas e Lipschitzianas em p e u. Seja p i a i-ésima componente de p. As sensibilidades de trajetória x(t calculadas como: d x(t y = f(x,p,u x = h(x,p,u x e y(t x + f(x,p,u são x + h(x,p,u (2 O algoritmo de ajuste de parâmetros é formulado como um problema de otimização, isto é, minimiza-se o funcional J: J(p = 2 (y med y T (y med y, (3 onde, y med éovetordesaídadosistemareal(valor medido e y é o vetor de saída do modelo (. A condição de otimalidade J(p p = é dada por: G(p = J(p p = ( y T(ymed y = p (4 O método de Newton pode ser usado para resolver a equação não linear (4. Partindo do vetor inicial p = p o, o ajuste dos parâmetros na k-ésima iteração é dado por: p (k+ = p (k Γ(p G(p, (5 p=p (k onde Γ(p é a matriz obtida derivando-se G(p em relação ao vetor de parâmetros p: 2 T y Γ = p 2 (y med y+ ( y p T ( y p p=p (k Desprezando os termos de segunda ordem, Γ(p pode ser aproximada por Γ(p ( y p T ( y p p=p (k (6 (7 Desta forma, o ajuste dos parâmetros é realizado sucessivamente até que o funcional J(p seja menor que uma tolerância pré-definida, indicando a convergência dos parâmetros. Quando as medidas são amostradas em intervalos de tempo discretos, as integrais acima podem ser substituídas por somatórios. Para maiores detalhes sobre a metodologia de sensibilidade de trajetória veja (Cari, 29. A metodologia de sensibilidade de trajetória para estimação de parâmetros pode ser resumida no diagrama da figura. Figura : Diagrama de blocos do procedimento de estimação de parâmetros baseado na técnica de sensibilidade de trajetória. A nomenclatura apresentada na figura é descrita a seguir: ( Saída do sistema real, obtida de medidas do sistema com os parâmetros reais; (2 Saída do modelo, obtidos das equações matemáticas; (3 Cálculo do funcional de erro J(p; 86

3 (4 Equações de sensibilidade, obtidas derivando as equações do modelo em relação aos parâmetros (p i; (5 Cálculo de J p = Γ; (6 Cálculo do p (Método de Newton; (7 Atualização dos parâmetros. 3 Modelagem do circuito de Chua O circuito de Chua é composto por dois capacitores, um indutor real, um resistor e um elemento (resistor não linear ativo, que recebe o nome de diodo de Chua, conforme apresentado nas figuras 2 e 3 (Matsumoto et al., 988. Figura 2: Esquema do circuito de Chua. Figura 3: Característica VxI do diodo de Chua. A dinâmica do circuito de Chua pode ser obtida pela aplicação das leis de Kirchhoff ao sistema da figura 2: dx dx 2 dx 3 = ( C = C2 R (x 2 x I NR (x ( R (x x 2 +x 3 (8 (9 = L ( x 2 r x 3, ( Figura 4: Circuito de Chua utilizando dois amplificadores operacionais para compor o diodo de Chua (Kennedy,992. diodo de Chua, são obtidos a partir de: [( Ga = ( + ] (2 R3 R6 [( Gb = ( ] + (3 R3 R4 R6 B = Esat, (4 R5+R6 sendo Esat a tensão de saturação do amplificador operacional. 3. Circuito de Chua simulado em computador Inicialmente o circuito de Chua(figura 4 foi simulado por computador, utilizando o software Multisim., eapartirdesteforamobtidasasmedidas necessárias ao processo de estimação de parâmetros (figura 5. sendo a corrente no diodo de Chua expressa por: I NR (x = Gbx + 2 (Ga Gb( x +B x B, ( onde x e x 2, são as tensões sobre os capacitores C e C2; x 3 é a corrente que atravessa o indutor com indutância L, r é a resistência associada a este indutor, R é a resistência acoplada entre os capacitores, Ga, Gb e B são respectivamente as inclinações e o ponto de transição da curva de resposta tensão-corrente do diodo de Chua (NR, conforme apresentado nas figuras 2 e 3. O circuito de Chua foi construído conforme o circuito da figura 4, no qual o diodo de Chua é realizado por dois amplificadores operacionais e seis resistores (Kennedy, 992. As inclinações (Ga, Gb, e o ponto de transição (B da curva de resposta tensão-corrente do Figura 5: Circuito de Chua simulado no software Multisim. A lista de componentes utilizados na implementação do circuito de Chua está descrita na tabela. 3.2 Circuito de Chua construído em laboratório O circuito de Chua foi construído no laboratório como apresentado na figura 6. Os valores dos parâmetros utilizados foram ajustados para reproduzir a tabela. 87

4 Tabela : Lista de componentes. Elemento Valor Elemento Valor A LM74 R6 3.3k Ω R 22 Ω C 5nF R2 22 Ω R.8k Ω R3 2.2 kω C2 nf A2 LM74 L 3mH R4 22k Ω r Ω R5 22k Ω Figura 8: Atrator caótico double scroll amostrado no protótipo do circuito de Chua. equação (, tendo como entrada a tensão no capacitor C (x, calcula-se a corrente I NR e a curva característica experimental do diodo de Chua, como apresentado nas figuras 9 e, respectivamente. Figura 6: Protótipo experimental do circuito de Chua. Neste protótipo foram amostradas as variáveis x, x 2 e x 3, usando uma placa de aquisição de dados da National Instruments com auxílio do software LabVIEW 7., com uma frequência de amostragem igual a f = khz ( t = 5 s e um tempo total de amostragem T =.s. As figuras 7 e 8 foram geradas a partir dos dados amostrados do sistema real. Figura 9: Corrente (calculada a partir de x no protótipo do diodo de Chua (I NR. Figura 7: Saídas do circuito de Chua (protótipo: (a Tensão V C (x. (b Tensão V C2 (x 2. (c Corrente i L (x 3. As medidas foram realizadas para valores de tensão entre V + = 2V e V = 2V, considerando os níveis de saturação de saída do AmpOp LM74 iguais a Esat.3V. Assim, de acordo com as equações (2, (3 e (4, utilizando os dados da tabela, obtêm-se, para a curva característica (VxI do diodo Chua, os valores das inclinações Ga =.756mS e Gb =.49mS, e o ponto de transição B =.47V. Com estes dados calculados e com o auxílio da Figura : Curva característica VxI experimental do diodo de Chua. 4 Processo desacoplado de estimação de parâmetros no sistema caótico de Chua Nesta seção, apresenta-se o processo desacoplado de estimação de parâmetros, baseado na técnica de sensibilidade de trajetória, para o sistema caótico de Chua. Mostra-se que escolhendo de forma apropriada as entradas e saídas do modelo, os parâmetros do circuito de Chua podem ser estimados em forma desacoplada e, sob a condição de que a convergência do algoritmo implique na 88

5 sincronização C entre as saídas do sistema real e do modelo, demonstra-se que os parâmetros estimados estão ε-próximos aos parâmetros corretos. O processo de estimação de parâmetros, para o sistema caótico de Chua, foi dividido em três etapas sequenciais: ETAPA I - Estimação de C e R Para estimar os parâmetros C e R, utilizase apenas a equação(8, como modelo matemático do sistema, e considera-se como entrada do mesmo o vetor u = [x 2(med,I NR(med ] e como saída y = [ x ]. Com estas considerações, o modelo matemático tratado nesta etapa pode ser descrito por: d x = ( C R (x 2(med x I NR(med (5 As equações de sensibilidade utilizadas pela metodologia de sensibilidade de trajetória, descrita na seção 2, são obtidas derivando-se (5 em relação a C e R, respectivamente. λ C x λ R x = 2 C λ C x C R = C ( R (x 2(med x I NR(med R2 (x 2(med x + λ R x R + (6, (7 C com λ x = d x dc e = λ R x d x são as funções de d R sensibilidade. Desta forma é possível realizar a estimativa dos parâmetros C e R isoladamente do restante dos outros parâmetros. ETAPA II - Estimação de C2 Para estimar C2 utiliza-se apenas a equação (9, como modelo matemático do sistema, e o valor estimado de R obtido na etapa I do processo de estimação. Considera-se como entrada o vetor u = [x (med,x 3(med ] e como saída y = [ x 2 ]. Porém, é importante salientar que a técnica de sensibilidade de trajetória apresentou instabilidades numéricas durante a estimação do parâmetro C 2, conduzindo a uma região de convergência menor nesta situação e fazendo com que o algoritmo necessitasse de uma número excessivo de iterações para convergir. Para evitar este contratempo optou-se por realizar a estimação conjunta do parâmetro C2 com o parâmetro R, mas utilizando como valor inicial da estimativa do parâmetro R o valor R obtido ao fim da etapa I. Tal associação possibilitou uma maior estabilidade numérica à técnica de sensibilidade de trajetória, fazendo com que o algoritmo de estimação de parâmetros atingisse a convergência em um número menor de iterações e mesmo considerando valores iniciais do parâmetro C2 com grandes desvios em relação ao seu valor correto. Dito isto, é importante salientar que a inversão da ordem na estimativa dos parâmetros C e C2, nas etapas I e II, não altera significativamente a região de convergência do algoritmo na etapa II, fazendo com que a estimativa da segunda capacitância, seja C ou C2, necessite sempre ser associada a uma re-estimativa do parâmetro R. Dito isto, o modelo matemático tratado nesta etapa pode ser descrito por: d x 2 = ( C2 R (x (med x 2 +x 3(med (8 As equações de sensibilidade em relação aos parâmetros são obtidas derivando-se (8 em relação a C2 e R, respectivamente. λ C2 x 2 λ R x2 = 2 C2 λ C2 x 2 C2 R = C2 C2 com λ sensibilidade. x 2 = d x2 d ( R (x (med x 2 +x 3(med + R2 (x (med x 2 + λ R x2 R (9 (2 e = C2 λ R x2 d x2 são as funções de d R Com isso, o parâmetro C2 pode ser estimado independentemente aos demais parâmetros. Mas, é válido lembrar que a estimativa inicial do parâmetro R, obtida na etapa I do processo de estimação, é suficientemente exata para ser utilizada em fins práticos, porém sua re-estimativa é realizada apenas para propiciar um melhor condicionamento numérico à técnica de sensibilidade de trajetória. ETAPA III - Estimação de L e r Por fim, para estimar L e r, utiliza-se apenas a equação (, como modelo matemático do sistema, e considera-se como entrada u = [x 2(med ] e como saída y = [ x 3 ]. Com estas considerações, o modelo matemático tratado nesta etapa pode ser descrito por: d x 3 = L( x 2(med r x 3 (2 As equações de sensibilidade em relação aos parâmetros são obtidas derivando-se (2 em relação a L e r, respectivamente. λ L x3 = L 2(x 2(med + r x 3 L( r λ L x3 (22 λ r x3 = L( r λ L x3 x 3 (23 com = λ L x3 d x3 e λ r d L x 3 = d x3 d r são as funções de sensibilidade. Por fim, é possível realizar a estimativa dos parâmetros L e r isoladamente do restante dos outros parâmetros. 89

6 4. Discussão Teórica: sincronização e estimação de parâmetros Para que o processo de estimação de parâmetros desacoplado, baseado na técnica de sensibilidade de trajetória, apresentado neste trabalho conduza a correta estimação dos parâmetros no sistema de Chua, duas hipóteses são necessárias (Cari et al., 29: (A A sincronização entre as saídas do sistema real e do modelo matemático implicam que os parâmetros do modelo são suficientemente próximos dos parâmetros do sistema real; (A2 O algoritmo de estimação de parâmetros provê a sincronização entre as saídas do sistema real e do modelo matemático. A hipótese (A pode ser demonstrada particularmente para um dado sistema dinâmico. Neste trabalho, em particular, dado o processo de estimação desacoplado demonstra-se a hipótese (A dada a sincronização C entre as saídas do sistema real e do modelo matemático. Definição 4. (Sincronização C As saídas do sistema real, y med, e do modelo matemático, y, C -sincronizam num dado intervalo [t a,t b ] com precisão ε se: sup y med (t y(t + sup ẏ med (t ẏ(t < ε t a t t b t a t t b Na etapa I do processo de estimação, tem-se que y med = [x ] e y = [ x ]. Considerando o erro de sincronização igual a e = x x e derivando o mesmo em relação a t, tem-se que: ė = ẋ x ( ė = x 2 CR C R ( x CR x C R ( I NR (x C C + (24 Logo, tomando a soma das normas das equações do erro e e de sua derivada ė, se as saídas do sistema real e do seu respectivo modelo matemáticoc -sincronizam, então, osparâmetros estimados C e R estão ε-próximos dos valores C e R do sistema real, respectivamente. Analogamente, na etapa II do processo de estimação, com y med = [x 2 ] e y = [ x 2 ], verifica-se que a derivada, em relação a t, do erro de sincronização dado por e 2 = x 2 x 2 resulta em: ė 2 = ẋ 2 x 2 ( ė 2 = x C2R C2 R ( x2 C2R x 2 C2 R x 3 ( C2 C2 + (25 Como anteriormente, se as saídas do sistema real e do seu respectivo modelo matemático C - sincronizam, então os parâmetros estimados C2 e R estão respectivamente ε-próximos dos valores corretos de C2 e R. Na etapa III do processo de estimação, sendo y med = [x 3 ] e y = [ x 3 ], e calculando-se derivada do erro de sincronização dado por e 3 = x 3 x 3 em relação a t: ė 3 ė 3 = ẋ 3 x 3 = x 2 ( L L ( x3 r L x 3 r L (26 Assim, se as saídas do sistema real e do seu respectivo modelo matemático C -sincronizam, então os parâmetros estimados L e r estão ε- próximos dos valores L e r, respectivamente. A hipótese (A2 não pode ser demonstrada facilmente para o algoritmo proposto, porém pode-se facilmente verificar, após a convergência do processo de estimação, a sincronização C entre as saídas do modelo e do sistema real. 5 Resultados 5. Estimação dos parâmetros usando medidas obtidas por simulação computacional O processo de estimação desacoplado, baseado na técnica de sensibilidade de trajetória, foi aplicado ao circuito de Chua usando medidas obtidas por simulação. As tabelas 2 e 3 apresentam os resultados de convergência do algoritmo de estimação, nas etapas I, II e III, para a máxima alteração positiva e negativa nos parâmetros iniciais. Tabela 2: Estimação dos parâmetros do circuito de Chua simulado - alteração positiva dos parâmetros. C nf 5nF % 7.8nF 56% R 36Ω 8Ω % 799.6Ω.2% C2 2nF nf % 2.9nF 2.9% R 799.6Ω 8Ω 8.3Ω.2% L 26mH 3mH % 2.96mH.3% r 2Ω Ω %.3Ω.3% Tabela 3: Estimação dos parâmetros do circuito de Chua simulado - alteração negativa dos parâmetros. C 4.55nF 5nF -9% 7.75nF 55% R 638Ω 8Ω -9% 8Ω % C2 3 nf nf -97% 2.8nF 2.8% R 8Ω 8Ω 8Ω % L.3mH 3mH -99% 2.98mH.5% r.ω Ω -99%.5Ω.5% Em ambas as tabelas, 2 e 3, observa-se que o parâmetro estimado C apresenta um erro de aproximadamente 55%, tal constatação implicaria que mesmo com hipótese (A2 satisfeita, ou seja, 9

7 com a convergência do algoritmo e a respectiva sincronização C entre as saídas do modelo e do sistema real, a hipótese (A não é válida. Porém, ao observar a constante de tempo do circuito de Chua τ = RC = 8Ω 5nF = 9 6 s, verifica-se que a mesma é menor que o passo de amostragem utilizado na obtenção das medidas ( t = 5 s, resultando em subamostragem da dinâmica do sistema. Utilizado, então, um passo de amostragem menor igual a ( t = 5 7, observa-se que a metodologia pode ser aplicada com sucesso, como ratificam os resultados apresentados nas tabelas 4 e 5. Tabela 4: Estimação dos parâmetros do circuito de Chua simulado com nova amostragem - alteração positiva. C nf 5nF % 5.2nF 4% R 36Ω 8Ω % 799Ω.5% C2 2nF nf %.6nF.6% R 799Ω 8Ω 799Ω.5% L 26mH 3mH % 3.2mH.5% r 2Ω Ω %.2Ω.2% Tabela 5: Estimação dos parâmetros do circuito de Chua simulado com nova amostragem - alteração negativa. C 4.55nF 5nF -9% 5.nF 2% R 638Ω 8Ω -9 % 799.6Ω.2% C2 3nF nf -97%.5nF.5% R 799.6Ω 8Ω 799.4Ω.3% L.3mH 3mH -99% 3.3mH.23% r Ω Ω -99%.2Ω.2% A figura mostra o erro entre as saídas x e x (tensões nos capacitores C e C respectivamente. A sincronização C ocorre após convergência do algoritmo de estimação na etapa I, comprovando que os parâmetros foram estimados de forma satisfatória mesmo em situações em que os valores iniciais dos parâmetros do modelo estavam distantes dos valores verdadeiros. Tal resultado também foi observado nas etapas II e III do algoritmo proposto. 5.2 Estimação dos parâmetros do circuito de Chua usando medidas reais Com a experiência adquirida da estimação de parâmetros a partir de dados simulados, a metodologia foi, agora, aplicada com os dados obtidos do circuito de Chua construído em laboratório. Ressalta-se, porém, que a principal dificuldade da estimação de parâmetros utilizando medidas reais em relação as simuladas é a presença de ruído nas medidas, o que faz o processo divergir quando os valores iniciais estão distantes dos valores verdadeiros. Para contornar este problema foi utilizado um filtro Chebyshev analógico, passa baixa, de primeira ordem com frequência de corte obtido para L = 3mH e C2 = nf: f c = 2π 5kHz (27 LC2 A frequência de corte do filtro utilizado foi calculada com o objetivo de eliminar ruídos de alta frequência, porém, conservando a banda ressonante do circuito de Chua, evitando assim que sua resposta temporal fosse prejudicada pela presença do filtro. Os resultados do processo de estimação desacoplado de parâmetros utilizando medidas reais estão apresentados nas tabelas 6 e 7. Tabela 6: Estimação dos parâmetros do circuito de Chua real - alteração positiva dos parâmetros. C nf 5nF % 8.nF 62% R 36Ω 8Ω % 75Ω 2.78% C2 2nF nf % 84nF 6% R 75Ω 8Ω 8Ω.6% L 26mH 3mH % 3.6mH 4.6% r 2Ω Ω % 9.3Ω 7% Tabela 7: Estimação dos parâmetros do circuito de Chua real - alteração negativa dos parâmetros. C 4.55nF 5nF -7% 8.nF 62% R 638 Ω 8Ω -7% 75Ω 2.78% C2 3nF nf -5% 8nF 8.9% R 75 Ω 8Ω 8Ω.6% L.9mH 3mH -93% 3.6mH 4.6% r.ω Ω -93% 9.3Ω 7% Figura : Logaritmo do erro e = x x (diferença entre a tensão nos capacitores C e C respectivamente versus número de iterações, na etapa I do processo de estimação para a maior variação das condições iniciais dos parâmetros na tabela 4, utilizando medidas simuladas. Na figura 2, verifica-seoerroentreasaída x e x ao final da etapa I do processo de estimação desacoplado. A saída x do modelo C -sincroniza com a saída x do sistema real, o que comprova a validade da hipótese (A2 para o algoritmo de estimação de parâmetros proposto. Tal resultado também pode ser verificado ao final das etapas II e III, para as saídas x 2 e x 3 do modelo e as respectivas saídas do sistema real. Pode-se observar nas tabelas tabelas 6 e 7, que o parâmetro estimado C apresentou um 9

8 O processo de estimação de parâmetros desacoplado, baseado na metodologia de sensibilidade de trajetória, foi aplicado na estimação de parâmetros do sistema caótico de Chua. Os resultados mostram a eficácia da aplicação da metodologia para este objetivo, mesmo quando as estimativas iniciais estão distantes dos valores verdadeiros. Foi demonstrado, sob a hipótese de que a convergência do algoritmo proposto implica na sincronização C entre as saídas do sistema real e do modelo, que o processo desacoplado de estimação de parâmetros conduz a estimativas ε-próximas aos valores verdadeiros dos parâmetros. A metodologia foi testada utilizando medidas simulados por computador e também medidas reais obtidas em um circuito de Chua construído em laboratório. Os principais problemas com a utilização de medidas reais estão relacionados à presença de ruídos nas mesmas e também à subamostragem da resposta temporal. Estes problemas foram contornados usando um filtro Chebyshev analógico de primeira ordem com frequência de corte f = 5kHz, para eliminar os ruídos presentes nas medidas, e aumentando a frequência de amostragem na obtenção das medidas. Com isso atesta-se a eficácia do processo desacoplado de estimação de parâmetros proposto para o sistema caótico de Chua. Agradecimento Figura 2: Logaritmo do erro e = x x (diferença entre a tensão nos capacitores C e C respectivamente versus número de iterações, na etapa I do processo de estimação para a maior variação das condições iniciais dos parâmetros na tabela 6, utilizando medidas reais. erro de aproximadamente 62%, quando da utilização de um passo de amostragem igual a t = 5 s, o que caracteriza a subamostragem da dinâmica do sistema e ratifica o resultado obtido com dados simulados. Porém, diferentemente do realizado anteriormente para as medidas simuladas por computador, não foi possível diminuir o passo de amostragem uma vez que a frequência de amostragem necessária para a correção do processo seria igual a f = 2MHZ ( t = 5 7, devido a limitações de hardware da placa de aquisição de dados utilizada, mas afirma-se, com base nos resultados obtidos com medidas simuladas, que o processo de estimação conduz aos parâmetros corretos, desde que a dinâmica seja corretamente reproduzida na série de medidas aquisitadas. 6 Conclusões Ao Prof. Dr. Ruy Barboza por seu inestimável auxílio na construção do circuito de Chua em laboratório, à FAPESP e ao CNPq pelo auxílio financeiro dado a esta pesquisa. Referências Cari, E. P. T. (29. Metodologia de estimação de parâmetros de sistemas dinâmicos não-lineares com aplicação em geradores síncronos, Tese de doutorado, Universidade de São Paulo, Escola de engenharia de São Carlos. Cari, E. P. T., Theodoro, E. A. R., Mijolaro, A. P., Bretas, N. G. e Alberto, L. F. C. (29. Trajectory sensitivity method and master-slave synchronization to estimate parameters of nonlinear systems, Mathematical Problems in Engineering 29: 4 pgs. Chua, L., Wu, C., Huang, A. e Zhong, G.-Q. (993. Universal circuit for studing and generating chaos - part i: Routes to chaos, IEEE Transaction on Circuits and Systems Part I: Regular Papers 4(: Eisencraft, M. (2. Sistemas de Comunicação Utilizando Sinais Caóticos, Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2. Kennedy, M. P. (992. Robust op amp realization of chua s circuit, Frequenz 46: Maitra, A., Gaikwad, A., Zhang, P., Ingram, M., Mercado, D. L. e Woitt, W. D. (26. Using system disturbance measurement data to develop improved load models, IEEE PES Power Systems Conference & Exhibition pp Matsumoto, T., Chua, L. e Ayaki, K. (988. Reality of chaos in the double scroll circuit: A computerassisted proof, IEEE Transaction on Circuits and Systems 35(7: Rodrigues, G. G. (996. Identificação de sistemas dinâmicos não-lineares utilizando modelos NAR- MAX polinomiais - Aplicação a sistemas reais, Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais, Minas Gerais, 996. Visconti, I. F., Souza, L. F. W., Costa, J. M. S. C. e Sobrinho, N. R. B. (2. Modelagem de carga para estudos dinâmicos com uma abordagem de indentificação de sistemas, XVIII Congresso Brasileiro de Automática pp Xie, C. e Xu, Y. (2. Chaos control and synchronization of a new chaotic system, International Workshop on Chaos-Fractal Theory and its Applications pp