Samuel Sonego Zimmermann

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA Samuel Sonego Zimmermann ANÁLISE QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES AUTÔNOMAS A UMA E DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES Santa Maria, RS 2016

2 Samuel Sonego Zimmermann ANÁLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAÇÕES NÃO- LINEARES AUTÔNOMAS A UMA E DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Matemática Licenciatura, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática. Orientadora: Profª. Drª. Sandra Eliza Vielmo Santa Maria, RS 2016

3 2 Samuel Sonego Zimmermann ANÁLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAÇÕES NÃO- LINEARES AUTÔNOMAS A UMA E DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Matemática Licenciatura, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática. Aprovado em 05 de julho de 2016: Sandra Eliza Vielmo, Dra. (UFSM) (Presidente/Orientadora) Karine Faverzani Magnago, Dra. (UFSM) Rosemaira Dalcin Copetti, Dra. (UFSM) Santa Maria, RS 2016

4 3 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, pela saúde e pela vida. Aos meus pais Sadi Martin e Josete Maria, aos meus irmãos Estevan e Elisa por passarmos juntos os momentos bons e momentos ruins, pelo apoio e incentivo sempre nos estudos. A minha avó Nadir por todo apoio e ajuda nas horas de necessidade, aquele amor de avó. Minha namorada Denise, ao carinho, incentivos, que possamos realizar todos nossos projetos futuros e esse já é um. E finalmente e não menos importante professora Sandra, pelas orientações, preocupações, paciência, contribuições e ensinamentos durante toda a construção deste caminho que muitas vezes não foram fáceis, na realização deste trabalho.

5 4 RESUMO ANÁLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAÇÕES NÃO- LINEARES AUTÔNOMAS A UMA E DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES AUTOROR: SAMUEL SONEGO ZIMMERMANN ORIENTADORA: SANDRA ELIZA VIELMO Este trabalho tem por objetivo analisar quantitativa e qualitativamente alguns modelos de dinâmica populacional. Inicialmente foi analisado o modelo de Malthus e, a partir deste, as alterações propostas por Verhulst, quando da obtenção do modelo logístico. Posteriormente, estes modelos foram estendidos a modelos que descrevem interação entre duas espécies, descritos pelos sistemas predador-presa e espécies em competição pelo mesmo alimento. Para uma efetiva compreensão destes sistemas sob o ponto de vista qualitativo e quantitativo, foram revistas as teorias relacionadas a sistemas autônomos lineares quanto à classificação de suas soluções de equilíbrio e comportamento das soluções associadas. Ainda, foi abordado o processo de linearização de sistemas não-lineares, de modo a compreender o comportamento das soluções nas vizinhanças das soluções de equilíbrio. Para a realização da análise qualitativa foi utilizado os softwares GeoGebra e WxMaxima, os quais foram fundamentais para observar o comportamento geométrico das soluções e comparação com o comportamento algébrico ou quantitativo das mesmas. Acredita-se que o desenvolvimento deste trabalho de conclusão de curso proporcionou amadurecimento acadêmico ao aluno e que poderá auxiliá-lo na definição de novos caminhos a seguir em sua trajetória profissional. Palavras-chaves: Equações Autônomas. Modelos de Crescimento Populacional. Análises Qualitativa e Quantitativa.

6 5 ABSTRACT QUANTITATIVE AND QUALITATIVE ANALYSIS OF NONLINEAR AUTONOMOUS EQUATIONS A ONE AND TWO VARIABLE DEPENDENT AUTHOR: SAMUEL SONEGO ZIMMERMANN ADVISOR: SANDRA ELIZA VIELMO This work aims to analyze quantitative and qualitatively some models of population dynamics. Initially it was analyzed the model of Malthus and, from this, the changes proposed by Verhulst, when obtaining from the logistic model. Subsequently, these models were extended to models that describe the interaction between two species, described by the systems predator-prey and species competition for the same food. For an effective understanding of these systems from the point of view of qualitative and quantitative, were reviewed theories related to autonomous systems, linear as to the classification of solutions of equilibrium and the behavior of the associated solutions. Still, it was discussed the process of linearization of systems, non-linear, in order to understand the behavior of the solutions in the vicinity of the solutions of the balance. For the realization of the qualitative analysis was used the software GeoGebra and WxMaxima, which were fundamental to observe the behavior of geometric solutions and comparison with the behavior of algebraic or quantitative of the same. It is believed that the development of this work of conclusion of course gave maturing the academic to the student and who can assist you in the definition of new paths to follow in their professional career. Keywords: Equations Autonomous. Models of Population Growth. Analyses Qualitative and Quantitative.

7 6 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO EQUAÇÕES AUTÔNOMAS A UMA VARIÁVEL DEPENDENTE MODELO DE MALTHUS MODELO DE VERHULST EQUAÇÕES AUTÔNOMAS A DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES SISTEMAS AUTÔNOMOS LINEARES SISTEMAS AUTÔNOMOS NÃO-LINEARES MODELO PREDADOR-PRESA MODELO DE ESPÉCIES EM COMPETIÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 39

8 7 1 INTRODUÇÃO Ao cursar a disciplina Métodos Matemáticos do Curso de Matemática Licenciatura no ano de 2014, algumas equações diferenciais ordinárias (EDO), como as equações de Malthus e Logística, proposta por Verhulst, despertaram meu interesse. Como o objetivo desta disciplina é estudar métodos analíticos e numéricos, de modo que ao final da mesma o aluno seja capaz de aplicá-los na resolução de fenômenos relacionados a diversas áreas do conhecimento e do cotidiano modelados matematicamente, ao final da disciplina foi proposta a elaboração e desenvolvimento de um projeto de Modelagem Matemática, com tema a ser escolhido pelos acadêmicos individualmente ou em grupos. Para a resolução do problema proposto, os acadêmicos deveriam utilizar os conhecimentos sobre EDO, métodos numéricos e recursos tecnológicos, adquiridos ao longo da disciplina. A partir do lançamento da proposta, por ser uma área que me interessa, procurei o Laboratório de Melhoramento Animal do Centro de Ciências Rurais (CCR), onde obtive dados relativos ao crescimento de búfalos. A partir destas informações, formulei o problema a ser pesquisado e ajustei os dados através de dois modelos: Logístico e Gompertz, onde para a resolução e comparação destes modelos foi utilizado o método dos mínimos quadrados e o software GeoGebra. Esta disciplina despertou em mim uma maior curiosidade quanto a modelos de crescimento populacional e assim, no primeiro semestre de 2015 me matriculei na Disciplina Complementar de Graduação (DCG) Sistemas Dinâmicos. A partir do desenvolvimento dos conteúdos desta disciplina, particularmente a análise qualitativa se mostrou interessante e, a partir destas duas disciplinas, surgiu a proposta do tema deste Trabalho de Conclusão de Curso. Além disso, através desta pesquisa e aprofundamento de meus conhecimentos relacionados às equações diferenciais ordinárias, tenho a pretensão de posteriormente ingressar em um programa de pós-graduação. A pesquisa desenvolvida neste trabalho é considerada exploratória e de natureza bibliográfica, pois tem o objetivo de gerar conhecimento através de bibliografias relacionado a um tema específico. No aspecto quantitativo, o interesse é obter as soluções analíticas da equação diferencial ou sistema de equações diferenciais localmente lineares, via autovalores e autovetores. Em relação ao aspecto qualitativo será analisado o comportamento das soluções, considerando seu campo de direções e retrato de fase (ou plano de fase), utilizando os softwares Wxmaxima e GeoGebra.

9 8 No decorrer do Curso de Matemática é apresentada uma série de modelos matemáticos ao acadêmico, porém nem sempre é realmente compreendido seu significado. Segundo Bassanezi (2010) chamaremos simplesmente de Modelo Matemático um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam o objeto estudado. Cada autor se aventura a dar uma definição de modelo matemático. Por exemplo, para McLone um modelo matemático é um construto matemático abstrato, simplificado que representa uma parte da realidade com algum objetivo particular. (BASSANEZI, 2010, p. 20) Ou seja, um modelo matemático proporciona a compreensão e controle de um problema associado a realidade. Ainda, em Souza (2012) O estudo de um modelo visa a melhor compreensão da variação do número de indivíduos de uma determinada população e também, dos fatores que a influenciam em tais variações. Para isso, é necessário o conhecimento das taxas em que se verificam perdas e ganhos de indivíduos e identificar os processos que regulam a variação da população. (SOUZA, 2012, p. 15) A partir destas considerações, este trabalho apresenta o seguinte problema de pesquisa: Compreensão qualitativa e quantitativa dos modelos de interação predador-presa e espécies em competição, oriundos dos modelos de Malthus e Verhulst, respectivamente. A fim de responder a problemática proposta, esta pesquisa objetiva analisar quantitativa e qualitativamente o comportamento das soluções dos modelos originados dos modelos de Malthus ou Logístico, associados a uma e duas variáveis dependentes. E, para atingir este objetivo são propostos os seguintes objetivos específicos: Analisar o comportamento quantitativo e qualitativo dos modelos de Malthus e Logístico a uma variável dependente; Revisar o comportamento quantitativo e qualitativo de sistemas lineares a duas variáveis dependentes, vistos anteriormente nas duas disciplinas citadas; Revisar o comportamento qualitativo de sistemas não-lineares a duas variáveis dependentes, através do processo de linearização, visto anteriormente na disciplina Sistemas Dinâmicos; Analisar qualitativamente as soluções dos modelos predador-presa e espécies em competição, cujas formulações são oriundas dos modelos de Malthus e de Verhulst, respectivamente, utilizando os softwares GeoGebra e Wxmáxima.

10 9 Quanto a estrutura deste trabalho, o presente capítulo apresenta o problema de pesquisa, objetivos geral e específicos, bem como justificativa para a escolha do tema. O capítulo 2 apresenta uma análise dos modelos de Malthus e de Verhulst, sob os pontos de vista qualitativo e quantitativo, de modo a compreendê-los e introduzir os modelos de equações autônomas originárias destes dois modelos. No capítulo 3, inicialmente é realizada uma revisão da teoria associada a sistemas lineares e também o processo de linearização associado aos sistemas autônomos não-lineares. Posteriormente, os dois modelos de equações autônomas predador-presa e espécies em competição são analisados. O capítulo 4 apresenta as considerações finais referentes a esta pesquisa. Finalizando são apresentadas as referências bibliográficas utilizadas neste trabalho.

11 10 2 EQUAÇÕES AUTÔNOMAS A UMA VARIÁVEL DEPENDENTE Neste capítulo, são consideradas as análises quantitativas e qualitativas de dois modelos matemáticos de crescimento populacional, o modelo de Malthus e de Verhulst. 2.1 MODELO DE MALTHUS Segundo Bassanezi e Ferreira Jr (1988), o economista e demógrafo inglês Thomas Robert Malthus ( ) foi responsável por propor um modelo de crescimento mundial em seu trabalho conhecido como An Essay on the Principle of Populacional as it Affects the Future Improvement of Society, publicado anonimamente em 1798, cujo modelo estabelecia que o crescimento populacional se daria segundo uma progressão geométrica, enquanto a produção de alimentos em progressão aritmética. Para descrever este modelo, seja a população total de um país num instante. Num intervalo, a Lei de Malthus pressupõe que os nascimentos e as mortes sejam proporcionais ao tamanho da população e ao tamanho do intervalo, ou seja, o número de nascimentos é dado por e o número de mortes por, onde e são os coeficientes de natalidade e mortalidade, respectivamente. Assim, Ou, Denotando, tem-se: Ou seja, a taxa de variação de uma população é proporcional à população em cada instante de tempo, cuja constante de proporcionalidade a é chamada taxa de crescimento ou declínio, dependendo se é positiva ou negativa. Para resolver analiticamente a equação (1), escreve-se na forma separável,

12 11 cuja solução é dada por: onde é uma condição inicial. A fim de realizar uma análise qualitativa da solução (2), observa-se que se não haverá crescimento da população, se mantendo constante, e, no caso de, a população irá crescer ou decrescer exponencialmente ao longo do tempo. Na Figura 1 podem ser visualizadas algumas soluções (2), para alguns valores iniciais. Figura 1 Soluções para. Fonte: Gerado pelo autor no GeoGebra. Segundo Bassanezi e Ferreira Jr (1988), o modelo malthusiano acabou não se revelando eficiente para estimavas em países desenvolvidos, porém sua previsão continuou influenciando o pensamento econômico durante muito tempo. A lei de Malthus se mostrou mais adequada na estimativa de população em curto prazo em países em desenvolvimento, além de se mostrar apropriada para certas populações de microrganismos em períodos limitados de tempo. No entanto, o modelo malthusiano falha pelo fato de prever crescimentos populacionais cada vez maiores, o que não representa a realidade. Ainda, segundo Boyce e Diprima (2010) a lei de Malthus é: Razoavelmente precisa para muitas populações, pelo menos por períodos limitados de tempo. Entretanto, é claro que tais condições ideais não podem continuar

13 12 indefinidamente; alguma hora urn fator como limitações de espaço, suprimento de comida ou de outros recursos reduzirá a taxa de crescimento e terminará com o crescimento exponencial ilimitado (BOYCE, DIPRIMA, 2010, p. 60). Para Malthus fatores como fome, condições sanitárias, guerras, situação de moradia e poluição ambiental afetariam o crescimento da população, como um mecanismo que manteria a população em um nível aceitável. Desta forma, por volta de 1840, o matemático biólogo belga Pierre François Verhulst ( ) propôs uma adaptação ao modelo de Malthus, supondo que a população de certa espécie, vivendo num determinado meio, atinja um limite máximo sustentável, cujo modelo será descrito na próxima seção. 2.2 MODELO DE VERHULST Para considerar o fato que a taxa de crescimento depende efetivamente da população, a o biólogo Verhulst propôs o seguinte modelo: A constante a é chamada taxa de crescimento intrínseca, ou seja, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador e a constante b cumpre o papel de inibidor do crescimento, associado a fatores como limitações de espaço, suprimento de comida, etc, sugeridas por Malthus. A equação não-linear autônoma (3) é chamada Equação Logística. Analiticamente é uma equação diferencial separável: Utilizando a decomposição em frações parciais, obtém-se: onde as constantes A e B são determinadas através da relação

14 13 Ou seja,, resultando em e. Substituindo A e B em (4), integrando e usando propriedades de logaritmos, obtém-se: * + Assim, Considerando o valor inicial, em (5), obtém-se Substituindo (6) em (5) e efetuando algumas manipulações algébricas, tem-se a solução analítica da equação diferencial (3): Observa-se que, no caso particular de, a solução (7) se reduz a solução (2). Para a equação (3) é possível encontrar soluções tais que para todo. Ou seja, as soluções constantes da equação (3), chamadas soluções de equilíbrio, são aquelas que satisfazem a equação algébrica: Assim, as soluções constantes são e, chamados pontos críticos da equação algébrica (8) ou soluções de equilíbrio da equação diferencial (3). Para visualizar o comportamento de outras soluções da equação (3) será considerada a análise gráfica da função quadrática associada à equação (8), cujo ponto de vértice é. Observa-se que os zeros de f são as soluções de equilíbrio e

15 14 da equação (3). Além disso, para, ocorre e portanto x é uma função crescente nesse intervalo, indicado na Figura 2 pelas setas apontando para a direita. Analogamente, para, e x é decrescente, como indicado pela seta apontada para a esquerda na Figura 2. Figura 2 Plano de fase de. Fonte: Gerado pelo autor no GeoGebra. Assim, com base nesta analise gráfica e dependendo da condição inicial existem três casos a considerar: 1º caso: Para as soluções são crescentes e possuem um ponto de inflexão em, tendo como valor limite. 2º caso: Para as soluções são crescentes, não apresentam ponto de inflexão e tendem ao valor máximo. 3º caso: Para, as soluções são decrescentes, não apresentam ponto de inflexão e tendem para. Os gráficos de algumas das soluções da equação (3), considerando algumas condições iniciais que satisfazem os três casos anteriores, são mostradas na Figura 3.

16 15 Figura 3 - Algumas soluções para equação diferencial (3). Fonte: Gerado pelo autor no GeoGebra.

17 16 3 EQUAÇÕES AUTÔNOMAS A DUAS VARIÁVEIS DEPENDENTES Neste capitulo são discutidos alguns modelos matemáticos de equações autônomas não-lineares a duas variáveis dependentes, os quais são oriundos dos modelos de Malthus e Verhulst. Inicialmente é apresentada de forma resumida a teoria quantitativa e qualitativa associada aos sistemas autônomos lineares, para posteriormente descrever o processo de linearização de um sistema não-linear. Na sequência do capítulo, são analisados os modelos predador-presa e espécies em competição. 3.1 SISTEMAS AUTÔNOMOS LINEARES Um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem é da forma: { Considerando como componentes de um vetor, componentes de um vetor e elementos de uma matriz de ordem, tem-se a equação matricial: Se o sistema (9) ou (10) é chamado sistema linear homogêneo. Caso contrário, é chamado não-homogêneo. Além disso, um vetor é uma solução de (9) ou (10) se suas componentes satisfazem cada uma das equações do sistema. Ainda, o sistema (9) ou (10) será um sistema autônomo se a matriz for uma matriz constante, isto é,. Assim, para dar continuidade ao trabalho de pesquisa e realizar a classificação das soluções de equilíbrio de (9) ou (10), será considerado um sistema linear autônomo homogêneo a duas variáveis, na forma:

18 17 onde ( ) e As soluções de equilíbrio do sistema (11) são os pontos para os quais as derivadas se anulam, ou seja: { Se, a única solução de equilíbrio do sistema (11) ou (12) é a origem, isto é,. Para considerar as análises quantitativa e qualitativa da solução de equilíbrio do sistema (11) ou (12), há necessidade de observar as situações possíveis para as raízes do polinômio característico associado a matriz A, que corresponde a um polinômio quadrático cujas raízes são os autovalores e Quanto a análise quantitativa, de acordo com a seção 9.1 de Boyce e Diprima (2010), as soluções gerais do sistema (11) ou (12) podem ser resumidas no Quadro 1, dependendo das características dos autovalores e Quadro 1 Análise quantitativa das soluções do sistema (11) ou (12). (continua) Autovalores e Solução Geral Autovalores reais e distintos de mesmo sinal Autovalores reais com sinais opostos Autovalores iguais (, onde e são autovetores associados aos autovalores e, respectivamente. 1º), onde e são autovetores linearmente independentes.

19 18 2º), onde v é o autovetor e u é o autovetor generalizado associado ao autovalor repetido. Autovalores Complexos ( Imaginários Puro (, onde e, com autovetor complexo associado. ). Fonte: Autor. Em relação a análise qualitativa, o Quadro 2 mostra as possíveis situações quanto ao discriminante ser positivo, zero ou negativo, a natureza das soluções de equilíbrio e respectivas órbitas. Particularmente, na última coluna deste quadro são apresentadas oito situações relativas a estabilidade ser instável, estável ou assintoticamente estável. Uma demonstração detalhada destas situações pode ser obtido em Bassanezi e Ferreira Jr (1988) ou Boyce e Diprima (2010).

20 19 Quadro 2 Natureza e estabilidade das soluções de equilíbrio do sistema (11). Fonte: BASSANEZI, FERREIRA JR., 1988, p SISTEMAS AUTÔNOMOS NÃO-LINEARES Nesta seção é abordado o processo de linearização de um sistema autônomo nãolinear, de forma a ser possível visualizar seu comportamento qualitativa de maneira análoga ao comportamento de sistemas lineares nas vizinhanças das soluções de equilíbrio. Seja o sistema autônomo não-linear { crítico O sistema (13) vai ser localmente linear em uma vizinhança próxima de um ponto, se as funções F e G tiverem derivadas parciais continuas até a segunda ordem.

21 20 De fato, usando a expansão em série de Taylor para as funções F e G em termos de tem-se: onde tende a zero, quando tende a Analogamente para. Ainda, como,, e, substituindo (14) em (13), tem-se: ( * ( ) ( * ( * Considerando ( ) ( ) ( ), ( ) e ( ), tem-se a forma matricial: Assim, se F e G forem funções diferenciáveis até segunda ordem, o sistema (13) será localmente linear e aproximado pela parte linear do sistema (15) ou (16) nas vizinhanças de, ou seja, ( ) ( ) ( ) onde a matriz ( ) é chamada matriz Jacobiana de F e G aplicada na solução de equilíbrio. A equação (17) fornece um método simples e geral para obter o sistema linear correspondente a um sistema localmente linear nas vizinhanças da solução de equilíbrio. É necessário considerar que, de modo que esta solução seja também uma solução de equilíbrio isolada do sistema não-linear (13).

22 MODELO PREDADOR-PRESA A partir das equações de Malthus e supondo duas espécies x e y, que representam predador e presa, respectivamente, seus crescimentos populacionais podem ser descritos pelas equações: Observa-se que o sinal negativo junto ao parâmetro a na equação (19) ocorre devido ao predador alimentar-se apenas desta presa e, na falta deste alimento, o predador tenderá a extinção. Acrescentando os termos e, que significam a possibilidade de interação entre as duas espécies, nas equações (19) e (20), respectivamente, tem-se o sistema autônomo não-linear: { Observa-se que o sinal positivo junto ao parâmetro e na primeira equação, significa que com a interação entre as duas espécies, a população do predador aumentará. Analogamente, o sinal negativo junto ao parâmetro f na segunda equação, significa que a população de presas diminuirá. As equações do sistema (21) são chamadas equações Predador-Presa ou equações de Lotka-Volterra, devido ao biofísico Alfred J. Lotka ( )e o matemático Vito Volterra ( ). A fim de realizar uma análise qualitativa das soluções do sistema (21), este será escrito da seguinte forma: { As soluções das equações algébricas:

23 22 { são as soluções de equilíbrio do sistema (21), mostrados no Quadro 3. Quadro 3 Soluções de equilíbrio do sistema (21). Condições em (22) Soluções de equilíbrio de (21) ( * Fonte: Autor. Para classificar estas soluções de equilíbrio quanto à estabilidade, é calculada a matriz Jacobiana em cada ponto e observada a sua classificação conforme Quadro 3, da seção 3.1. Observa-se que para o sistema predador-presa é possível utilizar a linearização indicada nesta seção, pois as funções F e G são diferenciáveis até segunda ordem e para qualquer ponto a matriz Jacobiana associada ao sistema (21) é ( * Assim, aplicando na solução de equilíbrio tem-se ( ) Logo, os autovalores associados a esta matriz são e e como e, então e. Logo, pela classificação do Quadro 3, a solução de equilíbrio é um ponto de sela. Analogamente, para a solução de equilíbrio ( ), segue que:

24 23 ( * ( ) Os autovalores desta matriz são os imaginários puros e e pela classificação do Quadro 3, a solução de equilíbrio é um centro, cujas trajetórias são elipses. De fato, considerando a mudança de variável proposta no sistema (16), tem-se: ou Em consequência, que corresponde a equação reduzida de uma elipse, para qualquer k positivo. Voltando ao sistema não-linear (21), este pode ser reduzido à equação diferencial que é separável e tem a solução implícita onde k é uma constante de integração. Na equação (23) as variáveis x e y não podem ser explicitadas em termos de funções elementares, sendo possível apenas ser visualizado no espaço tridimensional, que não é o objetivo central deste trabalho. A seguir será considerado um sistema predador-presa em particular, para ilustrar as análises quantitativa e qualitativa associadas a este tipo de interação entre duas espécies.

25 24 Seja o sistema: { As solução de equilíbrio são e e na Figura 3(a) pode ser visualizado o campo de direções e algumas soluções do sistema (24), cujas trajetórias se assemelham a uma elipse, onde a solução de equilíbrio é um centro. Na Figura 3(b) é apresentado um par de soluções, com condição inicial Percebe-se que as populações oscilam ao longo do tempo, característica de soluções analíticas que envolvem combinações lineares das funções trigonométricas seno e cosseno, mostrando uma tendência ao equilíbrio entre as espécies. Destaca-se que para a construção das figuras no WxMaxima e maior compreensão dos sistemas dinâmicos, utilizou-se a referência Villate (2007). Figura 4 Campo de direções e um par de soluções do sistema (24). (a) Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima. (b)

26 MODELO DE ESPÉCIES EM COMPETIÇÃO A partir do modelo logístico descrito na seção 2.2 e supondo duas espécies x e y que se alimentam da mesma fonte, seus crescimentos serão descritos pelas equações logísticas: Agora, havendo a possibilidade de interação entre as duas espécies, deverão ser considerados os termos, nas equações (25) e (26), respectivamente, obtendo: { Observa-se que os sinais negativos junto aos parâmetros e e f se justificam, pois como as duas espécies se alimentam da mesma fonte, a tendência é que ocorra uma diminuição das respectivas populações. O sistema (27) é chamado Espécies em Competição. Segundo Bassanezi e Ferreira Jr (1988) este sistema de equações diferenciais não tem necessariamente uma solução analítica. Por isso, um estudo qualitativo das soluções é imprescindível. A fim de realizar esta análise, o sistema (27) será reescrito da seguinte forma: { As soluções do sistema algébrico {, são as soluções de equilíbrio do sistema (28), visualizadas no Quadro 4.

27 26 Quadro 4 Soluções de equilíbrio do sistema (28). Condições em (29) Soluções de equilíbrio de (28) ( ) ( ) ( * Fonte: Autor. Analogamente ao modelo predador-presa, o modelo espécie em competição pode ser linearizado conforme descrito na seção 3.1, pois as funções F e G são diferenciáveis até segunda ordem. Nesta situação, a matriz Jacobiana associada a estas funções em qualquer ponto é ( * A seguir serão analisados qualitativamente o comportamento das soluções de equilíbrio descritas no Quadro 4. A solução de equilíbrio será um nó instável, independente dos valores dos parâmetros do sistema (28), pois a matriz Jacobiana associada é: ( ), cujos autovalores são e. Para a análise de ( ), calculando a matriz Jacobiana, tem-se: ( ) ( ) Logo, e.

28 27 Se, implica em e a solução de equilíbrio será um ponto de sela. Caso contrário, se, implica e será um nó assintoticamente estável. Analogamente, para o ponto ( ), a matriz Jacobiana é: ( ) ( ) Logo, e. Se, então e a solução de equilíbrio será um ponto de sela. Caso contrário, se, implica e será um nó assintoticamente estável. Para o ponto ( ), que é o ponto de intersecção das retas e, com coeficientes angulares e, a análise será subdividida em dois momentos, onde no primeiro será considerado segundo momento será considerado pertencente aos demais quadrantes. e no No Quadro 5 são apresentadas as duas situações possíveis quanto a posição relativas das retas e e respectivas análises, para. Observa-se que em cada uma das visualizações gráficas também estão representadas as três soluções de equilíbrio, ( ) e ( ), analisadas anteriormente.

29 28 Quadro 5 Posições relativas das retas com ponto de intersecção. Posições relativas Considerações Nesta situação observa-se que: (eixo x) e (eixo y) A partir destas condições, tem-se. Ou seja, ou ainda. Assim,, implicando a condição: (a) onde os coeficientes b e d se referem ao fator de inibição do crescimento associado a própria espécie e os coeficientes e e f se referem ao fator de inibição do crescimento associado a interação entre as espécies. Como a diferença acima é negativa, considera-se que nesta situação as espécies estão em competição forte. Neste caso, o que ocorre com as espécies x e y? Nesta situação observa-se que: (eixo x) e (eixo y) A partir destas condições, tem-se. Ou seja, ou ainda. Assim,, implicando a condição: (b) Como esta diferença é positiva, considera-se que nesta situação as espécies estão em competição fraca. Neste caso, o que ocorre com as espécies x e y? Fonte: Construído pelo autor com gráficos no GeoGebra.

30 29 A fim de responder o questionamento o que ocorre com as espécies x e y? nas duas situações descritas no Quadro 5, será realizada uma análise do comportamento da solução de equilíbrio ( ), que será denotado por, através da teoria associada a matriz Jacobiana aplicada neste ponto, a saber: Ou ainda, ( * ( * Como, segue: ( * O polinômio característico associado a esta matriz é cujas raízes são e Considerando o discriminante, tem-se dois casos a analisar: 1º Caso: Descrito pela situação do Quadro 5(a), onde. Neste caso, e, ou seja, a solução de equilíbrio é um ponto de sela, conforme classificação do Quadro 2.

31 30 2º Caso: Descrito pela situação do Quadro 5(b), onde. Neste caso, e, ou seja, a solução de equilíbrio é um nó assintoticamente estável, conforme classificação do Quadro 2. O Quadro 6 apresenta um resumo sobre as quatro soluções de equilíbrio,, e quanto as condições sobre os parâmetros do sistema (28), bem como suas naturezas e estabilidade, quando. Quadro 6 Natureza e estabilidade das soluções de equilíbrio de (28), com. Soluções de equilíbrio de (28) Condições Natureza e estabilidade - Nó instável Ponto de sela ( ) Nó assintoticamente estável Ponto de sela ( ) ( * Nó assintoticamente estável Nó assintoticamente estável Ponto de sela Fonte: Autor. De modo geral, o comportamento destas soluções de equilíbrio pode ser visualizado através de controles deslizantes para os seis parâmetros e f no software WxMaxima, com a linha de comando:

32 31 A seguir serão exemplificadas cada uma das duas situações associadas às posições relativa das retas descritas no Quadro 5 e realizadas as análises qualitativa e quantitativa das soluções do sistema. Exemplo 1: Seja o sistema { As soluções de equilíbrio do sistema (30) são e. Na Figura 5 pode ser visualizado o campo de direções associado ao sistema e na Figura 6 o comportamento de algumas soluções do sistema (30), considerando a condição inicial em (a) e em (b). Figura 5 Campo de direções para o sistema (30). Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima.

33 32 Figura 6 Soluções para o sistema (30). (a) Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima. (b) Observa-se que o comportamento das trajetórias na Figura 5 ou 6, tendem para a solução de equilíbrio (0,5;0,5), caracterizando como um nó assintoticamente estável, pois, enquanto que é um nó instável e e são pontos de sela, pois e, respectivamente, conforme Quadro 6. Neste caso, ocorre a coexistência das espécies, tendendo para a solução de equilíbrio. Exemplo 2: Seja o sistema { Os pontos críticos do sistema (31) são e. Na Figura 7, pode ser visualizado o campo de direções associado ao sistema e na Figura 8 o comportamento de algumas soluções sistema (31), considerando a condição inicial em (a) e em (b).

34 33 Figura 7 Campo de direções para o sistema (31). Fonte: Gerada pelo autor no WxMaxima Figura 8 Algumas soluções para o sistema (31). (a) (b) Fonte: Gerado pelo autor no WxMaxima. A Figura 7 representa o campo de direções e a Figura 8 algumas soluções do sistema (31), onde algumas tendem para a solução de equilíbrio e outras para, dependendo das regiões onde são consideradas as condições iniciais. Na Figura 8(a) é mostrada uma solução que tende para, caracterizando a sobrevivência de x e extinção de y. Ao contrário, na Figura 8(b) é mostrada uma solução que tende para, caracterizando a sobrevivência de y e extinção de x. Além disso, observa-se as condições do Quadro 6, onde e, caracterizando que e são nós assintoticamente estáveis e é

35 34 um ponto de sela, pois. Esta última condição estabelece que o produto dos valores de interação entre as espécies é maior que o valor de inibição do próprio crescimento das populações e quando isso ocorre a competição é dita forte. Desta forma, dependendo da condição inicial considerada, uma ou a outra espécie irá sobreviver, mas não ambas. A seguir, será descrita a posição relativa das duas retas e, quando o ponto de intersecção não pertencer ao 1º quadrante. Nesta situação há duas possibilidades, descritas no Quadro 7. Quadro 7 Posições relativas das retas com ponto de intersecção. Posições relativas Considerações 1) 2) (eixo x) e (eixo y) A partir desta situação, tem-se, que analogamente a situação do Quadro 5, implica na condição: (a) Novamente, caracteriza uma situação em que as espécies estão em competição fraca. O que ocorre com as espécies x e y? 1) 2) (eixo x) e (eixo y) A partir desta situação, tem-se, que analogamente a situação anterior, implica na condição: (b) Novamente, caracteriza uma situação em que as espécies estão em competição fraca. O que ocorre com as espécies x e y? Fonte: Construído pelo autor com gráficos no GeoGebra.

36 35 exemplos. A fim de ilustrar as duas situações do Quadro 7, serão considerados os seguintes Exemplo 3: Seja o sistema: { As soluções de equilíbrio de interesse para o sistema (32) são e, visto que. Na Figura 9(a) é apresentado o campo de direções e algumas trajetórias e em (b), o comportamento de uma solução para o sistema (32), considerando Para outras condições iniciais, o comportamento das soluções é análogo ao da solução mostrada. Figura 9 Campo de direções e uma solução para o sistema (32). (a) (b) Fonte: Gerada pelo autor no WxMaxima A Figura 9(a) mostra o campo de direções e algumas trajetórias, onde todas tendem para a solução de equilíbrio, caracterizando a sobrevivência da espécie x e extinção de y. Na Figura 9(b) é mostrada uma solução em particular, que apresenta este mesmo comportamento. Além disso, observa-se as condições do Quadro 6, onde

37 36 e, caracterizam que é um ponto de sela e é um nó assintoticamente estável, como pode ser observado na Figura 9(a). Desta forma, independentemente da condição inicial considerada, a espécie x irá sobreviver e y irá a extinção. Exemplo 4: Seja o sistema: { As soluções de equilíbrio de interesse para o sistema (33) são e, visto que. Na Figura 10(a) é apresentado o campo de direções e algumas trajetórias e em (b), o comportamento de uma solução para o sistema (33), considerando. Para outras condições iniciais, o comportamento das soluções é análogo ao da solução mostrada. Figura 10 Campo de direções e uma solução para o sistema (33). (a) (b) Fonte: Gerada pelo autor no WxMaxima. A Figura 10(a) mostra o campo de direções e algumas trajetórias, onde todas tendem para a solução de equilíbrio, caracterizando a sobrevivência da espécie y e extinção de x. Na Figura 10(b) é mostrada uma solução em particular, que apresenta este

38 37 mesmo comportamento. Além disso, observa-se as condições do Quadro 6, onde e, caracterizam que é um nó assintoticamente estável e é um ponto de sela, como pode ser observado na Figura 10(a). Desta forma, independentemente da condição inicial considerada, a espécie y irá sobreviver e x irá a extinção.

39 38 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Inicialmente, foi analisada a modelagem matemática associada ao crescimento de populações através do modelo de Malthus, onde foram constatadas as limitações do mesmo, pois não descreve satisfatoriamente situações da realidade. Assim, a partir deste modelo foi analisado o modelo proposto por Verhulst, que tenta contornar as dificuldades apresentadas no modelo de Malthus e se mostra um modelo mais realista. Em um segundo momento, foi questionada a influência destes modelos na constituição de modelos de crescimento quando duas espécies estão envolvidas. Assim, a partir do modelo de Malthus tentou-se compreender o comportamento do modelo predador-presa e, analogamente, a partir do modelo de Verhulst, compreender o modelo de espécies em competição. Para a efetiva compreensão destes dois últimos modelos foi necessário retomar a teoria relacionada ao tratamento de sistemas autônomos lineares e não-lineares, de forma a compreender as classificações decorrentes e realizar a análise qualitativa dos sistemas. Quanto aos recursos tecnológicos, destaca-se a importância da utilização dos softwares GeoGeobra e WxMaxima, os quais foram fundamentais na exploração do comportamento das soluções dos respectivos modelos, possibilitando uma integração entre os tratamentos algébrico e geométrico. Quanto aos desdobramentos futuros deste trabalho, há várias possibilidades, como por exemplo analisar o modelo de Verhulst associado ao sistema predador-presa com mais predadores e presas ou o modelo espécies em competição com mais espécies, caracterizados por um sistema de n equações diferenciais autônomas e verificar em quais condições o sistema se tornaria caótico. Este trabalho proporcionou ao acadêmico uma maior compreensão do processo de construção e análise de um modelo autônomo de crescimento populacional, percebendo as limitações de cada um, tanto nos modelos a uma variável dependente, quanto nos modelos associados a um sistema. Além disso, através desta pesquisa e aprofundamento dos conhecimentos relacionados às equações diferenciais ordinárias, o acadêmico tem a pretensão de posteriormente ingressar em um programa de pós-graduação.

40 39 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BASSANEZI, R. C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, BASSANEZI, R. C.; FERREIRA JR.,W. C. Equações Diferenciais com Aplicações. São Paulo: Harbra, BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 9ª Edição. Rio de Janeiro: LTC Editora, SOUZA, I. L. B. Estudo da Dinâmica Populacional do Bicho-Mineiro via Equações Diferenciais Ordinárias, Jequié-BA, Disponível em: < acesso em: 20 out VILLATE, J. E. Introdução aos Sistemas Dinâmicos: uma abordagem prática com Maxima, Versão 1.2, Disponível em: < Acesso em: 20 out