Estudo sobre Modelos Matemáticos em Dinâmica Populacional

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1 Estudo sobre Modelos Matemáticos em Dinâmica Populacional Juliana Fernandes, Fernando Luiz Pio dos Santos Departamento de Bioestatística Universidade Estadual Júlio de Mesquita Filho (UNESP) Botucatu SP - Brasil junbajunkiba@hotmail.com, flpio@ibb.unesp.br Abstract. This work has the goal of study of the classical continuos and discrete mathematical models in population dynamics. In order to obtain a good and a wide analysis to the results in this study, we used the assistance of software of algebraic manipulation MAPLE and MS-Excel, which offer us resources that help in models solution and graphics. We also extended this study in the tumor growth problem. Resumo. Este trabalho tem como objetivo estudar modelos contínuos e discretos em problemas clássicos em dinâmica populacional. Afim de obter uma ampla e boa análise dos resultados neste estudo, nós usamos a assistência do software de manipulação algébrica MAPLE, bem como o MS- Excel, que nos oferecem ferramentas que auxiliam na solução dos modelos e construção de gráficos. Nós também estendemos esse estudo em problemas de crescimento tumoral. 1. Introdução A utilização da matemática para descrever o crescimento populacional começou com o economista inglês Thomas Robert Malthus, com a publicação de sua obra An Essay on the Principle of Population em 1798 [Bassanezi, Rodney. C. ]. Seu modelo propõe uma população homogênea que não sofre inibições do meio, atingindo uma taxa de crescimento exorbitante em um curto período de tempo. Após Malthus, a modelagem matemática evoluiu e sofreu diversas modificações em relação ao crescimento populacional. Em 1838, um novo modelo é proposto pelo sociólogo belga P. F. Verhulst. Em seu modelo a população esta suscetível a sofrer inibições no decorrer de seu crescimento. Estudaremos aqui modelos de tempo contínuo, onde se supõe uma reprodução constante. Concluíremos com um exemplo de modelo discreto que será ajustado pelos modelos contínuos exponencial e polinomial. 2. Modelos Matemáticos Na matemática, tanto no campo contínuo, quanto no discreto, recursos computacionais são importantes para obtenção das soluções analíticas, bem como a numérica, respectivamente. Comparações entre estas duas soluções podem ser feitas, com vistas na explicação, por exemplo, do problema biológico de interesse, no caso aqui, em dinâmica populacional e crescimento de tumores. 2.1 Modelo Exponencial Neste modelo, o crescimento populacional no instante t se dá por 74

2 rt ( t = P0e (1) P ) sendo a população inicial, o termo a função exponencial, e r a taxa de crescimento populacional, se ; decrescimento (ou decaimento), se e constante, se. As Figuras 1 e 2 a seguir ilustram o comportamento deste modelo nos casos de crescimento e decrescimento. r 0 P0 r 0 e rt r 0 (a) População Crescente (b) População Decrescente Figura 1: Modelo exponencial (1). (a) Parâmetros:, ;. (b) Parâmetros:, (decaimento) e. 2.2 Modelo Logístico Aqui o crescimento/decrescimento populacional se dá por (2) P0 sendo que se refere à população inicial, K é o carrying capacity (capacidade do rt meio), e a função exponencial com a taxa de variação do crescimento/decrescimento no tempo t. A Figura 2 abaixo ilustra a variação da populacional seguindo este modelo. r 75

3 Figura 2: Crescimento de uma população no modelo logístico. Dados: Modelos de crescimento tumoral,, e. Entender a dinâmica do crescimento de um tumor pode nos ajudar a desenvolver melhores prognósticos e planos de tratamento para pacientes doentes [Xu,X.]. O modelo matemático de crescimento tumoral ideal, que seja mais próximo da situação-problema real deve ter [Vaidya,V e Alexandro, Jr. F.]: i. Base fisiológica; ii. Proporcionar uma melhor compreensão do tumor em níveis microscópicos e macroscópicos; iii. Deve ser amplo, no sentido em que deve ser aplicado para diferentes pacientes incluindo animais com o mesmo tipo de tumor. Modelo de Von Bertalanffy Na metade do século XX, Ludwing Von Bertalanffy propôs um modelo de tempo contínuo geral de crescimento tumoral. Para os tumores, o tamanho pode ser medido pelo volume, biomassa ou quantidade de células. O volume V (t) do tumor no instante t é calculado aqui por: sendo e constantes. A Figura 3 abaixo descreve a variação do volume do tumor ao longo do tempo, segundo este modelo. (3) 76

4 Figura 3: Crescimento tumoral pelo modelo de Von Bertalanffy. Parâmetros do Modelo de Gompertz modelo: e V0 =100 Em 1825, o matemático inglês Benjamin Gompertz propôs um novo modelo de crescimento tumoral logístico, cujo conceito de carrying capacity tem uma perspectiva diferente da vista anteriormente. Isto é, leva em conta que o ambiente é rico em recursos. Porém, a utilização deste recurso dependerá da localização de cada célula dentro do tumor. Assim, a célula que estiver mais próxima da superfície exterior terá mais acesso ao oxigênio e aos nutrientes (recursos), enquanto as células que estiverem mais ao interior possuíram mais dificuldades de alcançar tais recursos. Em resumo, a equação de Gompertz é motivada pela consideração de crescimento em ambientes que limitam os recursos naturais. Equação (4) abaixo descreve o crescimento/decrescimento do volume V do tumor no instante t segundo Gompertz, cujo gráfico pode ser visto na Figura (4) abaixo.. (4) 77

5 Figura 4: Crescimento tumoral pelo modelo de Gompertz. Parâmetros do modelo: 1 a = 5, b =,. 2 V0 =10 e t = 60 Como comparação, a Figura (5) abaixo mostra o crescimento tumoral, segundo o tamanho do seu volume ao longo do tempo, segundo os modelos de Von Bertalanffy e Gompertz. Figura 5: Comparação entre os gráficos obtidos a partir do modelo de Von Bertalanffy e Gompertz. O uso de modelos auxilia no diagnóstico médico para descrever a evolução do tumor, sendo assim possível para o profissional analisar se o orgão esta seriamente afetado ou se ainda é possível recorrer a tratamentos adequados. O modelo de Gompertz é basicamente empregado em situações de tumores agressivos em que por ora antige um valor máximo que o organismo pode suportar, uma vez que este modelo considera a 78

6 capacidade do meio. De uma forma geral, não há um modelo que seja satisfatório para todos as possíveis situações, depende fortemente da caracteristica do problema estudado. Por exemplo, o modelo de Von Bertalanffy têm apresentado grande empenho em aplicações no crescimento de tumores em ratos [Vaidya,V e Alexandro, Jr. F.]. O importante é ter o amplo conhecimento das características específicas do fenômeno estudado (biológico, físico ou químico, etc.) para a decisão sobre qual o melhor modelo matemático que poderá trazer bons resultados.. Modelo discreto Para não deixar de ilustrar um modelo de tempo discreto, em contrapartida aos modelos de tempo contínuo apresentados anteriormente, foi desenvolvido o estudo abaixo. Tal estudo consiste em, dado a evolução anual de uma certa população P, representar o comportamento desta população, em termos de crescimento ou decrescimento, segundo algum modelo matemático. Na Figura (6) a seguir é possível ver a evolução temporal de P, levando-se em conta os dados da Tabela (1) t (anos) P(t) Tabela 1: População anual de uma certa cidade [2]. O gráfico que representa a Tabela (1) anterior pode ser visto na Figura (6) a seguir. Note neste gráfico que o modelo contínuo polinomial (linha vermelha) é o que melhor se aproximou da curva discreta de P, em comparação com o modelo exponencial (linha preta). 79

7 Figura 6: Evolução no tempo discreto da população P. Linha vermelha é o modelo de ajuste contínuo exponencial da população ao longo do tempo; Linha preta é o modelo contínuo polinomial ajustando o mesmo conjunto de dados. 4. Conclusões 1. Taxa de crescimento negativa, demonstra o decaimento populacional; 2. A população se torna constante após atingir o limite do carrying capacity ; 3. No problema de crescimento tumoral, observa-se que o modelo de Gompertz apresenta um crescimento muito rápido do volume do tumor em um curto período de tempo. O modelo de Bertalanffy apresenta crescimento mais lento, se comparado com o modelo de Gompertz 4. Ambos os modelos de crescimento tumoral levam em conta a capacidade do meio, mantendo-se constante após atingir o limite dessa capacidade; 5. Modelos contínuos podem servir de ajuste a dados discretos. 6. O modelo polinomial de grau 2 forneceu o melhor ajuste para o crescimento populacional discreto, se comparado ao modelo exponencial. 5. Agradecimentos Referências Nós agradecemos ao CNPq/PIBIC-Jr. pelo apoio financeiro. Ludwig, Lewis. D. (2010). Discrete vs. continuous population models. Computational science, University National Science Foundation. Iannelli, M. e Pugliese, A. (2013). Mathematical Biology, notes from the blackboard, Universit`a di Trento; Dipartimento di Matematica, (2013). Bassanezi, Rodney. C. Modelagem Matemática., Minicurso: UFABC, (2013). 80

8 Vaidya, Vinay. G. and Alexandro, Jr. F. J., Evaluation of some mathematical Models for Tumor Growth, Department of Electrical Engineering, University of Washington Seattle, WA (U.S.A.); (Received 21 April, 1981). Xu, X., The Biological Foundation of the Gompertz Model, Shanghai Medical Universify, Shanghai Zoo032 (China)., Int. J. Bio-Medical., Computing, 20 (1987) 35-39, Elsevier Scientific Publishers Ireland Ltd. Mahaffy, J. M.; Chávez- Ross, A. Calculus: A modeling approach for the life sciences. (2004). Da Costa, I. M. Salvador, J.A.; Malagutti, P. L.; Paterlini, R., Furuya, Y. Baldin, Y. Matemática Universitária básica com maple V. Editora da Ufscar. 81