LÓGICA MATEMÁTICA E CONJUNTOS

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA UNEB 1 PROGRAD DCET CAMPUS I SALVADOR CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA LÓGICA MATEMÁTICA E CONJUNTOS Aristóteles (384 a.c. 3 a.c.) Notas de Aula Eron Salvador Ba 011

2 Figura da capa Aristóteles Aristóteles nasceu em Estagira em 384 a.c. e faleceu em Calcis (Eubea), em 3 a.c. Estudou com Platão durante vinte anos e lecionou na Academia que Platão fundou. Depois de viajar por vários países, voltou a Atenas, onde abriu uma escola de Filosofia, que competiu com seriedade com a Academia de seu mestre. Esteve bastante ligado com Alexandre o Grande ( a.c.), de quem havia sido conselheiro, razão pela qual, à morte deste, teve que abandonar Atenas, onde não pode mais ingressar. Aristóteles representa o ponto máximo da ciência e filosofia clássica, nas quais contribuiu como pensador excepcional e como pesquisador audacioso e sistemático. É daí que praticamente todas suas obras estão relacionadas com a ciência da natureza, além da lógica, da metafísica, da ética, da política, da retórica e da poética, algo assim como uma enciclopédia do saber de sua época.

3 APRESENTAÇÃO 3 Este material resume notas de aulas e exercícios de uma Introdução à Lógica Matemática e Conjuntos. Foi desenvolvido para ajudar na aprendizagem dos alunos do curso de Licenciatura em Matemática do projeto PARFOR coordenado pela UNEB do Campus de Salvador. Um dos objetivos é de otimizar o tempo de apresentação e ajudar na interação dos alunos com os conteúdos. Outro objetivo é que tenhamos um material para acompanhar as aulas, e assim, adquirir maior flexibilidade e dinâmica nas mesmas. Resume os seguintes tópicos que formam a ementa da disciplina Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos: Elementos de Lógica Matemática Conjuntos Conjunto dos Números Reais Relações e definição de função Desde já, assumo total responsabilidade por todos os erros que possa conter este material, ainda incompleto, e agradeço a quem indicar as correções, críticas e sugerir melhorias. No final, há uma lista com a bibliografia utilizada para confeccionar este material, você deve procurar obter pelo menos uma delas que verse sobre o conteúdo pretendido. Observo também que este material não substitui a consulta, leitura e estudo de textos e livros citados na bibliografia, deve servir como um material de auxílio, principalmente no momento em que se realizam a aulas. Salvador, janeiro de 011. Eron [email protected]

4 4 Podemos pensar a lógica como o estudo do raciocínio correto. O raciocínio é o processo de obter conclusões a partir de suposições ou fatos. O raciocínio correto é o raciocínio onde as conclusões seguem-se necessária e inevitavelmente das suposições ou fatos. A lógica procura estudar as coisas da mente, e não as coisas reais. Por exemplo, quando dizemos: arco-íris bonito, sol distante, praia suave são classificações que damos às coisas. Aplicamos lógica na Filosofia, Matemática, Computação, Física, Engenharias, entre outros. Na Filosofia para determinar se um certo raciocínio é válido ou não, pois uma frase pode ter diferentes interpretações, não obstante a lógica permite saber o significado correto. Nas Matemáticas para demonstrar teoremas e inferir resultados corretos que podem ser aplicados nas pesquisas. Na Computação para determinar se um determinado programa é correto ou não, na Física para obter conclusões de experimentos. Conteúdos 1. Estudar Lógica. Lógica um pouco de história 3. Proposições e conectivos 4. Tabela-verdade e cálculo proposicional 5. Equivalência lógica e álgebra das proposições 6. Implicação lógica e regras de inferência 7. Argumentos 8. Métodos para validade de argumentos Tabela-verdade; Regras de inferência; Inferência + equivalências; Contradição 9. Sentenças abertas e quantificadores lógicos 10. Exercícios de Aprendizagem e Fixação

5 Lógica Matemática: alguns motivos para estudá-la Lógicas consistentes são os fundamentos da Matemática, ou seja, toda Matemática está alicerçada sobre conceitos e estruturas lógicas.. 3. Lógica está nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). O conteúdo de Lógica Matemática ajuda na necessidade que temos em trabalhar a Matemática dos diversos níveis de ensino (fundamental, médio e superior) com argumentação, interpretação e análise da realidade, por meio de premissas verdadeiras ou falaciosas, como apontam os PCN. De acordo com os PCN, embora a Lógica não se constitua como bloco de conteúdo a ser tratado sistematicamente, alguns de seus princípios podem e devem ser integrados aos demais conteúdos. (...) No contexto da construção do conhecimento matemático, é ela que permite a compreensão dos processos, possibilita o desenvolvimento da capacidade de argumentar e de fazer conjecturas e generalizações. Também consta dos PCN a necessidade cada vez maior de que as diferentes áreas do saber sejam trabalhadas em conjunto. 4.

6 Lógica Matemática um pouco de história 6 O pensamento lógico teve forte presença no cerne da civilização Grega. Aristóteles (384 3 a.c.) é tido como o primeiro sistematizador do conhecimento lógico da época. Presume-se que a partir de uma análise das discussões, que eram comuns no seu tempo, o filósofo teria procurado caracterizar um instrumento de que se serviria a razão, na busca da verdade. Aristóteles teve seu trabalho registrado por seus discípulos e a obra de Lógica, intitulada o Organon, serviu de fundamentação para a Lógica Simbólica. Aristóteles classificou as proposições em quatro grupos, dois originários de uma consideração qualitativa e dois de considerações quantitativas. Segundo a quantidade, tem-se proposições afirmativas ou negativas e, segundo a qualidade, em universais e particulares. Assim é que na lógica de Aristóteles aparecem expressões como todo, nenhum, algum, etc; e frases tipo Todo homem é mortal (afirmativa universal) e Alguns homens não são sábios (negativa particular). Ainda na Grécia Antiga, surgiu a escola estóico-megárica que estudava a lógica das proposições, desenvolvendo aspectos não encontrados na Lógica Aristotélica. Depois do período dos estóico-megários, inicia-se um período obscuro, quase virgem de pesquisa. Segundo os elementos históricos existentes, não houve nenhuma contribuição original à Lógica por mais de 1000 anos. Houve apenas o trabalho de transmissão de conhecimentos antigos para a Idade Média. Destaca-se Boécio (470 54) com a tradução latina de parte da obra aristotélica. Foi um longo período pobre de contribuições para esse ramo do conhecimento científico. Durante os séculos XVII e XVIII e início do século XIX o grande interesse era pela retórica e pelas questões psicológicas. Escapa dessa influência Leibniz ( ), cujas idéias originais e inovadoras ficaram isoladas no século XVII e só viriam a ser apreciadas e conhecidas no fim do século XIX. Assim é que o uso de diagramas para estudos de lógica, atribuído a Euler, já tinha sido utilizado por Leibniz. No entanto, foi John Venn ( ) quem aperfeiçoou os diagramas no estudo da Lógica. Leibniz foi o precursor da Lógica Moderna. Ele sugeriu uma espécie de Álgebra Universal, uma linguagem de símbolos que pudesse ser entendida por todos, qualquer que fosse a língua utilizada. Estava assim criado o ambiente adequado para o surgimento da Lógica Simbólica (também chamada de Lógica Matemática ou Lógica Formal) e cujo objetivo era dar um tratamento rigoroso, estrutural, ao conhecimento lógico tradicional. O período contemporâneo da lógica tem suas raízes nos trabalhos de George Boole ( ) que deu novos rumos ao estudo da matéria. A obra fundamental de Boole, Investigations of the Laws of Thought, publicada em 1854, compara as leis do pensamento

7 às leis da álgebra. Paralelamente, De Morgan ( ) também contribuiu para o desenvolvimento da álgebra da Lógica. Com os trabalhos de Boole e de Morgan a Lógica clássica torna-se autônoma, separando-se da Filosofia para tornar-se a Lógica Matemática. 7 Os alemães Frege ( ) e Cantor ( ) deram impulsos à Lógica Simbólica. A tentativa de Frege de transformar a Matemática em ramo da Lógica levou a paradoxos depois estudados por Russel e Whithead, autores do Principia Mathematica, uma das obras fundamentais deste século. Como consequência os lógicos e matemáticos entraram em divergência, a partir da segunda metade do século XIX, dando lugar ao surgimento de pelo menos três correntes de pensamento bem distintas: o logicismo (de Russel), o intuicionismo (de Brouwer) e o formalismo (de Hilbert). A corrente logicista pretendeu reduzir a Matemática à Lógica, e seu pensamento está bem delineado na obra Principia Mathematica e suas origens estão certamente em Leibniz. A corrente formalista cujas raízes estão no filósofo alemão Kant, foi liderada por Hilbert. Amplia a atuação da Lógica caracterizando-a como um método de obter inferências legítimas. Uma teoria para ser formalizada deve conter conceitos primitivos, axiomas e teoremas e ser consistente. Ser consistente numa teoria formal significa que se ela contém determinada proposição, não pode conter a sua negação. A escola intuicionista, cujo maior representante foi o matemático holandês Brouwer, reduz a Lógica a um método que se desenvolve paralelamente a Matemática. Para os seus seguidores, todos os conhecimentos existem por intuição, ou seja, sem auxílio de raciocínio. Rejeitam o princípio do terceiro excluído, sendo, portanto possível para eles a construção de enunciados que não são verdadeiros ou falsos. As críticas e divergências em torno dos fundamentos filosóficos do Principia Matemática deram lugar ao surgimento de lógicas polivalentes. Atualmente a Lógica não está como esteve, até por volta de 1930 dividida nas três correntes acima. Hoje, inúmeras correntes surgem e as três antigas se aproximam. Os estudos ganharam um ritmo acelerado, as especialidades se multiplicam e os problemas se abrem.

8 1. PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS 8 A Lógica Matemática se ocupa da análise de certas sentenças, quase sempre de conteúdo matemático. Também estuda as relações, conexões, entre estas sentenças. Começaremos definindo proposição. Proposição. Chama-se proposição uma sentença (conjunto de palavras e símbolos) declarativa, que exprime um pensamento de sentido completo e que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Os termos verdade e falsidade são chamados valores lógicos de uma proposição. Para efeito de classificar as proposições em verdadeiras ou falsas a Lógica Matemática adota como regras fundamentais os dois seguintes princípios: Princípio da Não Contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do Terceiro Excluído Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa (isto é, verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro). Pelos dois princípios anteriores temos que: Toda proposição tem um e somente um dos valores lógicos verdade ou falsidade. Por este motivo, chamamos a Lógica Matemática de bivalente. Notação. As proposições serão indicadas por letras p, q, r, s, t,... e o seu valor lógico por V( p) = V (ou 1) para uma proposição verdadeira e, V( p) proposição falsa. = F (ou 0 ) para uma Exemplos e contra-exemplos 1) p : Salvador é a capital da Bahia. ) q :+ 3< 5. 3) r : O poeta Castro Alves era baiano. 4) x + = 1. 5) Como faz calor! 6) Que dia é hoje?

9 Os exemplos 5 e 6 não são proposições, pois são sentenças exclamativas e interrogativas, respectivamente. O exemplo 4 também não representa uma proposição, uma vez que não podemos atribuir um único valor lógico (depende de x ). 9 As proposições podem ser classificadas em simples e compostas. Proposições simples Aquelas que não contêm nenhuma outra como parte integrante de si mesma. São também chamadas de atômicas. Proposições compostas Aquelas formadas pela combinação de proposições simples. São também chamadas de moleculares. Como convencionado anteriormente as proposições simples serão indicadas por letras p, q, r, s, t,... As proposições compostas serão denotadas por P, Q, R, S, T,... Exemplos Classifique as proposições em simples ou composta. 1) é ímpar. (simples) ) 3 é ímpar e. (composta) 3) > 0 ou 3+ 1= 5. (composta) 4) Se 4 é par então 4 é divisível por. (composta) 5) 3 é ímpar se e somente se 3 é primo. (composta) Conectivos. As palavras ou símbolos usados para formar novas proposições a partir de proposições dadas são chamados de conectivos. Os conectivos fundamentais da Lógica Matemática são: Conectivo Símbolo Não, não é verdade que Negação ou modificador E Conjunção Ou Disjunção Se... então Condicional Se e somente se Bicondicional

10 Dadas as proposições simples p e q podemos com o uso dos conectivos formar novas proposições a partir de p e q. Assim, temos: 10 Negação de p p Não p Conjunção de p e q p q p e q Disjunção de p e q p q p ou q Condicional de p e q p q Se p então q Bicondicional de p e q p q p se e somente se q Exemplo 1 Dada as proposições: p : Jorge Amado escreveu o livro Mar Morto. q : Rui Barbosa era baiano. Exibimos abaixo algumas proposições e suas traduções para a linguagem corrente: p : Jorge Amado não escreveu o livro Mar Morto. p : Não é verdade que Jorge Amado escreveu o livro Mar Morto. p q : Jorge Amado escreveu o livro Mar Morto e Rui Barbosa não era baiano. p q : Jorge Amado escreveu o romance Mar Morto e é falso que Rui Barbosa era baiano. p q : Jorge Amado não escreveu o livro Mar Morto ou Rui Barbosa era baiano. p q : Não é verdade que Jorge Amado escreveu o livro Mar Morto ou Rui Barbosa era baiano. ( p q): Não é verdade que: Jorge Amado escreveu o livro Mar Morto ou Rui Barbosa era baiano. Exemplo Considere as proposições p : é um número par. e q : 6 é múltiplo de 3. Para as seguintes proposições temos as traduções para a linguagem simbólica. a) não é par ou 6 é múltiplo de 3. p q

11 b) Se 6 não é múltiplo de 3 então é par. q p 11 c) não é par, se e somente se, 6 é múltiplo de 3. p q. OPERAÇÕES LÓGICAS COM PROPOSIÇÕES (CÁLCULO PROPOSICIONAL) Quando estudamos os conjuntos numéricos, definimos operações como a adição, multiplicação, etc. e as propriedades de tais operações, mostrando que tais conjuntos têm uma estrutura algébrica. No caso da Lógica não trabalhamos com números, mas com proposições. Já vimos que a partir de proposições simples podemos combiná-las mediante o uso de conectivos para formar novas proposições. O que queremos saber agora é: Conhecidos os valores lógicos das proposições simples, qual o valor lógico da proposição resultante obtida com os conectivos? Na verdade os conectivos funcionam como símbolos operatórios, tais como +,,,,... Precisamos, portanto saber o resultado das operações envolvendo conectivos e proposições da Lógica. Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições p e q, queremos definir os valores lógicos das proposições: p, p q, p q, p q, p q, que decorrem de situações cotidianas, onde utilizamos o nosso bom senso, a nossa lógica. Negação. A negação de uma proposição p escreve-se p e se lê: não p ou é falso que p, ou não é verdade que p ; é a proposição que nega que se cumpra a proposição p. Podemos resumir isto na seguinte tabela-verdade p V F p F V A negação de uma proposição não afirma que aconteça o contrário. Exemplos a) p : 1 é um número ímpar. p : Não é verdade que 1 é número ímpar.

12 b) p : Lima é a capital do Peru (V). 1 p : Lima não é a capital do Peru (F). p : Não é verdade que Lima é a capital do Peru (F). c) p : Maria é bonita. p : Não é verdade que Maria seja bonita. A proposição p não afirma que Maria seja feia, pois entre ser bonita ou feia existem outras possibilidades. Observação. Negar uma proposição p não é apenas afirmar algo diferente do que p afirma, ou algo com valor lógico diferente. Por exemplo, a proposição q : Salvador é a capital da Bahia (V) não é a negação de p : Brasília é a capital da Bahia (F). Conjunção. Dadas as proposições p e q, a proposição p q é verdadeira quando as duas proposições forem verdadeiras, e é falsa se uma delas for falsa. Pode-se resumir o exposto na tabela a seguir. p q p q V V V V F F F V F F F F A tabela acima prevê todas as possibilidades para o valor lógico de uma proposição composta a partir dos valores lógicos das componentes e dos conectivos lógicos, é chamada tabela-verdade da proposição composta. O conectivo lógico ( e ) traduz a idéia de simultaneidade.

13 É conveniente diferenciar entre o e que usamos na determinação da conjunção p e q o e na utilização da linguagem do dia a dia. O mesmo texto permitirá diferenciar um do outro. Assim, por exemplo, quando se diz: Seja a proposição p e q entende-se claramente que o e está determinando sua função lógica; no outro caso quando se diz: Sejam as proposições p e q fazemos uso do e no sentido da linguagem do dia a dia. 13 Exemplos a) p :< 5 q :+ 3= 5 Observe que Vp ( ) = V e Vq () = V, logo, Vp ( q) = V. b) p : π é um número irracional. q : é ímpar. Então, V( p) = V e Vq ( ) = F, logo, V( p q) = F. c) Consideremos p :+ 8> 5 e q :8> 6, então, temos as quatro possibilidades + 8 > 5 8 > 6 V + 8 > F > 6 F F Disjunção. Dadas as proposições p e q a proposição p q é verdadeira quando pelo menos uma das proposições for verdadeira, e é falsa se as duas forem falsas. Resumindo, a tabelaverdade é dada por p q p q V V V V F V F V V F F F

14 Exemplos 14 a) p : é ímpar. q : 3 > 0. Temos então que V( p q) = V. b) p :4+ 7= 11 q :15 3= 1 Então temos as quatro possibilidades 4+ 7 = = 1 V 4+ 7 = V = 1 V F Observação. Na linguagem do dia-a-dia, a palavra ou tem dois sentidos: 1º. p : Mário é motorista ou professor. º. q : Carlos é gaúcho ou paulista. Da proposição p podemos obter as proposições: Mário é motorista, assim como Mário é Professor, podendo ser ambas verdadeiras então temos que Mário é motorista e professor. Mas na proposição q, temos as proposições Carlos é gaúcho, e a outra, Carlos é paulista sendo verdadeira somente uma delas que exclui o valor verdade da outra; não é possível ocorrer Carlos é gaúcho e paulista. Na proposição p, a disjunção é inclusiva; e, na proposição q a disjunção é exclusiva. O símbolo ou indica o conectivo lógico exclusivo e sua tabela-verdade mostramos abaixo p q p q V V F V F V F V V F F F

15 Exemplos 15 a) João é baiano ou sergipano. (DE) b) Canto ou assovio. (DE) c) Maria é professora ou advogada. (DI) Condicional. Dadas as proposições p e q, a proposição p q é falsa quando p é verdadeira e q é falsa e é verdadeira nos demais casos. Resumindo, a tabela-verdade é dada por Exemplos a) p : 4 é ímpar. q : 3 é par. Então Vp ( q) = V. p q p q V V V V F F F V V F F V b) p : 3+ = 5 e q :3< 5, então temos as quatro possibilidades: 3+ = 5 3 < 5 V 3+ = F < 5 V V Observações 1) Notemos que, quando o valor lógico da proposição p é falso, temos que a condicional é automaticamente verdadeira (não depende do valor lógico de q ). Isto se justifica

16 pelo fato de que se p é falsa, qualquer conclusão pode se tirar daí, verdadeira ou falsa. Por exemplo, 16 Se supusermos que 1 =, podemos concluir que 0 = 1 e também que 3 = 3. Em outras palavras, se p é falsa, tudo é válido como nos ditados populares: Se você é o dono da Coca-Cola então eu sou o rei da Inglaterra. Isto dá origem a proposições sem nexo, absurdas, tais como: Se = 1 então a lua é de queijo, Se a Terra é quadrada então + = 4, que apesar de serem verdadeiras, de acordo com a regra estabelecida, não tem nenhum sentido prático. ) Na proposição p q, a proposição p é chamada de antecedente (hipótese) e a proposição q de conseqüente (tese). 3) As proposições condicionais são importantes na matemática, e tem várias maneiras diferentes de enunciá-las, por exemplo, p q podemos entender como uma das seguintes formas p implica q. p é condição suficiente para q. Para que p é necessário que q. q é condição necessária para p. Se p, também q. q cada vez que p. q se p. q sempre que p.

17 4) Uma condicional p q não afirma que o consequente se deduz do antecedente p, ou seja, pode não haver uma relação intrínseca entre p e q. O que a condicional afirma é unicamente a relação entre os valores lógicos de p e q, de acordo com a definição dada, isto é, a condicional p q é uma operação, também chamada de implicação material. Obviamente, na maioria dos casos, a Matemática vai estar interessada em condicionais verdadeiras, que vão de fato significar que p implica q. 17 5) O exemplo a seguir pode nos ajudar a justificar o significado das condições necessária e suficiente. Se o pássaro canta então está vivo. i) O pássaro cantar é condição suficiente para ele estar vivo, ou seja, é suficiente o pássaro cantar para garantirmos que ele está vivo. ii) O pássaro estar vivo é condição necessária para ele cantar, ou seja, é necessário que o pássaro esteja vivo para que ele possa cantar. Proposições associadas à condicional. Toda condicional está associada a outras três proposições, elas são: a recíproca, a inversa (ou contrária) e a contra-recíproca (ou contrapositiva). Suponha temos a proposição composta: p q, então também temos i) Recíproca: q p. ii) Inversa: p q. iii) Contrapositiva: q p. Exemplos a) Dada a condicional: Se 4 é par então 4 é divisível por, temos i) recíproca: Se 4 é divisível por então 4 é par ii) inversa: Se 4 não é par então 4 não é divisível por iii) contrapositiva: Se 4 não é divisível por então 4 não é par b) Dada a condicional: Se 3 é um número irracional então 3 é irracional, temos

18 i) recíproca: Se 3 é irracional então 3 é irracional 18 ii) inversa: iii) contrapositiva: c) Se o número a termina em zero, então a é múltiplo de. Temos p : a termina em zero e q : a é múltiplo de. A proposição é da forma p Recíproca: Se a é múltiplo de, então a termina em zero. Inversa: Se a não termina em zero, então a não é múltiplo de. Contra-recíproca: Se a não é múltiplo de, então a não termina em zero. q. Bicondicional. Dadas as proposições p e q a proposição p q é verdadeira quando p e q tiverem os mesmos valores lógicos e é falsa nos demais casos. Sua tabela-verdade é dada por Exemplos p q p q V V V V F F F V F F F V a) p : 3 é ímpar. q : 4 é divisível por. Então V( p q) = V. Observações 1) A bicondicional também pode ser interpretada como a conjunção de duas condicionais: ( p q) ( q p) ; ) A bicondicional também pode ser lida como

19 i) p é condição necessária e suficiente para q. 19 ii) q é condição necessária e suficiente para p. As definições que não são puramente nominais são condições necessárias e suficientes. Por exemplo, ABC é um triângulo retângulo se e somente se ABC têm um ângulo reto. 3) É muito comum nos livros de Matemática, definições dadas por uma condicional como, por exemplo: um triângulo é retângulo se tem um ângulo reto. Entretanto, deve-se entender que a definição é sempre uma bicondicional. Construção de Tabelas-verdade de proposições compostas Dadas várias proposições p, q, r,..., podemos combiná-las pelos conectivos lógicos,,,, e construir proposições compostas. Exemplos a) Ppq (,): p ( p q) b) Qpr (,):( p r) r c) R(,,): p r s ( p s r) ( s ( p s) ) Cada proposição simples p tem dois valores lógicos: V ou F, que se excluem. Daí, para n proposições simples p, p,..., p, há tantas possibilidades quantos são os arranjos n a 1 n n, com repetição de elementos (V e F ), isto é, A, = n. Segue-se que o número de n linhas da tabela-verdade é n. Construção de uma tabela verdade. Suponha temos a construir a tabela-verdade para a proposição Ppq (,): ( p q). Vamos considerar o roteiro seguinte: a) Primeiro, formamos o par de colunas correspondentes às duas proposições simples p e q ; b) Em seguida forma-se a coluna para q ; c) Depois forma-se a coluna para p q ; d) E, finalmente, a coluna dos valores lógicos para ( p q).

20 Veja abaixo p q q p q ( p q) V V F V F 0 V F V V F F V V F V F F V V F Exemplos 1 Construa a tabela-verdade da proposição Ppq (,): ( p q) ( p q) p q p q p q. ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) V V V V F F F V F F F V V V F V F F V V V F F F V V F V Construa a tabela-verdade da proposição Ppq (,):( p q) ( p q) p q p q p q p q. ( p q) ( p q) V V V V F V F V V F F V Os conectivos lógicos, do mesmo modo que servem para construir proposições compostas a partir de proposições simples, também são utilizados para obter esquemas lógicos muito mais complexos a partir de proposições compostas.

21 Observações sobre o uso de parêntesis. Para evitar ambiguidades, em geral, colocamos parêntesis na simbologia das proposições compostas. Assim, por exemplo, a proposição P : p q r deve ser lida P :( p q) r, ou seja, na ordem de aparecimento dos conectivos. Portanto, a supressão de parêntesis deve ocorrer por meio de convenções. 1 Em geral, é o conectivo de menor hierarquia, logo seguem e, esses conectivos tem a mesma hierarquia; logo é o de maior hierarquia. Porém, cada conectivo pode ter maior hierarquia, quando o indica o parênteses de coleção. Dada uma proposição composta, os valores-verdade desta proposição são os que correspondem aos valores do conectivo de maior hierarquia presente na proposição. Exemplos a) A fórmula p q r p q deve ser entendida como: (( p q) ( r) ) ( p ( q) ) b) Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada. Na linguagem simbólica escrevemos: p q p. c) A lua não é quadrada se, e somente se, a neve é branca. Na linguagem simbólica escrevemos: p q. Tautologia. É toda proposição composta Ppqr (,,,...) cujo valor lógico sempre é verdade (V), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples pqr,,,.... Exemplos a) A proposição p p é tautologia. p p p p V F V F V V

22 b) Determine a tabela-verdade para a seguinte proposição: (,):( ( ) ) Ppq p q q p. p q p q q ( p q) q (( ) ) p q q p V V V F F V V F V V V V F V V F F V F F F V F V Contradição. É toda proposição composta Ppqr (,,,...) cujo valor lógico sempre é falso (F), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples pqr,,,.... Concluímos, portanto, que Ppqr (,,,...) é uma tautologia se, e somente se, Ppqr (,,,...) é uma contradição. Exemplos a) A proposição p p é uma contradição. p p p p V F F F V F b) Determine a tabela-verdade para a proposição Pp ( ): (( p p) p) p p p ( p p) p. (( p p) p) V V V F F F V F Contingência. É toda proposição composta que não é tautologia nem contradição. As contingências também são chamadas de proposições contingentes ou proposições indeterminadas.

23 Exemplo a) Determine a tabela-verdade para a proposição Ppqr (,,): (( p q) r). 3 p q r p q r ( p q) ( r) ( ( p q) r) V V V V F F V V V F V V V F V F V F F F V V F F F V F V F V V F F F V F V F F V F V F F V F F F V F F F F V F V Mais Exemplos Construir a tabela verdade das seguintes proposições a) ( p q) ( p q) (tautologia) b) ( p q) ( p q) (contradição) c) ( p r) ( q r) (contingência) 3. EQUIVALÊNCIA LÓGICA Equivalência. Dizemos que uma proposição P é logicamente equivalente (ou simplesmente equivalente) a uma proposição Q se a bicondicional P Q é tautológica. Usamos a notação P Q par indicar que a proposição P é equivalente à proposição Q. Pela definição temos que se duas proposições são equivalentes então as suas tabelasverdade são idênticas.

24 Observação. Os símbolos e são distintos! 4 O símbolo indica uma operação lógica. O símbolo estabelece que P Q é tautológica. Indica relação e não operação. Exemplos a) As proposições P : p p q e Q : p q são equivalentes. Com efeito, observe a tabela-verdade. p q p p q p q V V V V V F F F F V V V F F V V b) As proposições R : p q e S :( p q) ( q p) são equivalentes. Observe a tabela-verdade. p q p q ( p q) ( q p) V V V V V F F F F V F F F F V V c) Considere a proposição p q assim como sua recíproca q p, sua inversa p q e sua contrapositiva q p.

25 p q p q q p q p p q 5 V V V V V V V F F F V V F V V V F F F F V V V V Outros exemplos de proposições equivalentes d) Se P e Q são ambas tautológicas ou ambas contradições então P Q. e) ( ) p q p q f) ( ) p q p q g) ( ) p q p q h) ( p q) ( p q) ( q p) Todas as equivalências exemplificadas podem ser demonstradas pela construção das tabelasverdade, ou utilizando o bom senso, em vários dos casos anteriores. Por serem muito utilizadas em Matemática, destacamos as seguintes equivalências: i) p q q p. A condicional e sua contrapositiva são equivalentes; nesta equivalência se baseia o método de demonstração por absurdo. ii) p q ( p q) ( q p) Exemplo Mostre que: Se x é número ímpar, então x é número ímpar. Podemos considerar a proposição p : x é número ímpar, e q : x é número ímpar. Então temos que verificar a validade da proposição p q. Do fato de serem as proposições p q e p q logicamente equivalentes será suficiente mostrar que: Se x não é número ímpar, então x não é número ímpar.

26 PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA LÓGICA 6 Reflexiva: P P Simétrica: Se P Transitiva: Se P Q então Q P Q e Q R então P R 4. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES (PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES) 1. Dupla Negação. ( p) p. Propriedades da conjunção. Consideremos p, q, r proposições simples, então o conectivo lógico da conjunção satisfaz as seguintes propriedades: a) Idempotente: p p p b) Comutativa: p q q p c) Associativa: ( p q) r p ( q r) d) Elemento neutro: p V p e) Elemento absorvente: p F F f) p p F 3. Propriedades da disjunção. Sejam p, q, r proposições simples, então o conectivo lógico da conjunção satisfaz as seguintes propriedades: a) Idempotente: p p p b) Comutativa: p q q p c) Associativa: ( p q) r p ( q r) d) Elemento neutro: p F p e) Elemento absorvente: p V V f) p p V

27 Propriedades envolvendo conjunção e disjunção 7 4. Distributiva: 5. Absorção: ( ) ( ) ( ) p q r p q p r ( ) ( ) ( ) p q r p q p r ( ) p p q p ( ) p p q p 6. Leis de De Morgan: ( ) p q p q ( ) p q p q 7. Negação da condicional. ( ) p q p q 8. p q p q 9. p q q p Observação sobre a condicional. A condicional p q não satisfaz as propriedades idempotente, comutativa e associativa. 10. Negação da bicondicional. ( p q) ( p q) ( p q) 11. 5) p q ( p q) ( q p) Observações sobre a bicondicional i. A bicondicional p q não goza da propriedade idempotente, pois é óbvio que as proposições p p e p não são logicamente equivalentes. ii. A bicondicional goza das propriedades associativa e comutativa. Nota. Todas as equivalências continuam sendo válidas quando substituímos as proposições simples por proposições compostas.

28 Exemplos 8 1 Utilizando as propriedades das operações lógicas simplifique as seguintes proposições: a) ( p q) q ( p q) q ( p q) ( q q) ( p q) V p q b) p ( p q) ( p q) p ( p q) ( p q) p ( p q) ( p p) ( p q) F ( p q) p q c) p ( p q) p ( p q) ( p) ( p q) p p q V q V d) p ( p q) ( p q) p ( p q) ( p q) p ( p q) ( p q) p p ( q q) p ( p F) p p V Mostre que p q p. Basta mostrar que p q p T. p q p ( p q) p p q p ( p p) q Demonstração. ( ) ( ) ( ) ( p p) q T q T.

29 3 Mostre que p q ( p q) F. p q F p q F p q p q p q. Demonstração. ( ) ( ) 9 4 Mostrar que p q p q q. 5 Mostre que a condicional ( p q) p q (modus ponens) é logicamente verdadeira. Demonstração. ( p q) p q ( p q) p q ( p p) ( q p) q F ( q p) q ( q p) q V 6 Este exemplo mostra como as equivalências são utilizadas nas demonstrações em Matemática. Considere o seguinte Teorema: Dadas três retas distintas r, s e t do plano, se r s e s t então r t. Demonstração. Provaremos usando redução ao absurdo, isto é, r s e s t e r t F. i) r t r t ii) r iii) r t e r s e s t r = t (axioma das paralelas) = t é uma contradição, pois por hipótese as retas são distintas. 5. IMPLICAÇÃO LÓGICA Implicação. Diz-se que uma proposição P implica logicamente (ou simplesmente, implica) uma proposição Q, se Q é verdadeira sempre que P for verdadeira. Indicamos a implicação lógica por P Q.

30 Como consequência imediata da definição temos que P P Q é tautológica, isto é, P Q V. Q significa que a condicional 30 De fato, pela definição, se temos que P e VQ ( ) Q, então não ocorre a situação VP ( ) = V = F que é o único caso em que a condicional é falsa. Logo, P Q é uma tautologia. Observação. Os símbolos e são distintos! O símbolo indica uma operação lógica. O símbolo indica que a condicional P operação. Q é tautológica. É uma relação e não Exemplos em tabela-verdade 1) Sejam P : p q e Q : p q, temos que: p q p q p q P Q V V V V V V F V F V V V V F F V V V ) Mostre que a proposição P : p ( p q) implica logicamente à proposição Q : p q. p q p ( p q) p q P Q V V V V V V F V F V V V V F F V V V 3) Verifique se a proposição R : p q implica logicamente a proposição S : p q.

31 p q p q p q R S 31 V V V V V V F F V V F F F F V V V Observe a terceira linha da tabela-verdade, a verdade de R não implica a verdade de S. Portanto a proposição R, não implica logicamente a proposição S. Para demonstrar uma implicação, P Q, podemos também utilizar o método dedutivo, que neste caso consiste em mostrar que P Q V. Outros Exemplos a) O pássaro canta O pássaro está vivo. b) x é par x é par. c) x é um número primo x = ou x é ímpar. d) p q p q. e) Se x = então x. x 0 x = y x y x = 0. f) ( ) ( ) g) ( 4) ( 4 ) x = y x < x x = y. Propriedades da implicação Reflexiva: P P Transitiva: Se P Q e Q R então P R.

32 Regras de inferência (mais propriedades da implicação). Algumas implicações lógicas se destacam por terem papel importante nas demonstrações matemáticas. Tais implicações 3 são chamadas de Regras de Inferência. Vejamos alguns exemplos 1) Regra da Adição (AD) ) Regra da Simplificação (SIMP) p p q q p q p q p p q q 3) Regra do Modus Ponens (MP) ( p q) p q 4) Regra do Modus Tollens (MT) ( ) p q q p 5) Regra do Silogismo Hipotético (SH) ( p q) ( q r) p r Exemplos a) b) c) 6. ARGUMENTOS Nosso objetivo agora é investigar os processos que serão aceitos como válidos na derivação de uma proposição, chamada de conclusão, a partir de proposições dadas chamadas premissas. Argumento. Sejam P 1, P,..., P e Q proposições quaisquer. Chama-se argumento toda n afirmação de que as proposições P 1, P,..., P têm como consequência (ou acarretam) n uma proposição final Q. P, P,..., P são chamadas de premissas e Q de conclusão. 1 n Indicaremos um argumento de premissas P 1, P,..., P e conclusão Q por: n P, P,..., P Q 1 n

33 e se lê de uma das seguintes maneiras: 33 Q é conseqüência de P 1, P,..., P. n Q deduz-se de P 1, P,..., P. n Q infere-se de P 1, P,..., P. n P, P,..., P implicam Q. 1 n Nota. Um argumento que contém duas premissas é chamado de silogismo. Exemplos de argumentos a) P : Se chove então fica nublado. 1 P : Choveu. Conclusão: Está nublado. b) P : Se fizer sol então irei à praia. 1 P : Não fui à praia. Q : Não fez sol. c) P : Se eu fosse cantora então seria artista. 1 P : Não sou cantora. Q : Não sou artista. d) P : Todo professor de Matemática é licenciado em Matemática. 1 P : Todos os cursistas do PARFOR são professores de Matemática. Q : Todos os cursistas são licenciados em Matemática. Analisando os exemplos a), b) e d) acima, podemos observar que as conclusões são deduzidas a partir das premissas assumindo a veracidade das mesmas, o mesmo não acontecendo com o

34 exemplo c). Note que uma conclusão pode ser deduzida a partir de sentenças falsas. Isto pode conduzir a conclusões não necessariamente verdadeiras, como no Exemplo d) acima. 34 Argumento válido. Um argumento P 1, P,..., P Q diz-se válido se, e somente se, a n conclusão Q é verdadeira sempre que as premissas P 1, P,..., P forem todas verdadeiras. n Um argumento que não é válido diz-se um sofisma. Teorema (Critério de validade de um argumento). Um argumento P 1, P,..., P Q é válido n 1 3 n P P P P Q é uma tautologia P P P P Q. 1 3 n Demonstração. As premissas P 1, P,..., P são todas verdadeiras se e somente se a n proposição P 1 P P 3 P n é verdadeira. Logo, o argumento P 1, P,..., P Q é válido n se e somente se a conclusão Q é verdadeira sempre que P 1 P P 3 P n é verdadeira, ou seja, se e somente se a proposição P 1 P P 3 P n implica logicamente a conclusão Q, o que é equivalente a afirmar que a condicional P 1 P P 3 P n Q é tautológica. Comentário. Dado um argumento P 1, P,..., Pn Q, chamamos P 1 P P 3 P n Q de condicional associada a este argumento. Exemplos a) P : Se eu fosse cantora então seria artista. 1 P : Não sou cantora. Q : Não sou artista. O argumento P, P Q não é válido, pois podemos ter a situação VQ ( ) = F com 1 VP ( P) = V. De fato, Fernanda Montenegro é artista mas não é cantora. 1 Tipos de argumentos. Em todo argumento válido, não pode acontecer que, a partir de premissas verdadeiras, inferir de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos resumir os possíveis tipos de argumentos em na tabela abaixo.

35 Premissa Conclusão Inferência Argumento 35 p q p q Falsa Falsa Verdadeira Verdadeiro inconsistente Falsa Verdadeira Verdadeira Verdadeiro inconsistente Verdadeira Falsa Falsa Falso (ilógico) Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeiro consistente Desse modo, o fato de um argumento ser verdadeiro não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira (V), pois pode ter partido de premissas falsas. Argumentos consistentes obrigatoriamente chegam a conclusões verdadeiras. Exemplos b) Conclusão verdadeira. Todo ser humano é mortal. Pedro é humano. Portanto, Pedro é mortal. c) Conclusão falsa. Toda ave voa. O avestruz é ave. Portanto, o avestruz voa. d) Conclusão verdadeira. Todo número com exatamente dois divisores é primo. O número 4 não tem exatamente dois divisores. Portanto, 4 não é primo.

36 36 e) Conclusão falsa. Todo múltiplo de 4 é par. O número 5 é múltiplo de 4. Portanto, 5 é par. 7. MÉTODOS DE DETERMINAÇÃO DA VALIDADE DE UM ARGUMENTO 7.1 Tabela verdade. Dado o argumento P 1, P,..., P Q a este argumento corresponde n a condicional P P P P Q chamada de condicional associada ao argumento 1 3 n dado, cujo antecedente é a conjunção das premissas e o consequente é a conclusão. Para testarmos a validade do argumento, pelo critério de validade, temos que verificar se a condicional P P P P Q é tautológica. A tabela-verdade é, portanto, o método 1 3 n mais geral para se testar a validade de um argumento. Exemplos a) P 1, P, P 3 Q P : João vai ao cinema ou vai ao clube. 1 P : Se João vai ao clube, então telefona. P : João não telefonou. 3 Q : João foi ao cinema. Consideremos: p : João vai ao cinema; q : João vai ao clube; r : João telefona. O argumento reescrito em linguagem simbólica é dado por P : p q 1 P : q r. P : r 3 Q : p Construindo a tabela-verdade para este argumento, temos

37 p q r p q q r r ( p q) ( q r) ( r) ( p q) ( q r) ( r) p 37 V V V V V F F V V V F V F V F V V F V V V F F V V F F V V V V V F V V V V F F V F V F V F V F V F F V F V F F V F F F F V V F V Usando o critério de validade verificamos, pela tabela-verdade, que a condicional ( p q) ( q r) ( r) p é tautológica. Logo, o argumento é válido. b) P 1, P Q P : Se eu fosse cantora então seria artista. 1 P : Não sou cantora. Q : Não sou artista. Consideremos: p : Sou cantora; q : Sou artista. O argumento em linguagem simbólica: p q, p q. Construindo a tabela-verdade da condicional ( p q) ( p) q. p q p q p ( p q) ( p) q ( p q) ( p) q V V V F F F V V F F F F V V F V V V V F F F F V V V V V

38 Vemos pela tabela que a condicional não é tautológica, logo, a condicional é um sofisma! 38 Analisando a quarta linha da tabela verdade observamos que os valores lógicos Vp ( ) Vq () = Vr () = V nos mostram a situação em que temos VP ( 1 P) V mostra a não-validade do argumento. = e VQ ( ) = F, = F. Isto De uma maneira geral mostrar a não-validade de um argumento consiste em encontrar uma atribuição de valores lógicos às proposições simples, componentes do argumento, que torne todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. O método da tabela-verdade permite demonstrar ou testar a validade de qualquer argumento, mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso à medida que aumenta o número de proposições simples componentes dos argumentos. Assim, vamos buscar outros métodos mais eficientes para a análise da validade de um argumento. 7. Regras de Inferência. Neste método utilizamos as propriedades (regras) da implicação lógica para analisar os argumentos. 1) Regra da Adição (AD) ) Regra da Simplificação (SIMP) p p q q p q p q p p q q 3) Regra da Conjunção (CONJ) p, q p q 4) Regra do Modus Ponens (MP) p q, p q 5) Regra do Modus Tollens (MT) p q, q p 6) Regra do Silogismo Hipotético (SH) p q, q r p r Pode-se enunciar mais regras ainda. Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida (no sentido de ser tautológica), a nova proposição também deve ser aceita. Posteriormente essa proposição poderá ser empregada em novas inferências.

39 Assim, inicialmente apenas podemos inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta. 39 Exemplos resolvidos Utilize as Regras de Inferência para analisar a validade dos argumentos. Argumento 1 P : Estudo. 1 P : Trabalho. P : Se estudo e trabalho então não tiro férias. 3 Q : Não tiro férias. Analisando as premissa por inferências (1) p [premissa] () q [premissa] (3) p q r [premissa] (4) p q [de 1 e por CONJ] (5) r [de 3 e 4 por MP]... Note que obtemos a conclusão. Argumento : p q, p ( r s), t ( r s) t (1) p q [premissa] () p ( r s) [premissa] (3) t ( r s) [premissa] (4) p [de 1 por SIMP] (5) r s [de e 4 por MP] (6) t [de 3 e 5 por MT] Argumento 3: p, ( p q) ( r s), s t, q t q

40 (1) p [premissa] 40 () ( p q) ( r s) [premissa] (3) s t [premissa] (4) q t [premissa] (5) p q [de 1 por AD] (6) r s [de e 5 por MP] (7) s [de 6 por SIMP] (8) t [de 3 e 7 por MP] (9) q [de 4 e 8 por MT] Argumento 4: Considere (1) a (4) proposições que constituem um argumento (1) x = y x = z [premissa] () x = z x = 1 [premissa] (3) x = 0 x 1 [premissa] (4) x = y [premissa] (5) x = z [de 1 e 4 por MP] (6) x = 1 [de e 5 por MP] (7) x 0 [de 3 e 6 por MT] Argumento 5: Provar que A ( B C) ( A B) ( D C) B D. (1) A [premissa] () B C [premissa] (3) ( A B) ( D C) [premissa] (4) B [premissa] (5) A B [de 1 e 4 por CONJ] (6) C [de e 4 por MP]

41 (7) D C [de 3 e 5 por MP] 41 (8) ( C) [de 6 por DN] (9) D [de 7 e 8 por SD] Regras de inferência aplicadas quando a conclusão é uma condicional. O que fizemos até agora foram demonstrações de argumentos do tipo P P P P Q, onde 1 3 n partimos das hipóteses P 1, P, P 3,..., P para deduzirmos a conclusão ou tese Q. Este n processo chama-se dedutivo, e fizemos demonstrações diretas que são aquelas que partem diretamente das hipóteses para a tese. O método de dedução também pode ser estendido para proposições do tipo P P P P ( Q R) 1 3 n, onde a conclusão é também um condicional. Podemos simplesmente partir das hipóteses P 1, P, P 3,..., P para deduzir a tese n Q R, ou podemos de forma equivalente, incluir Q como uma das hipóteses, passando a ser R a tese. Isto é possível, pois ( ) P P P P Q R P P P P Q R 1 3 n 1 3 Demonstração. Para facilitar a notação chamemos o conjunto das hipóteses n P P P P, simplesmente de P. Logo, queremos provar que 1 3 n P ( Q R) P Q R. P ( Q R) P ( Q R) P ( Q R) ( P Q) R ( P Q) R ( P Q) R. Exemplos Argumento 1: Provar R ~P, dadas as hipóteses P Q e R ~Q. Neste caso, aplicando a equivalência demonstrada acima, transformemos o teorema (P Q) (R ~Q) (R ~P) na sua forma equivalente (P Q) (R ~Q) R ~P. 1. P Q hip. R ~Q hip 3. R hip 4. ~Q,3,mp 5. ~P 1,4,mt

42 Argumento Provar o silogismo hipotético: (P Q) (Q R) (P R). 1. P Q hip. Q R hip 3. P hip 4. Q 1,3,mp 5. R,4,mp 4 Argumento 3 Provar que (~A ~B) (A C) (B C) 1. ~A ~B hip. A C hip 3. B hip 4. ~(~B) 3,dn 5. ~(~A) 1,4,mt 6. A 5,dn 7. C,6,mp É claro que também podemos optar por considerarmos B C a tese. Desta forma a prova poderia ser: 1. ~A ~B hip. A C hip 3. B A 1,cont 4. B C 3,,sh. Argumento 4 Provar que (~A B) (B C) (A C). 1. ~A B hip. B C hip 3. A hip 4. A B 1,imp 5. B 3,4,mp 6. C,5,mp ou 1. ~A B hip. B C hip 3. A B 1,imp 4. A C,3,sh

43 7.3 Regras de inferência e equivalências. Neste método, utilizamos as regras de inferência concomitante com as propriedades (ou regras) de equivalência para testar a validade de argumentos Demonstração Indireta. Um método utilizado para se mostrar a validade, ou não, de um argumento P, P,..., P Q é o chamado método da demonstração indireta (ou 1 n demonstração por absurdo) que consiste em negar a conclusão, isto é, supor V( Q) = V e deduzir logicamente uma contradição qualquer, ou seja, a negação de alguma premissa. Este método está baseado na equivalência entre a condicional e a sua contrapositiva, isto é, P Q Q P. Assim, P P P P Q 1 3 n ( ) Q P P P P 1 3 n Q P P P P 1 3 n Uma vez que as premissas são admitidas como verdadeiras, chegar à negação de uma delas é uma contradição. Exemplos Use o método da demonstração indireta para analisar a validade dos seguintes argumentos. a) P 1, P, P 3 Q P 1 : João vai ao cinema ou vai ao clube. P : Se João vai ao clube, então telefona. P 3 : João não telefonou. Q : João foi ao cinema. Supondo que João não foi ao cinema, então por P 1 ele vai ao clube. Segue de P que João telefonou, o que contradiz P 3. Logo o argumento é válido. Esquematizando temos p : João vai ao cinema; q : João vai ao clube; r : João telefona.

44 O argumento reescrito em linguagem simbólica: 44 P : p q 1 P : q r P 3 : r Q : p Assumindo que VQ ( ) = V( p) = F. De P 1 temos que Vq () = V. Com este valor para q segue de P que Vr () = V, o que contradiz P. 3 Logo, o argumento é válido. b) P 1 : p q r P : p q P : q r p 3 Q : p r Suponhamos VQ ( ) = V( p r) = F. Temos duas alternativas: V( p) i) V( p) ii) Vr ( ) = F ou Vr ( ) = F. Neste caso temos uma contradição em P. = F. Temos por P que V( p) = V( q) = V. = F, que devemos analisar separadamente: Com estes valores temos VP ( ) = VP ( ) = VP ( ) = V e VQ ( ) = F. 1 3 Então, podemos concluir que o argumento é um sofisma (não válido). c) P 1 : p q P : r s p P s q P 3 : 4 : r Q : ( r s)

45 Suponhamos ( ) ( ( )) ( ) VQ = V r s = F V r s = F. Temos duas alternativas: 45 i) Vr () ii) Vs ( ) = V. Este caso contradiz P. 4 = V. Daí, por P, Vq ( ) 3 = V. Então Vq ( ) De i) e ii) podemos concluir que o argumento é válido. = F em P 1, o que contradiz P. d) P 1 : p q r P : r s P : q p 3 Q : p q Suponhamos ( ) ( ) VQ = V p q = F. Temos duas alternativas: V( p) i) V( p) = V. Temos que Vq () = V ou Vq ( ) = V, por 3 = F. P. Isto acarreta VP ( ) 1 = V, independentemente do valor de r. Basta atribuirmos os mesmos valores a r e s para obtermos VP ( ) = V. Temos assim, valores lógicos para p, q, r e s tais que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Podemos, portanto, concluir que o argumento não é válido sem precisar analisar a outra alternativa, ii) Vq ( ) = F. Dos exemplos analisados podemos tirar as seguintes conclusões: 1) Para analisarmos a validade de um argumento pelo método da demonstração indireta, negamos a conclusão. Se chegarmos à negação de uma das premissas então o argumento é válido. Se conseguirmos valores lógicos para as proposições componentes que tornam as premissas verdadeiras e a conclusão falsa então o argumento é um sofisma. ) Quando a negação da conclusão Q nos leva a mais de uma alternativa para ser analisada, temos que analisar todas para concluir que o argumento é válido. Se ao analisarmos uma das alternativas encontramos valores que tornam as premissas verdadeiras e a conclusão falsa já podemos garantir que o argumento é um sofisma e não precisamos analisar as outras situações. 3) A prova da não validade de um argumento consiste em apresentar valores para as proposições que tornem as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. É óbvio que toda vez

46 que for possível encontrar essa atribuição de valores sem utilizar tabela-verdade evita-se um bom trabalho. O método da demonstração indireta nos permite chegar a esses valores SENTENÇAS ABERTAS O cálculo proposicional é insuficiente para a Matemática. Considere os seguintes exemplos: a) Existe triângulo retângulo. b) Quaisquer que sejam os pontos A e B, existe uma reta a tal que AB, a. O teorema em a) é um teorema de existência, que tem um quantificador existencial e o teorema em b) apresenta um quantificador universal. Por este motivo faz-se necessário o estudo do cálculo de predicados (proposições quantificadas). Há expressões às quais não podemos atribuir os valores lógicos falso ou verdadeiro, por exemplo, a) x + 1= 0. b) x y = 1. c) x + y + z = 0. A depender do valor atribuído a x, y e a z em cada caso, as expressões acima passam a ter um valor lógico V ou F, tornando-se proposições. Sentença aberta (função proposicional). Chama-se sentença aberta (ou função proposicional) com uma variável em um conjunto A, uma expressão que indicaremos por px ( ), tal que pa ( ) é verdadeira ou falsa para todo elemento a A. O conjunto A é chamado de conjunto universo. O conjunto dos elementos a A tais que pa () é verdade é chamado de conjunto-verdade da sentença aberta e indicaremos por p { ; ( ( )) } V = a A V p a = V. Exemplo Determinar o conjunto-verdade das seguintes sentenças abertas nos conjuntos indicados.

47 a) px ( ) : x 1 = 5 em. 47 b) px ( ): x 1= 0 em. c) ( ) : 3 px x> em { 1, 0,1,, 3, 4, 5, 6, 7} A =. Sentença aberta múltipla. Chama-se sentença aberta (ou função proposicional) com n variáveis a expressão ( 1,,..., n ) ( ) A A A em A A A 1 n P x x x que é verdadeira ou falsa para toda n upla a 1,,..., n em 1 que é o conjunto universo. Assim, o conjunto verdade é dado n por Exemplos {(,,..., ) ; 1 1 ( (,,..., 1 )) } V = a a a A A A V p a a a = V a) pxy (, ) : x+ y= 3 em p n n n. {(0, 3),(1,),(,1),(3, 0) } V =. p b) pxyz (,, ) : x + y + z = 0em 3. {(0,0,0) p } V =. Operações Lógicas com sentenças abertas. As operações lógicas sobre proposições se estendem naturalmente às sentenças abertas. Assim, dadas as sentenças abertas px ( ) e qx ( ) podemos obter novas sentenças como: 1) px () ) px ( ) qx ( ) 3) px ( ) qx ( ) 4) px ( ) qx ( ) 5) px () qx () Admite-se todas as regras e propriedades dos conectivos para estes casos. Exemplos Para cada uma das sentenças abertas, determine o conjunto verdade em A = { 1, 0, 1}.

48 1) px (): x+ 1= 1, temos V = {} 0. px ( ): x+ 1 1 e V = { 1, 1} p. p 48 Observe que V = A V p p. Generalizando, se px ( ) é uma sentença aberta em A então V = A V p p. ) px ( ) qx ( ):( x+ 1= 1) ( x 1), temos que V = {} 0. Generalizando, se px ( ) e qx ( ) são sentenças abertas em A então V = V V. p q p q p q 3) = + =, temos { 1, 0, 1 p q } px ( ) qx ( ):( x 1) ( x 1 1) V =. Generalizando, se px ( ) e qx ( ) são sentenças abertas em A então V = V V. p q p q 4) px ( ) qx ( ):( x+ 1 A) ( x+ 1= 0). Lembremos que p q p q, logo { 1, 1} V =. Generalizando, se px ( ) e qx ( ) são sentenças abertas em A então V = V V p q p q p q. 5) px ( ) qx ( ):( x é par) ( x 0) Lembremos que p q ( p q) ( q p), assim { 1, 0} V =. Generalizando, se px ( ) e qx ( ) são sentenças abertas em A então V = V V. p q p q q p p q 9. QUANTIFICADORES Podemos transformar sentenças abertas em proposições usando expressões como para todo, qualquer que seja, existe um, etc. Exemplos

49 1) Consideremos a sentença aberta px ( ): x+ 1= 1. A partir desta sentença podemos formar as seguintes proposições: 49 i) Existe x pertencente a ; x + 1= 1. ii) Para todo x pertencente a, x + 1= 1. ) Existex tal que x. 3) Para todo x, x. 4) Qualquer que seja o número natural ele é inteiro. 5) Existe um número primo par. Notamos as expressões qualquer que seja, existe, para todo. Estas expressões são chamadas de quantificadores. É importante notar que uma sentença aberta com todas as variáveis quantificadas é uma proposição, pois ela assume um dos valores lógicos F ou V. Quantificador Universal. Seja px ( ) uma sentença aberta em um conjunto A e seja V p o seu conjunto-verdade. Considere as seguintes proposições: Qualquer que seja x Para todo x A, px (). A, px ( ), ou Simbolicamente, representamos x, x A, p( x). Se V p = A então a proposição x, x A, p( x) é verdadeira. Se Vp A então a proposição x, x A, p( x) é falsa. Em outras palavras, dada a sentença aberta px () em A, o símbolo referido à variável x representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta px ( ) numa proposição. A

50 esta operação lógica dá-se o nome de quantificação universal e ao respectivo símbolo de quantificador universal. 50 Exemplos a) x ; x 0. b) x, x. Quantificador existencial. Seja px ( ) uma sentença aberta em um conjunto A e seja V p o seu conjunto-verdade. Considere a seguinte proposição Existe x A, px () ou Existe pelo menos um x A, px ( ). Simbolicamente, escrevemos x, x A, p( x). Se V p então a proposição x, x A, p( x) é verdadeira. Se V p = então a proposição x, x A, p( x) é falsa. Em outras palavras, dada a sentença aberta px ( ) em A, o símbolo referido à variável x representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta px () numa proposição. A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação existencial e ao respectivo símbolo de quantificador existencial. Exemplos a) x ; x + 1 < 3. b) x ; x + 1 = 0. Negação de proposições com quantificadores. Os quantificadores existencial e universal podem ser precedidos do símbolo de negação ( ). Por exemplo, negar a proposição Todo número primo é ímpar é afirmar Nem todo número primo é ímpar

51 ou afirmar Existe um número primo que não é ímpar. Simbolicamente: ( ) x primo, x é ímpar x primo, x não é ímpar. 51 De uma maneira geral temos: i. ( ) x ; p( x) x ; p( x). ii. ( ) x ; p( x) x ; p( x). Exemplos Determine a negação das seguintes proposições: a) b) x ; x = 1. x ; x 1. c) x A ; x é par x Nota. Mostrar que uma proposição do tipo x A ; p( x) é falsa é mostrar que x A ; V 0 ( p( x ) 0 ) = F. Um elemento x 0 de A que satisfaz a condição anterior é dito um contra-exemplo. Exemplos de contra-exemplos a) x ; x > 0. b) Quantificação múltipla. Toda sentença aberta com n variáveis precedidas de n quantificadores (um para cada variável) torna-se uma proposição. Exemplos 1) pxy (, ): x+ y= 1em. (sentença aberta em duas variáveis) x ; y ; x + y = 1 é uma proposição.

52 ) Considere o conjunto A = { 1,, 3}. Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições. 5 a) x A; y A; x + y = 0. b) x A; y A; x + y 0. c) x A; y A; x y A. 3) Seja A = 1, 0 proposições. e B = { 1, 0, 1}. Determine o valor lógico de cada uma das seguintes a) x A, y B, x > y. b) x A; y B; x y + 1. c) x A, y B, y x. d) x A, y A, x + y = 1. Negação com quantificação múltipla Lembrando que ( x ; p( x) ) x ; p( x) e ( ) Temos i) ( ) x ; p( x) x ; p( x). ( x)( y) ; p( x, y) ( x)( y) ; p( x, y). ( x)( y) ; p(, x y) ( x)( y) ; p(, x y). ii) ( ) ( x)( y) ; p(, x y) ( x)( y) ; p(, x y). iii) ( )

53 Comutatividade dos quantificadores 53 A) Os quantificadores de espécies diferentes, em geral, não podem ser comutados. Exemplo pxy (, ) : y> x, xy,. Temos a) ( x),( y), y > x. (V) b) ( y),( x), y > x. (F) B) Quantificadores de mesma espécie podem ser comutados, ou seja, ( x),( y), p( x, y) ( y),( x), p( x, y). ( x),( y), p( x, y) ( y),( x), p( x, y).

54 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAÇÃO LÓGICA MATEMÁTICA 54 1 Das frases seguintes, assinale quais são proposições, atribuindo-lhes o valor lógico correspondente: a) Brasil e Argentina. b) Brasil foi campeão mundial de futebol em 198. c) As diagonais de todo paralelogramo são de comprimentos iguais. d) O triplo de 6. e) Que horas são? f) Todo quadrado é um retângulo. g) ( a + b) = a + b. h) < 5. π j) sen x = sen + x. k) Quadrados e triângulos. l) 5, 0 e 5 são raízes da equação x 3 + 5x = 0. m) (n 1) = n. n) Todo triângulo é um polígono. Considere as proposições p : Está frio. e q : Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: a) p b) p q c) p q d) p q e) p q f) p q g) p q h) p q j) p q k) p q i) ( ) p q p l) ( p q) ( q p)

55 3 Considere as proposições 55 p : A Terra é um planeta. q : A Terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol. (Expressões da forma não é nem p e nem q devem ser vistas como não p e não q ) 4 Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: a) Se x > 0 então y = 3. b) Se x + y = 6 então z < 0. c) Se x = 6 ou x = 5, então x 11x + 30 = 0. d) Se x 11x + 30 = 0 então x = 6 ou x = 5. e) Se z > 5 então x 1 e x. f) Se y = 4 e x < y então x < 5. 5 Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições: a) ( p q) b) p q c) p q q 6 Verificar se cada expressão representa: tautologia, contradição ou contingência. a) p p q

56 b) ( p q) ( q r) ( p r) 56 c) p ( p q) d) ( p p q) 7 Escrever a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível: a) Ele é alto, porém elegante. b) Se as ações caem aumenta o desemprego. c) Nem Luis nem João são ricos. d) Ele tem cabelos louros se e somente se tiver olhos azuis. e) Se Lucas é rico, então João e Maria são ambos felizes. f) A condição suficiente para ser um bom matemático é saber lógica. 8 Dada a condicional Se p é primo então, p = ou p é impar.. Determinar a) a contrapositiva; b) a contrária (inversa); c) a recíproca; d) a contrária da recíproca; e) a recíproca da contrária. 9 Sem utilizar tabelas verdade mostre as seguintes equivalências: a) p p p b) p ( p q) p c) p ( p q) p d) ( ) p q q p q e) ( p q) ( p r) p ( q r) f) ( ) ( ) p q r p q r 10 Resolva os problemas:

57 a) Supondo V ( p q r s) = F e V ( r s) = V, determine V ( p r s) b) Sabe-se que V ( p ( q r) ) = V e ( ). V p r q = F, obtenha V( p), V( q) e V( r ). 57 c) Dado que V ( p q) = V, determine V ( p r q r) e V ( p r q r) d) e). 11 Utilize as propriedades das operações lógicas e equivalências para simplificar as seguintes proposições: a) ( p q) p b) ( p q) ( p q) c) p ( p q) ( p q) d) p ( p q) ( p q) q e) ( p q) ( p q) ( p q) f) p p ( p q) g) p ( p q) ( p q) h) p ( q r) p ( p q) p ( p r) i) ( p q) j) p ( p q) k) ( p q) ( p q) l) ( p q) 1 Utilize as regras de inferências (e equivalências) para verificar a validade dos argumentos: a) lkmef b) mçre

58 c) sdfgwq 58 d) x 1 x = 1, x 1 ( x = 1 x < 0), ( x + 1= 0 x > ) ( x 1 x </ 0), x + 1= 0 x > 13 Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos utilizando o método indireto (contradição): a) p q, r q p r b) p q, p ( r s) q s c) p ( q r), q p, s r ( p s) d) ( p q) ( s r), p ( t s), r, t q e) p q, r s, p s q r f) ( p q), ( p q) ( r s), s r r g) ( p q) r, r ( s t), ( s t) u, u p q h) x = 6 x > y, ( y > 5 x 6), y >/ 5 x > y x > y 14 Sendo A = { 1,, 3}, determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: a) ( x A)( x + x 6 = 0) b) ( x A ; x + 3x + 1= 0) c) y A ; ( y + y = 6) d) x A ; x + 3x 1 e) ( x A ; x + x = 6) 15 Determine a negação das proposições: a) ( x A ; p( x) ) ( x A ; q( x) ) b) ( x A, p( x) ) ( x A, q( x) ) c) ( x A ; p() x ) ( x A ; q() x )

59 d) Existem pessoas inteligentes que não sabem nem escrever. 59 e) Toda pessoa culta é sábia se e somente se for inteligente. f) Qualquer que seja a pessoa, é necessário ser pobre para ser feliz. 16 Seja A = { 1,,3,...,9,10}, determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: a) ( x A)( y A)( x + y = 14) b) ( x A)( y A)( x + y < 14) c) ( x A)( y A)( ( x + y > 14) d) ( x A)( y A)( x + y = 14) 17 Seja { 1,, 3} A = e B = 1,1, determine o valor lógico das seguintes proposições: a) x A, y A, x < y + 1 b) x A, y B; y x 1 c) x A, y B; x y = 3 d) x A, y B; y = 0 x e) x A, y B; y < x f) x A, y B; x y 18 Escreva a negação das seguintes proposições: a) ( x)( y)( p() x q() y ) b) ( y)( x)( p() x q() y ) c) ( x)( y)( p(, x y) q(, x y) ) d) ( x)( y)( p(, x y) q(, x y) )

60 APÊNDICE 1 SUGESTÕES E RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PARTE I ELEMENTOS DE LÓGICA MATEMÁTICA 1) b) Proposição Falsa c) Proposição Falsa f) Proposição Verdadeira h) Proposição Falsa n) Proposição Verdadeira Os outros itens não são proposições. ) a) Não está frio. b) Está frio e chovendo. c) Está frio ou chovendo. d) Está frio se e somente se estiver chovendo. e) Se está frio então não está chovendo. f) Está frio ou não está chovendo. g) Não está frio e não está chovendo. h) Está frio se e somente se não está chovendo. i) Se está frio e não chove, então está frio. j) Não está frio se e somente se não está chovendo. l) idem j) l) Está frio ou não chove se, e somente se, está chovendo e não está frio. APENDICE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS

61 3) a) ( p q) b) p q c) ( p q) d) q p e) p q 4) a) x > 0 y = 3 b) x + y = 6 z < 0 c) d) ( x = 6 x = 5) ( x 11x + 30 = 0) ( x 11x + 30 = 0) ( x = 6 x = 5) e) z > 5 ( x 1 x ) f) ( y = 4 x < y) x < 5 5) 6) a) Ele não é alto ou não é elegante. b) As ações caem e não aumenta o desemprego. c) Luis ou João não são ricos. d) Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele não tem cabelos louros e tem olhos azuis. e) Lucas é rico e João não é feliz ou Maria não é feliz. f) Sabe lógica e não é bom matemático. a) Se p e p é par então p não é primo. b) Se p não é primo então, p e p é par. c) Se p = ou p é impar então p é primo. APENDICE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS

62 d) Se p e p é par então p não é primo. e) Se p e p é par então p não é primo. 3 7) a) Supondo V ( p q r s) = F (1) e ( ) Vr () Vs () F V r s = V (). De () temos que = =. Usando estes resultados em (1) obtemos: V( p) = V( q) = V. Assim, V ( p r s) = F. b) Supondo V p ( q r) = V e Vq ( r) = V e de () temos que Vq () (1) e V ( p r q) = F (). De (1) concluímos que V( p) = F, logo Vr () = V. c) Sabendo que V ( p q) = V, determine V ( p r q r) e V ( p r q r). Vamos supor V ( p r q r) = F. Temos assim que V ( p r) = V e ( ) nos permite concluir que V( p) = V( r) = V e Vq ( ) V ( p r q r) = V. Analogamente, pode-se mostrar que V ( p r q r) = V. 8) a) ( p q) p ( p p) ( q p) F ( q p) q p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = V V q r = F, o que = F, o que contradiz V ( p q) = V. Logo, b) ( p q) ( p q) p q p q ( p q) p ( p q) q ( p p) ( p q) ( q p) ( q q) F ( p q) ( q p) q p q q q p q q p q ( ) ( ) c) p ( p q) ( p q) p p q p q p p ( q q) p ( p F) p p F d) p ( p q) ( p q) q p q e) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) p ( q q) ( p q) p V F q F f) p p ( p q) p p ( p q) p ( p q) V ( p q) p q 9) V p r = F e a) Válido. Sugestão: use o método indireto, ou seja, suponha ( ) obtenha a falsidade em uma das premissas. APENDICE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS

63 b) Válido. Sugestão: use o método indireto, ou seja, suponha V ( q s) = F e obtenha a falsidade em uma das premissas. 4 c) Válido. Pelo método indireto, temos que V ( p s) = F V ( p s) = V. que é equivalente a d) Não válido (sofisma). Se fizermos Vq () = F, Vr () = V, Vt () = F, V( p) Vs () = Vou F, teremos a conclusão falsa com todas as premissas verdadeiras. = V e e) Não válido (sofisma). Fazendo V( p) = V( q) = V( r) = F e Vs () = V, todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, o que configura argumento não válido. f) Não válido (sofisma). Basta fazer V( p) = V e Vq ( ) = Vs ( ) = Vr ( ) = F e teremos todas as premissas verdadeiras com a conclusão falsa. g) Não válido (sofisma). Com V( p q) = F, Vr ( ) = Vu ( ) = Vs ( t) = V temos a conclusão falsa com todas as premissas verdadeiras. h) Válido, pelo método indireto. i) Válido. Utilizando as regras de inferência (abaixo). (1) x 1 x = 1 [premissa] () x 1 ( x = 1 x < 0) [premissa] (3) ( x + 1= 0 x > ) ( x 1 x </ 0) [premissa] (4) x + 1= 0 [premissa] (5) x 1 [de 1 por SIMP] (6) x = 1 x < 0 [de e 5 por MP] (7) ( x + 1= 0 x > ) ( x = 1 x < 0) [equivalência em 3] (8) x + 1= 0 x > [de 6 e 7 por MT] (9) x > [de 4 e 8 por MP] 10) Todos os ítens tem valor lógico Verdade. 11) a) ( x A ; p( x) ) ( x A ; q( x) ) APENDICE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS

64 b) ( x A, p() x ) ( x A, q() x ) c) ( x A ; p( x) ) ( x A ; q( x) ) 5 d) Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever. e) Existem pessoas cultas sábias e não inteligentes ou pessoas cultas não sábias ou inteligentes. f) Podemos ver a frase como qualquer que seja a pessoas, se é feliz então é pobre. Cuja a negação é Existe pessoa feliz que não é pobre. 1) a) Falsa. Contra-exemplo: para x = A, / y A tal que x + y = 14. b) Falsa. Contra-exemplo: x = y = 10 A. c) Verdade. d) Falsa. 13) a) F b) F c) V d) V e) V f) V 14) a) ( x)( y)( p( x) q( y) ) b) ( y)( x)( p() x q() y ) c) ( x)( y) p(, x y) q(, x y) d) ( x)( y){ pxy (, ) qxy (, ) pxy (, ) qxy (, ) } Parte II Conjuntos Parte III Conjunto dos Números Reais Parte IV Relações e uma definição de Função APENDICE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS

65 REFERÊNCIAS Parte I Lógica Matemática 6 [1] ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. Editora Nobel, [] DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole, 3ª. edição. São Paulo, Atlas, [3] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar conjuntos e funções, vol 1. Atual, 005. [4] MACHADO, Nilson José. Lógica? é Lógico! Coleção Vivendo a Matemática. Scipinoe, 000. [5] LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos Coleção Schaum. McGraw Hill, 197. [6] MACHADO, Nilson José & CUNHA, Marisa Ortega. Lógica e linguagem cotidiana Coleção Tendências em Educação Matemática. Autêntica Editora, 005. [7] CRUZ, Angela & MOURA, José Eduardo. A Lógica na Construção dos Argumentos Notas em de Matemática Aplicada 14. SBMAC, 004. [8] CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funções computáveis, lógica e os fundamentos da Matemática. São Paulo Editora UNESP, 006. [9] FOSSA, John. Introdução às Técnicas de Demonstração em Matemática. Editora Livraria da Física, 009. [10] CARAÇA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemática, 4ª. edição. Editora Gradiva, Lisboa, 00. [11] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática? Editora Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 000 (tradução do original What is Mathematics? 1969). [1] STEWART, Ian. Mania de Matemática: diversão e jogos de Lógica matemática. Rio de Janeiro, Jorge Zahar editora, 005. Parte II e IV Conjuntos e Relações APENDICE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS

66 [1] LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos Coleção Schaum. McGraw Hill, [] LIMA, Elon L. A Matemática do Ensino Médio, volume 1. SBM, 000. [3] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar conjuntos e funções, vol 1. Atual, 005. [4] HALMOS, Paul. Teoria Ingênua dos Conjuntos Coleção Clássicos da Matemática. Livro de 1960 reeditado pela Ciência Moderna, 001. [5] LIMA, Elon L. Meu professor de matemática e outras histórias. Coleção do professor de matemática. SBM, [6] CARAÇA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemática. 4a edição, Gradiva, Lisboa, 00. [7] CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funções computáveis, lógica e os fundamentos da Matemática. São Paulo Editora UNESP, 006. [8] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática?. Ed. Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 000 (tradução do original What is Mathematics? 1969). Parte III Conjunto dos Números Reais (ou Números e Conjuntos Numéricos) [1] LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio, volume 1. SBM, 000. [] RIPOLL, Jaime B., RIPOLL, Cydara C. e SILVEIRA, José Francisco P. Números Racionais, Reais e Complexos. Editora UFRGS, 006. [3] LIMA, Elon L. Análise Real, vol 1 Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA, [4] AVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. Edgard Blücher, 006. [5] MILIES, Cesar P. & COELHO, Sonia P. Números: uma introdução à Matemática. EdUSP, 001. [6] DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. Atual Editora, APENDICE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS

67 [7] FERNANDES, Ângela Maria V. [et al.]. Fundamentos de Álgebra. Editora UFMG, [8] NIVEN, Ivan. Números Racionais e Irracionais. SBM, [9] FIGUEIREDO, Djairo G. Números irracionais e transcendentes. Coleção iniciação cientifica. SBM, 00. [10] MENDES, Iran Abreu. Números: o simbólico e o racional na história. São Paulo, Editora Livraria da Física, 006. [11] CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática, 4a edição, Gradiva, Lisboa, 00. [1] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática?. Ed. Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 000 (tradução do original What is Mathematics? 1969). Artigos e revistas [1] Geraldo Ávila. Cantor e a Teoria dos Conjuntos. RPM, número 43, páginas 6 14, 000. [] Christian Q. Pinedo. História da Teoria dos conjuntos. Monografias em Ensino da Matemática vol. 1(00), No. 01, pp IFBA (Pato Branco, PR). [3] Irineu Bicudo. Peri apodeixeos/de demonstratione. In Educação Matemática: pesquisa e movimento, Maria Aparecida V. Bicudo e Marcelo C. Borba (organizadores). São Paulo, Cortez editora, 004. [4] Ana Catarina P. Hellmeister. Lógica através de exemplos: vamos usar a RPM?. RPM, número 47, páginas 3 37, 001. [5] Iaci Malta. Linguagem, leitura e Matemática in Disciplinas Matemáticas em cursos superiores: reflexões, relatos, propostas. Helena Noronha Cury (organizadora). EDPUCRS, Porto Alegre, 004. [6] As diferentes faces do infinito Edição especial, Cientific American Brasil, n 15. [7] RPM Revista do Professor de Matemática, diversos números, SBM. [8] Desvendando os números reais. Cristina Cerri, USP. APENDICE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS

68 [9] A construção dos números reais nos ensinos fundamental e médio. Cydara C. Ripoll, UFRGS. [10] João Carlos Sampaio e Pedro Luiz Malagutti. Mágicas, Matemáticas e outros Mistérios III Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática - UFGO 9 Divulgação e História da Matemática [1] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Unicamp, 00. [] IFRAH, Georges. Os números a história de uma grande invenção, ª edição. Globo, [3] BOYER, Carl B. História da matemática, ª. Edição. Edgard Blücher, [4] GUNDLACH, Bernard H. Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula: Números e numerais e Computação. Atual editora, [5] MAOR, Eli. e : a história de um número. Record, 003. [6] AABOE, Asger. Episódios da história antiga da matemática. SBM, 00. [7] KAPLAN, Robert. O nada que existe uma história natural do zero. Editora Rocco, 001. [8] ACZEL, Amir O. O Mistério de Aleph A Matemática, a cabala e a procura pelo infinito. Rio de Janeiro, Editora Globo, 003. [9] GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo, Editora Livraria da Física, 006. [10] NETZ, Reviel & NOEL, William. Códex Arquimedes como um livro de orações revelou a genialidade de um dos maiores cientistas da antiguidade. Rio de Janeiro, Record, 009. APENDICE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS