UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET AVALIAÇÃO BREVE DA COMPREENSÃO DO CAOS ATRAVÉS DA TEORIA DOS FRACTAIS Elisângela Silva Farias Ilhéus Bahia 2003

2 2 Elisângela Silva Farias AVALIAÇÃO BREVE DA COMPREENSÃO DO CAOS ATRAVÉS DA TEORIA DOS FRACTAIS Monografia apresentada à Disciplina Seminário em Matemática do Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas DCET, da Universidade Estadual de Santa Cruz UESC, como um dos prérequisitos para obtenção do grau de Bacharelado em Ilhéus Bahia 2003

3 3 Elisângela Silva Farias AVALIAÇÃO BREVE DA COMPREENSÃO DO CAOS ATRAVÉS DA TEORIA DOS FRACTAIS Monografia apresentada, julgada e aprovada pelo Corpo Docente do Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual de Santa Cruz como parte dos requisitos de conclusão do curso de Bacharelado em Matemática. Flávio Pietrobom Costa, Msc. Orientador Humberto José Bortolossi, Dr Ana Paula Brandão Lopes, Dra. Ilhéus - Bahia 2003

4 Dedico este trabalho àqueles que vêem beleza onde estão os números, as fórmulas, os teoremas, os gráficos... E aqueles que ainda não conseguem ver, para que possam perceber que assim como a Matemática está presente na natureza; numa couve-flor, numa folha de samambaia, enfim, no que é belo, assim também a beleza estará naquilo que for Matemática. 4

5 5 RESUMO A presente monografia apresenta a Geometria Fractal que, com suas características, representa, descreve e mede de forma eficiente, situações consideradas imprevisíveis e caóticas. A Geometria Fractal é chamada a Geometria da Natureza não apenas por descrever os objetos naturais mas, pelo fato de vários fenômenos da natureza apresentarem uma estrutura fractal: formação a partir de repetição de processos, auto-organização e auto semelhança em níveis de escala variados além de apresentarem dimensão fracionária. As entidades matemáticas fractais são construídas através de métodos de iteração com algoritmos que se repetem indefinidamente, o que lhes atribuem o aspecto da auto semelhança. Recursos computacionais e programas, softwares, são fundamentais para a geração e visualização de figuras fractais cada vez mais complexas e bem estruturadas. A Geometria Fractal, seus conceitos e características, têm sido aplicados em diversas áreas de conhecimento: na computação, biologia, geografia, física, arte, entre outras.

6 6 ABSTRACT Fractal geometry is called also "geometry of the nature", not just for efficiency in describing natural objects but, for the fact of presentation of a fractal structure by several phenomena of the nature. They shows a structural formation process starting at repetition of topological laws, self - organization and self - similarity in varied scale levels, besides they present fractional dimension. The mathematics entities called fractals are built through iteration methods with algorithms that repeat indefinitely what attribute them the aspect of the self - similarity. Computational resources and softwares are a fundamental step for the generation of fractals more and more complex and well structured. Fractal geometry, their concepts and characteristics, have been applied in several knowledge areas: in computation, biology, geography, physics, art, among others.

7 7 SUMÁRIO RESUMO...5 ABSTRACT INTRODUÇÃO HISTÓRICO FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Auto semelhança Dimensão Fractal GERAÇÃO DE FRACTAIS O floco de neves de Von Koch A curva de Peano Fractais na natureza Poeira de Cantor Triângulo de Sierpinski APLICAÇÃO DA GEOMETRIA FRACTAL Computação Gráfica Biologia Dinâmica da água no solo Vegetação Investigação dos efeitos do alumínio nas raízes de arroz Geografia e Meio Ambiente Relevo e estudo do solo Meteorologia Geografia Humana Física Arte CONCLUSÃO REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA...52

8 8 1 INTRODUÇÃO A Geometria não é só um dos ramos mais fascinantes da Matemática, é sobretudo um dos mais notáveis produtos do intelecto do Homem e desempenha um papel importante e abrangente na sua civilização. Da roda à agrimensura, da cartografia à própria concepção físico-matemática do espaço, das construções arquitetônicas às artes visuais, a Geometria estuda,abstrata e idealmente, os espaços e as formas. A Geometria, como outros ramos da Matemática fazem parte do cotidiano do homem desde os tempos mais remotos. Na forma como a conhecemos, podemos estabelecer seu ponto inicial na Grécia, por volta de 300a.C, quando Euclides escreveu Os Elementos. Nesse tempo a Geometria que chamamos de Geometria Euclidiana estava totalmente desenvolvida. Ela baseia-se no uso da régua e do compasso para a descrição e estudo do plano e do espaço à dimensão e escala humanas. Por volta da primeira metade do século XIX começaram a ocorrer vários questionamentos sobre essa geometria motivados essencialmente pelo polêmico quinto postulado de Euclides o que levou muitos matemáticos a estudarem sobre o assunto. O quinto postulado:por um ponto situado fora de uma reta pode-se traçar uma paralela a esta reta. (Matemática - Ary Quintella,1967) Euclides ao formular este postulado, que acima está escrito na versão dada por Playfair no século XVII, sabia, ou logo percebeu, que a questão da unicidade das paralelas seria polêmica pois implicava a existência do ponto de encontro de duas quaisquer retas concorrentes, mesmo que a uma imensa distância. Esta era uma questão bastante delicada. A tentativa de se mostrar a veracidade ou de mostrar que era absurdo o postulado na verdade teorema - gerou um grande acontecimento na história da matemática que foi a descoberta das geometrias não euclidianas. Esta descoberta poderia ter acontecido séculos antes se não existissem os preconceitos de que a geometria euclidiana era a única possível e que era a geometria do universo.

9 9 Hoje em dia, a Geometria abrange uma enorme variedade de disciplinas, técnicas e teorias, nomeadamente as geometrias euclidiana e não-euclidianas, geometria projetiva, geometria diferencial, geometria algébrica, geometria discreta, geometria computacional entre outras. Um dos grandes entraves apresentado pela Geometria Clássica é que ela só permite dimensões inteiras além de lidar com figuras retas ou curvas perfeitas. Mas, os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, a trajetória das gotículas de água quando penetram a terra e mais uma infinidade de fenômenos na natureza, por serem irregulares, necessitam de uma abordagem geométrica mais abrangente que a formal. Assim, num universo despovoado de formas geométricas perfeitas, onde proliferam superfícies irregulares, difíceis de representar e medir, a geometria fractal apresenta-se como um meio de tratar aqueles fenômenos considerados imprevisíveis, caóticos. Ou ainda, Fractal é o nome dado à nova linguagem geométrica descoberta através da Teoria do Caos. A razão da sua existência vem de anos atrás, da natureza. Pense por exemplo em uma folha de samambaia. Será que seu design pode ser concebido através de complexas fórmulas matemáticas? Sabemos que fora criado através da auto organização e da auto semelhança, gerando diversas formas de escala espacial e temporal, além do caos determinístico de sistemas complexos e não lineares, em particular sistemas biológicos, surgindo a partir da característica de padrões que promovem a organização espontânea de si mesmo. Teoria do Caos é um ramo matemático que se ocupa dos sistemas que apresentam um comportamento imprevisível e aparentemente aleatório, embora sejam regidos por leis estritamente deterministas, e que se deve ao fato de as equações não lineares que regem a evolução desses sistemas serem extremamente sensíveis a variações em suas condições iniciais, assim, uma pequena alteração no valor de um parâmetro pode gerar grandes mudanças no estado do sistema à medida que este tem uma evolução temporal. O atrito, a turbulência de uma massa de ar, ou o crescimento de uma população, são exemplos de sistemas dinâmicos não lineares de que trata a Teoria

10 10 do Caos, através do uso de formas fractais, a cuja inovação e beleza não podemos ficar indiferentes. O presente trabalho traz uma visão atual, em uma perspectiva introdutória, da pesquisa em torno dos fractais, aborda seus aspectos fundamentais, suas características e aplicações, além de situar seu surgimento histórico. Tem também como expectativa estimular novos pesquisadores a continuar enriquecendo e desenvolvendo o tema com novos estudos. No segundo capítulo abordaremos o surgimento histórico dos fractais, os acontecimentos que nortearam e estimularam o estudo do assunto até a evolução do momento em que suas bases foram fundamentadas com o Benoit Mandelbrot. No terceiro capítulo, será dado uma visão teórica geral da caracterização da geometria fractal fazendo uma breve correlação com as características fundamentais da geometria fractal. No quarto capítulo será apresentado alguns exemplos e suas respectivas formas de geração, serão mostradas as características dos entes fractais em sua lei de formação e a geração de algumas figuras. No quinto capítulo, teremos uma abordagem breve de algumas aplicações da Geometria Fractal em vários campos do conhecimento. Ressaltando que trata-se de uma pesquisa teórica, de caráter introdutório, que não visa abordar o assunto em todos os seus aspectos e de forma definitiva, visto que o mesmo se encontra ainda em fase de elaboração, sendo um conhecimento recente e ainda em fase de desenvolvimento.

11 11 2 HISTÓRICO Os conjuntos fractais apareceram inicialmente nos trabalhos dos matemáticos Hausdorff e Besikovich, em Posteriormente foram popularizados por Benoit Mandelbrot. O termo fractal provém da palavra latina fractus, que significa descontínuo, irregular ou quebrado. Essa palavra foi escolhida pelo polonês Benoit Mandelbrot, em 1975, para rotular suas pesquisas de Física-Matemática que o levaram a publicar o livro Les Objects Fractales: Forme, Hasard et Dimension (Os Objetos Fractais: Forma, Acaso e Dimensão). A denominação dos fractais, é explicada por Mandelbrot assim: Eu cunhei a palavra fractal do adjetivo em Latim fractus. O verbo latino correspondente frangere significa 'quebrar': criar fragmentos irregulares. É contudo sabido - e como isto é apropriado para os nossos propósitos! - que, além de significar 'quebrado' ou 'partido', fractus também significa 'irregular'. Os dois significados estão preservados em fragmento. (The Fractal Geometry of Nature, 1982 ) Entre a segunda metade do século XIX e a primeira do século XX, foram sendo propostos vários objetos matemáticos com características especiais e que foram durante muito tempo considerados monstros matemáticos, já que desafiavam as noções comuns de infinito e para os quais não havia uma explicação objetiva. Cantor que se evidenciou com as suas idéia altamente inovadoras sobre o infinito, em 1877 colocou o problema de uma linha à qual se removeria o seu terço médio, seguidamente o terço médio de cada um dos segmentos restantes e assim sucessivamente, gerando uma poeira geométrica que sendo infinita, possuiria um comprimento total igual a zero. De igual modo, seria em 1904 apresentada a curva de Von Koch e que sendo uma linha rodeada por uma área finita, possuiria um comprimento infinito. Em 1918, Gaston Julia e Pierre Fatou apresentaram um trabalho sobre processos iterativos envolvendo números complexos que mais tarde viriam a ser conhecidos como Conjuntos de Julia, mas que na época, por serem as capacidades gráficas muito limitadas, não produziram qualquer imagem. No entanto todos estes objetos matemáticos possuíam algumas características comuns

12 12 aos fractais. Para além de bizarros e por conterem em si elementos infinitos, eram de certo modo iguais a si próprios quando ampliados. É necessário lembrar ainda a importância de um grande matemático, Poincaré, que foi provavelmente o primeiro a compreender e expor a noção de Caos, bem como um sem número de outros homens da Ciência que estabeleceram os princípios que estariam na base da descoberta dos fractais. Em 1960, o meteorologista Edward Lorenz, do Instituto de Tecnologia de Massachusetts, retoma o problema do caos quando estudava a possibilidade de prever, por meio de um modelo matemático, o clima que iria se formar em determinado local. Nas suas pesquisas ele percebeu que ao introduzir um determinado número como dado inicial tinha-se um resultado, enquanto, ao se introduzir o mesmo número com uma aproximação infinitesimal, o resultado era bastante diferente. Uma diferença pequena no valor de entrada produziu uma diferença muito grande no resultado previsto por seu modelo matemático. O físico norte americano Mitchell Feigenbaun foi também um dos principais teóricos do caos, ele determinou a existência de certos padrões de comportamento em sistemas que tendem para o caos. Os padrões do comportamento caótico estão relacionados com os padrões observados na geometria fractal, como a auto-semelhança e o modelo de repetições (iterações) sucessivas, sendo a geometria fractal tida como a representação gráfica do caos. Na década de 60, Benoit Mandelbrot, um matemático que trabalhava na IBM, acreditava que certos comportamentos cotidianos imprevisíveis, como oscilações da bolsa de valores e bugs na comunicação de computadores podiam ser traduzidos em fórmulas matemáticas, e com isto traçar uma representação gráfica do comportamento destes sistemas. Ele percebeu que os sistemas ditos caóticos possuíam padrões simples de resposta, que além de repetitivos, continham a lógica de gerar o todo a partir de uma parte do fractal. A esta lógica foi dada o nome de auto semelhança. Mandelbrot, que é considerado o Pai dos Fractais, publicou seu primeiro trabalho sobre fractais em 1975, cujo título em francês era Les Objects Fractales:

13 13 Forme, Hasard et Dimension. A primeira versão em inglês saiu em 1977 com o título Fractals: Form, Chance and Dimension. Em 1982, foi publicada a nova edição desse livro, revisada e ampliada, com um outro título: The Fractal Geometry of Nature, que acabou realmente lhe trazendo fama e é o livro de referência para todo trabalho na área. A partir daí, outros matemáticos começaram a plotar fórmulas matemáticas de expressões com números complexos, obtendo fractais. Um deles foi Michael Barnsley que lançou o livro Fractals Everywhere em 1988; ele escolheu um ramo diferente dentro dos fractais, pesquisando imagens da própria natureza, ou seja, os padrões gerados por organismos vivos. Para isso, ele trabalhava com fractais de outros matemáticos procurando novas variabilidades, chegando a aplicar métodos aleatórios para criar modelos novos. Este método criado por Barnsley chamado de construção global de fractais por meio de sistemas de funções iteradas consistia de um programa de computador gráfico que gerava números aleatórios. Para cada valor gerado havia uma regra previamente estipulada, que gerava com o passar do tempo não um campo aleatório de pontos, mas uma forma representativa da lei de formação. John Hubbard também questionou acerca da semelhança entre os fractais de Mandelbrot e a codificação biológica das informações, porém ele rejeitava qualquer insinuação de que este processo dependesse da aleatoriedade. Dizia também que não havia aleatoriedade no conjunto de Mandelbrot e não acreditava que a possibilidade de aleatoriedade tenha qualquer relevância direta para a biologia onde isso significaria morte. Os conjuntos de Mandelbrot obedecem a um esquema extraordinariamente preciso, nada deixando ao acaso.

14 14 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Para melhor entendermos algumas das características da Geometria Fractal, comecemos por analisar resumidamente aquilo em que esta se opõe à Geometria Tradicional ou Euclidiana. Por um lado, a geometria euclidiana existe há mais de 2000 anos enquanto que a fractal, com os seus princípios estabelecidos, não chega a 30. Um outro aspecto importante, está relacionado com o fato de a geometria fractal se adaptar bem à representação de objetos naturais. Assim, ao contrário dos objetos criados pelo homem que são caracterizados por possuírem linhas e ângulos retos, círculos perfeitos etc., os objetos naturais, estão repletos de irregularidades, assimetrias e 'imperfeições', fatos estes, que a geometria fractal leva em conta Deve ainda ser referida a particularidade de a geometria euclidiana se servir normalmente de fórmulas e equações para se exprimir, enquanto que a geometria fractal, prefere os algoritmos e as fórmulas iterativas, pelo que está intimamente ligada à utilização dos computadores como ferramenta indispensável. A suavidade é uma característica comum dos objetos matemáticos clássicos, estudados em geometria e análise infinitesimal. Por exemplo, olhando para um pedaço de uma circunferência, ele aparece com um caráter bem uniforme, parecido com um segmento de reta. Já os fractais têm ao contrário dos anteriores, uma estrutura complexa em qualquer escala de ampliação que sejam estudados, ou seja, os fractais são formas geométricas obtidas a partir de um elemento base ao qual se aplica uma dada transformação através de regras rígidas que se aplicam infinitamente. Por isso os fractais são considerados auto-semelhantes e esta é uma de suas características. Uma diferença que se tem como a principal novidade na geometria fractal é a possibilidade de existirem dimensões fracionárias enquanto que a geometria que conhecemos admite apenas as dimensões inteiras.

15 Auto-semelhança As curvas fractais são consideradas auto-semelhantes, pois as suas propriedades são as mesmas em qualquer nível de complexidade, ou seja, o fractal é igual a uma parte sua por menor que ela seja. Quando variamos a escala de observação, dentro de certos limites, continuamos a encontrar o mesmo tipo de geometria, a mesma estrutura. Como exemplo podemos citar os cristais: Um pentágono dentro de um pentágono dentro de um pentágono... A geometria permanece invariante à medida que nos aproximemos ou afastemos do cristal. Fig.1 As árvores são auto-semelhantes, são elementos muito relacionados com os fractais e isso acontece pois a maneira mais simples de uma planta crescer consiste em repetir o processo de crescimento várias vezes. A estrutura que resulta desse tipo de crescimento é um fractal. Não se pode no entanto afirmar que uma planta seja um fractal, o que acontece é que os fractais representam uma excelente forma de representar a sua estrutura. Vejamos também o exemplo da curva de Koch.

16 16 Fig.2 Como podemos observar, o conjunto total é constituído por pequenas réplicas desse mesmo conjunto, aqui está também o conceito de auto-semelhança, ou seja, qualquer que seja a ampliação considerada, obteremos sucessivas cópias do objeto inicial.

17 17 Convém agora distinguir dois tipos diferentes de auto-semelhança: a exata e a estatística. No caso da curva de Von Koch, a auto-semelhança é exata uma vez que as réplicas que vamos obtendo, são de fato perfeitas. Podemos no entanto, imaginar determinado tipo de figuras que ao serem ampliadas apresentem uma semelhança 'estatística', ou seja, uma semelhança que não sendo exata, é porém do mesmo tipo, apresentando os mesmos padrões, no fundo, imagens que possuem as mesmas características em termos gerais. A auto-semelhança exata é obviamente um conceito artificial, pois não é possível encontrar na Natureza, objetos rigorosamente iguais a si-próprios. Apenas em termos abstratos podemos conceber tal situação. O mesmo já não se pode dizer em relação à auto-semelhança estatística, que não sendo também verdadeiramente real, pois estamos limitados mas podemos, encontrar boas aproximações em formas naturais. No caso de determinadas árvores, por exemplo, podemos encontrar uma certa semelhança entre as pequenas folhas que constituem um pequeno ramo, que por sua vez, constitui conjuntamente com outros, ramos maiores e que assim sucessivamente irão gerar uma árvore que afinal não é muito diferente do raminho inicial. Uma vez que os fractais, são gerados por algoritmos matemáticos, são por definição infinitos, uma vez que podem ser tão detalhadas quanto quisermos, bastando para isso aumentar o número de iterações a efetuar. Assim, qualquer que seja o número de ampliações de um determinado objeto fractal, nunca obteremos a 'imagem final', uma vez que ela poderá continuar a ser infinitamente ampliada. Imagine-se uma espiral abstrata à qual tentamos sem sucesso encontrar o seu ponto central. A partir das noções de auto-semelhança e de detalhe infinito podemos retirar ainda o conceito de invariância de escala. Esta é uma outra característica dos objetos fractais. Não podemos portanto, através de uma simples observação, determinar a sua escala, pois após sucessivas ampliações, o objeto final confundirse-á com o inicial, uma vez que existe entre os dois uma semelhança estatística.

18 Dimensão fractal A geometria fractal devido a sua dimensão fracionária é utilizada em aplicações de medidas de processos e formas irregulares, onde o contorno irregular ou uma função irregular são analisados na escala com dimensão fractal; isto implica numa análise da menor até a maior irregularidade. A partir da questão "Qual o tamanho da costa da Grã-Bretanha?", Mandelbrot expôs um problema complexo e que permite discernir o que é um fractal. A tabela 1 mostra a estimativa do tamanho da costa da Grã-Bretanha. Tabela 1: Estimativa do tamanho da costa da Grã-Bretanha (Wegneret al., 1993) tamanho da fitatamanho da costa métrica (milhas) (milhas) Utilizando-se trenas de 200 e 25 milhas, chega-se a resultados diferentes. Quanto menor a régua, maior será o valor medido. Isto é muito simples para explicar: como a costa da Grã- Bretanha é muito irregular, uma régua muito grande não consegue levar em conta as irregularidades, enquanto réguas menores conseguem medir mais precisamente as variações. A dimensão fractal de um objeto é a medida de seu grau de irregularidade considerado em todas as escalas, podemos assumir um valor maior do que a dimensão geométrica clássica do objeto. A dimensão fractal está relacionada à rapidez com que a medida estimada do objeto aumenta enquanto o instrumento de medição diminui (Wegner et al., 1993). Focalizando em particular a geometria, pode-se dizer que muitos objetos naturais têm uma representação muito complexa quando analisada com os

19 19 instrumentos da geometria euclidiana. Embora de um ponto de vista estrito, esses objetos possam ser classificados como unidimensionais ( linha ), bidimensionais ( superfície plana ) ou tridimensionais ( sólido ), associados à dimensão topológica, é possível estabelecer uma representação que caracterize melhor a estrutura global desses objetos. Chamando dimensão D, número de vértices V e quantidade de arestas A, têm- se as seguintes identidades: Um ponto tem dimensão zero. Ele não tem comprimento ou largura. Não se pode medi-lo. Temos: D = 0, V = 1, A = 0. Um segmento de reta tem uma única dimensão, pois só pode ser medida de uma maneira: pelo seu comprimento. Temos : D = 1, V = 2, A = 1. Um quadrado tem duas dimensões. A sua área é a multiplicação de dois números: o do comprimento e o da largura. Temos: D = 2, V = 4, A = 4. Um cubo tem três dimensões: largura, comprimento e profundidade que, multiplicados, resultam em seu volume. Temos D = 3, V = 8, A = 12. V = 2 D A = D 2 D 1 2A D = V

20 20 As três relações anteriores caracterizam os tipos de espaços geométricos para V, A e D inteiros. Na teoria dos fractais, admite-se as dimensões espaciais fracionárias. Podemos conceber a geometria fracionária como a caracterização de um objeto atribuindo lhe uma dimensão intermediária entre as dimensões topológicas. Isto é, um objeto pode admitir dimensões: 0 < D < 1 - significando que é mais que um ponto e menos que uma linha (Ex.:Conjunto do Cantor) ; 1< D < 2 - é mais que uma linha mas não chega a preencher todo o plano. ( Ex.:Curvas de Koch ); 2 < D < 3 - é mais que um plano mas não chega a ser um volume. ( Ex.: Esponja de Sierpinski). Ao invés de usar a dimensão D igual a 1, 2 ou 3, atribui lhe números fracionários, como por exemplo 2/5 ou mesmo irracionais, como por exemplo 3. Isto equivale dizer que uma área como a costa da Inglaterra é um objeto de dimensão um e meio ou 1,5-D. Assim, estendeu-se a idéia de multiplicar dois números ( 2-D), para a idéia 1,5 D: isto é, multiplicar 1,5 número significa multiplicar um número ( 1-D ) pela raiz quadrada ( 0,5 D ) de outro, da mesma forma que, multiplicar um número pela raiz cúbica de outro tem algo a ver com a dimensão 1 e 1/3. O conceito de dimensão fractal fornece uma maneira de medir a irregularidade das curvas fractais. Superfícies muito complexas, tais como a folhagem de uma árvore ou a estrutura interna dos pulmões, podem realmente ser estruturas tridimensionais. Nós podemos, portanto, pensar na irregularidade como um aumento na dimensão: uma curva irregular possui uma dimensão intermediária entre 1 e 2, enquanto que uma superfície irregular possui uma dimensão entre 2 e 3. Em ambos os casos, a dimensão é fracionária.

21 21 Em 1919, o matemático alemão Félix Hausdorff deu uma definição alternativa para a dimensão de conjuntos arbitrários no R n : A dimensão de Hausdorff de um conjunto auto- similar S é definido por D H = ln N ln(1/ s).onde N é o número de partes em que em que o conjunto original é subdividido e s é a razão de congruência entre a figura original e cada uma de suas partes. Um conjunto é dito auto-similar se pode ser descrito da forma S = s 1 s 2... s N onde s 1, s 2,... s N são conjuntos não sobrepostos, cada um dos quais é congruente a S pelo mesmo fator s. Dois conjuntos são ditos congruentes se pudermos fazê-los coincidir exatamente usando translações e rotações apropriadas. Analisemos : Um segmento de reta pode ser expressa como a união de quatro segmentos de reta congruentes. Cada um dos quatro segmentos é congruente ao segmento original pelo fator de ¼. Deste modo, este segmento de reta é um conjunto auto-similar com N=4 e s= ¼. Dimensão 1 : N partes quando reduzido a s = 1/ N N = 4 s = 1/4 D H = ln 4 ln 4 = 1 Um quadrado pode ser expresso como a união de quatro quadrados congruentes. Cada um dos quatro quadrados é congruente ao quadrado original pelo fator de ½. Deste modo, um quadrado é um conjunto auto-similar com N= 4 e s= ½. Dimensão 2 : N partes quando reduzido a S = 1 N 1/ 2 N = 4 s=1/2 D H = ln 4 ln 2 = 2

22 22 Um cubo pode ser expresso como a união de oito cubos congruente ao cubo original pelo fator de ½. Um cubo é um conjunto auto-similar com N=8 e s= ½. Dimensão 3 : N partes quando reduzido a a S = 1 N 1/ 3 N=8 s= 1/ 2 D H = ln8 ln 2 = 3 Então, em geral, S = 1 N 1/ D ou, equivalentemente S D = N 1 Esta fórmula juntamente com a análise das figuras nos permite interpretar o conceito de dimensão de Hausdorff. Se contrairmos um conjunto por um fator de s= 1 ½, e então sua medida decrescerá por um fator de ( ) D. Assim, como na ilustração 2 acima, contraindo um segmento de reta por um fator ¼, sua medida ( comprimento ) 1 diminuirá por um fator de ) 1 1 ( = e contraindo uma região quadrada por um fator ½, sua medida ( área ) diminuirá por um fator de ) 2 1 ( =. 2 4 É importante ressaltar alguns fatos sobre a dimensão de Hausdorff : as dimensões topológicas e de Hausdorff de um conjunto não precisam coincidir. A dimensão de Hausdorff de um conjunto não precisa ser um número inteiro. A dimensão topológica de um conjunto é menor do que ou igual à dimensão de Hausdorff, ou seja, D T ( S ) D H ( S). Sejam os exemplos:

23 23 1) Triângulo de Sierpinski - Como ocorre com o tapete de Sierpinski, o padrão intricado de triângulos dentro de triângulos continua indefinidamente em escala menor. Este é um conjunto com N = 3 e s = ½. Fig.3 2) Tapete de Sierpinski Conjunto auto similar com N= 8 e s = 1/3, pois tratase de um quadrado em que se retira um quadrado ao centro, cujo lado vale um terço do primeiro, este processo é repetido infinitas vezes em escala menor. Fig.4 O tapete e o triângulo de Sierpinski têm uma estrutura mais complexa que o segmento de reta e um quadrado pois exibem um padrão que é repetido indefinidamente. Utilizando estes exemplos e explorando esta diferença, vejamos nas tabelas 2 e 3 o que ocorre com a dimensão topológica e Hausdorff.

24 24 Tabela 2 Conjunto S D T (S) Segmento de reta 1 Quadrado 2 Tapete de Sierpinski 1 Triângulo de Sierpinski 1 Tabela 3 Conjunto S s N D H (S) = ln N ln(1/ s) Segmento de reta ½ 2 ln2/ ln2 = 1 Quadrado ½ 4 ln4/ ln2 = 2 Tapete de Sierpinski 1/3 8 ln 8/ ln 3 = 1, Triângulo de Sierpinski 1/2 3 ln 3/ ln 2 = 1, Comparando as Tabelas 2 e 3, nós vemos que as dimensões de Hausdorff e topológica coincidem para o segmento de reta e para o quadrado, mas são desiguais para o tapete e o triângulo de Sierpinski. A partir daí, Mandelbrot ofereceu a seguinte definição : Um fractal é um subconjunto de um espaço euclidiano cujas dimensões de Hausdorff e topológica não são iguais. Mandelbrot alertou, no entanto, que esta definição era bastante restrita e que provavelmente seria substituída no futuro. De acordo com esta definição, o tapete e o triângulo de Sierpinski são fractais.

25 25 Segue da definição precedente que um conjunto cuja dimensão de Hausdorff não é um número inteiro deve ser um fractal. Contudo, a recíproca não é verdadeira, ou seja, é possível um fractal ter dimensão de Hausdorff inteira. A dimensão de uma curva fractal é um número que caracteriza a maneira na qual a medida do comprimento entre dois pontos aumenta à medida em que a a escala diminui. A dimensão fractal é então definida pela equação D = ln N ln(1/ s).

26 26 4 GERAÇÃO DE FRACTAIS A Teoria dos Fractais modificou as regras sobre a maneira de fazer formas geométricas. A geometria tradicional toma uma equação e pede o conjunto de números que a satisfazem. As soluções para uma equação como x 2 + y 2 = 1, portanto, resultam numa forma, no caso um círculo de raio 1 com centro na origem do plano. Na Geometria Fractal, para se obter uma figura, repete-se uma equação em lugar de resolvê-la, assim, a equação se torna um processo ao invés de uma descrição, dinâmica ao invés de estática. Um ponto é gerado não quando satisfaz a equação, mas quando produz certo tipo de comportamento. Dessa forma, veremos alguns fractais clássicos, sua lei de formação e analisar certas características da figura fractal através de seu algoritmo,sua equação geradora. 4.1 O floco de neves de Von Koch Nas palavras de Mandelbrot, o floco de neve de Koch é "um modelo grosseiro, mas vigoroso de uma linha costeira". Vejamos primeiramente como se comporta uma curva regular: a circunferência será tratada como o limite de uma seqüência de polígonos, assim O triângulo eqüilátero é a primeira aproximação da circunferência. O hexágono regular é a segunda aproximação da circunferência

27 27 O dodecágono é a ter- ceira aproximação da circunferência O polígono de 24 lados é a quarta aproximação da circunferência Dessa forma, a circunferência é o limite para o qual tendem os perímetros dos polígonos triângulo, hexágono, etc, que são cada vez maiores, mas limitados pelo comprimento da circunferência (2πr) onde r é a medida do raio. O floco de neve de Koch (curva patológica), é um fractal, que se obtém partindo de um triângulo eqüilátero. Para o construir, começa-se com um triângulo com lados de tamanho 1. Ao meio de cada lado, adiciona-se um novo triângulo com um terço do tamanho; e assim por diante, como se pode 4 4 verificar na figura seguinte. O comprimento total do contorno é Contudo, a área permanece menor que a área do círculo que circunda o triângulo original. Portanto, uma linha infinitamente longa é rodeada por uma área finita (esta é uma patologia da curva). A série que representa a área limitada pelo floco de neve converge para um valor que é 8/5 da área do triângulo inicial ou 1,6 a área desse triângulo. A outra patologia do floco de neve é que é impossível dizer em qualquer dos seus pontos que direção tomará. Não se pode encontrar uma tangente a ela.

28 28 Fig. 5 - Construção do floco de neve de Koch. A curva de Koch é semelhante ao floco de neve de Kock só que em vez de se partir de um triângulo eqüilátero, parte-se de um segmento de reta e aplica-se o mesmo processo de construção. Há a possibilidade de se construir figuras fractais manualmente, repetindo exaustivamente processos geométricos. reta Para se construir a curva de Koch, desenha- se inicialmente um segmento de Divide-se então o segmento em três partes iguais e no segmento equivalente ao terço médio desenha-se um triângulo eqüilátero apagando em seguida a base. Ficaremos com a seguinte figura, que é composta de quatro segmentos iguais.

29 29 fig.6 Em cada segmento que agora compõe a figura deve-se repetir o processo descrito acima, encontrando: fig. 7 Este processo deve repetir-se infinitamente para obtermos a figura que representa a curva de Kock: fig. 8 Observando a figura 7, podemos perceber que ela pode ser decomposta em 4 pedaços iguais à figura 6 e ao mesmo tempo podemos olhá-la como uma ampliação de uma parte da figura 8. Vemos assim, claramente, a auto-semelhança característica de uma figura fractal. Existe uma variedade de programas computacionais que geram fractais. Vamos analisar a geração do fractal curva de Kock no programa Strings Fractais: O programa Strings Fractais funciona com a introdução de parâmetros e algoritmos que são processados de forma iterativa criando figuras fractais. As informações devem ser introduzidas no seguinte padrão:

30 30 FORMATO DO ARQUIVO: Parâmetros nessa ordem por linha: Número de fractais contidos no arquivo Nome do fractal Iniciador Gerador F Gerador X Gerador Y Angulo inicial Angulo do gerador 0 - Determinístico e 1 - Aleatório Nome do fractal Iniciador Gerador F Gerador X Gerador Y Angulo inicial Angulo do gerador 0 - Determinístico e 1 - Aleatório... Onde, o nome do fractal pode ser escolhido pelo usuário. Iniciador é a figura que dará início ao fractal, que é chamado de semente. F é a representação de um

31 31 segmento, então, gerador F é a forma que será introduzida em cada segmento descrito. O X e o Y são os espaços deixados para a introdução de um novo gerador. Gerador X e gerador Y são as novas formas que serão introduzidas nestes espaços. Gerando a curva de Kock, apresentaremos: 1 Curva de Kock F F- F + + F - F X Y Explicando cada parâmetro acima, temos: Tabela 4 1 No arquivo só foi introduzido um único fractal. Ao se introduzir outros, este número deve ser mudado. Curva de Kock Este foi o nome escolhido para o fractal F Significa que o fractal terá início com um segmento de reta F - F + + F - F É o algoritmo gerador que se repetirá para a formação do fractal. O sinal negativo significa que deverá ser desenhado um segmento girando para cima ou para a direita, o positivo para baixo ou para a esquerda. X Não foi introduzido nenhum gerador para X

32 32 Y Não foi introduzido nenhum gerador para Y 0 Ângulo inicial 0, significa que o segmento inicial tem inclinação zero, ou seja, horizontal. 60º Ângulo do gerador 60, significa em que grau o segmento no algoritmo gerador irá girar. 0 Introduzindo o 0, o programa irá gerar uma figura com ângulo determinístico, ou seja regular e simétrica. Há a opção de introduzir o 1, que irá gerar uma a mesma figura de forma assimétrica e irregular, sobre a qual diremos que tem um ângulo aleatório O algoritmo gerador do fractal curva de Kock, é então: F F - F + + F F (F F + + F F) - ( F F + + F F) + + (F F + + F F) (F F + + F F) A lei de formação da figura se repete identicamente e infinitamente, levandonos a perceber a característica de construção por repetição iterada de processos e sua auto semelhança aparecendo em todos os níveis de construção. F + + F F F - - F

33 A curva de Peano A curva de Peano, apresentada em 1890, é um exemplo de um fractal que preenche o plano. Uma curva que preenche o plano passa por todos os pontos de uma determinada área, acabando por ocupar a totalidade. O ponto de partida para a construção da curva de Peano é um segmento. Na 1ª iteração, o segmento é substituído por 9 segmentos de comprimento igual a um terço do comprimento do segmento inicial, e colocados como indica a primeira imagem da figura 9. Esses 9 segmentos constituem a 1ª iteração da construção recursiva da curva de Peano. Depois, o processo recursivo aplica-se a cada um dos 9 segmentos, até ao infinito. Observemos que as curvas obtidas nas diferentes iterações da recursão, a partir da primeira, intersectam-se a si próprias - nos vértices dos pequenos quadrados que se vão formando em cada iteração. Pode-se demonstrar que no limite, isto é, na curva de Peano, se passa o mesmo, dando-se o preenchimento do plano. Fig. 9 - Construção da curva de Peano: 3 iterações.

34 Fractais na natureza Alguns objetos da Natureza, como montanhas, árvores e plantas, têm propriedades fractais. Na imagem que se segue, podemos observar em vários níveis de ampliação a complexidade e pormenor de um feto. Este feto apresenta a propriedade de auto-semelhança, característica dos fractais. Com efeito, as várias ampliações, sinalizadas na imagem inicial a laranja e a azul, são muito semelhantes a essa imagem. Estas propriedades sugerem uma ligação entre os fractais e a natureza. Fig Feto: um objeto da Natureza fractal. Outros exemplos de objetos da Natureza com propriedades fractais são a couve-flor, os brócolis e as costas marítimas. Mandelbrot utilizava-se em suas palestras de uma couve- flor que ele mostrava aos ouvintes para que percebessem a auto-semelhança. Vamos analisar a auto-semelhança: na figura da esquerda está uma couve-flor inteira, na direita está uma couve- flor cortada ao meio e o que percebemos é que a estrutura apresentada é a mesma em ambas, ou seja, a couve- flor

35 35 preserva a sua estrutura, sua lei de formação em qualquer parte que tomemos do inteiro. Fig.11 Contudo, os objetos da natureza não são verdadeiramente fractais, pois eles não são infinitamente complexos. Utilizando o programa Strings Fractais para a geração de fractais árvores: Árvore 1: Árvore F FF-[-F+F+F]+[+F-F-F] X Y

36 36 Fig.12 Fig. 12 Algoritmo de geração: F F F - [ - F + F + F ] + [ + F F F ] (FF-[-F+F+F]+[+F-F-F])( FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]) [ - FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]) + (FF-[- F+F+F]+[+F-F-F]) + (FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]) ] + [ + (FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]) - ( FF-[- F+F+F]+[+F-F-F]) (FF-[-F+F+F]+[+F-F-F])]. Esta é a lei de formação que gera a árvore da figura acima, observe sua estrutura auto organizada, com processo de formação iterada, ou seja, este processo poderá se repetir indefinidamente para o surgimento de uma figura cada vez mais complexa e mais próxima possível do que quisermos descrever. Isso pode ser observado na figura e também no algoritmo gerador. Árvore 2: Podemos com o mesmo algoritmo iniciador e gerador do fractal acima gerar uma outra figura mudando apenas o último parâmetro, na árvore 1 utilizamos o ângulo determinístico ( 1 ), agora na árvore 2 utilizaremos o ângulo aleatório ( 0 ) da seguinte forma:

37 37 Árvore fortuita F FF-[-F+F+F]+[+F-F-F] X Y Fig.13

38 Poeira de Cantor Fig.14 Para construir este conjunto, nós começaremos com um intervalo [0,1]. A partir disto nós removemos o intervalo 1/3 < x < 2/3, ou seja, dividimos o intervalo em três partes iguais e retiramos o terço médio. Os intervalos que restaram são 1/3 do original. Novamente vamos repetir o processo, ou seja, para o intervalo [0,1/3] nós removeremos o intervalo 1/9 < x < 2/9, e para [1/3,1] nós removemos 7/9 < x < 8/9. Assim, para a primeira remoção teremos 2 intervalos de comprimento 1/3, para a segunda 2 2 intervalos de comprimento 1/3 2, para a terceira teremos 2 3 intervalos de comprimento1/3 3, e assim por diante.

39 39 Fig Triângulo de Sierpinski Uma das formas de gerar um fractal é através de remoções. Vamos considerar um triângulo eqüilátero (poderia ser outro). Traçando os pontos médios dos lados do triângulo obtemos um novo triângulo, então removemos este triângulo como mostra a figura abaixo: figura 16- Primeira remoção. Sobram três triângulos eqüiláteros. Para cada um desses triângulos removemos um outro triângulo repetindo o mesmo processo, obtendo agora nove triângulos eqüiláteros.

40 40 Figura 17- Segunda remoção. A figura que resulta da n-ésima remoção feita é chamada o Triângulo de Sierpinski. Note que este triângulo não é bidimensional, qualquer parte do triângulo é possui dimensão fracionária pela remoção de pequenos triângulos. Podemos gerar fractais com o auxílio do Teorema da Colagem : Uma imagem fractal pode ser vista como uma união de cópias reduzidas dela mesma. Cada cópia é obtida pela aplicação de um mapeamento de contração w i do Sistema de Funções de Iteração( SFI). Como exemplo, este teorema será aplicado na construção do fractal triângulo de Sierpinski. Com X = [0,1] 2, parte-se de um conjunto inicial A 0 = {quadrado de lados = 1} e um SFI formado pelas seguintes transformações: w 1 (x,y) = (½ x, ½ y ), w 2 (x,y) = (½ x + ½, ½ y), e w 3 (x,y) = (½ x + ¼, ½ y + ½) A figura abaixo mostra as primeiras iterações do processo de construção do Triângulo de Sierpinski:

41 41 1 a iteração 2 a iteração 3 a iteração 4 a iteração 5 a iteração 6ª iteração Observando o triângulo de Sierpinski pode-se notar que ele é formado por 3 cópias reduzidas dele mesmo, ou também, por 9 cópias reduzidas. Aplicando-se o Teorema da Colagem no Triângulo de Sierpinski, obtém-se as transformações. Pelo Teorema da Colagem uma imagem semelhante pode ser obtida cobrindo-se a imagem que será codificada com cópias reduzidas dela mesma, e quanto menor a quantidade de espaços em branco, sem alguma cópia o cobrindo, mais semelhante será a imagem obtida. Será utilizada uma transformação para cada cópia reduzida da colagem, indicando onde e como esta cópia será posicionada. Escolhe-se, geralmente, o menor número de cópias que ofereçam uma boa colagem da imagem. Neste caso, foram 3 cópias, que forneceram uma colagem "perfeita", sem perdas, do Triângulo de Sierpinski.

42 42 Temos também a Esponja de Sierpinski, que é uma figura que não representa um sólido apesar de ser mais do que uma figura plana, que segue os mesmos padrões de construção dos triângulo de Sierpinski. Fig.19 Observemos a tabela explicativa com algumas construções de figuras fractais. Tabela 5 ELEMENTOS SEMENTE IMAGEM FRACTAL (ESTÁGIO 1) IMAGEM FRACTAL (ESTÁGIO 2) IMAGEM FRACTAL (ESTÁGIO N) INTERPRE- TAÇÃO EXEMPLO 1 GALHOS DE UMA ÁRVORE EXEMPLO 2 LEMBRA UMA LINHA COSTEIRA EXEMPLO 3

43 43 5 APLICAÇÃO DA GEOMETRIA FRACTAL A geometria fractal, com seus conceitos e características, têm se tornado uma grande ferramenta em muitas ciências. Por apresentar como resultado construções geométricas que podem receber tratamento gráfico (sombra, cor e luminosidade) em que formas simples geram entes geométricos complexos, a geometria fractal representa com uma excelente semelhança objetos e fenômenos da natureza. Diversas áreas de conhecimento utilizam atualmente geometria fractal para obter e desenvolver representações de fenômenos naturais ou simular esses fenômenos. Apresenta-se a seguir alguns exemplos dessas aplicações com as inovações que estão sendo desenvolvidas dia-a-dia em relação à aplicação de fractais. 5.1 Computação Gráfica Na Computação Gráfica, fractais, entre outras coisas, são utilizados para representar elementos da Natureza como crateras, planetas, costas, superfícies lunares, plantas, ondulações em águas e representação de nuvens. Também são de grande importância para a criação de efeitos especiais em filmes, como por exemplo a criação do planeta Gênesis no filme Jornada nas Estrelas 2. No filme O Vingador do Futuro foram utilizados fractais para simular a superfície de Marte, e também no filme O Bosque Animado para a composição do cenário.

44 44 O Vingador do Futuro (1990) As superfícies de Marte foram simuladas utilizando algoritmos fractais. Fractais são do interesse de designers gráficos e film makers pela sua habilidade de criar formas novas e mundos artificiais mais realistas. 5.2 Biologia A geometria fractal descreve de forma eficiente, objetos naturais como membranas biológicas, aspectos da morfologia celular e colônias de microorganismos, dentre tantos outros exemplos. Todos esses sistemas apresentam uma estrutura irregular que permanece constante em diferentes escalas, ou seja, a natureza e os fenômenos naturais possuem as características fractais de dimensão fractal (irregularidade) e auto-semelhança (repetição de processos), o que permitem uma análise abrangente desses fenômenos utilizando essa nova abordagem. Dentre esses fenômenos, alguns serão destacados a seguir.

45 Dinâmica da água no solo Os algoritmos fractais são utilizados para a descrição do percurso da água em diversas superfícies, além de modelar de forma eficiente os fenômenos ocorridos e suas características. A umidade do solo avança em frentes irregulares definindo aquilo que se chama de fingers. A estrutura desses se assemelha muito a um sinal transmitido, periódico e irregular, como um sinal de rádio, uma onda cerebral, ou uma seqüência de freqüências sonoras numa música. Têm sido utilizados métodos para se medir a dimensão fractal dessa frente de molhamento no solo e assim identificar algumas propriedades específicas do sistema que outros métodos tradicionais não conseguem Vegetação Os fractais são utilizados para o estudo de processos biológicos, análise de crescimento das plantas, que ocorre seguindo um padrão de iteração semelhante ao algoritmo fractal e interpretação de imagens naturais pois a geometria fractal possibilita uma análise mais ampla de estruturas irregulares e complexas Investigação dos efeitos do alumínio nas raízes de arroz Nas pesquisas centradas sobre os vários aspectos das inter-relações soloplanta, observa-se um uso crescente da geometria fractal, como ferramenta no estudo de uma variedade de problemas. Nas pesquisas sobre estrutura e função de sistemas radiculares, esta abordagem também pode encontrar uma ampla aplicabilidade, particularmente na descrição dos complexos padrões tridimensionais

46 46 associados ao desenvolvimento morfológico desses sistemas (Tatsumi et al, 1989, Nielsen et al, 1999 ). Como os sistemas radiculares aproximam-se de objetos fractais, a sua dimensão fractal, revela informações sobre padrões de ramificação radicular independentemente do tamanho das raízes, e resumidas em um único número. Esta simplicidade, torna atraente o seu uso, tendo em vista a intrincada variabilidade espacial e temporal usualmente presente nos dados relativos a raízes e solos. Uma pesquisa importante utilizando conceitos fractais foi a investigação da presença de níveis potencialmente tóxicos de alumínio (Al) nos horizontes subsuperficiais de solos onde atualmente cultiva-se arroz de sequeiro. A figura abaixo mostra o comportamento da Dimensão Fractal (DF) em função do teor de alumínio para as amostras analisadas. As curvas experimentais para as dimensões fractais das raízes versus teor de alumínio apresentaram simetria em relação DF 1,23. Os dados da DF para cada tratamento foram correlacionados com os dados relativos a comprimento e número das duas classes de raízes e com dados derivados da combinação dessas características Dimensão Fractal Ca Cb Al (µ mol L -1 ) Dimensão fractal de raízes de arroz (Caiapó e Comum Branco) em função dos teores de Al adicionados na solução nutritiva.

47 Geografia e Meio Ambiente O aspecto aparentemente caótico dos acidentes geográficos e de diversas situações na Geografia e no meio ambiente sugere a utilização de uma abordagem gráfica mais abrangente e necessita de uma representação próxima da realidade para que se possa ser analisada, caracterizada e estudada de forma mais precisa. Diversas contribuições esparsas e uma coletânea específica surge assinalando a caracterização fractal dos fenômenos geográficos. Historicamente, o artigo de Mandelbrot (1967) sobre o comprimento da linha costeira da Grã-Bretanha ganha a posição de primeiro referencial. Em 1989, Haigh, dedicando atenção aos aspectos dos sistemas dinâmicos no estudo das paisagens, mostra como a análise fractal torna-se instrumento adequado para se compreender a posição e o alinhamento hierárquico dos sistemas, assim como a sua dinâmica e desenvolvimento Relevo e estudo do solo Deve-se registrar a focalização do uso de fractais para se compreender as características da rugosidade da superfície e da topografia, assim como das paisagens. Também são produzidas simulações de processos geológicos e visualização de superfícies. As aplicações do uso de fractais no estudo dos solos começaram em 1983, quando Burrough salientou sua importância para o conhecimento das variações aninhadas dos diversos níveis de solos e mostrou o uso de modelos fractais. Depois, Armstrong (1986) salientou algumas dimensões fractais das propriedades

48 48 transientes dos solos. Entretanto, só a partir de 1988 é que se observa a retomada e continuidade dos estudos procurando utilizar dos modelos fractais. As implicações do uso de fractais para análise da permeabilidade e porosidade das rochas foram delineadas por Hansen e Skjeltorp (1988). Também foi considerada a aplicabilidade da abordagem fractal no estudo dos processos de absorção do vapor dágua pelos solos. Tyler e Wheatcraft (1989;1990 e 1992) desenvolveram estudos a respeito do processo de retenção de água nos solos e do escalonamento fractal da distribuição do tamanho das partículas nos solos, enquanto Bertuzzi, Raws e Conrault (1990) testaram o uso dos índices de rugosidade para avaliar as mudanças da rugosidade superficial dos solos devido às precipitações simuladas Meteorologia O uso dos fractais em Meteorologia destacam se em trabalhos sobre as áreas com chuvas (Lovejoy,1981) e relações entre áreas e perímetros para áreas de chuvas e de nuvens ( Lovejoy, 1982; 1983). O uso de fractais aparecem em estudos sobre frentes chuvosas e simulação de chuvas, nos estudos atmosféricos e para proposição de modelo para as propriedades fractais das chuvas Geografia Humana Os estudos procurando utilizar a abordagem fractal em Geografia Humana encontram se praticamente vinculados aos aspectos da Geografia Urbana. Os trabalhos iniciais surgiram focalizando a geometria das formas urbanas, a estrutura urbana e a natureza fractal do crescimento urbano e procurando aplicar os processos de simulação para gerar formas urbanas em face do crescimento difusivo. Recentemente, Batty, Fotheringham e Longley (1993) elaboraram quadro abrangente a respeito da geometria fractal nos estudos da morfologia urbana. Por outro lado, Wong e Fothering (1990) consideraram os sistemas urbanos como exemplos de unidades caóticas e procuraram explorar as dimensões fractais no tocante ao escalonamento da grandeza e migração rural urbana, enquanto os nichos de população no planejamento urbano e as dimensões fractais das mudanças demográficas foram também analisadas. Outro exemplo analítica é fornecido por White e Engelen (1993), utilizando a modelagem celular para estudar a evolução dos padrões de uso do solo urbano.