QUADRADO MÁGICO: RECURSO DIDÁTICO PARA EQUAÇÃO DE GRAU I

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1 QUADRADO MÁGICO: RECURSO DIDÁTICO PARA EQUAÇÃO DE GRAU I Shirley Simone Costa de Souza FAINTVISA/PE shirleyvermelho@bol.com.br José Roberto da Silva UPE; FAINTVISA/PE; FUNESO/PE jrobertosilva@bol.com.br Maria Aparecida da Silva Rufino SEE-PE, cidasrufino@bol.com.br 1. Introdução O interesse do homem pela história tem sido marcado pela preocupação em entender o conhecimento que se tem construído a partir da história que foi assimilada. Não obstante é importante lembrar como aponta Joseph (1996), que esse conhecimento sofreu e sofre influências das diversas visões desse passado. Nesse contexto acredita-se ser de grande relevância buscar-se outra visão desse passado construída por diferentes culturas e idéias que não seja aquela julgada por grande parte dos historiadores como sendo a que se sobrepõe a outras culturas quando se referem à herança grega, designando a essa cultura um papel dominante na história das ciências. A matemática enquanto parte do conhecimento científico da humanidade sofreu também um destino similar ao discutido no parágrafo anterior e numa visão mais ampliada dessa influência criou-se um aspecto elitista desse desenvolvimento o qual tem como sua fonte suprema a Grécia e como herdeira absoluta a Europa. Essa tal visão é designada por Joseph (p. 179) como: erudição eurocêntrica, a qual tem uma tendência a ignorar o desenvolvimento científico de outras culturas e no que concerne a matemática qualquer atividade nesse campo do conhecimento que tenha sido realizada fora do domínio da Europa é desvalorizada e, portanto, desconsiderada. Vale salientar que este presente estudo não tem interesse em adentrar no mérito da questão eurocêntrica, conforme apontada acima, arraigada na cultura grega e sim caracterizar alguns aspectos que levaram ao reconhecimento de que diferentes culturas em diferentes períodos da história. Por exemplo, a herança chinesa, a qual contribuiu de algum modo para construir-se as reservas do conhecimento matemático do mundo.

2 2 Nessa intenção será trazida inicialmente uma breve incursão histórica da influência dessa cultura na matemática, em seguida se fará uma apresentação do que vem a ser um quadrado mágico e finalmente se trará uma proposta metodológica para a utilização do quadrado como recurso didático. 2.- Uma Breve Incursão Histórica sobre a Matemática Chinesa Para se entender a história da matemática chinesa bem como a de outra civilização qualquer se faz necessário conhecer um pouco da cultura de tal civilização e o seu desenvolvimento. Além disso, se faz também necessárias fontes e dados históricos que possibilitem caracterizar uma dada área do conhecimento com os procedimentos empregados por eles. No caso deste trabalho cuja preocupação é utilizar a história como recurso didático em especial o quadrado mágico e a equação do 1º grau, como fonte de embasamento teórico especificamente utilizou-se a obra intitulada História Ilustrada da Ciência de Ronan (2001). A civilização chinesa desenvolveu-se as margens do rio Amarelo e do rio Azul, desde o terceiro milênio. Iniciada na dinastia Hsia pelo imperador Yu, por volta de 1500 a.c., na dinastia Shang, na região do Shangai, surgiram os primeiros escritos chineses referentes aos primeiros numerais, expostos sobre cascos de tartaruga e sobre ossos de animais. Aproximadamente entre 700 a.c. e 400 a.c. surgiu de fato o primeiro texto sobre matemática, intitulado Chou Pei Suan Ching, onde nele encontrava-se o primeiro diálogo sobre as propriedades dos triângulos, no qual o Teorema de Pitágoras foi enunciado e dado uma demonstração geométrica sobre o mesmo, existindo também uma breve explicação sobre o cálculo aritmético. Foi nessa época, que surgiram as duas primeiras correntes filosóficas chinesas: O Confucionismo, que tratava diversos conceitos sobre os problemas morais e o Taoísmo, que defendia uma vida em harmonia com a natureza. De 200 a.c. a 220 d.c., na dinastia Han, muitos dedicavam o seu tempo a transcrever de memória, textos literários e científicos, porém foi nessa época que o mais importantes dos textos matemáticos foi escrito chamando-se Chin Chang Suan Shu, ou seja, (Os Nove capítulos da Arte Matemática) Este livro contém 246 problemas, distribuídos por nove capítulos, falando inclusive sobre o texto de Shu Shu Chi Yi, onde nesse texto encontra-se a primeira abordagem sobre os quadrados mágicos. Ao contrário dos gregos, os chineses não obtiveram grandes descobertas na geometria. Porém, na álgebra e pela forma de escrever números, eles foram de grande

3 3 importância. Neste estudo, portanto, se investira em alguns aspectos tidos como herança da cultura chinesa. Enquanto as grandes civilizações evitavam trabalhar com frações, os chineses na época de Han, tornaram-se peritos em frações. Dominavam também o sistema decimal (que parece ter começado muito cedo, pois os rudimentos podem ser encontrados nos documentos Moítas do século IV a.c.). Os chineses eram capazes de expressar números muito grandes, e por volta do século II d.c. estavam usando o que hoje chamamos de potência de dez, não usavam esse termo, mas tinham símbolos que expressam essa idéia. Enquanto no Ocidente, houve grandes dificuldades quando se chegou aos Surdis (palavra derivada do latim estúpido) referindo-se assim aos números irracionais, aqueles que não podiam ser expressos como uma relação entre dois números inteiros. Os chineses não tinham problemas quando se deparavam com os números negativos em suas pranchas de contagem, as varetas vermelhas representavam números positivos e as negras negativas. Isso por volta do século II d.c. na Índia, tais números não apareceram antes do século VII e, na Europa, não antes do século XVI. No campo da aritmética deram uma grande contribuição e num estágio muito antigo da história chinesa, os números ímpares eram julgados azeagos e os pares afortunados. Os chineses sempre foram peritos em encontrar auxílios para o cálculo, como outras civilizações primitivas contavam nos dedos, usavam barbantes, mas seu mais eficiente artifício de cálculo era a vara de contar. Porém depois do período Ming, pouco se ouviu a respeito das varetas, pois cederam lugar ao ábaco, um instrumento bem mais eficiente e que eram chamado pelos chineses de Suan pan (placa de cálculo). A primeira referência a esse instrumento não apareceu antes do ano 1593 d.c. Parece que o ábaco já era conhecido no século II d.c. Existem referências de que a origem do ábaco tenha sido na Índia, assim como também eram utilizados pelos gregos, os egípcios e até mesmo dos babilônios. Porém sendo aperfeiçoados pelos chineses. Estudaram padrões de pontos, como o foram na Grécia por Pitágoras e seus seguidores, para deduzir seqüências numéricas. Os chineses descobriram algumas relações desconhecidas dos gregos. Por exemplo: sabiam que a soma da seqüência de números ímpares é sempre um quadrado. Os chineses também mostravam interesse pela análise combinatória, o que mostra seu interesse pelos quadrado Mágico. Embora os chineses não tenham obtido tanto sucesso no campo da geometria como os gregos, no século IV a.c. os moistas chegaram a dar algumas definições geométricas de ponto, linhas e certas figuras geométricas, quase na mesma época em

4 4 que Euclides escrevia seus Elementos, em Alexandria. Os chineses nunca deram seqüência a esse trabalho, embora tenha desenvolvido sua própria teoria referente aos lados triângulo retângulo, a qual era diferente da anunciada por Pitágoras. Por volta do século II d.c., os chineses haviam determinado as áreas de quase todas as figuras e os volumes de vários sólidos (utilizando modelos reais como orientação), coisa que os gregos não fizeram. Os chineses praticavam a álgebra desde os tempos mais antigos e registravam os resultados totalmente em palavras (dentro do seu contexto matemático). No período Sung a álgebra foi desenvolvida em um método tão completo que podia envolver equações de potência muita elevada. Podiam resolver equações contendo. Contudo os chineses não deram seqüência a esse trabalho. Por não terem uma teoria geral das equações tal como o Ocidente. Porém isso não fez com que os chineses deixassem de resolver grandes problemas usando a álgebra. No período Han, eram capazes de resolver equações lineares simultâneas e mais tarde, no século IV d.c. até equações indeterminadas, equações quadráticas. No século VII haviam desenvolvido algo que hoje chamamos de método das diferenças finitas (eram usados para resolver problemas relacionados ao movimento aparente do sol no céu). Os algebristas chineses estudaram séries matemáticas (séries de números ligados um ao outro de maneira específica) e também investigaram formas matemáticas para expressar permutações e combinações de objetos, e em suas resoluções fizeram uso do que hoje chamamos de "teorema binomial' que se refere a expressões de dois termos, 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 'binômios', como: x + 1 = x + 1 x + 1 = x + 2x +. Cabe destacar conforme o fez Gundlach (1992) que no final do século XIX os quadrados mágicos foram longamente usados tanto para tratar de problemas de probabilidade como de análise. Como exemplo entre os grandes nomes da matemática pode-se citar Leonard Euler utilizando-o para planejamento de experimento. 9 x 3.- O Quadrado Mágico Os quadrados mágicos mais antigos foram encontrados na China, onde existia uma fascinação por longo tempo enraizado com os padrões numéricos e a análise combinatória associada a estes. O primeiro documento de um quadrado mágico na China se remonta à época do semimítico imperador Yu, que viveu no terceiro milênio a.c. existe uma lenda que Yu adquiria dois diagramas, o primeiro (Hoh. Tu, que

5 5 significa Mapa do Rio) de um dragão que surgiu das águas de Huang Ho (Rio Amarelo) e o segundo (LO Shiu, que significa Escrito do Rio LO) copiado na concha de uma tartaruga sagrada encontrada em LO, um afluente do Huang Ho. Como mostras às figuras, abaixo: Figura 1 mostra o Hoh Tu e a figura 2 trás o Lo Shu. Inicialmente apenas com intenção ilustrativa quanto a sua riqueza de possibilidades construtivas pode-se caracterizar o seguinte argumento de Gardner (1961, p.17): Pode-se construir um quadrado mágico semelhante, tão grande quanto quisermos, e com a combinação de números que bem entendermos. Não importa absolutamente o número de casas do quadrado ou que números são usados na sua formação. Podem ser positivos ou negativos, inteiros ou fracionários, racionais ou irracionais. O Hoh tu (figura 1) está disposto de maneira que tanto a seqüência dos números pares como as dos ímpares somam 20. E Lo Shu (figura 2) é um quadrado mágico, pois os números de todas as linhas, colunas e diagonais somam 15. O Lo Shu é considerado o primeiro quadrado mágico chinês. É considerado como quadrado mágico regular. Os quadrados mágicos chineses têm intrigado os matemáticos há mais de dois mil anos e, na sua forma tradicional trata-se de um conjunto de números organizados em filas (linhas: filas horizontais e colunas: filas verticais) de tal maneira que a soma dos números que constitui cada fila, tenham o mesmo valor, inclusive, também cada uma das diagonais. Os quadrados mágicos, portanto, tem maioria estão ocupados por números naturais variando de um a linhas e n colunas e na sua, por exemplo, um quadrado mágico de ordem 3 (três linhas e três colunas) pode conter todos os números inteiros de 1 a 9. n 2 n

6 6 Cabe acrescentar, segundo Boyer (1996, pp ) a seguinte informação:... A preocupação com tais diagramas levou o autor dos Nove capítulos a resolver o sistema de equações lineares simultâneas efetuando operações sobre colunas na matriz A segunda forma representava as equações 36z = 99, 5y + z = 24 e 3x + 2y + z = 39, das quais facilmente são calculados sucessivamente os valores de z, y e x. 3.1 Propriedades do Quadrado Mágico: Os quadrados mágicos possuem algumas propriedades matemáticas interessantes: Propriedade da soma total e parcial de um quadrado mágico: se s é a soma constante dos números de cada linha, coluna e diagonal, S será a soma total dos números contidos nas várias células (pequenas partes) do quadrado mágico. Exemplo 1: Como calcular a soma total ( S ), partindo da soma parcial ( s ) tendo o número de ordem ( n ) do quadrado mágico? S = soma total, s = soma parcial e n = número de ordem (em quantas colunas o quadrado for dividido).

7 7 Exemplo 2: Como obter o valor da soma parcial ( s ) partindo da soma total ( S ) e do número de ordem ( n ) do quadrado mágico? Propriedade do uso da média aritmética no cálculo das somas (total e parcial) do quadrado mágico: Pode-se calcular a soma total ( S ) e a soma parcial ( s ) de um quadrado mágico através da média aritmética, desde que este quadrado mágico seja de ordem ímpar (aquele em que o número da célula central é ímpar). Exemplo 1: Um quadrado mágico onde n é igual a 3 e o número central é 5, temos: As somas (total e parcial) dos quadrados mágicos de ordem par (numero central par) não podem ser calculadas desta maneira, pois o valor de não será um número inteiro. O número central para todos os quadrados de ordem ímpar será o número chave. Visto que a partir dele e do valor de total e parcial de um quadrado mágico. 2 S / n n é possível calcular a soma Propriedade de um quadrado mágico regular: em um quadrado mágico de ordem ímpar, as somas de cada pares de números dos lados opostos ao número central, somam o dobro do número central. Esses quadrados mágicos são chamados de quadrados mágicos regulares. Por exemplo, na figura abaixo temos um quadrado mágico regular, em que cada um dos pares (24,6), (26,14), (9,21) e (3,27) dos números dos lados opostos ao número central (15) somam o dobro de 15.

8 8 4.- Metodologia O procedimento recursivo didático das atividades trabalhados nesta proposta foi desenvolvido a partir de 06 momentos, segundo quatro atividades. Na atividade 1 foi trabalhado o primeiro momento; na atividade 2 foram trabalhados os momentos dois e três; e na atividade 3 foram trabalhados os momentos 4, 5 e 6. Os momentos, mencionados anteriormente, seguem discriminados abaixo: 1 o Momento: Inicialmente será proposto um questionário individual, conforme anexo 1, com a finalidade de se fazer um levantamento das concepções prévias dos participantes acerca dos conteúdos a serem abordados e em seguida foi apresentado o texto de apoio; 2 o Momento: Neste momento os participantes serão convidados a desenvolverem uma atividade em grupos, de no máximo 5 componentes, na qual se intenta que eles reconheçam dentre vários quadrados quais deles são mágicos; 3 o Momento: No terceiro momento, cada grupo receberá um material didático o qual trata-se de quadrados confeccionados com madeira, onde há espaços para se colocarem pecas encaixadas com números correspondentes a cada uma dessas pecas. Os grupos são desafiados a descobrir se há ou não algum tipo de regularidades. Ou seja, caracterizar que... as somas dos números que constitui cada fila tenham o mesmo valor, inclusive, também a soma de cada uma das diagonais (p. 06). Com essa atividade espera-se que os alunos identifiquem que num quadrado mágico há uma propriedade fundamental; 4 o Momento: No quatro momento se busca trazer o objetivo principal desse trabalho que é a utilização do quadrado mágico como recurso didático para facilitar a compreensão sobre a resolução de equações do 1 grau. Nessa atividade as células do quadrado mágico foram substituídas por sentenças abertas de maneira que participantes possam elaborar e resolver as equações do 1 grau preenchendo adequadamente as células do já referido quadrado;

9 9 5 o Momento: No quinto momento, com a intenção de se fazer à verificação da aprendizagem, cada participante deverá construir um mapa conceitual sobre as concepções estruturadas durante este mini-curso; 6 o Momento: Finalizando as atividades será apresentada pelo proponente deste trabalho um mapa conceitual acerca da influência da matemática chinesa conforme o anexo 2. Apresentação das Atividades Atividade 1: Construindo o Conceito de Quadrado Mágico Dados os quadrados abaixo, assinale com um ( x ) os que podem ser classificados como mágico: Atividade 2: Construindo o Conceito de Quadrado Mágico Esta atividade foi desenvolvida em três momentos, utilizando materiais concretos (quadrados mágicos confeccionados em madeira) e tem por etapas: 1 o Momento: foi entregue a cada grupo de cinco alunos um quadrado mágico (familiarização com o material);

10 10 2 o Momento: questionou-se a cada um dos grupos sobre a possibilidade ou não de encontrar uma única combinação segundo a qual após a colocação das pecas unitárias no tabuleiro fique estabelecida a condição de que a soma dos números que compõem cada linhas, colunas e diagonais sejam iguais. 3 o Momento: a partir de uma discussão conjunta entre os grupos, envolvendo as habilidades adquiridas no momento momentos 1 e dos resultados obtidos no momento 2 diante as dificuldades/facilidades apresentadas pelos grupos se busca levantar a propriedade da semisoma. Atividade 3: Apresentando equações de primeiro grau 1- Calcule o valor das incógnitas x, y e z preencha corretamente o quadrado mágico abaixo, sabendo que S (soma total) vale 90. 2y 2 2y+4 7x 5x 6 z 18 2z Palavras chaves: História da Matemática, Quadrado Mágico, Equação do 1º grau. Referências Bibliográficas BOYER, C.. História da Matemática. São Paulo: Edgard Bücher, GARDNER, M.. Divertimentos Matemáticos. São Paulo: Ibrasa GUNDLCH, B.. Tópicos de historia da matemática para uso em sala de aula: v. 1. São Paulo: Atual, JOSEPH, G.. La Cresta Del Pavo Real: Las Matemáticas y sus Raíces no Europeas. Madrid: Pirámide, 1996.

11 11 RONNAN, C.. Historia ilustrada da ciencia da Universidade de Cambridg, v. 2: Oriente, Roma e Idade média. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, Anexo 1: Questionário (Diagnóstico) 1- Na sua opinião, qual a importância didática de se destacar a influência de diversas culturas que contribuíram para a construção do conhecimento matemático? 2- Você saberia citar alguma influência da cultura chinesa na edificação do conhecimento matemático? 3- O que você acha que vem a ser um quadrado mágico? Saberia dizer sua origem? Justifique. 4- Você poderia apontar algum conteúdo matemático em que se possa utilizar o quadrado mágico como recurso didático? Anexo 2: Mapa Conceitual da História da Matemática Chinesa

12 12 História da Matemática visão visão Eurocêntrica Outras Culturas edificada pela Cultura Chinesa no campo no campo no campo no campo Números Aritmética Álgebra Geometria fascínio Combinatória enfoque Instrumento de contagem Equação do 1º grau Recurso didático Quadrado Mágico