UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ SP

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ SP CICLÓIDE Curso: Licenciatura em Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professor: Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Tema: Ciclóide Aluna: Suellen de Souza Freixo, Aluno: Tiago Mitsuo de Moura Takaki, 06128

2 2 Índice 1. Introdução Definição Propriedades Visualizações Curiosidades Referências Bibliográficas

3 3 1. Introdução O primeiro matemático que começou a estudar a Ciclóide foi o francês Charles Bouvelles ( ), mas somente na primeira metade do século XVII é que ela recebeu as atenções de nomes famosos como Descartes, Mersenne, Pascal, Galileu, Torricelli e Roberval. Galileu chamou a atenção para a Ciclóide, recomendando que fosse usada para arcos de pontes. Não demorou muito e se determinou a área sob um arco da curva e se descobriram métodos de traçar tangentes a ela. Essas descobertas levaram os matemáticos citados a considerar questões relativas a superfícies e volumes de revolução obtidos girando-se um arco de ciclóide em torno de diversos eixos. Como isto ocorreu antes da invenção dos cálculos Diferencial e Integral, esses matemáticos precisaram valer-se de métodos muito criativos, como o dos "indivisíveis", divulgado por Bonaventura Cavalieri ( ), uma forma equivalente de se avaliarem muitas das integrais definidas que figuram nos atuais cursos de cálculo, e que, em essência, equivalia ao método da exaustão de Eudóxio/Arquimedes. 2. Definição 1. Arco formado a partir de um ponto numa circunferência, quando esta rola ao longo de uma superfície. Devido às suas propriedades foi a curva mais estudada durante o século dezessete. 2. Curva traçada por um determinado ponto fixo da circunferência de um círculo, quando este rola, sem deslizar, por uma reta. A Ciclóide é a curva gerada pela trajetória de um ponto P numa circunferência de centro C e raio R que rola sem deslizar sobre uma reta. Fixando a reta como sendo o eixo X e denotar por θ o ângulo formado pela reta que passa por C e pelo ponto de tangência da circunferência com o eixo X e o segmento que une P com C. Para um ângulo θ genérico temos a figura abaixo, onde R = 2 para a circunferência geradora.

4 4 O único modo conveniente de representar uma ciclóide é por meio de equações paramétricas. Supomos que o círculo rolante tem raio R e que ele rola sobre o eixo X, começando de uma posição em que o centro do círculo está no semi-eixo positivo dos Y. A curva é o lugar geométrico do ponto P da circunferência, localizado na origem O quando o centro C está no eixo Y. O ângulo θ da figura é o ângulo varrido pelo raio CP quando o círculo rola para uma nova posição. Se x e y são as coordenadas de P, então o giro do círculo implica que OB = arco BP = Rθ, logo, x = OB AB = OB PQ = R θ R sen θ = R (θ sen θ). Também y = BC QC = R R cos θ = R (1 cos θ). Portanto a ciclóide tem a representação paramétrica: x = R (θ - sen θ) y = R (1 - cos θ) Desenho de uma ciclóide gerada por um circunferência de raio r=2 Se visto como uma função y(x), é diferenciável em toda a sua extensão exceto no ponto em que atinge o eixo do x; a inclinação nesse ponto corresponde a infinito. Demonstração da Equação Diferencial da Ciclóide* Sabendo que as equações paramétricas da Ciclóide são: x= R sen y=r 1 cos

5 5 derivando x e y em relação a, temos que: dx d =R 1 cos ; dy =R sen d fazendo o quociente dy d por dx d, obteremos: dy d = R sen dx R 1 cos d como R 1 cos = y, temos que: dx R sen = y elevando os dois lados da equação ao quadrado, temos que: dx 2 = R2 sen 2 y 2 como sen 2 =1 cos 2, temos que: dx 2 = R2 1 cos 2 y 2 ( I ) isolando cos da equação paramétrica, obteremos: cos = R y R ( II ) substituindo II em I e simplificando a equação, temos que: 2 dx =R 2 R y 2 [1 ] 1 R 2 y 2 dx 2 =R 2 [ R2 R 2 2Ry y 2 R 2 ] 1 y 2 2 dx 2Ry y2 = y 2 2 dx y 2R y = y 2

6 6 assim, 2 dx = 2R y y 3. Propriedades Se várias curvas se unirem num determinado ponto com o ponto mais baixo da curva entre elas, a curva na qual o objeto demora menos tempo para vir do ponto de intersecção ao ponto mais baixo é a Ciclóide. Devido a isto também se chama Braquistócrona (menor tempo). Se um objeto desliza sobre a curva, livre de atrito e sujeito à aceleração da gravidade, o tempo que demora para alcançar o ponto mais baixo da curva é sempre o mesmo, independente do ponto de partida do objeto. Por este motivo também se dá o nome de Tautócrona (tempos iguais). 3.1 Braquistócrona Partindo da definição de Ciclóide, o gráfico de x = R (θ - sen θ), y = R (1 - cos θ) é a ciclóide invertida obtida quando o círculo rola abaixo do eixo x. Um segmento de tal curva é denominado braquistócrona, tendo a seguinte propriedade: Na descida de um ponto A a um ponto B, uma pequena bola que deslize livremente numa rampa, tendo como única força atuante a gravidade, chegará mais rapidamente ao ponto B, se a rampa em questão estiver de acordo com as equações da braquistócrona, que significa descida mais rápida, daí o nome dado à curva.

7 7 Essa propriedade da Ciclóide foi descoberta por Jean Bernoulli ( ) em 1696, quando pesquisava a trajetória que minimizava o tempo gasto por um corpo, partindo do repouso e sujeito apenas à ação da gravidade, para ir de um ponto a outro, em níveis diferentes e não situados sobre a mesma vertical. Bernoulli descobriu que a Braquistócrona é, também, um arco invertido de Ciclóide. Entusiasmado com seu feito, decidiu desafiar publicamente os melhores matemáticos do mundo, dando-lhes 6 meses para que apresentassem soluções do problema, após o que ele publicaria sua própria. Dentro do prazo, somente G. W. Leibniz resolveu a questão. Bernoulli, então, estendeu o prazo em mais 4 meses e enviou algumas cartas a grandes matemáticos, entre eles Isaac Newton. Newton recebeu-a em uma tarde de janeiro de 1697, ao retornar de um dia de trabalho na Casa da Moeda da Inglaterra. Interessado pela questão, mergulhou nela sem sequer haver jantado e resolveu-a na mesma madrugada. Não desejando qualquer contato com Bernoulli, que tomara o partido de Leibniz na disputa pela primazia da invenção do Cálculo, Newton publicou sua solução anonimamente no jornal da Royal Society. Algum tempo depois, lendo-a, Jean Bernoulli não teve a menor dúvida de que somente um homem na Inglaterra teria sido capaz daquela façanha. Arrebatado pelo gênio de Newton, consta que Bernoulli teria dito estas palavras: "Pelas garras se conhece o leão". O Marquês de L'Hopital e Jacques Bernoulli, irmão mais velho de Jean, também resolveram o problema da Braquistócrona. A elegante solução dada por Jacques Bernoulli pode ser encontrada no livro What is Mathematics? de R. Courant e H. Robbins pela editora New York, Oxford University Press publicado em Curva Tautócrona e Isócrona A Ciclóide tem propriedades fantásticas como de ser Tautócrona (tempos iguais), descoberto por Christian Huygens ( ) por volta de 1656, quando procurava construir relógios com precisão superior à daqueles que utilizavam pêndulos convencionais. Huygens provou que um ponto material, partindo do repouso e deixado deslizar sem atrito sobre um arco de Ciclóide invertido, atinge o nível inferior em um intervalo de tempo que independe do ponto de partida. A esta propriedade deu-se o nome de Tautocronismo, do grego tauto, que significa igual, e cronos, que significa tempo. Em outras palavras, um pêndulo que se desloca ao longo de uma Ciclóide invertida apresenta um período de oscilação que não depende da amplitude do movimento. A prova foi publicada em 1673 em seu célebre tratado Horologium Oscillatorium, o mais importante livro de mecânica escrito antes dos Principia, de Isaac Newton (1687).

8 8 Foi descoberta por Christian Huygens ( ) em 1673, a curva abaixo, denominada isócrona, e resultou ser também uma ciclóide. Um pêndulo que oscila, entre duas ciclóides, é isócrono e descreve, por sua vez, uma ciclóide O comprimento da Ciclóide é quatro vezes o diâmetro da circunferência que a gera; Para comprovar esta propriedade recorte uma ciclóide em cartão grosso, utilize um fio para colocá-lo ao longo da borda desse cartão, meça o comprimento do fio e compare com o diâmetro da circunferência. Ou, conforme a demonstração abaixo: Logo, o comprimento da ciclóide é 8 vezes o raio do nosso círculo, que é precisamente 4 vezes o diâmetro.

9 A área limitada pelo arco é o triplo da área do círculo que roda Utilizando a equação geral da Ciclóide, temos que: ou seja, precisamente 3 vezes a área de um círculo de raio r. 4. Vizualizações Winplot é um programa capaz de fornecer gráficos de diferentes dimensões, com equações de diferentes tipos, reproduzir experiências cinemáticas conhecidas como o movimento num plano inclinado, lançamento de projéteis, etc. A figura abaixo, semelhante a uma fotografia estroboscópica do movimento, foi produzida no Winplot e mostra a trajetória de um ciclo de uma Ciclóide. Para traçar uma ciclóide no Winplot, é necessário fornecer ao programa as equações dessa curva. Essas equações não são (normalmente apresentadas como sendo) do tipo cartesiano comum, e sim paramétricas: Descrevem a curva como um conjunto de pares ordenados cujas componentes são funções de um parâmetro uma variável que percorre um certo intervalo. Com base nas equações, pode-se obter tanto o gráfico estático da ciclóide como uma animação que mostra o traçado da curva gradualmente.

10 10 5. Curiosidade A Ciclóide por suas múltiplas propriedades, como também por ter sido alvo de disputa entre muitos matemáticos da época, foi chamada a Helena da Geometria ou o pomo da discórdia. 6. Referências Bibliográficas