O problema da braquistócrona

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2 O problema da braquistócrona Do grego brachistos (brevíssimo) e chronos (tempo). Denomina-se braquistócrona a trajetória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é, obviamente, a reta que os une, mas sim, qual trajetória é percorrida no menor tempo. O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que foi aceito. Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu tio Jacob, a de Leibniz, a de L'Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde). Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha reta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de cicloide. Na noite de 29 de janeiro de 1697, quando recebeu a carta-desafio, Newton não dormiu até resolver o problema, o que se deu por volta de quatro horas da manhã. Em seguida, a solução foi remetida anonimamente para Bernoulli. Ao ler a solução chegada da Inglaterra, Johann Bernoulli, segundo suas próprias palavras, reconheceu imediatamente o seu autor "como se reconhece o leão por sua pata". A solução encontrada por Newton foi em forma de equações paramétricas da seguinte forma y = C 1 cosθ x = C θ senθ

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4 Questão 1 Resposta D M = F d senθ 4

5 Questão 2 Resposta B R N F N R F 5

6 Questão 3 Resposta B 6

7 Questão 4 Resposta B 7

8 Questão 5 Resposta B Dados F 1 = 5 N F 2 = 80 N d 1 = 2 m d 2 = 10 N Cálculo M 1 = F 1 d 1 = 5 2 = 10 N m M 2 = F 2 d 2 = 80 0,1 = 8 N m 8

9 Questão 6 Resposta B 9

10 Questão 7 Resposta A T P b T P b 10

11 Questão 8 Resposta 53 Dados N ԦF P N ԦF P Cálculo M = M + M F = M B F 0,03 = P 0,3 F 0,03 = 5,3 0,3 N ԦF P F = 53 N 11

12 Questão 9 Resposta B Dados m b = 0,5 kg Cálculo M = M + M P = M Pb P 10 = P b 20 P b m 10 = m b 20 m 10 = 0,5 20 m = 1 kg 20 cm P b P 12

13 Questão 10 Resposta 08 Dados m 1 = 25 kg m 2 = 54 kg N P 1 P P 2 2 m 1 m 0,5 m N N P 1 P P 2 P 1 P P 2 Cálculo 2 m 1 m M = M + 0,5 m M P1 + M P = M P1 P 1 P N P 2 Dividindo por g P P 0,5 = P 2 1 m m 0,5 = m m 0,5 = 54 1 m = 8 kg 13

14 Questão 11 Resposta 36 Dados P = 48 N 2,4 m 1,8 m N 1 P N 2 N 1 N 1 P N 2 Cálculo N 1 P N 2 M = M + 2,4 m 1,8 m M N2 = M P N 2 2,4 = P 1,8 N 2 2,4 = 48 1,8 N 2 = 36 N N 1 P N 2 14

15 Questão 12 Resposta 25 Dados m = 40 kg m b = 60 kg 0,5 m 1m x P b N P P b N P N Cálculo M = M + P b N P M Pb = M P P b 0,5 = P 1 x 0,5 m 1m x 60 0,5 = 40 1 x 60 0,5 = 40 40x x = 0,25 m = 25 cm P b N P 15

16 Questão 13 Resposta A P p P g 16

17 Questão 14 Resposta D M P 17

18 Questão 15 Resposta E 3u N 1u P P b N 3u N 1u P P b P P b + Cálculo N M = M + P P b M P = M Pb P 3u = P b 1u m g 3u = m b g 1u m b = 3 m = 3 5 = 15 kg 18

19 Questão 16 Resposta B x ԦF Legenda ԦF. x. Entrando no papel Saindo do papel ԦF Cálculo M 1 = F 20 + F 20 = 40F M 2 = F 30 = 30F ԦF M 3 = F F 25 2 = 25F ԦF 19

20 Questão 17 Resposta D 20

21 Questão 18 Resposta C Dados M = 100 N m F = 250 N Cálculo d = M F = 100 = 0,4 m

22 Questão 19 Resposta E F d F t F d + Cálculo P F t F d F t M = M + M Fd = M P P F d 3 = P 1 F d = P 3 = = N F = F F d F t F d + F t = P P F t = F t = N F d 22

23 Questão 20 Resposta E + + Cálculo M = M + M F = M p + M P F d F = p d p + P d P F 4 = 2, F = 990 N 23

24 Questão 1 Resposta C Q = τ. 24

25 Questão 2 Resposta 22 ΔU = τ onde τ < 0 então ΔU > 0 Q > 0 Q = τ τ > 0 ΔU = τ onde τ > 0 então ΔU < 0 25

26 Questão 3 Resposta 44 ΔU = Q τ ΔU = Q τ η = 1 T 2 T 1 26

27 Questão 4 Resposta D Dados Q 1 = 1000 cal τ = 4186 J 1 cal = 4,186 J Cálculo η = τ Q 1 = 1000 cal 4186 J = 4186 J 4186 J = 1 = 100% 27

28 Questão 5 Resposta C 28

29 Questão 6 Resposta D 29

30 Questão 7 Resposta A 30

31 Questão 8 Resposta 45 Dados Q 1 = J Cálculo τ = (0,50 0,20) 2 η = 1 T 2 T 1 η = 1 Q 2 Q 1 τ = 4500 J η = τ = 4500 = 0,45 = 45% Q η = τ Q 1 31

32 Questão 9 Resposta D Dados τ = J η = 60% Cálculo η = τ Q 1 Q 1 = τ η = = J 0,6 η = τ Q 1 η = 1 Q 2 Q 1 η = 1 Q 2 Q 1 Q 2 = 1 η Q 1 = 1 0, = J ΔU = 0 32

33 Questão 10 Resposta A Dados T 1 = 800 K T 2 = 400 K Q 1 = 1000 J Cálculo T 2 T 1 = Q 2 Q 1 Q 2 η = 1 T 2 T 1 η = 1 Q 2 Q 1 T 2 T 1 = Q 2 Q = Q Q 2 = 500 J η = 1 T 2 T 1 = = 0,5 η = τ Q 1 τ = η Q 1 = 0, = 500 J η = τ Q 1 33

34 Questão 11 Dados T 1 = 127 C = 400 K T 2 = 31,4 C = 304,4 K Q 1 = 10 6 J 1 cal = 4,18 J Cálculo η = 1 T 2 T 1 η = 1 304,4 400 η = 1 T 2 T 1 = 0,239 = 23,9% η = τ Q 1 τ = η Q 1 = 0, = 2, J η = τ Q 1 34

35 Questão 12 Resposta 52 Dados C = 1, J/ C T 1 = 66 C = 339 K T 1 = 30 C = 303 K T f = 46 C = 319 K Cálculo Q = 0 Q = Q trocado C ΔT 1 + C ΔT 1 = Q trocado 1, , = Q trocado Q trocado = 5, J Q = Q perdido pelo sistema η = 1 T 2 = ,10 = 10% T η = τ Q 1 τ = η Q 1 = 0,10 5, = J η = 1 T 2 T 1 η = τ Q 1 35

36 Questão 13 Resposta A Dados m gelo = 10 kg T gelo = 20 C T lago = 27 C c gelo = 0,5 cal g C c água = 1 cal g C L fisão = 80 cal g Cálculo Q = m c θ Q = ,5 20 = 10 5 cal Q = m L Q = = cal Q = m c θ Q = = 2, cal Q total = 1, cal ΔS = Q total T = 1, = 3,9 kcal/k 36

37 Questão 14 Resposta E 37

38 Questão 15 Resposta C 38

39 Questão 16 Resposta B 39

40 Questão 17 Resposta C 40

41 Questão 18 Resposta E PV = nrt 41

42 Questão 19 Resposta E Q = W + ΔU W = P ΔV V T = constante 42

43 Questão 20 Resposta B 43

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