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1 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM COMO CAI NO ENEM! 1. (Enem 2015) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver mais pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria. Quesitos 1. Fantasia e 2. Evolução e 3. Enredo e. Bateria Alegoria Conjunto Harmonia Total Jurado A B A B A B A B Escola I Escola II Escola III Escola IV Escola V Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II? a) 21 b) 90 c) 750 d) 1250 e) (Enem PPL 201) Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas. Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por a) 100 b) 90 c) 80 d) 25 e) (Enem 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à contacorrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 2 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. 2 a) 10 b) 2! 10! 2!! c) 10! 5! d) 2! 10! e) (Enem 2013) Um artesão de joias tem a sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras. Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? a) b) 12 c) 18 d) 2 e) 3 O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

2 5. (Enem 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. OUTRAS UNIVERSIDADES esse carro? a) b) 13 c) 2 d) 3 e) 72. (ifba 201) De acordo com o DETRAN de uma certa cidade, ainda estão disponíveis os prefixos de placa de automóveis com três letras, conforme modelo a seguir: M Se estiverem disponíveis para o 2º espaço as letras X, Y e Z, e para o 3º espaço as letras letras A, B, C, D, E, F, G e H, então o número de prefixos disponíveis para emplacamento é: a) 18 b) 2 c) 28 d) 3 e) 0 1. (Uepa 201) Um jovem descobriu que o aplicativo de seu celular edita fotos, possibilitando diversas formas de composição, dentre elas, aplicar texturas, aplicar molduras e mudar a cor da foto. Considerando que esse aplicativo dispõe de 5 modelos de texturas, tipos de molduras e possibilidades de mudar a cor da foto, o número de maneiras que esse jovem pode fazer uma composição com fotos distintas, utilizando apenas os recursos citados, para publicálas nas redes sociais, conforme ilustração abaixo, é: 5. (Uerj 201) Com o objetivo de melhorar o tráfego de veículos, a prefeitura de uma grande cidade propôs a construção de quatro terminais de ônibus. Para estabelecer conexão entre os terminais, foram estipuladas as seguintes quantidades de linhas de ônibus: - do terminal A para o B, linhas distintas; - do terminal B para o C, 3 linhas distintas; - do terminal A para o D, 5 linhas distintas; - do terminal D para o C, 2 linhas distintas. Não há linhas diretas entre os terminais A e C. a) b) 120. c) d) 120. e) (Uepa 2012) Um profissional de design de interiores precisa planejar as cores que serão utilizadas em quatro paredes de uma casa, para isso possui seis cores diferentes de tinta. O número de maneiras diferentes que esse profissional poderá utilizar as seis cores nas paredes, sabendo-se que somente utilizará uma cor em cada parede, é: a) 2 b) 30 c) 120 d) 30 e) (Ueg 201) Uma montadora de carros oferece a seus clientes as seguintes opções na montagem de um carro: 2 tipos de motores (1.8 ou 2.0), 2 tipos de câmbios (manual ou automático), cores (branco, preto, vermelho, azul, cinza ou prata) e 3 tipos de acabamento (simples, intermediário ou sofisticado). De quantas maneiras distintas pode-se montar Supondo que um passageiro utilize exatamente duas linhas de ônibus para ir do terminal A para o terminal C, calcule a quantidade possível de trajetos distintos que ele poderá fazer.. (Uemg 201) Genius era um brinquedo muito popular na década de 1980 (...). O brinquedo buscava estimular a memorização de cores e sons. Com formato semelhante a um OVNI, possuía botões de cores distintas que emitiam sons harmônicos e se iluminavam em sequência. Cabia aos jogadores repetir o processo sem errar. Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Adaptado). Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes irão acender de forma aleatória e em sequência, podendo cada cor acender mais de uma vez.

3 O número máximo de formas que essa sequência de 3 luzes poderá acender é: a) 12. b) 2. c) 3. d). 7. (ifpe 201) Um auditório em forma de um salão circular dispõe de portas, que podem ser utilizadas tanto como entrada ou para saída do salão. De quantos modos distintos uma pessoa que se encontra fora do auditório pode entrar e sair do mesmo, utilizando como porta de saída uma porta diferente da que utilizou para entrar? a) b) 5 c) 12 d) 30 e) 3 8. (Upe-ssa 2 201) Um palíndromo ou capicua é um número, que se lê da mesma maneira nos dois sentidos, ou seja, da esquerda para a direita ou ao contrário, como 333, 11 e Assinale a alternativa correspondente à quantidade de palíndromos que são números pares de cinco algarismos do nosso sistema de numeração. a) 300 b) 00 c) 500 d) 00 e) 800 O número de modos distintos de se realizar essa pintura é a) 120. b) 90. c) 80. d) 50. e) (Unicamp 2015) O número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo dia da semana é igual a a) 21. b) 20. c) 15. d) 1. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Uma loja identifica seus produtos com um código que utiliza 1 barras, finas ou grossas. Nesse sistema de codificação, a barra fina representa o zero e a grossa o 1. A conversão do código em algarismos do número correspondente a cada produto deve ser feita de acordo com esta tabela: Código Algarismo Código Algarismo Observe um exemplo de código e de seu número correspondente: 9. (Ueg 2015) Numa lanchonete o lanche é composto por três partes: pão, molho e recheio. Se essa lanchonete oferece aos seus clientes duas opções de pão, três de molho e quatro de recheio, a quantidade de lanches distintos que ela pode oferecer é de a) 9 b) 12 c) 18 d) (Ueg 2015) Érika resolve passear com a cachorrinha Kika e, antes de sair do apartamento, escolhe colocar uma roupa e uma coleira na cachorrinha. Se Kika tem 7 roupas e 3 coleiras, todas distintas, de quantas maneiras Érika pode escolher uma roupa e uma coleira para passear com a Kika? a) 10 b) 21 c) 35 d) (Fatec 2015) Dispondo de cinco cores distintas, uma pessoa pretende pintar as letras da palavra FATEC de acordo com os seguintes critérios: - na palavra, letras que são equidistantes da letra T terão a mesma cor; - letras adjacentes serão pintadas de cores distintas, e - cada letra será pintada com uma única cor. 13. (Uerj 2015) Considere o código abaixo, que identifica determinado produto. Esse código corresponde ao seguinte número: a) 835 b) 572 c) 85 d) (Uema 201) Uma professora de educação infantil de uma escola, durante a recreação de seus alunos, organizaos em círculos para brincar. Considere a seguinte forma de organização dos alunos pela professora: são três meninas e três meninos e cada menina ficará ao lado de um menino, de modo alternado. As possibilidades de organização dos seus alunos são a). b). c) 9. d) 12. e) 1.

4 15. (Upf 201) Alice não se recorda da senha que definiu no computador. Sabe apenas que é constituída por quatro letras seguidas, com pelo menos uma consoante. Se considerarmos o alfabeto como constituído por 23 letras, bem como que não há diferença para o uso de maiúsculas e minúsculas, quantos códigos dessa forma é possível compor? a) 23 3 b) c) d) 23 5 e) (Uneb 201) Considere que em um laboratório foram verificadas, por um técnico, duas amostras de alimentos que constam na tabela e verificado, por ele, que o ph dessas substâncias era, respectivamente, 3,2 e,2. Nessas condições, de posse dessa tabela, pode-se afirmar que o número de maneiras distintas que esse técnico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos examinados é igual a a) 9 b) 10 c) 12 d) 1 e) (Ufrn 2013) O quadro de avisos de uma escola de ensino médio foi dividido em quatro partes, como mostra a figura a seguir. 1. (Uece 201) Paulo possui 709 livros e identificou cada um destes livros com um código formado por três letras do nosso alfabeto, seguindo a ordem alfabética assim definida: AAA, AAB,..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,... Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o segundo com AAB,... Nestas condições, considerando o alfabeto com 2 letras, o código associado ao último livro foi a) BAG. b) BAU. c) BBC. d) BBG. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: DANOS DE ALIMENTOS ÁCIDOS O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em contato com substâncias cujo ph (medida da acidez) seja menor do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não é reposto, e as partes mais moles e internas do dente logo apodrecem. A acidez de vários alimentos e bebidas comuns é surpreendentemente alta; as substâncias listadas a seguir, por exemplo, podem causar danos aos seus dentes com contato prolongado. No retângulo à esquerda, são colocados os avisos da diretoria, e, nos outros três retângulos, serão colocados, respectivamente, de cima para baixo, os avisos dos 1º, 2º e 3º anos do ensino médio. A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) fossem pintados, no quadro, com cores diferentes. Para isso, disponibilizou cinco cores e solicitou aos servidores e alunos sugestões para a disposição das cores no quadro. Determine o número máximo de sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos servidores e alunos. 19. (Uerj 2013) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com cartas de mesmo valor. (BREWER. 2013, p. ). COMIDA/BEBIDA PH SUCO DE LIMÃO/LIMA 1,8 2, CAFÉ PRETO 2, 3,2 VINAGRE 2, 3, REFRIGERANTES DE COLA 2,7 SUCO DE LARANJA 2,8,0 MAÇÃ 2,9 3,5 UVA 3,3,5 TOMATE 3,7,7 MAIONESE/MOLHO DE SALADA 3,8,0 CHÁ PRETO,0,2 Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:

5 O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: a) 2 b) 7 c) 715 d) (ifpe 2012) Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo. Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha seja composta por quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usados apenas os números primos que aparecem no teclado? a) b) 2 c) 80 d) 120 e) 720

6 COMO CAI NO ENEM Resposta da questão 1: Observando a diferença entre a pontuação total da Escola II e a das outras escolas, tem-se que a Escola II será campeã quaisquer que sejam as notas das Escolas I, III e V. Logo, em relação a essas escolas, há 5 notas favoráveis para cada uma. Por outro lado, como a Escola II vence a Escola IV em caso de empate, e tendo a Escola IV uma vantagem de dois pontos em relação à Escola II, a última será campeã nos seguintes casos: 1. para a Escola IV e 8, 9 ou 10 para a Escola II; 2. 7 para a Escola IV e 9 ou 10 para a Escola II; 3. 8 para a Escola IV e 10 para a Escola II. Em consequência, a resposta é Resposta da questão 2: Supondo que serão utilizadas apenas as vogais a, e, i, o e u, segue-se, pelo Princípio Multiplicativo, que a resposta é Observação: Considerando o acordo ortográfico de 2009, a questão não teria resposta. Resposta da questão 3: Sabendo que cada letra maiúscula difere da sua correspondente minúscula, há possibilidades para cada dígito da senha. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue-se que existem 2 senhas possíveis de seis dígitos. Analogamente, no sistema antigo existiam 10 senhas possíveis de seis dígitos. Em consequência, a razão pedida é Resposta da questão : Há 3 escolhas para a cor da pedra que ficará no vértice A. Além disso, podem ocorrer dois casos em relação às pedras que ficarão nos vértices B e D: (i) as cores das pedras em B e D são iguais; (ii) as cores das pedras em B e D são distintas. Portanto, as configurações possíveis são: (A, B, C, D) (3,1, 2,1) e (A, B, C, D) (3, 2,1,1), o que corresponde a joias distintas. Resposta da questão 5: Pelo PFC, existem respostas possíveis. Portanto, o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há alunos a mais do que o número de respostas possíveis. Resposta da questão 1: OUTRAS UNIVERSIDADES Supondo que ao modificar a ordem das fotos obtemos composições distintas, tem-se que o número de maneiras possíveis de fazer uma composição é dado por P (5 ) Resposta da questão 2: Existem modos de escolher a cor da primeira parede, 5 para escolher a cor da segunda, de escolher a cor da terceira e 3 de escolher a cor da quarta. Portanto, pelo PFC, existem maneiras de pintar as paredes de modo que cada uma tenha uma cor distinta. Resposta da questão 3: [E] O resultado será o produto do número de opções para cada item Resposta da questão : Com base no enunciado, pode-se deduzir: M 3 possibilidades 8 possibilidades Logo, o número total de possibilidades de prefixos será de Resposta da questão 5: Pelo Princípio Multiplicativo, existem 3 12 maneiras de ir de A para C, passando por B, e maneiras de ir de A para C, passando por D. Em consequência, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é Resposta da questão : Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é. Resposta da questão 7: Princípio Fundamental da Contagem 5 30 entrar sair

7 Resposta da questão 8: podem ser dispostos de P3 3! maneiras, segue, pelo Princípio Multiplicativo, que o resultado é Desde que o algarismo das unidades deve ser par e diferente de zero, temos maneiras de escolher esse algarismo. Portanto, como existem 10 possibilidades para o algarismo das dezenas e 10 maneiras de escolher o algarismo das centenas, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é Resposta da questão 9: Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é Resposta da questão 10: Para cada uma das 3 coleiras existem 7 roupas. Portanto, o número de maneiras diferentes de se passear com Kika é Resposta da questão 11: Existem 5 maneiras de escolher a cor da letra T, modos de escolher a cor das letras A e E, e maneiras de escolher a cor das letras F e C. Por conseguinte, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é Resposta da questão 12: Como a semana tem 7 dias, para garantir que há pelo menos três pessoas no mesmo dia da semana, é necessário que haja pelo menos pessoas no grupo. Resposta da questão 13: De acordo com as informações, temos: Resposta da questão 15: Pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar códigos, sem qualquer restrição, utilizando as 23 letras do alfabeto. Por outro lado, o número de códigos em que figuram apenas vogais, também pelo Princípio Multiplicativo, é dado por Em consequência, o resultado pedido é igual a Resposta da questão 1: Quantidade de códigos que começam por A: Quantidade de códigos que começam por BA: O restante dos livros começa por BB. Faltam então, 7 livros para obtermos o código do último. ( ) Então, a última letra é G (sétima letra do alfabeto). O código associado ao último livro é BBG. Resposta da questão 17: Existem alimentos cujo ph pode ser 3,2 e 3 alimentos cujo ph pode ser,2, temos então 12 maneiras distintas que esse técnico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos examinados Resposta da questão 18: Temos 5 possibilidades para escolher a cor do retângulo vertical, para escolher a cor do primeiro retângulo horizontal, 3 para escolher a cor do segundo retângulo horizontal e 3 para escolher a cor do terceiro retângulo horizontal. Portanto, pelo PFC, existem, no máximo, sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos servidores e alunos. Resposta da questão 19: Temos 13 conjuntos de quatro valores iguais e para cada um destes conjuntos temos 8 (52 ) cartas distintas. Portanto, este código corresponde ao número 835. Resposta da questão 1: Há PC(3) 2! 2 modos de organizar as meninas em círculo. Definidas as posições das meninas, teremos três espaços para colocar os meninos. Portanto, como os meninos Logo, = 2. Resposta da questão 20: Números primos do teclado: 2, 3, 5 e 7. Número de senhas: = 2.