Princípio Fundamental da Contagem

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Catarina Barroso Vilanova
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1 Princípio Fundamental da Contagem TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Uma loja identifica seus produtos com um código que utiliza 16 barras, finas ou grossas. Nesse sistema de codificação, a barra fina representa o zero e a grossa o 1. A conversão do código em algarismos do número correspondente a cada produto deve ser feita de acordo com esta tabela: Código Algarismo Código Algarismo Observe um exemplo de código e de seu número correspondente: 1. (Uerj 2015) Considere o código abaixo, que identifica determinado produto. Esse código corresponde ao seguinte número: a) 6835 b) 5724 c) 8645 d) (Uepa 2014) Um jovem descobriu que o aplicativo de seu celular edita fotos, possibilitando diversas formas de composição, dentre elas, aplicar texturas, aplicar molduras e mudar a cor da foto. Considerando que esse aplicativo dispõe de 5 modelos de texturas, 6 tipos de molduras e 4 possibilidades de mudar a cor da foto, o número de maneiras que esse jovem pode fazer uma composição com 4 fotos distintas, utilizando apenas os recursos citados, para publicá-las nas redes sociais, conforme ilustração abaixo, é: a) b) 120. c) d) e) Página 1 de 5

A conversão do código em algarismos do número correspondente a cada produto deve ser feita de acordo com esta tabela: Código Algarismo Código Algarismo 0000 0 0101 5 0001 1 0110 6 0010 2 0111 7 0011

2 3. (Upe 2014) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Manuel e D. Joaquina resolveram registrar o encontro com seus familiares através de fotos. Uma delas sugerida pela família foi dos avós com seus 8 netos. Por sugestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos os netos deveriam ficar entre os seus avós. De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina podem posar para essa foto com os seus netos? a) 100 b) 800 c) d) e) (Ufpr 2014) A figura a seguir apresenta uma planificação do cubo que deverá ser pintada de acordo com as regras abaixo: Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa planificação, deverão ser pintados com cores diferentes. Além disso, ao se montar o cubo, as faces opostas deverão ter cores diferentes. De acordo com essas regras, qual o MENOR número de cores necessárias para se pintar o cubo, a partir da planificação apresentada? a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) (Uece 2014) Se X e Y são conjuntos que possuem 6 e 12 elementos respectivamente, então o número de funções injetivas f : X Y que podem ser construídas é a) b) c) d) (Insper 2014) Desde o dia da partida inaugural até o dia da final de um torneio de futebol, terão sido transcorridos 32 dias. Considerando que serão disputados, ao todo, 64 jogos nesse torneio, pode-se concluir que, necessariamente, a) ocorrerão duas partidas por dia no período de disputa do torneio. b) haverá um único jogo no dia em que for disputada a final. c) o número médio de jogos disputados por equipe será, no máximo, 2. d) ocorrerá pelo menos um dia sem jogos no período de disputa do torneio. e) haverá duas partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia. Página 2 de 5

Manuel e D. Joaquina podem posar para essa foto com os seus netos? a) 100 b) 800 c) 40 320 d) 80 640 e) 3 628 800 4.

3 7. (Uece 2014) Paulo possui 709 livros e identificou cada um destes livros com um código formado por três letras do nosso alfabeto, seguindo a ordem alfabética assim definida: AAA, AAB,..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,... Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o segundo com AAB,... Nestas condições, considerando o alfabeto com 26 letras, o código associado ao último livro foi a) BAG. b) BAU. c) BBC. d) BBG. 8. (Upe 2014) A seguir, temos o fatorial de alguns números. 1! 1 2! 2 1 3! ! Considere o astronômico resultado de 2013! Quanto vale a soma dos seus três últimos algarismos? a) 0 b) 6 c) 13 d) 20 e) 21 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: DANOS DE ALIMENTOS ÁCIDOS O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em contato com substâncias cujo ph (medida da acidez) seja menor do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não é reposto, e as partes mais moles e internas do dente logo apodrecem. A acidez de vários alimentos e bebidas comuns é surpreendentemente alta; as substâncias listadas a seguir, por exemplo, podem causar danos aos seus dentes com contato prolongado. COMIDA/BEBIDA PH SUCO DE LIMÃO/LIMA 1,8 2,4 CAFÉ PRETO 2,4 3,2 VINAGRE 2,4 3,4 REFRIGERANTES DE COLA 2,7 SUCO DE LARANJA 2,8 4,0 MAÇÃ 2,9 3,5 UVA 3,3 4,5 TOMATE 3,7 4,7 MAIONESE/MOLHO DE SALADA 3,8 4,0 CHÁ PRETO 4,0 4,2 (BREWER. 2013, p. 64). 9. (Uneb 2014) Considere que em um laboratório foram verificadas, por um técnico, duas amostras de alimentos que constam na tabela e verificado, por ele, que o ph dessas substâncias era, respectivamente, 3,2 e 4,2. Nessas condições, de posse dessa tabela, pode-se afirmar que o número de maneiras distintas que esse técnico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos examinados é igual a a) 9 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15 Página 3 de 5

.. Nestas condições, considerando o alfabeto com 26 letras, o código associado ao último livro foi a) BAG. b) BAU. c) BBC. d) BBG. 8. (Upe 2014) A seguir, temos o fatorial de alguns números. 1! 1 2!

4 Gabarito: Resposta da questão 1: De acordo com as informações, temos: Portanto, este código corresponde ao número Resposta da questão 2: Supondo que ao modificar a ordem das fotos obtemos composições distintas, tem-se que o número de maneiras possíveis de fazer uma composição é dado por 4 4 P 4 (5 6 4) Resposta da questão 3: [D] Supondo que todos aparecerão na foto lado a lado, temos 2 possibilidades para os avós e P 8! possibilidades para os netos. Portanto, pelo Princípio Fundamental da 8 Contagem, existem Resposta da questão 4: [B] maneiras distintas de fazer a foto. De acordo com as condições do problema temos no máximo três faces para utilizar a primeira cor, duas faces no máximo para a segunda cor e finalmente 1 face para a terceira cor. Portanto, o menor número de cores necessárias para pinta o cubo é 3. Página 4 de 5

Resposta da questão 3: [D] Supondo que todos aparecerão na foto lado a lado, temos 2 possibilidades para os avós e P 8! 40320 possibilidades para os netos.

5 Resposta da questão 5: Considerando a função bijetora, o primeiro elemento do conjunto X poderá ser associado a um dos 12 elementos de Y, o segundo elemento de X poderá ser associado a um dos 11 elementos restantes, continuando assim até o sexto elemento de X que será associado a cada um dos t elementos restantes de Y. Temos, então, o seguinte produto: Resposta da questão 6: [E] Seja [x] o maior inteiro menor do que ou igual a x. Pelo Princípio das Gavetas de Dirichlet, haverá pelo menos [1,96875] partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia. Resposta da questão 7: [D] Quantidade de códigos que começam por A: Quantidade de códigos que começam por BA: O restante dos livros começa por BB. Faltam então, 7 livros para obtermos o código do último. ( ) Então, a última letra é G (sétima letra do alfabeto). O código associado ao último livro é BBG. Resposta da questão 8: Tem-se que 2013! !. Daí, sendo 1000 um fator de 2013!, podemos garantir que os três últimos algarismos de 2013! são iguais a zero. Portanto, o resultado é zero. Resposta da questão 9: [C] Existem 4 alimentos cujo ph pode ser 3,2 e 3 alimentos cujo ph pode ser 4,2, temos então 12 maneiras distintas que esse técnico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos examinados Página 5 de 5

Resposta da questão 6: [E] Seja [x] o maior inteiro menor do que ou igual a x.

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