GUSTAVO HENRIQUE NOGUEIRA REZENDE PAIVA. Manual de atividades no Geogebra para a Educação Básica.

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1 GUSTAVO HENRIQUE NOGUEIRA REZENDE PAIVA Manual de atividades no Geogebra para a Educação Básica. Taguatinga, DF 2012

2 Novas tecnologias estão chegando às salas de aula e levando a muitas mudanças na relação aluno-professor e no processo de ensino-aprendizagem. O conhecimento de tais recursos tecnológicos e a forma de como utilizá-los é fator primordial neste processo de inovação. Torna-se necessário ao professor estar sempre atento para conhecer as novidades que a tecnologia oferece para a educação e analisar até onde realmente trará benefícios, ou seja, avaliar a correta aplicação pedagógica. Tais inovações com o uso do computador no campo educacional levam a uma nova vertente: o uso da tecnologia não como máquina de ensinar, mas como uma nova mídia para a educação. O computador passa a ser uma ferramenta de complementação e aperfeiçoamento na qualidade do ensino, criando novos ambientes de aprendizagem e facilitando o processo de desenvolvimento intelectual do aluno. Por meio deste manual, iremos fazer uma viagem ao mundo do Geogebra, conhecendo suas funções e aplicabilidade no universo da Matemática. Explorando o Geogebra Em 2001, Markus Hohenwarter criou o geogebra e tem liderado o desenvolvimento deste software desde então. O geogebra é um programa de computador que tem como objetivo fazer com que o estudo e a utilização da Matemática se tornem mais dinâmico e facilitado, despertando assim o interesse pela busca do conhecimento matemático. É um software de acesso livre utilizado em diversos níveis de ensino, que reúne todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica (pontos, segmentos, retas, seções cônicas, equações e coordenadas) com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Pode ser encontrado com facilidade através de mecanismos de busca ou diretamente pelo endereço: Com relação à forma de abordagem, o geogebra pode ser classificado de duas formas: instrucionista e construcionista. Na abordagem instrucionista o professor utiliza esse software como ferramenta de apoio na transmissão do conhecimento, já na abordagem construcionista o aluno pode manipular o software. 2

3 Geogebra É um software de fácil entendimento a partir de um menu e uma lista de onze botões que oferecem várias possibilidades de construções. O software oferece a opção de inserir o plano cartesiano e a malha quadriculada na área de trabalho, o que ajuda a fazer a relação com os estudos feitos na sala de aula. Figura 1 Geogebra 3.2 Tela Inicial Cada janela do Geogebra possui uma subdivisão conforme mostrado abaixo: Janela 1 3

4 Janela 2 Janela 3 Janela 4 4

5 Janela 5 Janela 6 Janela 7 5

6 Janela 8 Janela 9 Janela 10 6

7 Janela 11 Janela 1 Mover: permite selecionar, mover e manipular os objetos. Girar em torno de um ponto: permite girar os objetos em torno de um ponto. Gravar para a planilha de cálculo: permite transportar informações selecionadas da janela geométrica para a planilha de cálculo. Janela 2 intersecção. Novo Ponto: permite criar um ponto em um espaço livre, objeto ou Intersecção de dois pontos: permite localizar os pontos de intersecção entre dois objetos. Ponto médio ou centro: permite criar o ponto médio entre dois objetos. 7

8 Janela 3 pontos. Reta definida por dois pontos: permite criar uma reta que passa por dois Segmento definido por dois pontos: permite criar o segmento de reta que liga dois pontos. Segmento com comprimento fixo: permite criar um segmento de reta definido o seu comprimento. pontos. Semirreta definida por dois pontos: permite criar uma semirreta dados dois Vetor definido por dois pontos: permite criar um vetor dados dois pontos. Vetor a partir de um ponto: permite criar um vetor paralelo a outro vetor clicando num vetor e em seguida num ponto. Janela 4 Reta perpendicular: constrói uma reta perpendicular a uma reta, semirreta, segmento de reta, vetor, eixo ou lado de um polígono. Reta paralela: constrói uma reta paralela a uma reta, semirreta, segmento de reta, vetor, eixo ou lado de um polígono. Mediatriz: permite construir a reta perpendicular que passa pelo ponto médio de um segmento. Bissetriz: permite construir a bissetriz de um ângulo. Tangentes: permite construir retas tangentes a uma circunferência, cônica ou função, dado um ponto. 8

9 Reta polar ou diametral: constrói a reta diametral relativa a uma circunferência ou curvas cônicas. Reta de regressão linear: permite achar a reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos. Lugar Geométrico: constrói automaticamente o lugar geométrico descrito pelo movimento de um objeto ao longo de uma trajetória. Janela 5 Polígono: permite construir um polígono de N lados. Polígono regular: permite construir um polígono regular dado um lado e a quantidade de vértices ou lados. Janela 6 Círculo definido pelo centro e um dos seus pontos: cria um círculo a partir de dois pontos. Círculo dados centro e raio: cria um círculo dado o centro e raio com comprimento definido. Compasso: permite transportar medidas. Círculo definido por três pontos: cria um círculo dado três pontos. pontos. Semicírculo definido por dois pontos: cria um semicírculo dado dois Arco circular dados o centro e dois pontos: cria um arco circular dado o centro e dois pontos. 9

10 Arco circuncircular dados três pontos: cria um arco a partir de três pontos. Setor circular dados o centro e dois pontos: cria um setor circular dado o centro e dois pontos. Setor circuncircular dados três pontos: cria um setor dado três pontos da circunferência. Janela 7 curva. Elipse: cria uma elipse dado três pontos, sendo dois focos e um ponto na na curva. Hipérbole: cria uma hipérbole dado três pontos, sendo dois focos e um ponto Parábola: cria uma parábola dado um ponto e uma reta diretriz. Cônica definida por cinco pontos: cria uma cônica (parábola, elipse ou hipérbole) dado cinco pontos. Janela 8 Ângulo: permite marcar e medir um ângulo definido por três pontos, sendo que o segundo ponto marcado é o vértice. dois pontos. Ângulo com amplitude fixa: constrói um ângulo com amplitude fixa dado Distância, comprimento ou perímetro: fornece o comprimento de um segmento ou a distância entre dois pontos. Área: fornece a área de uma figura. 10

11 Inclinação: fornece a inclinação de uma reta. Janela 9 uma reta. Reflexão com relação a uma reta: cria a simetria axial de um objeto dada um ponto. Reflexão com relação a um ponto: cria a simetria central de um objeto dado Inversão: cria o reflexo de um ponto sobre uma circunferência. Girar em torno de um ponto por um ângulo: cria a simetria rotacional de um objeto ao redor de um ponto, dado um ângulo determinado. Transladar objeto por um vetor: cria a simetria translacional de um objeto dado um vetor. Ampliar ou reduzir objetos dados centro e fator de homotetia: cria o homotético de um objeto dado um ponto e a razão de semelhança. Janela 10 Seletor: é um segmento pequeno que possui um ponto deslizando sobre ele. Caixa para exibir/esconder objetos: permite escolher quais objetos quer mostrar. Para esconder o objeto, basta desmarcar esta opção. Inserir texto: permite inserir um texto na janela de visualização. Incluir imagem: permite inserir figuras na janela de visualização. Relação entre dois objetos: fornece algumas relações dado dois objetos. 11

12 Janela 11 Deslocar eixos: permite mover os eixos e os objetos nele contidos. Ampliar: permite ampliar as figuras que estão na janela de visualização. Reduzir: permite reduzir as figuras que estão na janela de visualização Exibir / esconder objeto: permite esconder objetos da janela de visualização. Exibir / esconder rótulo: permite esconder os rótulos dos objetos. Copiar estilo visual: permite copiar um estilo visual de um objeto para outro: pontilhado, cor, tamanho, etc. Apagar objeto: permite apagar objetos da janela algébrica ou da janela de visualização. Clicando com o botão direito do mouse em qualquer parte da janela geométrica, aparecerá uma figura como a figura abaixo: Figura 2 Geogebra 3.2 Ao selecionar um objeto e clicar com o botão direito do mouse sobre o objeto, aparecerá uma janela mostrando as opções conforme mostrado abaixo: 12

13 Figura 3 Geogebra 3.2 Ao clicar na décima janela, escolher a opção seletor e em seguida clicar em qualquer área da janela geométrica, aparecerá a figura abaixo: Figura 4 Geogebra 3.2 Abaixo segue uma sequência de figuras mostrando as opções que podem ser exploradas clicando na opção propriedades. Figura 5 Geogebra Básico 13

14 Figura 6 Geogebra 3.2- Cor Figura 7 Geogebra Estilo Figura 8 Geogebra Álgebra 14

15 Figura 9 Geogebra Avançado O Geogebra procura incorporar recursos que possibilitam a integração de objetos geométricos, gráficos cartesianos e tabelas. Atividades Atividade 1 Noções Básicas do Geogebra a) Na janela 2, selecione a opção e crie dois pontos livres e nomeie-os de P e Q. Para renomear um ponto, clique com o botão direito do mouse sobre o ponto, clique em renomear e em seguida digite a letra desejada. Lembrando que um ponto é sempre representado por uma letra maiúscula. Mude a cor dos pontos para vermelho. Para mudar a cor de um ponto, clique com o botão direito do mouse sobre o ponto, clique em propriedades, cor e escolha a cor vermelha e depois clique em fechar. b) Na janela 3 clique na opção e construa um segmento de reta passando por estes dois pontos, ou seja, PQ. c) Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela e nomeie-os de R e S. Construa o segmento de reta com extremidades nestes pontos. d) Clique na opção, selecione a opção comprimento e em seguida clique nos pontos R e S para medir o segmento RS. 15

16 Atividade 2 Perímetro e Ângulos a) Na janela 2 selecione a opção. Marque no plano cartesiano os seguintes pontos: A (0,2) e B (3,0). No campo de entrada digite o ponto C=(7,4) e clique em Enter. Repita este procedimento para o ponto D=(3,4). b) No menu exibir selecione a opção eixos. Clique com o botão direito do mouse na janela gráfica e selecione a opção malha. c) Mude a cor dos pontos. Para mudar a cor de um ponto, clique sobre ele com o botão direito do mouse, selecione a opção propriedades e em seguida a opção cor. Escolha a cor desejada e clique em fechar. d) Na janela 5 selecione a opção e clique sobre os pontos ABCDA e forme o polígono ABCD. e) Na janela 1 selecione a opção e mova cada ponto para fora do polígono formado. f) Clique com o botão direito do mouse em cada letra minúscula formada e selecione a opção Exibir Rótulo. Note que estas letras irão desaparecer. g) Na janela 8 clique em e em seguida clique nos pontos A e B. Depois em B e C. Depois em C e D e por fim em D e A. Na tela aparecerá os valores de cada lado do quadrilátero formado. h) Na janela 1 selecione a opção e mova o valor de cada lado para fora do quadrilátero. i) No campo de entrada digite s=a+b+c+d e clique em Enter. Na janela algébrica aparecerá o valor do perímetro do quadrilátero formado. 16

17 j) Na janela 8 selecione a opção. Clique em ADC, DCB, CBA e BAD. Na tela aparecerá o valor de cada ângulo do quadrilátero formado. Na janela 1 selecione a opção e arraste cada valor para frente de seu ângulo formado. Atividade 3 Teorema de Pitágoras a) Selecione a opção na janela 2. Marque os pontos A(0,0), B(0,6) e C(8,0) no plano cartesiano. Clique no menu Exibir e em seguida clique em eixos. Perceba que os eixos irão desaparecer. Na janela gráfica, clique com o botão direito do mouse e escolha a opção malha. Note que a janela gráfica ficará apenas com os três pontos marcados. b) Na janela 5, selecione a opção. Em seguida clique em ABCA. Na tela você verá um triângulo retângulo. Na janela 1 selecione a opção e mova o ponto A para fora do triângulo. Clique com o botão direito do mouse dentro do polígono formado. Em seguida clique em propriedades e depois em cor. Mude a cor do polígono para verde e clique em fechar. c) Na janela 8 selecione a opção. Em seguida clique em AB, BC e CA. Na tela aparecerá a medida do comprimento de cada lado deste triângulo. Na janela 1 selecione a opção para fora do triângulo.. Clique nos valores de cada lado do triângulo e arraste-os d) Na janela 8 selecione a opção e clique dentro do triângulo retângulo formado. e) Na janela 1 selecione a opção e mova o ponto B. Repita este procedimento para o ponto C. O que você percebeu? 17

18 Atividade 4 Perímetro e Área a) Na janela 2 selecione a opção e na janela gráfica marque o ponto A(-3,1). Repita o procedimento para o ponto B(0,1). Na janela 5 selecione a opção e clique no ponto A e depois no ponto B. Na janela que abriu digite 3 e clique em Ok. b) Na janela 1 selecione a opção e mova os pontos A, B e C para fora do polígono formado. Clique com o botão direito do mouse sobre cada letra minúscula da figura e selecione a opção Exibir Rótulo. Na tela ficará apenas a figura do triângulo formado com seus pontos, o eixo e a malha. c) Na janela 2 selecione a opção e marque os pontos D(3,-2) e o ponto E(6,-2). Na janela 5 selecione a opção digite 6 e clique em Ok., clique em D e depois em E. Na janela que abriu d) Na janela gráfica clique com o botão direito do mouse e clique em eixos. Repita este procedimento e clique em malha. e) Na janela 1 selecione a opção e arraste os pontos da Figura 2 para fora do polígono formado. Ainda na figura 2, clique com obotao direito do mouse sobre cada letra minúscula da figura e clique em Exibir Rótulo. Observe que na tela ficará apenas as duas figuras com seus respetivos pontos. f) Clique com o botão direito do mouse dentro do hexágono formado. Na janela que irá abrir clique em propriedades, cor, selecione a cor azul e clique em fechar. Perceba que na janela algébrica as informações de cada figura acompanham a cor de suas respectivas figuras. 18

19 g) Na janela 8 selecione a opção. Clique em AB, BC e CA. Na janela 1 selecione a opção e mova a medida de cada lado da figura para fora do polígono. Agora repita o mesmo procedimento para a figura 2. h) Na janela 8 selecione a opção e clique com o botão esquerdo do mouse dentro de cada figura. Na janela 1 selecione a opção e ajeite o valor de cada perímetro fora de sua respectiva figura. Observe que o perímetro do hexágono regular é o dobro do perímetro do triângulo equilátero. Ainda na janela 8 selecione a opção e clique com o botão esquerdo do mouse dentro de cada figura. Na janela 1 selecione a opção e ajeite o valor de cada área fora de sua respectiva figura. Observe que a área do hexágono regular é seis vezes a área do triângulo equilátero. i) Na janela 3 selecione a opção, clique em DG, EH e FI. Com o botão direito do mouse clique em cada letra minúscula formada e clique na opção Exibir Rótulo. Na janela 2 selecione a opção e clique nos segmentos DG e EH. Na janela 1 selecione a opção e ajeite o ponto J formado. j) Na janela 2 selecione a opção e clique em AB. Na janela 1 selecione a opção e movimente para fora da figura o ponto K formado. Na janela 3 selecione a opção e clique em KC. Clique com o botão direito do mouse sobre a letra p formada e clique em Exibir Rótulo. Na janela 8 selecione a opção clique em KC. Arraste o valor para fora figura. e 19

20 k) Na janela 2 selecione a opção e clique em DE e em HG. Na janela 3 selecione a opção e clique em LM. Com o botão direito do mouse clique no segmento LM, selecione propriedades, cor e pinte este segmento de vermelho. Na janela 8 selecione a opção regular é o dobro da altura do triângulo eqüilátero. e clique em LM. Observe que a altura do hexágono Atividade 5 Pontos Notáveis de um Triângulo a) Na janela 2 selecione a opção e marque os pontos A(-3,2), B(-1,2), C(-2,5), D(2,4), E(5,4), F(4,2), G(6,1), H(10,3) e I(10,0). b) Na janela 5 selecione a opção e clique em ABCA, DEFD e em GHIG. Com o botão direito do mouse clique na opção Exibir Rótulo sobre cada letra minúscula formada. Na janela 1 selecione a opção fora de sua respectiva figura. e arraste cada letra maiúscula para c) Pinte o primeiro triângulo de verde, o segundo de azul e o terceiro de vermelho. Para mudar a cor do triângulo, clique com o botão direito dentro de cada triângulo, selecione propriedades, cor, selecione a cor estabelecida na atividade e clique em fechar. d) Na janela 4 selecione a opção e clique no ponto C e no segmento AB. Depois clique no ponto B e no segmento AC e por último clique no ponto A e no segmento BC. Na janela 2 selecione a opção e clique em duas retas quaisquer que foram formadas. O ponto formado é chamado de Ortocentro, ou seja, é o ponto de encontro das três alturas de um triângulo. 20

21 e) Na janela 2 selecione a opção e clique em DE, EF e FD. Na janela 1 selecione a opção e mova para fora da figura os pontos formados. Na janela 3 selecione a opção e clique em DK, EL e FJ. Na janela 2 selecione a opção e clique em dois segmentos formados. O ponto formado é chamado de Baricentro, ou seja, é o ponto de encontro das três medianas de um triângulo. f) Na janela 4 selecione a opção e clique em GHI, HIG e em IGH. Na janela 2 selecione a opção e clique em duas retas formadas. O ponto formado é chamado de Incentro, ou seja, é o ponto de encontro das três bissetrizes de triângulo. g) Abra um novo arquivo e na janela 5 selecione a opção. Na janela de visualização crie um triângulo qualquer. Na janela 1 selecione a opção e arraste para fora do triângulo as letras correspondentes a cada ponto do triângulo. Clique com o botão direito do mouse sobre cada letra minúscula formada na figura e selecione a opção Exibir Rótulo. Na janela 4 escolha a opção. Clique em AB, depois em AC e por último em BC. Na janela 2 selecione a opção e clique em duas retas formadas. O ponto D formado é o ponto de encontro das três mediatrizes do triângulo e este ponto é chamado de Circuncentro. 21

22 Atividade 6 Ângulo Interno a) Na janela 2 selecione a opção e marque os pontos A(3,-1) e o ponto B(5,-1). Na janela 5 selecione a opção e clique em A e depois em B. Na janela que abriu na tela digite 7 e clique em Ok. Com o botão direito do mouse desmarque os eixos e a malha. Clique com o botão direito do mouse sobre cada letra minúscula formada e clique em Exibir Rótulo. b) Na janela 1 selecione a opção e mova cada ponto para fora do heptágono. Na janela 8 selecione a opção e clique em BAG, AGF, GFE, FED, EDC, DCB e em CBA. Perceba que todos os ângulos tem a mesma medida. Na janela 1 selecione a opção e ajeite o valor de cada ângulo formado, dentro da figura. Atividade 7 Função Afim a) Na caixa de entrada digite f(x)=4+2*x e clique em Enter. b) Ainda na caixa de entrada, digite g(x)= -3*x+3 e clique em Enter. Pinte a reta g de roxo. c) Clique com o botão direito do mouse na reta g e selecione propriedades, estilo, puxe a seta até o número 5 e clique em fechar. Observe que a reta f é crescente e a reta g é decrescente. d) No campo de entrada digite (1, f(1)) e clique em Enter. O ponto A formado tem coordenadas (1,6). Nesta função isto significa que quando x for igual a 1, y será igual a 6. e) No campo de entrada digite (1,g(1)) e clique em Enter. O ponto B formado tem coordenadas (1,0). Isto significa que para o domínio 1 terá imagem 0. 22

23 f) Na janela 1 selecione a opção e movimente a reta f. Repita o procedimento na reta g. Atividade 8 Função Quadrática a) No campo de entrada digite f(x)=x^2-5*x+6 e clique em Enter. b) Na janela 11 selecione a opção e movimente a janela gráfica um pouco para baixo. Observe que o eixo das abscissas foi cortado nos pontos 2 e 3. Estas são as raízes desta função. c) Observe que o discriminante desta função é maior que zero, ou seja, 0, pois o gráfico cortou o eixo x em dois pontos. E como o valor de a é positivo, temos uma parábola voltada para cima. Esta função tem valor mínimo. d) Selecione um novo arquivo no menu arquivo. No campo de entrada digite a função f(x)=-x^2+2*x-4 e clique em Enter. Na janela 11 selecione a opção e movimente a janela gráfica para cima. Na janela 2 selecione a opção e marque o ponto A(1,-3). Observe que este ponto representa as coordenadas do vértice desta função. O fato da parábola não tocar o eixo das abscissas (eixo x) significa que 0, ou seja, esta função não possui raiz. E como o valor do coeficiente a é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo. e) No menu arquivo selecione a opção novo. No campo de entrada digite a função f(x)=-x^2+2*x-1 e clique em Enter. Na janela 11 selecione a opção movimente a janela gráfica para cima. Observe que o gráfico toca o eixo x em apenas um ponto, ou seja no ponto 1. Isto significa que o discriminante desta função é igual a zero, ou seja, 0. E como o coeficiente a é negativo, a parábola tem concavidade voltada pra baixo. Observe que o gráfico cortou o eixo das ordenadas (eixo y) justamente no coeficiente c desta função. Esta função tem valor máximo. e 23

24 f) No menu arquivo clique na opção novo. No campo de entrada digite a função h(x)=-x^2-3*x+4 e clique em Enter. Na janela 11 selecione a opção e movimente a janela gráfica para a direita. No campo de entrada digite (-3,h(-3)) e clique em Enter. O ponto A formado de coordenadas (-3,4) significa que quando x for -3, y será 4, ou seja, para o domínio de -3 o valor da imagem será 4. Atividade 9 Função exponencial e Função Logarítmica a) No campo de entrada digite a função g(x)=2^x e clique em Enter. Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico formado, clique em propriedades, cor, azul, estilo, arraste a seta até o número 5 e na opção estilo da linha selecione o pontilhado da segunda opção. Clique em fechar. b) Ainda no campo de entrada digite a função f(x)=log(x) e clique em Enter. Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico formado, clique em propriedades, cor, vermelho, estilo, arraste a seta até o número 5 e na opção estilo da linha selecione o pontilhado da segunda opção. Clique em fechar. c) Agora vamos escrever a função log (x) na base 2. No campo de entrada digite f(x)=log(x)/log(2) e clique em Enter. Observe que o gráfico da função foi alterado. d) No campo de entrada digite (4,f(4)) e clique em enter. O ponto A(4,2) formado significa que o logaritmo de 4 na base 2 é 2. No campo de entrada digite (8,f(8)) e clique em enter. O ponto B(8,3) formado significa que o log de 8 na base 2 é 3. Atividade 10 Números Complexos a) No campo de entrada digite o número complexo z=3+5i. O número 3 é a parte real e o número 5i é a parte imaginária. No campo de entrada digite u=2+3i e clique em Enter. 24

25 b) No campo de entrada digite: S=z+u e clique em Enter. Na janela 11 selecione a opção e arraste a janela algébrica para baixo. O ponto S formado representa a soma destes dois números complexos. Agora no campo de entrada digite D=z-u e clique em Enter. O ponto D formado representa a diferença entre estes dois números complexos. c) No campo de entrada digite P=z*u e clique em Enter. Na janela 11 selecione a opção e arraste a janela algébrica para baixo e para a direita. O ponto P formado representa o produto entre estes dois números complexos. d) No campo de entrada digite Q=z/u e clique em Enter. O ponto Q formado representa o quociente entre estes dois números complexos. e) No menu arquivo selecione a opção novo. No campo de entrada digite u=2+3i e clique em Enter. Agora calcule o argumento deste número complexo digitando no campo de entrada Ângulo[u] e clique em Enter. Clique com o botão direito do mouse no ângulo formado, selecione propriedades, básico e em Exibir Rótulo selecione nome & valor e clique em fechar. Atividade 11 Trigonometria a) Na janela gráfica mantenha os eixos e a malha. Na caixa de entrada digite f(x)=sin(x) e clique em Enter. Na janela 11 selecione a opção e movimente a janela de visualização um pouco para cima. Agora vamos alterar a janela de visualização. Clique com o botão direito do mouse na janela de visualização. Selecione a opção janela de visualização e altere a unidade para e a distância para. Clique em fechar e deixe o gráfico na tela. 2 25

26 b) No campo de entrada digite g(x)=cos(x) e clique em Enter. Na janela algébrica clique com o botão direito do mouse sobre a função g(x), selecione propriedades, cor e mude a cor do gráfico da função cosseno para vermelho e clique em fechar. Atividade 12 Polinômio a) Na janela 2 selecione a opção e na janela gráfica escolha 6 pontos aleatórios. No campo de entrada digite Polinômio[A,B,C,D,E,F] e clique em Enter. Mantenha o desenho na tela. No campo de entrada digite Função[f(x), x(a),x(f)] e clique em Enter. Na janela algébrica clique com o botão direito do mouse na função g(x), selecione propriedades, cor e escolha uma cor qualquer. Ainda na janela algébrica, clique com o botão direito do mouse na função f(x) e selecione Exibir Objeto. Na janela 1 selecione a opção e movimente os pontos da função g(x) e veja o que acontece. b) No menu arquivo abra um novo arquivo. No campo de entrada digite P(x)=x^3+2*x^2-x-1 e clique em Enter. Observe que o gráfico cortou o eixo x em três lugares que são exatamente as raízes deste polinômio. Mude a cor deste gráfico para roxo. Na janela 2 selecione a opção e clique no eixo x e no gráfico de P(x). Os pontos A, B e C formados são as raízes deste polinômio e as coordenadas de cada raiz estão escritas na janela algébrica. Agora no campo de entrada digite (1,P(1)) e clique em Enter. O ponto D formado significa que P(1)=1. Atividade 13 - Vetores a) Na janela 2 selecione a opção e crie os pontos A(2,2) e B(4,5). Na janela 3 selecione a opção e clique em A e depois em B. Um vetor u foi formado. Volte na janela 2 e selecione a opção e crie o ponto C(5,1). Na janela 3 selecione a 26

27 opção e clique em C e no vetor u. Observe que o vetor v formado tem a mesma direção, sentido e magnitude do vetor u. b) No menu arquivo, abra um arquivo novo. No campo de entrada digite u=(2,4) e clique em Enter. Agora no campo de entrada digite v=(-2,6) e clique em Enter. Ainda no campo de entrada digite u+v e clique em Enter. O vetor w formado representa a soma dos vetores u e v (w=u+v). Na janela algébrica, clique com o botão direito do mouse no vetor v, selecione propriedades, básico, mude a opção valor para (-3,2) e clique em fechar. Observe que o vetor w automaticamente foi alterado. Não apague o desenho formado. c) No campo de entrada digite 2*u e clique em Enter. Na janela 11 selecione a opção e dê dois cliques com o botão esquerdo do mouse na janela gráfica. O vetor z formado representa o produto escalar. Observe que o vetor z tem o dobro da magnitude do vetor u. d) No campo de entrada digite comprimento [u] e clique em Enter. Na janela algébrica aparecerá a letra a que representa a magnitude ou módulo do vetor u. Atividade 14 Reflexão em torno de uma reta e de um ponto a) Na janela 2 selecione a opção e marque os pontos A(-3,5), B(-3,3), C(-1,2), D(2,1) e E(3,6). Na janela 5 selecione a opção e clique nos pontos ABCA. Na janela de visualização clique com o botão direito do mouse e selecione a opção Eixos. Os eixos irão desaparecer. Na janela 11 selecione a opção e arraste a malha um pouco para baixo. Na janela 3 selecione a opção e clique nos pontos D e E. Na janela 9 selecione a opção e clique no polígono e na reta. Na janela 27

28 1 selecione a opção e movimente a reta. Agora movimente os pontos A, B e C e observe. b) No campo de entrada digite A=(-3,5) e clique em Enter. Repita o mesmo procedimento para os pontos B=(-3,3), C=(-1,2) e D=(2,3). Na janela 5 selecione a opção e clique nos pontos ABCA. Na janela de visualização clique com o botão direito do mouse e selecione a opção Eixos. Os eixos irão desaparecer Na janela 9 selecione a opção e clique no polígono e no ponto D. Na janela 1 selecione a opção e mova o ponto D. Observe o que acontece. Agora movimente os vértices do polígono e veja o que acontece. 28

29 REFERÊNCIAS Geogebra disponível em Acesso em 14/02/2012. Aplicações do Geogebra ao ensino da Matemática disponível em ensino-de-matematica.pdf - Acesso em 15/02/2012. Geogebra: uma opção para o ensino de teoremas pertencentes à Geometria Euclidiana plana disponível em - Acesso em 15/02/2012. Aplicações do Geogebra ao ensino de Matemática : disponível em nhecendo_o_geogebra - Acesso em 15/02/2012. Software Geogebra: uso didático nas aulas de Matemática e Informática educacional das séries finais do ensino fundamental disponível em - Acesso em 18/02/2012. NÓBRIGA, Jorge Cássio Costa & ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de Aprendendo Matemática com o GeoGebra, Brasília: Exato, GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José Roberto & JÚNIOR, José Ruy Giovanni Matemática Completa, São Paulo: FTD, Desenho da Capa: Anderson Guimarães dos Santos. 29