Universidade Severino Sombra. Pós-Graduação Strictu Sensu em Educação Matemática

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1 Universidade Severino Sombra Pós-Graduação Strictu Sensu em Educação Matemática LÍCIA GIESTA FERREIRA DE MEDEIROS PRODUTO DA DISSERTAÇÃO DANDO MOVIMENTO À FORMA: AS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS NO PLANO NA FORMAÇÃO CONTINUADA A DISTÂNCIA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA Vassouras 2012

2 DESCRIÇÃO DO PRODUTO A dissertação teve como produto um Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) desenvolvido sobre a plataforma Moodle. Nele são apresentados um caderno com uma coletânea de atividades para a inserção do estudo das Transformações Geométricas no Plano (TGP) na Educação Básica, o conteúdo dessa dissertação, recursos disponíveis na Internet sobre TGP, Educação a Distância (EaD) e Geometria, além de construções geométricas feitas com o software Régua e Compasso (ReC). Este AVA é um ambiente aberto ao público. Os visitantes que se interessem no uso das TGP nos Ensinos Fundamental e Médio poderão acessar esse AVA no endereço Figura 1 - Tela inicial do produto Fonte: Após selecionar a opção Dando Movimento à Forma, é necessário clicar no botão que permite o acesso como visitante na tela de login, distinguido na Figura 2 com uma seta vermelha.

3 Figura 2 - Tela de login Fonte: A seguir, o visitante entrará no espaço específico do produto, terá acesso a uma descrição do que é pretendido com ele, a um fórum de bate-papo (Nosso café) e a um fórum de notícias, que traz informações sobre eventos relacionados à educação Matemática e a EaD, conforme mostrado na Figura 3. Figura 3 - Descrição do AVA Fonte: Nesse ambiente foram incluídos todos os capítulos da dissertação Dando Movimento á Forma: as Transformações Geométricas no Plano na Formação

4 Continuada a Distância de Professores de Matemática, incluindo suas páginas prétextuais, como pode ser visto na Figura 4. Figura 4 - Capítulos da dissertação Fonte: No tópico dois do produto, foi disponibilizado um caderno com uma coletânea de atividades, chamada de Caderno de Atividades e mostrado no Apêndice A, que possibilitam a inserção das TGP na Educação Básica além de um Fórum de Sugestões (Figura 5). Neste fórum foram abertos três tópicos. Em todos o intuito é levar o usuário a dar sugestões sobre o Caderno de Atividades, o primeiro, sobre o texto da dissertação, o segundo, e sobre a inserção de novos links na página.

5 Figura 5 - Apresentação da dissertação. Fonte: A seguir o produto elenca vários vídeos, sites e programas, relacionados com o tema da dissertação, que se encontram disponíveis na Internet. Figura 6 - Relação de vídeos, sites e programas

6 Fonte: Foram também disponibilizados vários textos, que serviram de referência para o trabalho ou que se relacionam com seu tema, conforme descrito na Figura 7, na próxima página.

7 Figura 7 - Relação de textos Fonte:

8 Finalmente, são apresentadas quatro construções geométricas relativas às TGP. Essas construções podem ser trabalhadas em qualquer computador, não sendo necessário a instalação do programa utilizado para criá-las (Régua e Compasso). As Figuras 8, 9, 10 e 11 apresentam uma imagem estática de cada uma delas. Figura 8 - Simetria facial. Fonte: Figura 9 - Quadrado com o Sistema TR Fonte:

9 Figura 10 - Sistema TR. Fonte: Figura 11 - Hometetia Fonte: Este AVA representa um proposta de material didático sobre as Transformações Geométricas no Plano (TGP) adequada à formação continuada do professor de Matemática na modalidade a distância. Aqui foram disponibilizados textos, filmes, construções geométricas dinâmicas, fóruns de discussão e um caderno de sugestões de atividades para desenvolver os conceitos de TGP e o conteúdo completo da dissertação. Espera-se que, com a ajuda dos usuários que acessarem este AVA, este produto seja como um ser vivo que se desenvolva, prospere e dê bons frutos.

10 Por fim, este produto tem a intenção de semear, junto aos professores que o acessarem, a ideia de refletir sobre as possibilidades de aperfeiçoar o ensino da Matemática através das transformações geométricas no plano.

11 APÊNDICE A: CADERNO DE ATIVIDADES ATIVIDADES PARA ENSINO FUNDAMENTAL 1. Homem em Movimento (Van de Walle, 2009, p ) [...] Dê a todos os alunos um Homem em Movimento com duas faces (frente e costas). Demonstre cada um dos possíveis movimentos Um deslizamento é simplesmente assim: a figura não gira nem vira. Demonstre rotações de, e. Enfatize que apenas rotações no sentido horário serão usadas nessa atividade. Similarmente, demonstre uma virada horizontal (vira de cabeça para baixo) e uma virada vertical (esquerda e direita são trocadas). pratique com alguém indicando com seu Homem em Movimento com a mesma orientação. Quando você anunciar um dos movimentos, os alunos devem deslizar, virar ou girar o Homem em Movimento de acordo. Então, apresente os dois Homens em Movimento lado a lado em qualquer orientação. A tarefa é decidir que movimento ou combinação de movimentos fará o Homem da esquerda casar com o da direita. Os alunos devem usar seus próprios Homens para descobrir a solução. Teste a solução que eles apresentem. Se ambos os homens estiverem na mesma orientação, chame isso de deslizamento. Figura 2.34: Adaptação do Homem em Movimento Fonte: Van de Walle (2009, p.566).

12 2. Simetria de espelhos com blocos geométricos (Van de Walle, 2009, p.463) Os alunos precisam de uma folha de papel plana atravessada ao meio por uma linha reta. Usando cerca de seis a oito blocos geométricos, eles constroem um modelo completamente de um lado da linha, tocando a linha de algum modo. A tarefa é fazer a imagem espelhada de seu modelo do outro lado da linha. Quando terminarem, eles devem usar o espelho para checar seu trabalho. Eles colocam o espelho sobre a linha e olham para ele do outro lado do modelo original. Com o espelho no lugar, eles devem ver exatamente a mesma imagem que veriam ao suspender o espelho. Você pode também desafiá-los a fazer modelos com mais de uma linha de simetria. [...] A mesma tarefa pode ser feita com o Geoplano. [...] Isso também pode ser feito em papel pontilhado isométrico ou retangular, como o mostrado na Figura 3.35.

13 Figura 2.35: Explorando simetria em papel pontilhado (adaptação) Fonte: Van de Walle (2009, p.463). 3. Prédios com plano de simetria (Van de Walle, 2009, p.464) Um plano de simetria em três dimensões é análogo à linha de simetria em duas dimensões. A Figura 2.36 ilustra uma forma construída com cubos que possui um plano de simetria. Figura 2.36: Uma construção de blocos com um plano de simetria (adaptação) Fonte: Van de Walle (2009, p.464). Com cubos, monte um prédio que tenha um plano de simetria. Se o plano de simetria estiver entre os cubos, divida a forma separando o prédio em duas partes simétricas (como a Figura 2.36). Experimente montar prédios com dois ou três planos de simetria. Não se esqueça que um plano de simetria pode cortar os blocos diagonalmente.

14 Reconhecimento de eixos de simetria em logotipos 4. Logotipos são figuras que representam uma empresa ou marca. Veja se você reconhece os logotipos abaixo. Trace seus eixos de simetria. (adaptada de Nasser e Sant'Anna, 2004, p.28) 5. Localize o(s) eixo(s) de simetria das letras abaixo. (adaptada de Lopes e Nasser, 1996, p.100) A B D E F S H Z 6. Não poucas vezes utilizamos na vida prática a simetria da figura em relação a um ou dois eixos. A figura à esquerda, por exemplo, forma com as suas simétricas em relação a dois eixos retangulares, o ornato que reproduzimos à direita. Podemos observar na composição decorativa, que indicamos, a existência de quatro eixos de simetria. Quais são eles? (ROXO et al, 1934, p. 228) Reconhecimento de centro de rotação em Logotipos

15 7. No logotipo do Banco de Brasil observe que uma metade da figura pode ser obtida a partir da outra metade através de uma rotação de 180. Marque o centro de rotação. (Nasser e Sant'Anna, 2004, p.45) Identificação de transformações aplicadas às figuras 8. Identifique as transformações aplicadas para completar cada imagem abaixo. (adaptada de Lopes e Nasser, 1996, p.120) 9. Os movimentos de alguns brinquedos dos Parques de Diversões lembram transformações. Dê a transformação relativa ao movimento dos brinquedos abaixo: (adaptada de Lopes e Nasser, 1996, p. 111 e 121)

16 10. Identifique as transformações aplicadas a figura do peixinho amarelo. (Adaptada de Nasser e Sant'Anna, 2004, p.38) 11. Identifique as transformações utilizadas na obra de Escher abaixo. Figura 2.14: Divisão Regular do Plano nº 70. Fonte: Landshoff, 2003, p.61.

17 Construções em papel pontilhado ou quadriculado 12. Observe a figura abaixo, trace-a no papel quadriculado e resolva as questões: (Fainguelernt, 2007) a. Desenhe-a em outro lugar do papel quadriculado (translação). b. Trace um eixo de simetria e construa uma imagem simétrica. c. Escolha um ponto de foco e faça uma homotetia de razão dois. d. Faça uma rotação de 90º no sentido horário. 13. Considere o número 6 desenhado abaixo e o ponto O do plano. (Fainguelernt, 2007) a. Trace a reta AO e sobre ela coloque um ponto A tal que a distância do A ate O seja igual à distância de O até A. b. Repita a operação para os pontos B, C, D e E marcando os pontos B, C, D e E. c. Seria possível repetir a operação analogamente com a do item b para outros pontos do desenho? d. Ligue os pontos encontrados respeitando a sua correspondência. e. Qual a figura obtida? 14. Desenhe as figuras no papel quadriculado e amplie-as de duas vezes o tamanho: (SANGIORGI, 1969, p.171)

18 15. Desenhe as figuras no papel quadriculado e reduza-as as de duas vezes o tamanho: (SANGIORGI, 1969, p.172) 16. Considere o hexágono ABCDEFA e a reta r: (Fainguelernt e Vilella, 2010) a. Trace retas perpendiculares à reta r por A, B, C, D, E e F. Ao traçar essas perpendiculares, o que você observou quanto ao hexágono A B C D E F A? b. Dobrando a figura pela reta r, que resultado obtemos? c. Que transformação geométrica do hexágono ABCDEFA, o hexágono A B C D E F A representa? 17. Observe as figuras abaixo: (Fainguelernt e Vilella, 2010) I II III IV V VI VII a. Selecione a(s) que possu(em) eixo de simetria. Reproduza-as as na lista a ser enviada a seu tutor, indicando o eixo de simetria.

19 b. Justifique a não inclusão das figuras que sobraram. 18. Observe as figuras abaixo: (Fainguelernt e Vilella, 2010) a. Trace os segmentos AA ', BB ', CC ', DD ', EE ', FF ', GG '. O que representa o ponto 0 para cada um dos segmentos AA ', BB ', CC ', DD ', EE ', FF ', GG '? b. Identifique a transformação geométrica realizada descrevendo suas características. 19. Clique sobre o contorno do barquinho da figura I, deslizando-o o para a direita sobre a reta u, até que o ponto B encontre a reta s. Chamemos a essa nova figura de figura II. (Fainguelernt e Vilella, 2010) A B a. Compare as figuras I e II e responda: a.1) Conservam as mesmas medidas? a.2) Coincidem por superposição?

20 a.3) Ocupam a mesma posição no plano? b) Como a figura II foi obtida? c) Quais as características desta transformação geométrica? 20. Observe a figura representada a seguir: (Fainguelernt e Vilella, 2010) a. Sabendo que A é o transformado do ponto A, determine o transformado da figura por esta translação. (Obs.: Copie esse desenho na lista a ser enviada a seu tutor e lá represente sua resposta). b. Qual é o quadrilátero que caracteriza a translação?

21 21. Observe a figura abaixo: (Fainguelernt e Vilella, 2010) a. Determine a razão entre as medidas dos segmentos: a.1. AB e a.2. BC e a.3. AC e A'B' B'C A'CC ' b. Qual foi a transformação geométrica realizada? c. Descreva essa transformação.. '. Atividades com o Geoplano 21. Geoplano e com um elástico colorido crie um desenho qualquer (que seja pequeno). Com outros dois elásticos faça os eixos coordenados. Como mostrado na figura.

22 a. Faça no segundo quadrante uma figura homotética a primeira de razão 2. b. Faça o desenho que seja a rotação de 90º da figura no sentido anti-horário. c. Faça a reflexão desta figura em relação à origem. d. Faça a sua translação para o quarto quadrante. ATIVIDADES PARA ENSINO MÉDIO 1. Sendo A (0,0); B(4,0); C(4,4) e D(0,4) vértices de um quadrado no plano cartesiano ortogonal, qual é o transformado deste quadrado aplicando a transformação T(x, y) = (x, 3y). 2. Dada T : IR² em IR², definida por T(x,y) = (x+5, y+7), qual a imagem: a. da reta de equação y = 2x; b. da circunferência de equação x + y = 4 ; 2 2 c. faça graficamente cada uma das representações dos itens a e b 3. Considerando a figura abaixo e G = {R 0, R 1, S 1, S 2 }, onde R 0 é a rotação de 0 R 1 é a rotação de 180 S 1 é a simetria em torno de AB S 2 é a simetria em torno de CD Considerando, ainda, a operação de composição (Fainguelernt, 2007) preencha a tabela a seguir: R 0 R 1 S 1 S 2 R 0 R 1 S 1 S 2

23 4. Trace os eixos coordenados no papel quadriculado e, em seguida, desenhe um triângulo pequeno no primeiro quadrante. Multiplique as coordenadas de cada vértice pelas matrizes abaixo. Para cada uma das matrizes faça: (Mathias, 2007) i. Construa o novo triângulo ii. Identifique a transformação iii. Calcule a área do novo triângulo iv. Qual é a razão entre as áreas do triângulo transformado e do inicial? v. Calcule o determinante da matriz 3 0 a d b e c f Faça um desenho qualquer no papel quadriculado e multiplique quatro vezes consecutivas os seus vértices pela matriz passagens. (Mathias, 2007) 0 1. Construa cada uma dessas 1 0

24 Referências Bibliográficas FAINGUELERNT, E.K. Álgebra Linear. In Curso de Especialização em Educação Matemática da Fundação Educacional D. André Arcoverde. Notas de Aula. Valença, FAINGUELERNT, E.K.; VILLELA. L. M. A. Transformações Lineares. In Geometria. Notas de Aula. NTEM/LANTE/UFF, LANDSHOFF, A. (Org). La Magia de M. C. Escher. Edición española. Cologne: TASCHEN GmbH, LOPES, M.L.M.; NASSER, L. (Coord.) Geometria na Era da Imagem e do Movimento. Rio de Janeiro: Editora UFRJ IM/UFRJ Projeto Fundão, MATHIAS, C.E.M. Álgebra Linear. In Curso de Especialização em Educação Matemática da Fundação Educacional D. André Arcoverde. Notas de Aula. Valença, NASSER, L; SANT'ANNA, N. P. (Coord) Geometria Segundo a Teoria de Van Hiele. 4ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ/IM, Projeto Fundão, ROXO, E.; THIRÉ, C.; MELLO E SOUZA, J.C. Curso de Matemática 3º Ano. Rio de Janeiro: Livraria Francisco Alves, SANGIORGI, O. Matemática: Curso Moderno 4º volume para os Ginásios. 4ª ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, VAN DE WALLE, J.A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Tradução de Paulo Henrique Colonese. 6ª ed. Porto Alegre: Artemed, 2009.