ESTADO LIMITE ÚLTIMO FORÇA CORTANTE

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1 ESTDO LIMITE ÚLTIMO FORÇ CORTNTE 1. Introdução Considera-se, no que segue, a resistência à orça cortante de vigas de concreto armado, de seção constante, para as quais já se tenha obtido as solicitações M d, N d e d do Estado Limite Último, através de análise elástica, com ou sem redistribuição das solicitações, ou através de análise elastoplástica. Supõe-se que as condições de ductilidade estejam satiseitas, com a limitação da proundidade da LN do ELU Flexão, ou com a veriicação da capacidade de rotação plástica das seções críticas. Tem-se, com isto, os diagramas dos esorços solicitantes decorrentes das cargas devidamente majoradas pelo coeiciente de segurança parcial γ, com arranjo espacial e combinação mais desavorável. Estes diagramas servirão de base para o dimensionamento à orça cortante. q u = Carga última LC z M + M b w Fissuras Fig. 1 orça cortante é melhor estudada seguindo-se o luxo das cargas até os apoios inais, para o que é necessário examinar a peça como um todo e não apenas a seção transversal. teoria que se pode tomar como base é a que az uso de campos descontínuos de tensão, nos quais são satiseitas as condições de equilíbrio e de resistência. Na alma e nas langes da viga tem-se campos de compressão para o concreto e campos de tração para os estribos, ambos acoplados a banzos longitudinais ( stringers ) tracionados (armadura longitudinal) e comprimidos (concreto). Uma simpliicação do modelo de campos descontínuos de tensão corresponde a substituí-los pelas resultantes, com o que obtém-se uma treliça (no presente texto) de banzos paralelos. Como mostra a Fig. 1, na ruína a peça encontra-se extensamente issurada, com issuras verticais de lexão, issuras inclinadas de lexão e de orça cortante, e, ainda, issuras inclinadas apenas na alma da viga, devidas à orça cortante. o longo das issuras há transmissão de orça cortante por atrito, uma parcela denominada c, ou em termos de tensão tangencial τ c = c bwz. Por CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 1

2 esta razão, e também porque há transmissão de orça cortante no banzo comprimido, a inclinação do campo diagonal de compressão da alma, em relação ao eixo longitudinal da viga, é menor que a inclinação da issura. No item, mostra-se o uso de campos descontínuos de tensão no dimensionamento de vigas no ELU, indicando-se a correspondente simpliicação do modelo resistente representado pela treliça de banzos paralelos, no caso de vigas de seção constante. Neste modelo, a inclinação do campo de compressão é escolhida livremente, usualmente na aixa 45 º a 5 º, sem qualquer menção à parcela da orça cortante transmitida por atrito na issura e no banzo comprimido. No item 3, mostra-se o Modelo I de dimensionamento à orça cortante adotado na NBR 6118: 003. No item 4, segue-se as FIP Recommendations, 1999, nas quais encontram-se as equações para a determinação do ângulo de inclinação da issura, em relação ao eixo longitudinal da peça, nas modalidades de lexotração, lexão simples e lexo-compressão, o que permite acoplar a inclinação do campo de compressão à inclinação da issura. ssim, será possível ver que a nalogia da Treliça Modiicada (usada na NBR 6118: 003 e 1978), ao determinar o ângulo de inclinação do campo de compressão acoplado ao ângulo de inclinação da issura, é um caso particular do modelo de campos descontínuos de tensão, no qual há liberdade de escolha desse ângulo na aixa mencionada. seção resistente à orça cortante da alma tem área b w z, onde z é a distância entre os banzos comprimido e tracionado e b w é a largura da alma. issuração da alma, atuando a orça cortante e as solicitações normais, N (negativa, se compressão) e M, pode ser estimada, de acordo com Marti, P., como segue. er a Fig.. tensão média de cisalhamento na alma é dada por: τ = b z w (1) tensão normal (negativa se compressão) no CG da seção, de área 0, vale: σ = N 0 () No instante imediatamente anterior à issuração diagonal, tem-se a tensão tangencial decorrente da orça cortante que produz a issuração, τ = τcr, valor que permite obter a orça cortante através de (1), e com ela a carga atuante. direção da tensão principal de compressão é, também, a da issura diagonal prestes a se ormar. s tensões principais no CG da seção transversal, no caso, são dadas por: CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim

3 σ σ σ I = + τ + ( ) σ σ II = τ + σ ( ) (3) (4) g + q g+ q B C D Ν P P o τ CG M g + q 0 c,pr σ (protensão) τ ( g q) l R = + τ BD Polo C τcg B D P o σi σii θ CG σ II τ CG P θ o τ CG CD σ I σ compressão tração circulo de Mohr Fig. : Tensões principais no CG da seção. Exemplo com orça normal de compressão (protensão); a tensão tangencial no CG pode ser substituída pelo valor médio na seção resistente à orça cortante, de área b w z. Igualando-se a tensão principal de tração com a resistência à tração concreto (valor característico inerior), i. e., σ =, resulta de (3): I ctk, min τ cr = ctk, min 1 0 N ctk,min (5) inclinação da issura diagonal, prestes a se ormar, é dada por: CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 3

4 tgθ cr τ = σ cr II = σ τ cr 1 σ 1+ ( τ cr ) (6) qcr Inclinação da tensão principal de compressão, igual à inclinação da issura da alma Relação entre as tensões normal e tangencial na issuração Fig. 3 Fig. 3 mostra que na lexão simples, com σ = 0 no CG, a inclinação da! issura é (aproximadamente) 45. tensão principal de compressão, obtida de (4), é igual, em módulo, à tensão tangencial, σ II = ctk, min. inclinação da issura diminui se houver compressão axial por orça normal (peças protendidas, pilares), e aumenta se houver tração axial. Por exemplo, com / 3 ck = 30 MPa, e ctk, min = 0, ck MPa, e se numa peça protendida a tensão normal, originada pela orça de protensão, valer σ 4,5 σ = 0,15 ck = 4, 5 MPa, resultariam =, 5, θ cr = 0,8º e de (4): τ cr 4,5 4,5 σ II = + ( ) =,5 3,0 = 5, 5 MPa. Se, ao contrário, houvesse uma tensão de tração igual a σ = 0,15 ck = 4, 5 MPa, a inclinação da issura seria θ cr = 69,º, e a tensão principal de compressão diminuiria para: 4,5 4,5 σ II = + ( ) =,5 3,0 = 0, 75 MPa Obtida a tensão tangencial no CG da seção, imediatamente antes da issuração, estima-se a orça cortante correspondente (junto ao apoio, onde a orça é máxima) da seguinte expressão: ( g + q) cr τ crbwz (7) CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 4

5 onde a altura da seção resistente à orça cortante, z, o mesmo que a distância entre os banzos comprimido e tracionado, pode ser igualada a 90 % da altura da útil seção, ou seja, z 0, 9d. Se houver orça cortante proveniente da protensão, c, pr, a orça cortante eetiva na seção de concreto diminui, e = ( g + q) cr c, pr, c. mostra a Fig.. Com isto, é maior a carga externa necessária à issuração da alma (eeito igual ocorre na issuração por lexão). Como se pode esperar, a orça normal de compressão atua avoravelmente, pois diminui a abertura da issura da alma e aumenta o atrito (e o engrenamento do agregado graúdo, se a issura se der na argamassa, contornando-o) entre as aces da issura. No caso da protensão, há, pois, dois eeitos avoráveis: o primeiro proveniente da compressão axial (cabos retos e curvos), e o segundo vindo da orça cortante contrária à da carga externa (cabos curvos), e ambos reduzem consideravelmente a armadura necessária para resistir à orça cortante. Com reqüência, essa armadura transversal (estribos) resulta mínima, conorme os valores especiicados nas normas.. Dimensionamento à Força Cortante Na igura 4, representam-se os campos descontínuos de tensão e os modelos de treliça para uma viga T, sujeita a uma carga uniormemente distribuída ao longo do vão, considerando-se três ângulos θ do campo diagonal de compressão, a saber, 45 º, 33,7º e 6,6º, correspondentes a cot θ = 1, cot θ = 1,5 e cot θ =. Conorme mostra a Fig. 4b, os campos descontínuos de tensão podem ser ormados por chapas em orma de leque e paralelogramos, justapostos entre si. Nestes últimos, há um estado uniorme de compressão, cuja tensão principal tem direção dada pelo ângulo θ. No lado comum a dois paralelogramos há um salto, também uniorme, nessa tensão. Salto de intensidade variável ocorre ao longo da reta comum ao paralelogramo e ao leque. tensão principal de tração é considerada nula, mas seu eeito é levado em conta na resistência cd do concreto da alma. Estes campos de tensão podem ser substituídos, como simpliicação, por uma treliça. s orças nas barras das treliças, correspondentes aos ângulos escolhidos, estão mostradas nas Figuras 4c, 4d e 4e, e delas conclui-se que: (a) No banzo tracionado, para θ decrescente, aumentam a armadura longitudinal e a orça a ancorar no apoio. Simultaneamente, cai o consumo de estribos. Isto pode ser provado através do seguinte cálculo do volume total da armadura correspondente, em que são desprezados os comprimentos de ancoragem e ganchos ( ywd e yd são os valores de cálculo das resistências ao escoamento das armaduras, respectivamente, transversal e longitudinal; c 1 é a altura do estribo): θ = 45º : Σ sw = c = ywd c ywd CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 5

6 Σ sl 0, ,8( ) + 1, = = yd yd θ = 33,7º : Σ Σ sw sl = c = ywd yd c ywd 0, ,( ) + 1, = = yd θ = 6,6º : Σ sw = c = ywd c 1 70 ywd Σ sl 0, , , = = yd yd Desconsiderando a necessidade de armadura mínima, o consumo de estribos para o menor ângulo θ é apenas = 40% do consumo de estribos para o maior ângulo. Em contrapartida, a armadura longitudinal 8448 aumenta ( 1) 100 = 17%. 74 (b) O consumo de armadura por orça cortante a transversal mais a longitudinal é pouco sensível à escolha do ângulo θ (pondo c1 0, 95 m e ywd = yd ), como mostra o seguinte cálculo: Σ sw + Σ sl = 1 yd º para θ = 33,7º 6,6º (c) tensão de compressão no concreto da alma aumenta para θ decrescente, c. a Equação (10):,0 σ = d (tan + cot ) = d cwd θ θ,17 para bwz bwz,5 45º θ = 33,7º 6,6º (d) carga atuante na ace superior da viga e situada no leque dirige-se diretamente ao apoio; portanto, esta parcela da carga não aeta a orça no estribo. No leque, deve-se cuidar apenas da tensão de compressão no concreto junto à placa de apoio ou no correspondente nó. er adiante. CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 6

7 q =150kN m d b = 800 mm l q d h= 1000mm (a) l = 9600mm 3 x 150 LC leque 160 ql d 8z chapa em estado uniaxial de tensão θ = 45 σ cwd = 0 z = 800mm (b) 160 ql d 8z (c) x θ = z = 800mm cot θ = (d ) , θ = 33, z = 800mm cot θ = 1, (e) θ = 6,6 160 z = 800mm cotθ = Fig. 4 CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 7

8 z cosθ q d = 150kN m LC E F G H I 160 z = 800 cotθ = 1, 5 θ = 33, 7 ( a) 70 θ B C 8 x 600 = 4800 D θ = 33,7 E 160 z cotθ z cotθ z cotθ z cotθ = ( b) R t : Força no banzo tracionado (kn) (variação poligonal) poligonal campos de tensão modelo de treliça parábola do grau polígonal ( c) R c : Força no banzo comprimido (kn) (parábola do grau no leque, e poligonal nas chapas trapezoidais) 3q d = 450 ou 540 1, q d = 300 ou 360 1, = 150 ou 180 1, q d ( d ) r swd : Força no estribo (kn/m) Fig. 5 CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 8

9 Fig. 5 detalha as orças nos banzos e o cálculo da armadura transversal no segmento da viga onde a orça cortante mantém seu sinal. O gráico da orça no banzo tracionado, c. a Fig. 5b, permite interromper a armadura longitudinal, bastando apenas adicionar o comprimento de ancoragem. O leque centrado, c. a Fig. 6, é uma simpliicação e, na realidade, deve-se considerar a geometria do apoio, de extensão a o, com o que o ângulo da resultante de compressão do leque passa a ser: z cotθ x q d a o z cotθ q d z cotθ z cotθ θ () x θ a θ r sw z cotθ θ rswdzcotθ a o (a) leque centrado ( b) leque truncado Fig. 6 a o 1 cotθ a = ( + cotθ ) z (8) ssim, p. ex., se cot θ = e a o 00 = = 0, 5 z 800, resulta cot θ a = 1, 15, ou θ a = 41,6º >> θ = 6,6º. Note-se que, se a largura do apoio or desconsiderada, resulta θ a = 45º. Como se vê, as tensões de compressão no leque devem ser veriicadas apenas no nó BC, Fig. 7 ou Fig. 8. ormação do nó de apoio pode dar-se de dierentes maneiras, algumas delas mostradas na Fig. 8. Os dois casos extremos, representados na Fig. 7, são calculados a seguir. Supõe-se a resistência do concreto da alma, cd, limitada a 1 MPa, na viga da Fig. 5, para a qual se tem cot θ = 1, 5 e cot θ = 0, 75 ou θ = 53,13º. a a CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 9

10 900kN 900kN C c =1MPa d c d =1MPa 180mm θ a =53,1 540kN θ a = 53,1 B τ B 540kN B σ B c d 40mm(x 50mm) a o (x 50mm) c d cd 70kN 0,64 c 70kN (a) ancoragem com chapa (b) ancoragem reta τ τ B σ II = c d θ a = 53,1 σ B σ τ B σ = II c d B σ B (c) Fig. 7 Na Fig. 7a tem-se, no nó BC, um estado duplo de tensão semi-hidrostático, avorável ao concreto. Se a chapa C or eliminada, a orça na armadura tem de ser transmitida ao concreto por tensões de aderência τ B, entre a barra da armadura e a biela inclinada. Para manter a tensão normal solicitante nessa biela igual à resistência cd, resulta que a tensão normal na placa de apoio, de dimensões a o 50 mm, passa a ser igual a 64 % de cd, pois, c. a Fig. 7c, tem-se, com σ B < 0 e θ a = 53,13º : τ tan(90 θ a ) = σ B ( cd B B τ B = σ + σ B ) donde τ B = 0,48 cd e σ B = 0,64 cd. Portanto, a largura a o, neste caso, deve ser aumentada de 40 mm (Fig. 7a) para 40 / 0,64 = 375 mm (Fig. 7b), pois a reação de apoio é a mesma em ambas soluções. CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 10

11 θ a (a) C B a o elevação a o planta grampo barra reta elevação a o planta corte (b) ancoragem com grampos elevação a o planta (c) ancoragem com chapa (soldada ou parausada) r+ φ+c a o r φ elevação c = cobrimento planta (d) armadura em laço Fig. 8 CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 11

12 Nas peças que não apresentam variação brusca de geometria e da carga, é possível estabelecer os esorços resistentes em unção dos esorços solicitantes M d, N d e d, observando-se que estes devem ser os resultantes, não no CG da seção (como se considera na análise estrutural), mas à meia altura da seção resistente à orça cortante. er a Fig. 9. z cotθ (a) z B r swd z cotθ σ cwd θ C D R sup d d cotθ R in z z z cosθ (b) Esorços transportados do CG da peça para o ponto distante z dos banzos. CG z z s z d Nd Md Nd d Md Nd z s z banzos Fig. 9 s orças nos banzos são iguais a: M d zs R d sup = + Nd + z z cotθ (9a) M d z z in ( s R = + N ) d d + z z cotθ (9b) onde z s é a distância entre o banzo tracionado e o CG da peça. M d, N d e d são positivos como indicados na Fig. 9b. orça R nos banzos é positiva se or tração. tensão de compressão do concreto da alma pode ser obtida da Fig. 9a: d = σ senθ ou cwd b w z cosθ CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 1

13 σ cwd d 1 = = d (tanθ + cotθ ) b z senθ cosθ b z w w cd (10) s resistências equivalentes do concreto do banzo comprimido, cd1, e da alma e lange, cd, resultam das expressões dadas a seguir. No banzo comprimido tem-se, c. o MC-90, item 6..., e a NBR 6118, itens e : ck cd1 = 0,85(1 ) 50 cd ck cd = 0,7 cd1 = 0,60(1 ) 50 cd (11) (1) com ck em MPa, cd = γ ck c resistência do concreto da alma, cd, deve ser menor que cd1, pois nela há um estado duplo de tensão do tipo compressão-tração. s tensões de tração originam-se das tensões de aderência entre o estribo e o concreto envolvente e das tensões de atrito na issura. Esta redução é igual a 30 % em relação a cd1, c. mostra a Equação (1). No que segue, quando or o caso de marcar a dierença entre os esorços solicitantes e resistentes, usam-se, respectivamente, os sub-índices maiúsculos S e R. distância z entre os banzos pode ser admitida, a avor da segurança, como sendo a da seção mais crítica ( = 0), no segmento da viga onde a orça cortante mantém seu sinal. NBR 6118: 003 admite z = 0, 9d, onde d é a altura útil da reerida seção crítica. Com isto, a orça cortante máxima resistida pela alma da viga é igual a (em (10) substitui-se σ cw por cd, z por 0,9d, e usa-se a (1)): Rd = 0,9 cd b w b d d senθ cosθ 0,54(1 ck = ) cd w 50 tanθ + cotθ (13) Este limite deve ser respeitado para evitar, com a devida segurança, o esmagamento do concreto da alma. orça no estribo por unidade de comprimento, elemento BCD, Fig. 9a, na direção vertical: r swd, decorre do equilíbrio do r swd = Sd z cotθ CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 13

14 E como r sw swd = ywd, obtém-se a área da armadura transversal (estribos s verticais, no caso) igual a: s sw = ywd Sd z cotθ (14) onde s é o espaçamento longitudinal do estribo e contados nela todos os seus ramos. sw é a área do estribo, Note-se que a armadura no trecho BD depende da orça cortante na seção D, que é o menor valor de nesse segmento. O contrário ocorreria se toda a carga q d osse aplicada na base da viga. ssim, se houver uma parcela q d, in aplicada na base da viga, esta se soma a Sd, pois esta carga deve ser z cotθ suspensa até o banzo superior, donde: s sw = Sd + q z cotθ ywd d, in (15) yk s resistências da armadura longitudinal dos banzos é yd = e da γ s armadura transversal da alma e langes (especialmente da lange tracionada ywk longitudinalmente), ywd =, com ywk 500 MPa e γ s = 1, 15. restrição γ s da resistência do aço a 500 MPa, mesmo que seja usado o C-60 como estribo, tem em vista limitar a abertura da issura inclinada em serviço. s langes de uma seção duplo T são também tratadas como chapas, de orma análoga à alma da viga. er a Fig. 10. Nas interaces alma-lange dos banzos comprimido e tracionado desenvolve-se um luxo de orça cortante por unidade de comprimento, v l, igual ao gradiente da orça no banzo considerado. Nas zonas B (paralelogramos), v l é constante. Nas zonas D (leques), v l tem variação linear. Considerando que as chapas da alma e das langes têm espessuras initas, b w na alma e h l nas langes, a rigor só se considera a parcela de v l que orma o campo de tensões da parte da lange ora da alma. O ângulo do campo de compressão das langes pode ser escolhido como para a alma, observando-se que no banzo comprimido há luxo de cisalhamento com tensões normais longitudinais de compressão e no banzo tracionado há luxo de cisalhamento com tensões normais de tração. Para simpliicar, podese escolher cot θ l = nas langes comprimidas, e cot θ l = 1 nas langes CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 14

15 tracionadas. Note-se que a orça a ancorar no apoio deve contar com a parcela da armadura longitudinal contida na largura da alma. Plano da lange comprimida C R 1 cb / b l = 0,5x160x[( )/800] Θ = 6,60 R c b 1 / b l = 877,5 kn 540 banzo comprimido R = 160 kn c cotθ =1,5 z =800 θ = 33, banzo tracionado R = 160kN s zcotθ zcotθ z cotθ zcotθ = 100 Θ = 45 Plano da lange tracionada Fig. 10 Note-se também que, na lange comprimida, a parcela do luxo total cabe a um dos lados é dada por v l que b 1 b l v l (16) se o bloco de tensões normais, de altura y, estiver contido na lange. Esta expressão pode ser melhorada, se, ao adotar-se y = h l, resultar uma largura CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 15

16 da lange menor que a eetivamente existente, considerando-se um bloco retangular de tensões no concreto, com a máxima resistência (Regan, 1999). Se y > h l, então deve-se ter 1 c v l = ( b l b b h 1 w l ) h l + b w v y l (17) sendo b 1 e 1 a largura e a área correspondentes à parte considerada da lange ora da alma. O mesmo vale para a lange tracionada, mas a ração que multiplica v l é dada em termos de área das armaduras longitudinais s 1 s, onde s1 é a área da armadura contida na parte considerada da lange ora da alma e s é a área total. Como se vê, nesta lange o luxo v l depende da distribuição das barras da armadura longitudinal. De acordo com a NBR 6118:003, item , o valor mínimo da área da armadura transversal por unidade de comprimento, vem a ser: ( sw ) min = 0, s ctm ywk b w (18) Esta expressão é válida para estribos verticais, sendo se or usado C-60, como já dito. ywk 500 MPa, mesmo O ângulo θ do campo de compressão, nas peças de concreto armado em lexão simples, é normalmente escolhido na aixa 45 º a 5 º. Com isto, a resistência do concreto da alma pode ser maximizada, se ângulo θ or escolhido igual a 45 º, mas, em contrapartida, o consumo de estribos também será máximo. área da armadura longitudinal decorre do diagrama da orça no banzo tracionado, obtido com as cargas de cálculo, dividido pela resistência de cálculo yd. armadura resultante pode, como se disse, ser parcialmente interrompida de modo a cobrir esse diagrama, bastando adicionar o comprimento de ancoragem às barras interrompidas. Esta distribuição longitudinal das barras do banzo tracionado corresponde ao diagrama da orça resistente desse banzo, o qual deve cobrir o diagrama da orça solicitante. armadura do apoio extremo ( M d = 0) é calculada com a orça obtida de (9b), e θ = θa da Equação (8), donde: R z z z s in = Nd ( ) + d cotθ a (19) CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 16

17 Esta expressão é válida nos casos de apoio indireto (viga apoiada em viga, torção de compatibilidade desprezada), e z s é considerado como no vão. Se o apoio or direto (carga na ace superior da viga e apoio na ace inerior) az-se z = 0, e elimina-se o ator 1 / que multiplica a orça cortante. s Para a área mínima da armadura longitudinal, que deve chegar aos apoios extremos e internos, e a ancoragem das barras longitudinais nesses apoios, a NBR 6118: 003 exige, no item , que: s, vão s, apoio se M apoio = 0 3 M 0, 5 apoio M vão, e ou negativo e de valor absoluto (0) s, vão s, apoio se apoio < 0 4 M e de valor absoluto M apoio > 0, 5M vão. (1) Nos apoios extremos a ancoragem das barras longitudinais do banzo tracionado deve ser maior que o maior dos seguintes valores: l lb, nec max r + 5,5 60 mm b, apoio φ () onde l b, nec é o comprimento de ancoragem necessário, c. o item da NBR 6118: 003, r é o raio de curvatura interno do gancho (c. a Tabela 9.1 da mesma norma), e φ é o diâmetro da barra longitudinal. Se, ortogonalmente ao plano do gancho, houver um cobrimento não inerior a 70 mm, e as ações acidentais não ocorrerem com grande reqüência com seu valor máximo (o que é o caso das pontes e das vigas de ponte rolante), é permitido desconsiderar l b, nec, prevalecendo o maior dos dois outros valores. Nos apoios intermediários, pode-se ancorar as barras longitudinais com um comprimento pelo menos igual a 10 φ, dentro do pilar, desde que não haja possibilidade de ocorrência de momentos positivos nessa região, provocados por situações imprevistas, como recalque de apoio e a ação do vento. Se esta possibilidade existir, deve-se usar barras contínuas ou emendadas sobre o apoio. Os estribos devem ser echados e devem envolver as armaduras dos banzos, especialmente a do tracionado. O diâmetro φ t das barras que ormam os estribos está sujeito às restrições seguintes (item da NBR 6118: 003): φ t 5mm e φ t bw 10 (3) CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 17

18 Os espaçamentos longitudinais entre estribos e transversais entre os seus ramos devem garantir uma uniormidade no campo de compressão, através das seguintes condições (do mesmo item da NBR): Direção longitudinal: Se Sd 0,67Rd então Se Sd 0,67Rd > então 0,6d s 300mm 0,3d s 00mm (4a) (4b) Direção transversal (paralela à largura da alma), distância entre ramos sucessivos do estribo: Se Sd 0,0 Rd então Se Sd 0,0Rd > então d s 800mm 0,6d s 350mm (5a) (5b) Estes são os espaçamentos máximos. Os valores mínimos desses espaçamentos devem permitir, com olga, a passagem do vibrador, para obterse um adensamento adequado da argamassa. er o mesmo item da NBR para outras condições. 3. O Modelo de Cálculo I da NBR 6118 para o Dimensionamento à Força Cortante O modelo da cálculo I da NBR 6118, c. o item , é um caso particular da teoria exposta anteriormente, e consiste em adotar a inclinação θ do campo de compressão igual a 45 º, descontando-se da orça cortante solicitante, S, d (ou da orça cortante eetiva, S, d, e, na protensão) a parcela c. Este desconto é eito apenas no cálculo da armadura transversal. Esta orça resistente decorre principalmente do atrito entre as aces da issura inclinada, e tem seu valor estabelecido a partir da seguinte grandeza: co = 0, 6 ctd b w d com ctd / 3 0,0 ck =, em MPa e γ c = 1, 4 γ c (6) (a) nos elementos estruturais em lexão simples e na lexo-tração com a LN na seção: CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 18

19 c = co (7) (b) nos elementos estruturais protendidos ou em lexo-compressão M o c = co (1 + ) M Sd,max co (8) onde M o é o momento letor que anula, na seção crítica, a tensão normal de compressão na borda do banzo tracionado no ELU, consideradas apenas a protensão ( γ p = 0, 9 ) e a orça normal das cargas ( γ = 1) e, se houver, a orça normal hiperestática de protensão ( γ p = 0, 9 ). Note-se que é mais desavorável considerar a protensão após todas as perdas. M Sd,max é o momento letor da seção crítica (ou o de maior módulo, se houver duas seções críticas) no segmento considerado da peça, originado pelas cargas de cálculo e pelos hiperestáticos de protensão. Com θ = 45º posto na Equação (13), a segurança contra o esmagamento do concreto da alma é veriicada através da seguinte condição: ck = 0,7(1 cd bwd Sd ou Sd, e 50 Rd ) (9) armadura transversal é dimensionada através da orça cortante solicitante restante. Considerando-se somente estribos ortogonais ao eixo da peça ( α = 90º na expressão de Sw, c. o item da NBR), obtém-se: 9 s sw Sw = Sd c = 0, d ywd, ou 9 s sw Sw = Sd, e c = 0, d ywd na protensão (30a) (30b) O eeito da orça cortante na armadura longitudinal é considerado, indiretamente, na decalagem do diagrama da orça no banzo tracionado. Obtém-se, a seguir, a orça cortante mínima correspondente às parcelas resistidas por atrito na issura e pela armadura mínima. Das equações (8.6.4), (6), (7) e (18) resulta: sw Rd, min = co + ( ) min 0, 9b s w d ywd CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 19

20 0,6 0, 0, 0,3 0,9 + 1,4 1,15 / 3 Rd, min = ( + ) bwd ck = (0,086 0,047) bw / 3 Rd, min 0, 133bwdck =, com ck Se ocorrer Equação (18). Sw Rd, min d / 3 ck em MPa (31), basta armadura transversal mínima dada pela Note-se que esta dedução explica a origem do valor mínimo da taxa mecânica da armadura transversal, uma vez que a orça cortante resistente mínima é Rd,min 0,133 = = 1,55 vezes maior que a parcela transmitida por atrito na 0,086 co issura, e este valor é praticamente igual ao coeiciente de segurança γ c = 1, 5, adotado no MC Escolha da Inclinação do Campo de Compressão No item, oi dada a solução para o dimensionamento à orça cortante através de campos descontínuos de tensão, podendo-se escolher livremente o ângulo θ do campo de compressão, para peças de concreto armado em lexão simples, na aixa 45 º a 5 º, correspondente a cot θ = 1 e cot θ =, aproximadamente. aixa recomendada pelo MC-90, item , é 45 º a 18,4º, correspondente a cot θ = 1 e cot θ = 3. Os ângulos menores consideram as peças com orça normal de compressão, especialmente as peças protendidas, normalmente projetadas para não issurar em serviço (Nielsen, 1998). No que segue, indica-se a parcela resistente c por cd, por coerência com a bibliograia usada neste item (aliás, como se mostrou há pouco, o mais correto seria manter a primeira notação, pois o sub-índice d leva a crer que nesta parcela resistente oi introduzido um coeiciente de segurança material, quando os 50 % desse coeiciente resultam da adoção da armadura transversal mínima). Mostra-se agora outra possibilidade de escolha desse ângulo, porém não mais livremente. É possível provar (Kirmair, 1985 e Buchaim, 1998) que a taxa mecânica da armadura transversal é a mesma, se or dimensionada com o ângulo θ do campo de compressão e com a orça cortante Sd, e (eetiva, i. e., descontada a parcela vinda da protensão), ou com o ângulo de inclinação da issura θ cr, mas com a orça cortante menor Sd, e cd, desde que entre estes ângulos seja atendida a seguinte equação: cotθ = cotθ cr 1 1 cd Sd, e (3) CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 0

21 Para poder usar esta relação, é preciso ter o ângulo θ cr de inclinação da issura, nas várias modalidades de lexão, o que é providenciado nas FIP Recommendations, er também o trabalho de Reineck, 00. O ângulo de inclinação da issura e a orça cortante transmitida por atrito na issura dependem da orça normal e da abertura da issura na alma. Como aproximação, são admitidos os seguintes valores: (a) peças sem orça normal e sem protensão: cot θ cr = 1,0, ou seja, cr 40º θ (33) cd = 0,05( bwzcd1) (34) (b) peças com orça normal de compressão e peças protendidas: σ cotθcr = 1,0 0, xd ctm (35) cd cotθ 0,075(1 cr )( bwz 1) 0 4 = cd (36) (c) peças com orça normal de tração cotθ cr σ 1,0 0,9 xd = 0 ctm 0,36 0,075(1 )( bwz 1) 0 cotθ cd = cd cr (37) (38) onde: N Sd σ xd = = tensão solicitante no CG, negativa se compressão, o = área da o seção (39) cd ck 1 = 0,85 e γ c = 1, 4 (sem o ator ( 1 ck 50) γ c / 3 ctm = 0,30 ck, em MPa incluído em (11)) Tendo em vista a Equação (3), pode-se colocar a seguinte questão: qual é, na lexão simples, o ângulo de inclinação do campo de compressão que leva à mesma armadura transversal (estribos verticais) obtida pelo método I da NBR 6118: 003, calculada com Sd, e cd e θ = 45º? Fig. 11 mostra o ângulo de inclinação do campo de compressão implícito no modelo I da NBR 6118, CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 1

22 Sd com θ = 45º e variando de 1, 55 a 10. Como mostra a igura, para orças co cortantes acima do valor correspondente a Rd, min = 1, 55co, obtido na dedução de (31), a inclinação do campo de compressão varia entre 0º e pouco abaixo de 45 º. Note-se também que, no dimensionamento de um segmento da peça pelo método I, a parcela resistente co é tomada como constante, enquanto a orça cortante solicitante é geralmente decrescente. Com isto, a armadura transversal é dimensionada equivalentemente, com inclinações do campo de compressão cada vez menores. Neste caso, o modelo seria o de campos descontínuos de tensão ormados apenas por leques justapostos seqüencialmente, correspondendo, portanto, a uma treliça de banzos paralelos e diagonais comprimidas de inclinações decrescentes em direção à seção crítica. Mas este não é o caso de dimensionamento usual através de campos descontínuos de tensão. Como mostrado na Fig. 4, escolhe-se livremente o ângulo θ de inclinação do campo de compressão numa determinada aixa, e mantém-se constante esse ângulo em todo o segmento da peça a dimensionar. Logo, a armadura transversal assim dimensionada é algo superior àquela obtida pelo método I da NBR Inclinação do campo de compressão da alma 45 º 40 º 35 º 30 º 5 º 0 º 15 º 0,5 5 7,5 10 Sd / co Fig. 11 ssim, do exposto ica muito evidente que, não importa qual seja a teoria aplicada no dimensionamento à orça cortante, as dierenças no consumo de armadura total por orça cortante não podem ser grandes. Portanto, o critério de escolha do ângulo θ do campo de compressão deverá orientar-se pelo aspecto construtivo, na medida do possível diminuindo o consumo de estribos e aumentando o consumo de armadura longitudinal. Entretanto, é preciso garantir a ancoragem adequada da armadura longitudinal no apoio, cuja orça aumenta quando θ diminui. lém disso, para evitar abertura exagerada da issura inclinada em serviço, a tensão no estribo deve ser controlada. Como orientação, o valor desta tensão em serviço é cerca de 50 MPa. O modelo de cálculo é o mesmo do ELU, podendo-se adotar a inclinação θ s > θ do campo de compressão em serviço decorrente da seguinte equação CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim

23 cot θ s = cotθ (40) onde θ é o valor adotado no ELU. (O sub-índice s indica serviço). Para os casos de adiga, ver o item da NBR 6118: Bibliograia SSOCIÇÃO BRSILEIR DE NORMS TÉCNICS (BNT). Projeto de estruturas de concreto - Procedimento: NBR 6118: 003. Rio de Janeiro, 003. SSOCIÇÃO BRSILEIR DE NORMS TÉCNICS (BNT). Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido: NBR Rio de Janeiro, Maio BUCHIM, R. Resistência à orça cortante. Editora UEL. Londrina, BUCHIM, R. inluência da não-linearidade ísica do concreto armado na rigidez à lexão e na capacidade de rotação plástica Tese (Doutorado) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo. (acessível em: ou COLLINS, M. P.; MITCHELL, D. Prestressed concrete basics. Ottawa: Canadian Prestressed Concrete Institute, COMITÉ EURO-INTERNTIONL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code London: Thomas Telord, EUROCODE : Projecto de estruturas de betão. Pt. 1: Regras gerais e regras para ediícios. ersão portuguesa para aprovação pela CT 115. Dez FÉDÉRTION INTERNTIONLE DE L PRECONTRINTE. Practical design o structural concrete. London: SETO, FIP Recommendations. KIRMIR, K. Das Schubtragverhalten schlanker Stahlbetonbalken. Theoretische und experimentelle Untersuchungen ür Leicht- und Normalbeton. Juli Dissertation, Technische Universität München. MRTI, P.; u. a. utographie Stahlbeton GZ I. Institut ür Baustatik und Konstruktion (IBK), ETH Zürich. MRTI, P.; LREZ, M.; KUFMNN, W.; SIGRIST,. Tragverhalten von Stahlbeton. Institut ür Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. IBK Publication SP-008, September MUTTONI,.; SCHWRTZ, J.; THÜRLIMNN, B. Design and detailing o reinorced concrete structures using stress ields. Swiss Federal Institute o Technology, Zürich, Switzerland, CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 3

24 NIELSEN, M. P. Limit analysis and concrete plasticity.. Ed. Boca Raton: CRC Press, REGN, P. Ultimate limit state principles. In: FEDERTION INTERNTIONLE DU BÉTON. Bulletin. Structural Concrete: textbook on behavior, design and perormance. Lausanne, , p REINECK, K. H. Shear design in a consistent design concept or structural concrete based on strut-and-tie models. In: FEDERTION INTERNTIONLE DU BÉTON. Bulletin 16. Design examples or the 1996 FIP recommendations Practical design o structural concrete. Lausanne, Jan. 00, p CTU - Departamento de Estruturas 3 TRU 04 Concreto Estrutural Pro. Roberto Buchaim 4