Cálculo Infinitesimal I prof. Felipe Acker

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1 Cálculo Infinitesimal I prof. Felipe Acker NÚMEROS 1 Introdução Uma apresentação rigorosa dos números deveria, provavelmente, começar pelos fundamentos da lógica e da teoria dos conjuntos para, em seguida, construir sucessivamente os naturais, os inteiros, os racionais, os reais e os complexos. Esta é uma escada cujos degraus têm alturas diferentes: começar da lógica poderia nos tomar um curso inteiro. Estas notas não têm tal ambição e devem, portanto, ser tomadas apenas como uma indicação do percurso. Partiremos dos naturais e discutiremos brevemente como passar daí aos inteiros, e destes aos racionais. O degrau que mais nos interessa, do ponto de vista da Análise, é o que corresponde à passagem dos racionais aos reais. Nele nos deteremos um pouco mais. Uma introdução elementar e bem escrita dos fundamentos da Lógica e da Teoria dos Conjuntos está no livro Teoria ingênua dos conjuntos, de Paul Halmos (Naive set theory). Em cada caso (Naturais, Inteiros, Racionais, Reais e Complexos), procuraremos caracterizar o sistema numérico em questão por um conjunto de axiomas. Isto significa que vamos fixar, em cada caso, um conjunto de propriedades básicas a partir das quais nossos teoremas devem poder ser demonstrados. Esta é uma forma de organizar o conhecimento matemático que remonta à Grécia antiga e tem nos Elementos, de Euclides, o primeiro grande exemplo 1. A maior parte do trabalho é deixada como exercício; resultados essencialmente óbvios são usados livremente, ficando a critério do leitor a decisão de demonstrá-los detalhadamente ou não. 1 O sonho de axiomatizar toda a Matemática tem suas limitações : em 1932, Kurt Gödel demonstrou que, mesmo que nos limitemos aos números naturais, não é possível fixar um conjunto finito de axiomas a partir do qual se possa decidir, de cada sentença, se é verdadeira ou falsa 1

2 2 Um mínimo de linguagem Para fixar um pouco as idéias, vamos apresentar informalmente um pouco da notação e alguns conceitos básicos envolvendo conjuntos e funções. Usaremos livremente os símbolos,,, e : p q significa se p então q, ou p implica q; p q significa p se e somente se q, ou p é equivalente a q; se lê para todo; se lê existe; x p se lê x tal que p; usaremos também, às vezes, sss no lugar de se e somente se. O símbolo! significa existe um e somente um. Se x é um elemento do conjunto X, diremos que x pertence a X e usaremos a notação x X. Se o conjunto A é subconjunto de X, diremos que A está contido em X (A X), ou que X contém A (X A). Isto significa que todo elemento de A é também elemento de X, ou seja: A X (x A x X). Para provar a igualdade entre os conjuntos A e B será preciso, em geral, provar que A B e B A. A primeira parte desta prova começa por Seja x A e termina quando concluímos que x B; a segunda começa com Seja x B e termina quando provamos que x A. Um conjunto é usualmente definido apresentando explicitamente seus elementos ou por meio de uma propriedade que os caracterize: X = {a, b, c} significa que X é o conjunto cujos elementos são precisamente a, b e c; X = {x Y p(x)} significa que X é o conjunto cujos elementos são precisamente aqueles que estão em Y e satisfazem à propriedade p. Dados dois conjuntos A e B, definimos A \ B (A menos B) por A \ B = {x A x / B}. Se todos nossos conjuntos, em um determinado contexto, são subconjuntos de um certo X, X \ A é chamado de complementar de A (em X) e notado por CA ou por A C. 2

3 O produto cartesiano dos conjuntos X e Y, X Y, é definido por X Y = {(x, y) x X, y Y }. Para evitar considerar par ordenado como um conceito primitivo, podemos definir, dados x e y, o par ordenado (x, y) por (x, y) = {x, {x, y}} (é uma definição meio extravagante, mas funciona). Uma função f entre os conjuntos X e Y pode ser definida sem o uso da palavra regra. Basta especificarmos todos os pares ordenados do tipo (x, f(x)). De maneira um pouco mais pedante, diremos que um subconjunto f de X Y é uma função (notada por f : X Y ) se x X! y Y (x, y) f. (esta definição vem acompanhada da notação y = f(x) para y tal que (x, y) f). X é chamado de domínio de f, Y é chamado de contradomínio de f e f(x) = {y Y x X (x, y) f} é chamado de imagem de f. Mais geralmente, se A X, a imagem de A por f é o conjunto f(a) = {y Y x A f(x) = y}. O elemento f(x) de Y também é chamado de imagem de x por f. Uma função f é dita injetiva, injetora ou biunívoca, se f(a) = f(b) a = b; sobrejetiva, sobrejetora ou sobre, se y Y x X y = f(x). Se for injetiva e sobrejetiva, f é dita bijetiva, ou bijetora. Neste último caso, podemos definir a função inversa, notada por f 1 e definida por f 1 = {(y, x) (x, y) f}. No caso geral, a notação f 1 é usada para a imagem inversa de um subconjunto B de Y : f 1 (B) = {x X f(x) B} (por abuso de notação, escrevemos f 1 (y) no lugar de f 1 ({y}), se y Y ). 3

4 3 Os naturais Uma das maneiras mais simples de caracterizar nossos velhos amigos naturais, os números de contar, é descrevê-los por um conjunto de axiomas, devido a Peano, que apresentamos a seguir. Postulado: Existem um conjunto, IN (conhecido como conjunto dos números naturais) e uma função S : IN IN, com as seguintes propriedades: (i)s é injetiva; (ii)existe em IN um elemento 0 tal que 0 / S(IN); (iii) Se A é um subconjunto de IN tal que 0 A e S(A) A, então A = IN. Exercício: S(n) é o sucessor de n, o seguinte, o próximo da fila. Traduza S(n) por n + 1 e entenda o significado dos axiomas acima. (iii) é conhecido como princípio da indução. Note que o elemento 0, citado em (ii) e (iii), também poderia ser o 1. Exercício: Mostre que não pode haver em } IN um segundo elemento 0 tal que 0 / S(IN). Sugestão : considere A = IN \ { 0 e use o princípio da indução. Exercício: Mostre que a injetividade de S é indispensável. Sugestão : senão, poderíamos fazer IN = {0, 1}, com S(0) = 1 e S(1) = 1. Observação: Uma idéia para construir um conjunto com as propriedades acima (que seria um modelo concreto para IN) é defini-lo a partir de seus elementos, que seriam: 0 = φ, 1 = {φ}, 2 = {φ, {φ}}, 3 = {φ, {φ}, {φ, {φ}}}.... De qualquer forma, teríamos que postular a existência de tal conjunto. 2 O que costumamos chamar de definição por indução requer a demonstração do seguinte resultado fundamental: 2 Esta definição parece tão concreta, que a necessidade de um tal postulado pode parecer um exagero; no entanto, uma postura excessivamente ingênua, na Teoria dos Conjuntos, pode levar a paradoxos. Um dos mais famosos é o Paradoxo de Russel: seja p(x) a propriedade x não pertence a x e seja A = {x p(x)}; então é fácil concluir que A pertence a A sss A não pertence a A. 4

5 Teorema da Recursão : Se X é um conjunto, ϕ : X X é uma função e a X, então existe uma função f : IN X tal que f(0) = a e f(s(n)) = ϕ(f(n)) n IN. Demonstração : Vamos definir a função f, como manda o regulamento, como um subconjunto do produto cartesiano IN X (de maneira algo sinistra, é verdade). Consideremos a coleção F de todos os subconjuntos F de IN X tais que: (i)(0, a) F ; (ii)(n, x) F (S(n), ϕ(x)) F. Seja agora f o menor elemento de F, isto é: f = {(m, y) IN X (m, y) F F F}. Note que f F e f F F F.Vamos mostrar que f é a função que queremos. Para começar, devemos provar que f(n) está definido para todo n em IN. Seja pois A = {n IN y X, (n, y) f} e provemos que A = IN. Como (0, a) F F F, temos 0 f.além disto, se n A, então existe y X (n, y) f, o que significa que (n, y) F F F, o que implica em (S(n), ϕ(y)) F F F, o que nos dá S(n) A. Logo, pelo princípio da indução, A = IN. Resta provar que (n, x) f, (n, y) f x = y. Como já provamos que, para cada n IN, existe um y X tal que (n, y) f, basta provar que, se B é o conjunto dos n IN tais que tal y é único, então B = IN. Comecemos mostrando que 0 B. De fato: temos (0, a) f; se (0, b) f, com b a, podemos considerar F = f \ {(0, b)}; teríamos então F F mas f não pode ser subconjunto de F. Suponhamos agora que n B e provemos que S(n) B. Se n B, existe um único y X tal que (n, y) f. Podemos então garantir que (S(n), ϕ(y)) f. Se (S(n), z) f, com z ϕ(y), podemos considerar F = f \ {(S(n), z)} e observar que F F, mas f não está contido em F, o que é impossível. Logo, S(n) B, o que mostra que B = IN e completa a demonstração. Uma função cujo domínio é IN é chamada uma seqüência (ou, eventualmente, uma sucessão ). A construção das operações de adição e multiplicação de números naturais, a partir dos axiomas de Peano, é uma tarefa interessante (e trabalhosa, se nos dispusermos a provar cada uma das propriedades que utilizamos quotidianamente), à qual não vamos nos dedicar. Uma pequena amostra é dada nos três exerçicios a seguir. Exercício: Defina, fixado n em IN, n + 0 = n, n + S(m) = S(n + m). Prove que a adição assim definida é comutativa e associativa. Note que a definição seria ligeiramente diferente se começássemos IN em 1. Mostre que da definição decorre que S(n) = n+1 n IN. Mostre que, se m+n = 0, então m = 0 ou n = 0.Mostre que m + p = n + p m = n. Exercício: Defina, fixado n em IN, n0 = 0, ns(m) = (nm) + n. Prove que a multiplicação assim definida é comutativa e associativa. Prove também a propriedade distributiva. Mostre que, se mn = 0, então m = 0 ou n = 0. Mostre que mp = np, p 0 m = n.como seria a definição se escolhêssemos começar IN em 1? Exercício: Defina, para n e m em IN, a relação de ordem n m por: p IN n + p = m (note que, se IN começasse em 1, esta definição corresponderia a n < m). Defina n m por m n, n < m por n m e n m, n > m por m < n. Mostre que, se n m e k IN, então k + n k + m e kn km. Mostre que, dados quaisquer naturais m e n, sempre se tem m n ou n m. Mostre que 5

6 a b e b c a c. Mostre que a b e b a a = b. Seja 1 = S(0); mostre que não existe n em IN tal que 0 < n e n < 1. Mostre que, para qualquer n IN, não existe m em IN tal que n < m < S(n). Dois resultados referentes à ordem merecem ser destacados. O primeiro é o Princípio da Boa Ordenação : Se A é um subconjunto não vazio de IN, então A tem um menor elemento. Demonstração : Suponhamos que A φ e que A não tem um menor elemento. Seja B = {n IN n < m m A}. Então 0 B, pois, caso contrário, 0 seria o mínimo de A. Suponhamos agora que um certo n está em B. Como não há ninguém entre n e S(n), temos S(n) m m A. Se (n) A, S(n) seria o mínimo de A, que estamos supondo não existir. Logo, S(n) B, o que mostra que B = IN. Mas isto é impossível, pois A φ. O segundo é uma versão bastante útil do princípio da indução, conhecido como Princípio da Indução Completa: Se A IN é tal que 0 A e S(n) A sempre que m A para todo m n, então A = IN. Demonstração : Seja B = IN \ A. Se B fosse não vazio, B teria um menor elemento b. Como 0 A, temos b 0, o que nos garante que existe n IN tal que b = S(n); mas da definição de b temos m A m n, o que nos garante que b = S(n) A, absurdo. 4 Os Inteiros Os números inteiros são construídos, a partir dos naturais, da maneira simples que aprendemos no colégio: acrescenta-se a IN o conjunto dos inteiros negativos, que são os naturais diferentes de 0 com um sinal - na frente. As operações são definidas como de hábito. Chegamos, assim, a um conjunto, que notamos por Z, com IN Z, munido de operações 3 de adição (+) e multiplicação (), satisfazendo às seguintes propriedades: (i) x + (y + z) = (x + y) + z para todos x, y e z em Z; (ii) x + y = y + x para todos x e y em Z; 3 em matematiquês erudito, uma operação definida no conjunto X é uma função : X X X, usualmente notada por (x, y) = x y 6

7 (iii) o elemento 0 de IN é tal que x + 0 = x para todo x em Z; (iv) para todo x em Z existe x (denotado por x) em Z tal que x + x = 0; (v) x(yz) = (xy)z para todos x, y e z em Z; (vi) xy = yx para todos x e y em Z; (vii) x(y + z) = (xy) + (xz) para todos x, y e z em Z; (viii) o elemento 1 = S(0) de IN é tal que 1x = x para todo x em Z. Como as operações em Z estendem as que já tínhamos em IN, valem também as propriedades, para o conjunto P = IN \ {0}: (ix)x + y P para todos x e y em P ; (x) xy P para todos x e y em P ; (xi) se x Z, vale uma e uma só das seguintes: x P, x P ou x = 0. Cabem aqui algumas observações sobre o que foi escrito acima. Em primeiro lugar, notemos que não pode haver um segundo zero nem um segundo 1 : de fato, se 0 é tal que x + 0 = x x Z, então 0 = = = 0. Exercício: Note que a mesma demonstração vale com 1 no lugar de 0. Em segundo lugar, o elemento x referido em (iv) também é único: se x é tal que x + x = 0, então x = x + 0 = x + (x + ( x)) = ( x + x) + ( x) = = (x + x) + ( x) = 0 + ( x) = x + 0 = x. Mas podemos ver algo ainda mais interessante. Suponhamos que não vamos começar pelos naturais, mas sim pelos inteiros. Podemos então admitir diretamente, sem fazer referência a IN, a existência de um conjunto Z, munido das operações de adição e multiplicação, do qual se destaca um subconjunto P (dos positivos), com as seguintes propriedades: (i) x + (y + z) = (x + y) + z para todos x, y e z em Z; 7

8 (ii) x + y = y + x para todos x e y em Z; (iii) existe em Z um elemento 0 tal que x + 0 = x para todo x em Z; (iv) para todo x em Z existe x (denotado por x) em Z tal que x + x = 0; (v) x(yz) = (xy)z para todos x, y e z em Z; (vi) xy = yx para todos x e y em Z; (vii) x(y + z) = (xy) + (xz) para todos x, y e z em Z; (viii) existe em Z um elemento 1 0 tal que 1x = x para todo x em Z. (ix)x + y P para todos x e y em P ; (x) xy P para todos x e y em P ; (xi) se x Z, vale uma e uma só das seguintes: x P, x P ou x = 0. Observe que a unicidade dos elementos 0 e 1 continua valendo, com a mesma demonstração, assim como a unicidade do simétrico referido em (iv).vejamos o que pode ser diretamente deduzido destas propriedades. Proposição : Suponhamos que o conjunto Z está munido das operações de adição e multiplicação e que tem um subconjunto P, de tal forma que valem as onze propriedades acima. Então : (i) ( x) = x x Z; (ii)( x)y = (xy) x y Z; (iii)1 P A demonstração é fácil, do nível das que acabamos de fazer. A operação de subtração é definida por x y = x + ( y) e a divisão, quando possível, por x y = z yz = x. Definimos, para x e y em Z, x < y por (y x) P e x y por x < y ou x = y (é claro que x > y se y < x e x y se y x). Exercício: Mostre que x < y, z > 0 xz < yz. Mostre também que x < y, z Z x + z < y + z. 8

9 Observemos, porém, que o conjunto dos inteiros não é o único, dos nossos conhecidos, a possuir as propriedades acima. É fácil ver que o conjunto dos racionais também as possui. { Exercício: Mostre que A = n + m } 2, n Z, m Z, com as operações usuais, satisfaz às onze propriedades acima. Para caracterizar Z, devemos acrescentar alguma propriedade. Uma possível escolha é o chamado princípio da boa ordenação : (xii)todo subconjunto não vazio de P tem um menor elemento, isto é: se φ A P, então existe a A tal que a x x A. Proposição : Se definirmos IN por IN = {0} P e S : IN IN por S(n) = n + 1, então IN satisfaz aos axiomas de Peano. Demonstração : S é injetiva, pois x + 1 = y + 1 x = (x + 1) 1 = (y + 1) 1 = y.0 S(n) n IN, pois 0 = n + 1 n = 1. Como 1 P, temos 1 0 e 1 / P. Seja agora A IN tal que 0 A e n A S(n) A. Provemos que A = IN. Se X = P \ A, basta provar que X = φ. Se x φ, podemos chamar de m o menor elemento de X. Note que m P e m 1 (pois 1 = S(0) A). Tudo que temos a provar, agora, é que o menor elemento de P é 1, pois isto nos dá 1 < m e, conseqüentemente, 0 < m 1 P A, o que daria S(m 1) = m A. Ora, se a é o menor elemento de P e a < 1, teríamos aa < a1 = a, o que é impossível. Exercício: Seja a um inteiro qualquer e sejam IN a = {n Z n a}, S a : IN a IN a, S a (n) = n + 1. Mostre que IN a satisfaz aos axiomas de Peano. { Exercício: Mostre que A = n + m } 2, n Z, m Z não satisfaz ao princípio da boa ordenação. Exercício: Suponha que dois faróis eternos piscam com períodos distintos a e b e que ab 1 é irracional. Suponha também que eles acabam de piscar ao mesmo tempo. Mostre que: (i) nunca mais voltarão a piscar ao mesmo tempo; (ii) para qualquer natural n e para qualquer real ε > 0, pode-se garantir que piscarão ambos, daqui a mais de n anos, pelo menos uma vez com uma defasagem menor do que ε. 9

10 5 Os Racionais Os racionais, como sabemos, são os números da forma p, p Z, q Z, q 0. q Se quisermos criá-los a partir de Z, porém, temos que evitar a ambigüidade. Podemos representar a fração p/q pelo par ordenado (p, q), mas queremos considerar iguais pares ordenados que, embora diferentes, deveriam representar o mesmo número. Esta é uma prática comum em Taxonomia, que tem uma definição precisa em matematiquês erudito. Vamos fazer uma pequena digressão para apresentá-la. Definição :Uma relação de equivalência em um conjunto X é um subconjunto de X X (vamos usar a notação x y, que se lê x é equivalente a y, no lugar de (x, y) ) 4 tal que: (i)x x x X; (ii)x y y x; (iii)x y, y z x z. O conjunto x = {y X y x} é chamado de classe de equivalência de x por. Exercício: Note que as classes de equivalência determinam uma partição de X: cada elemento de X pertence a uma e somente uma classe de equivalência. O conjunto das classes de equivalência de X por é chamado de espaço quociente (ou, mais carinhosamente, quociente) de X por e notado por X /. Vamos agora usar este conceito para definir os racionais. Seja Z = Z \ {0} e seja, em Z Z, a relação de equivalência (p, q) (m, n) pn = mq. Exercício: Mostre que esta é, de fato, uma relação de equivalência. (p, q) (m, n) significa exatamente que p/q = m/n. Note que Definição : O conjunto IQ = Z Z é chamado de conjunto dos números racionais. Em IQ são definidas as operações : 4 Como no caso das funções, para não introduzir um novo conceito, relação, preferimos apresentá-lo em termos de conjuntos: a relação R é definida pelo conjunto dos pares ordenados (x, y) tais que x está relacionado a y por R 10

11 adição : (p, q) + (m, n) = (np + qm, qn); multiplicação : (p, q)(m, n) = (pm, qn). Os racionais positivos são definidos como os que pertencem ao conjunto P das classes de equivalência de pares (m, n), com m e n em IN = IN \ {0}. Exercício: Perceba que as definições acima são óbvias. Mostre que as operações de adição e multiplicação estão bem definidas, isto é, independem dos representantes das classes de equivalência que considerarmos. Exercício: Mostre que, sendo IQ, P, a adição e a multiplicação definidos como acima, valem as seguintes propriedades: (i) x + (y + z) = (x + y) + z para todos x, y e z em IQ; (ii) x + y = y + x para todos x e y em IQ; (iii) existe em IQ um elemento 0 tal que x + 0 = x para todo x em IQ; (iv) para todo x em IQ existe x em IQ tal que x + ( x) = 0; (v) x(yz) = (xy)z para todos x, y e z em IQ; (vi) xy = yx para todos x e y em IQ; (vii) x(y + z) = (xy) + (xz) para todos x, y e z em IQ; (viii) existe em IQ um elemento 1 0 tal que 1x = x para todo x em IQ. (ix) para todo x em IQ tal que x 0 existe x 1 em IQ tal que xx 1 = 1; 5 (x) x + y P para todos x e y em P ; (xi) xy P para todos x e y em P ; (xii) se x IQ, vale uma e uma só das seguintes: x P, x P ou x = 0. Notação : Se (p, q) Z Z, a classe de equivalência (p, q) será notada por p q (ou por p/q). Caso q = 1, usaremos também a notação p para (p, q). { } { } Exercício: Considere os conjuntos (n, 1), n Z e (n, 1), n IN. Note que o primeiro é uma cópia de IN e o segundo uma cópia de Z. Mostre que, mesmo 5 um conjunto munido de duas operações com as propriedades (i) a (ix) acima é dito um corpo 11

12 se não soubermos de que é feito IQ, o simples fato de gozar das doze propriedades acima implica na existência de tais cópias. Sugestão : defina ϕ : IQ IQ por ϕ(x) = x+1 e f : IN IQ por f(0) = 0 (são zeros diferentes!) e f(s(n)) = ϕ(f(n)); mostre que f é uma bijeção e tome f(in) IQ como cópia de IN. Passaremos a designar por IN esta cópia padrão de IN e por Z a cópia padrão de Z. Exercício: Note que os racionais não são caracterizados pelas propriedades acima, já que os reais, por exemplo, também as possuem. Mostre que A = { x + y } 2, x IQ, y IQ também satisfaz às doze propriedades acima. Para caracterizar IQ, podemos impor uma propriedade a mais: (xiii) se K IQ e K goza das doze propriedades acima, então K = IQ. Exercício: Prove que o nosso IQ (que definimos a partir de Z) goza desta propriedade. Prove que se K IQ, basta que K goze das propriedades (i) a (ix), para que se tenha K = IQ. Como de hábito, definimos, para x e y em IQ, x < y por x y P (com as definições habituais para x y, x > y e x y). Para x em IQ definimos o valor absoluto (tambm dito módulo) de x, x, por x, x > 0 x = 0, x = 0 x, x < 0. Exercício: Sejam x e y números racionais. Mostre que xy = x y. Mostre que x + y x + y. Mostre que x y x y. Uma propriedade fundamental e óbvia, mas que desempenha um papel central (entre outras coisas, por estar na base dos sistemas de numeração) e merece ser destacada, é a seguinte: Proposição : Seja a IQ, a 0. Para cada racional q existe um único inteiro n tal que na q < (n + 1)a. Demonstração : Vamos considerar apenas o caso em que a e q estão em P (os outros são análogos). Escrevendo a = b/c e q = j/k, com b, c, j e k em IN, queremos achar o menor n IN tal que (n + 1)b/c > j/k. Fazendo as contas no rascunho, isto nos dá (n + 1)bk > jc. Isto significa que devemos tomar n = m 1, onde m é o menor elemento de A = {x IN x(bk) > jc}. Como todo subconjunto não vazio de IN tem um menor elemento (princípio da boa ordenação 12

13 ), a demonstração estará encerrada se provarmos que A φ. Como b e k não podem ser nulos, basta mostrar que se d = bk e e = cj são naturais, com d 0, então existe m IN tal que md > e. Lema: Se d e e são naturais, com d > 0, então existe um natural m tal que md > e. Demonstração : Se não existisse tal m, teríamos e xd x IN e, portanto, e xd IN x IN. Seja C = {e xd, x IN} e seja c 0 o menor elemento de C. Temos c 0 = e x 0 d para um certo x 0 IN. Se considerarmos x 1 = x e c 1 = e x 1 d, teremos c 1 C e, portanto, c 1 c 0. Mas isto significa que e x 0 d = c 0 c 1 = e x 1 d = e (x 0 + 1)d = e x 0 d d = c 0 d, o que é um absurdo, já que d > 0. Um outro resultado básico pode servir de exercício. Exercício: Seja q um racional positivo. Mostre que existem naturais m e n sem fatores comuns e tais que q = m/n, isto é: se m = dj e n = dk, com d, j e k naturais, então d = 1 (m/n é dita uma fração irredutível). 6 Os Reais Se os naturais são os números de contar, os reais são os números de medir. Em uma primeira aproximação, reduzimos o problema de medir ao de contar da seguinte forma: fixamos um segmento u como unidade; dado um outro segmento s, contamos quantas vezes u cabe dentro de s. Como sabemos, nem sempre temos a sorte de existir um natural n tal que s corresponda exatamente a n cópias de u postas lado a lado. Mas sempre podemos dividir u em m partes iguais, bem pequenas, até que nos pareça certo que s corresponde a, exatamente, n destas partes. Dizemos então que s corresponde a n/m vezes u. Ou seja: no sistema que tem u por unidade, a medida de s é dada pelo número n/m. Mas... a razão alcança coisas que os olhos não conseguem ver. Sabemos, pelo Teorema de Pitágoras, que, sendo s a diagonal de um quadrado e u o lado do mesmo quadrado, o quadrado de lado s tem área igual a duas vezes a do de lado u. Se expressamos s como n/m vezes u, podemos supor que n/m é irredutível e tal que n 2 m 2 = 2. 13

14 Mas isto nos dá n 2 = 2m 2, o que significa que n 2 é par. Como o quadrado de qualquer número ímpar é ímpar (prove!), segue que n é par. Escrevendo n = 2k, temos 2(2k 2 ) = n 2 = 2m 2. Daí decorre m 2 = 2k 2, o que significa que m 2 é par e, por conseguinte, m também é par. Mas m e n não poderiam ser ambos múltiplos 2, pois n/m foi suposta irredutível. Isto significa que, na verdade, nem sempre é possível expressar a medida de um segmento por um número racional 6. Assim, os números reais, usados para medir, formam um conjunto mais complicado que o dos racionais. Apenas a partir do século XVII, com a assimilação do sistema de numeração de posição e sua extensão para frações decimais, puderam os números reais finalmente ser representados de forma simples. Recordemos brevemente como isto se dá (o leitor está convidado a desenhar, sobre uma reta, o procedimento). Dados os segmentos s e u, fazemos s 0 = s, u 0 = u, e tomamos um natural a 0 tal que s 0 esteja entre a 0 u 0 e (a 0 + 1)u 0 (entendido aí que a 0 u 0 s < (a 0 + 1)u 0 ). Fazemos s 1 = s 0 a 0 u 0, u 1 = (1/10)u 0 e tomamos a 1 natural tal que a 1 u 1 s 1 < (a 1 +1)u 1 (note que, necessariamente, 0 a 1 9). Mais geralmente, por indução, definidos s n, u n e a n, fazemos s n+1 = s n a n u n, u n+1 = (1/10)u n, e tomamos a n+1 natural tal que a n+1 s n+1 < (a n+1 + 1)u n+1. Exercício: Entenda perfeitamente que este procedimento define indutivamente uma função a : IN IN (usaremos a notação a n para a(n)) tal que para todo n > 0, a n está em {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A função a costuma ser representada por a = a 0, a 1 a 2 a 3 a Escrevendo cada um dos números naturais a n na base dez, temos a representação decimal do número real (vamos igualmente notá-lo por s) que expressa a razão entre os comprimentos de s e u. O que acabamos de dizer significa também que, para cada n, o número s está compreendido entre dois racionais, s n e s n, dados por s n = a 0 + a a a an 10 n, s n = s n n. 6 em um certo sentido, matematicamente falando, é praticamente impossível, dado um segmento s, que sua medida seja dada por um racional 14

15 Em outras palavras (e avançando um pouco), podemos dizer que a representação a de s nos dá uma seqüência (s n ) de números racionais cujo limite é s (usamos também a notação s n s). Estamos tão habituados a trabalhar com os decimais que costumamos pensar o número s como se fosse a própria expressão a 0, a 1 a 2 a 3 a Podemos inclusive adotar essa representação como definição para número real. Exercício: Note que esta definição deve ser acompanhada das definições das operações de adição e multiplicação, o que pode ser menos simples do que parece. Dada a seqüência a = a 0, a 1 a 2..., calcule a 1, ou, mais simplesmente, prove sua existência. Por outro lado, em muitas situações relevantes, os números em questão são dados por seqüências de racionais que não são do modelo acima. Um bom exemplo é dado por s = n=1 1 n 2 = Neste caso, s é naturalmente aproximado pela seqüência (s n ) dada por s n = n k=1 1 k 2 = n 2. Um outro exemplo interessante é dado pelo número π. A forma mais natural de se obter π é inscrever e circunscrever sucessivamente no círculo unitário polígonos regulares com um número crescente de lados, aproximando cuidadosamente por racionais os semiperímetros de cada um deles. Este processo foi descrito por Arquimedes há mais de 2000 anos, muito antes da criação de nosso sistema de base Exercício: Defina a seqüência (x n ) por um x 0 qualquer racional positivo e x n+1 = 1 2 (x n + 2 x n ). Esta é uma forma simples de criar uma seqüência de racionais aproximando o número 2 (que sabemos não ser racional). Entenda isto. Uma das maneiras mais concretas de definir o número e é dada por e = ! + 1 4! + 1 5! +... = o que equivale a caracterizá-lo por meio da seqüência de números racionais 7 a primeira prova de que π é, de fato, um número irracional foi dada em 1770 por Lambert n=0 1 n!, 15

16 e n = n k=0 Um último e crucial exemplo: consideremos um inocente número racional, digamos 1/7. Sua expansão decimal nos dá 1/7=0, Como bem sabemos, isto dará uma seqüência (s n ) tal que s n+1 s n n IN. No entanto o mesmo número 1/7, quando representado na base 7, se escreve 1/7=0,1. A correspondente seqüência (s n ) é dada por s 0 = 0 e s n = 1/7 n > 0. Isto é mais que um exemplo: a menos que queiramos atrelar a definição de número real à base do sistema de numeração, é mais conveniente aceitar que cada real é caracterizado não por uma, mas por uma infinidade de seqüências (diferentes) de números racionais. É claro que ainda estamos longe de dar, com isto, uma definição precisa do conjunto dos números reais, mas já podemos traçar uma estratégia. Estratégia: (i)consideraremos equivalentes as seqüências de racionais que definem o mesmo número real; isto deve estabelecer uma relação de equivalência entre seqüências de racionais; (ii)um número real deve ser definido, a exemplo do que fizemos com os racionais, como uma classe de equivalência de seqüências de racionais. 1 k!. Para que isto dê resultado, porém, precisamos de uma definição de limite e, principalmente, de um critério que nos permita decidir, sem exibir esse limite, se uma seqüência tem ou não limite. Exercício: Pare e pense profundamente. Se vamos definir os números reais a partir das seqüências de racionais que para eles convergem, não podemos fazer coisas como: a seqüência e n = n k=0 1/k! define o número e porque converge para e - isto seria usar um número que ainda não existe na sua própria definição. Exercício: Pense em um caso conhecido: quando provamos que existe a soma infinita e = k=0 1/k!, o que fazemos é provar que a seqüência e n = n k=0 1/k! é crescente e que e n < 3 n IN. Assim, implicitamente, aplicamos um critério que garante que aquela seqüência tem um limite sem ter que exibi-lo a priori. Ao contrário, uma vez provada a existência do limite, este é batizado com o nome e. 16

17 7 Limites de Seqüências Seja (a n ) uma seqüência de números racionais e a um número racional. Dizemos que (a n ) converge para a, com a notação lim a n = a, n se, por melhor que enxerguemos, a partir de um certo ponto vemos a n = a. A expressão por melhor que enxerguemos deve ser entendida da seguinte maneira: nossa capacidade de distingüir dois pontos será dada por um número (racional) positivo ε, de forma que veremos como iguais dois pontos que distem menos do que ε um do outro; tal ε deve poder ser tomado tão pequeno quanto se queira (para significar por melhor que enxerguemos). Em termos mais precisos, devemos ser capazes de, fixado um ε positivo qualquer, encontrar um n 0 a partir do qual a distância entre a n e a (medida por a n a ) será sempre inferior a ε. Mais concisamente, temos a Definição: O limite da seqüência (a n ) é o número a (notação : lim n a n = a, ou a n a) se ε > 0 n 0 IN n > n 0 a n a < ε. Se não quisermos citar explicitamente o limite a, diremos simplesmente que (a n ) converge (ou que é convergente). Exercício: Pense meia hora sobre a definição acima. Definição: Diremos que lim n a n = se M IQ n 0 IN n > n 0 a n > M (a definição de lim n a n = é análoga). Exercício: Seja q um racional, com q < 1. Mostre que q n 0. Seja a n = n k=0 q k. Mostre que (a n ) converge para 1/(1 q) (estamos pondo, por definição, 0 0 = 1). Temos agora que demonstrar os resultados óbvios sobre limites. Cada uma das proposições deste capítulo é fundamental. O leitor deve procurar demonstrar cada uma delas por si próprio, sem ler as demonstrações do texto (que estão em letras miúdas de propósito). Se, após um mínimo de duas horas de esforço (para cada uma), não tiver conseguido, pode dar uma primeira lida para pegar a idéia. Mas 17

18 não deve se dar por satisfeito enquanto não conseguir fazê-las sozinho, acreditar nelas e se sentir capaz de convencer outras pessoas de sua veracidade. Proposição : Uma seqüência não pode ter mais de um limite. Demonstração : Suponhamos que a n a e a n b, com a b. Vamos usar o princípio do cobertor curto, escolhendo ε tal que não seja possível estar simultaneamente a uma distância menor que ε de a e de b. Tomemos ε = b a /2.Como a n a, podemos tomar n 1 tal que n > n 1 a n a < ε. Da mesma forma, podemos tomar n 2 tal que n > n 2 a n a < ε.dados tais n 1 e n 2, seja n 0 o maior dos dois. teremos então, para n > n 0, a n a < ε e a n b < ε. Mas isto nos dá b a = (b a n) + (a n a) b a n + a n a < ε + ε = 2ε = b a, o que é absurdo. Proposição : Sejam (a n ) e (b n ) seqüências e a e b números racionais tais que a n a e b n b. Então : (i)(a n + b n ) (a + b); (ii)(a n b n ) (ab); (iii) se a 0, então existe m tal que n > m a n 0; neste caso, considerando apenas n > m, temos (1/a n ) (1/a). Demonstração : Queremos, em cada caso, mostrar que, dado ε > 0, existe n 0 tal que a diferença entre o valor da seqüência e o limite proposto é, em módulo, inferior a ε. Vejamos cada item: (i)dado ε > 0, sejam n 1 e n 2 tais que n > n 1 a n a < ε/2 e n > n 2 b n b < ε/2. Seja n 0 o maior dentre n 1 e n 2. Se n > n 0, teremos n > n 1 e n > n 2, de forma que (a n + b n) (a + b) = (a n a) + (b n b) a n a + b n b < ε/2 + ε/2 = ε. (ii)escrevendo α n = a n a e β n = b n b, temos a nb n ab = bα n + aβ n + α nβ n bα n + aβ n + α nβ n. Seria agora conveniente achar n 0 tal que, para n > n 0, cada uma das três parcelas à direita fosse inferior a ε/3. Para controlar a primeira, podemos pensar em n 1 tal que n > n 1 α n < Mas, como não podemos jurar que b 0, é melhor tomar n 1 tal que n > n 1 α n < ε 3 b. ε 3( b + 1). Da mesma forma, tomemos n 2 tal que n > n 2 β n < ε 3( a + 1). Poderíamos quase jurar que, nestas condições α nβ n está sob controle: afinal, estamos com α n < ε 3( b + 1) ε 3, βn < ε 3( a + 1) ε 3. Na verdade, se ε não for pequeno, podemos ter ε/3 > 1. Para evitar tal inconveniente, podemos impor uma condição a mais anossos α n (poderia, é claro, ser com os β n): tomamos n 3 tal que n > n 3 α n < 1. Agora basta tomar para n 0 o maior dentre n 1, n 2 e n 3. (iii)comecemos provando que, sendo a 0, temos a n 0 para n suficientemente grande. cobertor curto, tomamos m tal que n > m a n a < a /2. temos então, se n > m, Usando o princípio do 18

19 a n = (a n a) + a a a n a = a a n a > a a 2 = a 2 > 0. Seja agora ε > 0. Queremos, já supondo n > m, obter (1/a n) 1/a) < ε. Mas 1 1 a n a = a a n = 1 aa n aa n an a, Como já estamos com a n > a /2, podemos assegurar que 1/ aa n < 2/ a 2. Logo, para n > m, temos 1 1 a n a < 2 a 2 an a. Se conseguirmos fazer com que a n a seja inferior a a 2 ε/2, teremos a vitória. Ora, como a n a, basta tomar n 1 tal que isto aconteça para n > n 1 (note que a 2 ε/2 é positivo). Agora é só fazer n 0 igual ao maior dentre m e n 1. Exercício: Seja c um racional fixo e seja (b n ) dada por b n = c n IN. Mostre que b n c. Conclua que, se a n a, então ca n ca; em particular, ( a n ) ( a). Mostre que a n a, b n b (a n b n ) (a b). Mostre que, se a 0 a n a, b n b, então existe m tal que a n 0 para n > m e que, para n > m, se tem b n /a n b/a. Exercício: Sejam (a n ) e (b n ) seqüências de racionais tais que a n 0 e existe c IQ tal que b n < c n IN. Mostre que a n b n 0. Exercício: Seja (a n ) uma seqüência tal que (a n ) não converge para zero. Mostre que existem α > 0 e n 0 IN tais que a n > α n > n 0. Os resultados acima são, certamente, importantes e úteis. Mas temos um problema: as seqüências de racionais que usamos para definir números irracionais não têm, com certeza, limite em IQ. Por outro lado, nem toda seqüência que não tem limite em IQ define, de fato, um número real. Exercício: Sejam (a n ), (b n ) e (c n ) as seqüências de racionais dadas por a n = ( 1) n, b n = n, c n = p/q, com p e q naturais não nulos e tais que (p + q 1)(p + q 2)/2 + q = n. Mostre que nenhuma das três é digna de convergir (a terceira contém um pequeno enigma e é um tanto mais difícil que as outras duas). Isto nos coloca duas questões : Como distingüir, dentre as seqüências de racionais, aquelas que definem, de fato, um número real? Como decidir se duas seqüências distintas definem um mesmo número real? A segunda questão tem uma resposta simples: duas seqüências (a n ) e (b n ) que convergem para o mesmo número são tais que (a n b n ) converge para zero. Isto 19

20 é ótimo, já que, para decidir se a n b n 0, não precisamos saber para que valor convergem (a n ) e (b n )! A primeira questão, porém, é mais delicada: precisamos de um critério que nos permita dizer que uma seqüência tem limite, sem ter que exibir tal limite. 8 Uma resposta pode ser dada pela seguinte observação : se uma seqüência (a n ) converge para a, os a n, ao se aproximarem de a, têm que se aproximar uns dos outros. Ou seja, a partir de um certo ponto, por melhor que enxerguemos, vemos todos os a n como se fossem iguais. Podemos dizer que este comportamento independe, na verdade, de a ser racional ou irracional. Ora, isto quer dizer que, dado qualquer ε positivo (para marcar o quão bem enxergamos), teremos um n 0 tal que, para n e m maiores que n 0, a distância entre a n e a m, dada por a n a m, é inferior a ε. 8 Seqüências de Cauchy Definição: Uma seqüência (a n ) é dita de Cauchy se ε > 0 n 0 IN n, m > n 0 a n a m < ε. Proposição: Toda seqüência convergente é de Cauchy. Demonstração: Suponhamos que a n a e seja ε > 0 dado. Basta tomar n 0 tal que n > n 0 a n a < ε/2. Temos então, se n > n 0 e m > n 0, a n a m = a n a + a a m = (a n a) + (a a m) a n a + a a m < ε 2 + ε 2 = ε. Exercício: Veja se está claro para você que o resultado acima deve ser verdadeiro também quando a for um número real. Mais ainda: veja se, dentro do que acredita que sejam os reais, é razoável crer que as definições e proposições sobre limites que até agora discutimos devem continuar verdadeiras em IR. 8 Temos que fugir à tentação de dizer, por exemplo, que a n = n k=0 1/n! e b n = (1+1/n) n têm o mesmo limite porque ambas convergem para e: no atual estágio, estamos tentando definir os números reais (dentre eles o número e); desta forma, se nos limitamos aos racionais, nem (a n ) nem (b n ) têm limite 20

21 Exercício: Mostre que, sendo (a n ) uma seqüência de Cauchy, existe M tal que a n < M n IN. Sugestão : tome n 0 tal que a n a m < 1 n, m > n 0 e faça M igual ao maior dentre a 0, a 1,..., a n0 e a n Exercício: Seja (a n ) dada por a 0 = 2 e a n+1 = a n /2 + 1/a n. Mostre que (a n ) é de Cauchy, mas não existe a em IQ tal que a n a (atenção, não vale roubar: supor que existe o limite e depois provar que este é 2 foge às regras, já que 2, para nós, ainda não existe ; vai ser preciso provar diretamente que (a n ) é de Cauchy). Exercício: Seja (a n ) uma seqüência de naturais tal que a n {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} para todo n > 1 e seja (s n ) dada por s n = n k=0 a k /10 k. Mostre que (s n ) é de Cauchy. Pelo que acabamos de ver, as seqüências de Cauchy podem ser chamadas de potencialmente convergentes : se uma seqüência de Cauchy de racionais não tem limite em IQ, então é por que seu limite é um número real. Mas, como os números reais ainda não foram formalmente definidos, esta afirmativa ainda não faz sentido. A consagrada representação de número real, dada por objetos do tipo ±a 0, a 1 a 2 a 3..., com a 0 IN e a n {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} n > 0, 9 nos indica que pensamos um número real como um tipo particular de seqüência de Cauchy de racionais. Nosso propósito, agora, é radicalizar esta idéia, definindo um número real por uma seqüência de Cauchy (qualquer) de racionais. Para tornar equivalentes seqüências de Cauchy com o mesmo limite, vamos criar um monstro que, felizmente, terá vida provisória. Seja R o conjunto de todas as seqüências de Cauchy de números racionais. Definamos em R a seguinte relação, dada por : (a n ) (b n ) lim n (a n b n ) = 0. Exercício: Mostre que é uma relação de equivalência. Definição : Um número real é uma classe de equivalência de R pela relação acima. O conjunto dos números reais é designado por IR. Se o número real x corresponde à seqüência (a n ), diremos que x é representado, ou definido, por (a n ). Exercício: Mostre que, se (a n ) é de Cauchy e (b n a n ) 0, então (b n ) também é de Cauchy (sugestão : faça b n b m = (b n a n ) + (a n a m ) + (a m b m ) b n a n + a n a m + a m b m ). 9 As correspondentes seqüências de racionais são dadas por q n = ± n k=0 a k/10 k 21

22 Exercício: Mostre que, se q é um racional e (a n ) é uma seqüência de Cauchy, então ou bem a n q, ou bem existe n 0 IN tal que, para n > n 0, todos os a n estão do mesmo lado de q (todos acima ou todos abaixo). Para garantir que o monstro não é tão mau quanto parece, temos um teorema a demonstrar. Teorema: Seja b um natural, com b > 1. Para toda seqüência de Cauchy (a n ) de racionais, existe uma seqüência de Cauchy (q n ) tal que (q n ) (a n ), com (q n ) de uma das seguintes formas: q n = 0 ; n q n = q n = b k b k ; k=0 n k=0 b k b k, com b 0 IN, e b n {m IN m < b} n IN. Demonstração: Fixemos o b e seja (a n) nossa seqüência. Se a n 0, estamos no caso q n = 0 n IN. Podemos então supor que (a n) não converge para 0. Observemos agora o seguinte: se a seqüência de Cauchy (a n) não converge para q, então existe n o tal que a n > q n > n o ou a n < q n > n o (vamos usar reiteradamente esta idéia). Basta então considerar o caso em que a n > 0 para n suficientemente grande. Consideremos os números da forma q = m k=0 b k b k, b 0 IN, b k {m IN m < b} k m. Se (a n) converge para algum destes números, então (a n) (q n), com q n = n k=0 entendido que b k = 0 se k > m. Podemos então supor que (a n) não converge para nenhum dos números q como acima. Usando a base b para representar os naturais, é fácil ver que os racionais acima referidos são os números da forma b k b k, q = p 1 b m, p IN, m IN. Como (a n), sendo de Cauchy, é limitada superiormente por algum M, temos que, para cada n em IN, existe um natural p n tal que, a partir de um certo n o, todos os a m seão tais que Basta então fazer q n = p n/b n. p n pn + 1 < am < bn b n. Exercício: Preencha os detalhes obscuros da demonstração. Entenda que o teorema acima significa que, fixada uma base b para o sistema de numeração, todo número real tem uma representação na base b. Esta representação é única? Se não é, quais 22

23 são os números que têm mais de uma e quantas representações, no máximo, pode um número ter? Definido e entendido o que é um número real, ficam ainda por definir as operações e a ordem em IR. Esta é nossa próxima ocupação. Definição : Sejam a e b os números reais representados, respectivamente, pelas seqüências de Cauchy (a n ) e (b n ). Então sua soma, a + b, e seu produto, ab, são os números reais definidos, respectivamente, pelas seqüências de Cauchy (a n + b n ) e (a n b n ). A definição acima depende, é claro, da demonstração de algumas coisas: devemos poder garantir que as seqüências (a n + b n ) e (a n b n ) são, de fato, de Cauchy e, mais ainda, que os números reais por elas definidos não mudariam se trocássemos (a n ) e (b n ) por seqüências equivalentes. Proposição : Sejam (a n ) e (b n ) seqüências de Cauchy em IQ. Então : (a n + b n ) e (a n b n ) são seqüências de Cauchy; se (ā n ) (a n ) e ( b n ) (b n ), então (ā n + b n ) (a n + b n ) e (ā n bn ) (a n b n ). Demonstração : Para provar que (a n + b n) e (a nb n) são de Cauchy, fixemos ε > 0. Tomando n 1 tal que n, m > n 1 a n a m < ε/2 e n 2 tal que n, m > n 2 b n b m < ε/2, temos que, se m, n > n o = n 1 + n 2, então m, n > n 1 e m, n > n 2 ; logo, (a n +b n) (a m +b m) = (a n a m)+(b n b m) a n a m + b n b m < ε/2+ε/2 = ε, o que prova que (a n + b n) é de Cauchy. Por outro lado, escrevendo a nb n a mb m = an(b n b m) + b m(a n a m) a n b n b m + b m a n a m, podemos tomar n 3, n 4, M 1 e M 2 tais que: a n < M 1 n IN; b m < M 2 m IN; m, n > n 3 b n b m < ε/2m 1 ; m, n > n 4 a n a m < ε/2m 2. Então, se m, n > n o = max {n 3, n 4, n 5, n 6 }, temos a nb n a mb m < ε, o que mostra que (a nb n) é de Cauchy. Para provar a segunda parte, basta notar que se (an ā n) 0 e (b n b n) 0, então : (a n + b n ā n b n) = (a n ā n) + (b n b n) 0; (a nb n ā n bn) = a n(b n b n) + b n(a n ā n) 0 (note que (a n) e ( b n), sendo de Cauchy, são limitadas). As operações acima definidas fazem de IR um corpo, isto é, satisfazem às seguintes propriedades: (i) x + (y + z) = (x + y) + z para todos x, y e z em IR; (ii) x + y = y + x para todos x e y em IR; 23

24 (iii) existe em IR um elemento 0 tal que x + 0 = x para todo x em IR; (iv) para todo x em IR existe x em IR tal que x + ( x) = 0; (v) x(yz) = (xy)z para todos x, y e z em IR; (vi) xy = yx para todos x e y em IR; (vii) x(y + z) = (xy) + (xz) para todos x, y e z em IR; (viii) existe em IR um elemento 1 0 tal que 1x = x para todo x em IR. (ix) para todo x em IR tal que x 0 existe x 1 em IR tal que xx 1 = 1. Das onze propriedades acima (que o leitor deve ser capaz de demonstrar sozinho), provaremos a (ix), que é um pouco mais difícil que as demais. Demonstração de (xi): O número real 0 corresponde às seqüências de racionais que convergem para 0. Assim, se x IR e x 0, podemos tomar uma seqüência qualquer (a n) representando x e, como (a n) não converge para 0, garantir que existe um m 1 IN tal que a n 0 n > m 1 (mais ainda: como (a n) é de Cauchy, existem um α IQ e um m 2 IN tais que a n > α > 0 n > m 2 ). Podemos então definir x 1 pela seqüência (b n) dada por b n = { 1/a n, n > m 1, 0, n m 1. m 2, Devemos provar que (b n) é de Cauchy. Sendo m 1, m 2 e α como acima, temos para n e m maiores que m 1 e que b n b m = 1 1 = a n a m am an a na m < 1 an am. α2 Supondo dado ε > 0, podemos tomar m 3 IN tal que n, m > m 3 a m a n < α 2 ε e fazer n o = max {m 1, m 2, m 3 }. Então, para n, m > n o, temos b n b m < ε. É imediato que, para x 1 assim definido, temos xx 1 = 1 (onde o número real 1 é definido pela seqüência (1 n) dada por 1 n = 1 n IN). Para fechar a demonstração, devemos provar que o x 1 que obtivemos independe do processo que utilizamos. A prova é puramente algébrica. Se, por um outro processo qualquer (usando outra seqüência para representar x, por exemplo), obtivéssemos um x tal que x x = 1, teríamos: x = x1 = x(xx 1 ) = ( xx)x 1 = (x x)x 1 = 1x 1 = x 1. Exercício: Note que existe, dentro de IR, uma cópia de IQ, dada pelas seqüências constantes (isto é, o número racional q tem em IR um clone, dado pela seqüência (q n ), q n = q n IN). Para definir a ordem em IR, basta que digamos quais são os números positivos. Exercício: Seja (a n ) a seqüência definida por a n = 1/(n + 1). Note que: a n > 0 n IN; a n 0. 24

25 O exercício acima nos mostra que, para definir o conjunto P dos reais positivos, não é uma boa idéia incluir todos os que podem ser representados por seqüências de Cauchy (a n ) com a n > 0 n IN, pois isto resultaria em fazer de 0 um número positivo. Por outro lado, a exigência de que a n > 0 n IN pode ser excessiva. Exercício: Seja (b n ) a seqüência dada por b n = { 1, n 1989, 1, n > Note que (b n ) é de Cauchy, os b n não são todos positivos, mas (b n ) certamente corresponde a um real positivo. Poderíamos dizer, então, que os reais positivos são os representados por seqüências de Cauchy (a n ) de racionais para cada uma das quais existe m IN tal que a n > 0 n > m e tais que (a n ) não converge para 0. Vamos, porém, adotar uma outra definição (que o leitor está convidado a provar ser equivalente). Definição: Um número real x é dito positivo se pode ser representado por uma seqüência de Cauchy (a n ) de racionais tal que existem um racional α e um natural m com a n > α n > m. Designaremos por P o conjunto dos reais positivos. Dados x e y em IR, diremos que x é maior que y quando (x y) P (notação : x > y). As definições para, < e são as usuais. Como de hábito, devemos provar que a definição não depende da seqüência (a n ) escolhida para representar x. Vamos incluir a demonstração no lema abaixo. Lema: Se x é um real positivo, então existe um racional q tal que 0 < q < x (estamos identificando q com o real dado pela seqüência constante e igual a q). Demonstração : Sejam (a n) uma seqüência representando x, α racional positivo e m natural tais que a n > α n > m. Se (b n) é uma outra seqüência representando x, temos a n b n 0, de forma que podemos tomar m 1 tal que n > m 1 a n b n < α/2. Daí segue, para n acima de m e de m 1, b n = a n + (b n a n) a n b n a n > α α 2 = α 2. Isto mostra que, para toda seqüência (b n) representando x, existe n o tal que b n > α/2 n > n o. Fazendo q = α/4, temos também b n q > α/4 n > n o, o que mostra que, identificando q com a correspondente seqüência constante, temos x > q > 0, como prometido. Podemos agora garantir que o conjunto P dos reais positivos satisfaz às propriedades: (x) x + y P para todos x e y em P ; 25

26 (xi) xy P para todos x e y em P ; (xii) se x IR, vale uma e uma só das seguintes: x P, x P ou x = 0. Obviamente, as doze propriedades que acabamos de enunciar, sendo comuns a IR e a IQ, não são suficientes para caracterizar o conjunto dos números reais. Mas já podemos, com elas, falar em módulo (ou norma) de um número real e definir limite (em IR) de uma seqüência de números reais. Definição: Dado um número real x, seu valor absoluto (também dito módulo, ou norma), é o elemento de P dado por x, se x P ; x = 0, se x = 0; x, se x P. Exercício: Prove as tradicionais propriedades do valor absoluto. Não esqueça a desigualdade triangular: x + y x + y x, y IR. Prove também que x a < ε a ε < x < a + ε. Definição : Uma seqüência (x n ) de números reais converge para o número real x se ε > 0 n 0 IN n > n 0 x n x < ε. Diremos, neste caso, que x é o limite de x n (quando n tende a infinito) e usaremos, indiferentemente, as notações x n x, lim n x n = x ou lim x n = x. Valem, obviamente, e com as mesmas demonstrações, as mesmas propriedades que já provamos para seqüências de racionais (inclusive as definições e propriedades de seqüências de Cauchy). Definição: Uma seqüência (x n ) de números reais é dita de Cauchy se ε > 0 n 0 IN n, m > n 0 x n x m < ε. Como já vimos, existem seqüências de Cauchy de números racionais que não convergem para qualquer elemento de IQ. Este foi, na verdade, o ponto de partida e a motivação para nossa construção de IR. Concluída a (laboriosa) construção, é chegada a hora de demonstrarmos o aguardado teorema garantindo que todo real é limite de uma seqüência de racionais e que toda seqüência de Cauchy de 26

27 racionais tem limite em IR. Na verdade, provaremos um pouco mais, já que podemos trabalhar também, agora, com seqüências de Cauchy de números reais. Estas considerações fazem sentido, é claro, por estarmos identificando cada racional q ao real definido pela seqüência constante (q n ), q n = q n IN. Teorema: O conjunto dos números reais tem as seguintes propriedades: todo número real é limite de uma seqüência de números racionais; toda seqüência de Cauchy de números reais converge para um número real. Demonstração : Seja x um número real e seja (a n) uma seqüência de racionais que representa x. Vamos mostrar que a seqüência (q n) de reais dada pelos próprios a n converge para x (note que cada q m é definido pela seqüência constante (q mn) dada por q mn = a m). Seja, pois, dado um número real ε positivo (note que ε deve ser dado, também, por uma seqüência (ε n) de racionais). Podemos então tomar um racional α, positivo, e um n 1 IN tais que n > n 1 0 < α < ε n. Como (a n) é de Cauchy, podemos tomar n 2 IN tal que n, m > n 2 a n a m < α/2. Isto nos dá, sendo q mn = a m n IN, a n q mn < α/2 m, n > n 2. Seja então n 0 = max {n 1, n 2 }. Fixado m > n 0, temos, para n > n 0, ε n a n q mn > α/2. Mas isto significa que x q m < ε m > n 0, o que prova que todo real é limite de uma seqüência de racionais e, ao mesmo tempo, que toda seqüência de Cauchy de racionais converge para o real por ela definido. Seja agora (x n) uma seqüência de Cauchy em IR e seja, para cada n IN, q n um racional tal que q n x n < 1/n (acabamos de provar que tal q n existe, já que x n é limite de uma seqüência de racionais). Como (x n) é de Cauchy, (q n) também é. De fato, se ε é um real positivo, podemos, tomando n 1 IN tal que n, m > n 1 x n x m < ε/3 e n 2 IN tal que n > n 2 1/n < ε/3, concluir que n, m > n 0 = max {n 1, n 2 } q n q m = q n x n + x n x m + x m q m < 1/n + ε/3 + 1/m < ε. Ora, sendo (q n) uma seqüência de Cauchy de racionais, existe um real x tal que q n x. Mas isto equivale a (q n x) 0. Como, por outro lado, temos (x n q n) 0, segue (x n x) 0, o que prova a convergência de (x n). Corolário: Entre dois reais distintos existe sempre um racional. Demonstração : Sejam x e y reais, com x y. Suponhamos, para simplificar, que y > x. Como y x > 0, podemos tomar racionais a e b com x a < (y x)/2 e y b < (y x)/2. Seja q = (a + b)/2. Temos então, como a (y x)/2 < x < a + (y x)/2, que x (y x)/2 < a < (x + y)/2. Analogamente, temos (x + y)/2 < b < y + (y x)/2. Somando as desigualdades, temos 2x < a + b < 2y. Exercício: Mostre que entre dois reais distintos existe sempre um irracional. Sugestão : comece provando a existência de um irracional positivo u ( 2, por exemplo). Tendo construído o conjunto dos números reais e provado suas propriedades fundamentais, podemos agora, sem remorso, esquecer as classes de equivalência de seqüências de Cauchy de racionais. Podemos simplesmente trabalhar com os reais a partir de suas propriedades, sem estarmos a lembrar, a cada instante, de que material são feitos. 27

28 9 Propriedades características de IR Começaremos de novo, agora a partir de IR, cujas propriedades fundamentais listamos a seguir. O conjunto IR dos números reais é dotado de duas operações, ditas de adição ((x, y) x + y) e de multiplicação ((x, y) xy), além de um subconjunto P (dos positivos), de forma que valem as seguintes propriedades: (i) x + (y + z) = (x + y) + z para todos x, y e z em IR; (ii) x + y = y + x para todos x e y em IR; (iii) existe em IR um elemento 0 tal que x + 0 = x para todo x em IR; (iv) para todo x em IR existe x em IR tal que x + ( x) = 0; (v) x(yz) = (xy)z para todos x, y e z em IR; (vi) xy = yx para todos x e y em IR; (vii) x(y + z) = (xy) + (xz) para todos x, y e z em IR; (viii) existe em IR um elemento 1 0 tal que 1x = x para todo x em IR. (ix) para todo x em IR tal que x 0 existe x 1 em IR tal que xx 1 = 1. (x) x + y P para todos x e y em P ; (xi) xy P para todos x e y em P ; (xii) se x IR, vale uma e uma só das seguintes: x P, x P ou x = 0; (xiii) se (x n ) é uma seqüência de Cauchy em IR, então existe x em IR tal que x n x. Como já vimos, IR contém uma cópia de IQ (que será, doravante, identificada ao original), o mesmo acontecendo com Z e IN. Vamos aproveitar as propriedades de IN, Z e IQ já demonstradas, mas poderíamos tentar partir dos axiomas acima e reconstruir tudo. Neste caso, ainda falta uma propriedade para caracterizar IR. De fato, usamos fortemente o fato (aparentemente óbvio) de que a seqüência (1/(n+1) converge para 0. Isto equivale à seguinte propriedade, dita propriedade arquimediana: 28

29 (xiv) para todo x em IR e para todo ε em P existe n em IN tal que nε > x. No enunciado da propriedade arquimediana, usamos, é claro, conceitos que não foram definidos neste capítulo, mas que podem ser recriados: a > b significa (a + ( b)) P e IN é o menor subconjunto de IR contendo {0, 1} e fechado para a adição (isto é, ao qual pertence a soma de quaisquer dois de seus elementos). De qualquer forma, se tivéssemos que começar nosso estudo dos números pelos reais, seria desagradável partir de axiomas como os acima, que fazem referência aos naturais e ao conceito de limite. Por este motivo, é usual, quando se tomam os reais como ponto de partida, substituir as propriedades (xiii) e (xiv) por uma outra, conceitualmente mais simples, dita propriedade do supremo. Um intervalo em IR (poderia também ser em IQ, Z ou mesmo em IN) é um subconjunto I de IR tal que x, y I, x < z < y z I (onde a relação x < y é definida, como de hábito, por (y x) P, assim como x y sss x < y ou x = y e x y sss x > y ou x = y). Se I = {x IR a x b}, I é notado [a, b]; se I = {x IR a < x b}, I é notado ]a, b], com definições análogas para [a, b[ e ]a, b[. A propriedade do supremo afirma, simplesmente, que intervalos limitados possuem extremidades. Sejamos mais precisos. Propriedade do Supremo: Se φ A IR e A é limitado superiormente, isto é, M IR M a a A, então existe s em IR, dito o supremo de A, tal que: s a a A; r a a A r s. Demonstração : Note, inicialmente, que I = {r IR r a a A} é um intervalo (um elemento de I é dito uma cota superior de A). Mais: se r 1 I e r 2 > r 1 então necessariamente r 2 I. Sejam agora a 0 um elemento de A e b 0 = M. Vamos definir, indutivamente duas seqüências, (a n) e (b n), da seguinte forma: fazemos c n = (a n + b n)/2 e Basta agora notar que: a n+1 = { a n, c n I c n, c n / I b n+1 = { c n, c n I b n, c n / I b n I n IN; n IN α n A a n α n; a n < b m n, m IN; b n a n = (M a 0 )/2 n n IN. 29

30 Daí segue que (a n) e (b n) são seqüências de Cauchy, convergindo ambas para o mesmo limite s. Vamos mostrar que s é o supremo de A. Primeiramente, não pode haver a A com a > s, pois, neste caso, haveria necessariamente n IN tal que b n < a, o que é impossível. Por outro lado, se existisse r tal que r I e r < s, haveria n IN tal que r < a n e, portanto, um α n A com r < α n, o que também não dá. Um argumento central na demonstração acima tem até nome (é uma propriedade explorada por Cantor). Propriedade dos Intervalos Encaixantes: Se a seqüência de intervalos fechados ([a n, b n ] é tal que [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ] n IN, lim (b n a n ) = 0, então existe um único número real c tal que c [a n, b n ] n IN. Demonstração : Basta notar que tanto (a n) como (b n) são de Cauchy (uma crescente e a outra decrescente) e têm o mesmo limite. Uma seqüência (a n ) tal que a n+1 a n n IN é dita monótona decrescente (ou, simplesmente, decrescente). Se a n+1 < a n n IN, (a n ) é dita estritamente decrescente, definições análogas valendo para seqüências crescentes. Se não quisermos especificar crescente ou decrescente, dizemos apenas monótona. Exercício: Mostre que, se (a n ) é decrescente e converge para a, então a a n n IN. Uma outra propriedade, talvez um pouco menos evidente, diz respeito à possibilidade de extrairmos, de uma seqüência de reais (em princípio não convergente) uma subseqüência convergente. Uma subseqüência da seqüência (a n ) é obtida jogando fora alguns dos a n e considerando a seqüência dos que sobram (podemos até jogar fora infinitos a n, desde que também sobrem infinitos). Definição : (a nk ) é dita uma subseqüência de (a n ) se a aplicação k n k, k IN é uma função estritamente crescente de IN em IN (note que, neste caso, a aplicação k a nk define uma nova seqüência ). Propriedade de Bolzano-Weierstrass: Se (x n ) é uma seqüência limitada de números reais, então (x n ) tem uma subseqüência convergente. 30

31 Demonstração : (x n) ser limitada significa que existem reais a e b tais que x n [a, b] n IN. Façamos então a 0 = a, b 0 = b, c 0 = (a + b)/2 e observemos o seguinte: se x n [a k, b k ] n > k, c k = (a k + b k )/2, A k = {n IN x n [a k, c k ]} e B k = {n IN x n [c k, b k ]}, então pelo menos um, dentre A k e B k é ilimitado. Tomemos pois x n0 em [a 0, b 0 ] e, uma vez dados [a k, b k ] e c k = (a k + b k )/2, façamos [a k+1, b k+1 ] = [a k, c k ], se A k é ilimitado, ou [a k+1, b k+1 ] = [c k, b k ], caso contrário. Tomamos então x nk+1 em [a k+1, b k+1 ] e reiteramos. Fica assim definida a subseqüência (x nk ) de (x n). Como x nk [a k, b k ] k IN e os intervalos [a k, b k ] satisfazem à propriedade dos intervalos encaixantes, temos que (x nk ) é convergente. 31