Aula Junho EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

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1 Aula Junho 2019 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

2 Resumo da aula passada Verificação de factibilidade. Gerenciamento de problemas de (não) factibilidade. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

3 Tópico da aula de hoje Robustez a incertezas de modelo: Uso de Desigualdades Matriciais Lineares. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

4 Motivação Como visto anteriormente, é possível obter garantias de factibilidade recursiva e convergência do estado para a origem empregando um horizonte de predição infinito. De modo a limitar o número de variáveis de decisão, pode-se empregar um horizonte de controle finito, com restrições terminais e custo terminal associado ao estado. Alternativamente, pode-se utilizar um horizonte de controle infinito, adotando-se uma parametrização da forma û(k + i k) = F k ˆx(k + i k), sendo F k R p n uma matriz de ganho a ser determinada a cada instante k. Nesse caso, as variáveis de decisão passam a ser os elementos de F k. Na formulação a ser apresentada, a matriz F k será obtida como solução de um problema de otimização envolvendo Desigualdades Matriciais Lineares. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

5 O que são Desigualdades Matriciais Lineares? (Linear Matrix Inequalities, LMI) Referências: MACIEJOWSKI (2002), p BOYD, S.; EL GHAOUI, L.; FERON, E.; BALAKRISHNAN, V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

6 Definição Uma LMI é uma desigualdade matricial da forma F (v) = F 0 + sendo F 0, F 1,..., F l matrizes simétricas. l v i F i > 0 F (v) é uma função afim das variáveis escalares v 1, v 2,..., v l. Desigualdades da forma F (v) < 0 e F (v) < G(v) são casos particulares da expressão acima. Com efeito, tais desigualdades podem ser reescritas como F (v) > 0 e G(v) F (v) > 0. i=1 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

7 LMIs em outras formas Em muitos casos, LMIs podem não estar expressas diretamente nessa forma. Considere, por exemplo, a desigualdade de Lyapunov: com A = [ A T P + PA < 0 ] [ ] v1 v e P = 2. v 2 v 3 Neste caso, as variáveis são v 1, v 2, v 3 e a LMI pode ser escrita como [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 v1 v 2 v1 v < v 2 v 3 v 2 v [ ] [ ] 2v1 + v 2 2v 2 + v 3 2v1 + v + 2 3v 2 < 0 3v 2 3v 3 2v 2 + v 3 3v 3 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

8 [ ] [ ] 2v1 + v 2 2v 2 + v 3 2v1 + v + 2 3v 2 < 0 3v 2 3v 3 2v 2 + v 3 3v 3 [ ] 4v1 + 2v 2 5v 2 + v 3 < 0 5v 2 + v 3 6v 3 [ ] [ ] [ ] v 1 + v v < EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

9 Sistemas de LMIs Um sistema de LMIs da forma F 1 (v) > 0 F 2 (v) > 0. F m (v) > 0 é equivalente a uma única LMI escrita como F 1 (v) F 2 (v) F m (v) > 0 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

10 LMIs não estritas LMIs da forma F (v) 0 são ditas não estritas. Nesse caso, a LMI é dita factível se v tal que F (v) 0 e estritamente factível se v tal que F (v) > 0. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

11 Convexidade O conjunto V = {v R n F (v) > 0} é convexo. Com efeito, sejam x, y V e z = λx + (1 λ)y com λ [0, 1]. Tem-se então que F (z) = F [λx + (1 λ)y] = F 0 + = F 0 + λ l [λx i + (1 λ)y i ]F i i=1 l x i F i + (1 λ) i=1 l y i F i = F 0 + λ[f (x) F 0 ] + (1 λ)[f (y) F 0 ] = λ F (x) +(1 λ) F (y) }{{}}{{} >0 >0 Portanto, F (z) > 0, comprovando que z V. Da mesma forma, pode-se mostrar que V = {v R n F (v) 0} é convexo. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85 i=1

12 Programação Semidefinida Problemas de otimização do tipo min v c T v s.a. F (v) 0, sendo F (v) 0 uma LMI, são problemas convexos. Problemas desse tipo (custo linear e restrições LMI) são conhecidos como Problemas de Programação Semidefinida. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

13 Complemento de Schur Se Q(v) = Q T (v), R(v) = R T (v) e Q(v), R(v), S(v) são afins em v, então a LMI [ ] Q(v) S(v) S T > 0 (v) R(v) é equivalente a R(v) > 0 Q(v) S(v)R 1 (v)s T (v) > 0 ou então Q(v) > 0 R(v) S T (v)q 1 (v)s(v) > 0 Essa equivalência permite expressar desigualdades quadráticas convexas como LMIs. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

14 O complemento de Schur pode também ser generalizado para LMIs não estritas (Boyd et al., 1994): A LMI [ Q(v) S(v) S T (v) R(v) é equivalente a sendo R a pseudo-inversa de R. ] 0 R(v) 0 Q(v) S(v)R (v)s T (v) 0 S(I RR ) = 0 Caso seja ainda imposta a condição R(v) > 0, tem-se simplesmente Q(v) S(v)R 1 (v)s T (v) 0. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

15 Complemento de Schur: Exemplo (Maciejowski, p. 235) Seja o seguinte PPQ: sendo Q = Q T 0. Este problema é equivalente a min x (x T Qx + q T x + r) s.a Ax b s.a. min γ,x γ γ x T Qx q T x r 0 Ax b EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

16 γ x T Qx q T x r 0 Empregando o complemento de Schur, esta restrição pode ser reescrita como [ 1 Q 1/2 x x T Q 1/2 γ r q T x ] 0 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

17 Ax b Estas restrições podem ser reescritas como (Ax b) (Ax b) (Ax b) m 0 em que (Ax b) i denota o i-ésimo elemento de Ax b. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

18 LMI Lab (Matlab Robust Control Toolbox) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

19 Considerações preliminares No LMI Lab, LMIs são especificadas na forma F left (x) < F right (x). Se F left (x) ou F right (x) não forem especificadas, assume-se 0 por default. Cada lado da LMI é estruturado na forma N T MN, sendo M uma matriz simétrica. As matrizes N e M são chamadas outer e inner factor, respectivamente. Na maioria dos casos, N = I, não sendo necessário explicitá-la na especificação da LMI. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

20 Como especificar um conjunto de LMIs Passo 1: Inicialização SETLMIS([]) resets the internal variables used for creating LMIs so that you can create a new system of LMIs. SETLMIS(LMISYS0) uses an existing LMI system LMISYS0 as the starting point for creating a new system of LMIs. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

21 Passo 2: Especificação das variáveis do problema X = LMIVAR(TYPE,STRUCT) adds a new matrix variable X to the LMI system currently specified EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

22 TYPE - Structure of X: 1 -> symmetric block diagonal (blocos simétricos na diagonal) 2 -> full rectangular 3 -> other (elementos iguais a zero, x n ou x n em posições especificadas) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

23 STRUCT - Additional data on the structure of X TYPE = 1: the i-th row of STRUCT describes the i-th diagonal block of X STRUCT(i,1) -> block size STRUCT(i,2) -> block type: 0 (scalar block t*i), 1 (full symmetric block), -1 (zero block) TYPE = 2: STRUCT = [M,N] if X is a MxN matrix TYPE = 3: STRUCT is a matrix of the same dimension as X where STRUCT(i,j) is either 0 if X(i,j) = 0, +n if X(i,j) = n-th decision variable, -n if X(i,j) = (-1)* n-th decision variable. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

24 Exemplos: X = lmivar(1,[2 1]) > 2 x 2 full symmetric matrix [ ] x1 x X = 2 x 2 x 3 Y = lmivar(2,[2 3]) > 2 x 3 matrix [ y1 y Y = 2 y 3 y 4 y 5 y 6 ] Z=lmivar(1,[3 0]) > 3 x 3 scalar matrix Z = z z z EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

25 Passo 3: Inserção de cada LMI LMITAG = NEWLMI adds a new LMI to the LMI system currently described and attaches the identifier LMITAG to it. Declaring LMIs with NEWLMI is optional and only meant to make the code more readable. Output: LMITAG (identifier of the new LMI). Its value is L if there are already L-1 LMIs in the system. This value remains unchanged in all subsequent modifications of the LMI system EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

26 Passo 4: Especificação de cada LMI LMITERM(TERMID,A,B,FLAG) adds one term to some LMI in the LMI system currently specified. A term is either an outer factor, a constant matrix, or a variable term A*X*B or A*X *B where X is a matrix variable. The first input TERMID specifies which LMI and block the term belongs to. Note: Because the OFF-DIAGONAL blocks (i,j) and (j,i) are transposed of one another, specify the term content of ONLY ONE of these two blocks. TERMID(1) = +n -> left-hand side TERMID(1) = -n -> right-hand side For outer factors, set TERMID(2:3) = [0 0]. Otherwise, set TERMID(2:3) = [i j] if the term belongs to the (i,j) block of the LMI EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

27 TERMID(4) = 0 -> constant term TERMID(4) = X -> variable term A*X*B TERMID(4) = -X -> variable term A*X *B where X is the variable identifier returned by LMIVAR A -> value of the outer factor, constant term, or left coefficient in variable terms A*X*B or A*X *B B -> right coefficient in variable terms A*X*B or A*X *B FLAG -> quick way of specifying the expression A*X*B+B *X *A in a DIAGONAL block. Set FLAG= s to specify it with only one command. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

28 Observações (extraídas do manual do Robust Control Toolbox): Os blocos são zero por default. Um valor escalar α pode ser especificado em lugar de uma matriz da forma αi. A dimensão da matriz identidade I é inferida pelo contexto. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

29 Passo 5: Conclusão LMISYS = GETLMIS returns a computer description LMISYS of the currently described LMI system. LMIINFO(LMISYS) Gives information about: the variable matrices (dimensions and structure) the block structure and dimensions of the LMIs the term content of each LMI NDECV = DECNBR(LMISYS) returns the number of decision variables NDECV in the system of LMIs. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

30 Como testar a factibilidade de um conjunto de LMIs [TMIN,XFEAS] = FEASP(LMISYS) Given an LMI feasibility problem: Find x such that L(x) < R(x), FEASP solves the auxiliary convex program: Minimize t subject to L(x) < R(x) + t*i TMIN -> value of t upon termination. The LMI system is feasible iff TMIN <= 0 XFEAS -> corresponding minimizer. If TMIN <= 0, XFEAS is a feasible vector for the set of LMI constraints. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

31 [TMIN,XFEAS] = FEASP(LMISYS) Use DEC2MAT to get the matrix variable values from XFEAS. X = DEC2MAT(LMISYS,DECVARS,XID) returns the value of the matrix variable with identifier XID given the LMI system description LMISYS and the vector DECVARS of decision variable values. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

32 Exemplo: Análise de estabilidade Seja um sistema com dinâmica descrita pela seguinte equação de estado a tempo contínuo: ẋ = Ax O sistema é assintoticamente estável (todos os autovalores de A possuem parte real negativa) se e somente se existir uma matriz P > 0 que satisfaça a seguinte desigualdade: A T P + PA < 0 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

33 Vamos realizar a análise de estabilidade com [ ] 0 1 A = 2 3 cujos autovalores são 1 e 2. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

34 Passo 1: Inicialização A = [0 1;-2-3] setlmis([]) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

35 Passo 2: Especificação das variáveis P = lmivar(1,[2 1]) Type = 1 (P é uma matriz simétrica bloco-diagonal) Struct = [2 1] (uma linha > um único bloco): Block size = 2 (Bloco tem dimensões 2 x 2) Block type = 1 (Bloco é uma matriz cheia) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

36 Passo 3: Inserção de cada LMI LMIs a serem inseridas: A T P + PA < 0 (1) P > 0 (2) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

37 Primeira LMI: A T P + PA < 0 LyapEq = newlmi lmiterm([lyapeq 1 1 P],1,A, s ) LyapEq: Valor positivo (lado esquerdo da LMI) [1 1]: Bloco (1,1) da LMI Termo da forma A lmi PB lmi com A lmi = 1 e B lmi = A FLAG = s : Simetrização do termo: A T P + PA EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

38 Segunda LMI: P > 0 Ppos = newlmi lmiterm([-ppos 1 1 P],1,1) -Ppos: Valor negativo (lado direito da LMI) [1 1]: Bloco (1,1) da LMI Termo da forma A lmi PB lmi com A lmi = 1 e B lmi = 1 Arquivo Matlab: ex1.m EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

39 Exemplo: Análise de estabilidade Experimente repetir a análise de estabilidade com [ ] 0 1 A = 2 1 cujos autovalores são 1 e 2. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

40 Problemas de programação semidefinida MINCX - Minimizes a linear objective under LMI constraints [COPT,XOPT] = MINCX(LMISYS,C) solves the optimization problem Minimize c * x subject to L (x) < R(x) where x is the vector of decision variables (free scalar variables). A chamada a esta rotina não permite fazer distinção entre desigualdades estritas e não estritas. Contudo, se as LMIs não forem estritamente factíveis será retornado um diagnóstico de não factibilidade*. *Vide EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

41 Controle preditivo robusto empregando LMIs Referências: MACIEJOWSKI, p KOTHARE, M. V.; BALAKRISHNAN, V.; MORARI, M. Robust constrained predictive control using linear matrix inequalities. Automatica, v. 32, n. 10, p , EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

42 Incerteza politópica Assume-se que a dinâmica da planta seja descrita por um modelo da forma x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) em que A, B são matrizes incertas que pertencem a um dado politopo Ω com vértices (A 1, B 1 ), (A 2, B 2 ),..., (A L, B L ). Em outras palavras, existem escalares λ 1, λ 2,..., λ L 0 tais que A = L λ j A j, B = j=1 L λ j = 1 j=1 L λ j B j j=1 Notação: Ω = Co { (A 1, B 1 ), (A 2, B 2 ),..., (A L, B L ) } EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

43 Exemplo: Servomecanismo posicionador Torque Momento de inércia: J (conhecido) Coeficiente de atrito viscoso: b [b min, b max ] Característica do motor: τ = κu, κ [κ min, κ max ] J θ + b θ = κu EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

44 J θ + b θ = κu Variáveis de estado: x 1 = θ, x 2 = θ. Equação de estado: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = b J x 2 + κ J u [ ] [ ] 0 1 0κ ẋ = 0 b x + u }{{ J J }}{{} A c B c Discretização aproximada com período de amostragem T : x(k + 1) = (I + A c T ) x(k) + B }{{} c T u(k) }{{} A B EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

45 A(b) = [ 1 T 0 1 bt J ], B(κ) = [ 0 κt J ] b [b min, b max ], κ [κ min, κ max ] Neste caso, há dois parâmetros incertos independentes. O politopo Ω terá quatro vértices: 1 A(b min ), B(κ min ) 2 A(b min ), B(κ max ) 3 A(b max ), B(κ min ) 4 A(b max ), B(κ max ) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

46 Formulação do Problema Função de custo a ser minimizada no instante k: J (k) = ˆx(k + i k) 2 S + û(k + i k) 2 R i=0 com S = S T > 0 e R = R T > 0. Problema min-max a ser resolvido: min û max J (k) (A,B) Ω EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

47 Abordagem empregada Parametrizar o controle na forma û(k + i k) = F k ˆx(k + i k) Determinar a matriz de ganho F k de modo a minimizar um limitante superior γ para max J (k). (A,B) Ω EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

48 Expressando-se a matriz de ganho como F k = YQ 1, com Y e Q a serem determinadas, pode-se colocar o problema na seguinte forma: min γ γ>0,q>0,y s.a. [ ] Q x(k) 0 (1) 1 Q 0 0 A j Q + B j Y γi 0 S 1/2 Q γi R 1/2 Y 0, j = 1, 2,..., L (2) Q desde que as LMIs (1) e (2) sejam factíveis com γ > 0 e Q > 0. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

49 Demonstração de que γ é um limitante superior para J (k) Suponha que (γ, Q, Y ) satisfaça as LMIs (1) e (2), com γ > 0 e Q > 0. Sejam ainda λ 1, λ 2,..., λ L 0 tais que Em vista de (2), tem-se L λ j isto é, j=1 L λ j = 1 j=1 Q 0 0 A j Q + B j Y γi 0 S 1/2 Q γi R 1/2 Y Q Q 0 0 L j=1 λ ja j Q + L j=1 λ jb j Y γi 0 S 1/2 Q γi R 1/2 Y Q 0 0 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

50 Portanto: Q 0 0 AQ + BY 0 γi 0 S 1/2 Q 0 0 γi R 1/2 Y (AQ + BY ) T QS 1/2 Y T R 1/2 Q 0 qualquer que seja (A, B) Ω. Aplicando o complemento de Schur, tem-se [ Q ] (AQ + BY ) T QS 1/2 Y T R 1/2 Q γ 1 I γ 1 I AQ + BY S 1/2 Q R 1/2 Y 0 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

51 Ou seja: Q [ (AQ + BY ) T Q 1 γ 1 QS 1/2 γ 1 Y T R ] 1/2 AQ + BY S 1/2 Q R 1/2 Y 0 Q (AQ + BY ) T Q 1 (AQ + BY ) γ 1 QSQ γ 1 Y T RY 0 [ Q Q 1 (A + BYQ 1 ) T Q 1 (A + BYQ 1 ) γ 1 S γ 1 Q 1 Y T RYQ 1] Q 0 Logo, como Q > 0, tem-se Q 1 (A + BYQ 1 ) T Q 1 (A + BYQ 1 ) γ 1 S γ 1 Q 1 Y T RYQ 1 0 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

52 Ou seja: (A + BYQ 1 ) T Q 1 (A + BYQ 1 ) Q 1 +γ 1 S + γ 1 Q 1 Y T RYQ 1 0 Definindo agora P = γq 1 > 0 e fazendo F k = YQ 1, segue que (A + BF k ) T Pγ 1 (A + BF k ) Pγ 1 +γ 1 S + γ 1 F T k RF k 0 Logo, como γ > 0, tem-se (A + BF k ) T P(A + BF k ) P + S + F T k RF k 0 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

53 (A + BF k ) T P(A + BF k ) P + S + F T k RF k 0 Portanto, tem-se ] ˆx T (k + i k) [(A + BF k ) T P(A + BF k ) P + S + Fk T RF k ˆx(k + i k) 0 Segue então que [ ] ˆx T (k + i k) (A + BF k ) T P(A + BF k ) ˆx(k + i k) ˆx T (k + i k)pˆx(k + i k) ˆx T (k + i k)sˆx(k + i k) ˆx T (k + i k)fk T RF k ˆx(k + i k) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

54 [ ] ˆx T (k + i k) (A + BF k ) T P(A + BF k ) ˆx(k + i k) ˆx T (k + i k)pˆx(k + i k) ˆx T (k + i k)sˆx(k + i k) ˆx T (k + i k)f T k RF k ˆx(k + i k) Considerando agora û(k + i k) = F k ˆx(k + i k), tem-se que ˆx(k + i + 1 k) = (A + BF k )ˆx(k + i k) e portanto pode-se escrever ˆx T (k + i + 1 k)pˆx(k + i + 1 k) ˆx T (k + i k)pˆx(k + i k) ˆx T (k + i k)sˆx(k + i k) û T (k + i k)rû(k + i k) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

55 ˆx T (k + i + 1 k)pˆx(k + i + 1 k) ˆx T (k + i k)pˆx(k + i k) ˆx T (k + i k)sˆx(k + i k) û T (k + i k)rû(k + i k) Definindo-se V (x) = x T Px, tem-se ( ) V ˆx(k + i + 1 k) ( ) V ˆx(k + i k) ˆx T (k + i k)sˆx(k + i k) û T (k + i k)rû(k + i k) < 0, ˆx(k + i k) 0 uma vez que S > 0 e R > 0. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

56 Portanto, conclui-se que V (x) é uma função de Lyapunov para a dinâmica descrita por ˆx(k + i + 1 k) = Aˆx(k + i k) + Bû(k + i k) û(k + i k) = F k ˆx(k + i k) mostrando que ˆx(k + i k) i 0 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

57 ( ) ( ) V ˆx(k + i + 1 k) V ˆx(k + i k) ˆx T (k + i k)sˆx(k + i k) û T (k + i k)rû(k + i k) Somando os dois lados desta desigualdade de i = 0 a i =, obtém-se ( ) ( ) lim V ˆx(k + i k) V ˆx(k k) i ˆx T (k + i k)sˆx(k + i k) û T (k + i k)rû(k + i k) i=0 Como ˆx(k k) = x(k), ˆx(k + i k) i 0 e tem-se J (k) = ˆx T (k + i k)sˆx(k + i k) + û T (k + i k)rû(k + i k) i=0 ( ) J (k) V x(k) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

58 Por outro lado, aplicando o complemento de Schur a [ ] Q x(k) x T 0 (k) 1 (com Q > 0), tem-se que x T (k)q 1 x(k) 1, ou seja x T (k)γ 1 Px(k) 1 x T (k)px(k) γ }{{} V (x(k)) Portanto, conclui-se que J (k) γ EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

59 Codificação empregando o LMI Lab Variáveis: γ R Q R n n Y R p n setlmis([]) g = lmivar(1,[1 0]) Q = lmivar(1,[n,1]) Y = lmivar(2,[p,n]) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

60 Primeira LMI: [ Q x(k) 1 ] 0 lmiterm([ Q],1,1) lmiterm([ ],xk) lmiterm([ ],1) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

61 LMIs subsequentes - Para cada j = 1, 2,..., L: Q 0 0 A j Q + B j Y γi 0 S 1/2 Q γi R 1/2 Y Q 0 lmiterm([ Q],1,1) lmiterm([ Q],Aj,1) lmiterm([ Y],Bj,1) lmiterm([ g],1,1) lmiterm([ Q],Ssqrt,1) lmiterm([ g],1,1) lmiterm([ Y],Rsqrt,1) lmiterm([ Q],1,1) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

62 min γ γ,q,y F k = YQ 1 lmisys = getlmis ndecvar = decnbr(lmisys) c = zeros(ndecvar,1) c(1) = 1 [copt,xopt] = mincx(lmisys,c) Ysol = dec2mat(lmisys,xopt,y) Qsol = dec2mat(lmisys,xopt,q) Fk = Ysol*inv(Qsol) EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

63 Exemplo Arquivo Matlab: ex2.m Vide observação a seguir sobre o cálculo do custo para comparação com DLQR. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

64 Observação Seja J = x T (k)sx(k) + u T (k)ru(k) k=0 com x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) e u(k) = Fx(k). Pode-se então escrever: e J = x T (k)ψx(k) k=0 x(k + 1) = A mf x(k) sendo Ψ = S + F T RF e A mf = A + BF. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

65 J = x T (k)ψx(k) k=0 = x T (0)Ψx(0) + x T (k)ψx(k) k=1 = x T (0)Ψx(0) + x T (k + 1)Ψx(k + 1) k=0 = x T (0)Ψx(0) + x T (k)a T mf ΨA mf x(k) k=0 = x T (0)Ψx(0) + x T (0)A T mf ΨA mf x(0) + x T (k)a T mf ΨA mf x(k) k=1 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

66 Por indução, conclui-se que J = x T (0) (A T mf ) j ΨA j mf x(0) j=0 ou então: sendo J = x T (0)Ψ x(0) Ψ = (A T mf ) j ΨA j mf j=0 Como visto na Aula 10, considerando que os autovalores de A mf estejam no interior do círculo unitário, Ψ pode ser obtida como solução da seguinte equação de Lyapunov: A T mf Ψ A mf Ψ + Ψ = 0 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

67 Introdução de Restrições EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

68 Restrições sobre a entrada da planta Serão consideradas restrições simétricas da forma para cada l = 1, 2,..., p. û l (k + i k) u max,l, i 0 Considerando que û(k + i k) = F k ˆx(k + i k), com F k = YQ 1, tem-se max û l(k + i k) 2 = max ( YQ 1) i 0 i 0 l ˆx(k + i k) 2 sendo ( YQ 1) l a l-ésima linha da matriz YQ 1. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

69 Por outro lado: ( YQ 1) l ˆx(k + i k) 2 = ( YQ 1/2) Q 1/2ˆx(k + i k) l 2 Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz tem-se que ( YQ 1/2) Q 1/2ˆx(k + i k) 2 ( l YQ 1/2) l 2 Q 1/2ˆx(k + i k) 2 Analisemos o termo Q 1/2ˆx(k + i k) 2. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

70 Sabendo que ( ) V ˆx(k + i + 1 k) ( ) V ˆx(k + i k) < 0, ˆx(k + i k) 0 com V (x) = x T Px = γx T Q 1 x e γ > 0, tem-se ˆx T (k+i+1 k)q 1ˆx(k+i+1 k) < ˆx T (k+i k)q 1ˆx(k+i k), ˆx(k+i k) 0 Por outro lado, tem-se ainda que x T (k)q 1 x(k) 1. Logo: ˆx T (k + i k)q 1ˆx(k + i k) 1, i 0 ou seja, Q 1/2ˆx(k + i k) 2 1, i 0 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

71 Portanto, max i 0 ( YQ 1) l ˆx(k + i k) 2 max i 0 ( YQ 1/2) l ( YQ 1/2) l 2 = ( YQ 1 Y T ) ll 2 Q 1/2ˆx(k + i k) 2 Desse modo, é suficiente impor ( YQ 1 Y T ) ll u 2 max,l EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

72 ( YQ 1 Y T ) ll u 2 max,l Sabendo que A B A ll B ll, pode-se ver que esta restrição será satisfeita se existir X = X T tal que X ll umax,l 2, l = 1, 2,..., p, e YQ 1 Y T X Esta última desigualdade pode também ser reescrita como uma LMI: [ ] X Y Y T 0 Q que pode ser agregada às demais LMIs envolvidas no problema de otimização. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

73 A restrição X ll umax,l 2, l = 1, 2,..., p, pode ser imposta através da seguinte LMI: e1 T Xe u 0 e2 T max, Xe umax, ep T Xe p 0 0 umax,p 2 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

74 Restrições sobre a saída da planta Suponha que as variáveis de saída sujeitas a restrições estejam relacionadas com o estado através de uma equação da forma y(k) = Cx(k) sendo C R q n uma matriz conhecida. Serão consideradas restrições simétricas da forma para cada l = 1, 2,..., q. ŷ l (k + i k) y max,l, i 1 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

75 Estas restrições poderiam ser tratadas de forma similar às do controle. Contudo, vale salientar que as restrições de saída estão relacionadas com o estado ˆx(k + i k) a partir de i = 1, enquanto as restrições de controle partiam de i = 0. Com efeito, não faz sentido impor restrições de saída em i = 0, pois o estado atual x(k) é uma constante no problema de otimização. Já no caso do controle, as restrições em i = 0 condicionam o ganho F k, que será utilizado na geração de û(k k) a partir de x(k). EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

76 Note-se inicialmente que ŷ l (k + i k) 2 = C l ˆx(k + i k) 2 sendo C l a l-ésima linha da matriz C. Por outro lado, tem-se e, portanto, ˆx(k + i k) = (A + BF k )ˆx(k + i 1 k), i 1 max i 1 C l ˆx(k + i k) 2 = max i 1 C l(a + BF k )ˆx(k + i 1 k) 2 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

77 Tem-se ainda que C l (A + BF k )ˆx(k + i 1 k) 2 = C l (A + BF k )Q 1/2 Q 1/2ˆx(k + i 1 k) 2 C l (A + BF k )Q 1/2 2 Q 1/2ˆx(k + i 1 k) 2 C l (A + BF k )Q 1/2 2 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

78 Portanto, basta impor C l (A + BF k )Q 1/2 2 y 2 max,l isto é, C l (A + BYQ 1 )Q 1/2 2 y 2 max,l ou seja, C l (A + BYQ 1 )Q(A + BYQ 1 ) T C T l C l (AQ + BY )Q 1 (AQ + BY ) T C T l y 2 max,l y 2 max,l para todo (A, B) Ω. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

79 A restrição C l (AQ + BY )Q 1 (AQ + BY ) T C T l y 2 max,l, (A, B) Ω pode ser imposta acrescentando-se as seguintes LMIs ao problema de otimização: [ Q (Aj Q + B j Y ) T Cl T ] 0, j = 1, 2,..., L para cada l = 1, 2,..., q. y 2 max,l EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

80 MPC Robusto empregando LMIs Informação requerida sobre a planta: Vértices (A 1, B 1 ), (A 2, B 2 ),..., (A L, B L ) do politopo Ω Matriz C que relaciona o estado com as saídas sujeitas a restrições Limitantes (simétricos) sobre a excursão dos controles: u max R p Limitantes (simétricos) sobre a excursão das saídas: y max R q Parâmetros de projeto: Matrizes de peso S R n n e R R p p EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

81 Rotina principal: 1 Ler x(k) (estado da planta) 2 Resolver o problema de otimização min γ γ>0,q>0,y,x s.a. [ Q x(k) 1 Q 0 0 A j Q + B j Y γi 0 S 1/2 Q γi R 1/2 Y Q ] 0 0, j = 1, 2,..., L EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

82 [ ] X Y 0 Q e1 T Xe u 0 e2 T max, Xe umax, ep T Xe p 0 0 umax,p 2 [ Q (Aj Q + B j Y ) T Cl T ] 0, j = 1, 2,..., L, l = 1, 2,..., q y 2 max,l 3 Calcular o ganho F k = YQ 1 4 Atualizar o controle aplicado à planta: u(k) = F k x(k) 5 Fazer k = k Aguardar o próximo instante de amostragem e retornar ao passo 1. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

83 Implementação em Matlab Exemplo: mpc_lmi.m: S-function que implementa o controlador exemplo_mpc_lmi.m: Definição das matrizes do modelo da planta (integrador duplo) e dos pesos do MPC. sim_mpc_lmi.mdl: Diagrama de simulação. EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

84 Finalização do curso Próxima aula: Prova Duração: 150 minutos Consulta permitida a livros, anotações pessoais e material distribuído ao longo do curso. Entrega dos trabalhos: Data: 25 de junho de 2019 (3a feira da segunda semana de exames) Horário: 13:30 às 14:00 Local: Sala 2204 EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85

85 Obrigado pela atenção! EE-254 (Controle Preditivo) Aula Junho / 85