MODELAGEM E MIGRAÇÃO DE DADOS SÍSMICOS UTILIZANDO OPERADORES DIFERENCIAIS EXPLÍCITOS E IMPLÍCITOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS CURSO DE GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA GEO213 TRABALHO DE GRADUAÇÃO MODELAGEM E MIGRAÇÃO DE DADOS SÍSMICOS UTILIZANDO OPERADORES DIFERENCIAIS EXPLÍCITOS E IMPLÍCITOS NEI DAVI COSTA FIGUEIREDO SALVADOR BAHIA Julho 2009

2 Modelagem e migração de dados sísmicos utilizando operadores diferenciais explícitos e implícitos por Nei Davi Costa Figueiredo GEO213 TRABALHO DE GRADUAÇÃO Departamento de Geologia e Geofísica Aplicada do Instituto de Geociências da Universidade Federal da Bahia Comissão Examinadora Dr. Reynam da Cruz Pestana - Orientador Dra. Jacira Cirstina Batista de Freitas Dr. Raimundo Mesquita Data da aprovação: 06/07/2009

3 A Deus, minha família, amigos e aos irmãos no Senhor.

4 RESUMO Este trabalho tem o objetivo de realizar a modelagem e a migração sísmicas, utilizando a equação escalar completa da onda, em modelos simples e complexos. Como parte desse objetivo, foram utilizados operadores diferenciais explícitos e implícitos na aproximação das derivadas parciais presentes na equação da onda. Utilizamos na geração de sismogramas sintéticos e na migração de seções de afastamento nulo os métodos de diferenças-finitas de quarta ordem, pseudo-espectral, operador diferencial convolucional e implícito, para cálculo de derivadas espaciais. Em todos os resultados aqui apresentados foi usado o operador diferenças-finitas de segunda ordem na aproximação da derivada temporal presente na equação da onda. A modelagem sísmica foi realizada em um modelo simples de três camadas e em um modelo mais complexo de intrusão salina, enquanto a migração reversa no tempo de seções de afastamento nulo foi realizada em um modelo de velocidade constante com refletores inclinados e no modelo do domo SEG-EAGE. Com relação ao modelo dos refletores inclinados com velocidade constante, variamos o afastamento entre os traços visando avaliar o efeito da dispersão numérica apresentado pelos diferentes operadores diferenciais. Como resultado dos experimentos numéricos realizados foi observado que os operadores diferenciais utilizados são eficazes na representação de eventos de interesse nas seções de tiro comum e nas seções migradas. Além disso, os resultados aqui expostos demonstram que os operadores implícitos apresentam menor dispersão numérica quando comparado com o operador diferenças-finitas. iii

5 ABSTRACT In this work we carry out seismic modeling and migration using the scalar wave equation for simple and complex models. As part of our objective, we tested explicit and implicit differentiate operators to approximate the second order spatial derivatives present in the wave equation. We generated synthetic seismograms and applied zero-offset reverse time migration using the fourth-order finite-difference scheme, pseudo-spectral method, convolutional operator and implicit method to compute the spatial derivatives. For the time derivative, we used the second order finite-difference scheme for all examples shown in this work. The seismic modeling was made using a simple model with three layers and also with a complex salt intrusion model. The zero-offset reverse time migration was applied in a constant velocity model with reflectors with different dips and for the very well known SEG- EAEG salt model. The results obtained with this work show the applicability of the explicit and implicit operators for seismic modeling problem and the reverse time migration of the dip reflectors dataset shows that the numerical dispersion can be reduced with respect to schemes based on finite-differences. iv

6 ÍNDICE RESUMO iii ABSTRACT iv ÍNDICE v ÍNDICE DE FIGURAS vii INTRODUÇÃO CAPÍTULO 1 Conceitos fundamentais Processamento CMP Aquisição de dados sísmicos Noções sobre NMO, análise de velocidades e empilhamento O modelo do refletor explosivo Modelagem sísmica Modelagem de grupos de tiro e de seções de afastamento nulo Migração sísmica Métodos de migração Migração reversa no tempo - RTM CAPÍTULO 2 Equações fundamentais Equação escalar da onda Operadores diferenciais CAPÍTULO Método de diferenças-finitas Método pseudo-espectral Operador diferencial convolucional Operadores espaciais implícitos Aplicação dos operadores diferenciais para modelagem e migração de dados sintéticos Introdução Migração reversa no tempo de seções de afastamento nulo - Modelo de velocidade constante com refletores inclinados Modelagem de seções de tiro comum - Modelo de 3 camadas Modelagem de seções de tiro comum - Modelo do domo v

7 3.5 Migração reversa no tempo de seções de afastamento nulo - Modelo do domo SEG-EAGE CAPÍTULO 4 Conclusões Agradecimentos APÊNDICE A Aproximação de segunda e quarta ordens para a segunda derivada utilizando o método de diferenças-finitas Referências Bibliográficas vi

8 ÍNDICE DE FIGURAS 1.1 Geometria de aquisição para (a) fonte comum, (b) receptor comum, (c) afastamento comum e (d) ponto médio comum Representação do CMP de um par fonte-receptor Familia CMP oriunda da geometria sugerida na Figura Correção NMO usando equação 1.2. Antes (a) e depois (b) da correção (a) Família CMP cuja velocidade da hipérbole de reflexão é 4000 m/s; (b) Família CMP corrigida de NMO com velocidade adequada; (c) Sobrecorreção devido a baixa velocidade; (d) Subcorreção devido a alta velocidade (a) Geometria de afastamento nulo e (b) modelo do refletor explosivo Seção em tempo de refletor inclinado onde θ é a inclinação do refletor, A é o primeiro e B é o último indício de incidência normal Seção migrada do refletor inclinado onde θ r é a inclinação real do refletor Hiperbole de difração Colapso de difração Cubos ilustrativos da construção da seção migrada utilizando (a) extrapolação em profundidade e (b) extrapolação em tempo reverso Esquema de pontos com campo de pressão conhecido requeridos para o operadores de segunda (a) e quarta (b) ordens Curvas de dispersão no método de diferenças-finitas para diferentes valores de alfa Curvas de dispersão no método de Fourier para diferentes valores de alfa Filtro convolucional (a)filtro convolucional truncado e (b) janela de truncamento Curvas de dispersão para comparação do método implícito com outros operadores (a) Modelo dos refletores inclinados, (b) seção de afastamento nulo do modelo dos refletores inclinados, seções migradas para o modelo dos refletores inclinados com afastamento entre traços de 20 metros usando (c) operador implícito (2 1) e (d) operador implícito (3 1) vii

9 3.2 Seções migradas para o modelo dos refletores inclinados com afastamento entre traços de 20 metros usando (a) diferenças-finitas de quarta ordem, (b) operador convolucional com 7 coeficientes e (c) pseudo-espectral Seções migradas para o modelo dos refletores inclinados com afastamento entre traços de 10 metros usando (a) operador implícito (2 1), (b) operador implícito (3 1), (c) diferenças-finitas de quarta ordem e (d) operador convolucional com 7 coeficientes Seção migrada para o modelo dos refletores inclinados com afastamento entre traços de 10 metros usando operador pseudo-espectral Modelo de 3 camadas Família de tiro comum utilizando o operador implícito dos tipos (a) (2 1) e (b) (3 1) Família de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 3 coeficientes e com (b) 5 coeficientes Família de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 7 coeficientes e o (b) operador pseudo-espectral Modelo do domo Família de tiro comum utilizando o operador implícito dos tipos (a) (2 1) e (b) (3 1) Família de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 3 coeficientes e com (b) 5 coeficientes Família de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 7 coeficientes e o (b) operador pseudo-espectral Modelo do domo - SEG-EAGE Seção de afastamento nulo do domo - SEG Seção migrada utilizando operador implícito do tipo (2 1) Seção migrada utilizando operador implícito do tipo (3 1) Seção migrada utilizando operador diferenças-finitas de quarta ordem Seção migrada utilizando operador convolucional com 7 coeficientes Seção migrada utilizando operador pseudo-espectral viii

10 INTRODUÇÃO A geofísica é uma ciência que reúne conceitos empregados em Física, Matemática aplicada e Geologia. Entretanto, apesar da multi-disciplinaridade na qual se enquadra, a Geofísica é uma ciência em si mesma e é responsável pelo desenvolvimento de metodologias para investigação da subsuperfície. Com esse objetivo, diversos métodos geofísicos (Magnético, Elétrico, Eletromagnético e Sísmico) são utilizados para obtenção de informações dos alvos exploratórios através de equipamentos adequados para realização das medidas. Na sísmica de reflexão o meio físico é excitado através de fontes artificiais de energia. A energia da fonte se propagaga através do meio e, ao encontrar interfaces que separam meios com diferentes valores de impedância, parte dela é refletida e parte é transmitida. A fração refletida da energia é registrada em receptores que medem o tempo de percurso e a amplitude da energia propagante. Esse registro é representado por traços sísmicos que nada mais são do que funções temporais resultantes da convolução do pulso que deu origem à propagação com a função refletividade da Terra. Entretanto, em dados reais os traços sísmcos trazem consigo ruídos que prejudicam a visualização dos refletores nas estruturas em subsuperfície. Logo, é necessário que o dado adquirido em uma campanha de aquisição sísmica seja devidamente tratado. O resultado, de acordo com o fluxograma convencional no processamento CMP, é a seção empilhada. A seção empilhada nos permite ter noção do posicionamento dos refletores nos quais a energia da fonte foi refletida e captada pelos canais espalhados na superfície de aquisição. Através dela uma interpretação é proposta e, baseado nessa interpretação, um modelo geológico é concebido. Entretanto, na seção empilhada a posição dos refletores não é necessariamente representada como eles de fato estão em subsuperfície. Para resolver esse problema foi desenvolvido um procedimento denominado migração sísmica, que tem como objetivo principal reposicionar os refletores mediante o colapso das difrações. Agora, com uma seção mais confiável, um modelo geológico mais preciso pode ser concebido. Depois de tudo isso, convém investigar a veracidade do modelo proposto através da geração de sismogramas sintéticos. Tal processo é denominado de modelagem sísmica. A modelagem consiste na propagação direta do campo de ondas em um modelo de velocidades. Tal propagação é feita atraves de métodos numéricos e os sismogramas gerados podem ser seções de tiro comum e de afastamento comum, inclusive afastamento nulo. Um dos objetivos deste procedimento é testar algoritmos de processamento sísmico e, conforme citado acima, validar modelos em profundidade para auxiliar intérpretes de dados geofísicos 1

11 2 na exploração de óleo e gás. Tanto na modelagem quanto na migração a equação da onda é utilizada na construção dos algoritmos. Neste trabalho utilizamos operadores diferenciais explícitos e implícito para resolver a equação da onda. Para a derivada temporal presente na referida equação utilizamos a aproximação por diferenças-finitas de segunda ordem e usamos quatro operadores diferenciais distintos para aproximação das derivadas espaciais presentes na mesma equação. São eles: diferenças-finitas de quarta ordem (Alford, Kelly e Boore, 1974), pseudo-espectral (Kosloff e Baysal, 1982), convolucional com 3, 5 e 7 coeficientes (Zhou e Greenhalgh, 1992) e implícito com dois e três coeficientes (Kosloff, Pestana e Tal-Ezer, 2008; Figueiredo, Pestana e Kosloff, 2009). Testamos a validade dos operadores na geração de sismogramas sintéticos em dois modelos - o modelo de três camadas e o modelo do domo. Além disso, através da utilização dos mesmos operadores, realizamos a migração de seções de afastamento nulo referentes ao modelo de velocidade constante com refletores inclinados e modelo do domo SEG-EAGE. Convém enfatizar que nosso objetivo é demonstrar a aplicabilidade dos referidos operadores na modelagem e migração sísmicas em modelos simples e complexos.

12 CAPÍTULO 1 Conceitos fundamentais O objetivo da investigação geofísica é extrair informações da Terra através de medidas das suas propriedades físicas. Em sísmica, mediante excitação do meio físico, os tempos de percurso e a amplitude da energia sísmica propagante (onda sísmica) são registrados em canais receptores na forma de traços sísmicos. Esses traços são submetidos a um fluxograma de processamento com o objetivo de aumentar a razão sinal/ruído do dado e fornecer uma imagem da subsuperfície. Neste capítulo apresentaremos de maneira abreviada noções da técnica CMP (Common Mid Point), cujo resultado final é a seção sísmica empilhada. Discutiremos também a modelagem e a migração sísmicas para que possamos ter um entendimento adequado a respeito do propósito dessas técnicas. 1.1 Processamento CMP Aquisição de dados sísmicos Uma seção sísmica é o resultado de vários experimentos de excitação do meio a ser investigado. Esses experimentos são realizados da seguinte maneira: o meio é excitado por um pulso sísmico, gerado por um fonte de energia artificial, que se propaga como ondas através das diversas camadas rochosas da Terra. A resposta do meio à excitação criada é registrada em canais receptores espalhados ao longo da superfície de aquisição de acordo com diversos arranjos geométricos (split - spread, end - on, etc.). O sinal sísmico é registrado na superfície como uma série temporal chamada de traço sísmico. O grupo de traços gravados pelos receptores para um determinada fonte é chamado de família de tiro comum (Figura 1.1a). Após os dados serem adquiridos conforme descrito, podemos organizar os traços da forma que for mais conveniente. Por exemplo, podemos organizar os traços gravados em um grupo de receptor comum e teremos uma família de receptor comum (Figura 1.1b). Também podemos organizar todos os traços gravados com distância entre fonte e receptor fixa, a família de afastamento comum (Figura 1.1c). Finalmente, podemos ordenar os traços de acordo com o ponto médio entre fonte e receptor, e, assim, obter a família de ponto médio comum ou CMP (Figura 1.1d). 3

13 4 Superfície Superfície Refletor Refletor (a) (b) Superfície Superfície Refletor Refletor (c) (d) Figura 1.1: Geometria de aquisição para (a) fonte comum, (b) receptor comum, (c) afastamento comum e (d) ponto médio comum A geometria de aquisição mais simples seria a de afastamento nulo (fonte e receptor colocados na mesma posição), pois teríamos incidência normal nas interfaces refletoras planas e coincidência de trajetórias ascendentes e descendentes. Entretanto, esse tipo de aquisição é operacionalmente complicada. Entretanto, apesar de inviável na prática, o modelo de afastamento nulo é muito importante no processamento sísmico e dá suporte ao modelo do refletor explosivo, que será discutido adiante Noções sobre NMO, análise de velocidades e empilhamento No processamento CMP trabalha-se com os dados agrupados em famílias de ponto médio comum. Nestas famílias temos a representação do mesmo ponto em subsuperfície amostrado diversas vezes para diversos afastamentos, conforme sugere a Figura 1.1d. Considerando refletores planos, o efeito do afastamento aparece como um atraso no tempo de percurso da energia sísmica. A Figura 1.2 é excelente para entendermos o efeito do afastamento sobre o tempo de percurso, de onde podemos concluir que: SDG 2 = SG 2 + (2MD) 2 (vt (x)) 2 = x 2 + (2vT (0)) 2 T (x) 2 = T (0) 2 + ( x v )2, (1.1) onde x é a distância entre fonte e receptor, v é a velocidade do meio acima da interface refletora e T (0) é o tempo duplo ao longo da trajetória MD.

14 5 x S M G 2MD D S Figura 1.2: Representação do CMP de um par fonte-receptor A equação 1.1 descreve um hipérbole no plano x T (x). Logo, sabendo que todos os traços de uma família CMP para refletores planos contêm uma reflexão cuja origem é o mesmo ponto em profundidade (Figura 1.1d), podemos afirmar que o efeito do afastamento visto nas famílias CMP é o caráter hiperbólico das reflexões descritas pela equação (1.1). É necessário corrigir esse efeito pois o nosso objetivo é obter uma representação de uma seção em tempo para a geometria de aquisição mais simples, a geometria de afastamento nulo. Assim, a diferença entre o tempo de percurso que a energia leva para ser medida no receptor [T (x)] e o tempo duplo da incidência normal no afastamento nulo [T (0)], é chamada de NMO (Normal Move-Out). Portanto, a correção de NMO envolve cálculo dos tempos de percurso em afastamentos nulo (T (0)) e não-nulos (T (x)) nas famílias CMP. Vejamos como esse cálculo ocorre. Consideremos um dado sísmico associado à geometria sugerida na Figura 1.2, que foi gerado com afastamento entre fonte e receptores variando de 100 a 6000 metros, intervalo entre traços de 50 metros e velocidade do meio de 4000 m/s. Essa família CMP no domínio x T (x) é mostrada na Figura 1.3. Mediante análise da Figura 1.3, percebemos que o tempo duplo de incidência normal é o menor tempo na família CMP e, além disso, o valor T (x) pode ser obtido mediante leitura do gráfico plotado. Portanto, dessa maneira a velocidade pode ser calculada com o auxílio da equação (1.1). Assim, desde que a velocidade de NMO seja estimada, os tempos de percurso podem ser corrigidos para remover a influência do afastamento e horizontalizar as hipérboles (Figura 1.4).

15 6 x Offset (m) T (0) T (x) t (s) Figura 1.3: Familia CMP oriunda da geometria sugerida na Figura 1.2 Offset (m) x Offset (m) T (0) Δt nmo T (x) t (s) ( a ) t (s) ( b ) Figura 1.4: Correção NMO usando equação 1.2. Antes (a) e depois (b) da correção. A equação que descreve essa correção é: T nmo = T (x) T (0) [ ( = T (0) 1 + x v nmo T (0) ) 2 ] (1.2)

16 7 Depois de aplicada a correção NMO aos traços das famílias CMP, eles são somados para gerar um único traço empilhado que traz informações de um determinado ponto em profundidade. A amplitude do traço empilhado é dividida pelo número de traços somados, logo não há aumento de amplitude no empilhamento e há aumento na razão sinal/ruído. Seguindo o procedimento acima descrito, cada família CMP gera um único traço empilhado e quando os traços gerados pelo empilhamento de cada família CMP são colocados juntos, temos a seção empilhada. A seção empilhada representa o modelo em profundidade, entretanto possui algumas limitações na presença de estruturas geológicas mais complexas: Os mergulhos dos refletores representados na seção empilhada não são fidedignos. Antiformes aparecem muito abertas e sinformes muito estreitas. Presença de hipérboles de difração que diminuem a qualidade da imagem. A seção empilhada será tão melhor quanto forem as velocidades escolhidas para horizontalizar as hipérboles nas famílias CMP. Por exemplo, se tomarmos a família CMP da Figura 1.3 e utilizarmos na correção NMO uma velocidade menor que a velocidade do meio, a hipérbole não será horizontalizada e teremos sobrecorreção (Figura 1.5 c). Por outro lado, se utilizarmos velocidade maior que a velocidade do meio teremos subcorreção (Figura 1.5 d). Portanto, a correção NMO é aplicada a famílias CMP usando valores constantes de velocidade na equação 1.2. A velocidade que melhor se ajusta à hipérbole de reflexão é a velocidade que melhor aplica a correção NMO, sendo esta a base para a análise de velocidades convencional (Figura 1.5). Uma outra maneira de fazer análise de velocidades é através de uma seção de coerência (semblance). Para um faixa de valores dos parâmetros T (0) e v da equação (1.2) é construída uma função bidimensional, usando a fórmula de coerência semblance (equação 1.3). Na seção de coerência, localizamos os pontos de máximo local, que correspondem a eventos hiperbólicos. Os máximos locais dessa seção correspondem ao tempo de afastamento nulo, T (0), e a velocidade de NMO, vnmo. Logo, com o auxílo do semblance, podemos mapear as velocidades que melhor se ajustam às hipérboles de reflexão na seção CMP e horizontalizá-las como é devido. Quanto melhor a determinação das velocidades na análise de velocidade, melhor será a seção empilhada resultante. Além de uma análise de velocidades adequada, uma outra ferramenta para melhorar a seção empilhada é a migração sísmica que será discutida adiante. onde t(h) = t (2h/v)2. S(t 0, v) = [ h U(t(h), h)]2 n h [U(t(h), (1.3) h)]2

17 8 Offset (m) Offset (m) t (s) t (s) ( a ) ( b ) Offset (m) Offset (m) t (s) t (s) ( c ) ( d ) Figura 1.5: (a) Família CMP cuja velocidade da hipérbole de reflexão é 4000 m/s; (b) Família CMP corrigida de NMO com velocidade adequada; (c) Sobrecorreção devido a baixa velocidade; (d) Subcorreção devido a alta velocidade.

18 9 1.2 O modelo do refletor explosivo Conforme visto anteriormente, a seção sísmica é o resultado de vários experimentos físicos de campo. Entretanto, são utilizados diversos algoritmos de modelagem de seções de afastamento nulo e migração sísmica que utilizam a solução da equação da onda no processo de obtenção da imagem. Neste ponto surge um questionamento: como justificar a utilização da equação na modelagem e migração de seções de afastamento nulo se tais seções não correspondem a um fenômeno físico único de propagação? Esta resposta foi dada por Loewenthal, Lu, Robertson e Sherwood (1976) através do modelo do refletor explosivo. Sabendo que a referida seção simula o registro de acordo com a geometria de aquisição de afastamento nulo e que a energia propagante neste caso percorre caminhos iguais de ida e volta, devido à incidência normal nas interfaces refletoras (Figura 1.6 a), o modelo do refletor explosivo considera as fontes posicionadas nos refletores, onde são detonadas simultaneamente no tempo t = 0. Ou seja, no referido modelo, a seção sísmica empilhada é vista como resultado de um experimento físico único no qual a energia se propaga a partir dos refletores e é registrada na superfície como um campo de pressão P (x, z = 0, t)(figura 1.6 b). Superfície Superfície Refletor Refletor (a) (b) Figura 1.6: (a) Geometria de afastamento nulo e (b) modelo do refletor explosivo. Logo, a partir dessas informações, podemos tirar as seguintes conclusões com relação ao modelo do refletor explosivo: Para que haja coincidência de tempos de propagação com os tempos duplos nas seções sísmicas empilhadas as velocidades devem ser divididas por 2. No modelo do refletor explosivo consideram-se somente as ondas ascendentes. 1.3 Modelagem sísmica A modelagem sísmica é essencialmente uma simulação do campo de ondas sísmicas, onde são determinadas as amplitude sísmicas e o tempo de percurso. O ingrediente principal do

19 10 processo de modelagem é a extrapolação do campo de onda em um tempo t e registro da seção sísmica em z = 0 (superfície). Essa extrapolação é realizada através da equação da onda. São numerosos os objetivos da modelagem sísmica. Entre eles podemos destacar a geração de dados sintéticos para testar algoritmos e o entendimento de fenômenos estruturais ou estratigráficos de interesse em exploração. Existem diversas técnicas de modelagem sísmicas: há as que são baseadas na integral de Kirchhoff (Hilierman, 1970), diferenças-finitas (Alford, Kelly e Boore, 1974) e domínio f k (Sherwood et al., 1983). Convém enfatizar que os algoritmos baseados na equação acústica da onda são convenientes para modelagens estruturais, os algoritmos baseados na equação elástica da onda são convenientes para modelagem estratigráfica detalhada, modelagem baseada na equação uni-direcional da onda não inclui múltiplas e modelagem utilizando equação completa da onda inclui múltiplas (Yilmaz, 1987) Modelagem de grupos de tiro e de seções de afastamento nulo Na modelagem de grupos de tiro a simulação é do tipo bi-direcional, logo as famílias modeladas não contêm apenas eventos primários, mas também contêm múltiplas. Assim, podemos afirmar que famílias de tiro são campos de onda modelados. No caso de modelagem de seções de afastamento nulo o modelo do refletor explosivo é utilizado em uma propagação do tipo uni-direcional e as seções geradas podem ser utilizadas para testar algoritmos de migração pós-empilhamento. Modelando famílias de tiro podemos organizá-las em famílias CMP e, consequentemente, também podemos gerar seções empilhadas. Entretanto, há uma diferença entre a seção de afastamento nulo modelada usando o modelo do refletor explosivo e a seção gerada a partir de tiros modelados. Para o modelo do refletor explosivo a modelagem é feita mediante utilização da equação uni-direcional da onda, logo múltiplas não são representadas. No caso da modelagem de seções de tiro e posterior construção da seção empilhada, por usar a equação bi-direcional da onda, são incluídos eventos primários e múltiplas (Yilmaz, 1987).Visto que trata-se de modelagem do campo de ondas, não apenas modelagem de tempo de percurso, as famílias de tiro, as famílias CMP e a seção empilhada contêm as difrações causadas pelas descotinuidades dos refletores no modelo em profundidade. 1.4 Migração sísmica Na seção empilhada a representação dos eventos em subsuperfície parte do pressuposto de que a incidência normal resultante da geometria de afastamento nulo se dá em refletores planos e paralelos. Todavia, a Terra não é constituída apenas por camadas plano-paralelas. Pelo contrário, na etapa da exploração geofísica não são raras as vezes que nos deparamos

20 11 com fatores geológicos mais complexos, como grandes mergulhos, falhas e dobras. Portanto, na maioria das vezes, uma seção empilhada de acordo com o modelo do refletor explosivo, como uma amostragem do campo de pressão na superfície, P (x, z = 0, t), não representa fidedignamente o modelo em profundidade, P (x, z, t = 0). 0 A B x C D t Figura 1.7: Seção em tempo de refletor inclinado onde θ é a inclinação do refletor, A é o primeiro e B é o último indício de incidência normal Para facilitar o entendimento, consideremos o refletor inclinado na seção em tempo da Figura 1.7. É notório que um dos motivos pelo qual a seção empilhada não representa bem o modelo em profundidade, para o caso de refletores com mergulho, é que os segmentos AC e BD são tratados como se fossem de incidência normal. Assim, a reflexão da seção em tempo (CD) não está na sua verdadeira posição. Dessa forma, a migração sísmica tem como objetivo fazer um mapeamento do domínio x t para o domínio x z (Figura 1.8)., t Figura 1.8: Seção migrada do refletor inclinado onde θ r é a inclinação real do refletor

21 12 Atentando para o exposto na figura 1.8 e considerando um meio de velocidade constante, para que os eixos t e z sejam intercambiáveis (Yilmaz, 1987) devemos fazer as seguintes considerações: Logo, podemos afirmar que: v = v real 2 v = 1 t = z O ângulo do refletor no modelo em profundidade é maior ou igual que na seção em tempo - θ r θ. Assim, a migração torna o refletor mais íngreme. O comprimento do refletor no modelo em profundidade é menor ou igual que na seção em tempo, ou seja, a migração encurta o refletor. Além do falseamento do mergulho há outra razão para as discrepâncias na seção empilhada: o espalhamento da energia por difração. O efeito deste fenômeno na seção em tempo é muito bem ilustrado pela abordagem feita em torno do exemplo ilustrativo da Figura 1.9. Figura 1.9: Barreira portuária, adaptado de Claerbout (1985). Podemos descrever o ocorrido na Figura 1.9 da seguinte forma: uma onda plana se propaga no oceano e incide sobre uma barreira portuária com descontinuidade no ponto P ; ao atingir o ponto de descontinuidade a energia é espalhada, propagando-se em frentes de onda semi-esféricas até ser registrada na areia da praia (z = 0), onde estão posicionados receptores. Considerando que os receptores são igualmente espaçados podemos afirmar que a energia propagante será registrada primeiramente em (x 3, z 0 ) e depois em (x 2, z 0 ) e (x 1, z 0 ),

22 13 nessa ordem. E, obviamente, o registro nas coordenadas (x 2, z 0 ) e (x 4, z 0 ) ocorrerá simultaneamente, ocorrendo o mesmo com o registro em (x 1, z 0 ) e (x 5, z 0 ). Assim, se plotarmos uma seção em tempo do experimento acima descrito veremos que um ponto P em x z gera uma hipérbole em x t, sendo essa a representação do efeito de espalhamento da energia por difração (Figura 1.10). X 0 X 1 2 Z t Figura 1.10: Hiperbole de difração Uma maneira de resolver esse problema é através do somatório de hipérboles de difração via integral de Kirchhoff (Schneider, 1978). Entretanto, aqui consideraremos como resolver este problema por continuação descendente do campo de onda. Se colocarmos os canais receptores da Figura 1.9 na profundidade z 1, depois em z 2 e finalmente em z 3, estaremos aproximando a linha de canais da barreira. A consequência imediata disso é que o sinal será registrado em tempos cada vez menores e as hipérboles serão menos robustas a medida que nos aproximamos da barreira (Figura 1.11). Em outras palavras podemos dizer: usa-se a hipérbole obtida com os canais receptores colocados na praia (Figura 1.9) para construir a hipérbole que seria obtida caso os canais receptores fossem cada vez mais aproximados da fonte pontual na barreira. Esse processo termina quando a hipérbole é colapsada (Figura 1.11d). No experimento do porto (Figura 1.9) isso ocorre quando os receptores são colocados na barreira, ou, equivalentemente, quando t = 0 (condição de imagem no modelo do refletor explosivo).

23 14 0 X 0 X 0 X 0 X t t t t a b c d Figura 1.11: Colapso de difração Por fim, convém enfatizar que o experimento descrito pode ser simulado no computador. Ou seja, mover os canais receptores da praia até a barreira é como fazer o deslocamento dos canais da superfície até as interfaces refletoras, e a descontinuidade na barreira é equivalente a pontos difratores nos refletores. Assim, a continuação descendente do campo ascendente registrado na superfície pode ser considerada equivalente ao posicionamento de canais receptores no interior da Terra, em posições próximas a interfaces refletoras de interesse. Isso faz com que ocorra na simulação o colapso de difrações de acordo com o visto na Figura Métodos de migração Métodos via integral de Kirchhoff Nos primórdios da aplicação da migração sísmica eram utilizados métodos estatísticos baseados no somatório de difrações. Todavia, essa maneira de resolver o problema do espalhamento da energia trazia consigo um problema: as amplitudes eram tratadas sem a aplicação de pesos adequados. Pensando nisso, French (1974) e Schneider (1978), mediante aplicação da equação da onda, transformaram o método estatístico do somatório de difrações no método determinístico da migração via integral de Kirchhoff. A partir disso, faz-se uma integração aplicando correções de amplitude e fase ao longo da hipérbole de difração, derivadas a partir da equação da onda e não uma simples soma de amplitudes.

24 15 Métodos espectrais Nos métodos espectrais o campo de ondas é convertido mediante transformada de Fourier para o domínio frequência-número de onda f k. O desenvolvimento desses métodos teve início com Stolt (1978) e esse tipo de migração ficou conhecida como migração Stolt. É bom ressaltar que esse tipo de migração exige velocidade constante em toda a seção. Posteriormente, outros métodos mais precisos surgiram. Entre eles está o método Phase Shift, que é a migração por mudança de fase. Essa migração, ao contrário de Stolt, admite variação vertical de velocidade (Gazdag, 1978). Mas, apesar do método Phase Shift ser um avanço, ainda havia o problema da variação lateral de velocidade em modelos complexos. Assim, alguns anos depois surgiu o método Phase Shift Plus Interpolation, PSPI (Gazdag e Sguazzero, 1984) - mudança de fase e interpolação. Métodos por diferenças-finitas Os métodos que utilizam diferenças-finitas na aproximação das derivadas presentes na equação da onda tiveram início com Claerbout (1970). Tais métodos caracterizam-se por sua recursividade e por não apresentarem restrições relativas ao modelo de velocidades utilizado no processo. Entretanto, há que se ter cuidado com questões relacionadas a estabilidade e dispersão numérica nos algoritmos utilizados (Claerbout, 1970) Migração reversa no tempo - RTM A base para migração de seções empilhadas é o modelo do refletor explosivo, conforme descrito no item 1.2. De acordo com esse modelo a seção em tempo registrada na superfície é uma aproximação da seção empilhada ou de afastamento nulo que seria registrada na região. O propósito da migração, baseada no referido modelo, é recuperar as amplitudes no tempo zero, corrigindo assim a posição dos refletores. Sendo assim, podemos afirmar que a extrapolação do campo de ondas é uma etapa básica em qualquer método de migração baseado na equação da onda. De maneira geral, dois caminhos alternativos podem ser adotados para realização da referida extrapolação: (a) cálculo do campo nas diversas profundidades, obtendo assim uma seção em tempo para cada profundidade e armazenando as amostras no tempo zero de cada uma destas seções (Figura 1.12 a) ou (b) calcular o campo nos diversos intervalos de tempo, utilizando propagação no tempo, a partir do tempo final da seção empilhada, utilizada como entrada nos processos até o tempo nulo (Figura 1.12b).

25 16 t t x 0 x 0 z Seção Migrada z Seção Migrada (a) (b) Figura 1.12: Cubos ilustrativos da construção da seção migrada utilizando (a) extrapolação em profundidade e (b) extrapolação em tempo reverso. Neste trabalho escolhemos trabalhar com a propagação em tempo reverso para migração de dados sísmicos. A migração por extrapolação inversa em tempo de seções empilhadas, conhecida como migração reversa no tempo (RTM), considera a seção em tempo como condição de contorno na superfície e o campo é calculado iterativamente, do tempo final até o tempo inicial, quando os valores de amplitudes calculados representam a seção migrada. Segundo Baysal, Kosloff e Sherwood (1983) o processo inicia-se com o campo zerado para t > t f, onde t f é o tempo final na seção empilhada. E, além disso, ele afirma que, tomando a seção empilhada P (x, z = 0, t) como condição de contorno e aplicando a marcha reversa no tempo, podemos calcular os valores do campo de ondas para cada tempo até recuperarmos o modelo em profundidade no tempo nulo - P (x, z, t = 0). Ainda segundo Baysal, Kosloff e Sherwood (1983), as vantagens da RTM em relação à migração que utiliza continuação do campo em profundidade são basicamente as seguintes: possibilidade de contemplar quaisquer variações de velocidade e evitar problemas com ondas evanescentes. Utilizando a equação completa da onda pode-se realizar a migração através de operadores diferenciais que aproximem as derivadas espaciais e temporais presentes na equação. Aqui, utilizaremos a aproximação por diferenças finitas de segunda ordem para as derivadas temporais e para as derivadas espaciais utilizaremos os seguintes operadores: diferenças finitas de quarta ordem (Alford, Kelly e Boore, 1974), pseudo-espectral (Kosloff e Kessler, 1990; Kosloff e Baysal, 1982), convolucional (Zhou e Greenhalgh, 1992) e implícito (Kosloff, Pestana e Tal-Ezer, 2008; Figueiredo, Pestana e Kosloff, 2009). Todos estes operadores serão detalhados no capítulo 2.

26 CAPÍTULO 2 Equações fundamentais 2.1 Equação escalar da onda A equação escalar da onda descreve a propagação de um campo de pressão em meios acústicos. Trata-se de uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem que possui duas soluções distintas, uma para o campo descendente e outra para o campo ascendente. A equação bidimensional da onda para meios com densidade constante é: 1 2 P (x, z, t) = 2 P (x, z, t) + 2 P (x, z, t), (2.1) c(x, z) 2 t 2 x 2 z 2 onde P (x, z, t) é o campo de pressão, c(x, z) é a velocidade de propagação da onda no meio, x e z são as coordenadas espaciais e t é o tempo. A equação (2.1) têm sido muito utilizada para simulações de propagação de ondas e imageamento de estruturas em subsuperfície, sendo portanto útil na exploração de petróleo. O que ocorre é que o campo de ondas gerado na superfície por uma fonte sísmica é utilizado para obter informações das estruturas em subsuperfície em forma de energia refletida por camadas com diferentes impedâncias. O processo de obtenção da estrutura em subsuperfície através do campo registrado na superfície é chamado de migração, e a simulação da resposta sísmica à excitação do meio físico é chamada de modelagem. Tanto na modelagem quanto na migração, é necessário fazer extrapolação do campo de ondas através de métodos numéricos. Essa extrapolação pode ser feita em profundidade, calculando o campo nas diversas profundidades, e em tempo, calculando o campo nos diversos intervalos de tempo. Pode-se calcular o campo de ondas no tempo utilizando a equação completa da onda. Entretanto, para que isso seja possível, é necessário discretizar o meio físico e aproximar, mediante métodos numéricos adequados e com grau de precisão elevado, as derivadas parciais presentes na equação da onda. Dessa maneira, os algoritmos utilizados permitem extrapolação direta (modelagem) ou inversa (migração), e podem ser implementados através da utilização de algoritmos diversos, como veremos a seguir. 17

27 Operadores diferenciais Método de diferenças-finitas Na prática, cada operação diferencial presente na equação (2.1) pode ser substituída por uma aproximação em diferenças-finitas mediante truncamento da série de Taylor. Conforme demonstrado no apêndice A, os operadores de segunda ordem para o cálculo das derivadas espaciais e temporais são dados por: 2 P (x, z, t) x 2 2 P (x, z, t) z 2 2 P (x, z, t) t 2 P (x + x, z, t) 2P (x, z, t) + P (x x, z, t) ( x) 2 (2.2) P (x, z + z, t) 2P (x, z, t) + P (x, z z, t) ( z) 2 (2.3) P (x, z, t + t) 2P (x, z, t) + P (x, z, t t) ( t) 2 (2.4) Para melhorar a precisão na aproximação das derivadas, podemos aumentar a ordem do operador acima e utilizar operadores de diferenças-finitas de quarta ordem. Como visto também no apêndice A, podemos escrever os operadores de quarta ordem da seguinte forma: 2 P (x, z, t) x ( x) 2[P (x + 2 x, z, t) 16[P (x + x, z, t) + P (x x, z, t)] + 30P (x, z, t) + P (x 2 x, z, t)] (2.5) 2 P (x, z, t) z ( z) 2[P (x, z + 2 z, t) 16[P (x, z + z, t) + P (x, z z, t)] + 30P (x, z, t) + P (x, z 2 z, t)] (2.6) Solução da equação da onda utilizando operadores de diferenças-finitas Para que os operadores de diferenças-finitas acima expostos possam ser aplicados para solução da equação da onda é necessário que o meio físico seja discretizado. Essa discretização é feita mediante definição de uma malha de pontos posicionados de maneira a representar adequadamente a distribuição das propriedades físicas em subsuperfície. Ou seja, a cada ponto da malha de discretização utilizada está associado um valor de determinada propriedade física (velocidade, densidade, etc). Quanto mais refinada a malha maior a quantidade de pontos sobre o modelo, e a derivada do campo de pressão calculado para cada ponto fornecerá uma melhor representação da propagação em subsuperfície e reconstituirá de forma satisfatória as estruturas de interesse exploratório. O cálculo do campo de pressão é feito ponto a ponto na malha discreta e a medida que a ordem do operador é aumentada mais

28 19 mäx mäx Äx X Äx X Äz Äz P(m,n+2) P(m,n+1) P(m,n+1) näz P(m-1,n) P(m,n) P(m+1,n) näz P(m-2,n) P(m-1,n) P(m,n) P(m+1,n) P(m+2,n) P(m,n-1) P(m,n-1) P(m,n-2) Z (a) Z (b) Figura 2.1: Esquema de pontos com campo de pressão conhecido requeridos para o operadores de segunda (a) e quarta (b) ordens pontos com campo de pressão conhecido são requeridos para cálculo das derivadas conforme sugere a Figura 2.1. Assim, para que esse cálculo seja efetuado, as variáveis contínuas presentes na equação (2.1) devem ser substituídas por variáveis discretas de acordo com a seguinte notação: P (x, z, t) = P (m x, n z, l t) = P l m,n Substituindo as equações (2.2), (2.3) e (2.4) na equação (2.1), utilizando a notação acima, podemos obter uma aproximação de segunda ordem para a equação da onda: 1 l 1 (P (c t) 2 m,n 2P l m,n + P l+1 m,n ) = 1 ( x) (P l 2 m 1,n 2P l m,n + P l m+1,n ) + 1 ( z) (P l 2 m,n 1 2Pm,n l + Pm,n+1) l (2.7) Rearrumando os termos da equação (2.7), podemos calcular o campo em um determinado instante a partir de valores do campo em instantes anteriores (Fernandes, 1998), de acordo com a seguinte equação: onde A x = ( c t x P l+1 m,n = 2P l m,n P l 1 m,n + A x [P l m 1,n 2P l m,n + P l m+1,n] + ) 2 e A z = ( ) c t 2 z A z [P l m,n 1 2P l m,n + P l m,n+1 ] (2.8) De maneira análoga, podemos reescrever a equação da onda utilizando operadores de diferenças-finitas de quarta ordem para as derivadas espaciais e de segunda ordem para

29 20 derivadas temporais. Com esse fim, substituimos as equações (2.4), (2.5) e (2.6) na equação (2.1) e obtemos: 1 l 1 (P (c t) 2 m,n 2P l m,n + P l+1 m,n ) = 1 12( x) [P l 2 m 2,n 16(P l m 1,n + P l m+1,n ) + 30P l m,n + P l m+2,n ] 1 12( z) 2[P l m,n 2 16(P l m,n 1 + P l m,n+1) + 30P l m,n + P l m,n+2 ] (2.9) A equação (2.9) pode ser escrita explicitamente como segue (Faria, 1986): Pm,n l+1 = A x 12 [16(P m 1,n l + Pm+1,n) l (Pm 2,n l + Pm+2,n)] l + A z 12 [16(P l m,n 1 + P l m,n+1 ) (P l m,n 2 + P l m,n+2 )] + [ (A x + A z ) ] P l m,n P l 1 m,n (2.10) Portanto, assim como na equação (2.8), com a equação (2.10) podemos calcular o campo de onda em qualquer instante, conhecendo-o em instantes anteriores. É bom ressaltar que a equação (2.10) pode ser simplificada se optarmos pela definição de uma malha de discretização quadrada. Assim, para x = z = h, a equação acima pode ser reescrita da seguinte forma: P l+1 m,n = g[p l m 2,n + P l m,n 2 16(P l m 1,n + P l m,n 1 + P l m+1,n + P l m,n+1) + 60P l m,n + P l m+2,n + P l m,n+2 ] + 2P l m,n P l 1 m,n (2.11) onde: g = 1 12 ( c t h ) 2 Estabilidade do método Os operadores de diferenças-finitas, utilizados para solucionar a equação da onda, não podem ser aplicados de forma indiscriminada. Pelo contrário, há um limite de estabilidade para o processo. Alford, Kelly e Boore (1974) definiram que, para precisão de segunda ordem das derivadas espaciais e temporais, utilizando malha quadrada ( x = z = h), a condição de estabilidade é dada por: ( c t h ) 2 1 2, (2.12) Na precisão de quarta ordem para derivadas espaciais e segunda ordem para derivadas temporais, ainda para o caso de malha quadrada, a condição de estabilidade é dada por

30 21 (Alford, Kelly e Boore, 1974): ( c t h ) (2.13) Faria (1986) apresentou o desenvolvimento matemático para malhas retangulares ( x z) para precisão de segunda e quarta ordens das derivadas temporais e espaciais, respectivamente. Nesse caso, a condição de estabilidade é dada por: ( ) 2 c t + x ( ) 2 c t 3 z 4, (2.14) Baseado nas expressões (2.12), (2.13) e (2.14), podemos afirmar que a estabilidade tem relação direta com a malha de discretização utilizada no processo e com o intervalo de amostragem temporal. Assim, se para todos os casos acima considerarmos o intervalo de amostragem espacial fixo e pré-definido, podemos entender a condição de estabilidade como uma restrição à rapidez com que a simulação numérica é realizada. Segundo Fernandes (1998), o intervalo de tempo entre dois passos consecutivos deve ser tal que a frente de onda mais rápida não se propague por uma distância superior ao espaçamento de células vizinhas da malha de discretização. Logo, podemos afirmar que um esquema de diferenças-finitas é dito estável se a diferença entre as soluções teórica e numérica da equação de diferenças permanece inalterada com o incremento temporal, com t fixo, para todos os pontos da malha (Mitchell, 1969). Dispersão numérica Outro efeito que merece consideração em simulações numéricas para abordagens de problemas em sísmica de reflexão é a dispersão numérica. Uma forma de onda propagante é caracterizada por dois conceitos geométricos básicos e fundamentais: frente de onda e raio de onda (Telford, Geldart, Sheriff e Keys, 1976). No caso das ondas sísmicas a frente de onda é a linha imaginária que conecta todos os pontos que estão em fase. O conceito de frente de onda, entretanto, não nos permite concluir nada no que diz respeito à direção de propagação. Portanto, com esse fim, surgiu o conceito de raio de onda. O raio de onda é a linha imaginária perpendicular à frente de onda e que indica a direção de propagação. Nos experimentos sísmicos, o meio físico é excitado por fontes artificiais que inserem no meio um pulso energético que se propaga percorrendo a subsuperfície até ser captado em canais receptores espalhados ao longo de uma superfície de aquisição. As distâncias percorridas pela energia disparada pela referida fonte primária são muito grandes e os pontos de observação (receptores) também estão a grandes distâncias. Assim, a frente de onda, circular para meios homogêneos e isotrópicos, tende a ser plana. Baseado no conceito de onda plana podemos entender os conceitos de velocidade de fase e de grupo e, consequentemente,

31 22 estaremos aptos para avaliar o fenômeno de dispersão numérica, sendo este o nosso objetivo neste tópico. A figura a seguir é uma representação ilustrativa da propagação em meios anisotrópicos, onde os raios não são necessariamente perpendiculares às frentes de onda. Nesta figura temos a representação da frente de onda em dois instantes, t e (t + t) com as frentes de onda GG e HH, respectivamente. É bom ressaltar que representamos a propagação em meio anisotrópico para evidenciar a distinção na representação geométrica das velocidades de fase e de grupo e facilitar didaticamente a nossa explanação, pois em meios isotrópicos as velocidades em questão são iguais e tal fato dificultaria nossa análise para compreensão do fenomêno abordado. Vejamos a figura: v g Figura 2.2: Representação geométrica de velocidade de fase e de grupo. Adaptado de Fernandes (1998). Baseado na Figura 2.2, podemos escrever: OP = g(φ) t, onde g(φ) é a velocidade de transporte da energia ou velocidade de grupo. Agora, considerando a representação da frente de onda por ondas planas, podemos afirmar que: RR = v(θ) t, onde v(θ) é o vetor velocidade de fase (a onda plana mantém a mesma fase). Portanto, a partir dessa análise e com o auxílio da Figura 2.2, podemos afirmar que a velocidade de fase é menor ou igual à velocidade de grupo. As velocidades de fase e grupo são definidas como: c p = w(k) k (2.15) e c g = w(k) k, (2.16) onde c p é a velocidade de fase, c g é a velocidade de grupo, w é a frequência angular e k é o número de onda. Entretanto, como estamos representando a solução numérica da equação da onda por operadores de diferenças-finitas, as referidas velocidades passam a ser função do espaçamento

32 23 entre os pontos da malha, gerando dispersão numérica no sinal produzido. Para atestar a veracidade desta afirmação, representemos o campo de pressão presente na equação da onda por uma onda plana harmônica para o caso 1-D na forma: P l m = ei(kmdx wldt) (2.17) Utilizando essa solução na aproximação de diferenças-finitas de segunda ordem mostrada na equação (2.2), obtemos: 2 P = e iwldt eik(m+1)dx 2e ikmdx + e ik(m 1)dx x 2 dx 2 = 4 [ dx 2 ei(kmdx wldt) sin 2 kdx ] 2 (2.18) Analogamente, podemos escrever: 2 P t = 4 [ 2 dt 2 ei(kmdx wldt) sin 2 wdt ] 2 (2.19) Logo, substituindo (2.18) e (2.19) na equação da onda de segunda ordem na forma explícita para o caso 1-D, temos: w = 2 [ ] cdt kdx dt sin 1 sin dx 2 (2.20) Agora, a equação (2.15) pode ser reescrita e podemos avaliar o comportamento dispersivo das simulações numéricas através da seguinte expressão: onde α = cdt dx c p c = 2 [ αkdx sin 1 α sin kdx ] 2 (2.21) Assim, para a condição de estabilidade na aproximação de diferenças de segunda ordem (2.12) para o caso 1-D, α deve ser menor ou igual a um (Kosloff e Kessler, 1990). A razão para isso é que se α for maior que um, teremos um valor maior que a unidade no argumento do seno da equação 2.20 para o componente espacial de Nyquist (kdx = π). Então, certos de que α 1, podemos concluir que quando α = 1 não existe dispersão numérica, conforme sugere a Figura 2.3. Assim, variando os valores de α podemos estimar os valores para os quais a dispersão é mínima, ou seja c p c. Além disso, com o auxílio das curvas plotadas na Figura 2.3, pode-se notar que para kdx < π ( 0, 63) os efeitos da dispersão são suficientemente 5

33 24 pequenos. Portanto, sabendo que k = 2π, podemos determinar o número de pontos da λ malha de discretização por comprimento de onda, conforme sugere a próxima expressão: kdx = π 5 2π λ dx = π 5 λ = 10dx (2.22) Baseado nisso, podemos dizer que o comprimento de onda para o qual a dispersão numérica é considerada suficientemente pequena é o de 10 pontos da malha, quando utilizamos o operador diferenças-finitas de segunda ordem cp/c kdx alfa 0.2 alfa 0.4 alfa 0.6 alfa 0.8 alfa 1.0 Figura 2.3: Curvas de dispersão no método de diferenças-finitas para diferentes valores de alfa Método pseudo-espectral O método pseudo-espectral é um método de alta precisão que utiliza operadores diferençasfinitas de segunda ordem na aproximação das derivadas temporais e aplica a propriedade da derivada na transformada de Fourier para cálculo das derivadas espaciais (Kosloff e Kessler, 1990). Para compreensão do método, convém fazer uma breve revisão sobre a Transformada de Fourier e, em particular, a propriedade da derivada.

34 25 Transformada de Fourier A transformada de Fourier é uma ferramenta matemática que torna possível a mudança de domínio no qual uma determinada função existe. O sinal sísmico registrado nas aquisições geofísicas é uma série temporal que pode ser amostrada no domínio da frequência de acordo com a seguinte notação: S(w) = F [s(t)], (2.23) onde F é a transformada direta de Fourier, s(t) é o sinal sísmico e S(w) é o sinal no domínio transformado. As transformadas direta e inversa de Fourier, podem ser escritas, respectivamente, como: S(w) = + s(t)e iwt dt (2.24) s(t) = 1 2π onde t é o tempo e w é a frequência angular. + De maneira análoga, no domínio k x x, podemos escrever: S(w)e iwt dw (2.25) S(k x ) = + s(x)e ik xx dx (2.26) onde k x é o número de onda. s(x) = 1 2π + S(k x )e ik xx dk x (2.27) Aplicação da transformada de Fourier à solução da equação da onda Para compreender a propriedade da derivada na transformada de Fourier é necessário derivar a equação (2.27) duas vezes em relação a x, como segue: s(x) x = 1 2π 2 s(x) x 2 = 1 2π + + (ik x )S(k x )e ik xx dk x k 2 x S(k x)e ik xx dk x

35 26 Logo, temos uma relação de equivalência aqui: 2 s(x) x 2 k 2 x S(k x) (2.28) De maneira análoga, para o domínio w t, podemos escrever: 2 s(t) t 2 w 2 S(w) (2.29) Portanto, podemos afirmar que o cálculo de 2 s(x) é equivalente, no domínio transformado, a multiplicar kx 2 por S(k x). Utilizando essas relações de equivalência, x 2 podemos reescrever a equação da onda (2.1) no domínio transformado de acordo com a seguinte expressão: w2 c 2 P (k x, z, w) = k 2 xp (k x, z, w) + 2 P (k x, z, w) z 2 (2.30) Rearrumando os termos da equação (2.30), obtemos: onde 2 P (k x, z, w) z 2 + k 2 zp (k x, z, w) = 0 (2.31) k z = ± que é a relação de dispersão. w 2 c 2 k2 x, (2.32) Transformada rápida de Fourier (FFT - Fast Fourier Transform) Conforme dito anteriormente, o método de Fourier utiliza a transformada rápida de Fourier (FFT) para calcular as derivadas espaciais e a aproximação por diferenças finitas para derivadas temporais. O algoritmo de Fourier para cálculo da segunda derivada pode ser entendido de acordo com o seguinte esquema: ou seja: Pm,n l F F T ˆP kx 2 ˆP F F T 1 2 l P, x 2 m,n Primeiro passo: Aplicação da transformada direta de Fourier ao campo de pressão no domínio (x, z, t).

36 27 Segundo passo: Multiplicação do campo de pressão no domínio transformado por k 2 x. Terceiro passo: Aplicação da transformada inversa de Fourier à k 2 x ˆP e consequente obtenção da segunda derivada no domínio (x, z, t). Analogamente, para o eixo z, temos: P l m,n F F T ˆP k 2 ˆP z F F T 1 2 l P, z 2 m,n e os passos são os mesmos acima descritos. Portanto, representando a segunda derivada calculada pelo método de Fourier no eixo x por F x l m,n e no eixo z por F zl m,n, a equação explícita da onda no referido método é dada por: P l+1 m,n = 2P l m,n P l 1 m,n + c2 m,n t2 0(F x l m,n + F zl m,n ) (2.33) Dessa forma, no método de Fourier também podemos calcular o campo de pressão em qualquer instante conhecendo-o em instantes interiores. Estabilidade e dispersão numérica Para fins didáticos utilizaremos o caso 1-D nas considerações deste tópico. Tomemos a equação (2.17) e a propriedade da derivada na transformada de Fourier. O resultado é o seguinte: temos: 2 P x 2 = k2 e i(kmdx wldt) (2.34) Substituindo esse resultado e a equação (2.19) na equação da onda unidimensional, w = 2 ( ) kcdt dt sin 1 2 (2.35) Portanto, podemos reescrever (2.15) para o método de Fourier e, consequentemente, podemos avaliar o comportamento dispersivo através da seguinte relação: c p c = 2 kcdt sin 1 [ ] kcdt 2 (2.36) Segundo Kosloff e Kessler (1990) se dt for muito menor que 1 isso implicará em: sin ( ) 1 kcdt 2 kcdt. Substituindo tais considerações na relação de dispersão em (2.36) obtemos w = c. Ou seja, velocidade de fase igual à velocidade do meio. Isso implica em ausência 2 k

37 28 de dispersão numérica. Além disso, sabendo que o argumento do seno deve ser menor que 1, podemos definir o limite de estabilidade como sendo dado por: k max ( cdt 2 ) 1 Sabendo que k max é dado pelo componente de Nyquist, temos: π cdt dx 2 = π cdt 2 dx = π 2 α 1 α 2 π (2.37) Portanto, podemos avaliar o fenômeno de dispersão no método de Fourier plotando um gráfico da velocidade normalizada em função de kdx para diferentes valores de α.vejamos: cp/c kdx alfa 0.2 alfa 0.4 alfa 0.6 alfa 0.8 alfa 1.0 Figura 2.4: Curvas de dispersão no método de Fourier para diferentes valores de alfa Operador diferencial convolucional Neste tópico pretendemos discutir o operador diferencial convolucional (Zhou e Greenhalgh, 1992). Trata-se de um operador utilizado na aproximação de derivadas espaciais, com a mesma forma do operador diferenças-finitas e com os mesmos benefícios dos métodos de diferenças-finitas convencional e de Fourier. Como veremos adiante, os resultados utilizando o operador convolucional com cinco pontos são aceitáveis e ao utilizar operadores longos (7 pontos) os resultados são comparáveis ao método de Fourier.

38 29 A equação escalar da onda e o operador diferencial convolucional Representemos a segunda derivada com relação a x na equação escalar da onda (2.1) da seguinte maneira: ϕ(x, z, t) = 2 P (x, z, t) x 2 (2.38) Como nosso objetivo é calcular a segunda derivada através de um operador convolucional, podemos reescrever (2.38) como segue: ϕ(x, z, t) = d 2 (x) P (x, z, t), (2.39) onde * indica uma convolução no eixo x e d 2 (x) é o operador diferencial convolucional para a segunda derivada. Sabendo que a convolução na equação (2.39) é equivalente a uma multiplicação no domínio de Fourier e lembrando da propriedade da derivada na transformada de Fourier discutida na equação (2.28), podemos escrever d 2 (x) no domínio transformado como: ˆd 2 (k x ) = k 2 x (2.40) Para determinação de d 2 (x) e cálculo da segunda derivada, conforme sugerido pelas equações (2.38) e (2.39), foi definido que: ˆd 2 (k x ) = { k 2 x se k x k xn 0 se k x > k xn (2.41), onde k xn é o número de onda de Nyquist. Usando a transformada de Fourier para x 0, temos: d 2 (x) = 1 + ˆd 2 (k x )e ikxx dk x 2π d 2 (x) = 1 2π kxn k xn k 2 x eik xx dk x = 1 πx ([k 2xn 2x ] sin(k 2 xn x) + 2k ) xn x cos(k xnx) Logo, podemos escrever: d 2 (0) = 1 2π kxn k 2 x eik xx dk x = k3 xn k xn 3π

39 30 é: Portanto, o operador diferencial convolucional para a segunda derivada em relação a x d 2 (x) = { ([ ] 1 πx k 2 xn 2 x 2 sin(kxn x) + 2k xn cos(k x xn x) ) se x 0 k3 xn 3π se x = 0 (2.42) Raciocínio análogo pode ser aplicado ao eixo z e, baseado no que foi apresentado nas equações (2.41) e (2.42), podemos reescrever a equação escalar da onda (2.1): 1 c(x, z) 2 2 P (x, z, t) t 2 = (d 2 (x) P (x, z, t)) + (d 2 (z) P (x, z, t)), (2.43) onde * representa a operação de convolução. Discretização do operador Iniciemos nossas considerações para o operador d 2 (x). Sabendo que, no domínio discreto, x = m x, podemos escrever: k xn = π x k xn x = mπ sin(k xn x) = sin(mπ) = 0 cos(k xn x) = cos(mπ) = ( 1) m Aqui, x é o intervalo de amostragem no eixo x e m é o índice de amostragem. Substituindo essas considerações em (2.42), obtemos o operador diferencial convolucional discreto. Vejamos: d 2 (m x) = { 2 ( 1) m+1 m 2 x 3 se m 0 π2 3 x 3 se m = 0 (2.44) O operador diferencial convolucional para o eixo z é obtido de maneira análoga e pode ser escrito como: d 2 (n z) = { 2 ( 1) n+1 n 2 z 3 se n 0 π2 3 z 3 se n = 0 (2.45)

40 31 onde z é o intervalo de amostragem na direção z e n é o índice de amostragem. Segundo Zhou e Greenhalgh (1992), o operador d 2, apresentado na sua forma discreta nas equações (2.44) e (2.45), possui duas propriedades principais: O fator 1 n 2 contribui para um rápido decréscimo do operador d 2, assim é possível calcular os termos da convolução espacial usando operadores convolucionais com poucos pontos; Os coeficientes do operador são siméticos. Operador de resposta impulsiva finita (RIF) Apesar de o operador convolucional ser infinito em comprimento, sua amplitude decai rapidamente para zero à medida que se afasta da origem (Fig. 2.5). Sendo assim, podemos fazer truncamento por implementação prática de janelas de interesse no operador. Entretanto, a utilização de uma janela retangular simples no truncamento do operador maximiza o efeito Gibbs (oscilação do espectro de amplitude de um filtro nas proximadades da região de corte). Tal fato implica que as janelas de truncamento no operador devem ser definidas de maneira a fazer com que as pequenas oscilações em torno da amplitude nula (Fig. 2.5) à medida em que aumentamos o número de pontos sejam, de fato, zeradas. Dessa forma, reduziremos as implicações do efeito Gibbs. Neste trabalho utilizamos a janela, dada pela seguinte expressão (Scheuer e Oldenburg, 1988): onde k = 0, 1, 2,..., mx, ( W (k) = [2α 1 + 2(1 α) cos 2 πk 2(mx + 2) )] β 2, (2.46) mx é o comprimento do truncamento uni-lateral no número de amostragem, α e β são constantes que definem o tipo de janela utilizada - retangular (α = 1 ou β = 0), do tipo Hanning (α = 0.5, β = 6) ou do tipo Hamming (α = 0.54, β = 6). Assim, o operador convolucional para a janela w é dado por: d 2 (m x) = d 2 (m x)w (m) (2.47) O erro espectral do operador d 2 pode ser expresso como: e(k x ) = ˆd 2 (k x ) F F T [ d 2 ], (2.48) onde F F T [ d 2 ] é a transformada de Fourier do operador convolucional truncado. É bom ressaltar que o princípio para a escolha da janela de truncamento citada anteriormente é a minimização do erro na equação (2.48) e um operador modificado possui

41 32 (2mx + 1) pontos. Além disso, convém lembrar que, segundo Zhou e Greenhalgh (1992), um operador com (2mx + 1) pontos corresponde aproximadamente ao esquema diferenças-finitas de ordem (2mx). Filter : 31 points 0.5 Amplitude num of points Figura 2.5: Filtro convolucional ( a ) ( b ) Figura 2.6: (a)filtro convolucional truncado e (b) janela de truncamento

42 33 Equação escalar da onda na forma explícita Neste ponto, podemos reescrever a equação (2.43) explicitamente, utilizando operador diferenças-finitas de segunda ordem no cálculo das derivadas temporais e operador diferencial convolucional para as derivadas espaciais, de acordo com a seguinte expressão: P l+1 m,n = 2P l m,n P l 1 c 2 m,n t 2 z mz j= mz m,n + mx ( x i= mx d 2 (i x)p l m i,n + d 2 (j z)p l m,n j ), (2.49) onde mx e mz são os comprimentos uni-laterais do operador ao longo dos eixos x e z, respectivamente. como: Usando a simetria do operador convolucional d2 podemos reescrever a equação (2.49) P l+1 m,n = 2P l m,n P l 1 m,n + c 2 m,n t2 ([ x d 2 (0 x) + z d 2 (0 z)]pm,n l + mx x d 2 (i x)[pm i,n l + Pm+i,n] l + i=1 mz z j=1 d 2 (j z)[p l m,n j + P l m,n+j ]) (2.50) Tanto na modelagem quanto na migraçao utilizamos a equação (2.50). Segundo Zhou e Greenhalgh (1992), pode-se demonstrar que a condição de estabilidade da equação (2.50) é dada por: V max tk 2, (2.51) onde V max é a velocidade máxima do meio investigado e k é definido por: k = F F T [ d 2 (m x)] + F F T [ d 2 (n z)] (2.52)

43 Operadores espaciais implícitos Todos os métodos numéricos para aproximação de derivadas parciais mostrados anteriormente são explícitos. Ou seja, calcula-se o campo de pressão em determinado instante a partir dos valores do referido campo em instantes anteriores. No esquema que apresentaremos neste tópico são utilizados operadores de derivadas espaciais implícitos na aproximação das derivadas espaciais de segunda ordem. Esse esquema, proposto para solução da equação da onda, com operadores implícitos de segunda e quarta ordens, consegue reduzir significativamente o efeito de dispersão numérica nos resultados obtidos. Assim, vejamos como as aproximações são feitas. Seja uma função P (x) contínua. podemos estabelecer a seguinte notação: Admitindo-se uma discretização para essa função, x = mdx P [m] = P (x = mdx) Pode-se demonstrar que uma aproximação recursiva para a derivada segunda da função P [m] pode ser escrita como (Kosloff, Pestana e Tal-Ezer, 2008): 2 P m x 2 onde k P m = P m+k + P m k. = a 0 + a a a N N 1 + b b b M M P m, (2.53) Considerando M N, a equação (2.53) pode ser escrita como: 2 P m d 0 = (c x c N M N M β d M β M 1 1 )P m (2.54) Os coeficientes em (2.54) podem ser relacionados aos coeficientes em (2.53). A equação (2.54) é mais conveniente para efeito de cálculo, enquanto a equação (2.53) é mais adequada para determinação dos coeficientes. Os primeiros termos c c N M N M, formam um d operador explícito. Mas cada termo j 1+β j 1 resulta em um sistema tridiagonal de equações. Os coeficientes a l e b l da equação (2.53) são calculados através de ajuste no domínio espectral, de acordo com a seguinte equação: (k 2 ) L = a 0 + 2a 1 cos(k L dx) + 2a 2 cos(2k L dx) a N cos(nk L dx) + 2b 1 (k 2 ) L cos(k 1 dx) b M (k 2 ) L cos(mk L dx) + ( 1) L ɛ (2.55)

44 35 onde L = 1... N + M + 2. Os termos a 0, a 1,..., a N, b 1,..., b M são os coeficientes a serem determinados e ɛ é o erro. Os N + M + 2 componentes de número de onda k L estão dentro do intervalo 0 k L < k max < πdx, onde k max é definido pelo usuário. Esse valor é definido com o objetivo de obter o melhor compromisso entre a precisão no ajuste e o menor comprimento de onda que se pode propagar na malha com uma menor dispersão numérica. O sistema (2.55) é resolvido iterativamente e, em cada tempo, os valores de k L são selecionados nos pontos extremos da função erro (Kosloff, Pestana e Tal-Ezer, 2008). Utilizamos neste trabalho um operador de derivadas com dois termos no numerador e um termo no denominador (operador 2 1) para determinar o operador de derivada espacial de segunda ordem. A partir de (2.54), esse operador é dado por: onde A = a 1 b 1 x 2 e B = a 0b 1 a 1 1 D x = 1 a 0 + a 1 x B = A(1 + ), (2.56) dx b 1 x 1 + b 1 x Em nossa aplicação usamos os seguintes valores para os termos da equação (2.56): A x 2 = 12, 003 B = 1, b 1 = 0, O caso de três termos no numerador e um termo no denominador (operador 3 1) também resulta na resolução de um sistema de equações tridiagonal para obter as derivadas. Utilizamos na precisão até 85% do valor do número de onda de Nyquist. Neste caso, D x = 1 a 0 + a 1 x + a 2 2 x dx b 1 ( x ) B = A 1 + C x b 1 x (2.57) onde α = A x 2 = a 1 b 1 a 2, C = a 2 b 1 /α e B = a 0 α 1. Em nossa aplicação usamos os seguintes valores para os termos da equação (2.57): A x 2 = 1, 9034 B = 2, C = 0, b 1 = 0,

45 36 Para avaliar as equações (2.56) e (2.57) temos que resolver um sistema de equações. A matriz do operador 1 + b 1 x é tridiagonal. Desde que a decomposição LU deste operador é pré-calculada, o cálculo da derivada segunda é obtida de forma eficiente, fazendo com que este método também seja relativamente rápido em termos computacionais. Precisão dos operadores de derivada segunda Consideremos a aplicação do operador de derivada espacial à função f[m] = e ikmdx para diferentes valores de k, e denotemos o resultado dessa aplicação como k 2 f[m]. A velocidade de fase numérica normalizada é dada por c f = k/k. A velocidade de fase normalizada, para diferentes operadores, é plotada versus número de onda. Na Figura (2.7) (f d 4) representa o operador de diferenças-finitas de quarta ordem, enquanto (3 1) denota um operador obtido de (2.55) com N = 3 e M = 1. No caso ideal o operador deveria conseguir um valor de velocidade de fase igual a 1 até o número de onda de Nyquist, k f dx = π. cálculo do operador, o máximo valor do número de onda (k max ) foi ajustado para fornecer o máximo erro da velocidade de fase normalizada menor que 0.5%, considerando-se a faixa 0 k L k max. No Figura 2.7: Curvas de dispersão para comparação do método implícito com outros operadores

46 37 Nota-se na Figura (2.7) que a inclusão de mais um termo implícito no operador de derivada melhora de forma significativa a sua precisão. Em particular, o operador 3 1 produz uma boa resposta. Também nota-se que o operador 3 0 tem uma resposta melhor do que o operador de diferenças-finitas de quarta ordem, possuindo um número menor de coeficientes.

47 CAPÍTULO 3 Aplicação dos operadores diferenciais para modelagem e migração de dados sintéticos 3.1 Introdução Neste capítulo apresentaremos os resultados obtidos na modelagem direta de seções de tiro comum e na migração reversa no tempo de dados sísmicos sintéticos 2-D através da aplicação dos operadores descritos no capítulo anterior. Nosso objetivo aqui é examinar a aplicabilidade dos operadores de derivada segunda, visando melhorar a eficiência na modelagem e na migração reversa no tempo. Para obter os resultados gerados utilizamos a aproximação por diferenças-finitas de segunda ordem para a derivada temporal presente na equação da onda em todos os casos. A base de nossa discussão aqui é, entretanto, ressaltar a eficiência dos operadores na aproximação das derivadas espaciais presentes na equação da onda comparando seus resultados. 3.2 Migração reversa no tempo de seções de afastamento nulo - Modelo de velocidade constante com refletores inclinados Iniciaremos nossa exposição através do uso dos operadores na migração reversa no tempo em um modelo simples de refletores inclinados (Figura 3.1a). O modelo dos refletores inclinados simula diversas inclinações de um refletor em um meio com velocidade constante. Utilizamos esse modelo para mostrar que todos os operadores aqui apresentados atuam bem tanto no reposicionamento dos refletores quanto no colapso de difrações. Adicionalmente, avaliaremos como se comportam no tocante à dispersão numérica. A seção em tempo de afastamento nulo para o modelo foi gerada através do pacote de processamento sísmico gratuito denominado Seismic Unix (SU). A Figura (3.1b) mostra a seção sísmica correspondente ao modelo do refletor inclinado (Figura 3.1a). As Figuras (3.1c), (3.1d), (3.2a), (3.2b) e (3.2c) mostram as seções migradas com afastamento entre traços de 20 metros e nas Figuras (3.3a), (3.3b), (3.3c), (3.3d) e (3.4) temos as seções migradas para afastamento entre traços de 10 metros, todas referentes 38

48 39 ao modelo dos refletores inclinados. Os operadores utilizados na aproximação das derivadas espaciais para migração reversa no tempo foram: implícito (2 1) e (3 1), diferenças-finitas de quarta ordem, convolucional com 7 coeficientes e pseudo-espectral. 0.0 Distância (m) Distância (m) Profundidade (m) Tempo (s) ( a ) ( b ) 0.0 Distância (m) Distância (m) Profundidade (m) Profundidade (m) ( c ) ( d ) Figura 3.1: (a) Modelo dos refletores inclinados, (b) seção de afastamento nulo do modelo dos refletores inclinados, seções migradas para o modelo dos refletores inclinados com afastamento entre traços de 20 metros usando (c) operador implícito (2 1) e (d) operador implícito (3 1)

49 Distância (m) Profundidade (m) ( a ) 0.0 Distância (m) Distância (m) Profundidade (m) Profundidade (m) ( b ) ( c ) Figura 3.2: Seções migradas para o modelo dos refletores inclinados com afastamento entre traços de 20 metros usando (a) diferenças-finitas de quarta ordem, (b) operador convolucional com 7 coeficientes e (c) pseudoespectral

50 Distância (m) Distância (m) Profundidade (m) Profundidade (m) ( a ) ( b ) 0.0 Distância (m) Distância (m) Profundidade (m) Profundidade (m) ( c ) ( d ) Figura 3.3: Seções migradas para o modelo dos refletores inclinados com afastamento entre traços de 10 metros usando (a) operador implícito (2 1), (b) operador implícito (3 1), (c) diferenças-finitas de quarta ordem e (d) operador convolucional com 7 coeficientes

51 Distância (m) Profundidade (m) Figura 3.4: Seção migrada para o modelo dos refletores inclinados com afastamento entre traços de 10 metros usando operador pseudo-espectral Os resultados obtidos com o operador implícito do tipo (2 1) (Figura 3.1c) foi semelhante ao obtido com o diferenças-finitas de quarta ordem (Figura 3.2a). Aumentando o número de coeficientes no operador implícito para (3 1) há uma melhora significativa com relação ao efeito de dispersão numérica (Figura 3.1d). O resultado obtido com o operador implícito do tipo (3 1) é semelhante ao resultado gerado com o operador convolucional com 7 coeficientes (Figura 3.2b), que é equivalente a um esquema de diferenças-finitas de sexta ordem. Além disso, é notório que a diminuição do afastamento entre os traços (refinamento da malha de discretização) produz resultados excelentes. Conforme visto nas Figuras (3.3a) a (3.4), o operador implícito do tipo (2 1) utilizando afastamento entre traços de 10 metros apresenta melhor resultado que o diferenças-finitas de quarta ordem para o mesmo afastamento. Adicionalmente, o resultado com o operador implícito do tipo (3 1) (Figura 3.3b) foi semelhante aos gerados com o operador convolucional com 7 coeficientes (Figura 3.3d) e pseudo-espectral (Figura 3.4). Entendemos que os melhores resultados foram obtidos com o método implícito, convolucional e pseudo-espectral. Assim, utilizaremos estes operadores para a modelagem de tiros nos próximos itens e utilizaremos o operador pseudo-espectral como referência em termos de qualidade da imagem gerada. 3.3 Modelagem de seções de tiro comum - Modelo de 3 camadas Consideremos o modelo de três camadas da Figura (3.5). O modelo possui 338 pontos em x e 210 em z, com espaçamento de 40 e 20 metros em x e z, respectivamente. O campo gerado foi registrado na superfície através de receptores espalhados por todo o modelo, separados a

52 43 cada 40 metros. A fonte foi posicionada na parte central do modelo em (6, 0), coordenada em quilômetros. O intervalo de amostragem temporal utilizado no registro foi de dt = 2.0ms e foram coletadas 1000 amostras por traço. O modelo utilizado é composto por três camadas isotrópicas, cujas velocidades estão expostas na tabela (3.1) em (m/s). Utilizamos esse modelo simples (Figura 3.5) para observar o desempenho dos operadores implícito (Figura 3.6a e 3.6b), convolucional (Figura 3.7a, 3.7b e 3.8a) e pseudo-espectral (Figura 3.8b) na modelagem de seções de tiro comum. Foram gerados painéis de tiro comum utilizando 2 e 3 coeficientes no numerador do operador implícito e 3, 5 e 7 coeficientes no operador convolucional. Camada Velocidade (m/s) Tabela 3.1: Parâmetros do modelo 0.0 Distância (km) Profundidade (km) Figura 3.5: Modelo de 3 camadas

53 Distância (km) Distância (km) Tempo (s) 5.0 ( a ) 4.5 Tempo (s) 5.0 ( b ) Figura 3.6: Família de tiro comum utilizando o operador implícito dos tipos (a) (2 1) e (b) (3 1) Distância (km) Distância (km) Tempo (s) 5.0 ( a ) 4.5 Tempo (s) 5.0 ( b ) Figura 3.7: Família de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 3 coeficientes e com (b) 5 coeficientes

54 Distância (km) Distância (km) Tempo (s) 5.0 ( a ) 4.5 Tempo (s) 5.0 ( b ) Figura 3.8: Família de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 7 coeficientes e o (b) operador pseudo-espectral As figuras (3.6) a (3.8) mostram que nossa aproximação da equação completa da onda garante uma apresentação adequada dos eventos sísmicos de interesse em um sismograma. Além disso, oferece a possibilidade de comparar os operadores propostos em termos de eficiência na aproximação e dispersão numérica associada à propagação em meio discretizado. Portanto, analisando os resultados obtidos podemos perceber que o operador implícito do tipo (2 1) (Figura 3.6a) apresenta resultado parecido com o do operador convolucional com 3 coeficientes (Figura 3.7a) e inferior ao do operador convolucional com 5 coeficientes (Figura 3.7b). Aumentando o número de coeficientes do operador implícito para (3 1) (Figura 3.6b) obtemos resultado equivalente ao obtido utilizando 7 coeficientes no operador convolucional (Figura 3.8a). Tal fato sugere que um melhor ajuste dos parâmetros do operador implícito nos conduziria a resultados próximos ao obtido com o operador pseudo-espectral (Figura 3.8b). 3.4 Modelagem de seções de tiro comum - Modelo do domo Consideremos agora um modelo mais complexo, o domo da Figura (3.9). O modelo possui 338 pontos em x e 210 em z, com espaçamento de 40 e 20 metros em x e z, respectivamente. O campo gerado foi registrado na superfície através de receptores espalhados por todo o modelo, separados a cada 40 metros. A fonte foi posicionada na posição (2, 0) do modelo, coordenada em quilometros. Essa coordenada de posicionamento da fonte foi escolhida por se tratar de uma região com muitas reflexões e onde o alto contraste de velocidade devido à presença do sal não prejudica a qualidade dos sismogramas gerados. O intervalo de amostragem temporal

55 46 utilizado no registro foi de dt = 2.0ms e foram coletadas 1000 amostras por traço. Esse modelo do domo foi utilizado para demonstrar que os operadores se comportam de maneira satisfatória na modelagem de tiros em modelos complexos e com alto contraste de velocidade. Assim como no item anterior, os resultados foram obtidos com os operadores implícitos (Figura 3.10a e 3.10b), convolucional (Figura 3.11a, 3.11b e 3.12a) e pseudoespectral (Figura 3.12b) na modelagem das seções. vel (m/s) Figura 3.9: Modelo do domo

56 Distância (km) Distância (km) Tempo (s) 5.0 Tempo (s) ( a ) ( b ) Figura 3.10: Família de tiro comum utilizando o operador implícito dos tipos (a) (2 1) e (b) (3 1) 0.0 Distância (km) Distância (km) Tempo (s) 5.0 Tempo (s) ( a ) ( b ) Figura 3.11: Família de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 3 coeficientes e com (b) 5 coeficientes

57 Distância (km) Distância (km) Tempo (s) 5.0 Tempo (s) ( a ) ( b ) Figura 3.12: Família de tiro comum utilizando o operador convolucional com (a) 7 coeficientes e o (b) operador pseudo-espectral Como visto nas Figuras (3.10) a (3.12), os operadores apresentam resultados confiáveis na modelagem em meios físicos complexos. Esses resultados mostram que todos os operadores discutidos aqui são precisos para a simulação do campo de ondas em meios diversos. O operador implícito apresentou resultados aceitáveis (Figuras 3.10a e 3.10b) se comparados com o operador convolucional (Figuras 3.11a,3.11b e 3.12a) e pseudo-espectral (Figura 3.12b), demonstrando assim sua equivalência quanto ao resultado final obtido com os operadores explícitos citados. Logo, tomando como referência o operador pseudo-espectral baseado nos resultados obtidos com os outros modelos, podemos afirmar que todos os operadores apresentam resposta satisfatória. 3.5 Migração reversa no tempo de seções de afastamento nulo - Modelo do domo SEG-EAGE Nesta seção usaremos mais um modelo (domo SEG-EAGE, Figura 3.13) que representa uma situação geológica de interesse em exploração geofísica. Trata-se de um domo de sal cercado de diversas estruturas de falhas geológicas. Esse modelo de sal possui 1290 amostras em x, 300 amostras em z e dx = dz = 12, 2m. A seção em tempo de afastamento nulo (Figura 3.14) referente a este modelo possui 1290 traços, espaçamento entre traços de 12, 2m, 2504 amostras temporais e intervalo de amostragem temporal de 2ms. Nosso objetivo é avaliar o comportamento dos operadores no posicionamento correto dos eventos sísmicos na seção migrada mediante marcha reversa no tempo. Este modelo, juntamente com a seção de afastamento nulo, servirá como dado de entrada para a migração reversa.

58 49 vel (feet/s) Figura 3.13: Modelo do domo - SEG-EAGE Distância (kft) Tempo (s) Figura 3.14: Seção de afastamento nulo do domo - SEG

59 Distância (kft) Profundidade (kft) Figura 3.15: Seção migrada utilizando operador implícito do tipo (2 1) Distância (kft) Profundidade (kft) Figura 3.16: Seção migrada utilizando operador implícito do tipo (3 1)

60 Distância (kft) Profundidade (kft) Figura 3.17: Seção migrada utilizando operador diferenças-finitas de quarta ordem Distância (kft) Profundidade (kft) Figura 3.18: Seção migrada utilizando operador convolucional com 7 coeficientes

61 Distância (kft) Profundidade (kft) Figura 3.19: Seção migrada utilizando operador pseudo-espectral