Determinando os melhores códigos esféricos associados a grupos comutativos.

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1 Determinando os melhores códigos esféricos associados a grupos comutativos. Cristiano Torezzan, Rogério M. Siqueira, Sueli I. R. Costa, João E. Strapasson cristiano@ime.unicamp.br, rogerms@usp.br, sueli@ime.unicamp.br, jes@ime.unicamp.br. IMECC, UNICAMP,08-89, Campinas, SP Esc. Artes, Ciências e Humanidades, USP, São Paulo, SP Introdução Quando David Slepian publicou seu trabalho intitulado Group codes for the Gaussian Channel [8], apresentando uma teoria sobre códigos em esferas euclidianas gerados por isometrias, dois problemas fundamentais foram postos: O primeiro, refere-se a existência: Dada uma dimensão n e um número de pontos M, sob que condições existe um código de grupo com esses parâmetros? O segundo, conhecido como problema do vetor inicial, consiste em, dado um grupo de matrizes ortogonais, procurar por um vetor inicial x 0 que maximiza a distância mínima entre os elementos do código gerado por este grupo. Esse problema é particularmente importante na transmissão de sinais. Para tal propósito, é desejável que a distância mínima entre duas palavras (elementos) quaisquer do código seja a máxima possível, de maneira que a probabilidade de ocorrência de erros na transmissão seja minimizada []. A solução para o primeiro problema é abordada em []. Não obstante, a busca por códigos de grupos ótimos é ainda um desafio, sobretudo para o caso geral. Uma importante contribuição nesse sentido ocorreu em 97, quando Biglieri e Elia [] propuseram um algoritmo para resolver o pro- Trabalho financiado pela FAPESP: Bolsa de Doutorado, processo 0/80-7, Projeto Temático Códigos Geometricamente Uniformes, processo 0/077-7 e pelo CNPq: 07/00 blema do vetor inicial para códigos de grupo cíclico. Nele, os autores convertem o problema original num problema de programação linear. Porém, uma dificuldade desse método reside no fato de que, fixada a dimensão n e um número de pontos M, podem existir um número grande de grupos cíclicos de matrizes com M elementos. Isso implica que o custo computacional da procura por códigos de grupo cíclico ótimos pode tornar-se exaustivamente alto. Em [9], os autores apresentam um resultado que possibilita determinar quais as representações de um grupo cíclico geram códigos equivalentes. Isso pode ser usado para classificar e reduzir as representações que são relevantes para a busca do melhor código. Em nossa pesquisa, em fase de finalização, estendemos o método proposto por [], com base em [7], e desenvolvemos uma técnica para encontrar os melhores códigos de grupo comutativo, fixados a dimensão n e o número de pontos M. Neste trabalho apresentamos um algoritmo computacional para busca de códigos de grupo comutativo ótimos. Alguns códigos obtidos a partir do método são apresentados e exploramos também a relação desse problema com a teoria de reticulados. O problema do vetor inicial em códigos comutativos Nesta seção, esquematizamos como o método proposto em [] pode ser estendido, tornando possível resolver o problema do vetor inicial para códigos comutativos, uma classe de

2 códigos esféricos. Definição.. Um código esférico é um subconjunto finito da esfera S n = {x R n, x = } Definição.. Um código de grupo (M,n) é um conjunto X = {x i } M i= de vetores unitários, geradores de R n, que é órbita de um grupo multiplicativo de matrizes ortogonais G = {O i } M i=, aplicado a um vetor inicial x 0. Quando o grupo de matrizes é comutativo (ou cíclico) dizemos que o código é um código de grupo comutativo (ou cíclico). É fácil perceber que, mesmo fixado o grupo G, os elementos do código dependem da escolha do vetor inicial x 0 e podem ser significativamente diferentes em termos de distância mínima. Assim, uma questão fundamental é: Qual é o vetor inicial x 0 que maximiza a distância mínima entre os elementos de um código comutativo? Consideremos um grupo comutativo de matrizes ortogonais G = {O i } M i= em Rn e x = (x,x,...,x n ) S n qualquer. Como estabelecido em [], para a construção do código (M,n), podemos considerar cada G i em G na forma diagonal por blocos G i = diag([r (i),...,r q (i),µ(i) q+,...,µ(i) n q ]) onde R k (i) são rotações planas com ângulo πa ik M, µ(i) l = ± e os termos a ik determinam os geradores do grupo. Seguindo o método proposto em [], calculamos a distância mínima entre x e G i (x), obtendo d (x,g i (x)) igual a: q (x πa n q j +x j )sin i,j M + ( µ(i) j ) x j. j=q+ Se d é a distância mínima no código, temos d (x,g i (x)) (d) para todo G i tal que G i (x) x. Denotando (x j +x j ), se j =,...,q (d) y j = x j (d), se j = q +,...,n q, temos n q y j = (d). De onde concluímos que, maximizar (d) é equivalente a minimizar n q y j, sujeito à q y j sin πa n q i,j M + j=q+ y j ( µ(i) j ) Portanto, dada uma representação matricial do grupo comutativo, encontrar o melhor vetor inicial equivale a resolver um problema de programação linear (P.L.) com n variáveis e restrições. M Determinando códigos comutativos ótimos Na busca por códigos ótimos, existem dois esforços fundamentais. O primeiro, é a construção de limitantes para o número de pontos M = M(n,d) de um código. O segundo, é a construção de códigos que tenham distâncias mínimas próximas da distância limite. Em [7], Siqueira e Costa estabelecem um limitante específico para códigos de grupo comutativos. Nesta seção, discutiremos como obter códigos de grupo comutativo que sejam ótimos em termos de distância mínima. No final, comparamos os códigos obtidos com os respectivos limitantes. Da seção, sabemos como encontrar um vetor inicial que maximiza a distância mínima de um código de grupo comutativo, fixado o grupo de matrizes ortogonais. Trataremos agora de responder o seguinte problema: Fixada a dimensão n e dado um número de pontos M, como obter um código de grupo comutativo (ótimo) com M pontos que maximize a distância mínima entre seus elementos? Pode-se resolver este problema aplicando sucessivamente o P.L. obtido na seção em cada grupo comutativo de matrizes ortogonais com M pontos. Contudo, podem existir muitos grupo de matrizes com M elementos n n, o que inviabiliza algoritmos que baseiam-se na busca exaustiva por tais códigos.

3 Na inviabilidade de analisar todos os casos, algumas questões cruciais surgem naturalmente: Dentre todas as representações matriciais de um grupo com M pontos, existem algumas que geram códigos equivalentes (em termos de distância mínima)? Se existem, como identificá-las? É possível estabelecer uma classificação para as representações matriciais do grupo, de forma a considerar apenas aquelas que produzem códigos distintos? A Teoria de Reticulados tem contribuído de forma substancial para responder algumas dessas perguntas [7, ]. Em particular, a relação entre códigos comutativos e reticulados na dimensão metade, nos permitiu interpretar alguns resultados computacionais que obtivemos e fazer reduções significativas no número de casos a serem testados. Como ilustramos a seguir para n = e M = : Exemplo: A rigor, o melhor código com pontos em dimensão pode ser encontrado aplicando o método da seção para cada uma das representações distintas do grupo e verificando, dentre todas, qual possui a maior distância mínima. Isso significaria testar mais de 00 casos. Levando em conta a simetria do código, conseguimos reduzir a lista para 7. Contudo, muitos desses casos geram códigos equivalentes em termos de distância mínima. Por exemplo, o grupo cíclico gerado pelas seguintes matrizes ortogonais: e ([ G, = diag R G, = diag ([ R ( π ( π ) ( )]) π,r ),R ( )]) π As Figuras e mostram os reticulados associados à estes códigos, os respectivos vetores iniciais ótimos e a distância mínima no código. Pode-se notar que ambos reticulados são congruentes, diferindo entre si apenas por uma troca de coordenadas. Explorando as propriedades dos reticulados associados ao grupo, chegamos finalmente à uma lista de 7 casos relevantes, que devem ser analisados para determinar o ótimo. Na Figura aparece reticulado associado ao melhor código de grupo comutativo para M = pontos em dimensão n = Figura : Reticulado que representa o melhor código esférico com pontos, associado ao grupo comutativo gerado pela matriz G,. Distância mínima d = 0.889, vetor inicial x 0 = (0.008,0,0.9777,0)) Figura : Reticulado que representa o melhor código esférico com pontos, associado ao grupo comutativo gerado pela matriz G,. Distância mínima d = 0.889, vetor inicial x 0 = (0.9777,0,0.008,0)) Figura : Reticulado que representa o melhor código esférico de pontos gerado por grupos comutativos. O grupo associado a este código é gerado pela matriz G,0. Distância mínima d = 0.87, vetor inicial x 0 = (0.7079, 0, 0.7, 0))

4 . Algoritmo Dados: a dimensão n, o número de pontos M, d = 0 w = 0. Códigos Comutativos X Limitante Códigos Limitante. Determine todas as representações matriciais relevantes (G k ) de grupos comutativos com M pontos;. Para k = até k max Distância mínima. (a) Para cada (G k ), resolva o P.L. proposto na seção ; (b) Calcule a distância mínima d k associada ao grupo G k ; (c) Se d k > d, d d k e w k; (d) Atualize k;. O código ótimo é aquele associado a representação G w Nota-se que o número de operações do algoritmo depende do tamanho de k. Sendo assim, reduzir o número de representações relevantes é fundamental, uma vez que k m ax parte inicialmente dos números de Euler dos fatores de M. É nesse ponto que, atualmente, concentrase nossa pesquisa. Implementamos o algoritmo acima em MatLab e determinamos os melhores códigos de grupo comutativo para as dimensões (até 00 pontos) e (até 00 pontos). Alguns desses códigos estão descritos nas tabelas e, no final do trabalho. Na Figura apresentamos uma comparação entre o limitante superior para distâncias mínimas de [7] e a distância mínima atingida pelos melhores códigos de grupo comutativo em dimensão. A diferença entre esses valores diminui muito significativamente quando o número de pontos aumenta, sendo inferior a 0 para M = 8. Conclusões Apresentamos um método de procura de códigos de grupo comutativo que traduz o problema do vetor inicial em um problema de programação linear, estendendo os resultados contidos em []. Algumas reduções, que diminuem a complexidade do problema, também foram Número de pontos Figura : Comparação entre a distância mínima dos melhores códigos em R e o limitante de [7] apresentadas. Como aplicação das técnicas introduzidas, novos códigos de grupo comutativo ótimos em dimensão e foram obtidos. Referências [] S. Benedetto, E. Biglieri, Principles of digital Transmition, Kluwer Academic / Plenum Publishers, 000. [] E. Biglieri and M. Elia, On the Existence of Groups Codes for the Gaussian Channel, IEEE Transaction on Information Theory, vol IT-8, pp 99-0, 97. [] E. Biglieri and M. Elia, Cyclic-Group Codes for the Gaussian Channel, IEEE Transaction on Information Theory, IT-, pp 9, 97. [] I. Ingemarsson, Commutative Group codes for the Gaussian Channel, IEEE Transaction on Information Theory, vol IT-9, pp -9, 97. [] H. Loeliger, Signals Sets Matched to Groups, IEEE Transaction on Information Theory, vol 7, pp 7-8, 99. [] S. I. R. Costa, J. E. Strapasson, M. Muniz, T. B. Carlos and R. M. Siqueira, Circulant Graphs Viewed as Graphs on Flat Tori, submetido para publicação,00.

5 [7] R. M. Siqueira and S. I. R. Costa. Flat Tori, Lattices and Bounds for Commutative Group Codes. submetito para publicação, 007. [8] D. Slepian, Group codes for the Gaussian Channel, The Bell System Technical Journal, vol 7, pp. 7-0, 98. [9] S. I. R Costa, J. E Strapasson, R. M. Siqueira, e M. Muniz. Circulant graphs, lattices and spherical codes (aceito). Int. Journal of Applied Mathematics, 007. Apendice d min δ δ v v M Limitante (,7) (0,0) (,7) (0,0) (,) (0,0) (,0) (0,0) (,8) (0,0) (,) (0,0) (,0) (0,0) (,9) (0,0) (,0) (0,) (,8) (0,0) (,8) (0,0) (,) (0,0) (,) (0,0) (,0) (0,0) (,) (0,0) (,) (0,0) (,) (0,0) (,) (0,0) (7,) (0,0) (,) (0,0) (,) (0,0) (7,) (0,0) (,9) (0,0) (,) (0,0) (,) (0,0) (7,) (0,0) (,0) (0,0) (,) (0,0) (,) (0,0) (,) (0,0) (,90) (0,0) (,8) (0,00) d min δ δ δ v v v M Limitante.. (0,8,8) (0,8,0) (9,9,9) (8,0,) (0,0,0) (0,0,0) (,9,) (0,0,0) (0,0,0) (,,) (0,0,0) (0,0,0) (,,) (0,0,0) (0,0,0) (8,9,) (0,0,0) (0,0,0) (,8,7) (,,88) (0,0,0) (,,) (0,0,0) (0,0,0) (,,8) (0,0,0) (0,0,0) (0,7,8) (0,0,0) (0,0,0) (7,7,) (0,0,0) (0,0,0) (,,) (0,0,0) (0,0,0) (,7,9) (0,0,0) (0,0,0) (,,7) (0,0,0) (0,0,0) (,,7) (0,0,0) (0,0,0) (,,) (0,0,0) (0,0,0) (,,8) (0,0,0) (0,0,0) (0,,) (0,0,0) (0,0,0) Tabela : Alguns dos melhores códigos esféricos de grupo comutativo em R. Cada código está associado ao grupo comutativo gerado pelas matrizes ortogonais G v e G v. O melhor vetor inicial, em cada código, é da forma (δ, 0, δ, 0). Tabela : Alguns dos melhores códigos esféricos de grupo comutativo em R. Cada código está associado ao grupo comutativo gerado pelas matrizes ortogonais G v, G v e G v. O melhor vetor inicial, em cada código, é da forma (δ, 0, δ, 0, δ, 0)