A Matemática da Tomografia

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1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 A Matemática da Tomografia R. Cipolatti Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro IF-UFF p. 1/79

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3 p. 3/79

4 p. 4/79

5 p. 5/79

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8 O que é Tomografia? p. 8/79

9 O que é a tomografia? Tomografia = tomos + graphein, tomos = corte, talho; graphein = escrita, grafia Processo pelo qual se obtém uma representação gráfica de seções de um corpo tridimensional. ω Ω p. 9/79

10 O que é a tomografia? Qualquer técnica de geração de imagens que simule a estrutura interna de um corpo a partir de dados colhidos externamente. O problema da reconstrução do interior de um objeto através de projeções surge em várias áreas das ciências, tais como diagnósticos médicos, pesquisa geológicas, microscopia, entre outros. p. 10/79

11 Técnicas para Geração de Imagens em Medicina p. 11/79

12 Técnicas para Geração de Imagens para Medicina Radiografia; Tomografia por Transmissão CT; Tomografia por Emissão ECT (SPECT, PET); Ultra-sonografia; Electrical Impedance Tomography EIT; Ressonância Magnética MRI. p. 12/79

13 Técnicas para Geração de Imagens em Medicina Nuclear Single Photon Emission Tomography SPECT, Positron Emission Tomograpy PET; Medicina Nuclear Material radioativo é introduzido no paciente e metabolizado pelo órgão sob investigação. A radiação gama emitida é registrada por uma câmera SPECT que gira em torno do paciente. O técnica PET funciona de modo análogo, sendo o agente metabolizado um emissor de pósitrons. Principal aplicação: presença e extensão de tumores. p. 13/79

14 Tomografia por Transmissão p. 14/79

15 CT: Tomografia por Transmissão Receptores Gerador de Raios-X p. 15/79

16 p. 16/79

17 p. 17/79

18 p. 18/79

19 Um ε de história p. 19/79

20 Um ε de história Nada disso existiria se... Ondas elétromagnéticas não tivessem sido previstas por James Clark Maxwell em 1862 e observadas experimentalmente por Heinrich Hertz em 1887; Os Raios-X não tivessem sido descobertos acidentalmente por W. K. Roentgen, em Por esta descoberta, ele ganhou o Prêmio Nobel em 1901; p. 20/79

21 Um ε de história Nada disso existiria se... As primeiras técnicas de reconstrução não tivessem sido desenvolvidas por Bracewell (1956), em rádio-astronomia; Essas técnicas não tivessem sido aplicadas na microscopia eletrônica, para a reconstrução da estrutura de moléculas. p. 21/79

22 Um ε de história Uma etapa fundamental para o desenvolvimento dos processos de reconstrução de imagens foi atingida em 1963, a partir do trabalho de Allan Cormack, da Universidade de Tufts, quando desenvolveu MODELOS MATEMÁTICOS que permitiram obter imagens muito mais precisas. p. 22/79

23 Um ε de história Esses modelos foram utilizados no primeiro equipamento de tomografia por Raios-X, construído em 1972, por Hounsfield, nos laboratórios EMI, Inglaterra. Por esses desenvolvimentos, Cormack e Hounsfield receberam o Prêmio Nobel de medicina em p. 23/79

24 Interação dos Raios-X com Matéria p. 24/79

25 Tipos de interação de Raios-X com a matéria Efeito Fotoelétrico (raios-x de alta energia CT); Espalhamento de Compton (raios-x de alta energia CT); Produção de Pares (raios-x de altíssima energia ECT); Foto-desintegração (raios-x de altíssima energia ECT). p. 25/79

26 Efeito fotoelétrico radiação característica foton incidente eletrofoton p. 26/79

27 Espalhamento de Compton foton espalhado eletron foton incidente p. 27/79

28 p. 28/79

29 Modelo Matemático para CT p. 29/79

30 O Modelo Matemático para CT O fóton, considerado como partícula, pode ser caracterizado por: sua localização x = (x 1,x 2,x 3 ); sua direção de deslocamento ω = (ω 1,ω 2,ω 3 ); a energia de seu movimento. p. 30/79

31 O Modelo Matemático para CT A função ϕ(t,ω,x) denota a densidade de radiação em x, na direção ω e no instante t. A quantidade de fótons que se deslocam na direção ω e que no instante t se encontram em uma região V R 3 é dada por φ(t,ω,x)dv. V p. 31/79

32 O Modelo Matemático para CT Para estabelecer a equação que descreve a dinâmica da radiação, precisamos introduzir o conceito de Densidade de Fluxo de Radiação: J(t,ω,x) = v 0 ϕ(t,ω,x)ω. ω n v 0 p. 32/79

33 O Modelo Matemático para CT Os fótons que NÃO estão interagindo com o corpo satisfazem a equação do transporte: ϕ t (t,ω,x) + ω xϕ(t,ω,x) = 0 cuja solução explícita é: ϕ(t,ω,x) = ϕ 0 (x tω). p. 33/79

34 Onda Livre p. 34/79

42 O Modelo Matemático para CT No caso da interação com o corpo, mas desconsiderando-se o espalhamento, temos a equação do transporte com termo de absorção: ϕ t (t,ω,x)+ω xϕ(t,ω,x)+q(x)ϕ(t,ω,x) = 0, cuja solução explícita é: ϕ(t,ω,x) = ϕ 0 (x tω)e t 0 q(x sω)ds q(x) é o coeficiente total de extinção. p. 42/79

43 Onda Dissipada p. 43/79

51 O Modelo Matemático para CT No caso da interação com o corpo considerando-se o espalhamento, temos a equação linear de Boltzmann: ϕ t (t,ω,x) + ω xϕ(t,ω,x) + q(x)ϕ(t,ω,x) = f(x,ω,ω )ϕ(t,ω,x)dω S onde f(x,ω,ω) é o núcleo de colisão. p. 51/79

52 O Modelo Matemático para CT No caso da interação com o corpo considerando-se o espalhamento, a solução tem a forma: ϕ(t,ω,x) = ϕ 0 (x tω)e t 0 q(x sω)ds + R(t,ω,x) Na prática, considera-se R(t,ω,x) como ruído. p. 52/79

53 O Modelo Matemático para CT Densidade de radiação emitida de x na direção ω: I e (x) = ϕ 0 (x) Densidade de radiação detectada: Valor calculado: I d (x) = ϕ 0 (x)e q(x sω)ds ln I e(x) I d (x) = q(x sω)ds p. 53/79

54 O Modelo Matemático para CT O problema se reduz à questão de determinar q(x) a partir do conhecimento de suas integrais de linha que passam pela região Ω y ω J 2 J 1 x ω v IR N p. 54/79

55 A Transformada Raios-X p. 55/79

56 A Transformada Raio-X Problema: É possível determinar uma função q(x) com domínio em Ω a partir de suas integrais de linha? P ω [q](x) = q(x sω)ds A solução deste problema foi obtida em 1917 pelo matemático austríaco J. Radon, nos seus estudos de reconstrução de imagens para as equações do campo gravitacional. p. 56/79

57 A Transformada Raio-X em R 2 No caso bi-dimensional, x = (x 1,x 2 ), ω = (cos θ, senθ) P θ [q](x): = q(x 1 + t cos θ,x 2 + t senθ)dt Problema: É possível determinar q(x) conhecendo-se a sua Transformada Raio-X, P θ [q](x), para todo x e para todo θ? p. 57/79

58 Funções radiais: exercício No caso de funções radiais q : B R B = { (x 1,x 2 ) ; x x }. q(x 1,x 2 ) = ρ(r) = ρ( x 2 + y 2 ) Neste caso g(r) = P θ [q](r) = 2 1 r 2 0 ( ) ρ r2 + t 2 dt É fácil inverter a fórmula acima (exercício): ρ(r) = 1 [ d 1 ] sg(s) rπ dr s2 r ds, r (0, 1). 2 r p. 58/79

59 Problemas matemáticos p. 59/79

60 Problemas matemáticos Densidade de radiação emitida de x na direção ω: I e (x) = ϕ 0 (x) Densidade de radiação detectada: Valor calculado: I d (x) = ϕ 0 (x)e q(x sω)ds ln I e(x) I d (x) = q(x sω)ds p. 60/79

61 Problemas Matemáticos Neste caso, o problema se reduz à questão de determinar q(x) a partir do conhecimento de suas integrais de linha que passam pela região Ω, problema que foi resolvido por J. Radon em p. 61/79

62 Problemas Matemáticos Problema 1: É possível determinar o coeficiente q(x) sem desconsiderar os espalhamento? Problema 2: É possível determinar o coeficiente de espalhamento f(x,ω ω)? p. 62/79

63 Problemas matemáticos Q = S Ω, Σ = S Ω; Σ = { (ω,σ) Σ ; ω ν(σ) < 0 }. Σ + = { (ω,σ) Σ ; ω ν(σ) > 0 }. p. 63/79

64 Problemas matemáticos u t + ω xu + qu = K f [u] u(0,ω,x) = 0 u(t,ω,σ) = ϕ(t,ω,σ), t (0,T), (ω,σ) Σ p. 64/79

65 Problemas matemáticos u t + ω xu + qu = K f [u] u(0,ω,x) = 0 u(t,ω,σ) = ϕ(t,ω,σ), t (0,T), (ω,σ) Σ Mede-se u(t,ω,σ) sobre (ω,σ) Σ + O operador Albedo A q,f [ϕ] = u Σ + Considera-se a função A : (q,f) A q,f. p. 64/79

66 O Problema da Determinação de Parâmetros Identificação: injetividade de A; p. 65/79

67 O Problema da Determinação de Parâmetros Identificação: injetividade de A; Caracterização: Descrição da imagem de A; p. 65/79

68 O Problema da Determinação de Parâmetros Identificação: injetividade de A; Caracterização: Descrição da imagem de A; Estabilidade: continuidade de A 1 ; p. 65/79

69 O Problema da Determinação de Parâmetros Identificação: injetividade de A; Caracterização: Descrição da imagem de A; Estabilidade: continuidade de A 1 ; Reconstrução: fórmula ou processo para determinar os coeficientes a partir de A. p. 65/79

70 O Problema da Determinação de Parâmetros O Problema de Identificação: A q1,f 1 [g] = A q2,f 2 [g] q 1 = q 2,f 1 = f 2 Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96); p. 66/79

71 O Problema da Determinação de Parâmetros O Problema de Identificação: A q1,f 1 [g] = A q2,f 2 [g] q 1 = q 2,f 1 = f 2 Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96); O Problema de Estabilidade: q 1 q 2 + f 1 f 2 Ψ ( A q1,f 1 A q2,f 2 ) Mathias-Roberty-Eu, Rev. Mat. Complut. (2006); p. 66/79

72 O Problema da Determinação de Parâmetros O Problema de Identificação: A q1,f 1 [g] = A q2,f 2 [g] q 1 = q 2,f 1 = f 2 Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96); O Problema de Estabilidade: q 1 q 2 + f 1 f 2 Ψ ( A q1,f 1 A q2,f 2 ) Mathias-Roberty-Eu, Rev. Mat. Complut. (2006); Essas questões se referem a uma infinidade de medidas!!! p. 66/79

73 Número finito de medidas Problema 1: É possível determinar q(x) a partir de um número finito de integrais de linha? p. 67/79

74 Número finito de medidas Problema 1: É possível determinar q(x) a partir de um número finito de integrais de linha? Não!!! Dadas m direções ω 1,...,ω m, é possível encontrar uma função q(x) tal que P ωj [q] = 0. p. 67/79

75 Número finito de medidas Problema 1: É possível determinar q(x) a partir de um número finito de integrais de linha? Não!!! Dadas m direções ω 1,...,ω m, é possível encontrar uma função q(x) tal que P ωj [q] = 0. Problema 2: É possível determinar q(x) a partir de um número finito de integrais de linha, sabendo-se que q pertence a um espaço vetorial de dimensão finita? p. 67/79

76 Número finito de medidas Problema 1: É possível determinar q(x) a partir de um número finito de integrais de linha? Não!!! Dadas m direções ω 1,...,ω m, é possível encontrar uma função q(x) tal que P ωj [q] = 0. Problema 2: É possível determinar q(x) a partir de um número finito de integrais de linha, sabendo-se que q pertence a um espaço vetorial de dimensão finita? SIM!!! (Computational & Applied Mathematics, V. 25, 2006, ) p. 67/79

77 Problemas numéricos p. 68/79

78 Resolução numérica Ω = m j=1 Q j, θ 1,θ 2,...,θ n, p. 69/79

79 Resolução numérica Ω = m j=1 Q j, θ 1,θ 2,...,θ n, q(x) = m j=1 α jχ Qj (x), P θi [q](x) = m j=1 α jp θi [χ Qj ](x) = m j=1 a ijα j p. 69/79

80 Resolução numérica Tem-se n equações e m incógnitas; Em geral n > m (sistema sobre-determinado); p. 70/79

81 O método de Kaczmarz p. 71/79

82 O método de Kaczmarz p. 72/79

83 Exemplo: dados exatos p. 73/79

84 Exemplo: dados calculados p. 74/79

89 Referências K.K. Shung, M.B Smith, B. Tsui: Principles of Medical Imaging, Academic Press, G.T. Herman: Image Reconstruction form Projections, Academic Press, R. Cipolatti, Ivo F. Lopez: Determination of Coefficients for a dissipative wave equations via boundary measurements, J. Mathematical Analysis and Appli., R. Cipolatti, C.M. Motta, N. Roberty: Stability estimates for an inverse problem for the linear Boltzmann equation, Rev. Compl. de Matem., p. 79/79