CONCEITOS DE PRÉ-CÁLCULO II: LIMITES-INFINITO-PROBABILIDADE

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1 DURAÇÃO: 60 GRAU: 4-12 MATÉRIA: MATEMÁTICA, ÁLGEBRA, ARITMÉTICA, CIÊNCIAS, HISTÓRIA, ARTE, PINTURA CONCEITOS DE PRÉ-CÁLCULO II: LIMITES-INFINITO-PROBABILIDADE DESCRIÇÃO: O vídeo apresenta matemática e a divisão do mundo no Vale do Indo e inclui a aplicação das séries infinitas que encontramos nos Paradoxos de Zenon, a probabilidade conjunta nos eventos esportivos, a probabilidade condicionada, os efeitos da pesca excessiva e os limites e infinito no contexto da astronomia. OBJETIVO: Conhecer o uso e aplicação dos limites, o infinito e a probabilidade na vida real. Pg. 1

2 MATERIAIS: Mapa, lápis, caneta, organizador gráfico ou mapa. I. ATIVAÇÃO DE CONHECIMENTO PRÉVIO. DISCUTIR E RESPONDER AS SEGUINTES PERGUNTAS. 1. O que você sabe sobre probabilidade? 2. Como você utiliza a probabilidade em sua vida? 3. O que sabe sobre o infinito? II. VER O VÍDEO DO MINUTO 2 AO MINUTO 23 E RESPONDER AS SEGUINTES PERGUNTAS. 1. O que é probabilidade conjunta? Quando um ou mais fatores afetam um resultado individual, a probabilidade de que dois ou mais fatos ocorram por vez. 2. Como se calcula a probabilidade conjunta? É considerada a relação existente entre os fatos e se são dependentes ou independentes; aqueles nos quais o resultado de um fato não altera o resultado do outro. 3. Que indicadores são relevantes além da probabilidade para que ocorra um fato? O trabalho duro, a habilidade, a determinação e a motivação. 4. O que é chamado de condicional? Quando a probabilidade de um evento depende que outro ocorra. 5.Como a probabilidade condicional influi em nossas vidas? De várias maneiras, a probabilidade de que ocorra um fato se outro fato já ocorreu ou está por ocorrer. A probabilidade de que ocorra o segundo fato depende da probabilidade do primeiro. 6. Explicar e exemplificar matematicamente a probabilidade condicional Se A e B são fatos, a probabilidade de B dada A é igual a probabilidade de A e B sobre a probabilidade de A. 7. A que se refere o problema de Monty Hall? Explicar. Baseia-se no concurso dos anos 60, chamado Let s Make A Deal, onde mostram-se três portas fechadas. Atrás de uma porta está o prêmio maior, um carro, e atrás das outras duas tem uma cabra. O apresentador diz ao participante que escolha uma das três portas. Em seguida, abre uma das portas que o participante não escolheu e mostra uma cabra. O apresentador sempre abrirá uma porta aonde não haverá uma cabra porque sabe o que tem atrás de cada porta. Então pregunta ao participante se mantém a sua escolha original ou se deseja mudar de opinião e escolher a outra porta fechada. Fazer a alteração aumenta as possibilidades do participante de ganhar? A resposta a esta pergunta não é intuitiva. Pode parecer que o fato de mudar de porta não afete as probabilidades de ganhar. Quando o participante decide a primeira vez, a possibilidade de acertar é de uma em três, ou de um terço. Se assume que logo que o apresentador abriu uma porta com uma cabra, para o participante resta uma possibilidade em duas para acertar, sem importar qual seja sua decisão. Mas a probabilidade condicional diz que se o participante mudar o seu parecer e eleger a outra porta, as possibilidades que tem de ganhar o carro são de duas em três. Pg. 2

3 8. O que mostra o problema de Monty Hall além de um indicador matemático? Que às vezes a matemática e o pensamento lógico são mais precisos que a intuição. 9. Quem tem explorado o conceito de infinidade? Os cientistas, filósofos e matemáticos, por exemplo. 10. Por que continuamos explorando o universo? Para tentar descobrir qual é o seu alcance e onde termina. 11. Que linhas a autora Simone de Beauvoir escreveu a respeito do infinito? sou incapaz de conceber o infinito, e, ainda assim, não posso aceitar o finito 12. A que se refere o conceito de infinito? Ao conceito da extensão ilimitada de tempo, de espaço, de quantidade. 13. Qual é o símbolo de infinito? É e não tem nem princípio, nem fim. 14. Como é a Terra em relação ao finito e ao infinito? Considera-se a superfície da Terra como finita, ainda assim, não tem limites. 15.Como é usado o conceito de Limite na matemática? É usado para descrever o comportamento de uma função à medida que a variável se aproxima de algum número, ou aumenta ou diminui sem limite. 16. Quando se denomina o limite no infinito na matemática? Quando o cálculo de X se aproxima a zero. 17.Para que os limites nos ajudam? Para compreender o conceito de infinidade, mas a ideia da massa do universo ainda intriga a muitos cientistas. 18. De que tratam os paradoxos de Zenon sobre o infinito? Sobre o infinito e o contínuo. 19.Quantos paradoxos dizem que Zenon escreveu? 40 e diz-se que alguns tiveram um grande impacto no desenvolvimento da matemática. 20. O que é um paradoxo? É uma declaração aparentemente contraditória que, não obstante, pode estar certa. 21.Quais são os paradoxos mais conhecidos? Os criadas por Zenon de Eleia. 22. Quem foi Zenon? Um filósofo grego que nasceu no ano de 488 a.c. e seguidor de Parménides. 23. Quem foi Parménides? Um filósofo que acreditava que a realidade era um todo imutável e absoluto e que as ideias como o movimento e a pluralidade eram meras ilusões. 24.Quais eram os paradoxos de Zenon sobre o movimento? Aquiles e a Tartaruga, o paradoxo da dicotomia e o paradoxo da flecha. Pg. 3

4 25. Do que se trata o paradoxo de Aquiles e a Tartaruga? O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga descreve uma corrida. Como o corredor forte, o guerreiro grego, Aquiles, está confiante de que ganhará, então deixa vantagem para a tartaruga, mas a tartaruga demostra que não há maneira de que Aquiles possa ganhar a corrida. Zenon solta o seguinte argumento. Antes que Aquiles possa alcançar a tartaruga, primeiro deve correr até o ponto A, desde onde começou a tartaruga, mas a tartaruga já se moveu até o ponto B. Agora Aquiles deve correr ao ponto B, mas a tartaruga alcançou o ponto C. Aquiles está imerso em uma situação na qual se aproxima a tartaruga, mas nunca a alcança. Zenon dividiu o percurso de Aquiles em um número infinito de peças. 26.De que trata o paradoxo da dicotomia? Refere-se aos objetos que se movem. Neste caso, um carro serve como exemplo. O paradoxo estabelece que antes que um objeto em movimento possa percorrer certa distância, deve percorrer a metade dessa distância. Para percorrer a metade da distância, primeiro percorre a metade da metade, ou um quarto. E antes de percorrer esse quarto, deve viajar a metade desse quarto ou um oitavo, e assim sucessivamente. O processo de dividir nunca tem um final, porque sempre existe uma distância que se pode dividir, por menor que seja. Portanto, parece que a distância original nunca pode ser percorrida e que o movimento é impossível. 27. De que trata o paradoxo da flecha? Imagine uma flecha no ar. Em todo momento no tempo, a flecha se move em uma posição específica, imóvel. Se estiver imóvel todo o tempo que está no ar, significa que está imóvel durante o percurso completo, então o movimento é impossível. Obviamente, sabemos que o movimento é possível porque vemos como os objetos se movem de forma constante. 28. O que há de incorreto nos paradoxos de Zenon? O paradoxo da flecha é o mais simples de resolver. Podemos conceber que a flecha não se mova em cada instante, mas isto não significa que a flecha não se mova em absoluto. Em física, o conceito de movimento se define como a mudança de posição de um corpo com respeito ao tempo. Que a flecha não se mova em nenhum instante é irrelevante. O movimento requer tempo, assim que, não há movimento nos instantes sem tempo. Nas outras duas parábolas, Aquiles e a Tartaruga e a parábola da dicotomia, Zenon assegura que o espaço é infinitamente divisível. III. VER O VÍDEO DO MINUTO 22 AO MINUTO 28. USAR A INFORMAÇÃO DO VÍDEO PARA COMPLETAR A INFORMAÇÃO QUE FALTA. O (1) movimento é uma alteração na posição de um corpo com respeito ao (2) tempo Um objeto em movimento deve alcançar um número (3) infinito de pontos, nunca pode alcançar seu objetivo, mas sabemos que é possível viajar de um lugar a outro. Suponhamos que estamos de acordo em que antes de percorrer um quilômetro devemos (4) percorrer meio quilômetro, e que antes de percorrer o outro meio quilômetro devemos fazer a metade deste, que seria um (5) quarto de quilômetro; logo, um oitavo de quilômetro, um décimo sexto e assim sucessivamente. Ao percorrer um (6) número infinito de pequenas distâncias, onde cada distância é a (7) metade da distância anterior, percorremos todo o quilômetro. Pode parecer que ao agregar um número infinito de distâncias (8) positivas deveríamos obter uma distância infinita para a soma, mas, neste caso, não é assim. Esta é uma série (9) geométrica infinita cuja soma pode expressar-se como: a suma a partir de n igual a um, a infinidade de um meio a (10) potência de n. Podemos provar que esta série infinita é igual a um com somente observando uma serie geométrica (11) finita. Pg. 4

5 IV. VER O VÍDEO DO MINUTO 28 AO MINUTO 30 E DECIDIR SE OS SEGUINTES ENUNCIADOS SÃO VERDADEIROS OU FALSOS (F). (F) (F) (F) 1. Na Época Obscura da Europa, os matemáticos do mundo indiano e árabe cultivaram seu conhecimento. 2. Os matemáticos do mundo indiano e árabe estabeleceram as bases das práticas matemáticas atuais. 3. As civilizações antigas do rio do Vale Indo e o subcontinente indiano foram de grande influência para o mundo moderno. 4 As cidades de Harappa e Mohenjodaro formaram-se há 500 anos. 5. Europa é a grande responsável pelas conquistas na arte, na ciência e na matemática. 6. Acredita-se que o sistema numérico atual originou-se em Harappa e Mohenjodaro. 7. Os gregos desenvolveram a geometria. 8. Os espanhóis desenvolveram a álgebra. 9. A trigonometria e o sistema decimal foram considerados as primeiras raízes da matemática moderna. 10. Os conceitos do sistema decimal, a observação do valor posicional e o zero se foram originados na Índia. V. VER O VÍDEO DO MINUTO 29 AO MINUTO 31 E RELACIONAR AS SEGUINTES COLUNAS. ESCREVER O NÚMERO DA ORAÇÃO QUE CORRESPONDA PARA COMPLETAR A IDEIA CORRETAMENTE. (C) 1. As civilizações antigas eram A. Tecnologia para o aquecimento dos tijolos de barro. (H) 2. Os eruditos do Vale Indo B. Textos indianos antigos. (E) 3. Hoje Harappa esta no C. Competentes em matemática. (A) 4. Em Harappa foi desenvolvida a D. Graduava o peso cúbico (J) 5. A contribuição mais relevante de Harappa foi E. Paquistão. o descobrimento do (D) 6. O sistema de pesos e medidas F. Religião. (I ) 7. O período Védico começou em G.Teste de matemática. (B) 8. Os Vedas são H. Desenvolveram a álgebra. (G) 9. Com os Vedas chegou a primeira I a.c. (F) 10. Os Vedas aplicaram matemática à J. Sistema uniforme de pesos e medidas. Pg. 5

6 VI. VER O VÍDEO DO MINUTO 31 AO MINUTO 41 USAR A TABELA DE LETRAS E AS CHAVES PARA COMPLETAR AS PALAVRAS. ENCONTRAR AS COORDENADAS QUE FALTAM PARA CADA LETRA DAS PALAVRAS E ESCREVE-LAS EM PARÊNTESES ABAIXO DE CADA LETRA. SEGUIR O EXEMPLO. Um felino: G A T O (3,5) (1,5) (3,4) (2,1) 5 A L G V D 4 K N T P H 3 Q C B Ñ S 2 F U J Y Z 1 I O R E M Os dez símbolos que usamos evoluíram de uma série indiana conhecida como números B R A H M I (3,3) (1,5) (5,4) (1,1) 2. O conceito de foi ignorado pelas culturas mais antigas Z E R O (5,2) (3,1) 3. O zero possui natureza... A B S T R A T A (1,5) (3,3) (3,1) (1,5) (1,5) 4. O zero é importante no sistema de posicional V A L O R (4,5) (2,5) (3,1) 5. Brahmagupta foi um dos matemáticos mais reconhecidos da Í N D I A (1,1) (5,5) (1,5) 6. Brahmagupta escreveu dois tratados que faziam um forte uso da matemática C I E N T Í F I C O S (2,3) (2,4) (3,4) (1,2) (2,3) (5,3) Pg. 6

7 7. Brahmagupta definiu o zero como o resultado de outro número de si mesmo S U B T R A I R (5,3) (3,4) (1,5) (3,1) 8. Quando o zero é somado ou sobra de outro número, esse número permanece I G U A L (1,1) (2,2) (2,5) 9. Brahmagupta também compreendeu a dos números negativos P R O P R I E D A D E (4,4) (4,4) (5,5) (1,5) (5,5) 10. Fortuna e... são termos a que se referem os números positivos e negativos. D Í V I D A (5,5) (5,5) (1,5) 11. Zero... zero é zero. M E N O S (5,1) (2,4) (2,1) 12. O produto de zero por zero é zero. M U L T I P L I C A D O (5,1) (2,5) (3,4) (1,1) (2,3) (5,5) 13. O produto ou... de duas fortunas é um. C O C I E N T E (2,3) (2,3) (1,1) (3,4) 14. O produto ou cociente de uma e uma divida é uma dívida. F O R T U N A (1,2) (3,1) (3,4) (1,5) 15. As vantagens de um sistema decimal posicional são vistas na eficácia das operações A R I T M É T I C A S (1,5) (3,1) (5,1) (1,1) (2,3) (5,3) Pg. 7

8 16. O... começou a ver a matemática como uma disciplina abstrata que trabalhava com cifras numéricas importantes e a conceituar a noção de infinito. J A I N I S M O (3,2) (1,1) (2,4) (5,3) (2,1) 17. Um é um número inteiro que pode definir-se ou calcular-se. N U M E R A L (2,4) (5,1) (1,5) 18. Um número... é um número inteiro que existe mas que é difícil de calcular ou contar. I M E N S U R Á V E L (1,1) (2,4) (3,1) (1,5) (3,3) (2,5) 19. Um número infinito é uma quantidade que é imensurável ou I L I M I T A D A (1,1) (2,5) (5,1) (1,5) (5,5) 20. Os janistas também criaram e séries de números. S E Q U E N C I A S (5,3) (2,2) (4,1) (1,1) (1,5) 21. Os janistas também compreendiam bem a lei de índices e raízes Q U A D R A D A S (2,2) (1,5) (5,5) (5,5) (1,5) 22. Os janistas demostraram grande habilidade ao calcular e combinações. P E R M U T A Ç O E S (4,4) (5,1) (2,2) (1,5) (4,1) VII. VER O VÍDEO DO MINUTO 40 AO MINUTO 51 E COMPLETAR AS SEGUINTES IDEIAS. A. A (1) permutação seria a ordem de um determinado número de (2) elementos de uma série dada. B. Se define uma (3) combinação como um ou mais elementos selecionados de uma (4) série sem ter em conta a ordem de seleção. Pg. 8

9 C. Um janista chamado (5) Mahavira levantou o problema para encontrar o número total de combinações dos diferentes (6) gostos que existem, nomeando seis gostos individuais: (7) adstringente, amargo, azedo, acre, salgado e (8) doce. O que Mahavira fez foi (9) agregar todas as combinações diferentes, de seis objetos, para encontrar o (10) número total de combinações. D. Mahavira não revela como chegou a estas (11) fórmulas, mas as fórmulas que ele inventou são as que usamos atualmente, para resolver os problemas de (12) probabilidade. E. As civilizações da (13) Índia foram as primeiras a aplicar a matemática e a (14) ciência em sua prática religiosa. Uma citação de Lilavati, escrita por Bhaskara, levantou um problema que nos faz pensar: quantas (15) variações da forma dos deuses Sambhu podem ser feitas ao alterar os dez (16) atributos que detém de uma só vez, com cada uma de suas mãos? A corda, o gancho de elefante, a (17) serpente, o tambor, o crânio, o tridente, a cama, o punhal, a flecha e o (18) arco. A resposta é dez P dez, ou o fatorial de dez, que é igual a F. Ramanujan foi capaz de desenvolver(19) teorias matemáticas surpreendentes, trabalhando com funções (20) elípticas, frações contínuas e séries infinitas. G. No presente, a (21) Índia é um referente mundial na informática, na (22) engenharia e na gestão de dados. Pg. 9

10 VIII. CAÇA PALAVRAS. VER O VÍDEO E ENCONTRAR AS SEGUINTES PALAVRAS. MATEMÁTICA INFINITO PROBLEMA PERMUTAÇÃO LIMITES JANISTA COMBINAÇÃO CIÊNCIA ÍNDICES NÚMERO PROBABILIDADE RAIZ ADSTRINGENTE TEORIA ZERO FÓRMULAS ELÍPTICAS DÍVIDA INFORMÁTICA SÉRIE SUBTRAIR ENGENHARIA ENCERRAMENTO GOSTOS ELEMENTOS FRAÇÃO ERUDITO SEQUÊNCIAS CALCULAR ÁLGEBRA NUMERÁVEL ILIMITADA GEOMETRIA ARITMÉTICA FORTUNA POTÊNCIA PROPRIEDADE MULTIPLICAR PARADOXO P E R M U T A Ç A O N L U C I A R I T M E T I C A R S R U O S H C I S D I V I D A N U O A O S J P D O R E Z I A M O Q A P C T A E E L I P T I C A S S B I C A N L C M N L I E Z I L U B P N E R L N N T A L G E B R A B U U Y I C I E N C I A M A O I R R B Q O R I U M I H M A O U L M D T O N A L L S A I I E S I N T B N T R T P O T E N C I A T U P T N N L I T T F R O A D O R A D O N G H U L I C O A N G I R O E O J V Ç N F L R M S T I P A F C L T E R E D T S E R I E A F M R A U T O N R N M A A E X E N A S I T M F S O R T I D S O S E Q U E N C I A S T D V E D A S N U M E R O C A R P I M B H O P A P E E I C E T F T S S I N X L I M I T E S D M R I J O M U L T I P L I C A R O S U B T R A I R T O R S T E O T O C E T E H L U I L I M I T A D A E B T B I L C F R A Ç A O M N E S A I P A T B N T O L E V N N U M E R A V E L R Y D S H U E P L H V R E M P I O C I N D I C E S O U O T I D U R E Z D I M O E F E N C E R R A M E N T O I P F O R T U N A A E N N P R O P R I E D A D E E N G E N H A R I A S G N I IX. CONEXÕES CURRICULARES. ARITMÉTICA / MATEMÁTICA / HISTÓRIA: Em equipes de 3 ou 4 alunos, estudar o sistema de multiplicação dos Vedas, aplicar e explicar dando exemplos. Ver o vídeo do minuto 37 ao 38. R. Para multiplicar 81 e 95, usando o sistema de encerramento, começamos determinando o número de base ou a potência mais próxima de dez, de ambos os números, que neste caso é 100. Logo, criam-se duas colunas. A da esquerda, escrevemos os números que multiplicamos, 81 e 95. Pg. 10

11 A da direita, subtraímos cada número da base e obtemos dezenove e cinco. Esses números são denominados deficientes. O próximo a ser feito é a subtração em cruz. Subtraímos cinco de 81 ou 19 de 95. Em ambos os casos a diferença é de 76. Agora, multiplicamos os dois deficientes, dezenove e cinco, e obtemos 95. Por último, fusionamos 76 e 95 e nos dá como resultado 7.695, o produto de 81 e 95. A multiplicação veda usa a adição em cruz quando os dois números são maiores ao número de base mais próximo. Por exemplo, multiplicamos e Neste caso, a potência mais próxima de dez é Fazemos duas colunas, localizando os dois números a multiplicar a esquerda. A direita, subtraímos o número de base de cada um dos números, e obtemos 31 e quatro. Estes números são chamados de excedentes. Logo, fazemos a adição em cruz e obtemos 1,035. Multiplicamos os excedentes para chegar a 124. Por último, fusionamos ambos números e obtemos , o produto de e X. GLOSSÁRIO. ÁLGEBRA: Parte da matemática na qual as operações aritméticas são generalizadas utilizando números, letras e signos. Cada letra ou signo representa simbolicamente um número e outra entidade matemática. Quando algum dos signos representam um valor desconhecido é chamado de incógnita. ARITMÉTICA: Parte da matemática que estuda os números as operações feitas com eles. ZERO: Signo sem valor próprio, que na numeração arábica serve para ocupar os lugares onde não haja cifra significativa. Colocado a direita de um número inteiro, aumenta em dez vezes seu valor; mas à esquerda, em nada o modifica. ELÍPTICA: Pertencente ou relativo à elipses. FÓRMULA: Equação regra que relaciona objetos matemáticos ou quantidades. GEOMETRIA: Estudo das propriedades e das medidas das figuras no plano ou no espaço. INFINITO: Que não tem, nem pode ter termino/fim. MULTIPLICAR: Achar o produto de dois fatores, tomando um deles, chamado multiplicando, tantas vezes por somado como unidades contem o outro, chamado multiplicador. Realizar esta operação com expressões algébricas. NÚMERO: Expressão de uma quantidade com relação a sua unidade. PARADOXO: Figura de pensamento que consiste em utilizar expressões ou frases que envolvem contradição. PERMUTAÇÃO: Pg. 11

12 Cada uma das ordenações possíveis dos elementos de um conjunto finito. POTÊNCIA: Produto que resulta de multiplicar uma quantidade ou expressão por se mesma uma ou mais vezes. PROBABILIDADE: Em um processo aleatório, razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. SEQUÊNCIAS: Conjunto de quantidades ou operações ordenadas de tal modo que cada uma está determinada pelas anteriores. SÉRIE: Expressão da soma dos infinitos términos de uma sucessão. Pg. 12