Uma formulação de Petrov-Galerkin aplicada à simulação de secagem de grãos

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1 ERMAC 2010: I ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL de Novembro de 2010, São João del-rei, MG; pg Uma formulação de Petrov-Galerkin aplicada à simulação de secagem de grãos Tatiane Reis do Amaral Departamento de Matemática, IFNMG tatiane.reis@ifnmg.edu.br, , Januária, MG João Francisco A. Vitor Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional, CEFET-MG, , Belo Horizonte, MG tatiane@dppg.cefetmg.br, oaofrancisco@dppg.cefetmg.br José Leôncio F. Souza Departamento de Engenharia Mecânica, Faculdade Pitagoras , Belo Horizonte, MG leonciofs@gmail.com Resumo: O processo de Secagem articial de grãos permite baixar rapidamente o teor de umidade dos produtos agrícolas, facilitando o processo de armazenamento e conservação. Neste trabalho simulou-se a secagem de grãos em um secador cilíndrico com uxos radial e axial de ar com leito estacionário. Foram resolvidas equações teor de umidade do leito, temperatura do leito de grãos, umidade absoluta do ar e temperatura do Ar. Trata-se de um problema puramente convectivo e sua resolução é obtida neste trabalho através de técnicas numéricas. Utilizou-se o Método dos Elementos Finitos (MEF), empregado de duas formas, a formulação de Galerkin e o método 'Streamline Upwind Petrov-Galerkin' (SUPG).A técnica do passo de tempo adaptativo mostrou-se importante na busca de uma resolução mais eciente de problemas em que as soluções tendem a estabilidade. A implementação de um integrador temporal em que ocorre o auste, a cada iteração, do tamanho do passo torna o método numérico utilizado na solução da equação diferencial computacionalmente vantaoso. Neste trabalho apresentam-se os recentes avanços e vantagens do uso do controle adaptativo do passo de tempo apresentados na literatura, aplicados em problemas modelados por equações diferenciais parciais resolvidas através do Método dos Elementos Finitos, aliada a formulação SUPG. Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos, Petrov-Galerkin, Secagem 1 Introdução A formulação de Petrov-Galerkin é empregada na resolução do modelo de [2]. Este modelo descreve o processo de secagem de grãos em um secador de uxo radial axial de ar. A partir das equações de continuidade e energia do ar úmido e do leito de grãos, são desenvolvidas equações acopladas. As equações de Umidade Absoluta do Ar e da Temperatura do Leito são resolvidas através do método dos elementos nitos e as equações do teor de umidade o leito e temperatura do leito pelo método de diferenças nitas. O modelo de [2] utiliza o método dos elementos nitos com a formulação de Galerkin com passo de tempo constante para as equações resolvidas pelo MEF. Em problemas onde a con- Apoio:FAPEMIG

2 vecção é predominante a formulação de Galerkin clássica do método de Elementos Finitos pode apresentar oscilações espurias contornadas através da escolha apropriada da malha espacial e temporal. Neste trabalho as equações são resolvidas pelo (MEF) utilizando a formulação de Petrov- Galerkin, devido ao modelo tratado ser puramente convectivo, com o obetivo de comparar com solução obtida por [2]. O número adimensional de Peclet P e [0, ] é então empregado para determinação das contribuições dos termos convectivos e termos difusivos para equação diferencial parcial convectivadifusiva [6]. P e = Uh/2k (1) Nos casos em que P e 1 indica que a contribuição do termo difusivo é predominante na resolução, quando P e é maior que esse limite signica que a contribuição maior é do termo convectivo [3]. Quando isso ocorre a formulação de Galerkin pode apresentar distorções e oscilações na resolução. A formulação de Petrov-Galerkin sugere uma nova função de ponderação capaz de minimizar ou eliminar esses problemas. A formulação de Petrov-Galerkin utilizada neste trabalho é 'Streamline Upwind Petrov- Galerkin'(SUPG). Este método introduz uma estabilidade consistente na direção das linhas de corrente. É obtido um coeciente ótimo chamado parâmetro 'upwind'(α), utilizado na nova função de ponderação do método (SUPG) [4]. Uma forma de tratamento da formulação de Petrov-Galerkin é apresentada por Sampaio [1], e será utilizada neste trabalho. Seguindo os critérios da formulação para problemas convectivosdifusivos, é obtida uma nova função ponderadora. 2 Simulação de secagem de grãos em um secador axissimétrico Neste trabalho é apresentado o modelo descrito por [2] para simulação da secagem de grãos em um secador axissimétrico. A solução das equações diferenciais, que serão estudadas neste trabalho, foi efetuada com o emprego do Método dos Elementos Finitos e de Diferenças Finitas. Os resultados apresentados por [2] foram comparados em seu trabalho com dados experimentais. Para o secador axissimétrico simulou-se a mesma geometria de um secador real utilizado na EMBRAPA e os resultados obtidos foram comparados com dados reais coletados na Empresa. A equações diferenciais parciais a serem resolvidas untamente com as suas respectivas condições iniciais e de contorno estão resumidas abaixo. Teor de Umidade do leito: 219 M t = M e M 3600 A 2 + (1/900)Bt (2) 0 z 3,60 t > 0 M = M 0 onde M é o teor de umidade do leito; M e é o teor de umidade de equilibrio; A e B são valores especicos do milho para faixa de pressão deseada. Umidade absoluta do ar: t + ( ) vr H ϵ r + 1 [ v r ϵ r ] = ρ p z (3)

3 0 z 3,60 t > 0 Condição de Contorno 1: 220 Condição Contorno 2: H = H in z=0 t > 0 H = H in r=0,40 t > 0 0 z 3,6 H = H 0 onde H é a umidade absoluta do ar; ϵ é a porosidade do leito (volume de poros/ volume total); ρ p é a massa especica do produto; ρ a é a massa especica do ar; v vetor velocidade do ar (m/s). Temperatura do Ar: T t + ( ) vr T ϵr ϵ T ϵ r T ϵ z = ha(t θ) ϵρ a (c a + Hc v ) 0 < z 3,60 t > 0 0,40 < r 1,0 Condição de Contorno 1: (4) Condição Contorno 2: onde T é a temperatura do ar; h é coeciente convectivo (W/m 2 K); c é o calor especico (J/kg K); Temperatura do leito: T = T in z=0 t > 0 T = T in r=0,40 t > 0 0 z 3,6 T = T 0 θ t = h a(t θ) 0 z 3,60 t > 0 ρ p (c p + c w M) + h fg + c v (T θ) (c p + c w M) M t (5) θ=θ 0 onde θ é a temperatura do leito; h fg é o calor latente de vaporização da água (J.kg)

4 3 Discretização das Equações 221 O problema tratado neste trabalho apresenta a equação de Umidade Absoluta do Ar e Temperatura do Ar. Estas equações são puramente convectivas e para obtermos a funçao de ponderação w apresentaremos a discretização de cada uma dessas equações, baseado na formulação apresentada por [5]. Umidade absoluta do ar: t + 1 [ v r ϵ r ] = ρ p M z A equação 6 é discretizada no tempo por um esquema de diferenças centrais: (6) onde temos ( ) A + = 0 (7) A = Hn+1 H n.1/2.1/2 ϵ r ϵ z H n+1/2 = 1 2 (Hn+1 + H n ) (9) (8) (10) v é o vetor velocidade e é tamanho do passo de tempo. A discretização espacial da equação da umidade absoluta do ar é realizada através da técnica de Elementos Finitos H Ĥn+1 = N H n+1 (11) onde H n+1 representa o valor nodal da umidade absoluta do ar no tempo n + 1 e N é a função de forma associada a este nó. Das equações anteriores pode-se desenvolver  como  = Ĥn+1 Ĥn.n+1/2.n+1/2 ϵ r ϵ z A minimização do resíduo, advindo da aproximação de A por Â, é efetuada segundo a técnica dos mínimos quadrados R = [ A]2 d (13) Ao substituir 12 em 13 obtem-se R = [  + (12) ( ) ] 2 d (14) O quadrado do resíduo é agora minimizado com relação aos parâmetros livres H n+1 R H n+1 = 2 [  + ( ) ]  n+1. d = 0 (15) A equação acima é equivalente ao método de Petrov-Galerkin com as funções peso N i +W i = W.

5 onde [ Â + W i = 2 ( ) ] d = 0 (16) ( vr ϵ. N i r + v ) z ϵ. N i z Discretizando a equação da Umidade Absoluta do Ar, utilizando a formulação de Sampaio [1] e reescrevendo a equação 16, obtemos [( H n+1 ˆ H ˆn Distribuindo a integral e a função peso W (17) ).n+1/2.n+1/2 ( ) ] + d = 0. (18) ϵ r ϵ z (Ĥn+1 H ˆn ( ρp M.n+1/2 ϵ r ).n+1/2 d + ϵ z ) (n+1/2) d = 0 (19) Usando o teorema de Grenn e ponderando por N i obtem-se a formulação usual de Galerkin, entretanto surgem os termos da contribuição do uso de W i [5]. E considerando que os termos ponderados por W i são integrados no interior dos elementos, como descrito por [6]. Soluções exatas de regime permanente podem ser obtidas, quando usados elementos lineares, e o passo de tempo for calculado pela Eq.?? como sugere [1]. Para obter o regime permanente como limite, os valores de Ĥ no instante n + 1 tendem ao valores de Ĥ no instante n, assim a formulação de Sampaio para Eq.19 é apresentada como ( vr.n+1.n+1 ) ( ) ρp M (n+1) d + d = 0 (20) ϵ r ϵ z Procedendo de forma analoga obtemos a discretização da equação da Temperatura do Ar. 222 ( T n+1 ˆ T ˆn + v ˆ r ϵ. r T 1/2 + v ˆ z ϵ. z T 1/2 ) ( ) ha(t θ) (n+1) d + d = 0 (21) ϵρ a (c a + Hc v ) 4 Metodologia e Resultados Aplicado o método SUPG para solução do problema com o mesmo passo de tempo utilizado por [2] obtemos resultados semelhantes. Foi utilizado o tamanho do passo de tempo constante de 40 segundos, para formulação de Galerkin e para formulação SUPG. Aplicada a técnica SUPG com passo de tempo adaptativo foram necessárias 302 iterações, para a formulação clássica de Galerkin com passo de tempo constate de 40 segundos, apresentado no trabalho de [2], foram necessárias 1080 iterações, simulando o tempo de 12 horas de secagem. Reiterando a econômia computacional obtida por este trabalho, como apresentado na Fig.1. Buscando comparar seus desempenhos, é apresentada a solução do MEF, em sua formulação SUPG, com emprego de técnica de passo adaptativo proposta por [7]. Está simulação adaptativa, empregou passo de tempo inicial igual a 10 5, com ordem de erro de A solução obtida com essa técnica apresenta grande proximidade com as soluções obtidas com passos de tempo xo. Na Figura 2 é apresentado o Teor de umidade do leito no tempo para uma vazão de ar de 9500m 3 /s com a temperatura do ar de 42 C na entrada do secador.

6 Tamanho do Passo (s) Figura 1: Crescimento do passo de tempo durante a simulação 0,30 Galerkin passo constante 40s SUPG - Bixler 0,25 0,20 0, Tempo (h) Figura 2: Perl do Teor de Umidade do leito com o tempo (Fluxo de Ar=9500 m 3 /h ) 5 Conclusão Os resultados obtidos apontam a economia de tempo e esforço computacional na adoção do método de SUPG aplicado ao problema de secagem proposto por [2]. Os resultados são conrmados pelos resultados experimentais apresentados. O renamento adequado da malha temporal resulta em soluções aceitaveis. Devido a presença de duas equações convectivas, a formulação SUPG, apresenta uma maior adequação na sua resolução, o que pode ser vericado pela sua capacidade de convergir, mesmo com passos de tempo maior. Talvez, devido ainda a este fato, possamos explicar porque o MEF em sua formulação clássica, Galerkin, aplicada a este problema, não permita a implementação de técnicas de controle de passo de tempo adaptativo, uma vez que na forma de Petrov-Galerkin essa técnica tenha sido implementada sem diculdades. A técnica de passo adaptativo tem sido utilizada em trabalhos em que as equações são difusivas ou dominadas pela difusão. Abre-se dessa forma novas perspectivas de aplicação desta técnica para outros modelos e problemas convectivos puros ou dominados pela convecção. Referências [1] P. A. B. De Samapaio, A petrov-galerkin formulation for the incompressible navier-stokes equations using equal order interpolation for velocity and pressure, International Journal For Numerical Methods In Engineering, 31 (1991)

7 [2] J. L. F. Souza, Simulação de Secador Cilíncrico de Grãos com Fluxos Radial e Axial de Ar, Dissertação de Mestrado, UFMG, [3] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor, The Finite Element Method, Butterworth-Heinemann, Woburn, [4] Rudolf Huebner, Análise de Dois Métodos de Petrov-Galerkin para a Solução das Equações de Navier-Stokes e Problemas Convectivo-Difusivos, Dissertação de Mestrado, UFMG, [5] P. A. B. De Sampaio, A nite element formulation for transient incompressible viscous. ows stabilized by local time-steps, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 194 (2005) [6] A. N. Brooks and T. J. R. Huges, Streamline upwind/petrov-galerkin formulations for convection dominated ows with patricular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations, Computer Methods in applied Mechanics and Engineering, 32 (1982) [7] N. E. Bixler,An improved time integrator for nite element analysis,comunications in Applied Numerical Methods,5 (1989)