2 Observações sobre ações Anosov centrais 45

Transcrição

1 Agradecimentos Gostaria de agradecer a todos os meus professores da Universidade Federal do Rio de Janeiro pelo esforço dedicado à minha formação desde os tempos da graduação. Muito obrigado mesmo. Agradeço também aos funcionários da UFRJ que me apoiaram durante todo este tempo e com quem sempre pude contar. Muito obrigado pela amizade e pela paciência. Neste longo caminho, encontrei bons amigos que espero levar comigo por toda a vida. Gostaria de agradecer especialmente (e em ordem alfabética) a Abigail Folha, Carlos Espinoza, Cecília Saraiva, Fábio Ramos e José Gondin. E, mais especialmente ainda, agradeço a Tatiana Sodero, que além de minha grande amiga é também minha querida namorada. Muito obrigado a vocês pelo companheirismo, pela lealdade e amizade. Agradeço a minha família pelos valores que tenho e pelo apoio incondicional, não apenas durante o período da minha formação como aluno da UFRJ, mas desde as primeiras lembranças que tenho do mundo. Agradeço a Fábio Souza, aluno da Pontifícia Universidade Católica, pela amizade e por compartilhar comigo o estudo de folheações de Lie. Agradeço aos professores José Seade (UNAM-Cuernavaca-México), César Camacho (IMPA), Walcy Santos (UFRJ), Paul Schweitzer (PUC-Rio de Janeiro) e Bruno Scárdua (UFRJ) pela participação na banca examinadora; fico muito grato e honrado por essa participação. Agradeço ainda ao Professor Paul Schweitzer pela generosidade e pelas conversas sempre estimulantes e incentivadoras; ao Professor Sebastião Firmo da Universidade Federal Fluminense pelo incentivo em diversas ocasiões; ao Professor Alexander Arbieto da UFRJ pelas conversas, sugestões e pelo incentivo e, por fim, a professora Walcy Santos, que além de ter sido minha primeira professora no curso de graduação da UFRJ, foi também minha professora durante o mestrado e o doutorado.

2 Faço então um agradecimento mais do que especial ao meu professor, orientador e amigo Bruno Scárdua. Com ele aprendi grande parte do que sei sobre matemática e também aprendi a me relacionar melhor com ela. Durante todos esses anos, foi a pessoa que mais me incentivou, que mais se dedicou em prol da minha formação e que mais me fez acreditar no meu potencial como matemático. Além da orientação no mestrado e no doutorado, devo a ele a oportunicade de seguir em frente nessa carreira que tanto amo. Sou eternamente grato por isso e tenho certeza de que sua orientação e amizade me acompanharão pela vida afora. Muito obrigado.

3 Resumo Neste trabalho, estudamos generalizações de resultados clássicos de Tischler e Fedida sobre Folheações de Lie. Obtemos, em particular, um teorema de fibração para g-folheações de Lie quando g é compacta e o fecho da holonomia global (construída a partir de um grupo de Lie compacto associado a g) tem álgebra de Lie abeliana. Provamos que tal condição sobre a holonomia global é sempre satisfeita se o grupo fundamental da variedade ambiente é amenable. Obtemos ainda um resultado que relaciona a existência de folheações de Lie com o crescimento do grupo fundamental da variedade ambiente. Tal resultado tem uma conseqüência no estudo de ações Anosov centrais conjuntamente integráveis, originando um resultado na linha de um Teorema clássico de Plante para fluxos Anosov. Seguindo o belo trabalho de Plante, provamos ainda um resultado sobre ações Anosov centrais de grupos de Lie nilpotentes simplesmente conexos.

4 Abstract In this work, we study generalizations of classical results of Fedida and Tischler about Lie foliations. In particular, we obtain a fibration theorem for Lie g-foliations when g is compact and the closure of the global holonomy (built from a compact Lie group associated to g) has abelian Lie algebra. We prove that this condition on the global holonomy is always satisfied if the fundamental group of the ambient manifold is amenable. We get also a result that relates the existence of Lie foliations with the type of growth of the fundamental group of the ambient manifold. This result has a consequence in the study of jointly integrable Anosov actions, yielding a result in line with a classical theorem of Plante for Anosov flows. Following the great work of Plante, we also prove a result for central Anosov actions of simply-connected nilpotent Lie groups.

5 Sumário 1 Folheações de Lie Preliminares Decompondo folheações de Lie Uma versão do Teorema de Tischler para grupos de Lie compactos Convergência de campos de planos Demonstração do Teorema A Fluxos de Lie Folheações de Lie sobre variedades compactas com grupo fundamental amenable Demonstração do Teorema B Uma observação sobre folheações Riemannianas Folheações de Lie sobre variedades compactas com grupo fundamental de crescimento subexponencial Demonstração do Teorema C Observações sobre ações Anosov centrais Preliminares sobre ações Anosov centrais Demonstração do Teorema D Demonstração do Teorema E

6 Introdução Um importante teorema devido a Tischler garante que uma variedade diferenciável compacta e conexa M fibra sobre o toro de dimensão q se e somente se admite q formas fechadas de grau 1 linearmente independentes [30]. De fato, dadas q formas fechadas de grau 1 linearmente independentes, é possível encontrar novas formas fechadas, arbitrariamente próximas das originais, com períodos racionais. A folheação definida por essas novas formas fechadas tem todas as folhas compactas e estas são as fibras de uma fibração locamente trivial sobre o toro. Tudo isto está mergulhado na teoria de folheações de Lie [11], [13]: Seja g uma álgebra de Lie de dimensão q e seja M uma variedade diferenciável. Dizemos que uma folheação F de codimensão q sobre M é uma g-folheação de Lie se, dadas constantes estruturais {c k ij} relativas a uma base qualquer de g, existe um sistema {ω 1,..., ω q } de 1-formas suaves linearmente independentes sobre M que satisfaz dω k = i<j ck ijω i ω j e cujo núcleo é tangente à F. Equivalentemente, F é uma g-folheação de Lie se e somente se F é tangente ao núcleo de uma 1-forma suave Ω sobre M com valores em g que satisfaz dω + 1 [Ω, Ω] = 0 e é sobrejetiva em cada ponto de M. 2 Se F é uma g-folheação de Lie sobre M e G é um grupo de Lie conexo que tem g como álgebra de Lie, então F admite uma estrutura transversal de Lie modelada em G (ver [13]), isto é, F é definida por submersões locais tomando valores em G com aplicações de transição dadas por translações à esquerda em G. A existência de uma folheação de Lie, entretanto, não garante a existência de uma submersão global de M em G. A dificuldade em se obter tal submersão global a partir da folheação de Lie F pode ser medida pelo grupo de holonomia global de F com respeito a G, o qual é a imagem de um certo homomorfismo do grupo fundamental de M em G. Em sua tese, Fedida prova que, de fato, a estrutura de F está fortemente relacionada à sua holonomia global ([11], [13]). Neste trabalho, obtemos uma versão do Teorema de fibração de Tischler para g-folheações de Lie, quando g é uma álgebra de Lie compacta: Teorema A. Seja g uma álgebra de Lie compacta, M uma variedade diferenciável conexa, compacta e sem bordo e seja F uma g-folheação de Lie sobre M. Seja G um grupo de Lie conexo e compacto que tem g como álgebra de Lie. Se o fecho da holonomia global de F com respeito a G tem álgebra de Lie abeliana, então 1. Existe um recobrimento finito de M no qual o levantamento de F pode ser C 0-1

7 aproximado por g-folheações de Lie com todas as folhas compactas; 2. Existe um recobrimento finito de M que fibra sobre G. Um fato importante na teoria é que o fecho da holonomia global de uma folheação de Lie sobre uma variedade com grupo fundamental abeliano é um grupo abeliano. Usando a Alternativa de Tits [31], nós generalizamos este fato, provando que se o grupo fundamental do ambiente é um grupo amenable (discreto) e G é compacto, então a álgebra de Lie do fecho da holonomia global com respeito a G é abeliana. Usando o Teorema A, obtemos então: Teorema B. Seja g uma álgebra de Lie compacta e M uma variedade diferenciável conexa, compacta e sem bordo com grupo fundamental amenable. Se M admite uma g-folheação de Lie F, então 1. a menos de passar a um recobrimento finito adequado, a folheação F pode ser C 0 - aproximada por g-folheações de Lie com todas as folhas compactas; 2. dado um grupo de Lie conexo e compacto G que tem g como álgebra de Lie, existe um recobrimento finito de M que fibra sobre G. Em seguida, estudamos o caso particular em que o grupo fundamental da variedade ambiente tem crescimento subexponencial e g não é necessariamente compacta, obtendo: Teorema C. Seja M uma variedade diferenciável conexa, compacta e sem bordo com grupo fundamental de crescimento subexponencial e suponha que M admite uma g-folheação de Lie. Temos: 1. Se G é um grupo de lie conexo com álgebra de Lie g, então G tem crescimento de volume polinomial; 2. Se s < g é um fator de Levi de g e S é um grupo de Lie conexo que tem s como álgebra de Lie, então S é compacto e existe um recobrimento finito de M que fibra sobre S. 2

8 Em [28], Plante e Thurston provam que o grupo fundamental de uma variedade compacta que admite um fluxo Anosov de codimensão 1 tem crescimento exponencial. Em [1], encontra-se um resultado semelhante para ações Anosov quando a diferença entre a dimensão da variedade ambiente e a dimensão do grupo de Lie é 1. O Teorema C tem uma conseqüência nessa direção, para o caso de ações Anosov centrais conjuntamente integráveis : Teorema D. Seja G um grupo de Lie conexo com crescimento de volume não-polinomial. Se uma variedade compacta e conexa M admite uma ação Anosov central juntamente integrável de G, então o grupo fundamental de M tem crescimento exponencial. Por fim, obtemos um resultado (independente dos anteriores) para ações Anosov centrais de grupos de Lie nilpotentes simplesmente conexos. A motivação é um resultado contido no artigo clássico Anosov flows, [27], de J. Plante além de um resultado de Hirsch em [17] sobre órbitas compactas de ações Anosov de grupos de Lie nilpotentes simplesmente conexos. Seja φ uma ação suave de um grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmente conexo G sobre uma variedade diferenciável M. Dado um elemento g G denotamos por Ω g (φ) o conjunto de pontos não errantes na direção g. Tal conjunto é definido tomando-se o vetor X tal que g = exp(x) e considerando-se o conjunto não errante do fluxo φ(exp(tx)). Teorema E. Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmente conexo e seja M uma variedade conexa e compacta. Seja φ uma ação Anosov central suave de G sobre M tal que, para algum elemento Anosov g, Ω g (φ) = M. Considere as folheações estáveis e instáveis definidas a partir de um elemento Anosov central f de φ. Se existe p M tal que a órbita O(p) é compacta e W uu (p) não é densa, então existem um subgrupo de Lie fechado próprio H G e uma fibração localmente trivial (contínua) P : M G/H tal que cada fibra é saturada por F uu e F ss. 3

9 Organização do texto O texto encontra-se dividido em dois capítulos. O primeiro e maior deles trata de folheações de Lie sobre variedades compactas e contém os principais resultados do trabalho. Na seção 1.1, apresentamos alguns fatos e teoremas importantes sobre folheações de Lie, em particular, o Teorema de Darboux, o Teorema de fibração de Tischler e o Teorema de Fedida. Este último aparece em sua versão mais completa para o caso particular de folheações G-i.u.t.a., caso este que nos será importante para a demonstração do Teorema A. Na seção 1.2, observamos que algumas decomposições clássicas de álgebras de Lie, implicam na decomposição de folheações de Lie. Primeiramente, notamos que a Decomposição de Levi-Malcev (ver [32]), que decompõe uma álgebra de Lie como soma direta do seu radical com um fator semisimples, nos permite enunciar a proposição abaixo: Proposição I. Se F é uma g-folheação de Lie sobre uma variedade diferenciável conexa M e s < g é um fator de Levi de g, então existe uma s-folheação de Lie S sobre M. Cada folha de S é um subconjunto F-saturado de M. Além disso, se S tem uma folha mergulhada L e g s, então F L é uma r(g)-folheação de Lie, onde r(g) < g é o radical de g. Em seguida, usando o fato de que toda álgebra de Lie semisimples se decompõe como soma direta de ideais simples, obtemos uma segunda conseqüência: Proposição II. Se F é uma g-folheação de Lie sobre M e g é não-solúvel, então existe uma s-folheação de Lie S sobre M, onde s < g é uma subálgebra de Lie simples. Cada folha de S é um subconjunto F-saturado de M. Concluindo a seção sobre decomposições, observamos que quando a álgebra derivada de uma álgebra de Lie g difere de g, então, como conseqüência do Teorema de Tischler, M fibra sobre um toro. Mais precisamente: Proposição III. Seja F uma g-folheação de Lie sobre M n. Se l = dimg dim Dg > 0, então existem l formas fechadas de grau 1 linearmente independentes sobre M. Em particular, se M é compacta, então M fibra sobre o toro de dimensão l. Seja G a R l -folheação 4

10 de Lie definida por estas 1-formas fechadas. Cada folha de G é um subconjunto F-saturado de M. Se G tem uma folha mergulhada L, então F L é uma h-folheação de Lie sobre L, onde h = Dg < g. Na seção 1.3, nos dedicamos exclusivamente à demonstração do Teorema A. Em [7], os autores provam que a holonomia global de uma folheação de Lie minimal de dimensão 1 é abeliana. Portanto, pelo Teorema de fedida ([13], [11]), se F é uma g-folheação de Lie de dimensão 1 e G é um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo que tem g como álgebra de Lie, então o fecho da holonomia global de F com respeito a G tem álgebra de Lie abeliana. Usando o Teorema A, obtemos o seguinte: Corolário i. Seja g uma álgebra de Lie semisimples compacta, M uma variedade diferenciável conexa, compacta e sem bordo e seja F uma g-folheação de Lie de dimensão A menos de passar a um recobrimento finito adequado, a folheação F pode ser C 0 - aproximada por g-folheações de Lie com todas as folhas compactas; 2. Se G é o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo que tem g como álgebra de Lie, existe um recobrimento finito de M que fibra sobre G. Na seção 1.4, usamos a Alternativa de Tits para obter a Proposição abaixo: Proposição IV. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental amenable e seja F = F Ω uma g-folheação de Lie sobre M. Seja G um grupo de Lie conexo que tem g como álgebra de Lie e seja Γ = Γ(Ω, G) a holonomia global de F. A componente conexa de Γ contendo a identidade é um subgrupo de Lie solúvel de G. Em particular, se G é compacto, então a componente conexa de Γ contendo a identidade é abeliana. A Proposição IV e o Teorema A provam o Teorema B. Concluímos a seção 1.4 obtendo uma conseqüência da Proposição IV para folheações Riemannianas: Proposição V. Seja M uma variedade compacta e conexa e seja F uma folheação Riemanniana sobre M. Se o grupo fundamental de M é amenable, então a álgebra de Lie 5

11 estrutural de F é solúvel. Na seção 1.5, utilizamos o Teorema de Milnor-Wolf (ver [22], [34]) e alguns resultados sobre crescimento de volume em grupos topológicos compactamente gerados para obter o seguinte: Proposição VI. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental de crescimento subexponencial. Se M admite uma g-folheação de Lie e G é um grupo conexo que tem g como álgebra de Lie, então G tem crescimento de volume polinomial. Se G é um grupo de Lie conexo que tem crescimento de volume polinomial e R é o radical de G, prova-se que G/R é compacto. Portanto, a proposição acima implica no seguinte: Proposição VII. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental de crescimento subexponencial. Se M admite uma g-folheação de Lie e G é um grupo de Lie conexo que tem g como algebra de Lie, então G/R é compacto, onde R é o radical de G. O Teorema C é obtido então como conseqüência das Proposições VI e VII, da decomposição mencionada na Proposição I e do Teorema A. Achamos interessante terminar a seção e o capítulo 1 escrevendo uma versão do Teorema C para o caso particular em que a álgebra de Lie é semisimples: Corolário ii. Seja g uma álgebra de Lie semisimples e M uma variedade compacta e conexa que admite uma g-folheação de Lie. 1. Se g não é compacta, então π 1 (M) tem crescimento exponencial. 2. Se π 1 (M) tem crescimento subexponencial e G é um grupo de Lie conexo que tem g como álgebra de Lie, então G é compacto e existe um recobrimento finito de M que fibra sobre G. O Capítulo 2 trata de ações Anosov centrais em variedades compactas. Na seção 2.1 apresentamos definições e fatos importantes sobre tais ações. Em 2.2, obtemos o Teorema 6

12 D a partir do Teorema C e na seção 2.3, última do trabalho e independente das anteriores, obtemos o Teorema E. 7

13 Capítulo 1 Folheações de Lie 1.1 Preliminares Seja G um grupo de Lie conexo de dimensão q. Um campo vetorial sobre G é invariante à esquerda se ele é invariante por todas as translações à esquerda de G. A álgebra de Lie de G, a qual denotamos por g, é definida como o conjunto de todos os campos invariantes à esquerda sobre G. Consideramos g munida das operações usuais de adição, produto escalar e colchete. Seja T e G o espaço tangente de G na identidade. Se X T e G, existe uma única extensão X( ) de X como campo invariante à esquerda sobre G. Tal campo tem a forma X(g) = dl g (e) X, onde L g denota a translação à esquerda pelo elemento g G. Podemos identificar g com T e G definindo o colchete em T e G como [X, Y ] = [ X, Ỹ ](e). Tomando uma base β = {X 1,..., X q } de T e G, escrevemos [X i, X j ] = q c k ijx k. k=1 As constantes c k ij recebem o nome de constantes estruturais de g relativas à base β. Usando a antisimetria do colchete e a identidade de Jacobi, concluímos que 1. c k ij = c k ji 2. q h=1 ( c h ij c l hk + ch jk cl hi + ch ki cl hj) = 0. 8

14 Podemos expressar as constantes estruturais de β por meio de 1-formas diferenciais sobre G. Uma forma sobre G é dita invariante à esquerda se ela é invariante por todas as translações à esquerda de G. Usando o fato de que o operador diferencial d comuta com o pull-back, a diferencial de uma forma invariante à esquerda sobre G é também invariante à esquerda. Se α é uma 1-forma invariante à esquerda sobre G, e X e Ỹ são dois campos em g, segue de uma fórmula bastante conhecida (ver [29], página 215) que ) ( dα( X, Ỹ ) = X (α(ỹ ) Ỹ α( X) ) α ([ X, ) Ỹ ] = 0 0 α ([ X, ) Ỹ ] Em particular, dα(e)(x, Y ) = α(e)([x, Y ]). (1.1) Seja β = {α 1 (e),..., α q (e)} a base dual da base β mencionada acima. Podemos estender cada α i (e) a uma 1-forma invariante à esquerda sobre G. Usando (1.1), obtemos dα k = i<j c k ijα i α j. (1.2) Não há uma maneira natural de escolher uma base de 1-formas invariantes à esquerda sobre um grupo de Lie conexo G. Porém, há uma forma natural de definir uma 1-forma sobre G tomando valores em g. Mais geralmente, podemos considerar a noção de formas diferenciais sobre uma variedade diferenciável tomando valores em uma álgebra de Lie (para mais detalhes, ver [29]). Uma r-forma em M, r 1, com valores na álgebra de Lie g é uma aplicação Ω que a cada p M, associa uma aplicação r-linear alternada Ω(p) : T p M T p M g. }{{} r vezes Para definir o caso r = 0, considere as funções suaves f : M g. Se (X 1,..., X q ) é uma base para g, existem q formas diferenciais de grau r ω 1,..., ω q sobre M (tomando valores em R) tais que, Ω(p) (Y 1 (p),..., Y r (p)) = para cada r-upla Y 1 (p),..., Y r (p) T p M. q ω l (p)(y 1 (p),..., Y r (p))x i, (1.3) l=1 Temos que Ω é suave quando as formas ω 1,..., ω q são suaves. Quando for conveniente, escreveremos Ω = q l ω lx l. Denotamos por Λ r (M) g o conjunto de r-formas sobre M com valores em g. Podemos definir um operador diferencial d : Λ r (M) g Λ r+1 (M) g 9

15 da seguinte maneira: se (X 1,..., X q ) é uma base de g e Ω = q l=1 ω lx l, então fazemos dω := q dω l X l. l=1 O operador d é bem definido, ou seja, não depende da base escolhida e satisfaz d 2 = 0. Seja X 1,..., X q uma base de g e Z um campo de vetores suave sobre M. Para cada função suave f : M g, definimos Z(f) = q Z(f l ) X l, l=1 onde f = q l=1 f lx l. A função Z(f) com valores em g não depende da escolha da base de g. Se Ω Λ 1 (M) g e X e Y são dois campos suaves sobre M, temos que dω(x, Y ) = = q dω l (X, Y )X l l=1 q (Xω l (Y ) Y ω l (X) ω l ([X, Y ])) X l l=1 Fixada a base {X 1,..., X q } de g, se = XΩ(Y ) Y Ω(X) Ω[X, Y ]. ξ = q ξ l X l l=1 é uma r-forma e q η = η l X l l=1 é uma s-forma sobre M com valores em g, podemos usar a aplicação bilinear [, ] : g g g para definir sobre M a (r + s)-forma [ξ, η] := q q ξ i η j [X i, X j ]. (1.4) i=1 j=1 Temos que [ξ, η] está bem definida, ou seja, não depende da base escolhida. Além disso (veja [29], página 411), se Ω Λ 1 (M) g, então, para quaisquer campos suaves X e Y sobre M, temos a igualdade [Ω, Ω](X, Y ) = 2[Ω(X), Ω(Y )]. (1.5) 10

16 Se G é um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g e X(g) é um vetor qualquer em T g G, podemos definir a 1-forma α com valores em g dada por α(g)( X(g)) := X, (1.6) onde dl g (e)x = X(g). Por construção, temos que α é invariante à esquerda. Além disso, é fácil verificar que, para cada g G, α(g) : T g G g é sobrejetiva. Se β = {X 1,... X q } é uma base para g e β = {α 1,... α q } é a base de 1-formas invariantes à esquerda sobre G obtida de β por dualidade, é fácil verificar que a forma α definida em (1.6) pode ser escrita como α = q α k X k. (1.7) k=1 Pela relação entre as constantes estruturais descrita acima, temos ( ) q q dα = dα k X k = c k ijα i α j X k. (1.8) k=1 k=1 Como, por definição, [X i, X j ] = q k=1 ck ijx k, temos que ( q q ) q [α, α] = c k ijα i α j X k. (1.9) k=1 Comparando (1.8) e (1.9), concluímos que i=1 j=1 i<j dα = 1 [α, α]. (1.10) 2 A forma α é conhecida como forma de Maurer-Cartan de G. Mais geralmente, seja g uma álgebra de Lie de dimensão q e X 1,..., X q uma base de g com constantes estruturais {c k ij}. Suponha que uma variedade diferenciável M de dimensão n q admita q 1-formas suaves ω 1,..., ω q satisfazendo dω k = i<j ck ijω i ω j. Fazendo Ω = q l=1 ω lx l obtemos uma 1 forma em M com valores em g que satisfaz dω = 1 [Ω, Ω]. (1.11) 2 Reciprocamente, seja Ω uma 1-forma sobre M com valores em g satisfazendo (1.11). Se X 1,..., X q é uma base de g e Ω = q l=1 ω lx l, então dω k = i<j ck ijω i ω j. Uma tal forma Ω é sobrejetiva em cada ponto se e somente se as formas ω 1,..., ω q são linearmente independentes em cada ponto. Neste caso, o núcleo de Ω coincide com o núcleo do sistema {ω 1,..., ω q } e, pelo Teorema de Frobenius, tal núcleo define uma folheação sobre M de codimensão q. Podemos agora apresentar a definição formal de folheações de Lie, segundo Fedida ([11]): 11

17 Definição 1. Seja M uma variedade diferenciável de dimensão n e g uma álgebra de Lie de dimensão q, q n. Dizemos que uma folheação F sobre M de codimensão q é uma g-folheação de Lie se F é definida pelo núcleo de uma 1-forma Ω sobre M com valores em g tal que 1. Ω(x) : T x M g é sobrejetiva, para cada x M; 2. dω + 1 [Ω, Ω] = 0. 2 No decorrer do trabalho denotaremos uma g-folheação de Lie por F Ω, visando deixar explícita a forma Ω que torna F uma folheação de Lie. Se β = {X 1,..., X q } é uma base da álgebra de Lie g com constantes estruturais {c k ij}, então, pelo que vimos acima, uma folheação F sobre M é uma g-folheação de Lie se e somente se F é definida por um sistema {ω 1,..., ω q } de 1-formas linearmente independentes sobre M com valores reais que satisfazem dω k = c k ijω i ω j. i<j Exemplo 1. Uma R r -folheação de Lie sobre uma variedade diferenciável M é uma folheação definida pelo núcleo de r formas fechadas de grau 1 linearmente independentes sobre M. Exemplo 2. Seja π : E M um G-fibrado principal e denote por φ a ação livre à direita de G sobre E ([20], página 50). Se uma forma de conexão Ω sobre E é flat, ou equivalentemente, se a forma de curvatura de Ω é nula, temos que Ω satisfaz dω = 1 [Ω, Ω] 2 (ver [20], pag 78, 92-94). Portanto, Ω define uma g-folheação de Lie F sobre E transversal às fibras. Além disso, φ preserva as folhas de F. Uma folheação de Lie foi definida a partir de uma 1-forma com valores em uma álgebra de Lie g, mas até agora não descrevemos claramente a relação entre uma tal folheação com um grupo de Lie conexo que tenha g como álgebra de Lie. Passamos agora a esclarecer tal relação: Teorema de Darboux-Fedida. Seja M uma variedade diferenciável e F = F Ω uma g-folheação de Lie sobre M. Seja G um grupo de Lie conexo de dimensão q que tem g como álgebra de Lie e denote por α sua forma de Maurer-Cartan. Denote por φ a ação 12

18 natural sobre M G por translações à esquerda e por p 1 : M G M e p 2 : M G G as projeções canônicas. Temos que: 1. A forma Θ sobre M G com valores em g definida por Θ (x,g) (u, v) = Ω(x)u α(g)v induz sobre M G uma folheação G de codimensão q; 2. G é invariante por φ, isto é, para cada g G, o difeomorfismo φ g leva folhas de G sobre folhas de G. 3. As folhas de G são transversais às órbitas de φ. 4. Se M é uma folha de G, a aplicação p 1 M : M M é um recobrimento Galoisiano. O grupo de automorfismos deste recobrimento está associado a um homomorfismo h : π 1 (M) G que satisfaz α(p) = φ h(α) (p), α π 1 (M) e p M e que tem por imagem o conjunto h(π 1 (M)) = {g G; φ g (M ) = M }; 5. A aplicação p 2 M : M G é uma submersão; 6. p 1(Ω) M p 2(α) M.. Demonstração. Pelo que vimos acima, fixada uma base de g com constantes estruturais {c k ij}, podemos obter, a partir de Ω, um sistema {ω 1,... ω q } de 1-formas linearmente independentes em M satisfazendo dω k = i<j ck ijω i ω j e cujo núcleo, em cada ponto de M, coincide com o núcleo de Ω. Defina sobre M G as 1-formas Θ k := p 1(ω k ) p 2(α k ), k {1,..., q}. É fácil verificar que tal sistema é linearmente independente e que seu núcleo em cada 13

19 ponto coincide com o núcleo de Θ. Denotando ω k := p 1(ω k ) e α k := p 2(α k ), temos que ( dθ k = p 1(dω k ) p 2(dα k ) = p 1 ) ( c k ijω i ω j p 2 ) c k ijα i α j i<j i<j = i<j = i<j = i<j c k ij (( ω i ω j ) ( α i α j )) c k ij ( ω i ( ω j α j ) + ( ω i α i ) α j ) c k ij ( ω i Θ j + Θ i α j ). Assim, segue do Teorema de Frobenius que o sistema {Θ 1,..., Θ q } define uma folheação G de codimensão q sobre M G e o item 1 está concluído. Para obter o item 2, basta notar que φ g (Θ k ) = (p 1 φ g ) (ω k ) (p 2 φ g ) (α k ) = p 1(ω k ) p 2(α k ) = Θ k. Seja M uma folha de G e tome p = (x, g) M. Como a dimensão de G é igual a dimensão de M, para ver que G é transversal às órbitas de φ, é suficiente mostrar que T p M ({0} T g G) = {(0, 0)}. De fato, se X = (0, v) T p M, temos que 0 = ω k (x)0 α k (g)v = 0 α k (g)v para cada k {1,..., q}. Isto implica que v = 0 e o item 3 está provado. Note que podemos ver M G como um fibrado principal (trivial) só que com grupo estrutural agindo por translações à esquerda e não à direita. Nesse sentido, Θ é uma forma de conexão totalmente integrável (ou flat) deste fibrado (ver [20], pp 92-94). O item 4 é, portanto, uma conseqüência da Teoria de fibrados principais, sendo h o homomorfismo de holonomia da forma de conexão Θ. Seja p = (x, g) M e seja v T g G. Para obter o item 5, devemos provar que existe u T x M tal que X = (u, v) T p M ou, equivalentemente, u deve satisfazer Ω(x)u = α(g)v. Como Ω é sobrejetiva em todo ponto, o resultado segue. O item 6 segue diretamente da construção. Considere as notações usadas no Teorema de Darboux-Fedida. O grupo h(π 1 (M)) recebe o nome de grupo de holonomia global de F com respeito a G, ou, por simplicidade, holonomia global de F. Observamos que, fixada a forma Ω e o grupo de Lie G, o grupo de 14

20 holonomia global de F Ω com respeito a G fica bem definido a menos de uma conjugação por um elemento de G, pois ele depende ainda da escolha da folha M da folheação G. Durante todo o trabalho, se F = F Ω é uma g-folheação de Lie sobre M e G é um grupo de Lie conexo que tem g como álgebra de Lie, denotaremos por Γ(Ω, G) o grupo de holonomia global de F construído conforme o Teorema de Darboux-Fedida, supondo escolhida uma folha M da folheação G. Utilizando ainda as notações do Teorema de Darboux-Fedida, considere o recobrimento Galoisiano, P 1 = p 1 M : M M, a submersão P 2 = p 2 M : M G e o homomorfismo h : π 1 (M) G, associado ao grupo dos automorfismos do recobrimento P 1. Pelo Teorema de Darboux, temos que i. (pelo item 4) P 2 é equivariante por h, ou seja P 2 (α(x)) = h(α) P 2 (x) ; ii. (pelo item 6) P 1 (F) é a folheação definida pela submersão P 2 ; A coleção (M, P 2, h, G) recebe o nome de G-desenvolvimento da g-folheação F. Note que se tivéssemos escolhido uma outra folha M de G diferente de M, teríamos um outro G-desenvolvimento ( M, P 2, h, G) para F. Neste caso, os desenvolvimentos estariam relacionados da seguinte maneira: h = g h g 1 e P 2 = g P 2, para algum elemento g G tal que φ g (M ) = M. Reciprocamente, a existência de um G-desenvolvimento para uma folheação implica que tal folheação é uma folheação de Lie. Mais precisamente, seja F uma folheação de codimensão q de uma variedade diferenciável M (a princípio não necessariamente uma folheação de Lie) e suponha que consigamos encontrar um recobrimento P 1 : M M, uma submersão P 2 : M G e um homomorfismo h : π 1 (M) G associado ao grupo dos automorfismos do recobrimento P 1. Suponha ainda que a coleção (M, P 2, h, G) satisfaça os ítens (i) e (ii) acima. Diremos, também nesse caso, que (M, P 2, h, G) é um G-desenvolvimento para F. Usando a aplicação P 2 P 1 1 restrita a vizinhanças distinguidas do recobrimento P 1 e usando a equivariância de P 2 por h, podemos encontrar uma família de submersões {f i : U i G} i Λ e uma família localmente constante {g ij } i,j Λ de aplicações g ij : U i U j G satisfazendo: 1. {U i } i Λ é uma cobertura aberta de M. 2. as folhas de F Ui são dadas por f i = constante. 15

21 3. f i (x) = g ij (x) f j (x), x U i U j. Dizemos que as submersões {f i : U i G} i Λ e a família {g ij } i,j Λ definem uma estrutura transversal de Lie para F modelada em G. Se α 1,, α q são 1-formas invariantes à esquerda e linearmente independentes sobre G com constantes estruturais {c k ij}, podemos fazer o pull-back pelas submersões {f i : U i G} i Λ e obter 1-formas ω 1,..., ω q linearmente independentes definidas globalmente sobre M e satisfazendo dω k = i<j ck ijω i ω j. De fato, isto pode ser feito consistentemente pois as aplicações de transição são translações à esquerda. Portanto, a folheação F é uma g-folheação de Lie sobre M. Em resumo, uma folheação F de uma variedade diferenciável M é uma g-folheação de Lie se e somente se F admite um G-desenvolvimento. Ou ainda, F é uma g-folheação de Lie se e somente se F admite um estrutura transversal de Lie modelada por G. Uma álgebra de Lie g é dita compacta se ela é a álgebra de Lie de algum grupo de Lie compacto e conexo. Apresentamos abaixo um método conhecido de se obter exemplos de g-folheações de Lie sobre variedades compactas quando g é uma álgebra de Lie compacta: Exemplo 3. Seja G um grupo de Lie compacto e conexo, N uma variedade compacta e conexa e seja h : π 1 (N) G um homomorfismo. Denote por Ñ o recobrimento universal de N e considere a ação diagonal de π 1 (N) sobre Ñ G definida por α(x, g) ((x)α, h(α) 1 g). Tal ação é propriamente descontínua e isto nos permite dar uma estrutura ) diferenciável que torna E = (Ñ G /π 1 (N) uma variedade compacta. Além disso, podemos definir sobre E uma folheação F transversal às fibras (ver [5], pag 93). folheação é uma g-folheação de Lie, pois, por construção, admite uma estrutura transversal de Lie modelada em G. Além disso, verifica-se que a ação natural por translações à direita sobre E está bem definida, é transversal à F e preserva suas folhas. Se Ω é uma 1-forma com valores em g que define F, então Ω é uma forma de conexão flat do G-fibrado principal E. Tal A g-folheação de Lie F definida no Exemplo 2 possui uma propriedade especial: existe uma ação suave φ na variedade ambiente que preserva as folhas de F e cujas órbitas são transversais às folhas de F. O mesmo vale para o Exemplo 3 e para a folheação G definida sobre M G durante a demonstração do Teorema de Darboux-Fedida. Elas fazem parte de uma classe especial de folheações denominadas folheações G-i.u.t.a., a qual passamos a descrever mais formalmente: Seja G um grupo de Lie conexo de dimensão q e F uma 16

22 folheação de codimensão q sobre uma variedade diferenciável conexa M. Dizemos que F é G-i.u.t.a. (ou invariante por uma ação transversal de G) se existe uma ação localmente livre φ de G sobre M cujas órbitas são transversais às folhas de F e tal que, para cada g G, φ g leva folhas de F difeomorficamente sobre folhas de F. Em [2], os autores constroem um desenvolvimento para essa classe de folheações. Em particular, se g é a álgebra de Lie de G, então uma folheação G-i.u.t.a. é uma g-folheação de Lie. A recíproca, no entanto, não é necessariamente verdadeira. É possível provar que uma g-folheação de Lie F sobre uma variedade compacta é G-i.u.t.a. se e somente F admite uma folheação complementar (ver [2]). Uma maneira de buscar um exemplo de folheação de Lie que não é G-i.u.t.a. é o seguinte: Seja g uma álgebra de Lie de dimensão q e G o (único) grupo de Lie conexo e simplesmente conexo que tem g como álgebra de Lie. Seja M uma variedade compacta de dimensão q + 1 com grupo fundamental finito. Se M admitir uma g-folheação de Lie F, então F não é G-i.u.t.a.. De fato, isto é uma conseqüência do Corolário 1, pagina 176 de [5]. Folheações de Lie de variedades compactas são dinamicamente simples. Isto pode ser justificado pelo Teorema de Fedida para folheações de Lie ([11]). O resultado abaixo está contido no trabalho de Fedida: Fibração de Fedida ([11]). Seja M uma variedade compacta e conexa e G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Se F = F Ω é uma g-folheação de Lie sobre M com holonomia global Γ = Γ(Ω, G), então existe uma fibração localmente trivial P : M Γ\G tal que cada fibra é um subconjunto F-saturado de M. Em particular, Γ\G é compacto. Demonstração. Existe uma única estrutura diferenciável para Γ\G que torna a projeção natural π : G Γ\G um fibrado principal (à esquerda). Pela construção na demonstração do teorema de Darboux-Fedida, existe uma única aplicação P : M Γ\G que faz o diagrama p 2 M M p 1 M M P G π Γ\G comutar. Como p 1 M é uma aplicação de recobrimento, então P é suave. Como π p 2 M é uma submersão, então P é uma submersão. Como M é compacta, P é uma fibração 17

23 localmente trivial (Teorema de Ehresmann, ver [13]). Pelo item 6 do Teorema de Darboux- Fedida, cada fibra de P é um subconjunto F-saturado de M. Observação 1. Quando o grupo de Lie G é simplesmente conexo, podemos enunciar o Teorema de Fedida de forma mais precisa. De fato, neste caso verifica-se que a fibração P : M Γ\G possui fibras conexas e que F induz sobre cada fibra de P uma h-folheação de Lie com todas as folhas densas, onde h é a álgebra de Lie de Γ. No caso de folheações G-i.u.t.a., podemos enunciar uma versão completa do Teorema de Fedida mesmo quando o grupo de Lie G não é simplesmente conexo: Teorema de Fedida para folheações G-i.u.t.a. Seja M uma variedade compacta e conexa e F uma folheação G-i.u.t.a. sobre M. Seja L uma folha de F e considere o subgrupo Γ = {g G; φ g (L) = L}. Existe uma fibração localmente trivial com fibras conexas P : M G/Γ tal que cada fibra é um subconjunto F-saturado de M. Além disso, F induz sobre a fibra contendo L uma h-folheação de Lie com todas as folhas densas, onde h é a álgebra de Lie de Γ. Demonstração. Seja φ a ação de G sobre M que preserva e é transversal à F. Seja p 1 : G L G a projeção natural. Seguindo a demonstração do Teorema 1 de [2], concluímos que a aplicação φ G L : G L M é um recobrimento galoisiano e que existe uma única aplicação P : M G/Γ tal que o diagrama abaixo G L φ G L M p 1 G π P G/Γ comuta. Concluimos assim que P é uma submersão e, pela compacidade de M, uma fibração localmente trivial. Vamos provar que P 1 ([e]) é exatamente o fecho de L. Afirmação. Γ H = {g G; φ g (L) = L}. De fato, usando a compacidade de M, é fácil verificar que se g Γ, então φ g (L) L. Por outro lado, se g pertence a Γ, então g 1 também pertence e, portanto, φ g 1 (L) L 18

24 e isto prova que Γ H = {g G; φ g (L) = L}. Obviamente o conjunto fechado F-saturado P 1 ([e]) contém L. Seja L 1 uma folha de F contida em P 1 ([e]). Usando a conexidade de M e a transversalidade de φ com respeito à F, é possível provar que φ age transitivamente no espaço de folhas de F (ver [2]), isto é, existe g G tal que φ g (L) = L 1. Como L 1 P 1 ([e]), temos que g Γ. Logo, pela afirmação acima, L 1 φ g (L) = L donde concluímos que P 1 ([e]) = L. Como φ preserva F, é fácil verificar que L = φ g (L) = φ g (L) = L 1. Portanto F induz sobre L uma folheação com todas as folhas densas. Seja Γ 0 a componente conexa de Γ contendo a identidade. Pela afirmação acima e pelas dimensões das variedades envolvidas, temos que a folheação induzida por F sobre L é uma folheação Γ 0 -i.u.t.a., sendo, portanto, uma h-folheação de Lie com todas as folhas densas. Além disso, segue da afirmação acima e das dimensões envolvidas, que Γ 0 coincide com a componente conexa de H contendo a identidade. Concluiremos a seção de preliminares apresentando o famoso Teorema de fibração de Tischler. Seguiremos aqui a prova apresentada por Plante em [27]. Seja M uma variedade compacta e ω uma 1-forma fechada suave sobre M. Como ω é fechada, o homomorfismo Ψ ω : π 1 (M) R [γ] ω está bem definido. A imagem de Ψ ω recebe o nome de grupo de períodos de ω. Dizemos que ω tem períodos racionais se o grupo de períodos de ω está contido em Q. Se ω tem períodos racionais e ω é não singular, então as folhas da R-folheação de Lie F definida pelo núcleo de ω são fechadas e M é um fibrado localmente trivial sobre S 1. De fato, como π 1 (M) é finitamente gerado, podemos supor que o grupo de períodos de ω está contido em Z, multiplicando ω por um número inteiro adequado, o que não altera a folheação. Assim, fixado x 0 M, a aplicação π : M R/Z S 1 x ω, γ x 19 γ

25 onde γ x é qualquer caminho ligando x a x 0, está bem definida. Além disso, a aplicação π é uma submersão, pois Dπ(x) v = ω(x) v e ω é não singular. Segue do Teorema da fibração de Ehresmann que π é uma fibração localmente trivial. Por construção, se x e y estão numa mesma folha de F, então π(x) = π(y). Logo, π 1 (z) é uma união finita de folhas de F. Em particular, todas as folhas de F são compactas. Podemos afirmar o mesmo no caso de uma R r -folheação de Lie. Mais precisamente, seja M uma variedade compacta e seja F uma R r -folheação de Lie definida por 1-formas fechadas ω 1,..., ω r linearmente independentes sobre M. Se ω 1,..., ω r têm períodos racionais, então as folhas de F são compactas e M fibra sobre o toro T r. De fato, assim como antes, podemos supor que o grupo de períodos das formas tem períodos inteiros, donde a aplicação π : M R/Z R/Z ( x ω 1,, γ x fica bem definida. Além disso, v T x M pertence ao núcleo de Dπ(x) se e somente se v é tangente a F em x. Concluímos então que, também neste caso, π é uma submersão e que a afirmação procede. Considere a variedade compacta M munida de uma métrica Riemanniana e denote por T M 1 o seu fibrado tangente unitário. Considere o espaço de 1-formas suaves sobre M munido da norma ω = γ x ω r sup { ω(p)v }. (p,u) T M 1 Sejam ω 1,..., ω r 1-formas linearmente independentes sobre M. Existe ɛ > 0, suficientemente pequeno, tal que se ω i ω i < ɛ para cada i {1,..., r}, então as 1-formas ω 1,..., ω r são linearmente independentes sobre M. ). Teorema de Fibração de Tischler ([30]). Sejam ω 1,..., ω r 1-formas fechadas linearmente independentes sobre uma variedade compacta e conexa M. 1. A R r -folheação de Lie definida por ω 1,..., ω r pode ser C 0 -aproximada por uma R r - folheação de Lie com todas as folhas compactas; 2. A variedade M fibra sobre o toro T r. 20

26 Demonstração. Vamos provar que dada uma forma fechada ω sobre M, é possível encontrar uma 1-forma fechada ω com períodos racionais arbitrariamente próxima de ω, com respeito à norma definida acima. Em particular, pelo que comentamos acima, conseguiremos aproximar as formas fechadas ω 1,..., ω r por formas fechadas linearmente independentes com períodos racionais que, portanto, geram uma R r -folheação de Lie com folhas compactas. A aproximação das 1-formas com respeito à norma mencionada, implica na C 0 -aproximação das referidas folheações (consideradas como seções do fibrado r-grassmanniano de M). O famoso Teorema de Hurewicz (ver [3], página 173) define um homomorfismo sobrejetor natural entre π 1 (M) e H 1 (M, Z) cujo núcleo é o subgrupo dos comutadores de π 1 (M). Como M é compacta, H 1 (M, Z) é um grupo abeliano finitamente gerado. Portanto, H 1 (M, Z) é a soma direta da sua parte livre, a qual denotamos por H, com um subgrupo abeliano finito. Usando o Teorema de Hurewicz, podemos portanto definir uma projeção natural P : π 1 (M) H. Tome curvas fechadas suaves γ 1,..., γ k em M cuja projeção por P das respectivas classes de homotopia formam uma base β de H. Seja α 1,..., α k a base dual de β em H. Como Z não tem torção, H = H 1 (M, Z) = H 1 (M, Z), donde α 1,..., α k formam uma base de H 1 (M, Z). Pelo Teorema do Isomorfismo de De Rham (ver [3], página 287), podemos considerar α 1,..., α k como 1-formas fechadas suaves sobre M que satisfazem γ i α j = δ ij. Seja ω uma 1-forma fechada suave sobre M e seja γ um caminho suave fechado sobre M. Como R é abeliano e livre de torção, se P ([γ]) = n 1 P ([γ 1 ])+ +n k P ([γ k ]) é a projeção da classe de homotopia de γ dentro de H, temos que ω = n 1 ω + + n k ω. γ γ 1 γ k Note que, em particular, α 1,..., α k tem períodos inteiros. Além disso, se escrevermos c i := γ i ω, temos que o grupo de períodos da forma fechada ( ) k ω c i α i é trivial. Com isto, se escolhemos um ponto base x 0 M, temos que a função ( ) k f(x) = ω c i α i, i=1 [x 0,x] i=1 onde a integral calculada ao longo de qualquer caminho unindo x 0 a x, está bem definida. Por construção, temos que ( k ) ω = c i α i + df. l=1 21

27 Como as formas α 1,..., α k tem períodos inteiros, temos que ω tem períodos racionais se e somente se c 1,..., c k pertencem aos racionais. Como Q é denso em R, podemos escolher números racionais q 1,..., q k, com q i arbitrariamente próximo de c i, de modo que a forma ( k ) ω = q i α i + df l=1 tenha períodos racionais e esteja arbitrariamente próxima da forma ω com respeito à norma descrita acima. Seja M uma variedade diferenciável conexa, compacta e orientada. Denotemos por Λ 1 (M) o conjunto de todas as 1-formas diferenciais suaves sobre M e por Λ 1 h(m) = {ω Λ 1 (M); ω = 0} o subespaço das 1-formas harmônicas sobre M (para todos os detalhes, ver [33]). Fixada uma base de Λ 1 h (M), podemos definir uma projeção H : Λ1 (M) Λ 1 h (M) (ver [33], página 224). Se θ Λ 1 (M) é uma 1-forma fechada, segue do Teorema de Hodge (Teorema 6.11 em [33]) que a forma H(θ) é a única forma harmônica na classe de cohomologia de θ. Abaixo, utilizamos o Teorema de Hodge para escrever uma versão do Teorema de Tischler que nos será importante na prova do Teorema A: Teorema de Fibração de Tischler (versão 2). Sejam ω 1,..., ω r 1-formas fechadas linearmente independentes sobre uma variedade compacta, conexa e orientada M. Existem 1-formas fechadas harmônicas u 1,..., u r sobre M arbitrariamente pequenas, tais que as formas fechadas ω 1 + u 1,..., ω r + u r são linearmente independentes e possuem períodos racionais. Demonstração. Mais uma vez, basta considerar o caso r = 1. Seguindo a notação utilizada na demonstração do Teorema de Fibração de Tischler, considere a forma fechada k θ := ω ω = (q i c i )α i. Pelo que vimos, podemos tomar θ arbitrariamente pequena, bastando tomar os coeficientes racionais de ω arbitrariamente próximos dos coeficientes de ω. Tomando a projeção H : 22 l=1

28 Λ 1 (M) Λ 1 h (M) mencionada acima, temos que a forma harmônica u = H(θ) pertence à mesma classe de cohomologia de θ. Isto implica que as formas fechadas ω = ω + θ e ω + u possuem o mesmo grupo de períodos. Portanto, ω + u possui períodos racionais. Usando o fato de que o operador H é contínuo, podemos tomar a forma u arbitrariamente pequena, bastando para isso que θ seja suficientemente pequena. 1.2 Decompondo folheações de Lie Dada uma álgebra de lie g, existe um ideal solúvel de g que contém todos os ideais solúveis de g, Este ideal é chamado radical de g e o denotamos por r(g). Temos que g é solúvel se e somente se r(g) = g; g é semisimples se e somente se r(g) = 0, isto é, se e somente se g não tem ideais solúveis; e g é simples se e somente se g não tem ideais próprios e é não-abeliana. É bem conhecido (ver [32]) que qualquer álgebra de Lie semisimples admite uma decomposição s = s 1 s 2 s l em soma direta de subalgebras de Lie simples. As somas diretas de 1 j l elementos de {s 1,..., s l } são (os únicos) ideais de g. O próximo resultado também pode ser encontrado em [32]: Decomposição de Levi-Malcev. Seja g uma álgebra de Lie e seja r(g) g seu radical. Existe uma subálgebra semisimples s g tal que g é uma soma direta (como espaços vetoriais) de s e r(g). Uma subálgebra de Lie s < g dada pela decomposição de Levi-Malvec recebe o nome de fator de Levi de g. Seja G um grupo de Lie conexo que tem g como álgebra de Lie. Se S < G é o único subgrupo de Lie conexo de G que tem s como álgebra de Lie, dizemos que S é um fator de Levi de G. O único subgrupo de Lie conexo R < G cuja álgebra de Lie é r(g) é denominado radical de G. Nos próximos resultados, nós usamos decomposições de álgebras de Lie para decompor folheações de Lie. Em particular, verificamos que o estudo de folheações de Lie com folhas densas pode ser reduzido, em algum sentido, ao caso solúvel e simples: Proposição I. Se F é uma g-folheação de Lie sobre uma variedade conexa M e s < g é um fator de Levi de g, então existe uma s-folheação de Lie S sobre M. Cada folha de 23

29 S é um subconjunto F-saturado de M. Além disso, se S tem uma folha mergulhada L e g s, então F L é uma r(g)-folheação de Lie, onde r(g) < g é o radical de g. Demonstração. Considere um decomposição de Levi-Malcev g = s + r(g). Como g é nãosolúvel, s não é trivial. Tome uma base {X 1,..., X s } de s e uma base {X s+1,..., X q } de r(g). Seja c k ij as constantes estruturais da base β = {X 1,..., X s, X s+1,..., X q }. Usando o fato de que r(g) é um ideal de g, é fácil verificar que Se 1 k s e i ou j são maiores que s, então c k ij = 0. (1.12) Como F é uma g-folheação de Lie, existem 1-formas fechadas linearmente independentes ω 1,..., ω s, ω s+1,..., ω q sobre M tangentes à F e satisfazendo as relações envolvendo as constantes estruturais {c k ij}. Por (1.12), ω 1,..., ω s definem uma s-folheação de Lie S sobre M. Por construção, cada folha de S é um subconjunto F-saturado de M. Suponha que S tenha uma folha mergulhada L e que s g. As 1-formas η 1 := ω s+1 L, η 2 := ω s+2 L,..., η q s := ω q L, são suaves e linearmente independentes em L. Since ω 1 L ω s L 0, temos que dη k = i<j C k ijη i η j, onde Cij k = c (k+s) (i+s)(j+s) são as constantes estruturais associadas à base Y 1 := X s+1,..., Y q s := X q de r(g). Portanto, η 1,..., η q s definem uma r(g)-folheação de Lie sobre L. Tal folheação deve ser F L. Proposição II. Se F é uma g-folheação de Lie sobre M e g é não-solúvel, então existe uma s-folheação de Lie S sobre M, onde s < g é uma subálgebra de Lie simples. Cada folha de S é um subconjunto F-saturado de M. Demonstração. Seja S a s-folheação de Lie sobre M dada pela Proposição I. Tome uma decomposição s = s 1 s 2 s s em subálgebras de Lie simples, como mencionado no início da seção. Usando o fato de que s 2 s s é um ideal de s e procedendo como na prova da Proposição I, obtemos uma s 1 -folheação de Lie S 1 sobre M tal que cada folha de S 1 é um subconjunto S-saturado de M. Obviamente, cada folha de S 1 é também um subconjunto F-saturado de M. 24

30 Denotemos por Dg g a álgebra derivada de g. Por definição, Dg é o subespaço vetorial gerado por todos os elementos da forma [X, Y ], com X, Y g. É fácil ver que Dg é um ideal de g. Fazendo D 0 g = g, podemos definir indutivamente a p-ésima álgebra derivada de g como sendo D p g = D (D p 1 g). Se g é semisimples, então Dg = g. Se g é solúvel, então existe p N tal que D p g = {0}. Para maiores detalhes, ver [32]. O próximo resultado é uma generalização simples do Teorema de fibração de Tischler: Proposição III. Seja F uma g-folheação de Lie sobre M n. Se l = dimg dim Dg > 0, então existem l 1-formas fechadas linearmente independentes sobre M. Em particular, se M é compacta, então M fibra sobre o toro de dimensão l. Seja G a R l -folheação de Lie definida por estas 1-formas fechadas. Cada folha de G é um subconjunto F-saturado de M. Se G tem uma folha mergulhada L, então F L é uma h-folheação de Lie sobre L, onde h = Dg < g. Demonstração. Tome um produto interno qualquer sobre o espaço vetorial g e considere a decomposição g = (Dg) Dg. Seja β = {X 1,..., X l, X l+1,..., X q } uma base de g tal que X 1,..., X l é uma base de (Dg). Como F é uma g-folheação de Lie, existem q 1-formas linearmente independentes ω 1,..., ω l, ω l+1,..., ω q sobre M tangentes à F e que satisfazem as condições envolvendo as constantes estruturais de β. Como [X i, X j ] Dg, temos que c 1 ij = = c l ij = 0. Portanto ω 1,..., ω l são fechadas e definem uma R l -folheação de Lie G sobre M. Se G tem uma folha compacta, então, como Dg é um ideal, podemos proceder como na prova da Proposição I e concluir o resultado. 1.3 Uma versão do Teorema de Tischler para grupos de Lie compactos Convergência de campos de planos O objetivo até o fim desta seção é provar dois lemas que, apesar de bastante simples, são um pouco técnicos. Isto porque eles foram construídos para se encaixar especificamente na prova do Teorema A. Para tratar da convergência mencionada no Teorema A, devemos considerar o conjunto de folheações suaves como o conjunto das seções suaves e integráveis 25