ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ù Ð Ó ÓÒ Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Í ÊÊÂ ½ Ú Ö ÖÓ ¾¼½¾ Ù Ð Ó ÓÒ Ó ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ
|
|
|
- Bernadete Fagundes
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Í ÊÊÂ ½ Ú Ö ÖÓ ¾¼½¾
2 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ
3 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö
4 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ
5 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ö Ø Þ Ó Ñ ½ Õº ÈÓ ÓÒ
6 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ö Ø Þ Ó Ñ ½ Õº ÈÓ ÓÒ Ö Ø Þ Ó Ñ ¾ Õº ÈÓ ÓÒ
7 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ö Ø Þ Ó Ñ ½ Õº ÈÓ ÓÒ Ö Ø Þ Ó Ñ ¾ Õº ÈÓ ÓÒ ÉÙ Ö ØÙÖ Ò
8 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ö Ø Þ Ó Ñ ½ Õº ÈÓ ÓÒ Ö Ø Þ Ó Ñ ¾ Õº ÈÓ ÓÒ ÉÙ Ö ØÙÖ Ò ÖÖ Ñ ÒØ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ð ÖÖÓ
9 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ö Ø Þ Ó Ñ ½ Õº ÈÓ ÓÒ Ö Ø Þ Ó Ñ ¾ Õº ÈÓ ÓÒ ÉÙ Ö ØÙÖ Ò ÖÖ Ñ ÒØ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ð ÖÖÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ
10 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ö Ø Þ Ó Ñ ½ Õº ÈÓ ÓÒ Ö Ø Þ Ó Ñ ¾ Õº ÈÓ ÓÒ ÉÙ Ö ØÙÖ Ò ÖÖ Ñ ÒØ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ð ÖÖÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ Å ØÓ Ó Ø Ö Ø ÚÓ Ô Ö Ø Ñ Ð Ò Ö
11 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ö Ø Þ Ó Ñ ½ Õº ÈÓ ÓÒ Ö Ø Þ Ó Ñ ¾ Õº ÈÓ ÓÒ ÉÙ Ö ØÙÖ Ò ÖÖ Ñ ÒØ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ð ÖÖÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ Å ØÓ Ó Ø Ö Ø ÚÓ Ô Ö Ø Ñ Ð Ò Ö Ö ÒØ ÓÒ Ù Ó µ
12 Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ö Ø Þ Ó Ñ ½ Õº ÈÓ ÓÒ Ö Ø Þ Ó Ñ ¾ Õº ÈÓ ÓÒ ÉÙ Ö ØÙÖ Ò ÖÖ Ñ ÒØ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ð ÖÖÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ Å ØÓ Ó Ø Ö Ø ÚÓ Ô Ö Ø Ñ Ð Ò Ö Ö ÒØ ÓÒ Ù Ó µ ÅÊ Ë
13 Ê Ö Ò Ð Ó Ö ÂÙ Ò ÐÚ À ÒÖ ÕÙ Î Ö ÙÜ ÁÒØÖÓ ÙÓ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö Ò Ô Ö Ú Ó Ñ ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ¾ Óº ÓÐ ÕÙ Ó Ö Ð ÖÓ Å Ø Ñ Ø º ÁÅÈ ÈÖÓ º Ö Ø Ò Ö Ø Ò Ò ÓÑ Ô ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º Ù¹ ÖÐ Òº»»
14 Ê Ö Ò Ð Ó Ö ÂÙ Ò ÐÚ À ÒÖ ÕÙ Î Ö ÙÜ ÁÒØÖÓ ÙÓ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö Ò Ô Ö Ú Ó Ñ ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ¾ Óº ÓÐ ÕÙ Ó Ö Ð ÖÓ Å Ø Ñ Ø º ÁÅÈ Ð ÂÓ Ò ÓÒ ÆÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ó ÓÚ Ö ÔÙ Ð Ø ÓÒ º ÈÖÓ º Ö Ø Ò Ö Ø Ò Ò ÓÑ Ô ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º Ù¹ ÖÐ Òº»»
15 Ê Ö Ò Ð Ó Ö ÂÙ Ò ÐÚ À ÒÖ ÕÙ Î Ö ÙÜ ÁÒØÖÓ ÙÓ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö Ò Ô Ö Ú Ó Ñ ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ¾ Óº ÓÐ ÕÙ Ó Ö Ð ÖÓ Å Ø Ñ Ø º ÁÅÈ Ð ÂÓ Ò ÓÒ ÆÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ó ÓÚ Ö ÔÙ Ð Ø ÓÒ º ØÖ Ö Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ì ÓÖÝ Ø ÓÐÚ Ö Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÓÐ Ñ Ò Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º ÈÖÓ º Ö Ø Ò Ö Ø Ò Ò ÓÑ Ô ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º Ù¹ ÖÐ Òº»»
16 Ê Ö Ò Ð Ó Ö ÂÙ Ò ÐÚ À ÒÖ ÕÙ Î Ö ÙÜ ÁÒØÖÓ ÙÓ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö Ò Ô Ö Ú Ó Ñ ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ¾ Óº ÓÐ ÕÙ Ó Ö Ð ÖÓ Å Ø Ñ Ø º ÁÅÈ Ð ÂÓ Ò ÓÒ ÆÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ó ÓÚ Ö ÔÙ Ð Ø ÓÒ º ØÖ Ö Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ì ÓÖÝ Ø ÓÐÚ Ö Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÓÐ Ñ Ò Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º º Ð ÖØÝ º Ö Ø Ò Ò Ëº ÙÒ Ò Ê Ñ Ö ÖÓÙÒ ¼ Ð Ò Ó Å ØÐ ÓÖØ Ò Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÆÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ¾¼ ½ µ ½½ ½ º ÈÖÓ º Ö Ø Ò Ö Ø Ò Ò ÓÑ Ô ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º Ù¹ ÖÐ Òº»»
17 ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ñ ½ { u (x) = f(x), Ô Ö x (a,b) u(x) = g(x), Ô Ö x = a, ÓÙ x = b. Ñ ¾ R 2 µ { (x) = f(x), Ô Ö x u(x) = g(x), Ô Ö x
18 ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ { u t = u(x), Ô Ö x u(x) = g(x), Ô Ö x.
19 ÓÖÑÙÐ Ö Ü ÑÔÐÓ ½ Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ Ñ Ò Ó ½º Ü ÑÔÐÓ ¾ Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ Ñ Ò Ó ¾º Ü ÑÔÐÓ Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Æ ÙÑ ÒÒ Ñ Ñ Ò Ó ¾º
20 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ½ Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ ÙÑ Ñ Ò Ó
21 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ½ Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ ÙÑ Ñ Ò Ó { u (x) = f(x), Ô Ö x (a,b) u(x) = g(x), Ô Ö x = a, ÓÙ x = b. ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ ÔÓÖ v C 0 (a,b)
22 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ½ Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ ÙÑ Ñ Ò Ó { u (x) = f(x), Ô Ö x (a,b) u(x) = g(x), Ô Ö x = a, ÓÙ x = b. ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ ÔÓÖ v C 0 (a,b) ÒØ Ö ÑÓ a Ø b
23 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ½ Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ ÙÑ Ñ Ò Ó { u (x) = f(x), Ô Ö x (a,b) u(x) = g(x), Ô Ö x = a, ÓÙ x = b. ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ ÔÓÖ v C 0 (a,b) ÒØ Ö ÑÓ a Ø b
24 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ½ Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ ÙÑ Ñ Ò Ó { u (x) = f(x), Ô Ö x (a,b) u(x) = g(x), Ô Ö x = a, ÓÙ x = b. ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ ÔÓÖ v C 0 (a,b) ÒØ Ö ÑÓ a Ø b b b u (x)v(x) Ü = f(x)v(x) Ü, Ô Ö ØÓ Ó v C0 (a,b) a a u(x) = g(x), Ô Ö x = a, ÓÙ x = b.
25 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÑÓ v C0 (a,b) ÒØÓ v(a) = v(b) = 0º Í Ò Ó ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ Ó Ø ÑÓ b b u (x)v(x) Ü = a a u (x)v (x) Ü [u (b)v(b) u (a)v(a)]
26 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÑÓ v C0 (a,b) ÒØÓ v(a) = v(b) = 0º Í Ò Ó ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ Ó Ø ÑÓ b b u (x)v(x) Ü = a a b = a u (x)v (x) Ü [u (b)v(b) u (a)v(a)] u (x)v (x) Ü
27 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÑÓ v C0 (a,b) ÒØÓ v(a) = v(b) = 0º Í Ò Ó ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ Ó Ø ÑÓ b b u (x)v(x) Ü = a a b = a u (x)v (x) Ü [u (b)v(b) u (a)v(a)] u (x)v (x) Ü b b u (x)v (x) Ü = f(x)v(x) Ü, Ô Ö ØÓ Ó v C0 (a,b) a a u(x) = g(x), Ô Ö x = a, ÓÙ x = b.
28 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ½ b b u (x)v (x) Ü = f(x)v(x) Ü, Ô Ö ØÓ Ó v C0 (a,b) a a u(x) = g(x), Ô Ö x = a, ÓÙ x = b. ÆÇÌ ÈÖ ÑÓ ÕÙ u Ö Ú Ú Ð Ô Ò ÙÑ Ú Þ ÒÓ Ù ÓÑÓ Ò ÓÖÑÙÐ Ó ÓÖØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ º
29 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ¾ Ü ÑÔÐÓ ¾ ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ Ñ Ò Ó ¾º
30 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ¾ Ü ÑÔÐÓ ¾ ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ Ñ Ò Ó ¾º ÓÒ Ö ÑÓ R 2 ÓÑ Ò Óµ { u(x) = f(x), Ô Ö x u(x) = g(x), Ô Ö x.
31 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ¾ Ü ÑÔÐÓ ¾ ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ Ñ Ò Ó ¾º ÓÒ Ö ÑÓ R 2 ÓÑ Ò Óµ { u(x) = f(x), Ô Ö x u(x) = g(x), ÓÒ u = u xx +u yy ÖÓÒØ Ö Ô Ö x.
32 Á ÒØ Ö Ò Ì ÓÖ Ñ Ú Ö Ò Ë F : R n R n ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ðº F Ü = F n
33 Á ÒØ Ö Ò Ì ÓÖ Ñ Ú Ö Ò Ë F : R n R n ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ðº F Ü = F n ÓÒ Ö Ò Ó F = v u ÓÑ u,v : R 2 R F Ü = (v u) Ü = ( v u+ u v ) Ü
34 Á ÒØ Ö Ò Ì ÓÖ Ñ Ú Ö Ò Ë F : R n R n ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ðº F Ü = F n ÓÒ Ö Ò Ó F = v u ÓÑ u,v : R 2 R F Ü = (v u) Ü = F n = ( v u+ u v ) Ü v u n
35 Á ÒØ Ö Ò Ì ÓÖ Ñ Ú Ö Ò Ë F : R n R n ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ðº F Ü = F n ÓÒ Ö Ò Ó F = v u ÓÑ u,v : R 2 R F Ü = (v u) Ü = F n = ( v u+ u v ) Ü v u n v u Ü = u v Ü v u n
36 ÈÖ Ñ Ö Á ÒØ Ö Ò ÈÖ Ñ Ö Á ÒØ Ö Ò Ë Ñ u,v ÙÒ R 2 Ñ Rº v u Ü = u v Ü v u n
37 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ¾ { u(x) = f(x), Ô Ö x u(x) = g(x), Ô Ö x.
38 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ¾ { u(x) = f(x), Ô Ö x u(x) = g(x), Ô Ö x. ÅÙÐØ ÔÐ ÑÓ ÔÓÖ v C 0 () ÁÒØ Ö ÑÓ Ñ
39 ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ü ÑÔÐÓ ¾ { u(x) = f(x), Ô Ö x u(x) = g(x), Ô Ö x. ÅÙÐØ ÔÐ ÑÓ ÔÓÖ v C 0 () ÁÒØ Ö ÑÓ Ñ u(x)v(x) Ü = u(x) = g(x), f(x)v(x) Ü, Ô Ö ØÓ Ó v C 0 () Í Ò Ó ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Òººº Ô Ö x.
40 Ü ÑÔÐÓ ¾ ÈÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ò v(x) = 0 Ñ u(x)v(x) Ü = u v Ü v u n
41 Ü ÑÔÐÓ ¾ ÈÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ò v(x) = 0 Ñ u(x)v(x) Ü = = u v Ü v u n u v Ü
42 Ü ÑÔÐÓ ¾ ÈÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ò v(x) = 0 Ñ u(x)v(x) Ü = = u v Ü v u n u v Ü ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ö u : R 2 R Ø Ð ÕÙ u(x) v(x) Ü = f(x)v(x), Ô Ö ØÓ Ó v C0 () u(x) = g(x), Ô Ö x.
43 Ü ÑÔÐÓ Æ ÙÑ ÒÒ Ñ ¾ Ö u : R Ø Ð ÕÙ u(x) = f(x) u n = h(x) x x.
44 Ü ÑÔÐÓ Æ ÙÑ ÒÒ Ñ ¾ Ö u : R Ø Ð ÕÙ u(x) = f(x) u n = h(x) x x. Æ Ö Ó Ò Ù ÓÒ ÍÒ ÓÐÙÓ ÓÑÔ Ø Ð
45 Ü ÑÔÐÓ Æ ÙÑ ÒÒ Ñ ¾ Ö u : R Ø Ð ÕÙ u(x) = f(x) u n = h(x) x x. Æ Ö Ó Ò Ù ÓÒ ÍÒ ÓÐÙÓ ÓÑÔ Ø Ð n u = u n
46 ÍÒ ÓÐÙÓ Ë u(x) ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Æ ÙÑ ÒÒ ÒØÓ u C (x) = u(x)+c Ø Ñ Ñ ÓÐÙÓ ÓÒ C ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ º
47 ÍÒ ÓÐÙÓ Ë u(x) ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Æ ÙÑ ÒÒ ÒØÓ u C (x) = u(x)+c Ø Ñ Ñ ÓÐÙÓ ÓÒ C ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ º ØÓ u c (x) = (u(x)+c)
48 ÍÒ ÓÐÙÓ Ë u(x) ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Æ ÙÑ ÒÒ ÒØÓ u C (x) = u(x)+c Ø Ñ Ñ ÓÐÙÓ ÓÒ C ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ º ØÓ u c (x) = (u(x)+c) = u(x)
49 ÍÒ ÓÐÙÓ Ë u(x) ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Æ ÙÑ ÒÒ ÒØÓ u C (x) = u(x)+c Ø Ñ Ñ ÓÐÙÓ ÓÒ C ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ º ØÓ u c (x) = (u(x)+c) = u(x) u c (x) = (u(x)+c)
50 ÍÒ ÓÐÙÓ Ë u(x) ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Æ ÙÑ ÒÒ ÒØÓ u C (x) = u(x)+c Ø Ñ Ñ ÓÐÙÓ ÓÒ C ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ º ØÓ u c (x) = (u(x)+c) = u(x) u c (x) = (u(x)+c) = u(x) u c (x) = f(x) u c n = h(x) x x.
51 ÍÒ ÓÐÙÓ ÙÒ ÔÓ Ö Ó Ø ÑÔÓÒ Ó u(x) Ü = 0
52 ÍÒ ÓÐÙÓ ÙÒ ÔÓ Ö Ó Ø ÑÔÓÒ Ó u(x) Ü = 0 ÆÓØ º º Ñ u Þ ÖÓº ÈÓ ÑÓ Ù Ö ÓÙØÖ ÓÒ Ó ÒÓ ÐÙ Ö Ø º
53 ÓÑÔ Ø Ð Ó ÈÖÓ Ð Ñ
54 ÓÑÔ Ø Ð Ó ÈÖÓ Ð Ñ È ÐÓ Ø ÓÖ Ñ Ú Ö Ò f(x) Ü = u(x) Ü = u(x) n
55 ÓÑÔ Ø Ð Ó ÈÖÓ Ð Ñ È ÐÓ Ø ÓÖ Ñ Ú Ö Ò f(x) Ü = u(x) Ü = u(x) n = h(x) f(x) Ü = h(x)
56 Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Æ ÙÑ ÒÒ Ö u : R Ø Ð ÕÙ u(x) = f(x) x u n = h(x) x. u(x) Ü = 0 f(x) Ü = h(x)
57 Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Æ ÙÑ ÒÒ Ö u : R Ø Ð ÕÙ u(x) = f(x) x u n = h(x) x. u(x) Ü = 0 f(x) Ü = h(x) ÅÙÐØ ÔÐ ÑÓ ÔÓÖ v C () ÁÒØ Ö ÑÓ Ñ º
58 ÓÖÑÙÐ Ó Ö u(x)v(x) Ü = u(x) v(x) Ü v(x) u(x) n
59 ÓÖÑÙÐ Ó Ö u(x)v(x) Ü = = u(x) v(x) Ü u(x) v(x) Ü v(x) u(x) n v(x)h(x)
60 ÓÖÑÙÐ Ó Ö u(x)v(x) Ü = = u(x) v(x) Ü = u(x) v(x) Ü u(x) v(x) Ü u(x) Ü = 0 ÙÒ ÓÐÙÓµ v(x) u(x) n v(x)h(x) f(x)v(x) Ü+ h(x)v(x)
61 ÓÖÑÙÐ Ó Ö u(x)v(x) Ü = = u(x) v(x) Ü = u(x) v(x) Ü u(x) v(x) Ü u(x) Ü = 0 ÙÒ ÓÐÙÓµ v(x) u(x) n v(x)h(x) f(x)v(x) Ü+ h(x)v(x) ÆÓØ ÓÒ Ó f(x) Ü = h(x) Ô Ò ÙÑ ÓÑÔ Ø Ð ÒØÖ ÙÒ f(x) h(x)º
62 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ R n ÓÑ n = 1,2, ÓÙ 3º Ò Ó ÍÑ Ô Ó ÙÒ V = {ψ : R}
63 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ò Ó R n ÓÑ n = 1,2, ÓÙ 3º ÍÑ Ô Ó ÙÒ V = {ψ : R} Ø Ñ Ñ Ò Ó Ò Ø ÕÙ Ò Ó Ü Ø N N ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ φ i : R ÓÑ i = 1,,N Ø ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ϕ V Ü Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ a 1,,a N N ÑÓ Ó ÕÙ ϕ = a 1 φ 1 + +a N φ N
64 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÈÖÓÙÖ Ö ÑÓ ÓÐÙÓ Ñ ÙÑ Ô Ó ÙÒ Ñ Ò Ó Ò Ø ÕÙ ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ V h º
65 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÈÖÓÙÖ Ö ÑÓ ÓÐÙÓ Ñ ÙÑ Ô Ó ÙÒ Ñ Ò Ó Ò Ø ÕÙ ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ V h º Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ö u : R 2 R Ø Ð ÕÙ u v Ü = f(x)v(x) ÜÔ Ö ØÓ Ó v C0 () u(x) = h(x)ô Ö ØÓ Ó x
66 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÈÖÓÙÖ Ö ÑÓ ÓÐÙÓ Ñ ÙÑ Ô Ó ÙÒ Ñ Ò Ó Ò Ø ÕÙ ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ V h º Õº ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ö u h V h Ø Ð ÕÙ u h (x) v(x) Ü = f(x)v(x) Ü Ô Ö ØÓ Ó v V h u h (x) = h(x) Ô Ö ØÓ Ó x
67 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ V h Ø Ñ {φ 1,,φ N } N u h (x) = α j φ j (x) j=1 ÈÖ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö α 1,,α N º
68 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ u h (x) v(x) Ü = f(x)v(x) Ü Ô Ö ØÓ Ó v V h
69 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ u h (x) v(x) Ü = f(x)v(x) Ü Ô Ö ØÓ Ó v V h Ù ÒØ ÕÙ u h φ i Ü = f(x)φ i (x) Ü, Ô Ö ØÓ Ó i = 1,,N
70 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ u h (x) v(x) Ü = f(x)v(x) Ü Ô Ö ØÓ Ó v V h Ù ÒØ ÕÙ u h φ i Ü = ËÙ Ø ØÙ Ò Ó u h = N j=1 α jφ j u h v(x) Ü = f(x)φ i (x) Ü, Ô Ö ØÓ Ó i = 1,,N = N α j φ j φ i Ü N α j j=1 j=1 φ j φ i Ü.
71 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÒÓØ ÑÓ a ij = φ i φ j Ü b j = f(x)φ j (x) Ü
72 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÒÓØ ÑÓ a ij = φ i φ j Ü b j = f(x)φ j (x) Ü Ë Ù ÕÙ N α j a ij = b i, i = 1,,N j=1
73 Ç Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÒÓØ ÑÓ a ij = Ë Ù ÕÙ Ç Ø ÑÓ φ i φ j Ü b j = N α j a ij = b i, i = 1,,N j=1 Aα = b ÓÒ A = (a ij ) ÙÑ Ñ ØÖ Þ N N α 1 α = º α N b = f(x)φ j (x) Ü b 1 º b N
74 Ç Ô Ó V h Ó ÍÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ä Ò Ö ÓÒ Ö ÑÓ = [0,1] ÓÑ Ò Óµº È ÖØ ÓÒ ÑÓ Ó ÓÑ Ò Ó V h = {f : [0,1] R; f (xi,x i+1 ) Ð Ò Ö}
75 Ç Ô Ó V h Ó ÍÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÍÑ ÙÒÓ f Ñ V h Ø Ñ ÓÖÑ f [xi,x i+1 ](x) = a i x+b i ÓÒ a i b i Ó ÓÒ Ø ÒØ º i = 0,,Nµ
76 Ç Ô Ó V h Ó ÍÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÍÑ V h Ó ÙÒ φ j Ð Ò Ö Ñ [x i,x i+1 ] Ø ÕÙ { 1 ;x j = x i φ j (x i ) = 0 ;x j x i ÆÇÌ Ñ Ò Ó V h Æ ½º j = 0,,Nº ÍÑ ÙÒÓ ϕ Ñ V h Ö Ø ÓÑÓ ϕ(x) = c 0 φ 0 (x)+ +c N φ N +c N+1 φ N+1 ÁÅÈÇÊÌ ÆÌ ÆÇÌ Ê c i = ϕ(x i )º
77 Ö Ø Þ Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ÍÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÑÓ ÙÑ Ô ÖØ Ó Ó ÓÑ Ò Ó Á ØÓ Ò Ó Ô Ó V h ÐÙÐ ÑÓ a ij = φ i(x)φ j(x) Ü b i = f(x)φ i Ü
78 Ö Ø Þ Ó Ó ÈÖÓ Ð Ñ ÍÒ Ñ Ò ÓÒ Ð È ÖØ Ó ÓÒ Ö ÑÓ ÙÑ Ô ÖØ Ó ÙÒ ÓÖÑ Ó ÓÑ Ò Ó x i+1 x i = h Ó i = j x i ÒÓ ÙÑ Ú ÖØ ÖÓÒØ Ö a ii = φ i(x)φ i(x) Ü = 1 h + 1 h = 2/h. x i ÙÑ Ú ÖØ ÖÓÒØ Ö a ii = φ i (x)φ i (x) Ü = 1 h.
79 Ö Ø Þ Ó ½ Ó i j i j = 1 º º Ú ÖØ x i x j Ó Ú Þ Ò Ó a ij = φ i (x)φ j (x) Ü = 1 h. i j > 1 º º Ú ÖØ x i x j ÒÓ Ó Ú Þ Ò Ó a ij = φ i (x)φ j (x) Ü = 0.
80 Ö Ø Þ Ó ½ ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ó α 0 φ 0φ 1 Ü+α 1 φ 1φ 1 Ü+α 2 φ 2φ 1 Ü+α 3 φ 3φ 1 Ü + +α N+1 φ N+1 φ 1 Ü = f(x)φ 1 Ü α 0 ( 1/h)+α 1 (2/h)+α 2 ( 1/h) = f(x)φ 1 Ü φ 3 φ 1 Ü = = φ N+1 φ 1 Ü = 0
81 Ö Ø Þ Ó ½ α 1 α 2 α 0 α 1 α 2 α N+1 1/h 2/h 1/h /h 2/h 1/h 0 0 º º º º º º º º º º º º º º º /h 2/h 1/h α 0 α 1 º º º α N+1 = b 1 b 2 º º º b N
82 Ö Ø Þ Ó ½ α 1 α 2 α 0 α 1 α 2 α N+1 1/h 2/h 1/h /h 2/h 1/h 0 0 º º º º º º º º º º º º º º º /h 2/h 1/h º º º α N α 0 α 1 º º º α N+1 = α 0 α N+1 Ó ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ó Ö Ð Øº Ó ÖÓÒØ Ö µ 2/h 1/h 0 0 α 1 b 1 +α 0(1/h) 1/h 2/h 1/h 0 α 2 º º º º º º º º º º º º 1/h = b 2 º º º 0 0 1/h 2/h b N +α N+1(1/h) b 1 b 2 º º º b N
83 ÁÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ó 1/h 2/h 1/h /h 2/h 1/h 0 0 º º º º º º º º º º º º º º º /h 2/h 1/h α 0 0 º º º 0 α N+1
84 ÁÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ó 1/h 2/h 1/h /h 2/h 1/h 0 0 º º º º º º º º º º º º º º º /h 2/h 1/h α 0 0 º º º 0 α N+1 = (1/h)α 0 0 º º º 0 (1/h)α N
85 Ç ÐÙÐÓ b ÉÙ Ö ØÙÖ Ù Ò ÉÙ Ö ØÙÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÓØ ÑÓ z i Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó [x i,x i+1 ]º ÒØÓ xi+1 b i = f(x)φ i (x) Ü = f(x)φ i (x) Ü x i 1 = f(z i 1 )φ i (z i 1 )h+f(z i )φ i (z i )h = f(z i 1 )(1/2)h+f(z i )(1/2)h = h f(z i 1)+f(z i ) 2 ÓÒ h Ó Ø Ñ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [x i 1,x i ] [x i,x i+1 ]º
86 ÆÓØ Ö Ñ ØÖ Þ Ñ ØÖ ÔÓ Ø Ú Ò Ô Ö Ò Ø Ó ½ Ñ ØÖ Þ ØÖ ÓÒ Ðº Å ØÖ Þ Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÓÑ Ö Ò ÕÙ ÒØ ÒØÖ ÒÙÐ º Ù Ó Ñ ØÓ Ó Ø Ö Ø ÚÓ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ó Ø Ñ Ð Ò Öº
87 Ç Ó ¾ ÓÒ Ö ÑÓ R 2 ÙÑ ÓÑ Ò Ó ÔÓÐ ÓÒ Ðº ÈÓ ÑÓ Ô ÖØ ÓÒ Ö Ñ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ú Ó Ñ Ñ Ð º
88 È ÖØ Ó Ê ÙÐ Ö T h = {T 1,T 2,,T m } ÓÒ T k Ó ØÖ Ò ÙÐÓ»ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ Ñ Ð µ = T i Ë T i T j ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒØÓ Ø ÑÓ ÙÑ Ú ÖØ ÓÑÙÑ T i T j º Ë i j T i T j ÓÒ Ø Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒØÓ T i T j ÙÑ Ö Ø ÓÑÙÑ Ó Ð Ñ ÒØÓ Æ Ø Ó Þ ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐ Ó º
89 Ç Ô Ó ÙÒ Ð Ò Ö ÔÓÖ Ô ÖØ Ñ ¾ Ë T h ÙÑ ØÖ Ò ÙÐ Ó º T h = {T 1,,T M } ÓÒ M ÕØ º Ð Ñ ÒØÓ º V h = {φ : R; φ Tj Ð Ò Ö} Ü ÑÔÐÓ ½ ÒÓ Å ØÐ ººº
90 ÙÒÓ N h = {x 1,,x N,x N+1,,x q } Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ú ÖØ ØÖ Ò ÙÐ Óº ÒÙÑ Ö ÑÓ Ø Ð ÕÙ x 1,,x N Ó Ú ÖØ ÒØ Ö ÓÖ x N+1,,x q Ó Ú ÖØ ÖÓÒØ Ö º
91 ÙÒÓ ÓÒ Ö ÑÓ φ i V h i N h ÙÑ ÙÒÓ Ø Ð ÕÙ { 1; i = j φ i (x j ) = 0; i j
92 Ô Ó Ä Ò Ö ÔÖÓÜ Ñ Ó ÓÑ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ë ϕ V h ÒØÓ Ü Ø Ñ α 1,,α q Ø ÕÙ q ϕ(x) = α j φ j (x) ϕ(x) φ i (x) Ü = = j=1 q α j φ j (x) φ i (x) Ü q α j j=1 j=1 φ j (x) φ i (x) Ü.
93 Ô Ó Ä Ò Ö ÔÖÓÜ Ñ Ó ÓÑ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÒÓØ ÑÓ a ij = φ j (x) φ i (x) Ü b i = f(x)φ i (x) Ü ÒØÓ Au = b
94 ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Å ØÖ Þ Ö Þ A = (a ij ) a ij = M φ j (x) φ i (x) Ü = k=1 = T k M ij T k φ j (x) φ i (x) Ü T k φ j (x) φ i (x) Ü ÒÓØ ÑÓ M ij = ÙÔÔ φ i ÙÔÔ φ j
95 Ð Ñ ÒØÓ T k ÔÓ Ù ØÖ Ú ÖØ x ik,1,x ik,2,x ik,3 º Ì ÑÓ ÙÑ Ú ØÓÖ Ò Ó Ú ÖØ Ó Ð Ñ ÒØÓ T k i k,1, i k,2, i k,3 º Ö ÑÓ ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÓÑ Ó Ò Ó Ú ÖØ Ð Ñ ÒØÓ Ñ Ð i 1,1 i 1,2 i 1,3 i 2,1 i 2,2 i 2,3 E = º º º º º º i M,1 i M,2 i M,3 Ø Ñ ØÖ Þ Ñ Ñ ØÖ Þ ÓÒ Ø Ú º Î ÑÓ ÙÑ Ü ÑÔÐÓººº
96 ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ó ÍÑ Ð Ñ ÒØÓ T k Ø Ñ Ú ÖØ x ik,1,x ik,2,x ik,3 ÔÓÖØ ÒØÓ ÙÒ ÕÙ Ø Ñ ÙÔÓÖØ Ñ T k Ó φ ik,1, φ ik,2, φ ik,3. È Ö Ð Ñ ÒØÓ T k Ø ÑÓ Ó Ò i k,1 i k,2 i k,3 Ó Ò Ð Ò k Ñ ØÖ Þ ÓÒ Ø Ú Eº Ñ Ð Ñ ÒØÓ T k ÓÖ Ö ½ ÓÖ ½ A(i k,r,i k,s ) = A(i k,r,i k,s )+ φ ik,r φ ik,s Ü T k Ò Ò ÈÓ Ö Ú ØÓÖ Þ Óº
97 Å ØÖ Þ ÄÓ Ð Ê Þ È Ö Ð Ñ ÒØÓ T k ÐÙÐ ÑÓ Ñ ØÖ Þ 3 3 (M) r,s = φ ik,r φ ik,s Ü T k ÆÓØ ÕÙ Ñ ØÖ Þ Ñ ØÖ º ÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ÖÓØ Ò Ü i k,1 i k,2 i k,3 Ü Üµ Ü Üµ Å
98 ÌÖ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ñ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ò T Ó Ð Ñ ÒØÓ ÓÑ Ú ÖØ z 1 (0,0) z 2 = (1,0) z 3 = (0,1)º orientação ÙÒ ÒÓ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ò φ 1 (ˆx,ŷ) = 1 ˆx ŷ, φ2 (ˆx,ŷ) = ˆx, φ3 (ˆx,ŷ) = ŷ φ 1 (ˆx) = ( 1, 1) φ 2 (ˆx) = (1,0) φ 3 (ˆx) = (0,1)
99 ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ù Ø ØÙ Ó Ì ÓÖ Ñ ËÙ Ø ØÙ Ó Î Ö Ú Ë F : U R n R n ÙÑ ÙÒÓ Ò Ø Ú Ö Ò Ú Ð ÓÑ Ö Ú Ô Ö ÓÒØ ÒÙ º φ(x) x = φ(f(ˆx)) detdf ˆx F(U) U ÓÒ DF Ó Ó ÒÓ F º
100 ÙÒÓ Ñ Ë T k ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ ØÖ Ò ÙÐ Ó T h ÓÑ Ú ÖØ (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),,(x 3,y 3 ) ÓÖ ÒØ Ó ÒÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Óµ Ñ φ 1 φ 2 φ 3 Ö Ô Ø Ú ÙÒ º ÓÒ Ö ÑÓ T Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò F : T T k ÙÒÓ Ñ Ø Ð ÕÙ F( T) = T k F(0) = (x 1,y 1 )
101 ÙÒÓ Ñ ÁÒØ Ö Ó ÒÓ Ð Ñ ÒØÓ Ê Ö Ò [ ] [ ] x2 x F(ˆx,ŷ) = 1 x 3 x 1 ][ˆx x1 + y 2 y 1 y 3 y 1 ŷ y 1 [ ] x2 x ÒÓØ ÑÓ B = 1 x 3 x 1 = JF º y 2 y 1 y 3 y 1 ØÖ ÙÒ ÒÓ Ð Ñ ÒØÓ T k ÔÓ Ñ Ö Ö Ø ÓÑÓ φ j (x,y) = φ j (ˆx,ŷ), ÓÒ (ˆx,ŷ) = F 1 (x,y) j = 1,2,3º φ j (x,y) = φ j (F 1 (x,y)) = ˆx φj (ˆx,ŷ)(JF 1 )(x,y) = ˆx φj (ˆx,ŷ)B 1
102 Å ØÖ Þ Ö Þ ÐÓ Ð ÑÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ Ñ ØÖ Þ Ö Þ ÐÓ Ð Ó Ó ÔÓÖ φ i (x)( φ j (x)) T Ü = φ i (ˆx)B 1 ( φ j (ˆx)B 1 ) T detb x T k T = detb φ i (ˆx)B 1 (B 1 ) T ( φ j (ˆx)) T x T = detb L i,j x = detb L i,j 2 T ÓÒ L i,j = φ i (ˆx)B 1 (B 1 ) T ( φ j (ˆx)) T ÆÓØ ÕÙ B 1 Ð Ö ÐÙÐ º φ 1 (ˆx) = ( 1, 1) φ 2 (ˆx) = (1,0) φ 3 (ˆx) = (0,1)
103 Ç Ä Ó Ö ØÓ ÕÙ Ó b i = f(x)φ i (x) Ü = f(x)φ i (x) Ü ÙÔÔ φ i = f(x)φ i (x) Ü T k T k ÙÔÔ φ i ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ë Ò Ó b Ó Ú ØÓÖ Ó Ð Ó Ö ØÓ È Ö Ð Ñ ÒØÓ T k ÓÖ ½ Ò i k,j ½µ i k,j ½µ T k f(x)φ ik,j Ü ÓÖÑ Ú ØÓÖ Ð ÓÑ (M) j = T k f(x)φ ik,j ܵ Ü i k,1 i k,2 i k,3 Ü ½µ Ü ½µ Å
104 ÉÙ Ö ØÙÖ Ù Ò Å ØÓ Ó Ô Ö Ó ÐÙÐÓ ÒØ Ö Ð Ò ÙÑ ÙÒÓ Ù Ò Ó Ô Ó Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ñ ÔÓÒØÓ Ô Ó º 1 1 ÉÙ Ñ Ó w i Ó ÔÓÒØÓ ζ i g(x) Ü = n w i g(ζ i ) j=1
105 ÉÙ Ö ØÙÖ Ù Ò Å ØÓ Ó Ô Ö Ó ÐÙÐÓ ÒØ Ö Ð Ò ÙÑ ÙÒÓ Ù Ò Ó Ô Ó Ó Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ñ ÔÓÒØÓ Ô Ó º 1 1 ÉÙ Ñ Ó w i Ó ÔÓÒØÓ ζ i g(x) Ü = n w i g(ζ i ) j=1 ÕÙ Ö ØÙÖ Ù Ò ÓÑ n ÔÓÒØÓ Ö ÙÐØ Ñ ÒØ Ö Ð Ü Ø ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù Ø 2n 1º Ó ÔÓÒØÓ ζ i Ó Ö Þ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 1,1]º ܺ ÈÓÐ ÒÑ Ó Ä Ò Ö ÕÙ Ö ØÙÖ Ù ¹Ä Ò Ö µ ÈÓÐ ÒÑ Ó Â Ó ÈÓÐ ÒÑ Ó Ý Ú
106 ÉÙ Ö ØÙÖ Ù Ò Ù ¹Ä Ò Ö ÉØ º ÔÓÒØÓ Òµ È Ó w i µ ÈÓÒØÓ ζ i ½ ¾ ¼ ¾ ½ ±1/ 3» ¼» ± 3/5 Ë F : [ 1,1] [a,b] ÙÑ Ó ÓÒØ ÒÙ Ö Ò Ú Ð b 1 g(x) Ü = g(f(ˆx)) JF ˆx = b a n w i g(f(ζ i )) 2 a 1 i=1
107 ÉÙ Ö ØÙÖ Ñ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ººº ÉÙ Ö ØÙÖ ÔÓÒØÓ ÒÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ÈÓÒØÓ ζ i È Ó ω i ( 1 3, 1 3 ) 9 90 ( , ) 2400 ( , ) ( , ) ( , ) 2400 ( , ) ( , )
108 ÐÙÐÓ Ó Ð Ó Ö ØÓ F Tk (φ ik,1 ) b Tk = F Tk (φ ik,2 ) F Tk (φ ik,3 ) ÓÒ F Tk (φ i ) = f(x)φ i (x) Ü = T k = f(f(ˆx)) φ i (ˆx) JF ˆx T = JF ÕÙ Ö ØÙÖ n ÔÓÒØÓ µº n w j f(f(ζ j )) φ i (ζ j ) j=1
109 Ì ÓÖ ýð Ö Ð Ò Ö ÓÙ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ð ÍÑ ÒÓÖÑ Ñ ÙÑ Ô Ó Ú ØÓÖ Ð V ÙÑ ÙÒÓ : V R + {0} ÓÑ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Ó v V v = 0 ÓÑ ÒØ v = 0 α R v V Ú Ð αv = α v Ó ÕÙ ÕÙ Ö u,v V u+v u + v. ÍÑ ÙÒ ÓÒ Ð Ð Ò Ö Ñ V ÙÑ ÙÒÓ f : V R Ø Ð ÕÙ f(u+v) = f(u)+f(v) Ô Ö ØÓ Ó u,v V f(αu) = αf(u) Ô Ö ØÓ Ó u V α Rº ÉÙ Ö ÑÓ Ô Ó ÓÑ ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓ
110 Ô Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ë ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö ÒØ ÍÑ ÕÙ Ò (v n ) Ñ V ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ò Ó Ü Ø v V Ø Ð ÕÙ lim n v n v = 0 Ë ÕÙ Ò Ù Ý ÍÑ ÕÙ Ò (v n ) Ñ V Ù Ý ÕÙ Ò Ó Ô Ö ØÓ Ó ε > 0 Ü Ø k o N Ø Ð ÕÙ m,n k o v n v m ε ÌÓ ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö ÒØ Ù Ýº
111 Ô Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ô Ó Î ØÓÖ Ð ÓÑÔÐ ØÓ ÍÑ Ôº Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ Ó V ÓÑÔÐ ØÓ ÕÙ Ò Ó Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÕÙ Ò Ù Ý (v n ) Ñ V Ü Ø v V Ø Ð ÕÙ ÕÙ Ò Ù Ý (v n ) ÓÒÚ Ö Ô Ö vº Ì ÓÖ Ñ Ë (V, ) ÙÑ Ôº Ú Øº ÒÓÖÑ Ó ÒØÓ Ü Ø ÙÑ Ò Ó Ô Ó Ú ØÓÖ Ð ÓÑÔÐ ØÓ (H, ) Ø Ð ÕÙ V H Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö Ð Ñ ÒØÓ v H Ü Ø ÙÑ ÕÙ Ò (v n ) V Ø Ð ÕÙ lim n v n = v Æ Ø Ó Þ ÑÓ ÕÙ V Ò Ó Ñ H ÓÙ Ò ÕÙ H Ó Ó ÓÙ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØÓµ V º
112 Ô Ó ÓÑ ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓ Ô Ó ÓÑ ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓ ÓÑÔÐ ØÓ À Ð ÖØ Ù Ð Ù Ý¹Ë Û ÖÞ u,v u v
113 Ô Ó L 2 ÆÓÖÑ L 2 () ( f 0 = f(x) 2 Ü ) 1/2 L 2 () Ó Ô ÐÓ Ó Ó Ô Ó C() ÓÑ Ö Ð Ó ÒÓÖÑ L 2 (f,g) = f(x)g(x) Ü ÙÑ ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓ Ñ L2 Ò ÙÞ Ó Ô Ð ÒÓÖÑ 0 º
114 Ô Ó ËÓ ÓÐ Ú ÓÒ Ö ÑÓ ÒÓÖÑ ( ) 1/2 f 1 = f(x) 2 + f(x) 2 Ü Ô Ó H 1 () ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØÓ Ó Ô Ó C () ÓÑ Ö Ð Ó ÒÓÖÑ 1 º Ô Ó H0 1() ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØÓ Ó Ô Ó C0 () ÓÑ Ö Ð Ó ÒÓÖÑ 1º
115 Ë Ñ ÒÓÖÑ ( f 1 = f(x) 2 Ü ) 1/2 ÆÓØ ÙÑ ÙÒÓ ÓÒ Ø ÒØ v Ø ÒØ Þ ÖÓ Ø Þ v 1 = 0 Ñ ÒÓ ÒÙÐ º
116 ÓÖÑ Ð Ò Ö V ÙÑ Ô Ó À Ð Öغ a : V V R ÙÑ ÓÖÑ Ð Ò Ö Ñ V ÕÙ Ò Ó È Ö ØÓ Ó u,v,w V α R a(u+v,w) = a(u,w)+a(v,w) a(u,v +w) = a(u,v)+a(u,w) a(αu,v) = a(u,αv) = αa(u,v)º ÓÖÑ Ð Ò Ö a(, ) ÓÒØ ÒÙ ÕÙ Ò Ó Ü Ø C > 0 Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó u,v V a(u,v) C u v ÍÑ ÓÖÑ Ð Ò Ö Ñ ØÖ Ð Ø ÓÙ Ó Ö Ú ÕÙ Ò Ó Ü Ø α > 0 Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó v V a(v,v) α v 2
117 ÓÖÑÙÐ Ó Ö ÓÒ Ö ÑÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÈÓ ÓÒ ÓÑ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ò ÖÓÒØ Ö R 2 Ò ÑÓ Ô Ö u,v H 1 () a(u,v) = u v Ü F(v) = f(x)v(x) Ü a(.,.) ÙÑ ÓÖÑ Ð Ò Ö Ñ ØÖ F ÙÑ ÙÒ ÓÒ Ð Ð Ò Ö Ö u H 1 () Ø Ð ÕÙ { a(u,v) = F(v); v H 1 0 () u = g; Ñ
v(x) = v(a)+ x v(x) = v (t) Ø
Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Í ÊÊÂ Ú Ö ÖÓ ¾¼½¾ ÍÑ ÈÓÙÓ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ù Ð ÈÓ Ò Ö ¹ Ö Ö ÓÒØ Ó Ñ ÙÑ Ù Ó n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ó sº ÒØÓ v 0 s v 1 ; v H0(). 1 ËÇ = (a,b)º s = b aº C0 (a,b) Ò Ó Ñ H1 0 (a,b) Ë v C0 (a,b)º ÒØÓ v(a)
L2 L2 (a 21 /a 11 )L1
ÙÐ ¼¾ ¹ Ð ÓÖ ØÑÓ Ì ÓÑ Å ØÓ Ó ÁØ Ö Ø ÚÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ò ÙÐ ¼½ Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ö Ø ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ÔÓ¹ Ñ Ö ÔÐ Ó Ô Ö Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ ÕÙ Ð Ö Ð Ò Ö º Ú Ö Ó ÓÙØÖÓ Ñ ØÓ Ó Ó ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ó ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ¹ÂÓÖ
u(0,t) = 0 u(l,t) = 0 u(x,0) = 1
ÙÐ ½¾ ¹ Å ØÓ Ó Ö Ò Ò Ø Ô Ö È³ È Ö Ð Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ñ ÙÐ ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð ÔÓ Ù Ñ ÙÑ Ô Ö Ó ÒØÖ Ó ÓÑ Ò Ó Ò Ù Ò Ó ÓÑ Ò Ó Ô Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ º ÔÖ Ò Ô Ð Ø ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð Ó Ö Ð ÓÒ ÓÑ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ t = α 2 u Ë Ò Ó
ÈÖÓ Ð Ñ ½ È Ó ÖÕÙ ÚÓ Ô Óº ÓÙ Ô ÓºÔ Ô Óº Ò Ô ÓºÓÙØ ÍÑ ÑÔÖ ÕÙ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ó Ô Ó Ö ÕĐÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ó Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ó ÓÐÓ º Ø Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÓÑ Ù
Å Ö ØÓÒ ÈÖÓ Ö Ñ Ó ½ ÖÒÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ ¹ Ë Ò ÓÖ ÈÖÓ Ð Ñ ½ È Ó ÖÕÙ ÚÓ Ô Óº ÓÙ Ô ÓºÔ Ô Óº Ò Ô ÓºÓÙØ ÍÑ ÑÔÖ ÕÙ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ó Ô Ó Ö ÕĐÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ó Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ó ÓÐÓ º Ø Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÓÑ ÙÜ Ð Ó
P m = a 0 +a 1 x+...+a m x m, y i P m (x i ) 2, ½µ. Ha = b, N min a0,...,a n. i=0
Å Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ¹ ÖÓØ ÖÓ ÙÐ Ù Ö Ó º Ó Ø ÍÒ Úº ËÓ È ÙÐÓ Å Ý ¾¼½ ØÖ Ø ÊÓØ ÖÓ ÙÐ Ô Ö ÓÖ Ó Ö Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ò¹ ÐÙ Ò Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÖØÓ ÓÒ º ÈÖ Ñ Ö ÙÐ ¾ ½ Ç ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ò Ó Ò Ó (x i,y i ) Ô Ö
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ò Ò Ö Ú Ð ÓÒ ÖÓÒØ ¹ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò¹ Ø Ø Ð ØÖÙØÙÖ Ö Ð Þ ÔÓÖ ÙÑ Ð Ó Ù ÙÒ ÓÒ Ð ¹ ÔÓÖ ÓÙØÖÓº ÆÙÑ Ô Ö Ô Ø Ú ØÙ Ð ÔÓ ¹ Þ Ö ÕÙ Ú Ö Ø
ÓÒØ Ó ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ¾ ¾ ÖÖ Ñ ÒØÓ Ö Ò Ó ÒÓ Ö Ò Ó Ò Ó Ð ÓÖ Ø Ö Ó º½ Ç Ò Ó ÓÖØ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÒÓ Ó º º º º º º º º º º º½º¾ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÓ Ó º
Leis de Ohm e Kirchhoff
ÌÖ Ð Ó Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ö Ò ÔÓØ Ò Ð ÓÖÖ ÒØ Ð ØÖ Ñ ÖÙ ØÓ Ð ØÖ Ó Leis de Ohm e Kirchhoff Fernando Barão, Filipe Mendes, Manuela Mendes Profs do Departamento de Física do IST última revisão: Março 2017
Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö ÅÓÒÓ Ö Ù Ñ Ø ÓÑ Ó Ú Ð Ó Ó ÙÖ Ó Ô Ð Þ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÖÑ Ó Ó ÔÖÓ ¹ ÓÖ Ñ ÙÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ô Ö Ó Ø ¹ ØÙÐÓ Ô Ð Ø
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº Ð Ù ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Å ÖÓ ¾¼½½ Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö ÅÓÒÓ Ö Ù Ñ Ø ÓÑ
ËÙÑ Ö Ó ¾¼ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù ¾¼º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼º¾ Ç Ñ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ¾¼ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ
y +p(x)y +q(x)y = g(x) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 y(α) = y 0 y(β) = y 1
ÙÐ ¼ ¹ Å ØÓ Ó ÆÙÑ Ö Ó Ô Ö ÈÖÓ Ð Ñ Î ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÕÙ Ö Ò ÓÖ Ñ Ñ ÓÖ ÕÙ ÙÑ ÔÓ Ñ Ö Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÈÎÁµ ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ ÈÎ µ Ô Ò Ò Ó ÓÖÑ ÓÑÓ ÓÒ ÓÒ Ó Ô º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ç y +p(x)y +q(x)y
ËÙÑ Ö Ó ½½ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø Ñ Ò Å Ò Ö ÐØ ÉÙ Ð ¹ ½½º½ ÆÙØÖ ÒØ ÒÓ Ð Ñ ÒØÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò ÈÖ Ú Ò Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð Ó Ò Ö ½½ ¹ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø Ñ Ò Å Ò Ö ÐØ ÉÙ Ð Ù ÒØ Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð ÍÖ ÙÐ Ö ² Ù Ò ½ Ó ¹ ÆÓÚ Ñ ÖÓ ¾¼½¼ ËÙÑ Ö Ó ½½ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÐ ÒÓ Ó Æ Ø ÖØ Ó ØÓÙ Ö Ú Ò Ó ÙÑ ÜÔ Ö Ò Ñ ÒÓ ÒÓ Ò ÒÓ ÔÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ù Ò Ó Ú Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ø ÒÓÐÓ Ò ÓÖÑ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ó Ó Ò ÒÓ ÔÖ Ò Ðº
Ò Ð Ø ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ð ÒÓ Ò ÒÓ Å Ø Ñ Ø ¹ ÍÑ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÓÒØÓÖÒ Ö ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ì Ö Ó ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ¾ Ø Ñ ÖÓ ¾¼½ ÔÖ ÔÖ ÒØ ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ÒÓº ¾¼½ º¼¾ ØÓÖ Ì Ö Ó ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ø Ö ÓÑ Ñ Öº Ñ ºÓÖ Ê ÙÑÓ ØÓÙ Ö Ú Ò Ó Ò Ø
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
f : N R u n (u+v) n = u n +v n (u v) n = u n v n. (uv) n = u n v n = (v n 0 n N). n f(n). n v n
ÔÓÒØ Ñ ÒØÓ ÐÙÐÓ ÁÁ Ô Ö Ó ÙÖ Ó ÓÕÙ Ñ Ò Ò Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ò Ö ÓÐ À ÖÑ Ò Ð Ó ÓÖ ÇÐ Ú Ö ÂÙÒ Ó ¾¼½ ÓÒØ Ó ½ ËÙ ÆÙÑ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¾
Ü Ñ ÁÒ Ö Ó ÔÐ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÈÖ Ñ ÖÓ Ë Ñ ØÖ ¾¼½½ ÆÓÑ Ó µ Ò ØÓ µ ½ ¾ Å Ò ½º È Ð Ò Ð Ó Ù Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ó Ó ÖÚ Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ô ÕÙ Ò ÓÐ Ö Ó ÔÖ Þ Ú Ðµ Ñ ÙÑ ØÖ Ø Ö Ú ÖØ Ð Ò ÒØ º ÜØ Ò Ó Ó ÑÔÓ Ú Ù Ð Ó Ó ÖÚ ÓÖ ÓÖÖ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ Î Ö ÓÒØÖ ÔÓÒØ Ø ÌÁÈÇË Î ÊÁ Ë ÇÅ ÆÌÍË ÁÊÅÍË Ç ÊÇÍÆ È ËË ÄÁ À ÇÆÆ ÍÑ Ø ÔÓ ÓÖÑ Ú Ö Ó ÕÙ Ð ÒÙÑ Ñ ÐÓ ÓÖ Ð Ó Ö Ø º Ä Ñ ÐÓ ÒØ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÖÚ ÓÑ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ Î Ö ÓÒØÖ ÔÓÒØ Ø ÌÁÈÇË Î ÊÁ Ë ÇÅ ÆÌÍË ÁÊÅÍË Ç ÊÇÍÆ È ËË ÄÁ À ÇÆÆ ÍÑ Ø ÔÓ ÓÖÑ Ú Ö Ó ÕÙ Ð ÒÙÑ Ñ ÐÓ ÓÖ Ð Ó Ö Ø º Ä Ñ ÐÓ ÒØ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÖÚ ÓÑÓ Ô Ö Ú Ö º Ç Ø ÔÓ Ú Ö ÓÑ ÒØÙ ÖÑÙ ÔÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Þ Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼ º½Ç ÓÒ ØÓ ÍÖ ÒØ ÒÓ ÌÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÍÒ ÌÖ Ò ÈÐÙÖ Ð º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼
s γ β α r t r s α = β α+γ = 180.
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÁ Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ È Ö Ð Ð ÑÓ Ù Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø ÑÓ ÓÑ ÒØ Ù ÔÓ Ð Ô Ö Ñ ¹ Ñ ÓÙ Ð Ø Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÓÙ ÒÓ Ø Ñ Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ö Ø Ó Ø ÓÒÓÖÖ ÒØ ÒÓ ÙÒ Ó
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø Ó Ò Ð ÕÙ ÑÔÖ º Ñ Ø Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ñ Ú Ø Ñ ÖØ ÁÒÚ
l l θ T P cosθ = Ma n P sin θ = Ma t, Mg sin θ = Ml d2 θ dt 2. d 2 θ dt 2 = g l θ. µ
Ò ÍÖ ÒÓ È ÙÐÓ Ö Ó Ë È ÙÐÓ Ò Ö Ù ÜÔ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ö Ó ½ ÅÁ É ÍÈ ¹ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ Ç Ø ÚÓ ØÙ Ó Ó Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ö Ó Ö Ú º ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ l
ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò Ö Ñ ÔÖ Ó¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ ÌÖ Ì Ö Ô ¹ Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÑ Ò Ëº κ Þ Ò ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÑ Ò Ëº κ Þ Ò ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼ Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò ÌÖ Ð Ó Ñ Ó Ö Ù Ó
ØÖÙØÙÖ ÔÖ ÒØ Ó ½ ¾ ÓÒÓÑ Ó Ð Ò Ñ ÒØÓ Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ðº Å ØÓ ÓÐÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÉÙ Ø ÓÒÓÑ ØÖ º Å ØÓ ÓÐÓ ½ ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØÓ º Å ØÓ ÓÐÓ ¾ Ñ Ó Ð Ø Ö Ð Ó Ñ ÙÒ Ñ ÒØÓ º
Å ØÓ ÓÐÓ Ø Ñ Ø Ú Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ð Ñ Ö ÓÒ ÖÒ Ò Å Ö Ð Å È¹ Ëȹ Î Ë Ñ Ò Ö Ó ÁÑÔ ØÓ Ó Ñ Ó Ó Ö Ó ÓÑ Ö Ó ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð ØÖÙØÙÖ ÔÖ ÒØ Ó ½ ¾ ÓÒÓÑ Ó Ð Ò Ñ ÒØÓ Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ðº Å ØÓ ÓÐÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÉÙ Ø ÓÒÓÑ ØÖ º Å ØÓ ÓÐÓ
ÁÒØÖÓ Ùô è Ó Á ÒØ Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ó Ò Ú Ñ Ö Ö Ó ÔÓÖ Ð ÙÑ ÓÒØ Á È Ö ÌÎ Ø Ð Ò ð Ù Ó Úð Ó Ó Á Ç Ó ÓÖ ÓÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ò Ð Ò ÐÓ Ó ÔØ Ó Ñ Ö µ Ñ Ò Ð Ø Ð ÑÓ Ó Õ
ÌÎ Ø Ð ÁÒØ Ö Ø Ú Ôð ØÙÐÓ ¾ Ó ô è Ó ÓÒØ ÈÖÓ º Ð Ô À ÒÖ ÕÙ Å Ê æ Ä ÓÖ Ø ðóö Ó ÅÙÐØ Ñð Ò Ñ ô è Ó Ê ÓÑÙÒ ô èó ̻ʠæ ÍÒ È ØÖ ðóôóð ÁÒØÖÓ Ùô è Ó Á ÒØ Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ó Ò Ú Ñ Ö Ö Ó ÔÓÖ Ð ÙÑ ÓÒØ Á È Ö ÌÎ Ø Ð Ò
September 24-28, 2012 Rio de Janeiro, Brazil
È ÖØ Ó Ð ÕÙ ¹ ÐÓÖ Ø Ó Ö Ó P 4 ¹Ð Ò Ø Ò Ó Ê ÕÙ Ð Ö ÚÓ ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÐÙÑ Ò Ò ¹ Í Æ Ø Ö ¹ ÊÂ Ö ÕÙ Ð ºÙ º Ö ËÙÐ Ñ Ø ÃÐ Ò ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ ¹ Í ÊÂ Ê Ó Â Ò ÖÓ ¹ Ê ÙÐ Ó ºÙ Ö º Ö ÄÓ Ò ÆÓ Ù Ö ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÐÙÑ
¾ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ó Ò ÔÖ Ø Ó º ÎÁÁÁ Ü ÑÔÐÓ ¾ À º ºÌº Ä ÚÖÓ Á Ù ½ ÆÓØ ÕÙ ÒÓ Ò Ó Ó ÕÙ ÒØÓ ÓÑÔ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ Ö ÔÓ Ø ÓÑ ÕÙ Ó Ù ØÓ ÑÓÚ Ù¹ Ù Ú Ñ ÒØ Ô Ö ÒÓØ ÕÙ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÑ Ø Ó ÌÖ ÎÓÞ ÆÓ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ù ÚÓÞ Ñ Ø Ó Ó Ø Ú Ò ØÙÖ Ð Ø Ø Ö º ÓÑ ØÖ ÚÓÞ Ð ÑÔ ÖØ Ú ÒØ Ò º ÔÖ Ñ Ö ÑÓÒÓØÓÒ Ñ Ð ÖÑÒ ÕÙ ÔÖÓÚ Ú Ð Ö ÙÐØ Ö ÕÙ Ò Ó Ó Ñ ÑÓ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÒØ Ó ØÖ Ú Þ ÓÒ ÙØ Ú ÓÑ Ò Ó Ò Ñ Ñ Ð
Ë Ö Ñ ÄÙÞ ÓÙÖ Å Ò Ò Ò Ó ØÖ Ú ÐÑ ÄÓÙÖ ÇÐ Ú Ö ÑÔÓ
Å Ò Ò Ò Ó ØÖ Ú ÐÑ ÄÓÙÖ ÇÐ Ú Ö ÑÔÓ ËÙÑ Ö Ó ¼ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½ ¼º½ Ö Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º¾ ÁÒØÖÓ Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ½ Ê ÓÙÒ Ö ¹ Ü Ö Ó Ù Ú ½ ¾ Æ Ë ØÖÓÒ ÙØ Ö ÓÙÒ Ö ¾ ËÓ Ö Ó Ò Ö Ó Ö ÓÙÒ Ö ¾ ÓÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö ÒÓ Ö ÓÙÒ Ö º½ Ç ÐØÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º
Ü Ö Ó Ñ Ø Ö Ð Ø Ù Ö Ó ÈÓ Ö ÙÖ Ó Ê ÓÙÒ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ê ÓÙÒ Ö ¹ Ü Ö Ó Ù Ú ½ ¾ Æ Ë ØÖÓÒ ÙØ Ö ÓÙÒ Ö ¾ ËÓ Ö Ó Ò Ö Ó Ö ÓÙÒ Ö ¾ ÓÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö ÒÓ Ö ÓÙÒ Ö º½ Ç ÐØÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÆÓ ÑÓÒÓØÓÒ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ Ö Ø Ó ÒÓ ÑÓ ÐÓ Ó ÔÓ Ð Ü Ò Ö Ê ÖÓ Ä ÒÖ Ò ÁËË ÊÌ Ç ÈÊ Ë ÆÌ Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ Å Ì ÅýÌÁ ËÌ Ì ËÌÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ ËÇ È ÍÄÇ È Ê Ç Ì Æ Ç Ç Ê Í Å ËÌÊ
ÆÓ ÑÓÒÓØÓÒ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ Ö Ø Ó ÒÓ ÑÓ ÐÓ Ó ÔÓ Ð Ü Ò Ö Ê ÖÓ Ä ÒÖ Ò ÁËË ÊÌ Ç ÈÊ Ë ÆÌ Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ Å Ì ÅýÌÁ ËÌ Ì ËÌÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ ËÇ È ÍÄÇ È Ê Ç Ì Æ Ç Ç Ê Í Å ËÌÊ Å ËÌ Ì ËÌÁ ýö ÓÒ ÒØÖ Ó ÈÖÓ Ð ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº Ó ÈÖ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ½ ½ º½ ÈÖ Ò Ô Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÖÓ È ÕÙ ØÖ ÔÓ Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½ ¹ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ÓÑÓ ÈÓÖ ÉÙ È Ö Ö ÌÓÑ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó Ó Ö Ú Ø ØÙ Ð Þ ¾¼¼ È Ø Ö Êº Ö Ò Åº º Ú Ó Ò È º º Î Ø Ð ÚÖÓ
Ä Ø ÙÖ ½ ØÙ Ó Ë ½ Ö ÙÐØ ÒØ Ü Ù Ó Ó Å ÓÚ µ Ò ØÙ Ó Ë ¼ º º º º º º º º ¾ Ü ÓÑ Ø Þ Ó Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ê Ó Ò Ó ÙØ ÚÓ Ù Ò Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ Ù ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÑ Ë Ø Ñ ÈÐ Ò Ñ ÒØÓ Ë ÐÚ Ó Ó Ä Ó È Ö Ö ÈÖÓ ØÓ ÖØ Ó Å ØÖ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ë Ó È ÙÐÓ ÓÑÓ Ê ÕÙ ØÓ È Ö Ð Ô Ö ÉÙ Ð Ó ÒÓ Å ØÖ Ó Ñ Ò ÓÑÔÙØ
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ø Ó ÐÙ Ó ÒÑ Ó ÐÙ Ó ÓÖÑÙÐ Ó ÒØ Ö Ð Ó Ñ ÒØÓ Î Ó Ó Ñ ÙØÓ ÒÑ ÒÓ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Á Æ ½¼½½ ÄÙ ÖÒ Ò Ó Ù Ö Ë ÐÚ ¹Ñ Ð ÐÙ Ö ÔºÔÙ¹Ö Óº Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å
ÒÑ ÒÓ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Á ¹Ñ Ð ÐÙ Ö ÔºÔÙ¹Ö Óº Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å Ò ÈÓÒØ ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ Å ÖÓ ¾¼½ ÔÐ ÒÑ ÒÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ËÙÑ Ö Ó ½ ÔÐ ÒÑ ÒÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ¾ ÕÙ Ø Ø Ó Ù Ó Å ÒÓÑ ØÖ ÓÖ Ñ ÙÔ Ö Ù Ñ Ö ÔÐ Ò ÑÔÙÜÓ ÓÖÑ
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ¾ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ¾º½ Î Ú Ò Ò
Ò ÙÖ È ÕÙ µ ¹ ÙÐ ÎÓÓ Ï ÐÐ Ñ Èº ÓÙÒ Ä ÚÖÓ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ô Ö ØÙ Ð»Ô Ô» Ò ¹ÝÓÙÒ ºÔ º
Ò ÙÖ È ÕÙ µ ¹ ÙÐ ÎÓÓ Ï ÐÐ Ñ Èº ÓÙÒ Ä ÚÖÓ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ô Ö ØÙ Ð»Ô Ô» Ò ¹ÝÓÙÒ ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ÙÐ ÎÓÓ Ô ØÙÐÓ ÙÐ ÎÓÓ º º º Ò Ó ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð Ó ÔÓ Ö Ù Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ØÓ Ù Ñ Ó Ó Ë Ò ÓÖ ÓÐÙØÓ Ó ÌÓ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö ½½ ½ º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½ º¾ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö Ð ØÙÖ
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ º ËÙÑ
ÈÖÓÔÓ Ø Ö ÓÖÑ Ó Ö Ð Ó Ô Ö Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ ÍÒ Ú Ö ËÓ È ÙÐÓ Ñ ÒØ ÓÒØ Ó Ç ¹ Ð ÓÒ ÂÓ Ë ÐÚ Æ ØÓÖ Ø ÓÙØÙ ÖÓ ¾¼¼ Ê ÙÑÓ Ä Ø Ñ ÒØ ÔÐ Ò º Ö Ù Ó È Ö Ù Ó Ò ÓÑ Ó ½
ÈÖÓÔÓ Ø Ö ÓÖÑ Ó Ö Ð Ó Ô Ö Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ ÍÒ Ú Ö ËÓ È ÙÐÓ Ñ ÒØ ÓÒØ Ó Ç ¹ Ð ÓÒ ÂÓ Ë ÐÚ Æ ØÓÖ Ø ÓÙØÙ ÖÓ ¾¼¼ Ê ÙÑÓ Ä Ø Ñ ÒØ ÔÐ Ò º Ö Ù Ó È Ö Ù Ó Ò ÓÑ Ó ½ ËÙÑ Ö Ó ½ ½º½ Á ¹ ¼½¼½ º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÒØÖ Ú Ø º º º
Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú Ó Ê Ø ÖÓ Ê ÙÔ Ö Ó Ë Ù Ó Ö ÒØÖ Ú Ø Ð Ò Ð ÚÖÓ Î Ø Ö Ò Ï ÐÞ Ö Ë Ø Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ÛÛÛºÖ Ø ÖÓ Ù ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Aterro solo arenoso 3m P solo argiloso
ÁÒ Ø ØÙØÓ ËÙÔ Ö ÓÖ Ì Ò Ó Å ØÖ Ó ÁÒØ Ö Ó Ñ Ò Ò Ö Ú Ð Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÓØ Ò Ú½¼º¼ Þ Ñ ÖÓ ¾¼¼ ÈÊÇ Ä Å Ë ½º ÍÑ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ó Ù ØÓ ÙÑ Ò Ó ÓÖØ ØÖ Ü Ð Ñ ÓÒ Ö ¹ Ò º ÁÒ ÐÑ ÒØ ÓÒ ÓÐ Óµ Ó ¹Ð ÔÐ ÙÑ Ø Ò Ó ÓÒ Ò Ñ ÒØÓ
AB BC = 1 A B B C = 1.
Å ½ ¹ ÍÒ ½¼ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò Á Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ø ÓÖ Ñ Ì Ð ÓÒ Ö ÑÓ Ù ÒØ ØÙ Ó Ø ÑÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ö Ø Ô Ö Ð Ð r s t ÙÖ ½µº ÌÖ ÑÓ Ñ Ù Ö Ø u u ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ø Ò Ó r s t Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÙÒ ÒØ
v 1 (x, y, z) = (1 z x 2, x y, x(1 z)) v 2 (x, y, z) = ( x y, 1 z y 2, y(1 z)) V c k (Rn ) = {(v 1, v 2,, v k ) R n, Ø Ð ÕÙ v i, v j = δ ij }.
k¹ ÑÔÓ Î ØÓÖ Ó Ö Î Ö Å Ö À ÖÑ Ò È ÙÐ Ä Ø Å ÐÐÓ Ê ÙÑÓ Ç Ò ÙÑ k¹ ÑÔÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ ÓÑ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ò ÙÐ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÓÑÓ Ò Ó ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ ÙÑ ÖÙÔÓ ÓÑÓØÓÔ ÙÑ Ú Ö ËØ Ð ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ñ ½¼ ÔÖ ÒØ ÑÓ ÒÓÓ ÙÑ k¹
Adriano Cruz 19 de julho de 2017
ÙÖ Ó ÒØÖ Ë ÔÓÖ ÓÒ ÓÐ Adriano Cruz adriano@nce.ufrj.br 19 de julho de 2017 ½ Ê ÙÑÓ Ë Ó ÁÒØÖÓ ÙÓ Ë ¹ ÙÒÓ ÔÖ ÒØ ÒØÖ ¹ ÙÒÓ Ò ÙÒ Ø Ö ÔÙØ Ö Ð Ò Óººº ¾ ÁÒØÖÓ ÙÓ ÓÑÔÙØ ÓÖ ¾¼¼ Ñ ½ ¼º ÅÓ ÐÓ Ê Ò ÓÖÔÓÖ Ø ÓÒº ÓÑ Ð
Å Ò Ñ Þ Ó Î Ò Ñ ÌÓÖÒ Ó ÊÓÙÒ ÊÓ Ò ÓÒ Ö ¹ ÙÑ ØÓÖÒ Ó ÖÓÙÒ ÖÓ Ò ÓÑÔ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ô ÖØ Ô Ñ Ò ÕÙ Ô ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ñ ÓÖ Ó ÕÙ Ó µ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ó
Å Ò Ñ Þ Ó ÎÒ Ñ ÌÓÖÒÓ ÊÓÙÒ ÊÓÒ ÓÒ Ö ¹ ÙÑ ØÓÖÒÓ ÖÓÙÒ ÖÓÒ ÓÑÔ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ô ÖØÔ Ñ Ò ÕÙ Ô ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö ÑÓÖ Ó ÕÙ Ó µ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ó ÌÌÈ Ò Ë Ó ¾º º ÙÑ Ø Ð ÙÑ ØÓÖÒÓ Ó ÔÖÓ ¹ ÓÖ À È Ó Ò Ð ÓÑ ¹ Û
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑÓ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓÔ Ó Ó Ë Ù ½ ½ ½ º½ Ç ÕÙ ÙÑ ÖØ Ó È Ó ÁÒØ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ½ º½º½ ÈÖ Ó º º º º º º º º º º º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ ÓÑÓ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓÔ Ó Ó Ë Ù Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
¾ ¹ Ë ÙÒ Ô ÖØ
¾ ¹ Ë ÙÒ Ô ÖØ Ù ÌÙ Å ÖØ Ò Ù Ö Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð ËÙÑ Ö Ó ¾ Ë ÙÒ Ô ÖØ ¾ Ô ØÙÐÓ ¾ Ë ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÖ Ó Ò Ú ÙÓ Ø ÓÖ Ó Ò ÖÓ ÙÑ ÒÓ Ñ ÓÖ ÔÓ Ñ Ô Ö Ö¹ ÙÑ ÓÙØÖ Ø Ó ÓÖ Ó Ñ ØÓ Ó Ó Ó Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ñ Ò Ø Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½ Ô Ø ÖÒ Ù Ö Ø ÖÒ ÙÑ Ò ½ ½º½ ÈÖÓÔ Ó ØÓ Ô Ó Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ö Ø ÖÒ ÍÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÔÓ ÔÐ Ò Ø Ö ÙÑ Ò º º º º º º º º º º
ÈÖ Ò Ô Ó Ö Ø ÖÒ ÀÙÑ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ò È Ø ÖÒ Ù Ò Ô Ö Ó ÒÓ Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ËÙÑ Ö Ó ½ Ô Ø ÖÒ Ù Ö Ø ÖÒ ÙÑ Ò ½ ½º½ ÈÖÓÔ Ó ØÓ Ô Ó Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ö Ø ÖÒ ÍÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÔÓ ÔÐ Ò Ø Ö ÙÑ Ò º º º
]0,0.5[ [0.5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,10[ [10,20[ [20,50[ [50,100[ [100,200[ [200,+ [
![]0,0.5[ [0.5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,10[ [10,20[ [20,50[ [50,100[ [100,200[ [200,+ [](/thumbs/88/114862961.jpg "]0,0.5[ [0.5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,10[ [10,20[ [20,50[ [50,100[ [100,200[ [200,+ [")
Å Ø Ñ Ø ÁÁ Ü Ö Ó Ø Ø Ø Ö Ø Ú ÖÒ Ò Î Ð ÒØ Å ÖØ Å ÕÙ Ø ÁÆËÌÁÌÍÌÇ ËÍÈ ÊÁÇÊ ÊÇÆÇÅÁ ¹ ¾¼½»¾¼½ ¹ Á ¹ ËÌ Ì ËÌÁ Ë ÊÁÌÁÎ ½º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Áµ Ó Ö ØÓ Ñ Ò Ð Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ö Ñ ÒÙØ ÒÓ ÒÓ Ö Ò ÙÑ Ö Ò Æ Ó ÓÔ Ö ¼
ÕÙ Ô ÕÙ ÒÓ ÔÓÑ Ð Ò Ö Ø Ó Ø ÚÓ Ù ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÐØ Ñ ÕÙ ØÖÓ ÔÓ Ô Ö Ñ ÒØ Ö Ñ Ò ÓÑÔ Ø Ó ÒÓ ÒÓ Ù ÒØ º ÑÔÖ Ò ÓÖ Ú Ö Ø Ø Ø Ô Ö ÙÖ Ó ØÓÖ
Ç ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ó ÙØÅ Ü Ç ÑÔ ÓÒ ØÓ Ö ÐÖÓ Ó ØÓÖÒÓ ÙØÓÐ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓ Ö Ð ÔÓ Ú ÐÑ ÒØ Ó ÑÓÖ ÒÓ ÑÙÒ Ó Ñ Ø ÖÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ô Ô ÖØÔ ÑØ º ÓÑÔ Ò Ó ÔÓÖ Ñ Ð Ô Ó ÕÙ Ø Ñ Ó Ó Ó ÒÓ Ø Ó ÓÑÔ ÒÑ ØÖ Ò Ñ Ö Ó Ø Ð Ú Ó ÔÖÓÙÖ Ñ
ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ä Ø Ñ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ó Ó º º º º º º º º º º
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¹ Ò ÜÓ ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º
Ô ØÓ Ö ÇÒ Ü Ö Ó Ê ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» Ç Ê Þ Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ ÍØ Ð Þ Ó ÔÓÒØÓ ÓÑÓ Ô Ö ÓÖ Ñ ÍØ Ð Þ ÒÓØ Ó ÒØ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ñ ÖÓ ÑÙ ØÓ Ö Ò ÓÙ Ô ÕÙ Ò
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Ê Ö Ø ÒÓ ÖÚ Ð Ó Ë ÒØÓ ÔÖÓ ÓÖºÔ ÓØ º Ø Ø Ø Ó Ñ ÐºÓÑ ÖÙÔÓ ÓÓ Ð È ÓØ Ø Ø Ø Ó ¾¼½ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö Í Å µ Ô ØÓ Ö ÇÒ Ü Ö Ó Ê ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» Ç Ê Þ Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ ÍØ Ð Þ
ËÙÑ Ö Ó È Ù Ó Ò º½ ÒÙÒ Ò Ó Ó Ò Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Æ Ò ÙÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
È ÕÙ ØÖ Å Ø Ö Ð Ø µ ÙÑ ÁÒ Ù ØÖ ÅÓÖØ Å ÒØ Ðµ ¹ È Ù Ó Ò ËÙÔÐ Ñ ÒØÓ Ó ÓÙÑ ÒØ Ö Ó ÔÖ ÒØ Ó Ô Ð ÓÑ Ó Ó Ó Ô Ö Ó Ö ØÓ ÀÙÑ ÒÓ Ø Þ Ò ÓÑÑ ÓÒ ÓÒ ÀÙÑ Ò Ê Ø µ ÀÊ ÛÛÛº ÖºÓÖ ËÙÑ Ö Ó È Ù Ó Ò º½ ÒÙÒ Ò Ó Ó Ò Ñ ÒØ º º º º
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ Ñ ÒØ ØÖ Ò Ð Ô Ö Ó Ð ÑÓ Ø ÜØÓ Ð Ø ÒÓ Ù Ó ÒÓ ÖÚ Ó Ø Ð
ËÙÑ Ö Ó È Ö ÓÒ Ð Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð º½ Ç Ù ÒØ Ó ÍÒ Ú Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ç Ö Ð ÒØ ØÖ Ð Î Ô ÖØ ÒÓ º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ È Ö ÓÒ Ð Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó È Ö ÓÒ Ð Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð º½ Ç
Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ó Ö È ÙÐÓ Ù Ö Ó Þ Ú Ó Ë ÐÚ Ö ÁËË ÊÌ Ç ÈÊ Ë ÆÌ Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ Å Ì ÅýÌÁ ËÌ Ì ËÌÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ ËÇ È ÍÄÇ È Ê Ç Ì Æ Ç Ç Ì ÌÍÄÇ Å ËÌÊ Å Á Æ Á Ë ýö ÓÒ ÒØÖ Ó Ò ÓÑÔÙØ Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÂÓ Ó Ð Ó È Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¼¾ Ç ÙÒ Ñ
Ç ÈÓ Ö Ó ÓÖ ¹ Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó ÍÑ Ù È Ö ÁÐÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÙ Ð ÖØ ÌÓÐÐ Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð
Ç ÈÓ Ö Ó ÓÖ ¹ Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó ÍÑ Ù È Ö ÁÐÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÙ Ð ÖØ ÌÓÐÐ Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð ËÙÑ Ö Ó Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó º½ ÒØÖ ÒÓ ÓÖ ÓÒ ÕÙ Ö ÕÙ ÚÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó Ó Ò È Ó ÓÑ Ø
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ Ó ÓÒØ Ó Ò Å ÒØ ¹ Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Ô ØÙÐÓ Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Ó Ò Ô Ó ÓÑ Ø Ó ÕÙ Ø Ñ
Ç ØÓ ÎÓÒØ È Ó ÒØ ÊÓ ÖØÓ ÓÐ µ ¹ ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ÌÖ Ð Ó È ÓÐÓ ÌÖ Ò Ô Ó Ð Ê Ø Ð ØØ µ È ÕÙ Ó Ò ÁÒØ ÖÒ Ø
Ç ØÓ ÎÓÒØ È Ó ÒØ ÊÓ ÖØÓ ÓÐ µ ¹ ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ÌÖ Ð Ó È ÓÐÓ ÌÖ Ò Ô Ó Ð Ê Ø Ð ØØ µ È ÕÙ Ó Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ËÙÑ Ö Ó ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ¾ º½ ÎÓÒØ Ë ÓÔ Ò Ù Ö ÔÖ ÚÓÒØ ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ç ÜØÖ
ËÙÑ Ö Ó ÁÎ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ½¾ ½¾¼ ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ Å Ð Ñ ÍÖ ÒØ ½¾ ½¾¼º½ Ë Ø Ñ Å Ó ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾¼ ¹ ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ Å Ð Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÎ Î Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÒ Ø ØÙ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÁÒ Ó ½ ¾ È Ð ØÖ ¾ ¾º½ ÈÓÖÕÙ Ö Ú Ð Ó Ò Ó Ø ÚÓÐÙ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÑÔÓÖØ Ò Ó ÙÐØÓ Ö Ð Ó Ó º º º º
Ê Ð Ó ÍÖ ÒØ Ê Ð Ó ÜÔ Ö Ò Ô Ö ØÙ Ð È Ó Ð Ç ÈÓ Ö Ó Ë Ñ ÓÐ ÑÓµ ÊÓ ÖØ Ë ÖÑ Ø ÛÛÛºÙÖ ÒØ Ö Ð ÓÒºÓÑ ½¼ Ú Ö ÖÓ ¾¼½ ÌÖ Ò Ö Ó ÌÖ Ù Ó ÖÐÓ Ä Ø Ë ÐÚ ÖÐÓ Ñ Ö Ò Ð Ø ÐÚ Ñ ÐºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ÁÒ Ó ½ ¾ È Ð ØÖ ¾ ¾º½ ÈÓÖÕÙ Ö Ú
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ê Ð Ó Ù ÓÑ
Ö Ñ ÒØÓ Ó Ø Ö Ö Ö Ó Ñ Ù ÓÖ ÒØ ÓÖ ÖÒ Ò Ó Ó ÒÓ ÔÓÖ ØÓ Ó Ó ÓÒ Ñ ÒØÓ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ñ Ø Ñ Ñ Ô ÐÓ Ò ÒØ ÚÓ Óѹ ÔÖ Ò Ó ÒÓ Ñ Ú Ö Ó ÑÓÑ ÒØÓ ÒÓ Ñ ÕÙ Ø ÑÓ ØÖ ¹ Ð Ò Ó
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ö ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö Ð ØÖ Å ØÓ Ó ÒØ Ø Ó Ô Ö ÈÖ Ó Ò Ä Ö Ó ÖØÙÖ Ê Ó Ð ØÖ Ñ Ñ ÒØ ÍÖ ÒÓ Ì ÜØÓ Ø Ù Ñ Ø Ó Ò Ü ¹ Ñ Ò ÓÖ Ò Ô ÐÓ ÓÐ Ó Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö ÍÒ Ú Ö ¹ Ö Ð Å Ò
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Å Ó Ó Å Ò Ø
ËÙÑ Ö Ó ¾ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð ¾ ½ ¾ º½ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ¾ º¾ Ç
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó º½ Î ÈÐ Ò Ø Ö º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½
ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾ ÈÖ Ñ ÙÐÓ º º º º
Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ÔÖÓÚ Ô ÐÓ ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö ÒÓ Ñ Ó ½ ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾
ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð ¾½ ½º½ Ç ÆÓÑ Ó È º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ç ÙÖ Ó Ô Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ç ÙÖ Ó Ô Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ Ç ÙÖ Ó Ô ½ ½ ¼º½Ç
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð ¾ ½º½ Ç Æ Ø ÚÓ À ÚÓÒ º º º º
ÌÖ Ð Ó Ö Ð Þ Ó Ó ÓÖ ÒØ Ó Å Ö Ó Ê Ñ Ó Ö ÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÙÜ Ð Ö Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ ËÙÔ Ö ÓÖ Ì Ò Ó
ÍÆÁÎ ÊËÁ Ì ÆÁ ÄÁË Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ ËÍÈ ÊÁÇÊ Ì ÆÁ Ç Ä È Ñ Ø ¹µÄ Ó Ô Ó ÈÖ Ö Ò ÂÓ Ó Å ÒÙ Ð È Ò ÖÓ ÓÔÓ ÐÙÒÓ Æ Ó ¼ Ò Å Ö Ö Â Ù Ö Ó Ó ÐÙÒ Æ Ó ¼ ¾ Ë Ø Ñ ÖÓ ½ ÌÖ Ð Ó Ò Ð ÙÖ Ó Ä Ò ØÙÖ Ñ Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÑÔÙØ ÓÖ Ê ÑÓ
ËÙÑ Ö Ó ½ Ì Ò ÙÐ Ò Ö Ú Ú ½ ½º½ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Ù Ó ÓÑ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º
Ø Ó ÙÒ Ñ ÒØÓ ÙÐ Ò Ö Î Ú ÓÑ Ê Ø Ö ÒÓ Ö Ò È ÙÐ ÓÕÙ ÛÛÛº Ñ ÒØ Ò Ø Ú ºÒ غ Ö Ö Ð ¼½ ËÙÑ Ö Ó ½ Ì Ò ÙÐ Ò Ö Ú Ú ½ ½º½ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Ù Ó
¾½ Ë ÑÙÐ Ó ÜÔ Ö Ò ÓÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ó Î ÖØÙ Ð Ñ ÙÐ Ì ÓÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú ÖØÙ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ØÓÓÐ Ò Ô Ý Ð ØÙÖ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Á ÙÐ Ò Ò Ö ÁÒ Ù ØÖ Ð ÙÒ Ó Ò ÔÐ Úº ÀÙÑ ÖØÓ º º Ö ÒÓ ¾ ¼ ¼¹ ¼½ ˺ º ÑÔÓ ËºÈº
Å ÆÍ Ä ÅÁ ÊÇ Ç ÇÆÇÅÁ Å ÇÆËÌÊÍ Ç ÍÊËÇ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ Á ÁÍÊÆǹ½ Ë Å ËÌÊ ¹¾¼½ ÂÓ Êº ƺ ÔÔ Ò¹ÈÖÓ º Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÓÒÓÑ ¹ ¹ÍËÈ ¼¾»¼»¾¼½
Å ÆÍ Ä ÅÁ ÊÇ Ç ÇÆÇÅÁ Å ÇÆËÌÊÍ Ç ÍÊËÇ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ Á ÁÍÊÆǹ½ Ë Å ËÌÊ ¹¾¼½ ÂÓ Êº ƺ ÔÔ Ò¹ÈÖÓ º Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÓÒÓÑ ¹ ¹ÍËÈ ¼¾»¼»¾¼½ ÓÒØ ÒØ ½ ¾ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ ÅÇ ÄÇ Ë ÇÄÀ Ê ÁÇÆ Ä ÆÌ Ë Ê ÁÇÆ ÁË ÁÆ ÁÎ ÍÇ ÅÈÊ Ë ¹ Å
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑ Ö ÖÒ Ò Ó Ò ØÙÖ Ð Ô Ö Ó ÓÖÔÓ ÙÑ ÒÓ ½ ½º½ Ç Ô Ð Ö ÙÑ ÒÓ Ö Ø ÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÖÒ Ò Ó ÒÙØÖ
Ø Ó ÀÓÖØ Ð Ò Å Ò Æ ØÙÖ Ð Ð ÓÒ Ð Ò Ð Ëº º Ó Ö Ñ ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑ Ö ÖÒ Ò Ó Ò ØÙÖ Ð Ô Ö Ó ÓÖÔÓ ÙÑ ÒÓ ½ ½º½ Ç Ô Ð Ö ÙÑ ÒÓ Ö Ø ÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÖÒ Ò Ó ÒÙØÖ Ø Ú
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ì ÑÔÓ Ô Ö Ò Ð Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ì ÑÔÓ Ô Ö Ò Ð Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ç Ì ÑÔÓ Ô
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ô ØÓ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ô ØÓ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ô ØÓ
ËÙÑ Ö Ó ¾ ÈÖ Ø Ø Ù Û ½½ ¾º½ Ç ÕÙ Ô Ñ ÒØÓ Ó ÔÖÓØÓÓÐÓ Ù Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾ Ø Ù Û ØÖ Ò Ó ½ µ º º º º º º º º º
Ù ÈÖ Ø Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð Ó Ò Ö ¾ ¹ ÈÖ Ø Ø Ù Û Ó Ò ÙÖ Ø Ú Ø Ù Û Ê ¹ Ø Ó ÓÑ Ö Ø Ó È ÖØ Ö Ó Ä ÚÖÓ Ð ØÖ ÓÒ Ó ÇÖ Ò Ð Ù ÈÖ Ø Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð Ó Ò Ö ÔÖ Ø» Ù ÈÖ Ø Ó¹ ¹Ê Ø ºÔ µ Ó ¹ Å Ö Ó ¾¼½½ ÛÛÛº ÙÖ Ó Ò ÖºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ¾
Å Ø Ö Ð Ø Ó Ô Ö ÍÒ Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ò º Å Ò ¾ ÓÖ Í Ò Ñ ÊÙ Ó ÒÓ Ö Ñ ÒØÓ ÈÖÓ º ÒÒ ÖÐ Ö Ù Ó ÆÓÚ Ñ ÖÓ ¾ ¾¼½
Å Ø Ö Ð Ø Ó Ô Ö ÍÒ Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ò º Å Ò ¾ ÓÖ Í Ò Ñ ÊÙ Ó ÒÓ Ö Ñ ÒØÓ ÈÖÓ º ÒÒ ÖÐ Ö Ù Ó ÆÓÚ Ñ ÖÓ ¾ ¾¼½ Ò ½ Ö Ú Ö ÙÑÓ ÙÐ Ø ÓÖ ÔÖ Ø ¾ ½º½ Ç Ø ÚÓ ÜÔ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾
Å Ö Ó º Ë ÒØÓ ÖÖÓ Ó ÇØ Ñ Þ Ó ¹Ç Ø ÚÓ ÔÐ Ø Ñ Ó È ÖÑ ØÖÓ ÅÓ ÐÓ ÆÓ¹Ä Ò Ö Ö Ø Ö Þ Ó ÌÓÑ Óº Ì Ù Ñ Ø Ò Ü Ñ Ò ÓÖ Ò Ô ÐÓ ÓÐ Ó Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö Ð ØÖ
Å Ö Ó º Ë ÒØÓ ÖÖÓ Ó ÇØ Ñ Þ Ó ¹Ç Ø ÚÓ ÔÐ Ø Ñ Ó È ÖÑ ØÖÓ ÅÓ ÐÓ ÆÓ¹Ä Ò Ö Ö Ø Ö Þ Ó ÌÓÑ Óº Ì Ù Ñ Ø Ò Ü Ñ Ò ÓÖ Ò Ô ÐÓ ÓÐ Ó Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö Ð ØÖ ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö ÓÑÓ Ô ÖØ Ó Ö ÕÙ ØÓ Ò Ö Ó Ó Ø ÒÓ Ó
ËÙÑ Ö Ó Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì ÓÖ ÓÖ ÙÖ ÕÙ ÈÖÓÑÓÚ Ë Ù ½¼½ º½ ÊÙ Ò Å Ð ÓÖ ÅÙ ØÓ Å Ð ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º¾
Ê ÚÓÐÙ Ó ÒØ ÒÚ Ð Ñ ÒØÓ ¹ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì ÓÖ ÓÖ ÙÖ ÕÙ ÈÖÓÑÓÚ Ë Ù ÍÑ ÈÖÓ Ö Ñ Ê Ð Ê ÙÚ Ò Ñ ÒØÓ Ú Ø Ó Ò Ö ÓÚ ÙÐ Ö ÙÑ ÒØ ËÙ Ò Ö ÒÓ Å Ð ÓÖ ËÙ Ô Å ÒØ Ð Ì ÑÓØ Ý Âº ËÑ Ø Åº º ËÙÑ Ö Ó Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö ¾
ËÙÑ Ö Ó ½¾¾ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù ½¾ ½¾¾º½ÂÓ Å Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾¾º¾ Ö Ð Ô Ö Ô Ö Á Ð
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾¾ ¹ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¾¾ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù ½¾ ½¾¾º½ÂÓ
Ç Ú Ò Ð Ó ËÖ Ê Ñ Ö Ò ½¼ ¹ Ç Å ØÖ Ã ÈÓÖ Åº Å Ò Ö Ò Ø ÙÔØ µ ÍÑ ÔÙÐÓ Ö ØÓ ËÖ Ê Ñ Ö Ò µ ÁÒØÖÓ Ù Ó Ó Ö ÌÖ Ù Ó Ô Ö Ó ÁÒ Ð ËÛ Ñ Æ Ð Ò Ò
Ç Ú Ò Ð Ó ËÖ Ê Ñ Ö Ò ½¼ ¹ Ç Å ØÖ Ã ÈÓÖ Åº Å Ò Ö Ò Ø ÙÔØ µ ÍÑ ÔÙÐÓ Ö ØÓ ËÖ Ê Ñ Ö Ò µ ÁÒØÖÓ Ù Ó Ó Ö ÌÖ Ù Ó Ô Ö Ó ÁÒ Ð ËÛ Ñ Æ Ð Ò Ò ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Å ØÖ Ã ½¼º½ ÖÓÒÓÐÓ Î ËÖ Ê Ñ Ö Ò ½½ º º º º º º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÓÒ Ø Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÓÒ Ø ÐÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø ÐÓ º½ Ë ÒØÖ ÓÒ Ø ÐÓ
r 2 R 2 + z 2 ( u θ u r ) 4π I R dθ db z = d B cos α
ÌÖ Ð Ó Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÑÓ ÔØ ÑÔÓ Ñ Ò Ø Ó B ÔÖÓ ÙÞ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÒÖÓÐ Ñ ÒØÓ Ô ÖÓÖÖ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÓÖÖ ÒØ Ð ØÖ Ä Ö Ý ÖÒ Ò Ó ÖÓ Å ÒÙ Ð Ñ Ò Ð Ô Å Ò ÈÖÓ Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ó ÁËÌ Å Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁËÌ ½ Ó Ñ» ¾¼¼ ¹½¼µ Ç Ø ÚÓ
ÍÒ Ú Ö Ú ÖÓ ¾¼½¼ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ð ØÖ Ò Ì Ð ÓÑÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÆÙÒÓ Ð Ô ÓÖÖ ÐÑ Ó Ó Ñ Ñ Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö
ÍÒ Ú Ö Ú ÖÓ ¾¼½¼ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ð ØÖ Ò Ì Ð ÓÑÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÆÙÒÓ Ð Ô ÓÖÖ ÐÑ Ó Ó Ñ Ñ Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö ÍÒ Ú Ö Ú ÖÓ ¾¼½¼ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ð ØÖ Ò Ì Ð ÓÑÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÆÙÒÓ Ð Ô ÓÖÖ ÐÑ Ó Ó Ñ Ñ Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö ÖØ Ó ÔÖ ÒØ ÍÒ Ú Ö
ËÙÑ Ö Ó ½¾½ ÔÓ ÙØÓ¹ÇÙØÓÖ Å Ð ½¾ ½¾½º½Ç Ç ÒØ ÒÓ ÈÖ Ñ ÖÓ Ë ÙÐÓ ÔÓ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾½º¾Ç ÈÓÚÓ ÂÙ Ù º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾½ ¹ ÔÓ ÙØÓ¹ÇÙØÓÖ Å Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ½ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ¾ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ» º ¾ ÁÒØ
¾¾½ ÔÖ ÒØ Ó Ó ËÓ ØÛ Ö Ù ÓÒ Ð Î Ø¾½ Å Ò ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ø ÓÒ Ð ËÓ ØÛ Ö Î Ø¾½ Å Ò µ Ï ÐØÓÒ Èº Ë ÐÚ Ð Åº º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ Ð ØÓÒ º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ ÁÚÓÑ Ö Ö ØÓ ËÓ Ö Ó Ó º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ Û ÐØÓÒÔ ÙÓкÓѺ Ö» Ì»Í È ½¼ ¹ ¼
(n 1)cov xy +nxy. n(n 1)s 2 x. x n + x2
Ü Ö Ó ¹ Ø Ø Ø Ð Ò Ñ ÒØÓ ¹ ¾¼½ ¹½ Ê Ö Ó Ä Ò Ö Å ÐØ ÔÐ ÎÁËÇ Ç ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ú Ö Ó Ü Ö Ó Ø Ó ÒÓÒØÖ Ñ¹ ÔÓÒ Ú ÒÙÑ ÖÓ ÒÓÑ Ü ÖÊÄºÊ Ø ÔÓÒ Ú Ð Ò Ô Ò Û ÔÐ Ò º È Ö ÔÓÒ Ð Þ Ö Ø ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ú ¹ ÖÖ Ö Ó ÖÓ Ü ÖÊÄºÊ Ø Ô Ö Ö
ÒØ Ò Ó ÂÓ ÕÙ Ñ Ò Ö Ø Ú ÍÑ Å ØÓ ÓÐÓ È ÖØ Ó Ô Ö Ó Ó¹ÔÖÓ ØÓ Ë Ø Ñ Ø Ñ Ó Ì Ù Ñ Ø ÓÐ Ò Ò Ö ÍÒ Ú Ö Ó Å Ò Ó Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ö Ù ÓÙØÓÖ Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ýö Ô Ð Þ Ó Ñ Ò Ò Ö ÓÑÔÙØ ÓÖ µ ÍÒ Ú Ö Ó Å Ò Ó ÓÐ Ò Ò Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½¾ ËÓ Ö Ú
Filtragem Esto ásti a para Sistemas Híbridos e suas. Apli ações em Robóti a Aérea. Pedro Henrique de Rodrigues Quemel e Assis Santana
Filtragem Esto ásti a para Sistemas Híbridos e suas Apli ações em Robóti a Aérea Pedro Henrique de Rodrigues Quemel e Assis Santana phrqas ieee.org Laboratório de Automação e Robóti a (LARA), Universidade
ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ ÒØÖ Ñ Â ÖÙ Ð Ñ ½ ¼ ½ ¾º½Ç Ë Ó Ñ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½ ¾º¾ÆÓ ÓÑ Ò Ó Å Ò ÓÑ Ó Ô
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¾ ¹ ÒØÖ Ñ Â ÖÙ Ð Ñ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ ÒØÖ Ñ Â ÖÙ
Adriano Cruz 19 de julho de 2017
ÙÖ Ó Ì ÔÓ Ó Adriano Cruz 19 de julho de 2017 ½ Ê ÙÑÓ Ë Ó Î Ö Ú Ì ÔÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒÚ Ö Ó ÒØÖ ÈÓÒØÓ ÐÙØÙ ÒØ Ö Ø Ö ÆÓÑ Î Ö Ú ¾ Î Ö Ú Ú Ö Ñ Î Ö Ú Ú Ö Ñ ½º Î Ö Ú ÓÒ Ø ÒØ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ Ó ÕÙ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ò ÔÙÐ º ¾º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö ½ ¼ ½ ¼º½ ÐÓ Ó Ö ÊÓ Ñ