Algúns conceptos matemáticos necesarios para a materia Optica Física

Transcrição

1 Algúns conceptos matemáticos necesarios para a materia Optica Física Estas notas carecen do rigor dun texto especializado de matemáticas ó que non pretenden substituír. Unicamente son recordatorio informal dalgunhas propiedades e conceptos matemáticos básicos, facendo fincapé en aspectos conceptuais ou erros comúns. Vectores Un vector é un obxecto matemático que serve para representar magnitudes físicas que teñan modulo, dirección e senso, como por exemplo unha forza, unha velocidade ou un campo eléctrico. Tamén se usa un vector para determinar a posición dun punto no espacio. Xeometricamente represéntase como unha frecha orientada dunha forma particular e cunha longura igual ó modulo. Un vector queda determinado polas súas compoñentes respecto de unha base ou sistema de coordenadas preestablecido. Exemplo: a (,, 3) î + ĵ + 3ˆk ˆx + ŷ + 3ẑ ê x + ê + 3ê z onde î, ˆx, ê x son diferentes notacións comunmente usadas nos textos de física do vector unitario (,0,0); ĵ ŷ ê (0,,0), etc. É dicir, ˆx, ŷ e ẑ son tres vectores que apuntan ás tres direccións do espacio, sendo perpendiculares entre si. O vector do exemplo anterior está definido nun espacio tridimensional, pero cando os vectores están contidos nun plano poden representarse só con dúas compoñentes. O módulo dun vector soe representarse co nome do vector sen a frecha. O módulo pode calcularse como a raíz cadrada da suma dos cadrado das súas compoñentes. No exemplo anterior: a a En moitas ocasións non coñecemos as compoñentes dun vector, polo que quedan como incógnitas. Por exemplo podemos escribir un campo eléctrico como: E (E x, E, E z ) Outras veces non queremos asignarlles un valor concreto. Por exemplo un punto xenérico do espacio soe representarse por un vector posición: r (x,, z) xˆx + ŷ + zẑ

2 Obsérvese o significado radicalmente diferente de x (un número) e ˆx (un vector de módulo unidade). A distancia dende este punto ata a orixe de coordenadas é o módulo de r: r r x + + z Dous vectores poden sumarse, sumando compoñente a compoñente; e podemos multiplicar un vector por un número, multiplicando cada unha das compoñentes por ese número: (, ) + (3, 4) (4, 6) 3(, ) (3, 6) Produto escalar Dous vectores poden multiplicarse entre si mediante o producto escalar, chamado así porque o resultado do produto é un número. Se a (a x, a, a z ) e b (b x, b, b z ), o seu produto é: a b a b a x b x + a b + a z b z Exemplo: O produto escalar é conmutativo: (,, 3) (4, 5, 6) a b b a. Se multiplicamos un vector por si mesmo obtemos o cadrado do seu módulo: a a a x a x + a a + a z a z a x + a + a z a a O produto escalar de dous vectores tamén se pode expresar como o produto dos módulos dos vectores polo coseno do ángulo que forman (que vamos chamar θ): a b ab cos θ Esta fórmula permítenos calcular ese ángulo se coñecemos as compoñentes, xa que: cos θ a b ab a x b x + a b + a z b z a x + a + a z b x + b + b z Outra consecuencia importante deste resultado é que o produto de dous vectores perpendiculares (θ 90 ) é sempre cero independentemente dos seus módulos. Por exemplo: ˆx ŷ (, 0, 0) (0,, 0) Nótese que o produto escalar é negativo cando os vectores forman un ángulo maior de 90. Se un dos vectores ten módulo unidade, o produto é a longura da proxección do outro sobre a dirección do unitario. Por exemplo: aˆx (a xˆx + a ŷ + a z ẑ)ˆx a x

3 Produto vectorial Dous vectores definidos nun espacio tridimensional poden multiplicarse vectorialmente, dando como resultado deste produto un novo vector: c a b a ˆx ŷ ẑ b a x a a z b x b b z ˆx a a z ŷ a x a z + ẑ a x a b b z b x b z ˆx(a b z a z b ) ŷ(a x b z a z b x ) + ẑ(a x b a b x ) O produto vectorial non é conmutativo; en concreto: a b b a. Ademais o vector resultante é perpendicular ós vectores que se multiplican: c a, c b. O módulo do produto vectorial de dous vectores é igual ó produto dos módulos polo seno do ángulo que forman: c a b ab sen θ Polo tanto, o produto vectorial de un vector por si mesmo (ou de dous vectores paralelos) é nulo: a a (0, 0, 0) 0 Matrices Cando se multiplica unha matriz por un vector, obtemos outro vector da mesma ou de diferente dimensión. As matrices represéntanse cunha táboa de m n números. Nesta materia usaremos matrices, que actúan sobre vectores do plano (transformados nunha matriz columna ) dando como resultado outro vector do plano. Se chamamos d ij ós coeficientes da matriz e (a, a ) ó vector, o seu produto será: ( ) ( ) ( ) d d a d a + d a d d a d a + d a Unha matriz importante é a matriz de xiro T (θ), que, a partir das coordenadas (x, ) dun punto nun sistema referencia, nos permite calcular as coordenadas (x, ) dese punto nun novo sistema de referencia coa mesma orixe de coordenadas que o anterior, pero xirado un ángulo θ: ( ) cos θ sen θ T (θ) sen θ cos θ onde θ se toma positivo cando o xiro para pasar do vello ó novo é contra as agullas do reloxo. Por exemplo, se o ángulo entre os dous sistemas é de 45, temos: ( ) ( ) x ( ) x x + x b x b x 3

4 Tamén obtemos matrices simples se o ángulo é cero (matriz identidade ou I) ou 90. Outra matriz útil é: ( ) 0 M 0 0 que simplemente cancela a compoñente dun vector, deixando inalterada a compoñente x, é dicir o resultado é a proxección sobre o eixo x do vector orixinal. O efecto dunha matriz sobre un vector pode imaxinarse como unha transformación do vector. O produto por matrices é asociativo; por exemplo: [ T (45 ) M ] ( ) x [( ) ( ) ] ( ) x ( 0 0 ) (x ) ( ) x x T (45 ) [ M ( )] x ( ) [( ) ( )] x ( ) (x ) 0 ( ) x x Entón podemos escribir T (45 ) M r sen necesidade de usar parénteses. Pola contra, o produto de matrices, en xeral, non é conmutativo: T (45 ) M M T (45 ) Ecuacións de circunferencias e elipses Construamos a ecuación dunha circunferencia (de radio R e co seu centro na orixe de coordenadas) a partir da definición da circunferencia: un punto calquera do plano, de coordenadas xenéricas (x, ) pertence a esa circunferencia se a súa distancia á orixe de coordenadas é R: x + R x + R Se a circunferencia non está centrada nun punto diferente da orixe, de coordenadas (x 0, 0 ), a ecuación sería: (x x 0 ) + ( 0 ) R. É dicir fixemos a substitución x (x x 0 ) e ( 0 ). Por exemplo, a circunferencia centrada nas coordenadas (,) e radio 3 ten de ecuación: (x ) + ( ) 3, e a circunferencia centrada na orixe de radio unidade ven dada por x +, que ten como punto máis alto x 0 e, o máis baixo x 0 e, o máis a dereita x e 0, etc. 4

5 Partindo desta última ecuación podemos construír a ecuación dunha elipse estiradando a circunferencia. Para lograr esa deformación hai que facer o cambio x (x/a) e (/b): ( x ) ( ) + a b Así, por exemplo o punto máis alto da elipse se corresponderá con x/a 0 e /b x 0 e b; o punto máis baixo con x 0 e /b b; o máis á dereita con 0 e x a, etc. Polo tanto a elipse ten o semieixo horizontal igual a a e o vertical igual a b. Como a orientación dos semieixos coincide co sistema de coordenadas, dise que a elipse anterior está referida ós seus eixos. Poñamos un exemplo, unha elipse con semieixo horizontal 3 e vertical ten como ecuación: ( x ) ( x + 3 ) Finalmente vexamos que como se modifica a ecuación da elipse, se está rotada respecto do sistema de coordenadas, é dicir, se a elipse non está referida ós seus eixos. Para obtela hai que proceder en dous pasos. Primeiro escribimos a ecuación nun sistema de referencia que estea alineado cos semieixos da elipse. Chamando (x, ) ás coordenadas dun punto calquera respecto deste novo sistema, a ecuación será: x a + b. En segundo lugar hai que relacionar as coordenadas do sistema rotado coas coordenadas orixinais (x, ) a través dunha matriz de xiro. Para poñer un caso simple, supoñamos que a elipse está rotada 45 polo que xa sabemos da sección anterior que: x x + x. Substituíndo x e na ecuación da elipse anterior, e simplificando obtemos: ( x a + ) ( + b a + ) ( + x b a ). b }{{ } termo cruzado Teorema de Talor En moitas ocasións atopámonos con expresións matemáticas moi enrevesadas que nos impiden resolver un problema, ou incluso entender o comportamento cualitativo do sistema que estamos estudando. O teorema de Talor establece cando podemos substituír unha desas expresións por outra máis simple (un polinomio) pero cun comportamento aproximadamente igual. Consideremos por exemplo a función: f(x) + x, e supoñamos que estamos interesados no valor da función cando x é pequeno, por exemplo 0, < x < 0,, pero no cálculo queremos prescindir da raíz cadrada. Obviamente en 5

6 x 0 a función toma un valor moi simple f(0), polo que poderíamos intentar substituír f(x) por no noso problema, pero iso soe ser unha aproximación demasiado groseira. Normalmente necesitamos saber se f(x) aumenta ou diminúe cando x pasa de 0 a un pequeno valor positivo. Esa información está na derivada da función: f (x) + x que en x 0 vale f (0) /. Agora imos definir unha nova función: f(x) f(0) + f (0)x + x () Como as dúas funcións f(x) e f(x) valen o mesmo e teñen a mesma derivada en x 0, son tanxentes nese punto. Por iso vanse manter moi próximas un certo tramo, proporcionando valores moi semellantes: f(x) f(x) + x + x En concreto: f(0,),, , mentres que f(0,),05, o que significa un erro da orde 0,00. A ecuación () é o desenvolvemento en serie de Talor a primeira orde en x 0 da función f(x). A diferencia entre f(x) e f(x) xorde porque a pendente de f(x) non se mantén constante como a pendente de f(x), senón que se vai reducindo a medida que x vai medrando. Definamos: g(x) f (x) + x A aproximación () equivale a aproximar g(x) por: g(x) d f(x) dx f (x) É dicir, estamos aproximando g(x) por unha constante. Pero poderíamos aproximar g(x) pola súa serie de Talor a primeira orde. Definamos: onde usamos que: g(x) g(0) + g (0)x x 4 g (x) 4( + x) 3/ g (0) 4 Como g(x) é unha boa aproximación de f (x), podemos integrar g(x) para obter unha aproximación de f(x) mellor que a da ecuación (): En resume: f (x) g(x) x 4 f(x) f(0) x x + x + x x 4 dx f(x) + x x 8

7 A nova aproximación desenvolvemento de Talor a segunda orde en x 0, porque incorpora un termo a maiores respecto de (), e predí que, vale,04875 cando en realidade vale, , é dicir o erro é menor que 0, Nótese que canto menor sexa x, menor é o erro. A aproximación a segunda orde parte da hipótese de que g (x) f (x) é constante, pero poderíamos repetir o razoamento anterior para obter una mellor aproximación de g (x) e así sucesivamente. En xeral obtense o desenvolvemento en serie de Talor en x 0 (ou desenvolvemento de MacLaurin) a orde n como: f(x) f(0) 0! + f (0)! x + f (0)! x + + f n) (0) x n n! Se queremos un desenvolvemento de Talor arredor dun punto a distinto de cero, a expresión sería: f(x) f(a) 0! + f (a)! (x a) + f (a)! (x a) + + f n) (a) (x a) n n! Para que estas fórmulas sexan válidas a función f(x) ten que ser suficientemente suave (derivable n veces), e incluso así os valores de x poderían estar restrinxidos a un intervalo arredor de a. Series de Talor dalgunhas funcións comúns e x + x + x! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + n0 n0 cos x x! + x4 4! x6 6! + ( ) n xn (n)! n0 x n n! sen x x x3 3! + x5 5! x7 7! + ( ) n x n+ (n + )! x + x + x + x 3 + x 4 + Números complexos x n < x < Cando resolvemos polinomios de segundo grao (ou maior), a veces aparecen solucións que conteñen a raíz cadrada dun número negativo. Non existe ningún número real que elevado ó cadrado dea un número negativo, así que poderíamos pensar que o problema que deu lugar a tal ecuación non ten solución. Sen embargo, estas raíces poden aparecer en cálculos intermedios do problema que realmente queremos resolver. Se ignoramos que esa raíz non ten solución real e proseguimos cos cálculos, pode ocorrer que esas raíces desaparezan da solución final (porque quedan elevadas ó cadrado, ou se cancelan con outras). O sorprendente é que as solucións finais así obtidas son correctas aínda que os n0 7

8 cálculos intermedios parezan, en principio, absurdos. Máis aínda, esta forma de obter a solución final soe ser moito máis simple e directa que outros métodos de solución que evitan o uso de tales raíces. Para traballar con comodidade coas raíces de números negativos defínese a unidade imaxinaria como: i, e opérase con normalidade excepto que se aparece i, o substituiremos por -. Forma binomial Calquera expresión alxebraica que conteña números reais e raíces de números negativos se pode reducir á forma: z a + bi a, b R, por iso se define un número complexo (z C) como a suma dun número real máis un imaxinario puro (proporcional a i). Dise que a é a parte real e b a parte imaxinaria de z (a R(z), b I(z)). Cando unha expresión se simplifica ata escribila da forma anterior, dise que está en forma binómica ou binomial. Por exemplo: ( + 4)(3 + 6) ( + i)(3 + 4i) 3 + 4i + 6i + 8i 3 + 0i i, ou i 3i ( + 3i)( 3i) 3i (3i) 3i 4 ( 9) i. Forma polar Os números complexos poden representarse nun plano coma se fosen vectores. A parte real é a coordenada horizontal e a imaxinaria a vertical. A longura dese vector se denomina módulo (ρ) e o ángulo que forma co eixo horizontal (φ) argumento ou fase. Podemos calcular facilmente ρ e φ a partir da forma binomial: ρ a + b φ arctan b a. Á inversa, tamén podemos calcular a e b a partir de ρ e φ: a ρ cos φ b ρ sen φ Polo tanto: z a + bi ρ cos φ + iρ sen φ ρ(cos φ + i sen φ) Se usamos as series de Talor da exponencial, do coseno e do seno, podemos demostrar a fórmula de Euler: e ix cos x + i sen x O cuadrante de φ determínase polos signos de a e b Se tomamos x π, a fórmula de Euler queda: e iπ, que relaciona as dúas constantes matemáticas máis importantes a través dos números complexos. 8

9 Polo tanto podemos escribir z como: z ρe iφ Esta é a forma polar de escribir un número complexo, onde, para ser estritos, φ se debe expresar en radiáns. A vantaxe da forma polar radica en que é moi sinxelo multiplicar dous complexos en forma polar: z ρ e iφ z ρ e iφ z z ρ e iφ ρ e iφ ρ ρ e i(φ +φ ), abonda con multiplicar os módulos e sumar as fases. 9